Синтез стабилизирующего управления стохастическими системами с обратной связью по выходу на основе параметризации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Жилина, Татьяна Евгеньевна

• Жилина, Татьяна Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Жилина, Татьяна Евгеньевна

Введение

1 Диффузионные системы с переключениями. Обзор основных направлений

1.1 Математическая модель диффузионной системы с марковскими переключениями.

1.2 Задача синтеза стабилизирующего управления с обратной связью по выходу. Некоторые подходы к решению.

1.3 Системы с неопределенными параметрами.

1.4 Системы с децентрализованным управлением

2 Стабилизация диффузионных систем с марковскими переключениями

2.1 Стабилизация по измеряемому выходу линейных систем

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Параметризация стабилизирующих матриц усиления

2.1.3 Алгоритм вычисления матрицы усиления.

2.1.4 Робастная стабилизация многорежимной системы на основе сравнения с диффузионной моделью с марковскими переключениями.

2.2 Стабилизация по измеряемому выходу линейных систем при неопределенных параметрах режимов.

2.2.1 Задача параметризации для непрерывных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями

2.2.2 Алгоритм вычисления матрицы усиления на основе выпуклой аппроксимации.

2.2.3 Одновременная стабилизация

2.3 Примеры

2.3.1 Стабилизация перевернутого маятника при скачкообразном изменении массы и случайных вибрациях основания

2.3.2 Стабилизации летательного аппарата с заданной неопределенностью параметров.

2.4 Выводы.

3 Децентрализованная стабилизация диффузионных систем с марковскими переключениями

3.1 Децентрализованная стабилизация по измеряемому выходу линейных систем с марковскими переключениями.

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Синтез децентрализованного стабилизирующего управления.

3.1.3 Алгоритм вычисления матриц усиления.

3.2 Стабилизация по измеряемому выходу линейных диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Условия стабилизации и алгоритм вычисления матриц усиления.

3.3 Примеры

3.3.1 Стабилизация двух связанных перевернутых маятников при скачкообразном изменении масс.

3.3.2 Стабилизация двух связанных перевернутых маятников при скачкообразном изменении масс и вибрациях основания.

3.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез стабилизирующего управления стохастическими системами с обратной связью по выходу на основе параметризации»

Актуальность темы. В современных задачах управления широкое распространение получили многорежимные системы, режимы которых моделируются стохастическим дифференциальным уравнением Ито, а переходы между ними - цепью Маркова. В отечественной литературе модели таких объектов известны под названием «системы случайной структуры», в западной используются термины «диффузионные системы с марковскими переключениями (скачками)» или «системы с переключаемой диффузией». Примерами могут служить склонные к отказам сложные производственно-технологические и энергетические системы, системы управления подвижными объектами и т.п. Диффузионные модели с марковскими переключениями широко используются также при описании экономических процессов и в финансовой математике, для моделирования уровня спроса или производительности оборудования при планировании производства, для отслеживания изменений рыночных курсов и процентных ставок. Основы исследования таких систем были заложены в трудах школы Н. Н. Красовского [21]. Результаты дальнейших исследований подведены в монографиях И. Е. Казакова, В.М. Артемьева, В.А. Бухалева [16], И.Я.Каца [17], M.Mariton [38], G.G.Yin и C.Zhu [49]. В настоящее время продолжает появляться достаточно большое число новых публикаций, но, несмотря на это, для диффузионных систем с марковскими переключениями достаточно мало изученной является важная для теории и практики задача синтеза стабилизирующего управления с обратной связью по выхоДУ

Цель работы состоит в создании методов и алгоритмов синтеза стабилизирующего управления с обратной связью по выходу для диффузионных систем с марковскими переключениями.

Задачи работы. Исходя из целей, работы были поставлены следующие задачи:

1. Описать в параметрической форме множество всех стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу для следующих классов систем:

• диффузионных систем с марковскими переключениями;

• диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями;

• диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями.

2. Разработать методы и алгоритмы синтеза управлений для перечисленных задач.

3. Исследовать возможность применения полученных результатов к задачам робастной стабилизации, в частности, найти условия, при которых управление, стабилизирующее диффузионную систему с марковскими переключениями, будет обеспечивать робастную стабилизацию многорежимной системы.

