Одновременная стабилизация линейных динамических объектов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кудрицкий, Андрей Васильевич

• Кудрицкий, Андрей Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кудрицкий, Андрей Васильевич

Введение.

Глава 1. Одновременная стабилизация линейных объектов регулятором заданной структуры.

1.1. Основные обозначения и определения.

1.2. История задачи

1.3. Постановка задачи одновременной стабилизации линейных объектов регулятором заданного порядка.

1.4. Вспомогательные утверждения

1.5. Необходимые условия одновременной стабилизации.

1.6. Достаточное условие одновременной стабилизации регулятором заданного порядка.

1.7. ^-стабилизирующие регуляторы.

1.8. Алгоритм построения (^-стабилизирующего регулятора для одновременной стабилизации линейных объектов

1.9. Случай одновременной стабилизации объектов 2-го порядка регулятором 1-го порядка.

Глава 2. Алгоритм построения одновременно стабилизирующего регулятора

2.1. Постановка задачи, вспомогательные понятия и утверждения

2.2. Общая схема процедуры поиска одновременно стабилизирующего регулятора.

2.3. Применение методов интервального анализа для построения алгоритма поиска (^-стабилизирующих параметров

2.4. Определение начальных условий алгоритма SIVIA для поиска (^-стабилизируемых параметров

2.5. Построение регулятора, одновременно стабилизирующего конечное семейство объектов.

Глава 3. Одновременная а-стабилизация

3.1. Постановка задачи одновременной «-стабилизации линейных объектов регулятором заданного порядка.

3.2. Основные понятия и вспомогательные утверждения.

3.3. Необходимые условия одновременной а-стабилизации.

3.4. Достаточное условие одновременной а-стабилизации регулятором заданного порядка

3.5. (а, си)■-стабилизирующие регуляторы

3.6. Алгоритм построения (а, ^-стабилизирующего регулятора для одновременной а-стабилизации линейных объектов.

3.7. Случай одновременной а-стабилизации объектов 2-го порядка регулятором 1-го порядка.

Глава 4. Одновременная стабилизация дискретных объектов

4.1. Постановка задачи одновременной стабилизации дискретных объектов

4.2. Вспомогательные утверждения

4.3. Необходимые условия одновременной стабилизации дискретных объектов

4.4. Достаточные условия одновременной стабилизации дискретных объектов

4.5. Алгоритм построения регулятора, одновременно стабилизирующего дискретные линейные объекты.

Глава 5. Дополнительные результаты для задачи одновременной стабилизации

5.1. Расширение множества одновременно стабилизируемых объектов

5.2. Оценка множества одновременно стабилизирующих регуляторов

5.3. Одновременная сильная стабилизация

5.4. Одновременная биустойчивая стабилизация

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Одновременная стабилизация линейных динамических объектов»

Актуальность работы

Проблема одновременной стабилизации возникает во многих практических задачах. Например, в случае, когда объект может работать в нескольких режимах, причем информация о переходе от одного режима к другому может отсутствовать, например, такой переход может вызываться отказом какого-либо элемента объекта. Цель управления - синтез регулятора, обеспечивающего устойчивость системы в любом из возможных режимов.

Как известно, для стабилизации одного объекта решение задачи всегда существует, более того, можно описать все стабилизующие регуляторы с помощью параметризации Youla.

Одновременная стабилизация двух динамических объектов, как показал Vidyasagar в 1982 г., сводится к задаче стабилизации одного объекта с помощью устойчивого регулятора и допускает полное решение в терминах перемежаемости действительных нулей и полюсов объекта.

Но уже в случае одновременной стабилизации трех объектов общее решение проблемы отсутствует. Более того, известны результаты о так называемой рациональной неразрешимости задачи одновременной стабилизации к ^ 3 объектов. Blondel в 1994 году установил следующий факт: невозможно построить алгоритм, который позволял бы за конечное число шагов ответить на вопрос об одновременной стабилизации трех и более объектов, используя только коэффициенты их передаточных функций, арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление), логические операции ("и", "или") и системы равенств или неравенств. Поэтому в виду сложности решения проблемы одновременной стабилизации в общем случае, в современных исследованиях по указанной тематике предлагается использовать следующие подходы: сужение классов объектов, для которых устанавливаются необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации; получение общих необходимых условий одновременной стабилизации; расширение классов объектов, для которых устанавливаются достаточные условия одновременной стабилизации; ограничение класса регуляторов, среди которых устанавливается существование одновременно стабилизирующего регулятора.

