Стабилизирующее управление дискретными стохастическими и неопределенными системами с обратной связью по выходу тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Соловьев, Сергей Геннадьевич

• Соловьев, Сергей Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соловьев, Сергей Геннадьевич

Введение

1 Общая характеристика состояния проблемы и описание основных моделей

1.1 Системы с неопределенными параметрами

1.1.1 Квадратичная устойчивость и стабилизация.

1.1.2 Квадратичная устойчивость и стабилизация систем с аффинными неопределенностями.

1.1.3 Квадратичная устойчивость и стабилизация систем с по-литопными неопределенностями.

1.2 Системы со случайными параметрами.

1.2.1 Устойчивость и стабилизация систем с мультипликативными шумами.

1.2.2 Устойчивость и стабилизация систем со случайными изменениями структуры.

1.3 Повторяющиеся процессы.

1.3.1 Дискретные модели повторяющихся процессов.

1.3.2 Устойчивость и стабилизация повторяющихся процессов

2 Итерационные алгоритмы вычисления стабилизирующего управления с обратной связью по выходу

2.1 Постановка задачи робастной стабилизации.

2.2 Стохастическая система сравнения.

2.3 Робастная стабилизация с обратной связью по состоянию

2.4 Робастная стабилизация с обратной связью по выходу.

2.5 Итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления.

2.6 Пример

3 Итерационные алгоритмы вычисления управления с обратной связью по выходу в задаче одновременной стабилизации множества дискретных систем

3.1 Задача одновременной робастной стабилизации.

3.2 Стохастическая модель сравнения.

3.2.1 Одновременная робастная стабилизация с обратной связью по состоянию.

3.2.2 Одновременная робастная стабилизация с обратной связью по выходу.

3.3 Пример

4 Алгоритмы вычисления стабилизирующего управления без использования итерационных процедур

4.1 Задача параметризации.

4.2 Алгоритм вычисления матрицы усиления без использования итерационных процедур.

4.3 Обобщение на системы случайной структуры.

4.4 Одновременная стабилизация и робастная стабилизация

4.4.1 Одновременная стабилизация.

4.4.2 Робастная стабилизация.

4.4.3 Стабилизирующее управление повторяющимися процессами

4.5 Примеры

4.5.1 Сравнение итерационного алгоритма и алгоритма без итераций для линейной дискретной системы.

4.5.2 Сравнение итерационного алгоритма и алгоритма без итераций для одновременной стабилизации множества дискретных систем.

5 Язык описания задач полуопределенного программирования SCIYALMIP в среде SCILAB

5.1 Интерфейс SCIYALMIP.

5.1.1 Функция sdpsettings.

5.1.2 Функция sdpvar.

5.1.3 Функция set.

5.1.4 Функция sdpsolve.

5.2 Пример решения простого JIMH.

5.3 Особенности разработки языка моделирования

SCIYALMIP.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стабилизирующее управление дискретными стохастическими и неопределенными системами с обратной связью по выходу»

Актуальность проблемы. Вычисление матрицы усиления управления со статической обратной связью по выходу, стабилизирующего линейную систему, остается нерешенной до конца проблемой, несмотря на то, что получены разнообразные формы необходимых и достаточных условий существования такого управления. В то же время теория и практика современной теории управления приводят к необходимости решения этой проблемы в условиях неопределенности параметров объекта и действия случайных возмущений. В этих случаях слабо изучены также и сами условия существования стабилизирующего управления. Среди немногих публикаций можно отметить часто цитируемую работу Крузиуса и Трофино [14], где указаны достаточные условия для систем с неопределенными параметрами, и работу [26], где даются необходимые и достаточные условия для систем с марковскими переключениями. Для систем с параметрическими шумами какие-либо конструктивные результаты в этом направлении отсутствуют. В литературе утверждается, что алгоритмическая разрешимость задачи стабилизации по выходу относится к числу ИР-трудных задач, хотя все авторы обычно адресуют к работам Блон-дела [5], где строгое и полное доказательство этого факта не приводится.

Цель работы состоит в создании методов, алгоритмов и программного обеспечения синтеза стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу для дискретных линейных систем с мультипликативными шумами и марковскими переключениями структуры, и изучении возможности применения полученных результатов к задачам робастной стабилизации.

Задачи работы. Исходя из целей работы, были поставлены следующие задачи:

1. Разработать методы и алгоритмы синтеза стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу для линейных дискретных систем с мультипликативными шумами.

2. Разработать методы и алгоритмы синтеза управлений для задачи одновременной стабилизации по выходу множества линейных дискретных систем с мультипликативными шумами.

3. Описать в параметрической форме множество всех стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу для дискретных линейных систем с мультипликативными шумами и марковскими переключениями структуры.

