Определение оптимальных форм пологих геометрически нелинейных оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.03, кандидат технических наук Ступишин, Леонид Юлианович

• Ступишин, Леонид Юлианович
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Ступишин, Леонид Юлианович

Введение

Глава I. Основные соотношения теории геометрически нелинейных пологих оболочек и задача определения их оптимальных форм.№

1.1. Обзор основных результатов теории проектирования оптимальных оболочек . W

1.2. Уравнения состояния оболочек вращения переменной толщины.

1.3. Вывод уравнения устойчивости пологих оболочек вращения переменной толщины . №

1.4. Вывод уравнения устойчивости пологих оболочек вращения постоянной толщины . ЭД

1.5. Задача определения оптимальных форм оболочек . . ЭД

Глава 2. Проектирование оптимальных пологих оболочек вращения постоянной вдоль образующей толщины . . . МО

2.1. Определение формы оболочек вращения оптимальных по критерию максимума критической нагрузки

2.1.1. Определение формы срединной поверхности и толщины оболочки, воспринимающей максимальную критическую нагрузку . ^

2.1.2. Оптимизация формы срединной поверхности и толщины оболочки по критерию максимума критической нагрузки при ограничении на объем.№

2.2. Определение формы оболочек вращения, имеющих минимальный объем.

2.2.1. Определение формы срединной поверхности и толщины оболочки минимального объема

2.2.2. Оптимизация формы срединной поверхности и толщины оболочки минимального объема при ограничении на критическую нагрузку

Глава 3. Проектирование оптимальных пологих оболочек вращения переменной вдоль образующей толщины

3.1. Определение формы оболочек вращения оптимальных по критерию максимума критической нагрузки . . -)

3.1.1. Оболочка пет-сменной толщины, воспринимающая максимальную критическую нагрузку . Ь

3.1.2. Оптимизация формы срединной поверхности и распределения толщин оболочки по критерию максимума критической нагрузки при ограничении на объем.

3.2. Определение формы оболочек вращения, имеющих минимальный объем.

3.2.1. Минимальный объем оболочки вращения переменной толщины.

3.2.2. Оптимальная форма срединной поверхности и распределение толщин оболочки вращения минимального объема при ограничении на критическую нагрузку.

Глава 4. Проектирование оптимальных пологих оболочек на прямоугольном плане

4.1. Вывод уравнения устойчивости пологих оболочек на прямоугольном плане постоянной толщины . -S'

4.2. Проектирование оптимальных пологих оболочек постоянной толщины на прямоугольном плане

4.2.1. Определение формы срединной поверхности и толщины оболочки, воспринимающей максимальную критическую нагрузку

4.2.2. Оптимизация формы срединной поверхности и толщины оболочки по критерию максимума критической нагрузки при ограничении на объем.

4.2.3. Определение формы срединной поверхности и толщины оболочки минимального объема . . . Ю'

4.2.4. Оптимизация формы срединной поверхности и толщины оболочки минимального объема при ограничении на критическую нагрузку

Глава 5. Алгоритмы определения оптимальных форм оболочек и описание программ. ^

5.1. Постановка задачи определения оптимальных форм оболочек и выбор метода ее решения

5.2. Алгоритм определения оптимальных форм оболочек при ограничениях 1-го рода. ICS

5.3. Алгоритм поиска оптимальной формы оболочки при наличии ограничений 2-го рода

5.4. Общее описание комплекса программ оптимизации формы оболочек.И

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Определение оптимальных форм пологих геометрически нелинейных оболочек»

Задача более полного использования материальных ресурсов страны, всемерное снижение материалоемкости изделий путем использования прогрессивных конструкторских решений была поставлена в "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 гг" Директивные документы партии и правительства последнего времени в области строительства, машиностроения и других отраслей техники указывают на необходимость повышения эффективности проектно-конструкторских разработок с целью уменьшения материалоемкости и стоимости, повышения надежности и долговечности, улучшения технических характеристик конструкций и т.п.

Существенный вклад в решение поставленных задач вносит использование в конструкторских решениях элементов типа пологих оболочек, которые уже нашли широкое применение в различных отраслях техники: приборостроении и машиностроении, авиа и ракетостроении, строительстве и т.д. Еще большего эффекта можно добиться за счет развития методов оптимального проектирования конструкций и внедрения их в практику.

