Синтез цифровых регуляторов на основе линейных матричных неравенств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Кривдина, Лариса Николаевна

• Кривдина, Лариса Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кривдина, Лариса Николаевна

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Теория устойчивости и линейные матричные неравенства

1.2 Вспомогательные утверждения.

2 Стабилизация дискретных объектов

2.1 Стабилизация по состоянию

2.2 Стабилизация по выходу

2.3 Выводы.

3 Э -стабилизирующее управление дискретными объектами

3.1 ЬМ1-области.

3.2 Синтез £> -стабилизирующего управления.

3.3 Выводы.

4 Оптимальное линейно-квадратичное управление дискретными объектами

4.1 Синтез оптимальных регуляторов по состоянию.

4.2 Синтез у -оптимальных регуляторов по состоянию.

4.3 Синтез оптимальных регуляторов по выходу.

4.4 Синтез / -оптимальных регуляторов по выходу.

4.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез цифровых регуляторов на основе линейных матричных неравенств»

Данная диссертационная работа посвящена синтезу цифровых регуляторов для линейных динамических объектов на основе применения аппарата линейных матричных неравенств.

Актуальность темы. Решение задач математической теории управления начинается с составления математической модели управляемого процесса и задания определенной цели управления. Для обеспечения достижения этой цели на основе принципа обратной связи синтезируется закон управления, который реализуется в виде соответствующего автоматического регулятора [13, 15, 20, 23, 39, 44, 45].

С каждым годом развиваются различные отрасли науки и техники, что способствует развитию теории управления, обобщению ее методов, а также поиску новых подходов и методов решения возникающих задач. Ранее задачи управления относительно простыми физическими и механическими системами состояли в построении какого-либо прибора (устройства), оказывающего воздействие на управляемый объект с целью достижения желаемых его свойств. Примером первого технически важного управляющего устройства является регулятор Уатта для обеспечения постоянной угловой скорости вращения вала паровой машины. На основании расположения муфты менялось положение заслонки в паровой машине (дизельной установке и т.д.), что позволяло при необходимости либо увеличить, либо уменьшить количество поступающего рабочего вещества.

Впоследствии задачи, возникающие в теории управления, стали характеризоваться все большей сложностью объектов, а также высокими требованиями к точности и динамике управления. К таким задачам относятся создание авторулевых в навигации, автопилотов и систем ориентации космических аппаратов в авиации и ракетно-космической технике, обеспечение устойчивости высотных сооружений при сейсмических и ветровых воздействиях и многие другие. Для решения широкого круга задач стали применяться цифровые вычислительные машины и, в частности, компьютеры.

Возросшая сложность объектов управления потребовала разработки соответствующих методов построения регуляторов, которые должны быть реализованы. Процесс реализации синтезированных регуляторов заметно усложнился, и во многих случаях стало очень сложно или совсем невозможно их реализовать при помощи построения механических управляющих устройств. Применение компьютеров позволяет синтезировать сложные регуляторы, так как поступающие сигналы могут быть обработаны и преобразованы в соответствии с законом управления в необходимые для управляющего воздействия сигналы. Полученные после преобразования сигналы подаются на управляемый объект и оказывают на него нужное воздействие, не требуя при этом построения сложных механических устройств. Обработка поступающих на компьютер сигналов производится на основе цифрового принципа с применением разработанных алгоритмов и программ синтеза регуляторов. Поэтому в настоящее время в связи с развитием науки и техники все большее значение приобретают регуляторы, работающие по цифровому принципу. В соответствии с этим в данной работе рассматриваются модели объектов управления, функционирующие в дискретном времени, и под термином "регулятор" понимается термин "дискретный регулятор".

В теории управления рассматривались различные задачи управления как непрерывными, так и дискретными объектами [2, 9, 34, 59, 60, 63]. В частности, для дискретных объектов - это задачи стабилизации [1, 24, 48, 49]; задачи оптимизации на конечном и бесконечном интервалах времени детерминированных и стохастических объектов [4, 13, 40, 46] и др.

Для задач управления детерминированными дискретными объектами существует два основных подхода к их решению. Первый подход основан на применении аппарата передаточных функций и изучении их полюсов и нулей [23, 35, 47]. По аналогии с преобразованием Лапласа, применяемым для получения передаточной функции в непрерывном случае, в дискретном варианте задачи для получения матричной передаточной функции используется 2 -преобразование.