4. Разработать метод и алгоритм синтеза управления для задачи одновременной стабилизации по выходу множества диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями.

5. Разработать программное обеспечение, реализующее указанные методы и алгоритмы.

6. Апробировать программное обеспечение на примерах решения конкретных задач управления.

Методы исследования. Основными методами исследования являются стохастический аналог второго метода Ляпунова и методы выпуклого анализа. В частности, техника линейных матричных неравенств, а также специализированные программы пакета в среде MATLAB.

Научная новизна. В работе получены и выносятся на защиту следующие новые научные результаты.

1. Параметрическое описание всех стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу для линейных диффузионных систем с марковскими переключениями.

2. Алгоритмы вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления с динамической и статической обратной связью по выходу, полученные на основе указанного параметрического описания и реализуемые с помощью линейных матричных неравенств.

3. Обобщение предложенного параметрического описания и алгоритмов на классы линейных диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями и диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут использоваться для решения задач синтеза управления сложными динамическими системами в технике, экономике, финансовой математике.

Апробация полученных результатов. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на

1. 14-й Международной конференции IEEE «Методы и модели в автоматике и робототехнике» MMAR 2009 (Мендзыздрое, Польша, 2009);

2. Международной конференции «Кибернетика и Информатика» (Выш-ня Бока, Словакия, 2010);

3. VII Всероссийской школе-конференции молодых ученых (Пермь, 2010);

4. XI Международном семинаре им. Е.С.Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2010);

5. XIII конференции молодых ученых «Навигация и управление движением» (Санкт-Петербург, 2011);

6. VIII Всероссийской школе-конференции молодых ученых (Магнитогорск, 2011);

7. X Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2011);

8. 16-й Международной конференции «Системный анализ, управление и навигация» (Евпатория, Украина, 2011).

Доклад на конференции «Навигация и управление движением» удостоен диплома второй степени. Доклад на конференции «Будущее технической науки-2011» удостоен диплома первой степени. Доклад на конференции «Системный анализ, управление и навигация» удостоен диплома второй степени.

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе 3 статьи, из них 1 в журнале из перечня ВАК РФ. В совместных работах научному руководителю принадлежат постановки задач и идеи доказательств и алгоритмов. Доказательства теорем, разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения, реализующего и иллюстрирующего данные методы и алгоритмы, принадлежат автору.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №10-08-00843а, №11-08-09301-мобз).

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 50 наименований. Работа изложена на 100 страницах, содержит 12 иллюстраций, 1 таблицу.

Краткое содержание

В первой главе дается обзор состояния проблемы синтеза стабилизирующего управления с обратной связью по выходу для диффузионных систем с марковскими переключениями. На базе имеющихся результатов определяется круг задач, решаемых в дальнейших главах работы.

Во второй главе рассматривается задача синтеза стабилизирующего управления с динамической обратной связью по выходу диффузионных систем с марковскими переключениями. Эта задача сводится к синтезу статического регулятора для расширенной системы. Далее предлагается параметрическое описание всех линейных стабилизирующих регуляторов со статической обратной связью по выходу, которые обеспечивают экспоненциальную устойчивость в среднем квадратическом замкнутой системы. На основе этой параметризации получены выпуклые достаточные условия стабилизации, позволяющие разработать алгоритм нахождения матрицы усиления регулятора на основе техники линейных матричных неравенств. Определенную трудность в алгоритме представляет выбор весовых матриц. Предлагается возможная методика такого выбора. Она основана на том, что вычисляется начальное приближение матрицы усиления путем решения вспомогательной детерминированной задачи с использованием пакета МАТЬАВ - НШОО [31]. Применение предложенного метода иллюстрируется примером решения задачи стабилизации перевернутого маятника при скачкообразном изменении массы и случайных вибрациях основания.

В этой главе выделен также класс стохастических систем сравнения в виде диффузионных моделей Ито с марковскими переключениями, из устойчивости которых в среднем квадратическом следует асимптотическая устойчивость систем с неопределенными параметрами в каждом режиме. Таким образом, предложенный алгоритм можно использовать для вычисления матрицы усиления робастного стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу.

