Микроскопические поляризующие поля в оптике диэлектриков, металлов и малых объектов, составленных из дипольных атомов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат физико-математических наук Воронов, Юрант Юрьевич

• Воронов, Юрант Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Воронов, Юрант Юрьевич

1 Эффект ближнего поля в классической, нелинейной и квантовой оптике полубесконечных сред и тонких пленок

2 Отраженная вакуумная волна внутри резонансной полубесконечной оптической среды

2.1 Введение.

2.2 Основные уравнения.

2.3 Поперечные световые волны внутри среды

2.4 Закон дисперсии.

2.5 Площадь светового импульса в среде

3 Преломление и отражение света на поверхности металла

3.1 Введение.

3.2 Интегральные уравнения распространения электромагнитных волн в проводящей среде 34 3.2.1 Линейность и однородность оптической среды.

3.3 Комплексный показатель преломления среды

3.3.1 Погашение внешней световой волны

3.4 Преломленная электрическая волна.

3.5 Отраженная электрическая волна.

4 Эффект ближнего поля в оптике малых объектов, составленных из электродипольных частиц

4.1 Введение.

4.2 Малый объект в слабом поле внешней световой волны

4.2.1 Основные уравнения.

4.2.2 Электрическое поле световой волны внутри малого объекта.

4.2.3 Законы дисперсии для продольной и поперечной волн внутри малого объекта

4.2.4 Электрическое поле световой волны вне малого объекта.

4.3 Малый объект в сильном поле внешней световой волны.

4.3.1 Основные уравнения

4.3.2 Электрическое поле световой волны внутри и вне малого объекта.

5 Эффект ближнего поля в квантовом компьютере

5.1 Введение.

5.1.1 Экспоненциально сложные задачи и квантовые вычисления.

5.1.2 Устройство квантового компьютера и квантовые алгоритмы

5.1.3 Квантовый компьютер и физические проблемы.

5.1.4 Постановка задачи.

5.2 Основные уравнения.

5.3 Инверсия населенностей атомных уровней в случае равенства резонансных частот атомов

5.4 Инверсия населенностей атомных уровней в случае, когда резонансные частоты атомов отличаются.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Микроскопические поляризующие поля в оптике диэлектриков, металлов и малых объектов, составленных из дипольных атомов»

В настоящее время представление о солитоне, как об уединенной волне самосогласованной задачи, глубоко вошло в различные области физики, включая физику элементарных частиц. Процесс внедрения этого представления начался в конце прошлого века в гидродинамике и в середине нашего столетия понятие солитона широко применяется в физике плазмы, в физике твердого тела, а также в нелинейной оптике. Используя соответствующую систему связанных уравнений для поля и среды (резонансной или нерезонансной), получены условия возникновения солитонов и взаимодействия между ними [59]. В данной главе мы ограничимся рассмотрением оптической самосогласованной задачи, в которой рассматривается прохождение короткого светового импульса в резонансной среде.

При рассмотрении оптического случая в резонансной среде центральное место занимает теорема площадей Мак-Колла-Хана [60] и рассмотрение самоиндуцированной прозрачности для 2тг-импульсов, распространяющихся в виде солитонов. Для решения этой оптической задачи применяется замкнутая система укороченных дифференциальных уравнений для огибающей поля и оптические уравнения Блоха [60].

С другой стороны, в наших работах для описания процессов взаимодействия оптического излучения с диэлектриками применяются интегральные уравнения, физический смысл которых и подробный вывод дан в книге [52]. В частности, применение интегральных уравнений для поля оказалось успешным при решении граничных задач нелинейной оптики, где рассматривается взаимодействие коротких световых импульсов, разнесенных в пространстве и во времени, с поверхностью полубесконечной резонансной среды. Здесь мы применим интегральное полевое уравнение для описания процесса распространения одиночного короткого светового импульса малой интенсивности в резонансной среде. Это позволит нам показать, что интегральное уравнение содержит в себе значительно большую информацию о процессе распространения короткого светового импульса, чем дифференциальные уравнения, применяемые для аналогичных задач [59-60]. В этой главе будет доказано, что в полубесконечной среде дипольных осцилляторов распространение когерентного светового импульса или стацгюнарного квазирезонансного излучения сопровождается формированием в каждой точке внутри среды вакуумной отраженной волны с вакуумным значением волнового числа. Таким образом, в каждой точке внутри среды в пределах длины когерентности светового поля формируются вакуумная отраженная и прошедшая волны. В частном случае бесконечной среды полученное решение совместной системы уравнений для поля и дипольных осцилляторов переходит в известное решение Криспа для одиночного короткого светового импульса, где рассматривается лишь волна, распространяющаяся в том же направлении, что и падающая волна.

2.2 Основные уравнения

Напряженность электрического поля световой волны в некоторой точке наблюдения г внутри среды определим с помощью следующего интегро-дифференциального уравнения:

Е(М) = Е/(М) + J го1;го1;-^Р(г',* - Д/с)<гУ, (2.1) где Е/(г, ¿) - внешняя волна, Я =| г' — г |, г' - радиус-вектор некоторой точки внутри среды, либо на ее поверхности, Р - вектор поляризации среды, который подчиняется соответствующему материальному уравнению. Дифференцирование в уравнении (2.1) осуществляется по координатам точки наблюдения и с - скорость света в вакууме. Уравнение (2.1) было получено в классической оптике [19], а также на основе квантовоэлектродинамического рассмотрения парного взаимодействия атомов в поле излучения [52]. Как следует из [52], уравнение (2.1) содержит только электронные поляризующие поля (кулоновское и запаздывающее) и в спектре взаимодействующих атомов учтены только электрические дипольные переходы.

Если точка наблюдения г находится вне рассматриваемой среды, то интеграл в (2.1) берется по всей среде объемом V. Если она расположена внутри среды, то необходимо вначале исключить небольшую область, занятую атомом. Будем считать эту область небольшой сферой <г радиуса Ь0. В конечном счете мы обычным образом перейдем к пределу Ь0 0 . Таким образом, мы будем использовать представление о непрерывной среде, пренебрегая эффектом ближнего поля [20-25], который с наибольшей полнотой проявляется вблизи поверхности среды. Здесь нас будет интересовать, в основном, поведение поля во внутренних точках среды при различных концентрациях резонансных атомов, пренебрегая структурным фактором [24], который возникает при учете дискретного распределения ближайшего окружения точки наблюдения.

Будем рассматривать прохождение малоинтенсивного светового импульса в дипольной среде лоренцевых осцилляторов, полагая, что вектор поляризации имеет вид: N

Р(*, I) = и¿—х0е(и - ш)е~1Ы*, (2.2) где (ЛГ/У) - концентрация атомов, щ - единичный вектор, х0 можно рассматривать как постоянную амплитуду колебаний осциллятора вблизи какого-то момента времени, ш - частота световой волны, е -заряд электрона; здесь и далее физический смысл комплексного вектора имеет его действительная часть. Зависящие от времени и ж V подчиняются следующему уравнению [60]: и - IV) = (-1Д - (и - У) + 1к0Е0) (2.3) где А = ш0 — ш, со о - собственная частота осциллятора, 1/Т - полная скорость затухания осциллятора [60], к0 = е/тшха, т - масса электрона, Е0 определяет напряженность поля следующим образом:

Е 0М) = еД,(М)е-Ы, (2.4) где е - единичный вектор поляризации.

Простейший способ отыскания самосогласованного решения связанных уравнений (2.3) и (2.1) состоит в предположении об одинаковой пространственно-временной зависимости величин (и — и») и Е0, то есть:

1/,Р г) = ]Г е0{щр)<Гыё*гёк*. (2.5)

Здесь &(*/) - волновое число 1/-0& гармоники, которое будет определено ниже в зависимости от спектральных характеристик резонансного атома. Подставляя (2.5) в уравнение (2.3), найдем следующее соотношение: т^щ • (2-6)

В непрерывной оптической среде мы можем использовать известную оптическую лемму [19] и вынести оператор из под знака интеграла. Тогда с учетом разложения (2.5) получим вместо (2.1) следующее уравнение: у у%9 дУ' - (81г/3)щ~х0ех

Я 4 ' 7 "V х £ (2.7) где черта над величиной q0 означает усреднение с помощью функции расстроек, которая, например, имеет лоренцевый вид [60]:

Это усреднение приводит к появлению в нашем рассмотрении следующего интеграла т( \ - ( 1 оч ж ] (А'- Д)* + (бы)* М-р- (1/Г) ' К ' который определяет спектральные свойства отдельных осцилляторов, усредненные по ансамблю. Наряду с этим интегралом появляется также и другой: р) = I ¿^у^ау', (2.ю) который вычислен в [19] для различных точек наблюдения внутри и вне среды.

Таким образом, используя представление о невзаимодействующих друг с другом гармониках, мы имеем возможность с помощью уравнений (2.1), (2.3) вычислить световое поле в различных точках наблюдения внутри и вне среды, решив при этом соответствующую граничную задачу резонансной оптики.

2.3 Поперечные световые волны внутри среды

Условие поперечности для всех участвующих в нашем рассмотрении волн представим как сЦуС^ = 0. Это позволит заменить оператор гсйпй на —V2. Запишем объемный интеграл (2.10) для точек наблюдения внутри среды (0 < г < V) следующим образом [19]:

Г 1 е-1к(х+Ь) Л = + щщ] , (2.И) где с с

Физический смысл величины Ь в рассматриваемой граничной задаче взаимодействия одиночного светового импульса с границей полубесконечной резонансной среды обсудим ниже. Если для простоты считать, что функция д(А') имеет лоренцеву форму (2.8) с полушириной 1/Т* и центрирована при расстройке А' = А, то интеграл (2.9) примет вид: т = = а(Д, V) + ЧА, г/), (2.12) где Г = (1/Г) + (1/Г*) - полная скорость затухания поляризации.

Линейность уравнений (2.3) и (2.1) позволяет сконструировать общее решение для поля светового импульса. При этом для у-компоненты поля имеем следующее уравнение: С

-~х0ек0ще0(и,р)е-ы(а +(2.13) где е0/(^р') - пространственно-временная компонента внешнего импульса. Штриховые индексы указывают на то, что, в общем случае, форма внешнего импульса может отличаться от формы импульса внутри среды.

В полученном уравнении (2.13) можно выделить три группы членов, которые характеризуются различной зависимостью от координаты г. Тогда первое уравнение примет следующий вид при е||щ:

N е2 + !»)/ У+ (2.14)

V тш + 3] 4

Это уравнение позволяет определить волновое число к в среде резонансных атомов. После некоторых преобразований получим из (2.14) дисперсионное соотношение: к + - Л" + " V + Щ и ЛЛ . (» +А*

2.15) где (е2/тш)(а + \Ь) = аи(и) имеет смысл ^-компоненты поляризуемости резонансного атома.

Вторая группа членов, отличающаяся от первой координатной зависимостью, дает следующее уравнение: ео1(и'У)- ^Хоек0е0(^р)(а+= (2Л6)

Это уравнение мы рассматриваем как аналог теоремы погашения Эвальда-Озеена для точек наблюдения внутри среды при прохождении в среде световых импульсов. Подставляя в (2.16) значение волнового числа (2.15) для различных ^-компонент светового импульса, мы можем определить величину е0(1/,р) через е0/(|/',]?') падающего светового импульса. Физический смысл уравнения (2.16) заключается в следующем: в любой точке наблюдения г внутри среды действие вакуумной волны поляризации приводит к погашению внешней волны. При этом вакуумная волна поляризации, входящая в (2.16), распространяется в положительном направлении оси г и совпадает по направлению с внешней волной. В частном случае, когда пространственно-временная форма внешнего импульса и импульса в среде совпадают (г/ = 1/' и р' = г//с), происходит полное погашение в любой точке наблюдения В ином случае происходит постепенное погашение в пространстве и во времени.

Используя (2.16) и (2.5), запишем ^-компоненту прошедшей волны (волны поляризации) следующим образом:

Е "У,рУ) = (2.17) щ +1 где Пу(ш) - комплексный показатель преломления среды, соответствующий поляризуемости ск„(о;), и величины а, Ь, к в соответствии с формулами (2.15), (2.12) являются функциями параметра г/. Легко показать, что при выполнении условий

4жЫ е2 р' = а +16) 1, (2.17а)

3 V ты формула (2.17) переходит в соответствующую формулу [60]:

ЕогС*, ") = ехр [иР^- г + 2ж~—{а + \Ь)] ) . (2.17в) с V тш J)

Действительно, из закона дисперсии (2.15), ограничиваясь линейными по (41г/3)(]У/членами, получим, что к+р — (и + и)/с (1 + 2ж

Подставляя это выражение в (2.17), получим формулу (2.17в), согласно которой прошедшая волна при % = 0 совпадает с падающей волной е01 ехр (~'и4). Применение условий (2.17а) неизбежно связано с решением укороченных полевых уравнений авторами работ [61-62]. В нашем рассмотрении нет необходимости упрощать полевое уравнение и поэтому формула для V -компоненты огибающей носит более общий характер. Наличие фазовых сдвигов в формуле (2.17) связано с возможным отличием пространственно-временного поведения падающего и прошедшего импульсов. В плотных средах при нарушении условия (47г/3)(^/У)«1/ «С 1 в (2.17а) амплитуда прошедшей волны в любой точке наблюдения г внутри резонансной среды совпадает с френелев-ской формулой для нормального падения света. Рассмотрим теперь свойства оставшегося члена в уравнении (2.13), который соответствует световой вакуумной волне, распространяющейся в отрицательном направлении оси г, т.е. в направлении обратном прошедшей и внешним волнам. Используя теорему погашения (2.16), запишем ^-компоненту отраженной вакуумной волны следующим образом:

Е ^р, р') = р ''х

Пр\ш) +1 (2.18) где как и прежде волновое число зависит от и и определяется законом дисперсии (2.15). Формула (2.18) имеет следующие свойства.

