Определение параметров закреплений трубопровода с жидкостью по собственным частотам его колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Сафина, Гульнара Фриловна

• Сафина, Гульнара Фриловна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сафина, Гульнара Фриловна

Введение

1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЗАКРЕПЛЕНИЙ ТРУБОПРОВОДА С ЖИДКОСТЬЮ ПО СОБСТВЕННЫМ ЧАСТОТАМ ЕГО ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ

1.1 Обзор литературы.

1.2 Прямая задача.

1.3 Влияние параметров жидкости на значения собственных частот колебаний трубопровода.

1.4 Обратная задача.

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКРЕПЛЕНИЙ ТРУБОПРОВОДА

В СЛУЧАЕ ПРОТЕКАНИЯ ПО НЕМУ ЖИДКОСТИ

2.1 Единственность решения обратной задачи

2.2 Метод восстановления четырех краевых условий.

2.3 Устойчивость решения обратной задачи.

2.4 Применение метода определения краевых условий по 14 собственным частотам колебаний трубопровода с жидкостью

2.5 Сохранение диапазона частот колебаний трубопровода при изменении скорости жидкости

2.6 Сохранение первых трех собственных частот колебаний при известных параметрах жидкости

2.7 Сохранение первых двух собственных частот колебаний при известных параметрах жидкости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКРЕПЛЕНИЙ ТРУБОПРОВОДА В СЛУЧАЕ НЕПРОТЕКАНИЯ ЖИДКОСТИ

3.1 Двойственность решения обратной задачи.

3.2 Метод восстановления четырех краевых условий.

3.3 Устойчивость решения обратной задачи.

3.4 Применение метода определения краевых условий по 9 собственным частотам колебаний трубопровода с жидкостью

3.5 Сохранение первых трех собственных частот колебаний при известной плотности жидкости

3.6 Сохранение двух собственных частот колебаний трубопровода при заданной плотности жидкости.

3.7 Применение построенного алгоритма решения задач к определению закреплений полого трубопровода.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Определение параметров закреплений трубопровода с жидкостью по собственным частотам его колебаний»

Актуальность темы

Определение параметров закреплений трубопровода с жидкостью по собственным частотам его колебаний является актуальным в связи с необходимостью решений задач акустической диагностики трубопроводов и виброзащиты топливных систем.

Поставленная проблема непосредственно связана с исследованиями колебательных процессов упругих систем, зависящих от изменения параметров потока жидкости. Задачи акустической диагностики важны в связи с увеличением техногенных катастроф и опасностями, связанными с изношенностью основных фондов. В настоящее время достаточно хорошо разработаны акустические методы обнаружения трещин, определения формы области или размера предмета. Быстрыми темпами развивается и электронная диагностика технических систем. Ученые создают все новые и новые методы диагностики в целях обеспечения большей безопасности людей и быстрого обнаружения неисправности. Однако задачи по акустической диагностике состояния закреплений трубопроводов еще не разработаны. Ранее решались лишь задачи акустического диагностирования струн, мембран, стержней и пластин.

Другое важное использование задачи определения закреплений трубопровода — виброзащита топливных систем. Действительно, трубопроводы являются важнейшими элементами топливных конструкций автомобилей, тракторов, судов, самолетов и т.п. Их колебания приводят порой к дребезжанию, вызывающему неприятные ощущения экипажа и пассажиров. Связано это с тем, что спектры колебаний трубопроводов иногда находятся в опасном для здоровья человека диапазоне. Для изменения частот колебаний трубопровода не всегда бывает целесообразно менять его длину или же прикреплять сосредоточенные массы. Поэтому для создания комфортных условий пассажирам возникает задача определения таких закреплений трубопровода, которые обеспечивали бы нужный (безопасный) диапазон частот его колебаний. Эта проблема связана с научными задачами колебательных процессов систем (оболочка — жидкость), шумоподавления, акустической диагностики и теории обратных задач математической физики. Именно этой важной теме — разработке методов определения параметров закреплений трубопроводов, соответствующих изменяемым параметрам жидкости и обеспечивающих нужный диапазон частот его колебаний, — и посвящена настоящая диссертация.

Цель работы — теоретическое исследование влияния скорости потока жидкости и ее плотности на собственные частоты изгибных колебаний трубопровода и определение закреплений трубопровода по собственным частотам колебаний в зависимости от изменений параметров жидкости.