При применении второго подхода используется понятие пространства состояний, методы линейной алгебры и теории разностных уравнений [10, 12, 14, 17]. Основой этого подхода является описание линейных дискретных систем разностными уравнениями в пространстве состояний.

Методы решения задач теории управления в пространстве состояний включают метод функций Ляпунова [22, 43, 66, 67]; метод аналитического конструирования регуляторов или, другими словами, метод построения оптимальных регуляторов для линейных объектов по квадратичному критерию качества (так называемых линейно-квадратичных регуляторов) [5, 6, 16, 21, 41, 61]; метод динамического программирования Беллмана [11]; метод функций Попова [23, 51] и др.

В теории управления существуют различные способы синтеза стабилизирующих и оптимальных регуляторов в зависимости от того, что доступно для измерения - все переменные вектора состояния объекта или только часть переменных этого вектора [1, 12, 18, 23, 24, 50, 59, 62]. Как правило, на практике не могут быть измерены все переменные состояния. В качестве выходных переменных обычно получают отдельные компоненты вектора состояния, либо линейные комбинации этих компонент. Основная трудность синтеза законов управления по измеряемому выходу заключается в том, что необходимо построить регулятор для объекта при отсутствии необходимых данных о его состоянии, руководствуясь только данными, полученными на выходе.

Ранее задачи стабилизации динамических объектов по выходу решались, например, при помощи построения наблюдателей - динамических систем, дающих оценку состояния объекта и обеспечивающих асимптотическое приближение этой оценки к истинному состоянию [3, 21, 64, 65]. Наблюдатель синтезировался на основе информации о входных и выходных переменных, а также о структуре объекта. Стабилизирующий регулятор по выходу получали следующим образом: строили стабилизирующий регулятор по состоянию на основе принципа обратной связи, после чего вместо вектора состояния объекта использовали его оценку.

При решении задачи оптимального линейно-квадратичного управления по выходу для непрерывной системы также конструировали наблюдатели для получения оценки вектора состояния и строили оптимальный регулятор по состоянию, в котором вместо вектора состояния применяли эту оценку. Однако, синтезированный таким образом регулятор по выходу, вообще говоря, не является оптимальным. Позднее задача оптимального управления непрерывным объектом по измеряемому выходу была решена на основе применения аппарата линейных матричных неравенств, который является принципиально новым подходом к решению предлагаемого класса задач автоматического управления динамическими системами. Развитию этого аппарата посвящена недавно изданная книга Д.В. Баландина и М.М. Когана "Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств" [6].

Таким образом, несмотря на имеющееся многообразие методов в теории управления дискретными объектами остались нерешенными некоторые важные вопросы. К таким вопросам относится, в частности, задача синтеза регулятора, когда состояние объекта не может быть измерено. Основной информацией для построения регулятора в этом случае являются данные, полученные на выходе объекта. Поэтому актуальным становится поиск подхода к решению задач стабилизирующего и оптимального управления по измеряемому выходу дискретного объекта.

Более ста лет назад в теории управления появился аппарат линейных матричных неравенств. Но, только начиная с конца прошлого века благодаря появившимся алгоритмам и программному обеспечению (в частности, пакет МАТЬАВ), линейные матричные неравенства начали активно применяться во многих областях теории управления и имеют эффективные методы решения [53, 55, 58]. Поэтому в качестве альтернативы имеющимся способам решения задач теории управления, а также как метод решения некоторых задач, для которых классические методы не позволяют найти решение, можно рассматривать метод, основанный на применении аппарата линейных матричных неравенств. В этом контексте изучение вопросов управления дискретными динамическими объектами на основе линейных матричных неравенств становится актуальным и представляет собой содержательную математическую задачу, относящуюся к классу фундаментальных исследований.

Кроме этого, подход, основанный на применении аппарата линейных матричных неравенств, позволяет рассмотреть новую задачу управления в случае измеряемого состояния. Эта задача связана с построением стабилизирующего дискретного регулятора, обеспечивающего расположение собственных значений матрицы замкнутой системы в заданной области. Область может представлять собой круг, вертикальную и горизонтальную полосы, конический сектор, а также их всевозможные пересечения. Главным здесь является возможность охарактеризовать эти области с помощью линейных матричных неравенств, поэтому такие области получили название "ЬМ1-области", а регуляторы относительно произвольных ЫУП-областей £> стали называться О-стабилизирующими регуляторами.