В теории оптимального проектирования оболочек имеются работы по определению оптимального распределения толщины гибких пологих оболочек из условия равнопрочности Рассматривались задачи определения формы геометрически и физически нелинейных оболочек сопряжения, имеющих минимальный вес 36,37J. Вопросы определения оптимальной формы срединной поверхности и толщины пологих оболочек, имеющих минимальный объем или воспринимающих максимальную критическую нагрузку, исследованы недостаточно.

В диссертации рассматриваются вопросы оптимального проектирования формы срединной поверхности и толщины геометрически нелинейных пологих оболочек вращения и оболочек на прямоугольном плане. Причем определяющей является потеря устойчивости, а не потеря прочности.

В дальнейшем под "оболочкой оптимальной формы" понимается оболочка, имеющая оптимальную форму срединной поверхности и оптимальную толщину.

Для оболочек вращения и оболочек на прямоугольном плане получены выражения критической нагрузки как функции их формы. Построен алгоритм и отработана методика определения оптимальных форм оболочек. Впервые дано решение задачи оптимизации формы геометрически нелинейных пологих оболочек вращения и оболочек на прямоугольном плане постоянной толщины, а также оболочки вращения переменной толщины. Для каждого типа оболочек решались четыре задачи:

I) определение формы срединной поверхности и распределения толщин оболочки минимального объема на всем множестве допустимых форм;

Z) определение формы срединной поверхности и распределения толщин оболочки, воспринимающей максимальную критическую нагрузку;

3) определение формы срединной поверхности и распределения толщин оболочки минимального веса при ограничении на критическую нагрузку;

4) определение формы срединной поверхности и распределения толщин оболочки, воспринимающей максимальную критическую нагрузку при ограничении на объем.

На основе разработанных алгоритмов составлены вычислительные программы, позволяющие определять оптимальные формы и распределение толщины в оболочках вращения и оболочках на прямоугольном плане. Пакет программ может применяться для расчета и оптимизации строительных конструкций, кораблей и летательных аппаратов, в приборо- и машиностроении, а также в других отраслях техники, где применяются конструктивные элементы типа пологих оболочек.

Результаты работы представлены в безразмерном виде, что делает удобным их применение в инженерных расчетах.

Работа состоит из введения, пяти глав,выводов, списка литературы и приложения.

В первой главе кратко рассматриваются основные результаты, полученные в области оптимального проектирования формы оболочечных конструкций. Приведены основные соотношения теории геометрически нелинейных пологих оболочек и на их основе с помощью метода Бубнова-Галеркина получены выражения для верхних критических нагрузок, воспринимаемых оболочками вращения переменной и постоянной толщины, имеющих произвольную форму срединной поверхности. Ставится задача определения оптимальной формы оболочек и намечаются пути решения.

Во второй главе рассматриваются задачи определения формы оболочек вращения постоянной вдоль образующей толщины, но изменяющейся вместе с формой срединной поверхности оболочки. Отыскивается оболочка такой формы, при которой она выдерживает максимальную критическую нагрузку или имеет минимальный объем на всем множестве допустимых форм срединных поверхностей и толщин оболочек. Решаются задачи об определении формы оболочек, выдерживающих максимальную критическую нагрузку при ограничении на объем, а также обратная ей задача об определении формы оболочки минимального веса при ограничении на величину критической нагрузки. Приводятся примеры решения задач.

В третьей главе рассматриваются задачи определения формы оболочек вращения переменной вдоль образующей толщины. На множестве допустимых форм срединных поверхностей оболочек и типов распределения их толщин отыскиваются такие, которые образуют оболочку минимального объема или оболочку, воспринимающую максимальную критическую нагрузку. Решаются задачи об определении формы срединной поверхности и распределения толщины оболочки минимального веса при ограничении на величину критической нагрузки, а также обратная ей - об определении формы срединной поверхности и распределении толщины оболочки, воспринимающей максимальную критическую нагрузку при ограничении на объем оболочки. Даны примеры решения задач проектирования оболочек.