Основными задачами работы являются:

1) исследование зависимостей собственных частот колебаний трубопровода от скорости потока жидкости и ее плотности; разработка метода определения параметров закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в зависимости от изменений скорости течения и плотности жидкости; построение алгоритма решения задачи, позволяющего при изменении параметров жидкости определять такие закрепления трубопровода, которые обеспечивают заданный диапазон частот его колебаний;

2) определение параметров закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в случае протекания по нему жидкости; доказательство единственности решения задачи и его устойчивости; разработка математических методов восстановления четырех, двух краевых условий;

3) определение закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в случае непротекания по нему жидкости; доказательство двойственности решения задачи и его устойчивости; разработка математических методов восстановления четырех, двух краевых условий; исследование возможности применения найденного метода при диагностировании относительной жесткости упругих закреплений полого трубопровода;

4) разработка на основе построенных алгоритмов решения задач пакетов программ для пользователей.

Методы исследований. Поставленные задачи решались аналитически на основе спектральной теории дифференциальных уравнений, обратных задач математической физики с применением вычислений на ЭВМ.

Научная новизна

Впервые исследована и решена задача определения вида и параметров закреплений трубопровода, содержащего жидкость, по собственным частотам его изгибных колебаний.

Задача исследована в случаях протекания и непротекания жидкости по трубопроводу, а также в зависимости от изменения скорости потока жидкости и ее плотности. Доказаны единственность определения упругих закреплений трубы в случае протекания по ней жидкости и двойственность решения задачи в случае непротекания жидкости. Разработаны методы восстановления по собственным частотам колебаний трубопровода четырех, двух краевых условий, соответствующих заданным параметрам жидкости. Показано применение методов решения задачи к определению любых (не только упругих) закреплений трубопровода с жидкостью, а также полого трубопровода по собственным частотам его колебаний.

Построены алгоритмы и разработаны пакеты программ для решения задачи акустической диагностики закреплений трубопровода с жидкостью.

Теоретическая и практическая значимость результатов

Разработанные методы решения задачи позволяют обеспечивать заданный диапазон частот колебаний трубопровода при изменении параметров потока жидкости. Построенные алгоритмы решения задачи могут быть применены для диагностики недоступных для визуального осмотра закреплений элементов механических систем и строительных конструкций, составляющими которых являются трубопроводы.

С помощью предложенных методов можно также судить о виброзащитных закреплениях трубопровода с жидкостью. Найденные методы учитывают случаи протекания и непротекания жидкости по трубопроводу, случаи изменения скорости потока жидкости и ее плотности. Они позволяют также определять не только упругие закрепления, но и жесткие защемления, шарнирные опирания, свободные концы и т.п. Предложенные алгоритмы решения применимы и к определению упругих закреплений полых трубопроводов по собственным частотам их колебаний.

О практической значимости исследований свидетельствует участие в грантах:

1) № 13/7, 170-05 (АН РБ) "Методы неразрушающего контроля механических систем", 2005г;

2) № 05-02 (НФ БашГУ) "Прямые и обратные спектральные задачи второго и четвертого порядков", 2005, 2006гг.

Достоверность результатов и предложенных в диссертации методов обоснованы математическими доказательствами, совпадением в частных случаях с результатами других авторов.

Положения диссертации, выносимые на защиту

1) Результаты исследования по решению прямой задачи влияния на собственные частоты изгибных колебаний трубопровода таких параметров жидкости, как скорость течения и плотность;

2) методы решения обратной задачи определения параметров закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний, позволяющие при изменении скорости потока жидкости, ее плотности определять такие закрепления, которые обеспечивают заданный диапазон частот его колебаний;

3) доказательства теоремы о единственности определения упругих закреплений трубы в случае протекания по ней жидкости и теоремы об устойчивости решения обратной задачи; алгоритмы определения при протекании жидкости четырех и двух краевых условий по собственным частотам изгибных колебаний трубопровода;

4) доказательства теоремы о двойственности определения упругих закреплений трубы в случае непротекания жидкости и теоремы об устойчивости решения обратной задачи; алгоритмы определения при непротекании жидкости четырех и двух краевых условий по собственным частотам изгибных колебаний трубопровода.

Апробация работы

Результаты, приводимые в диссертации, докладывались на конференциях и семинарах: "IV Региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике" (БГУ, Уфа, 2004г.);

Всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Самара, СамГТУ, 2005г.);

V Российская конференция с международным участием "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Саратов, авг.2005г.);

II Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, СамГТУ, 2005г.);

V, VI, VII Всероссийские симпозиумы по прикладной и промышленной математике (май 2005г., Санкт-Петербург; окт. 2005 г., Сочи-Дагомыс; май 2006г., Кисловодск);

Всероссийская научно-практическая конференция "Наука и образование", посвященная 15-летию со дня принятия Декларации о государственном Суверенитете Республики Башкортостан и 5-летию образования Нефтекамского филиала БашГУ (25-27 окт.2005г., Нефтекамск);

V Региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике"(БГУ, 27-29 окт. 2005г., Уфа);

Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых"("International Ufa Winter Mathematical and Physical School-Conference with students, post-graduates and youth scientists") ( 30 нояб.-6. дек. 2005г., Уфа); научный семинар кафедры математического и программного обеспечения вычислительных машин НФ БашГУ (2004г., 2005 г.,2006 г., Нефтекамск); научный семинар по обратным задачам под руководством д. ф.-м. н., доцента Ахтямова A.M. ( БГУ, 2005г., Уфа); научный семинар кафедры математического моделирования под руководством д. ф.-м. н., профессора Спивака С.И. (БГУ, 2006 г., Уфа); научный семинар Института механики УНЦ РАН под руководством д. ф.-м. н., доцента Урманчеева С.Ф. (2006 г., Уфа).

В первой главе диссертации проводится обзор литературы, связанной с темой диссертации. Рассматривается прямая задача по определению собственных частот колебаний трубопровода. Исследуются зависимости собственных частот колебаний от таких параметров потока жидкости, как скорость и плотность, а также от параметров краевых условий. Проводится постановка обратной задачи определения закреплений трубопровода с жидкостью, соответствующих измененным параметрам жидкости и сохраняющих заданный диапазон частот его колебаний.

Вторая глава диссертации посвящается определению вида и параметров закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в случае протекания по нему жидкости. Исследуется задача восстановления всех четырех краевых условий по спектру частот колебаний. Доказываются теорема о единственности решения обратной задачи в случае протекания жидкости по трубопроводу и теорема об устойчивости решения. Исследуется задача в зависимости от изменения скорости потока жидкости в трубе. Показывается применение построенного алгоритма решения задачи не только для определения упругих закреплений. Рассматривается случай восстановления двух краевых условий задачи по спектру частот колебаний трубы при протекании по ней жидкости.

В третьей главе исследуется задача определения вида и параметров закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в случае непротекания по нему жидкости. Доказываются теорема о двойственности решения обратной задачи в случае непротекания жидкости по трубопроводу и теорема об устойчивости решения. Рассматривается метод восстановления всех четырех краевых условий задачи по спектру частот колебаний трубопровода. Исследуется случай восстановления двух краевых условий задачи по спектру частот колебаний трубы при непротекании по ней жидкости. Показывается применение метода к определению закреплений полого трубопровода по собственным частотам его радиальных колебаний.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Сафина, Гульнара Фриловна

Заключение

Выполненная работа и полученные результаты позволяют сделать следующие выводы и заключения:

1) По решению прямой задачи определения собственных частот изгибных колебаний трубопровода и исследованию влияния на них параметров жидкости установлено, что при любых краевых условиях увеличение как скорости течения жидкости, так и ее плотности ведет к уменьшению значений собственных частот колебаний.

2) Решена обратная задача определения параметров закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в зависимости от изменений скорости потока жидкости и ее плотности. Разработаны методы восстановления четырех, двух краевых условий задачи. Показано, что построенные алгоритмы решения задачи позволяют при изменении параметров потока жидкости определять такие закрепления трубопровода, которые обеспечивают заданный диапазон частот его колебаний.

3) Доказаны теорема о единственности определения упругих закреплений трубы в случае протекания по ней жидкости и теорема об устойчивости решения обратной задачи. Установлено, что в случае протекания жидкости по трубопроводу, изменения ее скорости необходимо использование из спектра частот колебаний 14 значений для определения четырех краевых условий задачи и 3 значений для определения двух краевых условий.

4) Доказаны теорема о двойственности определения упругих закреплений трубы в случае непротекания жидкости и теорема об устойчивости решения обратной задачи. Установлено, что в случае непротекания жидкости, изменения ее плотности необходимо использование из спектра частот колебаний 9 значений для определения четырех краевых условий задачи и 3 значений для определения двух краевых условий. Показано применение предложенных методов к определению закреплений полого трубопровода по двум собственным частотам его радиальных колебаний. 4

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сафина, Гульнара Фриловна, 2006 год

1. Агеносов Л.Г., Саченков А.В. Устойчивость и свободные колебания тонких цилиндрических оболочек кругового сечения при разных краевых условиях //Сб. «Исследования по теории пластин и оболочек». КГУ 1964. Вып. 2.

2. Айнола Л. Я. Обратная задача о собственных колебаниях упругих оболочек // ПММ. 1971. № 2. С. 358-364.

3. Антоненко Э.В. Свободные колебания и устойчивость оболочек с упругими краевыми ребрами .// Прикладная механика. 1975. Т. И, Вып. 6.