Применение аппарата линейных матричных неравенств позволяет также осуществить единый подход к решению указанных выше задач стабилизирующего и оптимального управления как по состоянию, так и по выходу объекта, и задач В -стабилизирующего управления.

Цель работы состоит в том, чтобы разработать подход к синтезу дискретных законов управления на основе аппарата линейных матричных неравенств, который позволит получить стабилизирующие и оптимальные законы управления по состоянию и по выходу, а также О -стабилизирующие законы управления.

Методы исследования, которые были применены в работе, относятся к области математической теории управления, теории устойчивости, теории матриц и теории разностных уравнений.

Научная новизна.

1. Разработан подход к синтезу цифровых регуляторов для линейных дискретных динамических объектов, основанный на применении теории линейных матричных неравенств.

2. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия существования дискретных динамических регуляторов следующих видов:

• стабилизирующий регулятор по состоянию;

• стабилизирующий регулятор по выходу; , • -стабилизирующий регулятор;

• оптимальный и у -оптимальный регуляторы по состоянию;

• оптимальный и /-оптимальный регуляторы по выходу.

3. Разработаны методы нахождения параметров соответствующих регуляторов, основанные на применении аппарата линейных матричных неравенств.

4. В качестве иллюстрирующих примеров синтезированы регуляторы для дискретной модели одно- и двухзвенного перевернутых маятников.

Рекомендации по использованию результатов. Результаты данной диссертационной работы относятся к области фундаментальных исследований в теории автоматического управления дискретными динамическими объектами и могут быть применены для решения задачи управления различными технологическими процессами на производстве, для создания авторулевых в навигации, автопилотов и систем ориентации космических аппаратов в авиации и ракетно-космической технике и др.

Достоверность и обоснованность положений диссертационной работы подтверждается строгим математическим выводом получаемых утверждений.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на XI, XII < и XIII Нижегородской сессиях молодых ученых (математические науки) (2006, 2007, 2008гг.); X

Международном семинаре им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2008г.).

Доклад на XI Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки) (2006г.) был удостоен диплома третьей степени.

Работа над диссертацией осуществлялась в рамках госбюджетной темы "Разработка новых методов активного гашения колебаний высотных сооружений при сейсмических воздействиях", а также грантов Российского фонда фундаментальных исследований по проектам № 05-01-00123 "Гашение колебаний механических систем робастными регуляторами пониженного порядка" и № 08-01-00422 "Синтез оптимальных и робастных регуляторов по выходу методами линейных матричных неравенств".

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 5 статей, из них 3 в журналах из перечня ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, включающего 70 наименований. Работа изложена на 109 страницах, содержит 24 иллюстрации.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Кривдина, Лариса Николаевна

4.5 Выводы

Разработан подход к решению задачи синтеза линейно-квадратичных регуляторов по состоянию и по выходу, основанный на применении аппарата линейных матричных неравенств.

Сформулированы и доказаны теоремы, выражающие необходимые и достаточные условия существования линейно-квадратичных дискретных регуляторов по состоянию. Разработаны методы нахождення параметров таких регуляторов.

Сформулирована и доказана теорема, выражающая необходимые и достаточные условия существования /-оптимального дискретного регулятора по состоянию. Приведен способ нахождения параметров такого регулятора, основанный на применении аппарата линейных матричных неравенств.

Получены необходимые и достаточные условия существования линейно-квадратичного дискретного регулятора по выходу, а также проведен синтез такого регулятора на основе применения аппарата линейных матричных неравенств. Показано, что параметры оптимального регулятора по выходу зависят от начальных условий объекта. В случае неизмеряемого начального состояния объекта осуществлен синтез /-оптимального закона управления для дискретных объектов, который представляет собой закон управления, минимизирующий относительное значение функционала в наихудшей ситуации, когда начальное отклонение приводит к максимальному значению этого отношения.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

1. Разработан подход к синтезу цифровых регуляторов для линейных дискретных динамических объектов, основанный на применении теории линейных матричных неравенств.

2. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия существования дискретных динамических регуляторов следующих видов:

• стабилизирующий регулятор по состоянию;

• стабилизирующий регулятор по выходу;

• й -стабилизирующий регулятор;

• оптимальный и /-оптимальный регуляторы по состоянию;

• оптимальный и у -оптимальный регуляторы по выходу.

3. Разработаны методы нахождения параметров соответствующих регуляторов, основанные на применении аппарата линейных матричных неравенств.

4. В качестве иллюстрирующих примеров синтезированы регуляторы для дискретной модели одно- и двухзвенного перевернутых маятников.

Разработанные в диссертации методы синтеза регуляторов могут быть в дальнейшем развиты для построения дискретных регуляторов при наличии ограничений на фазовые переменные объекта и управление, а также для синтеза регуляторов по выходу, обеспечивающих оптимальное гашение внешних возмущений (Нот- управление). Кроме того, полученные в диссертации результаты могут быть также применены для построения робастных регуляторов в задачах управления при наличии неопределенности в математической модели объекта и неизвестных начальных условиях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кривдина, Лариса Николаевна, 2009 год

1. Аксенов, Г.С. Метод функций Ляпунова в задаче синтеза стабилизирующих регуляторов / Г.С. Аксенов, В.Н. Фомин // Адаптация и обучение в системах управления и принятия решений. — Новосибирск, 1982. — С. 27-32.

2. Аксенов, Г.С. Синтез адаптивных регуляторов на основе метода функций Ляпунова / Г.С. Аксенов, В.Н. Фомин // Автоматика и телемеханика. -1982.-№6. -С. 126-137.

3. Андреев, Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами / Ю.Н. Андреев. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит-ры изд-ва "Наука", 1976. - 424 с.

4. Аоки, М. Оптимизация стохастических систем / М. Аоки. — М.: Наука, 1971.-424 с.

5. Баландин, Д.В. Линейно-квадратичные и у -оптимальные законы управления по выходу / Д.В. Баландин, М.М. Коган // Автоматика и телемеханика. 2008. - № 6. - С. 5 -14.

6. Баландин, Д.В. Синтез законов управленття на основе линейных матричных неравенств / Д.В. Баландин, М.М. Коган. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.- 280 с.

7. Баландин, Д.В. Синтез регуляторов на основе решения линейных матричных неравенств и алгоритма поиска взаимнообратных матриц / Д.В.Баландин, М.М. Коган // Автоматика и телемеханика. 2005. - № 1. - С. 82-99.

8. Барбашин, Е.А. Введение в теорию устойчивости / Е.А. Барбашин. -М.: Наука, 1967.-224 с.

9. Барбашин, Е.А. Функции Ляпунова / Е.А. Барбашин. М.: Наука, 1970.- 240 с.

10. Беллман, Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. М.: Наука, 1969.-368 с.

11. Беллман, Р. Динамическое программирование и современная теория управления / Р. Беллман, Р. Калаба. — М.: Наука, 1969. 118 с.

12. Болтянский, В.Г. Математические методы оптимального управления / В.Г. Болтянский. М.: Наука, 1969. - 408 с.

13. Брайсон, А. Прикладная теория оптимального управления / А.Брайсон, Хо Ю Ши. М.: Мир, 1972. - 544 с.

14. Воеводин, В.В. Линейная алгебра / В.В. Воеводин. — М.: Наука, 1980. -400с.

15. Воронов, A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость / А.А.Воронов. М.: Наука, 1979. - 335 с.

16. Габасов, Р. Качественная теория оптимальных процессов / Р. Габасов, Ф. Кириллова. М.: Наука, 1971. - 508 с.

17. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц 7 Ф.Р. Гантмахер. М.: Изд-во "Наука". Гл. ред. физ.-мат. лит.,1967. — 576 с.

18. Гелиг, А.Х. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия / А.Х. Гелиг, Г.А. Леонов, В.А. Якубович. М.: Наука, 1978.-400 с.

19. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.: Наука, 1967. - 472 с.

20. Калман, Р. Об общей теории систем управления / Р. Калман // Труды 1 конгресса ИФАК. М.: Изд-во АН СССР, 1961. - Т. 2. - С. 521-547.