4. Исследовать возможность применения полученных результатов к задачам робастной и одновременной робастной стабилизации, в частности найти условия, при которых управление, стабилизирующее стохастическую систему, будет обеспечивать робастную стабилизацию системы с неопределенными параметрами.

5. Для численной реализации алгоритмов синтеза стабилизирующих управлений создать программное приложение к свободно распространяемому пакету для научных расчетов БС1ЬАВ с удобным пользовательским интерфейсом.

Методы исследования. Для теоретических исследований в данной работе использован метод функций Ляпунова и его стохастический аналог, методы выпуклого анализа и полуопределенного программирования. Для численного анализа и моделирования использованы среды: МАТЬАВ, с решателями БеОиМ^ СББР, ББРА и синтаксическим анализатором УАЪМ1Р и ЭСПАД с решателями СББР, БЭРА и разработанным автором синтаксическим анализатором ЭС1УАЬМ1Р.

Научная новизна. В работе получены и выносятся на защиту следующие новые научные результаты:

1. Метод и локально сходящийся итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления управления со статической обратной связью по выходу, одновременно стабилизирующего множество дискретных линейных систем с мультипликативными шумами.

2. Метод и локально сходящийся итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу, одновременно стабилизирующего множество дискретных линейных систем с неопределенными параметрами.

3. Параметрическое описание множества всех стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу для дискретных линейных систем с мультипликативными шумами и марковскими переключениями.

4. Алгоритмы вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу без использования итераций, полученные на основе достаточных условий стабилизации, следующих из предложенного параметрического описания.

5. Язык описания задач полуопределенного программирования - БСГУАЫШР, совместимый со свободно распространяемым пакетом для научных вычислений БСЛЬАВ.

Практическая ценность. Основным практическим результатом диссертации является разработанное программное приложение БС1УАЬМ1Р к свободно распространяемому пакету БСЛЬАВ, позволяющее решать задачи полуопределенного программирования с предоставлением интерфейса, аналогичного используемому в популярном синтаксическом анализаторе УАЬМ1Р для пакета МАТЬАВ.

Апробация полученных результатов. Основные результаты были представлены на следующих научных мероприятиях.

1. 9th IFAC Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing, Санкт-Петербург, 29-31 августа 2007 г.

2. III Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB", Санкт-Петербург, 23-26 октября 2007 г.

3. Научная конференция учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства" Нижегородского государственного университета имени Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород, 27-30 ноября 2007 г.

4. 16th International Conference on Systems Science, Вроцлав, Польша 4-6 сентября 2007 г.

5. X Международный семинар им. Е.С. Пятницкого, Москва, ИПУ РАН, 3-6 июня 2008 г.

6. 17th International Congress of IFAC, Сеул, Корея, 6-11 июля 2008 г.

7. 14th International Congress on Cybernetics and Systems Science of WOSC, Вроцлав, Польша, 9-12 сентября 2008 г.

8. XV международная конференция по автоматическому управлению, Одесса, Украина, 23-26 сентября 2008 г.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 7 печатных работах. В совместных работах научному руководителю принадлежат постановки задач и идеи доказательств и алгоритмов. Доказательства теорем, разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения принадлежат автору.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №-№07-01-92166-НЦНИа, 08-01-9703б-рповолжьеа) и программы Национального центра научных исследований Франции PICS №.4281.

В первой главе приводятся краткий обзор состояния проблемы, обоснование актуальности проблемы, формулировка цели и задач исследования, описание используемых математических моделей. Формулируются некоторые нестандартные понятия и определения. Дается общая характеристика программного обеспечения, используемого при численном исследовании поставленных задач.

Во второй главе рассматривается задача стабилизации линейной дискретной системы с мультипликативными шумами управлением со статической обратной связью по выходу. Предлагается сходящийся итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления. В основу алгоритма положен метод, в котором управление с обратной связью по выходу рассматривается как элемент подмножества управлений, удовлетворяющих специальным структурным ограничениям в стохастической за даче линейно-квадратического регулятора. Формулировка этих ограничений в терминах сингулярного разложения матрицы выхода позволила построить итерационный алгоритм в терминах линейных матричных уравнений и неравенств, что позволило использовать эффективное программное обеспечение для решения задач полуопредсленного программирования. В этой главе выделен также класс стохастических систем сравнения, т.е. таких систем, из устойчивости которых в среднем квадратическом следует устойчивость систем с аффинными неопределенностями из заданной области, и, таким образом, предложенный итерационный алгоритм можно использовать для вычисления матрицы усиления робастного стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу. В главе приводится ряд примеров на базе моделей из библиотеки Фридмана Лейбфрица - СОМРЫЬ, которую специалисты считают определенным стандартом при тестировании новых алгоритмов. Дается численный пример робастной стабилизации углового движения гипотетического легкого сверхзвукового самолета на основе сравнения со стохастической моделью.

