Образование и пространственно-временная динамика структур в нематическом жидком кристалле при воздействии электрического поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Батыршин, Эдуард Сафаргалиевич

• Батыршин, Эдуард Сафаргалиевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Батыршин, Эдуард Сафаргалиевич

Содержание

Введение

Глава 1. Электроконвекция в жидких кристаллах

1.1. Жидкие кристаллы. Нематики

1.2. Электроконвекция в НЖК

1.2.1. Стандартная модель электроконвекции

1.2.2. Модель слабого электролита

1.2.3. Стандартная модель с учетом флексоэффекта

1.2.4. Нестационарные режимы электроконвекции

1.3. Синхронизация связанных осцилляторов. Модель Курамото

Глава 2. Методика эксперимента и обработки данных

2.1. Выбор объекта исследований. Приготовление образцов

2.2. Схема экспериментальной установки

2.3. Интерпретация оптических изображений электроконвективных структур

2.4. Обработка данных

2.4.1. Нормирование на фоновую засветку

2.4.2. Техника пространственной демодуляции

2.4.3. Определение частоты и фазы сигнала

2.4.4. Оценка параметров хаотичности

Глава 3. Исследование пространственно-временных структур,

индуцированных постоянным напряжением

3.1. Продольные домены

3.1.1. Пороговые характеристики

3.1.2. Связь продольных доменов с двойным электрическим

слоем

3.2. Электроконвективная неустойчивость

3.2.1. Наклонные роллы

3.2.2. Двумерная доменная решетка

3.3. Осциллирующая доменная решетка

3.3.1. Потеря устойчивости. Две моды доменных осцилляций

3.3.2. Фазовые волны в осциллирующей доменной решетке

3.3.3. Оценка параметров хаотичности динамики доменной решетки

3.3.4. Вынужденная синхронизация осцилляций при периодическом воздействии

Глава 4. Исследование пространственно-временного порядка в осциллирующей электроконвективной структуре при совместном действии постоянного и переменного напряжений

4.1. Последовательность переходов при воздействии переменного напряжения

4.2. Пространственно-временная динамика осцилляций при совместном действии постоянного и переменного напряжений

4.2.1. Пространственно-временные корреляции

4.2.2. Синхронизация мод

Глава 5. Моделирование эффектов синхронизации в осциллирующей доменной решетке

5.1. Фазовая модель осциллирующей доменной решетки

5.2. Синхронизация мод

5.3. Вынужденная синхронизация при периодическом воздействии

Заключение Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Образование и пространственно-временная динамика структур в нематическом жидком кристалле при воздействии электрического поля»

Введение

Актуальность работы

Изучение диссипативных структур, возникающих в неравновесных физических, химических, биологических и социальных системах, является одной из самых привлекательных задач науки на протяжении нескольких десятилетий [1, 2]. Жидкие кристаллы (ЖК) - яркий пример такой системы, притягивающий внимание исследователей, благодаря своим уникальным свойствам. ЖК представляет собой анизотропную жидкость, характеризующуюся пространственным упорядочением молекул. Ориентационный порядок в расположении молекул описывается единичным вектором п, называемым директором [3, 4]. Свойства ЖК позволяют изучать явления характерные для изотропных жидкостей, такие как конвекция Релея-Бенара, вихри Тейлора и др., расширяя рамки исследований от изотропных к пространственно упорядоченным средам [5]. С другой стороны, вследствие анизотропии свойств, в ЖК возможны механизмы неустойчивостей, которые не имеют аналога в изотропном случае. Эти неустойчивости могут вести к формированию специфических структур, связанных с анизотропией свойств ЖК: структуры при сдвиговых течениях, структуры индуцированные электрическим и магнитным полями, электроконвективная неустойчивость и др. [5-7]. Кроме того, анизотропия свойств ЖК увеличивает количество контрольных параметров, определяющих поведение диссипативных структур.