21. Калман, Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П.Фалб, М. Арбиб. М.: Мир, 1971. - 400 с.

22. Каменецкий, В.А. Градиентный метод построения функций Ляпунова в задачах абсолютной устойчивости / В.А. Каменецкий, Е.С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. — 1987. № 1. - С. 3-12.

23. Квакернаак, X. Линейные оптимальные системы управления / Х.Квакернаак, Р. Сиван. М.: Мир, 1977. - 653 с.

24. Климентов, С.И. О синтезе асимптотически устойчивого алгоритма адаптивной системы с эталонной моделью прямым методом Ляпунова /

25. С.И.Климентов, В.И. Прокопов // Автоматика и телемеханика. 1974. - № 10. — С. 97-104.

26. Кривдина, JI.H. Синтез линейно-квадратичных и /-оптимальных дискретиых регуляторов по выходу на основе линейных матричных неравенств / JT.H. Кривдина // Информатика и системы управления. — Благовещенск: Изд-во АмГУ, 2008. № 1(15). - С. 179-190.

27. Кривдина, Л.Н. Синтез оптимальных дискретных регуляторов по выходу / Л.Н. Кривдина // XIII нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки: Материалы докладов. Н. Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2008. - С. 22-23.

28. Кривдина, Л.Н. Синтез D -стабилизирующего управления дискретными объектами / Л.Н. Кривдина // XII нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки: Материалы докладов. — Н. Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2007. С. 28-29.

29. Кривдина, Л.Н. Синтез D -стабилизирующего управления дискретными объектами на основе линейных матричных неравенств / Л.Н.Кривдина // Информатика и системы управления. — Благовещенск: Изд-во АмГУ, 2007. № 2(14). - С. 173-182.

30. Кривдина, Л.Н. Стабилизация дискретных объектов по выходу / Л.Н.Кривдина // XI нижегородская сессия молодых ученых. Математическиенауки: Материалы докладов. Н. Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2006. - С. 2627.

31. Кривдина, JI.H. Стабилизация дискретных объектов по выходу на основе линейных матричных неравенств / JI.H. Кривдина // Информатика и системы управления. Благовещенск: Изд-во АмГУ, 2006. - № 2(12). - С. 102110.

32. Кривдина, JI.H. Стабилизация дискретных объектов по состоянию / JT.H. Кривдина // Сборник трудов аспирантов и магистрантов. Технические науки. Н. Новгород: ННГАСУ, 2006. - С. 220-223.

33. Ла-Салль, Ж. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова /Ж. Ла-Салль, С. Лефшец. М.: Мир, 1964. - 168 с.

34. Леонов, Г.А. Теория управления / Г.А. Леонов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. - 233 с.

35. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения / А.М.Ляпунов. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 473 с.

36. Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. М.-Л.: Гостехиздат, 1952. - 530 с.

37. Меркин, Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения / Д.Р.Меркин. -М.: Наука, 1976. 395 с.

38. Неймарк, Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы / Ю.И. Неймарк. М.: Наука, 1978. - 333 с.

39. Острем, К. Введение в стохастическую теорию управления / К.Острем. М.: Мир, 1973. - 322 с.

40. Понтрягин, Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1983.-392 с.

41. Попов, В.М. Гиперустойчивость автоматических систем / В.М. Попов. М.: Наука, 1970. - 453 с.

42. Пятницкий, Е.С. Численные методы построения функций Ляпунова и критериев абсолютной устойчивости в форме численных процедур /

43. Е.С.Пятницкий, В.И. Скородинский // Автоматика и телемеханика. 1983. - № 11.-С. 52-63.

44. Ройтенберг, Я.Н. Автоматическое управление / Я.Н. Ройтенберг. М.: Наука, 1978.-552 с.

45. Уонэм, М. Линейные многомерные системы управления: Геометрический подход / М. Уонэм. М.: Наука, 1980. - 375 с.

46. Фельдбаум, A.A. Основы теории оптимальных автоматических систем / A.A. Фельдбаум. М.: Наука, 1966. - 623 с.

47. Фомин, В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами / В.Н. Фомин. JT.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. - 336 с.