1. Экспоненциальный множитель ехр(-4^;г) указывает на то, что световая волна распространяется с волновым числом - в отрицательном направлении оси г.

2. Величина Ь определяет толщину слоя, в пределах которого формируется вакуумная отраженная волна в полубесконечной резонансной среде.

Экспоненциальный множитель ехр[-1 + Ц определяется местоположением "задней стенки" оптической среды, что указывает на нелокальное происхождение волны (2.18). В этом принципиальное отличие вакуумной световой волны (2.18) от проходящей волны (2.17), которая, в принципе, может быть сформирована в точке наблюдения г за счет только ближайшего окружения атомов. Этим объясняется тот факт, что для описания проходящей волны достаточно использовать дифференциальное полевое уравнение как, например, в работах [61-62]. В интегральном полевом уравнении, как мы видим, учтено нелокальное взаимодействие атомов в поле излучения, в котором приходится учитывать поляризующие поля атомов, находящихся от точки наблюдения на расстояниях сравнимых с величиной Ь.

Физический смысл величины определяющей область формирования отраженной волны, проще всего выяснить, определив поле в точках наблюдения г перед поверхностью полубесконечной среды (г < 0). Используя значение объемного интеграла (2.10) для точек наблюдения вне среды, а также уравнение (2.16) и закон дисперсии (2.15), получим следующую формулу:

ЕолОМ) = го1,то% I ~ = и',р' и,р 1 х |ехр + 1)ь| - 11, (2.19) где поле отраженной волны вне среды определяется волной поляризации внутри среды в слое толщиной Ь. Таким образом, в точке наблюдения г внутри среды резонансный атом, описываемый материальным уравнением (2.3), индуцируется результирующим полем Е0л+Е0т. Ниже мы исследуем поведение световых импульсов отраженной и проходящей волн, используя соответствующие ^-компоненты полей (2.18), (2.17).

2.4 Закон дисперсии

Проведем численный анализ формулы (2.15), обратив особое внимание на поведение волнового числа к при высокой плотности оптической среды, в которой условие (2.17а) может быть нарушено. Из формулы (2.15) имеем:

I , ч - 2«2 2 2 еда) = ———И = п,, - к: а{ + а<2 у "V»

2.20) где eu(v) = о.2 = 2 »„Л,, ßj т и>2 л 4ttN е2 а\ = 1 ———-а,

3 Vmu0 '

47гТ\Г е2 , ч а2 = ~7Г77-Ь9 (2.20 а)

3 V ти0 л ЪжЫ е2

3 = 1 + -ТГТ7-«>

3 V тси0

Пу(ш),ки(ш) -действительные ¿/-компоненты показателей преломления и поглощения резонансной среды; и0-и- 1/)Т2 г\2>

Т\ш0 - и - vy + (1 + £)

6И =-(1 + £)Г-—2. (2.20в)

Т\ш0 - ш - V)* + (1 + £)2

Формулы (2.20) дают характерные лоренцевы кривые зависимости е'„ и е" от частоты при различных концентрациях резонансных атомов. Изменяя концентрацию (N/V) резонансных атомов так, чтобы величина а\ стремилась к нулю в случае резонансаш0-и-1/-+ 0, мы можем определить максимальные значения величин еЦо») и е"(<д>), а также область изменения этих величин при разных концентрациях. Численный анализ показывает, что в плотной среде величина е" возрастает в сотни раз по сравнению с тем значением этой величины, которое достигается в разреженной среде при а\ 1 [19].

2.5 Площадь светового импульса в среде

Линейность уравнений (2.1) и (2.2) позволяет сконструировать общее решение для поля путем суммирования решений вида (2.18), (2.17) с разными частотами I/.

Проведем численное исследование общего решения для гауссовых входных импульсов, для которых

Ео1 = А01 ехр(—4£2/т|), (2.21) где г/ - длительность импульса, А0/ - постоянная вещественная амплитуда. Величина е0/(^), определяющая решения (2.18), (2.17), имеет вид:

00 ео7(*/) = ~Ао1 [ = (2.22)

7Г У 4у7Г оо

Характер взаимодействия импульса (2.21), описываемого Фурье-преобразованием (2.22), зависит от соотношения между его длительностью г/ и временем Г-1. Поскольку 1/т/ служит мерой спектральной ширины входного импульса, максимальные частоты, которые еще дают вклад в Фурье-преобразование, будут порядка 1 /г/.

Используя уравнения (2.13) и (2.16), запишем результирующее поле внутри среды следующим образом:

ЕоОМ) = Х^огМе-^щх 30

Г 2 к + р-*^ {к + р? +

3 (* + ,)*-(**)» + J

Определим классическую безразмерную площадь I) светового импульса интегралом t в{х,г) = к0 J (2.24) оо по времени от огибающей электрического поля, где, как и прежде, Ко = е/тшх0. Тогда умножая обе части формулы (2.23) на «о и интегрируя по времени, получим, что результирующая площадь светового импульса в точке наблюдения г в момент времени I складывается из двух частей, т.е. е^^вт&Ъ + Оп^) , где От(г> ¿) - площадь светового импульса, распространяющегося в положительном направлении оси г, а 0я(<М) - площадь светового импульса, распространяющегося в противоположном направлении.

Дифференцируя (2.23) по координате г, можно получить аналог классической теоремы шющадей[60], где, в отличие от[60], будет присутствовать результирующая площадь импульса

В соответствии с формулой (2.23) мы имеем результирующее поле в приповерхностном слое толпщной Ь у входа в полубесконечную среду. Величина Ь определяется с помощью формулы (2.19). Представляет значительный интерес проследить за последующим распространением светового импульса в резонансной среде. Используя значение объемного интеграла (2.10), можно вычислить поле вне слоя толщиной Ь. Тогда для следующего слоя необходимо взять в качестве внешней волны, вышедшую из предыдущего слоя волну и рассмотреть заново процесс формирования прошедшей и отраженной волн на глубине \г\ > \Ь\. Следуя этой процедуре вычислений, мы сможем описать процесс распространения светового импульса в полубесконечной среде с участием вакуумной отраженной волны в произвольной точке наблюдения г.

Таким образом, в этой главе получены следующие результаты:

1. Дано подробное доказательство существования вакуумной волны, которая формируется во внутренних точках полубесконечной резонансной линейной среды.

2. Показано, что поле отраженной волны (2.19) формируется в слое, толщина которого существенно зависит от концентрации резонансных атомов.

3. Получен аналог теоремы погашения Эвальда-Озеена для коротких световых импульсов.

Учет этих особенностей позволит нам не только правильно вычислять энергию распространяющегося поля, но также должным образом учитывать граничные условия оптической задачи. При этом, так как в нашем рассмотрении не использовался метод медленно изменяющихся амплитуд, как в [61-62], то предложенную теорию можно применять к изучению процессов распространения сверхкоротких световых импульсов фемтосекундной длительности. Более того, в нашем рассмотрении мы будем иметь возможность в дальнейшем изучить процесс распространения светового импульса при различных концентрациях резонансных атомов, имея в виду эффект ближнего поля [20-25].

Результаты, полученные в данной главе, представлены в работе

Глава 3

Преломление и отражение света на поверхности металла

3.1 Введение

Макроскопическая теория металлооптики [19] рассматривает металл как непрерывную проводящую среду, характеризуемую комплексной диэлектрической проницаемостью е, магнитной проницаемостью /х и диэлектрической проводимостью ст. Эту теорию нельзя считать удовлетворительной в оптической области электромагнитного спектра из-за значительного отклонения экспериментальных данных по измерению показателей преломления и поглощения, а также отражательной и пропускательной способностей границы раздела вакуум-металл, от соответствующих теоретических значений, получаемых на основе классической электронной теории [19]. Однако она может быть существенно улучшена, если рассматривать металл не как бесструктурную среду, а как систему фиксированных ионизованных атомов металла (атомных остатков) и движущихся между ними электронов. Такая теория требует, чтобы мы рассматривали только микроскопические поля, не применяя понятия ежц оптической среды. При таком методе описания взаимодействия металла со светом идеально подходят интегральные полевые уравнения. В этой главе

1.Выведено новое интегральное микроскопическое уравнение распространения электромагнитных волн в металлах, которые рассматриваются как системы из атомных остатков и электронов проводимости. Это уравнение содержит линейные и нелинейные по скоростям электронов члены и адекватно описывает взаимодействие металлов с электромагнитными волнами с учетом микроскопических свойств приповерхностного слоя.

2. На основе полученного микроскопического интегрального уравнения дано удовлетворительное описание оптических свойств серебра (показатель преломления, коэффициент экстинкции, отражательная способность) в экспериментах по изучению отражения и преломления света на плоской границе серебра в широком диапазоне длин волн (2000+10000 к).

3.2 Интегральные уравнения распространения электромагнитных волн в проводящей среде

Рассмотрим проводящую среду как систему взаимодействующих движущихся зарядов с точностью до и2/с2, где V - скорость движения зарядов, с - скорость света в вакууме. В этом рассмотрении можно написать функцию Лагранжа для отдельного заряда в некоторой точке наблюдения г в момент времени I [52,58]. При этом скалярный <рс и векторный Ас потенциалы поля, образованного движущимися электронами, примут вид: N

3.1)

Ac(r,t) = 22 Yc\r-r-1 + '

3—1 ' где nj = (r- r;-)/|r- Tj|, - радиус-вектор j-го электрона среды, e - заряд электрона, Vj - скорость движения j-то электрона, N - число электронов в среде. Выражения (3.1) получены с помощью разложения запаздывающих потенциалов по |г — гу|/с, полагая, что плотность электронов не успевает заметно измениться за это время [58].

Поле атомных остатков в точке наблюдения г определим с помощью векторов гaß = аа + h^, где аа - радиус-вектор ядра а-го атомного остатка, haß - радиус-вектор электрона относительно своего ядра. Тогда скалярный <рс и векторный Ас потенциалы атомных остатков примут следующий вид [52]: где па - число электронов в а-ом атомном остатке, Ыа - число атомных остатков, ер — ±|е|, пар единичный вектор, направленный от точки наблюдения г к точке гар, которая является местоположением /?-го электрона в ск-ом атомном остатке. Выражения (3.2) также получены из запаздывающих потенциалов, однако при этом разложение запаздывающих потенциалов производилось по величине (аа/аа) (Ьа^/с), я<* Na

3.2) учитывая тот факт, что движение атомных электронов является более быстрым по сравнению с движением электронов, находящихся между атомными остатками.

Подставляя выражения (3.1) и (3.2) в функцию Лагранжа отдельного заряда с точностью до и2/с2, можно получить функцию Лагранжа всей системы зарядов, в которой поле атомных остатков учтено с произвольной мультипольностью. Рассмотрим электрическое диполь-ное приближение для поля атомных остатков, раскладывая функции |r — vaß\ и |г — га/?|-1 в степенной ряд и ограничиваясь линейными по haß членами, учитывая при этом, что г-аа|, то есть точки наблюдения находятся на значительном удалении от атомных остатков. После ряда преобразований получим скалярный потенциал ск-го атома в виде: г — »0! г — аа где N01 - число электронов, отданных ск-ым атомом, с!« = ерЪ.ар -электрический дипольный момент а-го атома.

Преобразуем теперь векторный потенциал Ат в электрическом дипольном приближении. После ряда преобразований получим:

- 1 <*« 1(г-а«) ((г-ад)<!',) г-а~

I 1ч I ц-^в ® с г - а„ с г - а«г г - а012 аI ^ «»а| «"а

2(r-aa)((r-aa)da) da lr — а«|4

Применим свойство электрической нейтральности системы зарядов, которое определим как о.

Тогда с помощью формул (3.3) и (3.4), дифференцируя (3.3) по координатам точки наблюдения и полагая, что векторы аа от времени не зависят, получим напряженность электрического поля а-го атомного остатка:

Е„Л = rotrot^y (3.5)

Ra где Ra = |r - а«| и символ [.] означает, что электрический дипольный момент da определен в запаздывающий момент времени t — Ra/с.

Аналогичным образом найдем напряженность магнитного поля otro атомного остатка:

Hwa = rotAwa = {^М + ¿"W} [Ua х » (3'6) где ик - единичный вектор вдоль дипольного момента da.