В четвертой главе приведены основные зависимости геометрически нелинейных пологих оболочек на прямоугольном плане и получены выражения для критической нагрузки оболочки переменной формы с помощью метода Бубнова-Галеркина. Решены задачи об определении формы срединной поверхности и толщины оболочки минимального объема, а также оболочки, воспринимающей максимальную критическую нагрузку на всем множестве допустимых форм срединных поверхностей и постоянных толщин оболочек. Рассмотрены задачи об определении формы срединной поверхности и толщины оболочки минимального объема при ограничении на критическую нагрузку, и оболочки, воспринимающей максимальную критическую нагрузку при ограничении на величину объема.

В пятой главе обсуждаются результаты исследования функций критических нагрузок и объемов для рассматриваемых типов оболочек и строится единый алгоритм решения задачи нелинейного программирования по определению оптимальных форм пологих геометрически нелинейных оболочек.

Дается описание комплекса программ проектирования оптимальных форм оболочек и его возможностей.

При написании работы ставились следующие цели, результаты достижения которых, вынесены на защиту.

Разработка методики определения оптимальных форм пологих геометрически нелинейных оболочек вращения и оболочек на прямоугольном плане. Построение выражений для определения критической нагрузки оболочек вращения и оболочек на прямоугольном плане. Решение новых задач определения оптимальных форм пологих оболочек по критерию минимума объема (веса) или максимальной критической нагрузки.

Основные результаты исследований по диссертации докладывались на: Научно-технической конференции Курского политехнического института (февраль 1981), Первой республиканской научно-технической конференции "Проблемы освоения западно-сибирского топливно-энергетического комплекса" (Уфа, июнь 1982), научно-технической конференции Курского политехнического института (февраль 1983), кафедре "Сопротивление материалов" МИСИ им. В.В.Куйбышева (декабрь 1983).

По результатам диссертационной работы опубликовано 4 статьи.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Ступишин, Леонид Юлианович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для пологих геометрически нелинейных оболочек вращения и оболочек на прямоугольном плане получены выражения верхних критических нагрузок как (функций их формы. Сужение области функций, описывающих форе срединной поверхности и распределение толщины оболочек, и применение метода Бубнова-Галеркина позволили найти аналитически выражения для критической нагрузки. Нагрузка, воспринимаемая оболочкой, считается равномерно распределенной. Запись граничных условий позволяет моделировать большое количество типов опирания краёв оболочки. Материал оболочек работает линейно-упруго.

Выражения критических нагрузок найдены для:

1. оболочек вращения, толщина которых постоянна вдоль образующей, но меняется вместе с формой срединной поверхности оболочки;

2. оболочек вращения переменной вдоль образующей толщины;

3. оболочек на прямоугольном плане, толщина которых постоянна вдоль срединной поверхности, но меняется вместе с ее формой. Распределение толщины оболочки и форма срединной поверхности описываются параболическими функциями.

Задача оптимизации формы пологих геометрически нелинейных оболочек относится к классу задач нелинейного программирования, так как функции объема оболочки и критической нагрузки нелинейные.

Численные исследования показали: I. Существуют оболочки различной формы, имеющие одинаковый объем при равных величинах воспринимаемых критических нагрузок.

I. Функции критических нагрузок и объема унимодальные, что позволяет при решении задач оптимизации отыскивать глобальный экстремум методами поиска локального экстремума;

2. функции объема - выпуклые, критических нагрузок - вогнутые, что позволяет применять Методы выпуклого программирования, в частности градиентные;

3. для оболочек, толщина которых постоянна по срединной поверхности, но меняется с изменением её формы, возможно разделение двумерной задачи оптимизации на две одномерных - оптимизации формы срединной поверхности и оптимизации толщины;

4. для оболочек переменной толщины такое разделение задачи невозможно, поэтому решение ищется с помощью методов многомерного поиска экстремума.

С учетом особенностей функций объема и критической нагрузки, был построен алгоритм оптимизации формы пологих геометрически нелинейных оболочек, в основе которого лежит модификация одного из методов случайного поиска, включающего в себя комбинацию градиентного и случайного поиска, а так же метод "оврагов".