Одной из наиболее активно исследуемых неустойчивостей является электроконвективная неустойчивость нематического жидкого кристалла (НЖК). НЖК - это жидкий кристалл, характеризующийся ориентационным упорядочением молекул удлиненной формы. Электроконвективная неустойчивость возникает при приложении к слою НЖК, заключенному между проводящими подложками, напряжения, превышающего некоторое критическое значе-

ние. При этом в пороге образуется периодическая система полос, представляющих собой пространственно-периодическую модуляцию поля директора и скорости течения НЖК (электроконвективные роллы). Непрекращающаяся активность в исследованиях электроконвективных структур обусловлена необходимостью изучения возможных механизмов самоорганизации в сложных анизотропных системах. Относительная простота изменения контрольных параметров (амплитуда и частота приложенного напряжения) и высокий оптический контраст возникающих структур вследствие оптической анизотропии НЖК дают значительные преимущества при экспериментальных исследованиях электроконвекции.

Идеи Kappa [8] и Хельфриха [9] о механизме развития электроконвекции в анизотропных жидкостях привели к построению стандартной модели электроконвекции [3, 10-13], в рамках которой были рассчитаны пороговые характеристики неустойчивостей. Сценарий неустойчивости определяется знаками анизотропии диэлектрической проницаемости еа и проводимости сга и исходным распределением поля директора п [14]. С точки зрения стандартной модели, необходимым условием возникновения электроконвективной неустойчивости является положительный знак анизотропии проводимости <та > 0.

Открытие режима так называемой "нестандартной" электроконвекции в НЖК с аа < 0 [14-16], при котором конвективный механизм Карра-Хель-фриха не работает, инициировало дальнейшее развитие теоретических моделей. Нестандартная электроконвекция получила свое объяснение в рамках модели, учитывающей флексополяризацию [17, 18], и дающей хорошее количественное согласие с экспериментальными пороговыми характеристиками. Существенное влияние флексополяризации на электроконвекцию было продемонстрировано ранее также и для НЖК с сга > 0 [19, 20].

В отличие от порога образования электроконвективных роллов, который к настоящему времени достаточно детально исследован экспериментально и

теоретически, поведение системы в закритической области гораздо менее изучено. Характерной особенностью электроконвекции в НЖК выше порога образования конвективных роллов является большое многообразие вторичных неустойчивостей и сценариев эволюции неравновесных структур, обусловленное различными нелинейными взаимодействиями гидродинамических и ори-ентационных мод. Одним из наиболее важных механизмов, определяющих развитие вторичных неустойчивостей в закритической области, является возбуждение однородной твист моды директора, представляющей собой вращение директора в плоскости ЖК-слоя [21, 22]. Было установлено, что увеличение приложенного переменного напряжения выше порога электроконвекции в планарном слое НЖК приводит к возбуждению твист моды и сопровождается образованием так называемых "анормальных" (abnormal) роллов [21, 23, 24]. Кроме того, взаимодействие твист моды с конвективными модами роллов в переменном электрическом поле может приводить к развитию локальных осцилляций между двумя вырожденными состояниями наклонных роллов (так называемых "зиг" и "заг" роллов) [22]. Динамика таких осцилляций представляет собой типичные картины пространственно-временного хаоса [25, 26]. Необходимо отметить, что теоретическая модель [22], описывающая осцилляции в электроконвективных структурах, не учитывает влияние флексоэффекта. Другое ограничение модели связано с тем, что она не принимает во внимание электролитические свойства ЖК. В тоже время, эти эффекты являются существенно важными при электроконвекции в постоянном электрическом поле.

При воздействии постоянного напряжения развитие электроконвекции в закритической области может приводить к формированию двумерной структуры, представляющей собой суперпозицию зиг и заг роллов [27-29]. Потеря устойчивости такой структуры также сопровождается развитием зиг-заг осцилляций. В отличие от случая переменного поля, зиг-заг осцилляции в

постоянном поле упорядочены в плоскости ЖК-слоя. Пространственно-временной порядок этих осцилляций обусловлен их синхронизацией, ведущей к генерации фазовых волн: плоских, спиральных и концентрических [30, 31] и отражает самоорганизацию системы на новом пространственно-временном масштабе. Ранее были описаны некоторые свойства этих зиг-заг осцилляций [29, 30, 32, 33], однако механизм их возникновения и самоорганизации остается практически не изученным.