Вычислим теперь напряженности электрического Ec(r,í) и магнитного Нс(г, t) полей от электронов проводимости в точке наблюдения г в момент времени t, применяя формулы (3.1). Учитывая свойство электронейтральности системы, имеем:

Ecí(r,i) = -\K¡ = [v, + n;(vy„;)] | (j^) ~ e 1 vy + (vyny)ny + (vyñy)ny + (vyny)ñy]. (3.7)

2с2 |г - г;

Вычислим производные по времени. Имеем д 1 1 Ь. . Ну НуДу где К] = |г — гу|. Производная -Ну при заданной точке наблюдения есть скорость Уу л"-го заряда. Производная Щ может быть вычислена, дифференцируя тождество Щ — Н|. Тогда получим следующее выражение из (3.7):

1 11 v2 \ ny(nyvy)2 + —Vy + —(vyny)ny - -^ny 1 . (3.9)

3 3 3 ] j

Напряженность магнитного поля в точке наблюдения г, согласно выражению (3.1), примет вид: е 1

Нс; = то%Ац = -дгК" х п,]. (3.10)

Переход от формул (3.5), (3.6), (3.9), (3.10) к интегральным уравнениям распространения электромагнитных волн в проводящей среде осуществим используя следующие свойства среды.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ. Вывод интегральных уравнений распространения электромагнитных волн в диэлектрике в классической оптике [19] был сделан для случая непрерывной среды, вводя концентрацию электрических диполей. В работе [21] было показано, что такой подход в решении граничных задач приводит к понятию математической границы среды. В этом случае приходим к теореме погашения Эвальда-Озеена [19], согласно которой на математической границе раздела двух сред происходит погашение внешней волны. Свойство непрерывности диэлектрика имеет место, если считать, что поле диполей внутри сферы Лоренца, окружающей точку наблюдения, равно нулю. Однако, как было показано в [20-21], поле внутри сферы Лоренца всегда отлично от нуля, если принимать во внимание запаздывающую часть поля диполей, пропорциональную 1/К Таким образом, возникает необходимость учета структурного фактора и среда становится дискретно-непрерывной. Для точек наблюдения внутри среды роль этого эффекта незначительна, так как радиус сферы Лоренца значительно меньше длины волны. Роль эффекта ближнего поля значительно возрастает для точек наблюдения, находящихся в ближней зоне по отношению к границе раздела двух сред [20-21]. Мы будем предполагать, что точки наблюдения находятся далеко от границы раздела вакуум-металл и будем считать среду непрерывной. Для этого введем вектор поляризации для атомных остатков Р^ = где сЦ - индуцированный электрический дипольный момент атомного остатка в некоторой точке г' внутри среды, (Na/V) - концентрация атомных остатков. Распределение электронов проводимости в металле также будем считать непрерывным с концентрацией N/V.

САМОСОГЛАСОВАННОСТЬ ВНУТРЕННИХ ПОЛЕЙ. Индуцированные дипольные моменты атомных остатков и скорости движения электронов проводимости в оптической среде определяются значениями внутренних полей в соответствующих точках г'.

Тогда с учетом этих свойств оптической среды получим следующее уравнение для напряженности электрического поля:

E(r= E/(r,i) + I rotrotPA (Г'> У Lis(r',i - R/c)dV', (3.11) где Ej(r,t) - напряженность электрического поля внешней волны, i\T е i 1 , ч2 1. 1,. ч 1 а I \

Е = ~V2c> | + ~R Vj + ~ Wjn> [ ' (ЗЛ1а)

V. з з з ] j n = R/Ä - единичный вектор, соединяющей точку наблюдения г и некоторую точку г' внутри среды.

Аналогичным образом получим интегральные уравнения для напряженности магнитного поля:

Н(М) = НДМ) + - f iotPAir'>t~R/c)dV'+ с J К ecvfi[vxa]dV'' (3-12) где Н/ - напряженность магнитного поля внешней волны.

Если точка наблюдения находится вне оптической среды, то интегралы в (3.11), (3.12) берутся по всей среде. Если она расположена внутри среды, то необходимо вначале исключить небольшую область, ограниченную сферой <то малого радиуса а, чтобы устранить расходимость при R -» 0.

Уравнения (3.11) и (3.12) являются интегро-дифференциальными уравнениями для микроскопических полей. Решая эти уравнения можно определить микроскопическое поле в различных точках наблюдения внутри и вне среды, определив зависимость Р^ и v от поля с помощью соответствующих материальных уравнений.

3.2.1 Линейность и однородность оптической среды

Рассмотрим взаимодействие металла со слабой световой волной, для которой векторы Ра и v являются линейными функциями поля. Вектор поляризации Р^ определим следующим образом:

PA = (NA/V)aAE, (3.13) где аА - поляризуемость атомных остатков (физический смысл имеет действительная часть комплексного вектора). Следуя элементарной теории дисперсии [64], имеем ал=* v + (3.14) где т - масса электрона, fa = (2nwik/h) |< 1\х\к >|2 - сила осциллятора перехода I к, u?ik - частота перехода, Г» = Г/ + Г&, Г^ - время жизни состояния 1(к) атомного остатка, ш - частота световой волны.

Вектор поляризации электронов проводимости Рс в линейной среде имеет вид: рс = (N/V) асЕ, (3.15) где ас - поляризуемость. В модели классических электронов [19] поля

ГОС^ОАРСТЗЕК«!

ЧБЯйОТК&Г * ризуемость ас определим как -т(и/+иЪ>У (ЗЛ6) где /3 - показатель затухания, отнесенный к единице массы [19]. Тогда для периодического движения электронов с частотой со получим следующие соотношения: у = Ч-асЕ, V = асЕ. (3.17) е е

В данном рассмотрении мы ограничимся именно таким представлением движения электронов. При этом концентрация электронов проводимости и концентрация атомных остатков не зависят от координат, что указывает на свойство однородности оптической проводящей среды.

Подставляя выражения (3.13) и (3.17) в уравнение (3.11), получим нелинейные по полю Е слагаемые. Происхождение этой нелинейности связано с зависимостью от времени межэлектронного расстояния согласно соотношениям (3.8). Эта зависимость объясняется запаздыванием во взаимодействии электронов, которое учтено в нашем рассмотрении с точностью до у2/с2. В линейной оптической среде отбросим нелинейные по полю Е слагаемые в (3.11а).

Таким образом, мы определили основные уравнения теории и применим эти уравнения для решения граничной задачи, в которой плоская световая волна падает на плоскую поверхность однородной, непрерывной, линейной проводящей оптической среды. Ситуация полностью соответствует той, которая рассматривается в макроскопической классической металлооптике [19] на основе максвелловских граничных условий. Мы покажем ниже, что даже в этой граничной задаче, решаемой на основе микроскопической теории возникают новые аспекты, которые скрыты при макроскопическом рассмотрении.

3.3 Комплексный показатель преломления среды

Выведем строгим образом формулу для комплексного показателя преломления проводящей среды. Для этого необходимо вычислить ряд интегралов, возникающих в уравнении (3.11) после подстановки в него выражений (3.13), (3.17). Первый интеграл имеет следующий вид: N и2 ас! (3.18)

А У2с2

Представим вектор поляризации электронов проводимости (3.15) следующим образом:

Рс = (п2 - 1) *02Рс(г)е-ы, (3.19) где п - комплексный показатель преломления среды, ко = ш/с, Яе(г) -некоторая функция координат, подчиняющаяся уравнению

V2QC + п2к$Це = 0.

Тогда интеграл (3.18) примет вид:

1х = (п2 -1)10(Е)Яс(гуУе-ы, (3.20) где ч ехр(1А?0Д) = —^—•

Применим теорему Грина для вычисления объемного интеграла (3.20), окружая точку наблюдения г внутри среды сферой <т0 малого радиуса а. При а 0 получим, что

Vй*-= щЬщ [/ К?-Ф}1

Го 1.2 где Е - внешняя поверхность полубесконечной оптической среды, символ д/дг/ - означает дифференцирование по внешней нормали к поверхности Е.

Рассмотрим второй интеграл в (3.11), связанный с ролью атомных остатков, обозначив его как

12 = I кЛго^Р а<№. (3.21)

Вектор поляризации Р^ представим следующим образом:

Рл = Щ*аЕ = (п2 - 1) ЯЪле-ь*, (3 22) где функция координат удовлетворяет следующим условиям:

V2Q а + п2к1ЪА = 0, <1МЬ = 0.

Применим известную оптическую лемму [19] для вынесения оператора го!^ из-под знака интеграла в (3.21), а также теорему Грина. Тогда после необходимых вычислений получим:

12 = го1гсл / - е^} е

4кп2к1ЪА(г)е-[ы*-у(п2- 1) *о2<Ыг)е"Ч

Третий интеграл в уравнении (3.11) имеет следующий вид: N е и)2 acJ G(Ä)(En)ndV, V 2с2 с2 где n = R/R. Представим этот интеграл как

1з = Ali, где А - некоторая константа, которая будет определена ниже.

Подставим интегралы Ii, I2, I3 в уравнение (3.11) и выделим локальное уравнение, которое объединяет величины, определенные в точке наблюдения г. Тогда после несложных преобразований получим следующую формулу для комплексного показателя преломления: где ал, осс определяются выражениями (3.14), (3.16). В макроскопической теории [19] используется известное соотношение ё = п2 = е + 14% а/и, где комплексная диэлектрическая проницаемость е имеет следующий вид:

N Ыл е = 1 + 4ж~ас + 4яг -фаА. (3.24)

Сравнивая формулы (3.24) и (3.23), получим, что формула (3.23) является более общей формулой и в частном случае, когда {4ж/ЩМА/У)аА < 1, переходит в формулу (3.24). При этом постоянная А равна единице.

Применим формулу (3.23) для объяснения экспериментальной зависимости оптических постоянных серебра от длины волны [19], полагая, что п = п + мс = гг(1 + где п, кик - действительные величины. Положим, что один электрон каждого атома Ag, находящегося в кристаллической решетке, является свободным, а атомный остаток представляет собой двухуровневую систему, расстояние между уровнями которой Ъыо приблизительно равно энергии перехода между 4<1- и бв-подоболочками внешней электронной оболочки атома Ag. Время жизни Г-1 атомного остатка в возбужденном состоянии возьмем приблизительно равным 1(Г15 с, что соответствует ширине зон в твердых телах. Показатель затухания (3 в металлах определяется, в основном, процессами взаимодействия электронов с тепловыми колебаниями решетки, поэтому его можно вычислить, например, из электросопротивления р при температурах, больших дебаевской [65]:

Р = 4жрш2 где ш2 = ~ квадрат плазменной частоты. Силу осциллятора / находим методом подбора. На рис. 3.1 приведены экспериментальные

Х,103А

Рис. 3.1. Теоретические и экспериментальные (помечены символами) зависимости для показателя преломления (а) и показателя поглощения (б) металлического серебра и теоретические кривые для действительного показателя преломления п и показателя поглощения к. Теория достаточно хорошо описывает особенности экспериментальных кривых. В частности, из нее следует существование резкого минимума к при Л « ЗОООА и более плоского минимума п при Л « 4000А.

3.3.1 Погашение внешней световой волны

Объединим оставшиеся члены уравнения (3.11) после выделения локального уравнения, определившего формулу (3.12). Нелокальное уравнение для монохроматической световой волны с частотой ш примет следующий вид:

Е/ + к1Ц*Гы + го^оНЙе"^ = 0, (3.25) где е а интеграл получается из (3.25а) заменой С}е на Физический смысл уравнения (3.15) заключается в том, что под действием внешней световой волны в оптической полубесконечной проводящей среде формируется волна, которая полностью погашает внешнюю волну на границе £ этой среды. С помощью этого уравнения, как будет показано ниже, можно определить поле световой волны в любой точке наблюдения внутри среды, а затем и поле вне среды.

3.4 Преломленная электрическая волна

Пусть на границу раздела вакуум-металл падает плоская волна с электрическим вектором

Е/(г,*) = Е0/ехр£рЬо(гв/) - о;*]}, (3.26)

Рис. 3.2. Проникновение плоской волны в однородную полубесконечную среду. Р - точка наблюдения, внутри среды. где Ео/ - постоянная амплитуда волны и единичный действительный вектор в/ имеет следующие компоненты (рис. 3.2): $1 - действительный угол падения. Предположим, что напряженность электрического поля волны внутри среды имеет вид: где Еот - не зависящая от координат и времени амплитуда волны и комплексный вектор ят имеет следующие компоненты: $т - комплексный угол преломления. Таким образом, мы имеем решение в виде неоднородной плоской волны, для которой направления распространения и затухания, в общем случае, не совпадают. Подставим (3.27) в уравнение (3.25), что приведет к необходимости вычисления следующего интеграла: где были использованы равенства (3.19) и (3.22).

В книге [19] этот интеграл вычислен с помощью принципа стационарной фазы для точек наблюдения в волновой зоне по отношению к поверхности Е. В работе [21] этот интеграл вычислен точно для любых точек наблюдения и равен следующему значению: — &1у = 0, &1ц — — СОБ $1

Ег(г, 1) = Еогехр {1 [&ой(г8т) - ,

3.27)

8Тх = — &Ту — 0, &Тг = — СОвфг, Я

IЕТ = -2тг Еогехр[^о(г8)]е-Ы,

3.28) где угол (р и вектор в определяются как пвтвт = втр,

Sx — — sin (p, Sy = 0, $z — ~ COS (p.