48. Фрадков, А.Л. Квадратичные функции Ляпунова в задаче адаптивной стабилизации линейного динамического объекта / А.Л. Фрадков // Сиб. мат. журн. 1976. - № 2. - С. 436-445.

49. Фрадков, А.Л. Синтез адаптивной системы стабилизации линейного динамического объекта / А.Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. — 1974. — №12.-С. 96-103.

50. Фурасов, В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов / В.Д. Фурасов. М.: Наука, 1982. - 192 с.

51. Чайковский, М.М. Алгебраические уравнения Риккати и линейные матричные неравенства для систем дискретного времени / М.М. Чайковский,

52. A.П. Курдюков // Научное издание Института проблем управления им.

53. B.А.Трапезникова РАН. М., 2005. - 95 с.

54. Четаев, Н.Г. Устойчивость движения / Н.Г. Четаев. — Гостехиздат, 1955.- 176 с.

55. Якубович, В. А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования / В.А. Якубович // ДАН СССР. 1962. - Т. 143, № 6. - С. 1304-1307.

56. Якубович, В.А. Частотная теорема в теории управления / В.А.Якубович // Сиб. матем. журнал. 1973. - Т. 14, № 2. - С. 384-420.

57. Boyd, S. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory / S.Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan. Philadelphia: SIAM, 1994. - 193 P

58. Bucy, R.S. Global theory of the Riccati equation / R.S. Budy // J. Comput. Syst. Sei. 1967. - Vol. 1. - P. 349-361.

59. Davison, E.J. The numerical solution of the matrix Riccati differential equation / E.J. Davison, M.C. Maki // IEEE Trans. Automat. Control. 1973. - Vol. AC-18, № 2. - P. 71-73.

60. Gahinet, P. A linear matrix inequality approach'to H^ control / P. Gahinet, P. Apkarian // International Journal of Robust and Nonlinear control. 1994. - Vol. 4.-P. 421-448.

61. Kaiman, R.E. Control system analysis and design via the second method of Lyapunov / R.E. Kaiman, J.E. Bertram // J. Basic Eng. Trans. ASME. Ser. D. 1960. -P. 371-393.

62. Kaiman, R.E. Lyapunov functions for the problem of Lur'e in automatic control / R.E. Kaiman // Proc. Nat. Acad. Sei. USA, 1963. - Vol. 49. - P. 201-205.

63. Kaiman, R.E. New results in linear filtering and prediction theory / R.E.Kalman, R.S. Bucy // J. Basic Eng. Trans. ASME. Ser. D. 1961. - P. 95-108.

64. Kirk, D.E. Optimal control theory / D.E. Kirk. New York, 2004. - 95 c.

65. Lindorff, D.P. Survey of adaptive control using Lyapunov design / D.P.Lindorff, R.L. Carrol // International Journal of Control. 1973. - Vol. 18, № 5. - P.897-914.

66. Luenberger, D.G. An introduction to observers / D.G. Luenberger // IEEE Trans. Automat. Control. 1971. - Vol. AC-16, № 6. - P. 596-602.

67. Luenberger, D.G. Observing the state of a linear system / D.G. Luenberger // IEEE Trans. Military Electron. 1964. - Vol. MIL-8, № 1-2. - P. 74-80.

68. Man, F.T. A Theorem on the Lyapunov matrix equation / F.T. Man. — IEEE Trans. Automat. Control. 1969. - Vol. AC-14, № 3. - P. 306.

69. Pyatnitskii, E.S. Numerical methods of Lyapunov function construction and their application to the absolute stability problem / E.S. Pyatnitskii, V.I.Scorodinskii // Syst. Control Letters. 1982. - Vol. 2, № 2. - P. 130-135.

70. Simon, I.D. A theory of modal control / I.D. Simon, S.K. Mitter // Inform. Control. 1968. - Vol. 13. - P. 316-363.

71. Stoorvogel, A.A. The Discrete Algebraic Riccati Equation and Linear Matrix Inequality / A.A. Stoorvogel, A. Sabery // Linear Algebra and Its Applications. 1998. - Vol. 274. - P. 317-365.

72. Wang P.K.C. Modal feedback stabilization of a linear distributed system / P.K.C. Wang // IEEE Trans. Automat. Control. 1972. - Vol. AC-17. - P. 552-553.