Важно отметить, что в общем случае все известные необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации трех и более объектов носят неконструктивный характер. Другими словами, в настоящее время нет алгоритмов, позволяющих в общем случае за конечное число шагов однозначно ответить на вопрос о существовании одновременно стабилизирующего регулятора для к ^ 3 объектов.

В случае, когда число стабилизируемых объектов больше двух, известные условия одновременной стабилизации могут быть разбиты на три типа:

1) необходимые и достаточные условия (Vidyasagar, Viswanadham, Ghosh, Blondel, Gevers, Mortini, Rupp и другие) - не являются конструктивными и фактически сводят одну нерешенную задачу к другой либо применимы к достаточно узким классам стабилизируемых объектов;

2) необходимые условия (Ghosh, Wei, Blondel, Gevers, Mortini, Rupp и другие) - в основном носят конструктивный характер, т.е. допускают численную реализацию и применимы к широким классам объектов;

3) достаточные условия (Maeda, Vidyasagar, Alos, Emre, Kwakernaak, Wei, Debowsky, Kurilowicz, Blondel, Campion, Gevers и другие) - как правило имеют конструктивный характер, но применимы к узким классам объектов.

Отметим также, что, помимо получения условий существования одновременно стабилизирующего регулятора, актуальной является и задача разработки конструктивного алгоритма его построения.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является разработка нового подхода к решению задачи одновременной стабилизации линейных динамических объектов, позволяющего получить конструктивные условия существования одновременно стабилизирующего регулятора для линейных динамических объектов, а также предложить конструктивные алгоритмы построения таких регуляторов. При этом ограничения, накладываемые на порядок и параметры стабилизируемых объектов, должны быть минимальными.

Методы исследования В работе использованы методы теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости линейных динамических систем, теории робастной устойчивости систем управления, теории систем линейных неравенств, а также методы интервального анализа.

Научная новизна

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработан новый подход к исследованию задачи одновременной стабилизации, основанный на изучении свойств аффинных преобразований пространства параметров регуляторов в пространство коэффициентов характеристических полиномов замкнутых объектов с использованием методов теории робастной устойчивости и теории систем линейных неравенств.

2. Получены новые конструктивные условия одновременной стабилизации динамических объектов различных порядков.

3. Разработана общая схема исследования задач существования и нахождения одновременно стабилизирующего регулятора.

4. Предложена новая численно реализуемая процедура построения одновременно стабилизирующего регулятора.

Практическая значимость

Предложенные в работе методы построения регуляторов, одновременно стабилизирующих линейные динамические объекты имеют теоретическую и практическую значимость и могут быть использованы для решения задач стабилизации в условиях параметрической неопределенности.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

- новые конструктивные условия одновременной стабилизации конечного числа объектов произвольных порядков;

- общая схема исследования задачи нахождения одновременно стабилизирующего регулятора;

- новая численно реализуемая процедура построения одновременно стабилизирующего регулятора;

- конструктивные условия и алгоритмы решения задачи одновременной стабилизации с заданной степенью устойчивости (а-стабилизации);

- конструктивные условия и алгоритмы решения задачи одновременной стабилизации дискретных объектов;

- критерий существования ^-стабилизирующего регулятора для случая одновременной стабилизации объектов 2-го порядка регулятором 1-го порядка.

Апробация работы Основные результаты работы и отдельные её части докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах.

1. На Второй Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии "С АИТ-2007 (Обнинск, Россия, 10-14 сентября 2007 г.);

2. На Третьей Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии"САИТ-2009 (Звенигород, Россия, 14-18 сентября 2009 г.);

3. На Ломоносовских чтениях в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова (Москва, Россия, 2006-2009);

4. На международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным паукам "Ломоносов-2006" (Москва, Россия, 2006 г.)