Изучение нестационарных электроконвективных структур, поиск новых режимов и эффектов способствуют развитию нелинейной теории электроконвекции. Равным образом, результаты таких исследований представляют интерес для решения фундаментальных вопросов образования и разрушения пространственно-временного порядка в сложных системах.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является экспериментальное изучение последовательности структурных переходов в планарном слое НЖК МББА (полное название - п-метоксибензилиден-п'-бутиланилин), индуцированных электрическим полем; исследование пространственно-временной динамики и эффектов синхронизации в закритическом режиме электроконвекции при воздействии постоянного, переменного и комбинированного напряжений; выбор и апробация модели, качественно описывающей эффекты синхронизации в изучаемой системе.

Научная новизна

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые показано:

- В планарном слое НЖК МББА при воздействии постоянного напряжения выше критического возникает система продольных доменов, ориентированных вдоль исходной ориентации директора п0.

- Образование двумерной электроконвективной доменной решетки при

воздействии постоянного напряжения сопровождается пороговой деформацией волновых векторов исходной структуры наклонных роллов с варикозной неустойчивостью; переход обладает свойствами докритиче-ской бифуркации.

- Потеря устойчивости доменной решетки сопровождается возбуждением двух мод доменных осцилляций.

- Периодическое воздействие на осциллирующую доменную решетку приводит к подавлению фазовых волн и образованию кластеров с полной фазовой синхронизацией.

- Увеличение постоянной составляющей комбинированного напряжения в режиме развитых доменных осцилляций ведет к значительному росту пространственно-временных корреляций и генерации фазовых волн, аналогичных фазовым волнам при воздействии только постоянного напряжения.

Практическая значимость

- Разработанная автоматизированная экспериментальная установка и методы обработки данных могут быть использованы для исследования других эффектов и явлений в ЖК, связанных с изменением пространственно-временного порядка.

- Полученные экспериментальные результаты могут быть использованы при построении модели электроконвекции в НЖК с учетом флексопо-ляризации и электролитических свойств НЖК.

- Результаты работы могут быть полезны для развития представлений об общих закономерностях возникновения фазовых волн в осциллирующих средах и их свойствах.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1 При воздействии постоянного напряжения в планарном слое НЖК МБ-БА возникают продольные домены, которые имеют флексоэлектриче-скую природу и связаны с формированием двойного электрического слоя.

2 Периодическое воздействие на осциллирующую доменную решетку с частотой равной удвоенной частоте доменных осцилляций ведет к подавлению фазовых волн и образованию кластеров с полной фазовой синхронизацией.

3 Рост пространственно-временных корреляций и полная фазовая синхронизация активных мод в электроконвективной структуре при увеличении постоянной составляющей комбинированного напряжения обусловлены действием флексоэлектрического механизма.

Апробация работы

Основные результаты, изложенные в диссертации, были представлены на: IV-й (Закопане, Польша; 1997 г.) и V-й (Херсониссос, Греция; 1999 г.) Европейских конференциях по жидким кристаллам, Конференции по нелинейной динамике и стохастическому поведению сложных системах РК8'97 (Будапешт, Венгрия; 1997 г.), XVIГй Международной конференции по жидким кристаллам (Страсбург, Франция; 1998 г.), Х-й, ХШ-й и XVП-й Всероссийской конференции "Структура и динамика молекулярных систем" (Яльчик; 2003, 2006 и 2010 г.г.), 16-ом семинаре по нелинейной динамике (Байройт, Германия; 2011 г.).

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 18 печатных работах, из них 6 статей в рецензируемых журналах [32, 34-38], 3 статьи в сборниках трудов конференций [33, 39, 40] и 9 тезисов докладов [41-49].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит их введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа содержит 121 страницу текста, 56 рисунков и 153 ссылки на литературные источники.