В третьей главе предлагается сходящийся итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления управления со статической обратной связью по выходу, одновременно стабилизирующего заданное множество линейных дискретных систем с мультипликативными шумами. В основу алгоритма положено обобщение результатов главы 2. В этой главе, как и в предыдущей, выделен класс стохастических систем сравнения, и, таким образом, предложенный итерационный алгоритм можно использовать для вычисления матрицы усиления управления со статической обратной связью, одновременно стабилизирующего заданное множество дискретных линейных систем с аффинными неопределенностями. Дается численный пример одновременной робастной стабилизации углового движения гипотетического легкого сверхзвукового самолета для заданного множества режимов полета с учетом неопределенностей параметров в каждом режиме.

В четвертой главе развивается альтернативный подход к вычислению матрицы усиления стабилизирующего управления. Численные эксперименты с разработанными итерационными алгоритмами показали, что они в полной мере обладают недостатками, присущими алгоритмам этого типа. Главным из них является существенная зависимость скорости сходимости от начального приближения. Кроме того, и сама процедура выбора начального приближения является нетривиальной. Это стимулировало поиск других алгоритмов, не использующих итерационные процедуры. Такие алгоритмы удалось построить на основе параметризации множества стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу. Задача параметризации решается в данной главе для линейных дискретных систем с мультипликативными шумами и переключениями структуры по закону однородной марковской цепи. Описание множества всех стабилизирующих регуляторов со статической обратной связью по выходу дается в терминах решения системы матричных квадратных неравенств и линейных матричных уравнений, которые нелинейно связаны между собой. В качестве параметров используются матрицы, аналогичные весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора. Попытка непосредственного решения этих неравенств и уравнений, в силу упомянутых нелинейных связей, приводит к невыпуклым соотношениям, весьма сложным для эффективной численной реализации. Предложена выпуклая аппроксимация указанных соотношений, что позволяет свести нахождение матрицы усиления стабилизирующего управления к решению вспомогательной задачи оптимизации при ограничениях в виде линейных матричных уравнений и неравенств. Как частные случаи, соответствующие специальному виду матрицы вероятностей перехода марковской цепи, получаются решения задач одновременной стабилизации и робастной стабилизации. Дается обобщение результатов для класса повторяющихся дискретных линейных процессов с неопределенными параметрами. На примерах моделей из библиотеки СОМР1е& дается сравнительный анализ итерационных алгоритмов и алгоритмов без итераций. Приводится также пример применения алгоритмов без итераций к задаче одновременной робастной стабилизации углового движения гипотетического легкого сверхзвукового самолета для заданного множества режимов полета с учетом неопределенностей параметров в каждом режиме.

В пятой главе дается описание разработанного автором языка и интерфейса БСГУАЬМЩ предназначенного для решения задач полуопределенного программирования, совместимого со свободно распространяемым пакетом БСЛЬАВ и аналогичного языку синтаксического анализатора УАЬМ1Р в среде МАТЬАВ. Описываются особенности внутренней структуры и реализации 8С1УАЬМ1Р. Численные примеры, приводимые в данной работе, были получены, в том числе, с использованием БСГУАЫУПР. К настоящему моменту 8СГУАЬМ1Р поддерживает следующие решатели для задач линейного, квадратичного и полуопределенного программирования: ЬР, С^Р, ЬМКОЬУЕИ, СББР, ББРА. В ближайшем будущем планируется добавить решатели для целочисленного(М1Р) программирования и программирования на конусе второго порядка (БОСР).

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Соловьев, Сергей Геннадьевич

6 Заключение

В работе решается задача нахождения матрицы усиления стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу для следующих классов систем:

• дискретные линейные системы с мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управления;

• дискретные линейные системы с аффинными и политопными неопределенностями.

Для этих классов систем получены следующие результаты:

1. Методы и локально сходящиеся алгоритмы нахождения матрицы усиления управления, обеспечивающего одновременную и робастную стабилизацию.

2. Описание множества регуляторов в задачах одновременной и робаст-ной стабилизации в терминах матриц параметров, аналогичных весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора.

3. Методы и алгоритмы нахождения матрицы усиления управления, обеспечивающего одновременную и робастную стабилизацию, не использующие итерационные процедуры.