5. На научном семинаре "Нелинейная динамика: качественный анализ и управление"под руководством академиков РАН С.В. Емельянова и С.К. Коровина (Москва, Россия, 2006-2009);

6. На научных семинарах кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В.Ломоносова (Москва, Россия, 2006-2009);

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 статей в ведущих рецензируемых журналах.

Структура и объем диссертации

Диссертация содержит 143 страниц текста, состоит из введения, пяти глав, четырех приложений, библиографии.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Кудрицкий, Андрей Васильевич

Заключение

Таким образом, в работе была исследована одна из нерешенных(в общем случае) задач теории управления - одновременная стабилизация линейных стационарных объектов регулятором заданной структуры. В результате были получены следующие результаты:

- разработан новый подход исследования задачи одновременной стабилизации, основанный на рассмотрении задачи в пространстве коэффициентов передаточных функций объектов с использованием методов теории робастной устойчивости и теории систем линейных неравенств.;

- получены новые необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации конечного числа линейных динамических объектов различных порядков без существенных ограничений на параметры стабилизируемых объектов;

- разработана общая схема исследования задачи нахождения одновременно стабилизирующего регулятора;

- разработана новая численно реализуемая процедура построения одновременно стабилизирующего регулятора;

- получены необходимые и достаточные условия существования одновременно стабилизирующего регулятора, а также приведена конструктивная процедура расчета параметров такого регулятора для задачи одновременной «-стабилизации конечного числа линейных динамических объектов различных порядков без существенных ограничений на параметры стабилизируемых объектов;

- получены необходимые и достаточные условия существования одновременно стабилизирующего регулятора, а также приведена конструктивная процедура расчета параметров такого регулятора для задачи одновременной стабилизации конечного числа дискретных объектов различных порядков без существенных ограничений на параметры стабилизируемых объектов;

- для случая одновременной стабилизации («-стабилизации) объектов 2-го порядка регулятором 1-го порядка получен критерий существования единого ^-стабилизирующего регулятора;

- получены результаты о возможности расширения множества одновременно стабилизируемых объектов, а также результаты, позволяющие расширить множество регуляторов, одновременно стабилизирующих линейные стационарные объекты.

Основная процедура расчета одновременно стабилизирующего регулятора была численно проверена и реализована в среде математического моделирования MatLab.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кудрицкий, Андрей Васильевич, 2010 год

1. Saeks R., Murray J. Fractional representation, algebraic geometry and the simultaneous stabilization problem // IEEE Trans. Automat. Control. — 1982. Vol. 27. - Pp. 895-903.

2. N. Viswanadham M. Vidyasagar. Algebraic design techniques for reliable stabilization // IEEE Transactions on Automatic Control. — October 1982. — Vol. 27, no. 5. Pp. 1085-1095.

3. Pernebo L. PhD Thesis. Sweden, 1978.

4. Vidyasagar M. Control System Synthesis: A Factorization Approach. — Cambridge: The MIT Press, 1985.

5. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление.— Москва: Наука, 2002.

6. Jabr Н. Bonjorno J., Youla D. Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers, part I: the single input case // IEEE Trans. Automat. Control. — 1976. Vol. 21. - Pp. 3-148.

7. Youla D.C. Bonjorno J.J. Single-loop feedback stabilization of linear mul-tivariable dynamical systems // Automatica. — March 1974. — Vol. 10. — Pp. 159-173.

8. В. Ghosh. Transcendental and interpolation methods in simultaneous stabilization and simultaneous partial pole placement problems // SIAM Journal of Control and Optimization. 1986. — Vol. 24, no. 6. - Pp. 1091-1109.

9. R. Mortini R. B,upp V. Blondel, M. Gevers. Stabilizable by a stable and by an inverse stable but not by a stable and inverse // 31th IEEE CDC. — 1991.-Pp. 834-839.

10. К Wei. The solution of a trancendental problem and its applications in simultaneous stabilization problems. — Oberpfaffenhofen: Institute for Flight Systems Dynamics, German Aerospace Research Establishment (BLR), 1991.

11. M. Vidyasayar H. Maeda. Some results on simultaneous stabilization // Systems and Control Letters. — 1984. Vol. 5, no. 3. — Pp. 205-208.