4. Антоненко Э.В. Частоты свободных колебаний гладких подкрепленных цилиндрических оболочек с упруго подкрепленными краями // Прикладная механика. 1989. Т 25, Вып.8. С.122-126.

5. Артоболевский И. И., Бобровницкий Ю. И., Генкин М. Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979.

6. Ахатов И. Ш., Ахтямов А. М. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикладная математика и механика. Т. 65. Вып. 2. С. 290-298.2001.

7. Ахатов И. Ш., Ахтямов А. М. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 2. С. 290-298.

8. Ахтямов A.M. Распознавание закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний // Известия РАЕН. Серия ММ-МИУ. 2001. Т. 5. № 3.- С. 103-110.

9. Ахтямов А. М. К единственности решения одной обратной спектральной задачи // Дифференциальные уравнения. 2003. № 8.-С. 1011-1015.

10. Ахтямов А. М. Можно ли определить вид закрепления колеблющейся пластины по ее звучанию? // Акустический журнал. 2003. Т. 49. № 3. С. 325-331.

11. Ахтямов А. М. Диагностирование закрепления кольцевой пластины по собственным частотам ее колебаний // Известия РАН. МТТ. 2003. №6.-С. 137-147. . .

12. Биргер И.А. Техническая диагностика. M.: Машиностроение 1978.- 239 с.

13. Биргер И.А., Мавлютов P.P. Сопротивление материалов. М.: Наука- 1986. 560 с.

14. Бухтияров И. Д., Аллилуев В. А. Исследования по акустической диагностике цилиндро-поршневой системы ДВС // Труды СибВИМа. Новосибирск 1968. Вып. 4. - С. 378-879.

15. Ваньков Ю.В., Казаков Р.Б., Яковлева Э.Р. Собственные частоты изделия как информативный признак наличия дефектов // Электронный журнал «Техническая акустика». 2003. № 5. С.1-7.

16. Васильев Н. А., Дворников С. И. Экспериментальные исследования колебательных характеристик железнодорожных шпал // Акустический журнал. 2000. Т. 46. № 3. С. 424-426.

17. Вибрации в технике: Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В. В. Болотина. М.: Машиностроение 1978. 352 с.

18. Власов В. 3. Избранные труды. /Т. 3. М.: Наука. 1964.

19. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости / М.: Наука 1979. № .

20. Вольмир А. С., Грач М. С.Колебания оболочки с протекающей жидкостью. // Механика твердого тела. 1973. № 6. С. 162-166.

21. Габитов И. И. Обеспечение надежности топливной аппаратуры сельскохозяйственного назначения в процессе ее эксплуатации. С. Петербург: СПбГАУ 2000. 317 с.

22. Генкин М.Д., Соколова А.Г. Виброакустическая диагностика машин и механизмов. М.: Машиностроение 1987.

23. Глаголевский Б.А., Москаленко И.Б. Низкочастотные акустические методы контроля в машиностроении JL: Машиностроение 1977.

24. Гонткевич В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек. Киев: Наукова думка 1964. 288 с.

25. Григолюк Э. И., Горшков А. Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью (удар и погружение). Судостроение 1976. 198 с.

26. Григолюк Э. И. Проблемы взаимодействия оболочек с жидкостью. //Труды VII Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука 1970. - С. 755-778.

27. Диагностика автотракторных двигателей. Под ред. Н. С. Жданов-ского. Л.: Колос 1977. 264 с.

28. Зинченко В. И., Захаров В. К. Снижение шума на судах. Л.: Судостроение 1968.

29. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М: Наука 1969.

30. Камалов А.З. Колебания цилиндрической оболочки, содержащей жидкость.// Материалы юбилейной конф. Казанского физ.-техн. инта АН СССР. Казань 1966.

31. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука 1976.

32. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение -1966.

33. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука 1968. 503 с.

34. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука 1984. 832 с.

35. Кузьмин Р. В. Дифектация судовых механизмов. М.: Транспорт -1967. 174 с.

36. Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. М.: Наука 1982.

37. Лапин А. Д. Резонансный поглотитель изгибных волн в стержнях и пластинах // Акустический журнал. 2002. Т. 48. № 2. С. 277-280.

38. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ -1956.

39. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука -1984. 240 с.

40. Липовский Д.Е. Исследование возможных упрощений уравнений напряженного состояния и устойчивости цилиндрических оболочек // Инженерный журнал. 1965. № 3. С.522-530.

41. Маневич Л. И., Стежко А.В. О влиянии краевых условий на частоты колебаний и критические напряжения цилиндрической оболочки // Прикладная механика. 1968. Т. 4. Вып. 3.