Также в этой главе рассматривается задача стабилизации диффузионной системы с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями. Предлагается алгоритм вычисления матрицы усиления управления со статической обратной связью по выходу, стабилизирующего заданное множество диффузионных систем с марковскими переключениями при любых неопределенностях параметров. Дается численный пример стабилизации продольного углового движения летательного аппарата для заданного множества режимов полета с учетом неопределенностей параметров в каждом режиме.

Как частный случай, соответствующий специальному виду матрицы вероятностей переходов марковской цепи, получается решение задачи одновременной стабилизации.

В третьей главе решается задача стабилизации децентрализованной системы, состоящей из взаимосвязанных диффузионных подсистем с марковскими переключениями. Описание в параметрической форме множества всех стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу дается в терминах решения систем линейных матричных уравнений и неравенств, которые нелинейно связаны между собой. В качестве параметров используются матрицы, аналогичные весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора. Попытка решения этих уравнений и неравенств, в силу нелинейных связей, приводит к невыпуклым соотношениям, прямые методы решения которых крайне затруднительны. Предложена выпуклая аппроксимация указанных соотношений, которая позволяет свести нахождение матрицы усиления стабилизирующего управления к решению вспомогательной задачи оптимизации при ограничениях в виде линейных матричных уравнений и неравенств. На основе выпуклых условий предлагается алгоритм вычисления матрицы усиления управления со статической обратной связью по выходу. В основу алгоритма положено обобщение результатов главы 2. Дается численный пример стабилизации двух связанных перевернутых маятников при скачкообразном изменении масс и вибрациях основания.

В заключении диссертации подведены итоги проведенных исследований и приведены возможные направления дальнейшей работы.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Параметрическое описание всех стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу для следующих классов систем: а) диффузионных систем с марковскими переключениями; б) диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями; в) диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями.

2. Достаточные условия стабилизации указанных систем, ориентированные на применение аппарата выпуклого анализа, в частности, линейных матричных неравенств.

3. Методы и алгоритмы нахождения матрицы усиления управления, обеспечивающего стабилизацию вышеперечисленных систем.

4. Описание множества всех стабилизирующих регуляторов в задаче одновременной стабилизации в терминах матриц параметров аналогичных весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Жилина, Татьяна Евгеньевна

Выводы

Предлагается параметрическое описание всех стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу,которое обеспечивает экспоненциальную устойчивость в среднем квадратическом замкнутой системы. На основе этой параметризации получены достаточные условия стабилизации, которые позволяют разработать алгоритмы нахождения стабилизирующего управления с применением линейных матричных неравенств.

Для децентрализованных систем с марковскими переключениями систем управления разработан алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления с обратной связью по выходу. Алгоритм был успешно апрбирован в среде МАТЬАВ с использованием синтаксического анализатора Уа1гшр [28] и решателя БеБиМ! [47].

Для диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями разработан алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления с обратной связью по выходу.

На базе полученных алгоритмов разработано программное обеспечение в интегрированной среде МАТЬАВ, позволяющее осуществлять синтез регуляторов для систем управления.

При моделировании марковской цепи, определяющей процесс смены режимов работы системы, решалось уравнение Колмогорова методом Рунге-Кутта. Новое состояние системы генерировалось на основе полученных вероятностей.

Решена задача стабилизации двух связанных перевернутых маятников при скачкообразном изменении масс.

• Решена задача стабилизации двух перевернутых маятников, закрепленных на платформе и соединенных пружиной, при вибрациях основания и скачкообразном изменении масс.

Заключение

В работе решается задача нахождения матрицы усиления стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу для следующих классов систем:

• диффузионные системы с марковскими переключениями;

• диффузионные системы с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями;

• диффузионные системы с децентрализованным управлением и марковскими переключениями.

Для этих классов получены следующие результаты:

1. Параметрическое описание всех стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу для перечисленных систем.

2. Достаточные условия стабилизации указанных систем, ориентированные на применение аппарата выпуклого анализа, в частности, линейных матричных неравенств.

3. Методы и алгоритмы нахождения матрицы усиления управления, обеспечивающего стабилизацию вышеперечисленных систем.

4. Описание множества всех стабилизирующих регуляторов в задаче одновременной стабилизации в терминах матриц параметров аналогичных весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора.