12. A. Alos. Stabilization of a class of plants with possible loss of outputs or actuator failures // IEEE Transactions on Automatic Control. — February 1983. Vol. 28. - Pp. 231-233.

13. E. Emre. Simultaneous stabilization with fixed closed-loop characteristic polynomial // IEEE Transactions on Automatic Control. — January 1983. — Vol. 28, no. 1. Pp. 103-104.

14. H. Kwakernaak. A condition for robust stability // Systems and Control Letters. 1982.- Vol. 2, no. 1. - Pp. 1-5.

15. A. Kurylowicz A. Debowski. Simultaneous stabilization of linear single-input single-output plants // Int. Jour. Control. — 1986. — Vol. 44, no. 5. — Pp. 1257-1266.

16. M. Gevers. V. Blondel, G. Campion. A sufficient condition for simultaneousstabilization // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1993. — Vol. 38, no. 8. Pp. 1264-1266.

17. M. Gevers V. Blondel Single-loop feedback stabilization of linear multivari-able dynamical systems // Mathematics of Control, Signals, and Systems (MCSS). June 1993. - Vol. 6, no. 2. - Pp. 135-145.

18. M. Gevers. V. Blondel, G. Campion. Avoidance and intersection in the complex plane: a tool for simultaneous stabilization // Proc. IEEE 30th Conf. on Decision and Control, Brighton, UK. — 1991. — Vol. 1.- Pp. 285-290.

19. Lu С Youla D., Bongiorno J. Interpolation with positive real functions. // J.Franklin Inst. 1987. - Vol. 284. - Pp. 77-108.

20. Mortini 11. Rupp R. Blondel V., Gevers M. Simultaneous stabilization of three or more plants: conditions on the real axis do not suffice // Control and Optimiz. — 1993.

21. Brockett R. Some geometric questions in the theory of linear systems // IEEE Trans. Automat. Control. — 1976. Vol. 21. - Pp. 449-454.

22. Wei K. Stabilization of a linear plant via a stable compensator having no real unstable zeros // Systems and Control Left. — Vol. 15.

23. Постников M.M // Устойчивые полиномы,— Москва: Наука, 1981.— С. 176.

24. Черников С.Н. Линейные неравенства. — Москва: Наука, 1968.

25. Жолеп Л., Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервальный анализ. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2007.

26. Солодовников А.С. Системы линейных неравенств.— Москва: Наука, 1977.

27. Ким Д.П. // Теория автоматического управления, Т.1 Линейные системы. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - С. 236-242.

28. Jabr Н. Bonjorno J., Youla D. Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers, part II: the multivariable case // IEEE Trans. Automat. Control. — 1976. Vol. 21. - Pp. 319-338.

29. Murray J. Sacks R. Desocr C., Liu R. Feedback system design: the fractional representation approach to analysis and synthesis // IEEE Trans. Automat. Control. 1980. - Vol. 28. - Pp. 399-412.

30. R. Rupp. Stable rank of subalgebras of the disc algebra // Proc. Amer. Math. Soc. 1990. - Vol. 108. - Pp. 137-142.

31. R. Rupp. Uber den Bass-stable-rank komplexer funktionenalgebren // PhD Thesis. 1988.

32. Viswanadham N. Vidyasagar M. Reliable stabilization using a multi-controller configuration // Automatica. — 1985. —Vol. 21.— Pp. 599-602.

33. Levy B. Viswanadham N. Vidyasagar M. A note on the generecity of simultaneous stabilizability and pole assignability // Circuits Systems Signal Process. 1986. - Vol. 5. - Pp. 371-387.

34. Vidyasagar M. A state-space interpretation of simultaneous stabilization // IEEE Trans. Automat. Control. 1988. - Vol. 33. - Pp. 506-508.

35. C. Byrnes B. Ghosh. Simultaneous stabilization and pole placement by non-switching dynamic compensation // IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL Volume = 28, Pages = 735-741, Year =1983.

36. B. Ghosh. Some new results on the simultaneous stabilizability of a familyof single input single output systems // Systems Control Lett. — 1985. — Vol. 6. Pp. 39-45.