В первой главе описаны базовые представления о жидкокристаллическом состоянии вещества. Сделан обзор актуальных моделей электроконвекции НЖК и описываемых ими экспериментальных результатов. Представлены подходы к описанию эволюции электроконвективных структур выше порога неустойчивости.

Во второй главе описана методика экспериментальных исследований: приготовление НЖК-образцов, экспериментальная установка, методы обработки экспериментальных данных.

В третьей главе изложены результаты экспериментального исследования последовательности переходов "продольные домены" н-> "наклонные электроконвективные роллы с варикозной неустойчивостью" доменная решетка", реализующейся в планарном слое НЖК МББА при увеличении приложенного постоянного напряжения. Изучены эффекты синхронизации, возникающие в осциллирующей доменной решетке.

В четвертой главе представлены результаты экспериментального изучения пространственно-временного порядка в осциллирующей электроконвективной структуре при комбинированном действии постоянного и переменного напряжений на планарный слой НЖК МББА.

В пятой главе предложена модель осциллирующей доменной решетки, основанная на модели Курамото. Представлены результаты моделирования, качественно описывающие экспериментально обнаруженные эффекты синхро-

низации в исследованной системе.

В заключении изложены основные результаты и выводы, полученные в диссертации.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Батыршин, Эдуард Сафаргалиевич

Основные результаты и выводы

1. Первой неустойчивостью, возникающей в планарном слое НЖК МБ-БА в постоянном электрическом поле, является флексоэлектрическая, которая приводит к формированию системы продольных доменов, ориентированных вдоль исходной ориентации директора п0. Образование продольных флексоэлектрических доменов обусловлено наличием двойного электрического слоя вблизи электродов ЖК-ячейки.

2. Двумерная в плоскости ЖК-слоя доменная структура образуется в результате развития варикозной неустойчивости в системе наклонных роллов и пороговой деформации их волновых векторов. В области перехода наклонные роллы и доменная решетка сосуществуют.

3. Наличие гистерезиса в пороге перехода "наклонные роллы - доменная решетка" и сосуществование структур свидетельствует о том, что образование доменной решетки носит характер докритической (эиЬсгШса!) бифуркации.

4. Пространственно-временная динамика осциллирующей доменной решетки сопровождается образованием кластеров, представляющих собой области, где осцилляции синхронизированы по частоте. Фазы доменных осцилляций упорядочены в виде фазовых волн. Основные типы наблюдаемых в системе фазовых волн: плоские, концентрические и спиральные волны.

5. Периодическое внешнее воздействие с частотой равной удвоенной частоте доменных осцилляций подавляет фазовые волны и приводит к образованию кластеров с полной фазовой синхронизацией. Границы кластеров проявляют медленную динамику с характерными временами много большими периода доменных осцилляций.

6. Увеличение постоянной составляющей комбинированного напряжения в режиме развитых доменных осцилляций приводит к пороговому росту пространственно-временной упорядоченности структуры. При этом наступает полная фазовая синхронизация локальной динамики активных мод (гидродинамических конвективных мод и ориентационной твист моды директора). Переход обусловлен действием механизма флексополя-ризации.

7. Экспериментально обнаруженные эффекты синхронизации активных мод и вынужденной синхронизации при периодическом воздействии хорошо описываются, на качественном уровне, в рамках модельных представлений, основанных на модели Курамото с локальной связью.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Батыршин, Эдуард Сафаргалиевич, 2012 год

Литература

1. Cross М., Greenside Н. Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems. 1 edition. Cambridge University Press, 2009. ISBN: 0521770505.

2. Ахромеева T.C., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Структуры и хаос в нелинейных средах. Физматлит, 2007. ISBN: 978-5-9221-0887-4.

3. де Жен П. Физика жидких кристаллов. МИР, 1977.

4. Блинов JI. М. Электро- магнитооптика жидких кристаллов. Наука, 1978.

5. Pattern Formation in Liquid Crystals (Partially Ordered Systems), Ed. by A. Buka, L. Kramer. 1 edition. Springer, 1996. ISBN: 0387946047.