Подставим теперь (3.28) в уравнение (3.25). Тогда получим следующее уравнение:

N Na 1 асЕот - -у~аА [sx[sx Е0т]] У х

1 = о п2 - 1 COS Sin 0Т

Это соотношение должно тождественно выполняться на однородной границе Е полубесконечной среды. Следовательно, s = в/ (3.29) и амплитуда внешней волны (3.26) связана с амплитудой Е0т следующим образом:

N NA 1 асЕог - -у-аА [s х [в х Вот]] > *

1 + у п2 — 1 cos <р sm 6т Уравнение (3.29) выражает закон преломления, из которого следует, что р = 0/, nsin0r = sin0j.

3.5 Отраженная электрическая волна

Для нахождения электрического поля вне среды вернемся к уравнению (3.11). Интегралы в этом уравнении теперь берутся по всей среде, так что оператор пйгсй можно просто вынести из под знака интеграла без применения оптической леммы. Тогда поле вне среды равно Е = Е/ + Ед, где

Ел = го^ I ~Ра(г\ % - И/с)аУ + к20 ^ ^Рс(г/, / - Я/с)ёУ (3.31) с применением тех условий, которые были сделаны выше для непрерывной однородной линейной среды. Применяя теорему Грина, получим из (5.1) следующую формулу:

1 (N Na 1 1 Г f^dG BE} ¿гл {г*+f ^rotrotl J Г5? " G5?Jds> (3'32) s где поле Е определено на поверхности Е, а функция Грина G(R) связывает точки г' на поверхности Е и точку наблюдения г вне среды. Для точек наблюдения вне среды расчет поверхностного интеграла в (5.2) аналогичен вышеизложенному для внутренних точек среды, только теперь в соответствующих формулах делается замена z' -> —2. Это эквивалентно замене sz на —sz, то есть замене (р = 9j на (р = 0д, где вя = 7г—6j. Вместо единичного вектора s = sj введем теперь единичный вектор вд с компонентами srx = - sm$R = - sin0/, SRy = 0, sRz = - cos 0R = cos 0/.

Тогда поверхностный интеграл в (5.2) примет следующий вид:

Ля* дЕ) л sin(07 - 0т)„ гм , Ч1

Е— - G— ^ dS' = -2тг у . J Еог exp ik0(rsR) е du' du/') cos 0j sm вт Е

Представляя отраженную волну как

Er = Еодехр [1&о(г8д)] e-iw*, получим следующую формулу для амплитуды отраженной волны:

Na г г т, п N „ \ 1 sin(0j-0r) {-аА[в* ж [в* х Еот]] - -*сЕог} v1oob$jM9tY

3.36)

Чтобы связать амплитуды отраженной и падающей волн необходимо применить соотношение (3.25). Тогда для компонент поля, перпендикулярных плоскости падения, получим следующую формулу:

ЕУш = (3.37) ш 01 sin (01 + вт) iwt

2/(1 -К)

МО3 А

Рис. 3.3. Теоретические и экспериментальная (отмечена символами) зависимости отражательной способности границы раздела вакуум-серебро . (1) - предлагаемая теория, (2) - теория, представленная в [19].

Аналогичным образом можно получить соотношения для компонент поля, лежащих в плоскости падения. При этом, как следует из (3.36), возможно разделение в отраженной волне вкладов, обусловленных влиянием электронов проводимости и атомных остатков, меняя углы падения внешней волны на границу раздела вакуум-металл.

На рис. 3.3 приведены экспериментальные и теоретические (3.37) кривые отражательной способности границы раздела для серебра. Как видно, эксперимент удовлетворительно описывается предлагаемой теорией.

Таким образом, в данной главе было получено новое интегральное микроскопическое полевое уравнение, с помощью которого удалось удовлетворительно описать оптические свойства металлического серебра в экспериментах по изучению отражения и преломления света на плоской границе серебра в широком диапазоне длин волн. Более детальный квантово-механический подход позволит добиться лучшего описания эксперимента предлагаемой теорией.

Исследование, выполненное в данной главе, можно найти также в работах [66,67].

Глава 4

Эффект ближнего поля в оптике малых объектов, составленных из электродипольных частиц

4.1 Введение

В данной главе будут рассмотрены различные свойства эффекта ближнего поля в оптике малых объектов, составленных из двух дипольных атомов, расстояние между которыми значительно меньше длины внешней световой волны. Оптике малых частиц посвящено значительное число теоретических и экспериментальных работ [19,68]. Однако теоретическое рассмотрение этих объектов было основано на концепции о непрерывных частицах, с определенной не зависящей от координат диэлектрической проницаемостью [68-69]. Здесь проводится исследование полей внутри и вне малого объекта при различном расположении атомов друг относительно друга внутри малого объекта. Будет показано, что наличие другого атома существенно изменяет амплитудно-фазовое распределение светового поля в волновой зоне по сравнению с известным распределением отдельного диполя [19]. Это, а также другие оптические свойства малого объекта, составленного из двух дипольных атомов, мы будем относить к проявлению эффекта ближнего поля.

Теоретическому исследованию проблемы двух атомов в поле излучения посвящено большое число работ. Фактически, с решения этой проблемы начинается развитие теории оптического сверхизлучения [69], а также вывод интегральных уравнений распространения электромагнитных волн в среде [52, 70]. В отличие от [52], где рассматривается коллективное спонтанное излучение двух атомов и кинетика этого процесса, здесь изучаются особенности взаимодействия двух атомов с классическим полем световой волны. В данной главе теоретически исследована роль эффекта ближнего поля в системе электродиполъных атомов, взаимодействующих с полем интенсивной и пробной световой волны в области изолированного резонанса. Система атомов рассматривается как малый объект, линейные размеры которого значительно меньше длины световой волны. Выполнено численное исследование полей внутри и вне объекта и показано, что поле вне объекта существенно зависит от межатомного расстояния, ориентации системы относительно волнового вектора падающей волны, от частоты электрического поля, от значений дипольных моментов атомов, разброса собственных частот и т.д. Это, с нашей точки зрения, открывает большие возможности в разработке нового оптического метода исследования физических процессов в малых объектах.

4.2 Малый объект в слабом поле внешней световой волны

4.2.1 Основные уравнения

Микроскопическое поле световой волны Е(г, £) в некоторой точке наблюдения г в момент времени % определим с помощью следующего уравнения [19]: 2

Е(М) = Е,(М) + (4.1) и ъ где Е/ОМ) - напряженность электрического поля внешней световой волны, распространяющейся со скоростью света с, ру - индуцированный дипольный момент ¿-го атома, который будем рассматривать как линейную функцию поля Е(гу, 2 — Л] ¡с) в месте расположения ¿-го атома. Расстояние Щ = |г — г; |, где г;- - радиус-вектор ¿-го атома относительно начала системы координат, помещенного в центре одного из атомов, например, атома 1. Дифференцирование в (4.1) производится по координатам точки наблюдения. В частном случае, когда точка наблюдения находится в месте расположения одного из атомов, мы получим из (4.1) систему двух уравнений для неизвестных величин Е(г1,£) и Е(г2,£). Определив эти величины, можно с помощью уравнений (4.1) найти поле и в других точках наблюдения.

Уравнение (4.1) необходимо дополнить уравнениями для атомных переменных. Будем рассматривать атомы как лоренцевские осцилляторы [60]. В этом случае вектор индуцированного дипольного момента р;- примет вид: р;- = е(и;- - гу;-)ехр(-10>£) 4- к.с., з = 1,2. (4.2) где е - заряд электрона, ш - частота колебаний осциллятора. Величины и V; зависят от местоположения атома, а также зависят от времени, так как собственные частоты и>\ и о>2 атомов отличаются от частоты ш поля внешней световой волны. Однако величины и? и уу будут изменяться со временем медленно, если разности ш — щ жш — ьог малы. В этом случае справедливы следующие неравенства: йу| < I, |йу| < о>2|иу|, |уу| < |уу| < Ш2|уу|.

Эти условия позволяют представить уравнение движения ¿-то диполя

2 е2

Р; + -РУ + = —

70 ТП га - масса электрона, ~ - относительная скорость затухания энергии изолированного диполя [60]) с помощью следующего уравнения: = - У К- - ¡V,) + 1«„Е„;, (4.3) где ко = е/тш, Е0у определим из выражения для поля

Е(гу, г) = Е0(гу) ехр(-Ы) + к .е., (4.4) как Е0у = Ео(гу). Здесь 1/Т - полная скорость затухания осциллятора, которая может отличаться от скорости затухания изолированного осциллятора, Ду = Ш} — и - отстройка от резонанса.

Уравнения (4.3) и (4.1) образуют замкнутую систему уравнений, где самосогласованным образом учтено взаимное влияние поля и атомов. При этом [19] г^го+Р/ 3 ([ру] пу) пу - [ру] з ([ру] пу) пу - [ру] тоЬто% = Щ + Щ +

Р;] Пу) П; ~ [Р;] щ » (4-5) где символ [.] означает, что соответствующая величина определена в момент времени I — Я/с, пу = Ну/Лу. В частном случае, когда точка наблюдения совпадает с местоположением одного из атомов, величина

Щ представляет собой межатомное расстояние II. Первое слагаемое в (4.5) соответствует кулоновскому полю диполя, а остальные слагаемые соответствуют запаздывающему полю диполя в точке наблюдения г. Поле (4.5) является поляризующим полем ¿-го диполя, которое по физическому смыслу отличается от рассеянного поля [52, 70]. Ниже будет исследовано пространственное распределение кулоновского и запаздывающих поляризующих полей в различных точках наблюдения при самосогласованном взаимодействии двух диполей, используя стационарное решение уравнения (2.5).

4.2.2 Электрическое поле световой волны внутри малого объекта

Помещая начало координат в точку Г1, имеем: Г1(0;0;0) и Г2(0; Щ 0). При таком выборе системы координат получим следующую систему уравнений для неизвестных значений полей Е(гь<) и Е(гг,£) в месте расположения каждого из атомов при г Ф у.

ГУ, -А Г» ,4 , - \рЛ , Щ]Уо - [Р;] , [Р?]Уо - [Р;] Щтьг) = ЪАтьг) +-^-+-—2-+ с2д—, (4.6) где уо - единичный вектор в направлении оси у. Пусть внешнее поле имеет следующий вид:

Е/(г;, г) = Ео/ ехр р(к0г,- - оЛ)] + к.с., (4.7) где Ео/ - постоянная амплитуда, ко - волновой вектор, модуль которого равен к0 = из/с. При этом индуцированные диполъные моменты и поле в точках Г1 и Г2 определяются выражениями (4.2) и (4.4), где р0у = = е(иу — п^-) и Еоу - являются комплексньши величинами.

Подставляя (4.7), (4.2) и (4.4) в уравнение (4.1) и выделяя одинаково осциллирующие множители, получим в случае стационарного решения уравнения (4.3) следующее равенство:

Ро; = ауЕоу, (4.8) где е2 а,- =

3 2тш]-ш2-2ш/Т - поляризуемость ¿-го атома [19].

Подставляя (4.8) в систему уравнений (4.6) и после соответствующих преобразований получим следующие связанные уравнения: «1 {Еу01 + 2(7рЬ ехр(1коЯ)} , (4.9) а2 {Еу01 ехр(1к0К) 4- ехр(1А?0#)}, А = «1 - ^Рог ехр(1*0Я)} , (4.10)

Р02 = <*2 {^о/ ехр(1к0К) - ехр(1&0#)} , /? = г где

У-» • Р—

Системы алгебраических уравнений (4.9), (4.10) являются линейными, поэтому найти их решения можно любым из стандартных методов. В итоге приходим к таким формулам для неизвестных величин:

1 + 2а2Сехр р(*0Д + к0К)] ^ " 1 - 4а1а2аЧхр(12к011) ^ (4Л1) в 1 - о^ехр [[{крЯ + к0II)] ^ ™ ~а1 1 - аг^РЧхр^коЯ) и ехр(1к0К) + 2а1^ехр(1А?0Д) ^ Го2~а2 1-4в1ва^ехр(1%Л) ехр(1коК) — О!1^ехр(^ой) ~ 1 - ¿ад^ехр^оД) 0/" Соответствующие выражения для напряженностей полей легко найти, если воспользоваться формулой (4.8).

Таким образом, найдено решение самосогласованной задачи в случае, когда внешнее поле создается плоской волной с частотой а?.

Прежде чем вьшисывать формулы для поля на каждом из атомов сделаем еще одно упрощение. Пусть собственные частоты атомов будут одинаковыми, то есть — иэъ — щ. Тогда а\ = «2 = а и с помощью формул (4.11) находим выражения для комплексных амплитуд поля на каждом из атомов: р» 1 + 2а£ехрР(Ыг + к0К)]

Ьо1~ 1-4а*С*ехр({2 к0Я) К } р 1 - о^ехр + к0Н)] «

01 ~ 1-<№ехр(12Ыг) 01' ру - 1 + 2в^ехр[1(&0Д - к0К)] у рР - 1 ~ Д-Рехр [1{к0Я - к0К)]

Е02 - ШГ М 0 ) ог

Таким образом, из формул (4.12) видно, что поле в месте расположения атомов, вообще говоря, не совпадает с внешним полем. Все определяется величиной факторов аР и которые зависят от частоты внешнего поля и расстояния между атомами. Поля (4.12) совпадают с внешним полем только в том случае, если каждый из указанных факторов намного меньше единицы. Последнее условие может выполняться, когда либо расстояние между атомами достаточно большое, либо частота внешнего поля значительно отличается от резонансной частоты.