37. B. Ghosh. An approach to simultaneous system design. Part 1. I j SI AM Journal of Control and Optimization. — 1986. — Vol. 24. — Pp. 480-496.

38. B. Ghosh. An approach to simultaneous system design. Part 2. // SIAM Journal of Control and Optimization. — 1988. — Vol. 26. — Pp. 919-963.

39. X. A. Wang В. K. Ghosh. Sufficient Conditions for Generic Simultaneous Pole Assignment and Stabilization of Linear MIMO Dynamical Systems // IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL. APRIL 2000. -Vol. 45, no. 4.

40. E. Emre. On necessary and sufficient conditions for regulation of linear systems over rings // SIAM d. Control and Optimization. — 1982. — Vol. 20. — Pp. 155-160.

41. H. Kwakernaak. A condition for robust stabilizability // Systems and Control Letters. 1985. - Vol. 2. - Pp. 1005-1013.

42. H. Kwakernaak. Minimax frequency domain performance and robustness optimization of linear feedback systems // IEEE Trans. Automat. Control. — 1985. Vol. 30. - Pp. 994-1004.

43. Sivan R. Kwakemauk H. Linear optimal control systems. — New-York: Wiley, 1972.

44. Barmish B. Wei K. An iterative design procedure for simultaneous stabilization of MIMO systems // Automatica. — Vol. 24.

45. Yedavalli R. Wei K. Robust stabilizability for linear systems with both parameter variation and unstructured uncertainty // IEEE Trans. Automat. Control. Vol. 34.

46. Wei K. Simultaneous pole assignment for a class of linear time invariant siso systems // Proc. IEEE 28th Conf on Decision and Control. — Vol. 34.

47. M. Gevers. V. Blondel. Single-loop feedback stabilization of linear multivari-able dynamical systems // Mathematics of Control, Signals, and Systems (MCSS). June 1993. - Vol. 6, no. 2. - Pp. 135-145.

48. V. Blondel. A counterexample to a simultaneous stabilization condition for systems with identical unstable poles and zeros // Systems and Control Letters.- 1991.- Vol. 17, no. 5. Pp. 339-341.

49. Mortini R. Blondel V., Gevers M., Rupp R. Stabilizable by a stable and by an inverse stable but not by a stable and inverse stable // Proc. IEEE 31st Conf. on Decision and Control, Tucson, USA. — 1992.

50. V. Blondel. Stabilization with respect to a general domain of stability // Proc. 2nd Int. Sympos. Implicit Robust Systems. — 1991. — Pp. 33-37.

51. V. Blondel. Simultaneous stabilization of linear systems: mathematical solutions, related problems and equivalent formulations // PhD Thesis. — 1992.

52. Li Y. Dorato P., Park H. An algorithm for interpolation with units in H-in-finity, with applications to feedback stabilization // Automatica. — 1989. — Vol. 25. Pp. 427-430.

53. Li Y. Dorato P., Park H. U-parameter design: feedback system design with guaranteed robust stability // Robustness in identification and control. — 1989. Pp. 321-327.

54. M. Bredemann С.Т. Abdallah, P. Dorato. New sufficient coditions for strong simultaneous stabilization // Automatica.— 1997.— Vol. 33.— Pp. 1193-1196.

55. F. W. Fairman S. Wang. Oil the simultaneous stabilization of three plants // International Journal of Control. — 1994. — Vol. 59. — Pp. 1095-1106.

56. Kabamba P., Yang C. Simultaneous controller design for linear time invariant systems // IEEE Trans. Automat. Control. — 1991.— Vol. 36,— Pp. 106-111.

57. С. В err tier- К a zan ts e v M. Darouach. C. Fonte, M. Zasadzinski. On the simultaneous stabilization of three or more plants // IEEE Transactions On Automatic Control. 2001. - Vol. 46, no. 7. - Pp. 1101-1107.

58. Xiaoming Xu Weidong Zhang. On minimal-order stabilization of minimum phase plants. — December 2001.

59. B. Xia-L. Yang W. Yu Z. Zeng. Q. Guan, L. Wang. Solution to the Generalized Champagne Problem on simultaneous stabilization of linear systems // Science in China Series F: Information Sciences. — october 2007. — Vol. 50, no. 5. Pp. 719-731.