6. Pesch W., Behn U. Electrohydrodynamic Convection in Nematics // Evolution of Spontaneous Structures in Dissipative Continuous Systems. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1998. Vol. 55 of Lecture Notes in Physics. P. 335-383.

7. Buka A., Éber N., Pesch W., Kramer L. Convective patterns in liquid crystals driven by electric field // Self-Assembly, Pattern Formation and Growth Phenomena in Nano-Systems / Ed. by A. A. Golovin, A. A. Nepomnyashchy. Springer, 2006. P. 55+.

8. Carr E. F. Influence of Electric Fields on the Molecular Alignment in the Liquid Crystal <i>p</i>-(Anisalamino)-phenyl Acetate // Mol. Cryst. 1969. Vol. 7. P. 253-268.

9. Helfrich W. Conduction-Induced Alignment of Nematic Liquid Crystals: Basic Model and Stability Considerations // The Journal of Chemical Physics. 1969. Vol. 51, no. 9. P. 4092-4105.

10. Dubois-Violette, E., de Gennes, P.G., Parodi, 0. Hydrodynamic instabilities of nematic liquid crystals under A. C. electric fields //J. Phys. France. 1971. Vol. 32, no. 4. P. 305-317.

11. Dubois-Violette, E. Theory of instabilities of nematics under А. С electric fields : Special effects near the cut off frequency //J. Phys. France. 1972. Vol. 33, no. 1. P. 95-100.

12. Bodenschatz E., Zimmermann W., Kramer L. On electrically driven pattern-forming instabilities in planar nematics // Journal de Physique. 1988. Vol. 49, no. 11. P. 1875-1899.

13. Пикин С. А. Структурные превращения в жидких кристаллах. Наука, 1981.

14. Buka A., Eber N., Pesch W., Kramer L. Isotropic and anisotropic electroconvection // Phys. Rep. 2007. Vol. 448, no. 5-6. P. 115-132.

15. Kochowska E. d. z., Nemeth S., Pelzl G., Buka A. Electroconvection with and without the Carr-Helfrich effect in a series of nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70, no. 1. P. 011711.

16. Wiant D., Gleeson J. Т., Eber N. et al. Nonstandard electroconvection in a bent-core nematic liquid crystal // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72, no. 4. P. 041712.

17. Krekhov A., Pesch W., Eber N. et al. Nonstandard electroconvection and flexoelectricity in nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 77. P. 021705.

18. Krekhov A., Pesch W., Buka A. Flexoelectricity and pattern formation in nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 2011. Vol. 83, no. 5. P. 051706.

19. Toth-Katona Т., Eber N., Buka A., Krekhov A. Flexoelectricity and competition of time scales in electroconvection // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 78. P. 036306.

20. May M., Schopf W., Rehberg I. et al. Transition from longitudinal to transversal patterns in an anisotropic system // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 78. P. 046215.

21. Plaut E., Decker W., Rossberg A. G. et al. New Symmetry Breaking in Nonlinear Electroconvection of Nematic Liquid Crystals // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 79, no. 12. P. 2367-2370.

22. Plaut E., Pesch W. Extended weakly nonlinear theory of planar nematic convection // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 59, no. 2. P. 1747-1769.

23. Rudroff S., Zhao H., Kramer L., Rehberg I. Secondary Instabilities Form a Codimension-2 Point Accompanied by a Homoclinic Bifurcation // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81, no. 19. P. 4144-4147.

24. Rudroff S., Frette V., Rehberg I. Relaxation of abnormal rolls in planarly aligned electroconvection // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 59. P. 1814-1820.

25. Dennin M. Temporal modulation of the control parameter in electroconvection in the nematic liquid crystal 152 // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 62. P. 7842-7847.

26. Dangelmayr G., Acharya G., Gleeson J. T. et al. Diagnosis of spatiotemporal chaos in wave envelopes of a nematic electroconvection pattern // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 79, no. 4. P. 046215.