Решение одномерных задач оптимизации велось с помощью алгоритма основанного на комбинации метода золотого сечения и параболической интерполяции.

По предложенной методике определения оптимальных форм и толщины оболочек, для каждого вида оболочек, указанных выше, решены следующие задачи:

1. Определение оптимальных форм и толщин оболочек, воспринимающих максимальную критическую нагрузку;

2. определение оптимальных форм и толщин оболочек, воспринимающих максимальную критическую нагрузку при ограничении на объем;

3. Определение оптимальных форм и толщин оболочек минимального объема;

4. Определение оптимальных форм и толщин оболочек минимального объема, воспринимающих критическую нагрузку не меньше заданной.

Для оболочек постоянной вдоль образующей толщины, оптимальная форма срединной поверхности зависит от типа опирания краёв, и не зависит от величины критической нагрузки.

Для оболочек переменной вдоль образующей толщины оптимальная форма срединной поверхности зависит как от типа опирания, так и от вида распределения толщины.

Увеличение критической нагрузки за счёт оптимизации формы оболочки более существенно в случае жесткого защемления краёв чем при подвижном защемлении.

В задачах оптимизации формы оболочек минимального объема при заданной критической нагрузке, экономия объема (веса) составляет 10%-15%, для оболочек вращения и оболочек на прямоугольном плане постоянной вдоль образующей толщины, и 40% для оболочек вращения переменной вдоль образующей толщины.

В задачах оптимизации формы оболочек, воспринимающих максимальную критическую нагрузку при заданной величине объема, возрастание критической нагрузки составляет 15*20% для оболочек вращения и оболочек на прямоугольном плане постоянной вдоль образующей толщины и 60% для оболочек переменной толщины.

Разработанный алгоритм оптимизации формы оболочек и представление переменных в безразмерном виде позволяют использовать их при-проектировании облегченных конструкций типа пологих оболочек, а также находить форму оболочек, воспринимающих максимальную критическую нагрузку.

На основе выполненных исследований составлен пакет программ для решения на современных ЭВМ задач оптимального проектирования пологих геометрически нелинейных оболочек вращения постоянной и переменной толщины, а также оболочек на прямоугольном плане.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Ступишин, Леонид Юлианович, 1984 год

1. Александров М.А., Корнишин М.С., Столяров Н.Н. Расчет близких к равнопрочным гибких пластин и оболочек. - Прикладная механика, 1978, 14, № 10, с. 41 - 46.

2. Арман Ж.-Л.П. Приложения теории оптимального управления системами. В кн.; Механика. М.: Мир, 1977, № 10, - 142 с.

3. Балык В.М., Литвинов B.C. Решение задач оптимизации тонкостенных конструкций на основе методов многокритериальной оптимизации. В кн.: Сборник научных трудов Ташкентского политехнического института, Ташкент, 1981, № 319, с. 46-52.

4. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980. - 256 с.

5. Васильев В.В. Оптимальное проектирование пластинок и оболочек. В кн.: Труды УП Всесоюзной конференции по теории пластинок и оболочек, М., 1970, с. 722-735.

6. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. - 984 с.

7. Гайдайчук В.В., Гоцуляк Е.А., Гуляев В.И. Обратная задача нелинейной устойчивости сферической оболочки переменной толщины. Прикладная механика, 1977, 13, № 2, с. 9-14.

8. Гайдайчук В.В. Обратные задачи нелинейной устойчивости оболочек и оптимизация их параметров. Дис. канд. техн. наук. - Киев, 1977. - 150 л.

9. Танеева М.С., Корнишин М.С., Малахов В.Г. Равнопрочные упругие оболочки вращения. В кн.: Труды семинара по теории оболочек, Казань, 1973, 3, с. 92-106.

10. Григорьев А.С. 0 плитах равного сопротивления изгибу. Инженерный сборник, т. ХХУ, 1959, с. 45-49.

11. Гринев В.Б. Филиппов А.И. Оптимизация элементов конструкций по механическим характеристикам. Киев: Наукова Думка, 1975.- 294 с.