5. Программное обеспечение синтеза регуляторов с обратной связью по выходу для диффузионных систем с марковскими переключениями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Жилина, Татьяна Евгеньевна, 2011 год

1. Баландин, Д. В. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств Текст] / Д.В.Баландин, М.М.Коган. — М.: Физматлит. — 2007.

2. Барбашин, Е.А. Функции Ляпунова Текст] / Е. А. Барбашин. — М.: Наука. 1970.

3. Баркин, А. И. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления Текст] / А. И. Баркин, А. Л. Зеленцовский, П. В. Пакшин. — М.: МАИ. — 1992.

4. Гихман, И. И. Стохастические дифференциальные уравнения Текст] / И. И. Гихман, А. В. Скороход. — Киев, Наукова думка. — 1968. — 354 с.

5. Дуб, Дж. Л. Вероятностные процессы Текст] / Дж. Л. Дуб. — М.: ИЛ. 1956.

6. Дынкин, Е. Б. Марковские процессы Текст] / Е. Б.Дынкин. — М.: Физматлит. — 1963.

7. Жилина, Т. Е. Синтез стабилизирующего управления в диффузионных системах с марковскими переключениями Текст] / Т. Е. Жилина // Управление большими системами/ Сборник трудов. М: ИПУ РАН 2011. - № 33. - С. 70-90.

8. Жилина, Т.Е. Стабилизация диффузионных систем с марковскими переключениями Текст] / Т. Е. Жилина // Материалы XIII конференции молодых ученых «Навигация и управление движением». —

9. СПб.: Изд-во ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор» журнал «Гироскопия и навигация». 2011 - № 2 (73). - С. 113.

10. Жилина, Т.Е. Стабилизирующее управление диффузионными системами с марковскими переключениями Текст] / Т. Е. Жилина // Тезисы докладов 16-й международной конференции «Системный анализ, управление и навигация». — М.: Изд-во МАИ, 2011. — С. 141-142.

11. Казаков, И. Е. Оптимизация динамических систем случайной структуры Текст] / И.Е.,Казаков, В.М.Артемьев. — М.: Наука, 1980. — 382 с.

12. Казаков, И. Е. Анализ систем случайной структуры Текст] / И.Е.,Казаков, В.М.Артемьев, В.А.Бухалев. — М.: Наука, 1993. — 304 с.

13. Кац, И. Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры Текст] / И. Я. Кац. — Екатеринбург: Изд-во Урал.гос.акад.путей сообщения. — 1998.

14. Кац, И. Я. Об устойчивости систем со случайными параметрами Текст] И. Я. Кац,/ Н. Н. Красовский. ПММ. - 1960. - № 5. -С. 809-823.

15. Квакернаак, X. Линейные оптимальные системы управления Текст] / X. Квакернаак, Р. Сиван. — М: Мир. — 1977.

16. Красовский, Н. Н. К теории автоматического конструирования регуляторов Текст] / Н. Н. Красовский, Э.А. Летов // Автоматика и телемеханика. — 1962. — № 6. — С. 11-18.

17. Красовский, H.H. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами Текст] / Н. Н. Красовский, А. М. Лидский // Автоматика и телемеханика. — 1961. — № 9. — С. 732-745.

18. Кушнер, Г. Д. Стохастическая устойчивость и управление Текст] / Г. Д. Кушнер. — М: Мир. — 1969.

19. Липцер, Р. Ш. Статистика случайных процессов Текст] / Р. Ш.Липцер, А.Н.Ширяев. — М.: Наука. — 1974.

20. Пакшин, П. В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурой Текст] / П. В. Пакшин. — М.: Наука, 1994. — 304 с.

21. Пакшин, П. В. Параметризация стабилизирующих управлений в стохастических системах Текст]/П.В.Пакшин, С.Г.Соловьев, Д. Посель // Автоматика и телемеханика. 2009. - № 9. - С. 85-99.

22. Поляк, Б. Т. Робастная устойчивость и управление Текст] / Б.Т.Поляк, П.С.Щербаков. М.: Наука, 2002. - 303 с.

23. Хасьминский, Р. 3. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров Текст] / Р. 3. Хасьминский. — М: Наука. — 1969.

24. Чурилов, А. Н. Исследование линейных матричных неравенств. Путеводитель по программным пакетам Текст] / А. Н. Чурилов, А. В. Гессен. СПб.: Изд-во С.Петерб. ун-та, 2004.