27. Чувыров A. H., Трофимов A. H. Ориентационные осцилляции доменных структур жидких кристаллов. Механизм образования шестиугольных

доменных структур в постоянных электрических полях. // Кристаллография. 1972. Т. 17, № 6. С. 1205+.

28. Hirata S., Tako Т. Coherent Oscillation of Domains of Nematic Liquid Crystals in a DC Electric Field // Japanese Journal of Applied Physics. 1981. Vol. 20, no. 6. P. L459-L461.

29. A. H. Чувыров, В. Г. Чигринов. Undamped domain structure oscillations in nematic liquid crystals in dc and ac electric fields // JETP. 1984. Vol. 60, no. 1. P. 101+.

30. Delev V. A., Scaldin 0. A., Chuvyrov A. N. Dynamics of dissipative structures and the transition to turbulence in a nematic liquid crystal // Liq. Cryst. 1992. Vol. 12, no. 3. P. 441-448.

31. Delev V. A., Scaldin O. A., Chuvyrov A. N. Auto-Waves in Liquid Crystals. I. Nonstationary Electrohydrodynamic Instability // Mol. Cryst. Liq. Crys. 1992. Vol. 215, no. 1. P. 179-186.

32. Батыршин Э. С., Делев В. А., Чувыров А. Н. Две моды доменный осцил-ляций при электрогидродинамической конвекции в нематических жидких кристаллах // Кристаллография. 1999. Т. 44, № 3. С. 548-550.

33. Delev V. A., Batyrshin Е. S., Scaldin О. A., Chuvyrov А. N. Two Mode of Domain Oscillations in Electrohydrodynamic Convection of Nematic Liquid Crystal // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1999. Vol. 329. P. 499-506.

34. Батыршин Э. С., Делев В. А., Скалдин О. А., Чувыров А. Н. Механизм развития ЭГД-неустойчивости в НЖК в постоянном электрическом поле // Вестник Башгосуниверситета. 1997. T. 1. С. 26-28.

35. А. H. Чувыров, О. А. Скалдин, В. А. Делев и др. Структура и динамика дислокаций Френкеля-Конторовой при электроконвекции в жидких кристаллах // ЖЭТФ. 2006. Т. 130, № 6. С. 1072-1081.

36. Делев В. А., Скалдин О. А., Батыршин Э. С., Аксельрод Е. Г. Хаотическая динамика в системе электроконвекции нематического жидкого кристалла // ЖТФ. 2011. Т. 81, № 1. С. 11-18.

37. О. А. Скалдин, В. А. Делев, Е. С. Шиховцева и др. Бризеры в одномерной ролловой структуре закрученных нематиков // Письма в ЖЭТФ. 2011. Т. 93. С. 431-436.

38. Батыршин Э. С., Крехов А. П., Делев В. А., Скалдин О. А. О роли флек-соэффекта в синхронизации осцилляций электроконвективных роллов в нематиках // ЖЭТФ. 2012. Т. 141, № 4. С. 1-6.

39. Batyrshin Е. S., Delev V. A., Scaldin О. A. Pattern Formation in ЕНС of Planar Nematic Layer with Cylindrical Director Field Configuration // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1999. Vol. 331. P. 1-8.

40. Батыршин Э. С., Делев В. А., Скалдин О. А. Динамический хаос в системе электроконвекции НЖК // Структура и динамика молекулярных систем: Сб. статей. Вып. XVII, Ч. 1. Уфа: ИФМК УНЦ РАН, 2010. С. 287-290.

41. Batyrshin Е. S., Delev V. A., Chuvyrov А. N. Nonstationary domain ocsillations in ЕНС of NLC // Abstracts of ECLC. Zakopane, Poland: 1997. P. 270.

42. Batyrshin E. S., Delev V. A., Chuvyrov A. N., Scaldin O. A. Two modes of domain oscillations in electrohydrodynamic convection in nematic liquid crystal // Abstracts of PNS'97. Budapest, Hungary: 1997. P. 113.