42. Марченко В. А., Маслов К. В. Устойчивость задачи восстановления оператора Штурма-Лиувилля по спектральной функции // Математический сборник. 1960. 52(94). № 2. С. 739-788.

43. Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля и их приложения // Киев: Наукова думка. 1972. 220 с.

44. Мовчан А.А. Об одной задаче устойчивости трубы при протекании через нее жидкости. // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 4. Вып. 4. С. 760-762.

45. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука- 1969. 526 с.

46. Павлов Б.В. Акустическая диагностика механизмов. М.: Машиностроение 1971.

47. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М.: Наука 1979.

48. Приборы для неразрушающего контроля материалов и изделий: Справочник в 2 кн. под ред. В.В. Клюева. М.: Машиностроение -1985. 326 с.

49. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х т. / Под ред. И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение 1968. Т. 1. 831 с.

50. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Спецкурс для студентов НГУ. НГУ 1973.

51. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М. Наука- 1984.

52. Сафина Г.Ф. Диагностирование относительной жесткости подкрепленных цилиндрических оболочек по собственным частотам их асимметричных колебаний // Контроль. Диагностика. 2005. № 12. С.55-59.

53. Сафина Г.Ф. Двойственность решения обратной задачи по осесим-метричным колебаниям полой подкрепленной трубки // Тезисы докладов Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара 2005. - С.76-77. ;

54. Сафина Г.Ф. Двойственность решения обратной задачи по асимметричным колебаниям подкрепленных цилиндрических оболочек // Труды II Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, Сам ГТУ 2005 - С. 205— 208.

55. Сафина Г.Ф. Определение относительной жесткости упругих краевых ребер трубопровода, наполненного жидкостью // Обозрение прикладной и промышленной математики". 2005. Т.12. Вып.2. С. 503-504.

56. Сафина Г.Ф. Определение закреплений трубопровода с протекающей по нему жидкостью. Обозрение прикладной и промышленной математики". 2005. Т.12. Вып.4. С. 1079-1080.

57. Сафина Г.Ф. Определение закреплений трубопровода с жидкостью по двум собственным частотам его колебаний // Тезисы докладов V Региональной школы конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. БГУ, Уфа - 2005. 4.1. -С.11.

58. Сафина Г.Ф. Диагностирование закреплений трубопровода с жидкостью. // Приборы и системы. Управление. Контроль. Диагностика. 2006. № 3.-С.59-60.

59. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М.-Машиностроение 1982. 280 с.

60. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматгиз -1959, 440с.

61. Тимошенко С. П. Пластины и оболочки. М., JL: ОГИЗ 1948. 460 с.

62. Тихонов А.Н. и др. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. М.: Наука 1980. 232с.

63. Томпсон Дж. М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. Пер. с англ. М.: Мир 1985. 254 с.

64. Тукмаков А. Л., Аксенов И. Б. О распознавании объектов на основе анализа акустического отклика при помощи функции числа состояний динамической системы // Изв. вузов. Авиационная техника. 2003. № 1. С. 62-67.

65. Тукмаков A. JI., Аксенов И. Б. Идентификация объектов на основе анализа функции числа состояний акустического отклика // Журнал технической физики. 2003. Т. 73. Вып. 10. С. 130-133/'

66. Феодосьев В. И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости. // Инж. сб. Т. 10. 1951.

67. Фомичев В. Д. Строительство и расчет трубопроводов. М.: Труды ВНИИСТ 1976. Вып. 34. - С. 75-83. г

68. Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. М.: ИЛ 1954. Т.1.

69. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов 2001.

70. Akhtyamov A.M., Mouftakhov A.V. Identification of boundary conditions using natural frequencies // Inverse Problems in Science and Engineering. 2004. Vol. 12. No. 4. P. 393-408.

71. D'Armond R. P., Rouleau W. T. Wave propagation of viscous compressible liquids confined in elastic tubes. N.Y. 1972. 6 p.

72. Paidoussis M. P. Flutter jf conservative systems of pipes conveying incompressible fluid. // Journ. Mech. Eng. Sci 1975. V. 17, №1. -P. 19-24.

73. Kac M. Can one hear the shape of a drum? // Amer. Math. Monthly.-1966. V. 73, Ш. P. 1-23.

74. W. U. Qunli, F. Fricke, Determination of the size of an object and its location in a cavity by eigenfrequency shifts // Nat. Conf. Publ./ Inst. Eng. Austral. 1990. No. 9. P. 329-333.

75. Paidoussis M.P., Issid N.T. Dynamic stability of papes conveying fluid // J. Sound and Vibr. 1974. P. 267. £