25. Шильяк, Д. Д. Децентрализованное управление сложными системами Текст] / Д. Д. Шильяк. М: Мир. - 1994.

26. Ait Rami, M. LMI optimization for nonstandard Riccati equation arising in stochastic control Текст] / M. Ait Rami, L.ElGhaoui // IEEE Trans. Automat. Control. 1996. - No 41. - P. 1666-1671.

27. Burke, J.C. HIFOO A MATLAB Package for Fixed-Order Controller Design and H-infinity Optimizationon Текст] / J.C.Burke, D.Henrion, A.S.Lewis, M.L.Overton // Proceedings of the

28. AC Symposium on Robust Control Design, Toulouse, France, 2006. www.cs.nyu.edu/overton/software/hifoo

29. Costa, O. Discrete-Time Markov Jump Linear Systems Текст] / О. Costa, M. Fragozo, R. Marques. — Springer, London. — 2004.

30. Crusius, C.A. Sufficient LMI Conditions for Output Feedback Control Problems Текст] / C.A. Crusius, A.Trofino // IEEE Trans. Automat. Control. 1999. - No 44. - P. 1053-1057.

31. Johnson, C.D. The «unreachable poles» defect in LQR theory: analysis and remedy Текст] / С. D. Johnson // Int J.Control. 1988. - V 47. -P. 697-709.

32. Kucera, V. A necessary and sufficient condition for output feedback stabilizability Текст] / V. Kucera, C. E.de Souza // Automatica. — 1995. V. 31. - No 9. - P. 1357-1359.

33. Luo, Q. Stochastic population dynamics under remige switching II Текст] / Q.Luo, X.Mao // J.Math.Anal.Appl. 2007. - V. 334. -P. 69-84.

34. Мао, X. Stability of stochastic differential equations with Markovian switching Текст] / X. Mao // Stochastic Processes and their Applications. 1999. - V. 79. - P. 45-67.

35. Mariton, M. Jump linear systems in automatic control Текст] / M. Mariton. — Marcel Dekker, New York. — 1990.

36. Pakshin, P. V. Exponential dissipativeness of the random-structure diffusion processes and problems of robust stabilization Текст] / P. V. Pakshin // Automation and Remote Control. 2007. — V. 68. — P. 1852-1870.

37. Pakshin, P. V. Parametrization and convex approximation approach to stabilization via output feedback Текст] / P. V. Pakshin, D. Peaucelle, T. Ye. Zhilina // Journal of Cybernetics and Informatics, 2010. P. 29-38.

38. Pakshin, P. V. Parametrization of static output feedback controllers for Markovian switching systems and related robust control problems Текст] / P. V. Pakshin, S.G.Soloviev // Kybernetes. 2009. -No 48. - P. 1106-1120.

39. Trofino-Neto, A. Stabilization via static output feedback Текст] / A. Trofino-Neto, V.Kucera // IEEE Trans.Automat.Control. 1993. -V. 38. - P. 764-765.

40. Scherer, C. Lecture Notes DISC Course on Linear Matrix Inequalities in Control Текст] / С. Scherer, S. Weiland // Version:2.0 April, 1999.

41. Skelton, R. E. A unified algebraic approach to linear control design Текст] / R. E. Skelton, T. Iwasaki, К. M. Grigoriadis // Taylor & Francis. London. — 1997.

42. Sturm, J.F. Using SeDuMi 1.02, a MATLAB toolbox for optimization over symmetric cones Текст] / J. F. Sturm // Optimization Methods and Software 1999. - V. 11-12. - P. 625-653. URL:http://sedumi.mcmaster.ca/.

43. Wonhan, W. M. Random differential equation in Control theory Текст] / W. M. Wonhan // In Pobabilistic Methods in Applied Mathematics (A.T. Bharucha-Reid,ed.) Academic Press, New York. — 1970. — V. 2. — P. 1-212.

44. Yin, G. G. Hybrid Switching Diffusions: Properties and Applications Текст] / G. G. Yin, C. Zhu. — New York: Springer Verlag. — 2010.

45. Yuan, C. Stabilization of a class of stochastic differential equations with Markovian switching Текст] / С. Yuan, J.Lygeros // System Control Letters. 2005. - V. 54. - P. 819-833.