43. Delev V. A., Batyrshin E. S., Chuvyrov A. N., Scaldin 0. A. Synhronization effect of domain oscillation in electrohydrodynamic convection in liquid crystals // Abstracts of PNS'97. Budapest, Hungary: 1997. P. 114.

44. Batyrshin E. S., Delev V. A., Migranov N. G., Scaldin 0. A. Pattern formation in planar NLC-cell with cylindric boundary condition under AC electric field // Abstracts of 17th ILCC. Strasbourg, France: 1998. P. 253.

45. Batyrshin E. S., Delev V. A., Chuvyrov A. N., Scaldin O. A. 2-mode type of domain lattice instability in electrohydrodynamic convection of nematic liquid crystal // Abstracts of 17th ILCC. Strasbourg, France: 1998. P. 253.

46. Delev V. A., Batyrshin E. S., Axelrod E. G., Scaldin 0. A. Self-organization Dynamics of 2D-pattern in electroconvection of nematic liquid crystal // Abstracts of ECLC99. Crete, Greece: 1999. P. 1-036.

47. Батыршин Э. С., Делев В. А. Пространственно-временной хаос в системе электроконвекции НЖК // Тезисы X Всероссийской конференции "Структура и динамика молекулярных систем". Яльчик: 2003. С. 95.

48. Батыршин Э. С., Делев В. А., Скалдин О. А. Синхронизация доменных осцилляций в системе электроконвекции ЖК // Тезисы XIII Всероссийской конференции "Структура и динамика молекулярных систем". Яльчик: 2006. С. 81.

49. Batyrshin Е. S., Delev V. A., Scaldin О. A. The influence of flexoelectricity on the spatiotemporal order in planar nematic electroconvection // Abstracts of 16th fall seminar on nonlinear dynamics. Bayreuth, Germany: 2011. P. p-42.

50. Клеман M., Лаврентович О.Д. Основы физики частично упорядоченных

сред: Жидкие кристаллы, коллоиды, фрактальные структуры, полимеры и биологические объекты. Физматлит, 2007. ISBN: 978-5-9221-0699-3.

51. Blinov L. М. Structure and Properties of Liquid Crystals (Topics in Applied Physics). 1st edition, edition. Springer, 2011. ISBN: 9789048188284.

52. Meyer R. B. Piezoelectric Effects in Liquid Crystals // Phys. Rev. Lett. 1969. Vol. 22, no. 18. P. 918-921.

53. Harden J., Teeling R., Gleeson J. T. et al. Converse flexoelectric effect in a bent-core nematic liquid crystal // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 78, no. 3. P. 031702.

54. Prost J., Marcerou J. On the microscopic interpretation of flexoelectricity // Journal de Physique. 1977. Vol. 38, no. 3. P. 315-324.

55. Ericksen J. L. Some magnetohydrodynamic effects in liquid crystals // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1966. Vol. 23. P. 266-275.

56. Leslie F. M. Some constitutive equations for anisotropic fluids // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1966. Vol. 19, no. 3. P. 357-370.

57. Kramer L., Pesch W. Electrohydrodynamic Convection in Nematics // Physical properties of liquid crystals, Vol. 1, Ed. by D. A. Dunmur, A. Fukuda, G. R. Luckhurst. EMIS Datareview Series, 2000.

58. Kai S., Hirakawa K. Successive Transitions in Electrohydrodynamic Instabilities of Nematics // Progress of Theoretical Physics Supplement. 1978. Vol. 64. P. 212-243.

59. Joets A., Ribotta R. Localized, Time-Dependent State in the Convection

of a Nematic Liquid Crystal // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 60, no. 21. P. 2164-2167.

60. Rehberg I., Rasenat S., Steinberg V. Traveling Waves and Defect-Initiated Turbulence in Electroconvecting Nematics // Phys. Rev. Lett. 1989. Vol. 62, no. 7. P. 756-759.

61. Treiber M., Kramer L. Bipolar Electrodiffusion Model for Electroconvection in Nematics // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1995. Vol. 261. P. 311-326.