Свяжем комплексные амплитуды полей на каждом из атомов друг с другом. Это можно сделать следующим образом:

Бог = (Е^х о + о) ехр(йгД) + Еу01 ехр №Я)у0, (4.13) где хо,уо,2о " орты системы координат, к0В. 1 1 - аРехр р(к0Я - к0К)] г~ К К 1 - а^ехр + к0К)] * { } fe - 1 Ln1 + 2aGexp ~ k°R)1 l~ R R П1 + 2cüGexp[i(koR + koR)]'

Выражение (4.13) при учете формулы (4.4) означает, что поле в системе

- это суперпозиция двух волн: поперечной волны с волновым вектором кг и продольной волны с волновым вектором к/. Направление каждого из указанных векторов совпадает с направлением оси у.

Остановимся на вопросе о причинах возникновения продольной волны. Из формулы (4.13) следует, что продольная волна имеет место всегда, когда отлична от нуля у-компонента комплексной амплитуды поля на первом атоме. Теперь, обращаясь к формулам (4.12), легко сделать вывод, что указанное условие выполняется, если не равна нулю у-компонента внешнего поля. Таким образом, если, например, волновой вектор падающей волны ко параллелен оси у, то в системе распространяется только поперечная волна. Необходимо заметить, что ситуация, когда в системе распространяется только продольная волна, вообще невозможна, так как в этом случае Eq¡, Eqj равны нулю, что означает равенство полей на атомах, которое, в свою очередь, означает, что в системе не распространяется никаких волн.

Далее будем считать, что шо = 2.9-1015 с-1, 1 /Т = 108 с, R = 1 нм.

4.2.3 Законы дисперсии для продольной и поперечной волн внутри малого объекта

Исследуем зависимость величин кт и к\ от частоты. Для удобства будем изучать зависимость от модуля вакуумного волнового вектора ко. Вначале рассмотрим зависимость кг от ко. Формула (4.14) дает зависимости для действительной части к'г и мнимой части к" волнового вектора kr. Обе зависимости приведены на рис. 4.1.

Как видно из рис. 4.1а, величина к'т значительно изменяется, когда 919 < ко < 922 • 10-W1. Так как к' убывает при увеличении к0, то к',ям'1 к"\ О-4 нм-1 оЛО^нм"1 б

Кшг1 к"\ог5 нм"1

Рис. 4.1. Законы дисперсии для поперечной (а) и продольной (б) компонент волнового вектора электромагнитной волны, распространяющейся внутри системы: кривые (1) соответствуют величинам к{, к', а кривые (2) - к", к". Угол между волновым вектором ко и осью системы равен 45°. дисперсию такого типа можно назвать отрицательной [19]. Величина к" также сильно изменяется в этой области. Знак к" положителен, что соответствует поглощению поперечной волны.

Зависимость к\ от ко (рис. 4.16) подобна зависимости, которая только что рассматривалась. Однако, имеются некоторые важные особенности. Во-первых, дисперсия величины Ц является положительной [19], во-вторых, величина к'{ имеет отрицательный знак, что соответствует усилению продольной волны.

Представляет интерес зависимость закона дисперсии от расстояния между атомами. При увеличении последнего области, в которых происходят существенные изменения кг и к\, приближаются друг к другу. Значения же самих указанных величин приближаются к их вакуумным значениям.

Остановимся теперь на вопросе о том, как меняется закон дисперсии для величин к", к'{ при изменении угла между осью системы, то есть осью у, и волновым вектором падающей волны. При увеличении этого угла от 0° до 90° наблюдается уменьшение ширины резонансных кривых и одновременное увеличение максимума модуля соответствующих величин. Изменения могут быть весьма существенными. Так, если угол « 0, то максимум \к"\ равен 8 • 10""5нм~1, а при увеличении угла до 85° соответствующий максимум увеличивается до 3 • 10~4нм-1.

4.2.4 Электрическое поле световой волны вне малого объекта

Подставим выражения (4.11) в уравнение (4.1) и найдем поле световой волны в точках наблюдения вне малого объекта. В этом случае функция Грина ехр {\к0В)/Щ связывает ¿-ый индуцированный диполь и точку наблюдения г вне малого объекта.

Рассмотрим поле световой волны, в волновой зоне по отношению к началу системы координат, помещенному в месте расположения 1-го атома. Предположим, что размеры объекта значительно меньше длины световой волны, поэтому выполняется приближенное равенство Щ « г, где г - расстояние от начала системы координат до точки наблюдения. Будем также считать, что внешняя волна линейно поляризована в плоскости, содержащей оба атома.

В волновой зоне, для которой г » к^1, основную роль играют запаздывающие члены выражения (4.5), обратно пропорциональные первой степени относительного расстояния г. Остальные члены (4.5), как легко в этом убедиться, дают пренебрежимо меньший вклад. Поэтому в волновой зоне имеем для напряженности электрического поля световой волны следующую формулу: к2

Е(М) = Е/(г,*) + — [п х [р х п]1 ехр(ад) + к.с., (4.15) г где п = г/г - единичный вектор, направленный от малого объекта к точке наблюдения, р = Р1 + Рг - результирующий дипольный момент объекта. Вектор р легко найти, используя формулы (4.11). Учитывая, что величины рх и являются гармоническими функциями времени, приходим к следующей формуле для р: р = Ро ехр(—+ к.с., где

Л - С1 + ехрркоН]) ^ Ро~1 + оГехр(1*оД) 0/< Конец вектора р в общем случае описывает эллипс в пространстве [58], поэтому мы можем представить вектор ро, определяемый формулами

4.16), в виде:

Ро = (Ро + 1Ро)®Ф(-*>), (4.17) где р'о, ро - два взаимноперпендикулярных вещественных вектора, <р -некоторое действительное число. Процедура нахождения векторов р'0 и р'о описана в [58].

Подстановка выражения (4.17) в формулу (4.15) приводит к тому, что поле в волновой зоне раскладывается на две линейно поляризованные волны, плоскость поляризации и амплитуда которых определяются векторами р'0 и р'0'. Численный анализ показывает, что величина |Ро|/|Ро'| во всем оптическом диапазоне намного меньше 1, поэтому можно с большой точностью считать, что исследуемое поле полностью определяется вектором р'0. Последнее означает, что поле в волновой зоне является линейно поляризованным. Однако, в отличие от случая, когда поле в волновой зоне создается одним диполем, ориентация вектора р'0 зависит от частоты внешнего поля. Из рис. 4.2 видно, что угол между вектором, определяющим поляризацию внешней волны, и вектором Ро существенно изменяется в некоторой области изменения

Таким образом, по отношению к полю, создаваемому в волновой зоне, пара атомов ведет себя как диполь, ось которого может менять свое положение в пространстве при изменении частоты внешнего поля.

Остановимся теперь на амплитудных характеристиках поля. Анализ зависимости модуля вектора р'0 от величины ко (одна из таких зависимостей представлена на рис. 4.3) показывает, что она всегда имеет два максимума, которые расположены по разные стороны от максимума, который возникал бы в случае одного атома. Разница между значениями ко, соответствующими этим максимумам, зависит от межатомного расстояния. При увеличении последнего она уменьшается, а значение самих максимумов увеличивается. Нужно заметить также, что при изменении угла между векторами ко и К ширина и величина каждого из пиков изменяются, так, например, если этот угол равен

0?град

АоЛО^нм"1

Рис. 4.2. Зависимость деполяризации от волнового числа падающего излучения. 0 - угол между вектором С, определяющим поляризацию внешней волны, и рд, задающим направление колебаний наведенного дипольного момента малого объекта. Соответствующая зависимость для одиночного диполя совпадает с осью к0. отн.ед.

105 104 103 102 10 1 ю-1

10"2 ю-3

1СГ4

10

-5

850

J1 1

1 I 1

890 1

930 оЛО^НЫ"1

Рис. 4.3. Зависимость амплитуды наведенных дипольных моментов малого объекта (2) и одиночного диполя (1) от волнового числа

Угол между волновым вектором к и осью системы равен 45°.

О или 90°, то остается только один из пиков. Это означает, что один из пиков возникает благодаря продольной волне, а другой - благодаря поперечной.

4.3 Малый объект в сильном поле внешней световой волны

4.3.1 Основные уравнения

Рассмотрим теперь взаимодействие малого объекта со световой волной, интенсивность которой не мала. В этом случае для описания поля мы будем использовать уравнение (4.1), а материальные уравнения (4.3) заменим уравнениями, в основу которых положены квантовые представления о веществе.

Представим внешнюю световую волну в виде: где е - единичный вещественный вектор поляризации, Е0/ - амплитуда волны. Тогда дипольный момент $-го атома определим следующим образом: где с!;- - матричный элемент дипольного момента перехода между двумя выбранными квантовыми состояниями j-тo атома. Величины иу и в (4.19) удовлетворяют следующим уравнениям [30,60]:

Е/(г,г) = еЕо! ехр (~1[коГ — а4]) + к.с

4.18)

Р; = ~ + ехр(1а;^) + к.с.,

4.19)

4.20) где Щ] - частота резонансного перехода в спектре ¿-го атома; - инверсия квантовых состояний ¿-го атома, связанных резонансным переходом; шо - начальное значение инверсии; Т1ЖТ2- времена релаксации [60]. Величины Е'0;- и Е^- представляют собой действительную и мнимую части амплитуды электрического поля на ¿-ом атоме

Е(г;-,$) = (Е'0;- 4- 1Е'о;-)ехр(1о;^) + к.с. (4.21)

Вывод этих уравнений основан на гамильтонианах двухуровневых атомов в приближении вращающейся волны. Для ¿"-го атома оператор Гамильтона имеет вид:

Ну = ±Нш0а3 - ±((<^.) + 1(с1;-Е».))е^а 1(фЕ^))е-Ы(7+, (4.21а) где а± = 01 ± 1<Т2, ^ъ 0з - матрицы Паули. Работая в представлении Гейзенберга, можно получить из (4.21а) замкнутую систему уравнений для < >, < о"з >, где индекс э связан с различной зависимостью операторов от времени. Далее, используя преобразование 4 >= (Ч? ± Ц)е±ы, < 4 >= легко получаем (4.20), при этом диссипацию в системе атомов мы учитываем феноменологически, вводя времена релаксации Т\ и Т^.

4.3.2 Электрическое поле световой волны внутри и вне малого объекта

Будем исследовать только установившиеся процессы, то есть положим, что время, прошедшее с момента включения внешнего поля % » 71, Т^ и поэтому = V] = = 0. Это ограничение позволяет, используя уравнения (4.20), выразить атомные переменные через полевые:

Щ = -Щ>(Е'0}.(ш - щ)Т'2 + ЕЦ.) /Ду, (4.22)

V] = (Е^- + ^-(о; - о*,)!*) /Д;-, ю,- = ш0 (1 + («ь - а;)2 (Т2)2) /Д,, где ДУ = 1 + (ш0 - и)\ЦУ + ТгЩ ((Е'0;)2 + (Е^)2) , к,- = Ме,-/Л. Здесь, имея ввиду дальнейшее рассмотрение, мы ввели следующие упрощения:

01 = ¿¿02, = й2 = <1, Е'0;-||Ео;-||е;-, где е; - единичный вектор, задающий поляризацию электрического поля ¿-го атома.

Помещая начало координат в точку п, имеем: Г1 (0; 0; 0) и Г2(0;й;0). Положим также, что волновой вектор ко внешней волны (4.18) направлен по вектору Г2, а вектора е и параллельны вектору с1. В результате, учитывая (4.19), (4.21), получим из (4.1) следующие уравнения для точек наблюдения на атомах при 3 ф ъ:

Е^ + = Е01 ехр(-1 коч) + + щ) ехр(-1*0Д), (4.23) 1 где А — — в, - модуль вектора дипольного момента перехода.

Таким образом, так как величины щ и V, выражаются через полевые переменные (4.22), то мы имеем систему двух комплексных нелинейных алгебраических уравнений.

В случае слабых полей, определяемых неравенством

ТгТ^\Ео1\2 < 1, система (4.23) переходит в линейную алгебраическую систему. Решения этой системы были подробно исследованы в первой части этой главы.

Пусть теперь поля не слабые. Будем считать, что резонансная частота перехода щ = 2.9 • 1015 с-1, времена релаксации Т\ = 10~3 с и Гз = Ю-8 с, d = 4.8 • Ю-21 CGSE. Тогда численно решая систему уравнений (4.23), мы получаем зависимость комплексной амплитуды электрического поля на каждом из атомов от волнового числа ко при фиксированных значениях амплитуды поля внешней световой волны и расстояния между атомами (рис. 4.4). При определенных значениях Eoi и R эта зависимость представляет собой многозначную функцию, то есть некоторым значениям ко соответствует несколько значений амплитуды электрического поля на атомах или несколько состояний поля. Это явление известно под названием "оптическая мультистабиль-ность". Переход системы в то или иное состояние определяется состоянием системы в предшествующие моменты времени, то есть имеет место явление гистерезиса. Положим R = Ihm, тогда численное исследование решений системы (4.23) показывает, что мультистабиль-ность имеет место при внешних полях, определяемых неравенством: КГ3 < \Eoi\ < 1CGSE.