Разработан программный комплекс 8С1УАЬМ1Р, являющийся аналогом популярного в среде МАТЬАВ синтаксического анализатора УАЪМ1Р, предназначенный для работы в среде БСГЬАВ. Это дает удобный инструментарий для решения задач полуопределенного программирования, линейного и квадратичного программирования на базе свободно распространяемого программного обеспечения. Эффективность ЗС1УАЬМ1Р подтверждена его использованием при решении указанных выше задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соловьев, Сергей Геннадьевич, 2009 год

1. AlT Rami М. and El Ghaoui L. LMI optimization for nonstandard Riccati equation arising in stochastic control. // IEEE Trans. Automat. Control.-1996.- V. 41.- P. 1666-1671.

2. Amann N., D. H. Owens,E. Rogers. Predictive optimal iterative learnig control. // International Journal of Control- 1998.- V. 69.- P.203-226.

3. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E. and Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in control and system theory. Philadelphia: SIAM, 1994. 193 p.

4. BORCHERS B. , CSDP 6.0 User's Guide. Электронный ресурс] // (http://euler.nmt.edu/ brian/csdpuser.pdf)

5. Byrnes С. I., IsiDORi A., wlllems J. C. Passivity,feedback equivalence, and the global stabilization of minimum phase nonlinear systems. // IEEE Trans. Automat. Control.- 1991.- V. 36.- P. 1228-1240.

6. Crusius C. A. R., trofino A. Sufficient LMI Conditions for Output Feedback Control Problems // IEEE Trans. Automat. Control- 1999.- V. 44.-P. 1053-1057.

7. Leibfritz F. COMPleib: COnstrained Matrix-optimization Problem library a collection of test examples for nonlinear semidefinite programs, control system design and related problems. Электронный ресурс] // (http://www.complib.de/).

8. Hendra I. Nurdin , Matthew R. James , Ian R. Petersen, Quantum LQG Control with Quantum Mechanical Controllers // Proceedings of the 17th World Congress The International Federation of Automatic Control (Seoul, Korea, July 6-11) 2008. P. 9922-9927.

9. Lofberg J. YALMIP : A Toolbox for Modeling and Optimization in MATLAB. Электронный ресурс] // (http://control.ee.ethz.ch/ index.cgi?action=details&id=2088&page=publications)

10. Gadewadikar J., Lewis F. L.,Xie L.,Kucera V., Abu-Khalaf M. Parameterization of all stabilizing H^ static state-feedback gains: Application to output-feedback design // Automatica.- 2007.- V.43.- P. 1597 1604.

11. SHAKED U., BERMAN N. Ню control for nonlinear stochastic systems: The output-feedback case // Preprints 16th IFAC World Congr. (Prague, Czech Republic, July 3-8) 2005. CD-ROM.- P. 1-6.

12. STURM J. F. Using SeDuMi 1.02, a Matlab Toolbox for Optimization over Symmetric Cones Электронный ресурс] // (http://www.optimization-online.org/DBHTML/2001/10/395.html)

13. SOLOVIEV S. G. , pakshin P. V. SCIYALMIP tool homepage Электронный ресурс] // (http://www.laas.fr/OLOCEP/SciYalmip/index.html)

14. Syrmos V. L., Abdallah С. Т., Dorato, p., Grigoriadis K. Static output feedback-a survey // Automatica.- 1997.- V.33.- P.125-137.

15. Katsuki Fujisawa, Masakazu Kojima, Kazuhide Nakata et.all SDPA (SemiDefinite Programming Algorithm) User's manual — version 6.2.0 Электронный ресурс] // (http://homepage.mac.com/klabtitech/sdpa -homepage/files/sdpa.6.2.0.manual.pdf)

16. Galkowski K., Rogers е., Paszke W. et.all Linear Repetitive Process Control Theory Applied To a Physical Example // International

17. Journal of Applied Mathematics and Computer Sciences.- 2003 V. 13.- No. 1.- P.87-99.41. rogers E. , D. H. Owens. Stability Analysis for Linear Repetitive Processes // Lecture Notes in Control and Information Sciences.- 1992.- V. 175.- Springer-Verlag.

18. Rogers е., К. galkowski , D. H. Owens. Control Systems Theory and Applications for Linear Repetitive Processes j/ Lecture Notes in Control and Information Sciences.- 2007.- V. 349.- Springer-Verlag.

19. Rosinova D., Vesely v., Kucera V. A necessary and sufficient condition for static output feedback stabilizability of linear discrete-time systems // Kybernetika.- 2003.- V.39.- P. 447-459.

20. Roberts P. D. numerical investigations of a stability theorem arising prom 2-dimensional analysis of an iterative optimal control algorithm // Multidimensional Systems and Signal Proccssing-2000.- V.ll (1/2).- P. 109-124.

21. КАЦ И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. Екатеринбург: Изд-во Уральской гос. академии путей сообщения, 1998.- 221с.

22. КРАСОВСКИЙ А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.- 558 с.

23. ПАКШИН П. В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурой. М.: Физматлит, 1994.- 304 с.