12. Гуревич В.И. К вопросу о выборе оптимальной формы оболочек вращения. В кн.; Труды Ленинградского кораблестроительного института. Л., 1977, вып. Пб, с. II—15.

13. Дмитриенко И.П., Протасов В.Д., Филиппенко А.А. Оптимальная форма оболочки вращения, нагруженной внутренним давлением и подверженной действию температурного поля. Механика полимеров, № 6, 1976, с. III9-II22.

14. Елин В.Д., Харитонов В.И. Определение оптимальных размеров тонкостенных сосудов. В кн.: Работы по механике сплошной среды, Тула, 1977, вып. 3, с. I07-II2.

15. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. М.: Советское радио, 1973. - 311 с.

16. Иванов Г.В. Оптимизация переменной толщины оболочек вращения. В кн.: Теория оболочек и пластин, М., 1973, с.691-695.

17. Калинин И.Н. О применении методов математического программирования при оптимизации оболочек. Строительная механика и расчет сооружений, № I, 1981, с.19-22.

18. Корнишин М.С., Александров М.А. Алгоритм расчета гибких пластин и пологих оболочек наименьшего веса. В кн.: Статика и динамика оболочек, Казань, 1977, № 8, с. 47-56.

19. Лепик Ю.Р. Применение принципа максимума Понтрягина в задачах прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных конструкций. В кн.: Механика. М.: Мир, 1974, № 6,с. I26-I4I.

20. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. М.: Стройиздат, 1978. - 204 с.

21. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975. - 480 с.

22. Мазалов В.Н., Немировский Ю.В. Оптимальное проектирование конструкций. Библиографический указатель за 1948-1974 г., ч. I, Новосибирск, 1975. - 98 с.

23. Малахов В.Г. К оптимизации оболочек вращения переменной толщины. В кн.: Прочность и устойчивость оболочек, Казань, 1977, вып. 9, с. 57-63.

24. Малахов В.Г. Алгоритм комплексного поиска в задачах весовой оптимизации оболочек вращения. В кн.: Прочность и устойчивость оболочек, Казань, 1980, вып. 13, с. 67-74.

25. Малков В.П., Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем. -М.2 Наука, 1981. 288 с.

26. Математическая теория оптимальных процессов./Понтрягин JI.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. М.: Наука, 1983. - 4-е изд. - 392 с.

27. Медведев Н.Г. Некоторые спектральные особенности оптимальных задач устойчивости оболочек переменной толщины. -Доклады АН УССР, 1980, А, № 9, с. 59-63.

28. Митрофанов В.Е. Об одном алгоритме многомерного случайного поиска. -М., 1974, № 118,-38 с.

29. Михайленко В.Е., Ковалев С.Н. Конструирование форм современных архитектурных сооружений. Киев.: Будивельник, 1978.- 112 с.

30. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. - 352 с.

31. Некоторые вопросы нелинейной теории устойчивости пологих металлических оболочек: Научное сообщение ЦНИПС./Гениев Г.А., Чаусов Н.С. М.: Гос. издат. литературы по строит, и архи<?., 1954, вып. 13, 51 с.

32. Ниордсон Ф., Педерсен 11. Обзор исследований по оптимальному проектированию конструкций. В кн.: Механика, М., 1973,2, с. 136-157.

33. Одишвили К.А. Оптимальный закон изменения толщины пологой оболочки вращения. В кн.: Исследования по строительным конструкциям. М., 197I, с. 31-49. (Труды ИНИИСК им. В.А. Кучеренко, вып. 19).

34. Паутов А.Н., Торопов В.В. Оболочки вращения минимальной массы с учетом прочности, жесткости и устойчивости. В кн.:

35. У Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Алма-Ата, 1981, с. 282.

36. Нервозванский А.А. Поиск. М.: Наука, 1970. - 263 с.

37. Потейко В.Г., Роговский В.М., Штерн Б.М. К определению оптимальных форм моментных оболочек вращения. В кн.: Труды НИИ прикладной математики и механики, Томск, 1976, т.6,с. 132-136.

38. Потейко В.Г., Штерн Б.М. Весовая оптимизация оболочечной конструкции. В кн.: Материалы 5-й научной конференции Томского университета по математике и механике, Томск, 1975, т.2, с. 139-140.

39. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций. М.: Мир, 1977. - III с.

40. Расстригин JI.A. Случайный поиск в задачах оптимизации многопараметрических систем. Рига: Зинатне, 1965. - 282 с.

41. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел. 1/1.: Наука, 1976. - 267 с.

42. Ржаницын А.Р. Расчет цилиндрических сводов-оболочек методами линейного программирования. Строительная механика и расчет сооружений, 1966, № 4.

43. Рожваны Д. Оптимальное проектирование изгибаемых систем. М.: Стройиздат, 1980. - 316 с.

44. Скоков В.А. Некоторый вычислительный опыт решения задачнелинейного программирования. Математические методы решения экономических задач, 1977, № 7, стр. 51-58.

45. Солодовников В.Н. Алгоритм вычисления переменной толщины оболочки, оптимальной по устойчивости. В кн.: Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1974, вып. 19-20, с. I18-128.

46. Солодовников В.Н. Оптимизация упругих оболочек вращения. -Прикладная математика и механика, 1978, № 3, с. 511-520.

47. Столярчук В.А. Минимум веса оболочек вращения переменной толщины, нагруженных внутренним равномерным давлением.

48. В кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности, Горький, 1980, вып. 15, с. Ill—115.

49. Столярчук В.А. Проектирование оболочек минимального веса и заданного объема. Известия вузов. Машиностроение, 1981, № 5, с. 23-26.

50. Ступишин Л.Ю., Юсупов Р.Ш. К расчету пологих оболочек оптимальной формы. В кн.: Проблемы освоения Западно-Сибирского топливно-энергетического комплекса, Уфа, 1982, с. 30. (Тез. докл./Первая республиканская научно-техн. конф.).

51. Ступишин Л.Ю. Исследование оптимальных форм геометрически нелинейных пологих оболочек вращения. М., 1983. - II с. - Рукопись представлена Моск. инж.-строит, ин-том им. В.В.Куйбышева. Деп. во ВНИИИС Госстроя СССР. № 4192-83.

52. Ступишин Л.Ю. К исследованию оптимальных форм геометрически нелинейных пологих оболочек. М., 1983. - 10 с. - Fy-копись представлена Моск. инж.-строит, ин-том им. В.В.Куйбышева. Деп. во ВНИИИС Госстроя СССР. № 4191-83.

53. Ступишин Л.Ю. К вопросу определения оптимальной формы пологих геометрически нелинейных оболочек вращения переменной толщины. М., 1984. - 12 с. - Рукопись представлена Моск. инж.-строит, ин-том им.В.В.Куйбышева. Деп. во ВНИИИС Госстроя СССР, № 4709-84.

54. Терровере В.Р. Устойчивость гладких оболочек минимального веса. Прикладная механика, т. IX, № 12, 1973.

55. Топоров В.В. Весовая оптимизация составных оболочек вращения из условий прочности, жесткости и устойчивости. В кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности, Горький, 1979, Вып. 13, с. 122-127.

56. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел.- М.: Наука, 1982. 432 с.

57. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 280 с.

58. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. 534 с.

59. Хог Э., Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование. М. Мир, 1983. - 478 с.

60. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления: Численные методы. М.: Наука, 1973. - 238 с.

61. Штерн Б.М. Оптимальное проектирование осесимметричных оболочек сопряжения с учетом нелинейного деформирования. -Дис. канд. техн. наук. Томск, 1983. - 168 л.

62. Щуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. М.: Мир, 1982.- 238 с.62. 'Хеи^ъсис^е. JJ,. ^wc s&L- ^^с/ъе .- ■pli-ice&atce^ 'Uiu^c^c^ /&ГО-/7-ТЗ.У

63. Pla.isi'S^'&M g.ff, 6Lt с^бьмки*tciro^cc J&t /0 ге^г^'^/

64. OJJu)-^- л/ of^yC^c^ щ/ (rv^t^ilcc^jo, :/зд- y5V,j^O^uoUt y&A'eCf оы^&С /91. A/i ^ f.

65. U^kx^ tfa^ ^ e^Ut ^ мГаъ&у A