Исследуем связь между электрическими полями на атомах. Поле на 2-ом атоме определим через поле на 1-ом с помощью следующей формулы:

Ео2 = Eoi exp(ifcÄ), (4.24) где Eoj = E'Qj -j- iE"j, к - комплексное число. Выражение (4.24) с учетом (4.21) позволяет сделать вывод, что в исследуемой системе, находящейся во внешнем поле, распространяется поперечная электромагнитная волна, с комплексным волновым вектором k = (fc'+ifc")yo, где у0 - единичный вектор, направленный вдоль оси у. Величина к' характеризует изменение фазы, к" - изменение модуля амплитуды электрического поля при переходе от одного атома к другому. На рис. 4.5 представлены законы дисперсии этих величин. Из вида зависимости к"(ко) можно

Е0\1Е01

Рис. 4.4. Зависимость электрического поля на первом атоме от волнового числа внешней волны, которая распространяется вдоль оси системы. а

Рис. 4.5. Законы дисперсии для мнимой (а) и действительной (б) частей волнового вектора к волны, распространяющейся внутри малого объекта вдоль прямой, проходящей через оба атома. сделать вывод, что в системе при фиксированном значении волнового числа внешней световой волны могут распространяться три типа волн. Для волн первого типа к" = 0, что означает равенство модулей электрических полей на атомах. Волны второго типа имеют к" > 0, то есть модуль амплитуды поля на 1-ом атоме больше, чем на 2-ом. Наконец, для волн 3 типа к" < 0, модуль амплитуды поля на 2-ом атоме больше, чем на 1-ом.

Волны первого типа были исследованы в работах [12,71]. Они распространяются в системе без затухания. Волны второго и третьего типов могут как поглощаться системой, так и усиливаться ей: если к' • к" > 0, то волна поглощается, в противном случае имеет место усиление.

Используя найденные значения электрических полей и выражения (4.22), определим дипольный момент з~то атома по формуле (4.19). Далее, подставив выражения для дипольных моментов в (4.1), найдем поле световой волны вне малого объекта.

Рассмотрим поле световой волны в волновой зоне по отношению к началу системы координат, помещенному в месте расположения 1-го атома. Это поле, как видно из (4.15), определяется амплитудой суммарного дипольного момента малого объекта ро. Далее мы изучим зависимость |ро| от величин ко и |Д)/|.

Как и в случае слабых полей зависимость |ро| от волнового числа имеет два характерных максимума. Однако в данном случае каждый из максимумов имеет внутреннюю структуру, и его величина зависит не только от угла падения, но и от интенсивности внешнего поля. На рис. 4.6 приведена одна из таких зависимостей. Угол падения внешнего поля равен 0, что является причиной наличия только одного максимума. Зависимость не является однозначной: одному значению волнового числа соответствует несколько значений поля в волновой зоне. При

2р0/4Ю3

0,1(Г5нм1

Рис. 4.6. Зависимость дипольного момента малого объекта от волнового числа. Амплитуда внешнего поля равна Е01 = 0.5 С08Е. заданном значении Eqi = 0.5CGSE неоднозначность имеет место, если расстояния между атомами R < 2.5нм.

На рис. 4.7 представлена зависимость |ро| от интенсивности внешнего поля для ко = 10001 • 10~6нм-1 и R = Ihm. Как видно из рисунка, мультистабильность имеет место, если поля лежат в диапазоне 10"3 < |£0j| < 1CGSE.

Таким образом, изучая взаимодействие малого объекта с оптическим излучением, показано, что несмотря на то, что размеры малого объекта намного меньше длины волны излучения, электрическое поле внутри и вне малого объекта имеет ряд особенностей, которые делают возможным изучение структуры малых объектов с помощью оптического излучения. Эти особенности можно сформулировать следующим образом:

1. Электрическое поле внутри и вне малого объекта может быть сравнимо или в несколько раз превышать внешнее поле.

2. Электрическое поле внутри малого объекта неоднородно: а) если поля слабые, то различие модулей амплитуд электрических полей на атомах незначительны, а фазовые отличия могут быть любыми; б) если поля сильные, то как модули амплитуд, так и фазы электрических полей могут значительно отличаться друг от друга; в) неоднородность электрического поля можно характеризовать волновым вектором, при этом в случае слабых полей законы дисперсии действительной и мнимой частей волнового вектора напоминают соответствующие законы для непрерывных сред.

3. Направление колебаний суммарного дипольного момента малого объекта образует некоторый угол с направлением колебаний электрического вектора во внешней волне, который может принимать значения от 0 до 90°.

2р0/4ю3

Е01, СОБЕ

Рис. 4.7. Зависимость дипольного момента малого объекта от амплитуды внешнего поля при к0 —10001 * 10~* нм-1

4. Модуль амплитуды суммарного дипольного момента малого объекта, определяющий поле в волновой зоне, особым образом зависит от волнового числа внешней волны: а) эта зависимость имеет два характерных максимума, при этом, если угол падения излучения на малый объект равен 0 или 90°, то остается только один максимум; б) разность между волновыми числами, при которых модуль амплитуды суммарного дипольного момента достигает своих максимумов, зависит от расстояния между атомами.

5. Зависимость поля внутри и вне малого объекта в случае сильных световых полей от волнового числа имеет неоднозначный характер: при одном значении волнового числа возможны несколько значений поля. При этом, если при переходе от слабых полей к сильным зависимость электрического поля в волновой зоне от волнового числа существенным образом не изменяется, то неоднородность поля внутри системы приобретает новые черты.

Рассмотрение, представленное в данной главе, можно найти и в работе [72].

Глава 5

Эффект ближнего поля в квантовом компьютере

5.1 Введение

5.1.1 Экспоненциально сложные задачи и квантовые вычисления

Современные компьютеры гораздо быстрее старых, однако прогресс в этом направлении имеет предел. Во-первых, так как увеличение быстродействия классических компьютеров происходит в основном за счет уменьшения размеров электронных микросхем, то очевидным физическим пределом является компьютер, состоящий из микросхем атомных размеров. Однако эта граница не является четкой, так как при таких малых размерах работа компьютера должна быть основана на других физических принципах. Во-вторых, существует класс вычислительных задач, которые не могут быть решены на классическом компьютере. Про такие задачи говорят, что они имеют экспоненциальную сложность. Рассмотрим, например, задачу о разложении целого числа х на простые множители. Один из способов решения - это попробовать разделить х на числа от 2 до л/х. Если число х имеет п знаков в двоичной записи, то придется перебрать ~ л/х ~ вариантов. Существует более удачный алгоритм, решающий ту же задачу примерно за ехр(п^3) шагов. Однако даже в этом случае, чтобы разложить на множители число из миллиона знаков не хватит времени жизни Вселенной [73].

Моделирование квантовой системы на классическом компьютере также является экспоненциально сложной задачей. Действительно, рассмотрим, например, систему из п спинов. Каждый спин обладает двумя базисными состояниями (0="спин вверх" и 1="спин вниз"). Вместо спина может быть рассмотрена любая двухуровневая квантовая система. Таким образом, вся система имеет 2п базисных состояний |ж1,.,жга >, где Х{ - 0 или 1. Согласно общим принципам квантовой механики произвольное состояние системы имеет вид:

2*-1

Ф = ст\т >, то=О где \т > - базисное состояние |жтх,>, .,хтп - число га в двоичной записи. Квадрат модуля амплитуды, |ст|2, равен вероятности обнаружить систему в базисном состоянии | т > при определенных измерениях. Следовательно, £ |ст|2 = 1. Итак, общее состояние системы спинов - это вектор в 2и-мерном комплексном пространстве. При п = 2 получаем:

Ф = с0|00 > +С1|01 > +с2|10 > +с3|11 > .

Изменение состояния Ф со временем описывается уравнением Шредин-гера: дФ

Ш- = Н», где Н - унитарная матрица размера 2® х 2п (оператор Гамильтона). Пусть нам известно состояние системы спинов в момент времени тогда, состояние системы в момент времени I + Л, где 5% <С Л/||Н||, определяется так: st)«(i - ¿лшл, n

Таким образом, изменение состояния квантовой системы за малый промежуток времени определяется унитарным преобразованием U = 1 — i®St. Если же мы хотим определить изменение состояния за произвольный промежуток времени г, то нужно поступить следующим образом. Произвольный интервал времени т мы должны разбить на столько частей N, чтобы соответствующий элементарный интервал St = т/N удовлетворял условиям малости. Тогда состояние системы в момент времени t + т определиться iV-кратным действием оператора U, то есть т) » и*Ф(t).

Для вычисления произведения двух матриц размера 271 х 2п нужно провести 2п - 2п • 2п = 23п элементарных операций умножения и (2п-1)'2п'2п = 23п-22п элементарных операций сложения, то есть всего 23п - 22п ~ 23п операций. Если нужно найти произведение N матриц, то количество операций увеличивается в N раз. Таким образом, с увеличением числа взаимодействующих спинов число операций возрастает по экспоненциальному закону. Это приводит к тому, что на классическом компьютере моделирование квантовых систем, состоящих более чем из 10 спинов практически невозможно.

Итак, решение целого класса задач, в особенности задачи эволюции квантовой системы, на обычном компьютере практически невозможно. Это связано, прежде всего, с простотой принципов, лежащих в основе этого компьютера. Основной единицей информации в классическом компьютере является бит - физическая система, которая может быть приготовлена в одном из двух возможных состояний, которые обозначаются "0" и "1" (true и false). Роль бита может играть, например, конденсатор: заряженный конденсатор - "1", незаряженный - "О".

В принципе, любая квантовая система с двумя базисными состояниями, |0 > и |1 >, также может быть использована как бит. Однако квантовая система помимо базисных состояний может находиться в любом суперпозиционном состоянии: с0|0 > +ci|l >. Это наталкивает на мысль, которая впервые была высказана Фейнманом [74], о возможности использования этого особого свойства квантовых систем для создания вычислительного устройства нового типа. Устройства, основанные на этой идее, получили название квантовых компьютеров. Информация в квантовом компьютере представляется с помощью ку-битов - квантовых систем с двумя базисными состояниями. Это могут быть спины, двухуровневые атомы и т.д. В работах [75-77] было показано, как проводить обычные вычисления на некоторых квантовых устройствах. Однако проведение классических вычислений на квантовом компьютере само по себе не имеет значения, так как не приводит к увеличению быстродействия. Конечная цель здесь другая - создать универсальное вычислительное устройство, на котором можно будет моделировать работу любого другого устройства подобного рода, как классического, так и квантового. В 1985 году Deutsch [78] дал определение подобного устройства, которое было названо квантовой машиной Тьюринга. Позднее, в 1989 году, он сформулировал другую более удобную модель - квантовые схемы [79].

Представим себе, что в нашем распоряжении имеется п кубитов, каждый из которых идеально изолирован от окружающего мира. В каждый момент времени мы можем взять один из кубитов или пару кубитов и применить к ним любую унитарную матрицу размера 2 х 2 или 4x4, соответственно. Последовательность таких операций и называется квантовой схемой.

Таким образом, квантовая схема представляет собой своеобразную программу для квантового компьютера. Необходимым условием реализации этой программы является наличие базисных операций, с помощью которых можно осуществить любую другую совокупность операций. Доказано, например, что квантовая вычислительная машина может быть построена всего из двух элементов (вентилей): одноку-битового элемента Р (0,ч>) и двухкубитового элемента контролируемое НЕ. Матрица элемента Р имеет вид:

Р(0 р) = ( cosW2) —i ехр(—i<p) sin(0/2) \ -iexp(i<p)sin0/2 cos(0/2) J

Этот вентиль описывает поворот состояния кубита от оси * к полярной оси, заданной углами в ж (р. Если в = тг/2,^> = 0, то получаем однокубитовый логический элемент НЕ:

НЕ|0 >= |1 >, НЕ|1 >= |0 > .

Вентиль контролируемое НЕ исполняют, воздействуя на два кубита: посредством взаимодействия один кубит контролирует эволюцию другого. Действие этого вентиля можно представить с помощью таблицы:

00 >-*• |00 >,

01 >-> |01 >, |10 >-+|11 >, |11 >->> |10 > .

Другими словами, это операция трансформирует суперпозиционные состояния в перепутанные (entangled) и обратно. О системе кубитов, находящейся в перепутанном состоянии, можно говорить только как о целом, не зная при этом в каком состоянии находится каждый кубит. С этими состояниями связан вывод о нелокальности квантовой механики, следствием которой является явление квантовой телепортации

9]. Суть этого явления сводится к возможности мгновенной передачи квантового состояния на произвольное расстояние. Это свойство перепутанных состояний предполагают использовать и в квантовых компьютерах [9].

При рассмотрении вопроса о реализации квантового компьютера, в первую очередь исследуют реализуемость и свойства элементарных вентилей НЕ и контролируемое НЕ. В импульсной магнитно-резонансной спектроскопии переходы под влиянием внешних импульсов хорошо изучены, поэтому эти элементарные вентили могут быть легко реализуемы на совокупности спинов или двухуровневых атомов. Рассмотрению этих операций посвящены работы Deutsch [80], Lloyd [81], DiVincenzo [82] и Вагепсо [83].

5.1.2 Устройство квантового компьютера и квантовые алгоритмы

Квантовые компьютеры - физические устройства, выполняющие логические операции над квантовыми состояниями путем унитарных преобразований, не нарушающих квантовые суперпозиции в процессе вычислений.

Весьма упрощенно работа квантового компьютера может быть представлена как последовательность трех операций:

1) приготовление начального состояния;

2) вычисление - совокупность унитарных преобразований;

3) вывод результата - измерение, проецирование конечного состояния.

Проиллюстрируем работу квантового компьютера на примере решения задачи факторизации большого га-значного числа, то есть разложения его на простые множители. Как уже говорилось, время необходимое для решения этой задачи на классическом компьютере растет с ростом длины п факторизуемого числа по закону ехр(п^3). Шор [84] нашел алгоритм, основанный на особенности квантовых вычислений, уменьшающий рост этого времени до полиномиального (га2).

Алгоритм решения задачи факторизации основан на сводимости ее к нахождению периода вспомогательной функции: лг(я) = ахто&Ы, где N - факторизуемое число и а < Ы, ахтос1АГ - остаток от деления ах на N. Шор показал, что процедура нахождения периода функции с помощью квантовых вычислений значительно упрощается. Рассмотрим подробно каждый шаг вычислительного процесса [9].

Вначале, приготовим 21 кубитов в основном состоянии. Первые I кубитов образуют ж-регистр, который будет использоваться для записи аргументов периодической функции. Этот регистр содержит IV = 21 возможных состояний, которые мы обозначим через \п >х. Оставшиеся кубиты образуют у-регистр, базовые состояния которого будем обозначать через |т >у. В этот регистр будут записываться значения функции /м(х).

Далее, переведем систему кубитов в состояние однородной суперпозиции

I» >• 1° >3/ •

Этого можно добиться, применив к каждому кубиту ж-регистра оператор Адамара, действие которого можно определить так:

Н|0 >= > +|1 >), Н|1 >= ±(\0 > -|1 >).

Теперь подействуем одновременно на оба регистра, используя преобразование Ц/|п >я |0 >у= |п >х |//у(п) >у. Здесь унитарный оператор II/ должен быть представлен в виде произведения операторов, которым соответствуют матрицы размера 2 х 2 и 4 х 4. Последние могут быть выполнены последовательным воздействием на отдельные кубиты или пары кубитов. В итоге от состояния Ф1 переходим к новому состоянию: ф2 = и/Ф1 = -=^\п>* \Мп) >у •

Vй" ¡3!

Заметим, что оператор И/ действует одновременно на все члены суперпозиции, поэтому за один шаг вычислительного процесса мы получаем значение искомой функции при всех значениях аргумента п = 0,1, — 1. Этот факт получил название квантового параллелизма.

Следующий шаг - это выполнение дискретного преобразования Фурье над состояниями ж-регистра. Соответствующее унитарное преобразование 1 ^ (2ткп\.1 . ехр (~йг) Л1» з=0 к=0 4 / примененное к состоянию Ф2, приводит к новому состоянию обоих регистров

КГ-1 г

Фз ~ ]С X) Акт\к >х \Ыт) к=0 т-О где г - неизвестный период 2тг\Щг + т) (2ткт\ ехр ) - 1 2 еХР-*-= еХР ЬН ехр(^) - 1 < от —

IV г 0(1Утос1г — ш),

1, г > о

- операция выделения целой части, #(£) = < - функция

О, *<о

Хевисайда. Величина Акт, как легко видеть, имеет максимум при к = рУУ/г, где р - целое число.

Теперь проведем измерение в системе кубитов, находящихся в состоянии Ф3. Результатом одного или нескольких измерений состояния ж-регистра будут значения приблизительно кратные W/r, так как амплитуда Akm локализована вблизи этих значений. Пусть к - результат измерения и к = где р - неизвестное целое число. Тогда возможны два случая. Если риг не имеют общего множителя, то, деля к на W, мы однозначно определяем несократимую дробь р/г, а следовательно и г. Если жериг имеют общий множитель, который маловероятен для больших г, то процесс вычисления нужно повторить. Повторяя вычисления много раз, мы получаем правильный результат с вероятностью близкой к единице [85].

Теория квантовых вычислений находится на стадии становления, поэтому число задач, для которых придуманы квантовые алгоритмы решения, пока невелико. Помимо задачи разложения большого целого числа на простые множители следует отметить еще две важные задачи: моделирование квантовой системы и поиск нужной записи в неупорядоченной базе данных [86]. По поводу первой задачи известно, что существует класс квантовых систем, которые можно моделировать на квантовом компьютере за полиномиальное число шагов. Таким образом, решение этой задачи будет представлять немалую ценность, так как позволит предсказывать свойства молекул и кристаллов. Решение второй задачи также представляет некоторую ценность. Однако здесь выигрыш не так велик: для нахождения одной записи из п требуется ~ s/n операций на квантовом компьютере и п операций на классическом.

5.1.3 Квантовый компьютер и физические проблемы

Основной проблемой на пути создания квантового компьютера является быстрый распад суперпозиционных состояний и превращение их в смесь. Это явление называется декогеренцией. Оно накладывает основное требование на физические элементы, которые предполагается использовать в квантовых компьютерах: время, в течение которого состояния остаются когерентными, должно быть больше времени вычисления. Избежать распада когерентности можно двумя способами: либо найти квантовую систему максимально изолированную от окружения, либо искусственно увеличить время когерентности. Далее мы рассмотрим примеры квантовых систем, которые в настоящее время предлагается использовать в квантовых компьютерах.

Начнем с рассмотрения полевых квантовых систем. Изоляция мод поля возможна в высокодобротных микрорезонаторах оптического [87] и микроволнового [88] диапазонов. В этих резонаторах, размер которых порядка миллиметра, суперпозиционные оптические состояния могут сохраняться в течение времени от секунд до микросекунд при изменении числа фотонов в моде от единиц до 100 для микроволнового диапазона. Другой метод изоляции связан с использованием трехмерных периодических диэлектрических структур - фотонных кристаллов. Фотоны определенной полосы частот, попав в такой кристалл, оказываются идеально "запертыми" в нем. Локализация фотонов в фотонных кристаллах настолько велика, что при взаимодействии с ними отдельного атома должно наблюдаться явление замораживания спонтанного распада и безинверсная генерация когерентного монохроматического субпуассоновского излучения [89].

Рассмотрим теперь способы изоляции отдельных массивных частиц: атомов, молекул, ионов и т.д.

1. Квадрупольные ловушки для ионов, ловушки Пауля [90]. На охлажденном ионе бериллия, например, был успешно реализован двухку-битовый квантовый логический вентиль [91].

2. Оптические ловушки для нейтральных атомов [92-93]

3. Методы матричной изоляции молекул в поликристаллических и аморфных средах [94].

4. Квантовые точки [85].

5. Ядерные спины молекул - еще один объект, который может быть использован для проведения квантовых вычислений. Времена сохранения когерентности в них могут достигать секунд и более. Используя большое число молекул, например, в растворе, можно работать с квантовыми регистрами с числом состояний 2%, где п - число спинов в молекуле, при этом число молекул в растворе ~ 1022 [95]. Молекулы могут рассматриваться как отдельный, уже существующий квантовый компьютер. Однако такие компьютеры по величине быстродействия еще далеко отстоят от классических компьютеров [96].

Рассмотрим теперь более конкретные проекты квантовых компьютеров, которые в случае их успешной реализации будут превосходить классические компьютеры по производительности при решении ряда задач.

Первая и наиболее хорошо разработанная идея - это ионы в ловушке [90]. В настоящее время уже достаточно хорошо освоена экспериментальная техника, позволяющая удерживать отдельный ион в ловушке из переменного электрического поля в течение длительного времени. Процедура управления состоянием отдельного иона разработан достаточно хорошо. Ион можно "охладить" до температуры ~ мкУ помощью лазерного луча. Подбирая длительность и частоту лазер импульсов, можно приготовить произвольную суперпозицию осн го и возбужденного состояний. В ловушку можно поместить д; большее число ионов на расстоянии нескольких микрон друг < и контролировать состояние каждого иона в отдельности. ( вать взаимодействие между ионами достаточно трудно. Длу предложено использовать коллективные колебательные 1

В связи с этим нужно отметить, что в высоко-добротных оптических резонаторах может быть достигнуто сильное взаимодействие между отдельным атомом и одной модой электромагнитного поля. Это взаимодействие можно использовать для осуществления квантовых операций с двумя кубитами - полевой модой и ионом. Требующееся сильное взаимодействие между полевой модой и атомом было продемонстрировано в работах Bruno [97] и Turchette [98]. Электромагнитная полевая мода может быть использована также для связи ионов внутри одной ловушки [99].

Американскими учеными D.P.DiVincenzo и D.Loss был предложен квантовый компьютер на основе двух квантовых точек [100]. Такие квантовые точки могут быть сформированы привычной сейчас технологией расщепленного затвора, размещенного над структурой с двумерным электронным газом. Размеры квантовых точек настолько малы, что в них помещается только один электрон. Роль кубита играет состояние спина электрона. Взаимодействие кубитов осуществляется с помощью управления прозрачностью потенциального барьера потенциалом расщепленного затвора. Барьер более низкий при положительном напряжении на затворе и более высокий при более отрицательном напряжении на затворе. Управлять состоянием отдельного кубита предлагается не с помощью локального магнитного поля, а используя перескок электрона на соседнюю ферромагнитную точку. Для измерения спина электрона предлагается два варианта. Первый - с помощью туннелирования электрона на парамагнитную точку. Она находится в переохлажденном состоянии, электрон вызывает спонтанную намагниченность в ней в направлении своего магнитного момента. Другой вариант использует туннелирование электрона через спиновый клапан - поляризатор - на соседнюю точку, заряд которой затем измеряется электрометром.

Пожалуй, наиболее реалистичный квантовый компьютер предложил В.Е.Капе [96,101]. Каждый кубит в нем реализован на основе отдельного атома изотопа фосфора - 31Р, ядро которого имеет спин 1/2. С помощью туннельного микроскопа атом помещается на поверхности кремния. Над ним располагается электрод, который управляет формой электронного облака. При взаимодействии с орбитальным моментом электрона спин ядра поляризуется. Управление спином ядра производится с помощью радиочастотных импульсов.

Таким образом, физическая реализация квантового компьютера -непростая задача. Помимо проблем, связанных с отсутствием хорошо отработанной технологии, имеются и другие задачи, которые требуют своего решения. Как и в классическом компьютере, в квантовом компьютере в процессе вычислений могут возникать ошибки. Первой причиной появления ошибок является недостаточная изоляция квантовой системы, кубита, от окружающий среды. Вторая, более важная, причина связана с тем, что любое унитарное преобразование можно реализовать лишь с некоторой точностью. Пусть 6 - точность каждого унитарного преобразования, тогда через ~ 5~г шагов вычислительного процесса вероятность ошибки станет порядка единицы. Эту проблему, к счастью, удалось решить, используя квантовые коды, исправляющие ошибки [73]. Окончательный вывод такой: существует пороговое значение точности ¿о, так что при 6 < 60 возможно бесконечно длинное квантовое вычисление, а при $ > 6о ошибки накапливаются быстрее, чем их удается исправлять.

5.1.4 Постановка задачи

В данной главе диссертации исследуется возможность создания двухкубитового квантового компьютера, роль кубитов в котором играют ионы Сг3+, находящиеся в матрице корунда А1203. В энергетическом спектре каждого иона имеется пара дискретных уровней, частота перехода между которыми соответствует оптическому диапазону. Это позволяет записывать информацию на выбранный ион-кубит стандартным способом, воздействуя на него последовательностью импульсов электрического поля соответствующей частоты и длительности, при этом другой ион должен быть помещен в постоянное электрическое поле, которое изменит его резонансную частоту. Однако в этой главе предлагается другой, принципиально новый, способ записи информации на кубиты, а также проанализирована возможность выполнения квантовых вычислений на системе двух кубитов, взаимодействие между которыми имеет радиационный характер. Положение, выносимое на защиту, можно сформулировать следующим образом: Предложена модель двухкубитоеого квантового компьютера, роль кубитов в котором играют два примесных атома в сверхтонкой пленке (Например, ионы Сг3+ в рубине). Показано, что можно записывать квантовую информацию на кубиты путем изменения угла падения внешнего квазирезонансного оптического излучения. Предлагается для выполнения квантовых вычислений использовать радиационное взаимодействие между атомами, а считывание информации производить с помощью пробного оптического излучения.

5.2 Основные уравнения

Рассмотрим два иона, расстояние между которыми Л. В области местоположения ионов плоской световой волной (4.18) создано переменное электрическое поле, частота которого близка к резонансным частотам ионов. Далее мы хотим исследовать зависимости инверсии населенностей атомных уровней, которая связана с вероятностями обнаружения атома-кубита в том или ином состоянии, от угла между направлением распространения внешней плоской световой волны и прямой, проходящей через оба атома.

Электрическое поле в месте расположения каждого иона определим с помощью уравнений (4.1), а связь поля с дипольным моментом зададим материальными уравнениями (4.20), при этом имея ввиду (4.18), (4.21) и (4.19).

Будем считать, что время, прошедшее с момента включения внешнего поля t » ТиТ2, то есть все протекающие в системе процессы можно считать установившимися. Это ограничение позволяет выразить атомные переменные через полевые. Действительно, положив в (4.20) щ = щ = Ш; = 0 и решая полученную систему линейных алгебраических уравнений, получим: и. = —щКх2

А/

V (еЕ^) - (а;оу- а;)(еЕу)

V} = УО,КТ2 "" '-(5.1)

1 + ((^-а;)Г2')2 у). = у}0-'-, где Ау = 1 + ((^о; - ш)Т2')2 + [(еЕо;-)2 + (еЕ;.)2], я = £.

При выводе этих выражений мы считали, что |вх| = |с12| = <2, а соответствующие вектора направлены вдоль вектора е.

Поместим начало координат в точку г^ В этом случае получим: (0; 0; 0) - координаты первого атома, (0; К; 0) - координаты второго атома. Положим, также, что векторы ко и е лежат в плоскости уг, а <р -угол между ко и осью у. Теперь, рассматривая (4.1) только для точек наблюдения на атомах,получим следующие уравнения:

Е'01{У) + {Е'^ = е^Е01 + \веЫ<1(и2 + и*)ехр(-1*оД), (5.2) хЕ"^ = е^Ео! + \ле^и{и2 + ш2)ехр(-1А?0й), 1

Е'02(у) + \е12{у) = е^£^ехр(-1коР2) + + т)ехр(-[к0Я),

Е'0 2{г) + 1Е12{2) = е^Е0/ехр(-1к0г2) + + ш^ехр {-1к0Я), где е = (0; -впкр; сову»), А = - + В = ^ + Подставляя (5.1) в (5.2), получим систему 4-х комплексных нелинейных алгебраических уравнений относительно такого же числа неизвестных.

В дальнейших расчетах мы будем использовать такие значения параметров, входящих в (5.1), (5.2):

Т\ = 1(Г3 с, Т'2 = 10"8 с, 6, = 4.8 - 1(П21 СОЭЕ, Я = 1 нм.

Исследуем решения системы (5.2) при произвольных значениях угла (р.

5.3 Инверсия населенностей атомных уровней в случае равенства резонансных частот атомов

Пусть шог/с = о>02/с = 0.01 нм-1. В этом случае, как показывает численный расчет, инверсии резонансных уровней на первом и втором атомах имеют одинаковое значение. На рис. 5.1 представлены зависимости и; = и?! = Ю2 от угла (р между вектором ко и осью у для различных значений амплитуды внешнего поля. Изменение угла приводит к существенным изменениям инверсии на атомах, что говорит о возможности записи информации на атомах малого объекта. При увеличении Е01 ширина области записи, то есть разность между максимальным и минимальным значениями инверсии вначале увеличивается до значения приблизительно равного 0.3, а затем уменьшается до нуля. Это свойство можно использовать для улучшения качества записи. ф,град

Рис. 5.1. Зависимость инверсии на атомах от угла падения излучения для случая, когда резонансные частоты атомов совпадают, к0 = 9.985 • 10~ 3 нм~1 и внепшее поле принимает ряд значений.

Существенные изменения w возможны только в том случае, если ко отличается от u>oi/c не более чем на 10~4 нм-1. Однако, если это отличие становится меньше чем 10~6 нм-1, то начинает проявляться мультистабильность: при заданных значениях параметров система имеет более одного решения, причем реализация того или иного физического состояния определяется значениями величин uj, vj, wj в начальный момент времени, то есть начальными условиями. На рис. 5.2 показаны соответствующие зависимости для этого случая. Здесь возможны два типа решений. Во-первых, есть решения, для которых инверсии на атомах различаются. Такие решения возможны для любого значения угла. Во-вторых, для углов 0 < ц> < 26 и 154 < ц> < 180 имеются решения с отличающимися значениями инверсии на атомах. Это позволяет записывать на атомах малого объекта неодинаковую информацию. Важно отметить, что наряду с решениями, для которых инверсия на 1-ом атоме больше, чем на 2-ом, имеются решения с противоположным отношением между инверсиями. Наличие таких решений следует уже из вида системы (5.2). Действительно, так как в нашем случае k0r2 <С 1, то можно приближенно положить e~lk°r2 = 1, а в этом случае, как легко видеть, система (5.2) переходит сама в себя при одновременной замене Е02 на Eoi, a Eoi на Е02

5.4 Инверсия населенностей атомных уровней в случае, когда резонансные частоты атомов отличаются

Теперь рассмотрим случай, когда резонансные частоты атомов различаются. Пусть u>oi/c = (0.01 — 0.00001) нм-1, с^ог/с = (0.01 + 0.00001) нм-1, а волновой вектор имеет модуль ко = |(woi + (¿02)/с =

1® 2 о

20

40

60

80 100

120 140 160 180 ф,град

Рис. 5.2. Зависимость инверсии на атомах от угла падения излучения для случая, когда резонансные частоты атомов совпадают, к0 = 9.999- 10~3 нм 1 и Е01 =0.5С08Е. Ветви (1) и (2) соответствуют различным атомам. О

-0.2

-0.4

0.6

-0.8 шиш

11 щипмниипп

О 20 40

60 80 100 120 140 160 180 ф,град

Рис. 5.3. Зависимость инверсии на атомах от угла падения излучения для случая, когда резонансные частоты атомов различны, к0 — Ю~2 нм~1 и Е01 = 4С08Е. Кривая (1) - инверсия на первом атоме, кривая (2) -инверсия на втором атоме.

0.01.нм"1. В данном случае (рис. 5.3) инверсии на атомах отличаются для всех значений углов, за исключением углов, при которых графики угловых зависимостей инверсий пересекаются. Это говорит о возможности записи неодинаковой информации на атомах малого объекта, используя весь угловой диапазон. Необходимо заметить, что при большем отличии резонансных частот такой способ записи становится невозможным.

Проведенное выше исследование основано на рассмотрении стационарного случая. Однако, несмотря на это, оно позволяет сделать несколько важных выводов:

1. Время сохранения когерентности в такой системе порядка 10-3с и может быть уменьшено при выборе иона с меньшим значением диполь-ного момента атомного перехода.

2. Радиационное взаимодействие между атомами, расстояние между которыми порядка нескольких нанометров, может быть значительным и зависит от дипольного момента атомного перехода.

3. Населенность атомных уровней, то есть информация, записанная на атомы-кубиты, зависит от угла падения внешней световой волны. При этом могут быть реализованы такие случаи: а) на атомы-кубиты записывается одинаковая информация при совпадающих резонансных частотах атомов; б) на атомы-кубиты записывается неодинаковая информация при несовпадающих резонансных частотах; в) на атомы-кубиты записывается неодинаковая информация при совпадающих резонансных частотах; г) записываемая информация может зависеть от начальных условий;

4. Радиационное взаимодействие между атомами может быть использовано для выполнения квантовых вычислений.

Результаты, полученные в данной главе, присутствуют и в работе [102]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в диссертации сделан еще один шаг в направлении освоения микроскопического метода описания оптических явлений, основанного на интегро-дифференциальных полевых уравнениях. Одной из целей диссертации было показать к каким новым явлениям или результатам приводит микроскопическое описание по сравнению с макроскопическим, основанным на уравнениях Максвелла, при рассмотрении взаимодействия оптического излучения с неограниченными средами. Для достижения этой цели были поставлены и решены две граничных задачи классической оптики.

В первой задаче рассматривалось взаимодействие короткого светового импульса с полубесконечной средой дипольных осцилляторов. Было показано, что распространение когерентного светового импульса, либо стационарного квазирезонансного излучения сопровождается формированием в каждой точке внутри среды вакуумной отраженной волны с вакуумным значением волнового числа. Это означает, что поляризация диполей в некоторой точке наблюдения внутри среды создается не только волной, распространяющейся со скоростью света в среде в том же направлении, что и падающая волна, но и волной, которая распространяется в обратном направлении со скоростью света в вакууме.

Другая задача, которая нас заинтересовала, связана с металло-оптикой. Отправным пунктом здесь являлись экспериментальные зависимости для величин, характеризующих оптические свойства Ag. Макроскопическая теория металлов, основанная на уравнениях Максвелла [19], практически не объясняет соответствующих зависимостей. Поэтому нами было получено новое интегральное микроскопическое уравнение распространения электромагнитных волн в металлах, которые рассматривались как системы из атомных остатков и электронов проводимости. С помощью полученного уравнения были удовлетворительно описаны соответствующие экспериментальные зависимости в широком диапазоне длин волн. Однако наибольшую значимость имеет само полученное уравнение. Это уравнение содержит линейные и нелинейные по скоростям электронов члены, возникновение которых, как было показано в диссертации, обусловлено запаздывающим взаимодействием электронов, учтенным в предлагаемой модели проводящей среды с точностью до г?2/с2. Кроме того, это уравнение позволяет описывать взаимодействие металлов с электромагнитными волнами с учетом микроскопических свойств приповерхностного слоя.

Вторая часть диссертации посвящена детальному учету микроскопических поляризующих полей в системе электродипольных атомов, взаимодействующих с полем интенсивной и пробной световой волны в области изолированного резонанса. Система атомов рассматривалась как малый объект, линейные размеры которого значительно меньше длины световой волны. Численное исследование полей внутри и вне объекта показало, что поле вне объекта существенно зависит от межатомного расстояния, ориентации системы относительно волнового вектора падающей волны, от значений дипольных моментов атомов, от частоты электрического поля и т.д. Полученные результаты могут быть использованы при разработке нового оптического метода исследования физических процессов в малых объектах.

Другой областью применимости полученных результатов являются квантовые вычисления. В диссертации показано, что меняя угол падения внешнего квазирезонансного стационарного излучения можно менять населенности атомных уровней на каждом из атомов малого объекта, то есть записывать квантовую информацию на отдельные атомы. Радиационное взаимодействие между атомами малого объекта можно использовать для выполнения квантовых вычислений.

Библиография

1] Жданов Г.С., Либенсон М.Н., Марциновский Г.А., Оптика внутри дифракционного предела: принципы, результаты, проблемы, УФН, 1998, Т.168, N7, с.801-804.

2] Meacher David, Optical lattices - crystalline structures bound by light, R. Contemp. Phys., 1998, 39, N5, p.329-350.

3] Westbrook C.I., Jurczak C., Birkl G., Desruelle В., Philips W.D., Aspeet A., A study of atom localization in an optical lattice by analysis of the scattered light, J. Mod. Opt., 1997, 44, N10, p.1837-1857.

4] Gorlitz A., Hansch Т., Hemmerich A., Dynamics and spatial order of atoms confined in an optical lattice, J. Mod. Opt., 1997, 44, N10, p.1853-1862

5] Zemanek P., Jonas A., Sramek L., Liska M., Optical trapping of Rayleigh particles using a Gaussian standing wave, Opt. Commun., 1998, 151, N4-6, p.273-285.

6] Rayleigh, On the transmission of light throught an atmosphere containing small particles in suspension, and on the origin of the blue of the sky, Scientific Papers, University Press, 1903, Bd.4, p.397-405.

7] Tyndal J., On the blue colour of the sky, the polarization of skylight, and on the polarization of light by cloudly matter generally, Phil. Mag., 37, 384(1869); Proc. Roy. Soc., 17,223(1869).

8] Смолли P.E., Открывая фуллерены, УФН, 1998, Т.168, N3, с.323-357.

9] Килин С.Я., Квантовая информация, УФН, 1999, Т.169, N5, с.507-526.

10] Lorentz Н.А., Wiedem. Ann., 1880, V.9, р.641.

11] Lorenz L., Wiedem. Ann., 1881, V.ll, p.70.

12] Hopf F.A., Bowden C.M., Louisell W.H., Mirrorless optical bistability with use of the local-field correction, Phys. Rev. A, 1984, V.29, N5, p.2591-2596.

13] Friedberg R., Hartmann S.R., Manassah J.T., Effect of local-field correction on a strongly pumped resonance, Phys. Rev. A, 1989, V.40, N5, p.2446-2451.

14] Hopf F.A., Bowden C.M., Heuristic stochastic model of mirrorless optical bistability, Phys. Rev. A, 1985, V.32, N1. p.268-275.

15] Friedberg R., Hartmann S.R., Manassah J.T., Mirrorless optical bistability condition, Phys. Rev. A, 1989, V.39, N7, p.3444-3446.

16] Chen X., On the role of local-field effect on optical intersubband saturation and intrinsic bistability in a step quantum well, Solid St. Commun., 1997, V.104, N3, p.125-130.

17] Джексон Дж.Д., Классическая электродинамика, М.: Мир, 1965, 702 с.

18] Ашкрофт Н., Мермин Н., Физика твердого тела, Т.2, М.: Мир, 1979, 422 с.

19] Борн М., Вольф Э., Основы оптики, М.: Наука, 1973, 720 с.

20] Гадомский О.Н., Крутицкий К.В., Эффект ближнего поля и пространственное распределение спонтанных фотонов вблизи поверхности, ЖЭТФ, 1994, Т.106, вып.10, с.936-955.

21] Gadomsky O.N., Krutitsky K.V., Near-field effect in surface optics, J. Opt. Soc. Am. B, 1996, V.13, N8, p.1679-1689.

22] Gadomsky O.N., Krutitsky K.V., Near-field effect and spatial distribution of spontaneous photons near surface, in "Atomic and Quantum Optics: High-Precision Measurements", Proc. SPIE, 1996, V.2799, p.77-88.