62. Dennin M., Treiber M., Kramer L. et al. Origin of Traveling Rolls in Electroconvection of Nematic Liquid Crystals // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76, no. 2. P. 319-322.

63. Treiber M. On the Theory of the Electrohydrodynamic Instability in Nematic Liquid Crystals near Onset: Ph.D. thesis / University of Bayreuth. 1996.

64. Ю. П. Бобылев, С. А. Пикин. Пороговая пьезоэлектрическая неустойчивость в жидком кристалле // ЖЭТФ. 1977. Т. 72. С. 369-374.

65. М. И. Барник, JI. М. Блинов, А. Н. Труфанов, Б. А. Уманский. Флексо-электрические домены в нематических жидких кристаллах // ЖЭТФ. 1977. Т. 73. С. 1936-1943.

66. Madhusudana N., Raghunathan V., К. S. Flexoelectric origin of oblique roll electrohydrodynamic instability in nematics // Pramana. 1987. Vol. 28, no. 3. P. L311-L316-L316.

67. Ribotta R., Joets A., Lei L. Oblique Roll Instability in an Electroconvective Anisotropic Fluid // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 56, no. 15. P. 1595-1597.

68. Raghunathan V., Madhusudana N. Flexoelectric origin of oblique rolls with

helical flow in electroconvective nematics under DC excitation // Pramana. 1988. Vol. 31, no. 2. P. L163-L167-L167.

69. Thom W., Zimmermann W., Kramer L. The influence of the flexoelectric effect on the electrohydrodynamic instability in nematics // Liq. Cryst. 1989. Vol. 4, no. 3. P. 309-316.

70. Kramer L., Bodenschatz E., Pesch W. et al. Invited Lecture. New results on the electrohydrodynamic instability in nematics // Liq. Cryst. 1989. Vol. 5, no. 2. P. 699-715.

71. Toth-Katona T., Cauquil-Vergnes A., Eber N., Buka A. Nonstandard electroconvection with Hopf bifurcation in a nematic liquid crystal with negative electric anisotropics // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 75, no. 6. P. 066210.

72. Heuer J., Stannarius R., Tamba M.-G., Weissflog W. Longitudinal and normal electroconvection rolls in a nematic liquid crystal with positive dielectric and negative conductivity anisotropy // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 77, no. 5. P. 056206.

73. Tadapatri P., Krishnamurthy K. S., Weissflog W. Multiple electroconvection scenarios in a bent-core nematic liquid crystal // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 82, no. 3. P. 031706.

74. Kaur S., Belaissaoui A., Goodby J. W. et al. Nonstandard electroconvection in a bent-core oxadiazole material // Phys. Rev. E. 2011. Vol. 83, no. 4. P. 041704.

75. Goscianski M., Leger L. Electrohydrodjmamic instabilities above a nematic to smectic A (or C) transition // Le Journal de Physique Colloques. 1975. Vol. 36, no. CI. P. C1-231-C1-235.

76. Blinov L. M., Barnik M. I., Lazareva V. T., Trufanov A. N. Electrohydrodynamic instabilities in the liquid crystalline phases with smectic ordering // Le Journal de Physique Colloques. 1979. Vol. 40, no. C3. P. C3-263-C3-268.

77. Huh J.-H., Hidaka Y., Rossberg A. G., Kai S. Pattern formation of chevrons in the conduction regime in homeotropically aligned liquid crystals // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 61, no. 3. P. 2769-2776.

78. Huh J.-H., Yusuf Y., Hidaka Y., Kai S. Prewavy instability of nematic liquid crystals in a high-frequency electric field // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 66, no. 3. P. 031705.

79. Nasuno S., Sasaki O., Kai S., Zimmermann W. Secondary instabilities in electroconvection in nematic liquid crystals // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 46, no. 8. P. 4954-4962.

80. Ribotta R., Joets A. Pinching instability of convective rolls in an anisotropic fluid : first step to chaos // Journal de Physique. 1986. Vol. 47, no. 5. P. 739-743.

81. Joets A., Ribotta R. Hydrodynamic transitions to chaos in the convection of an anisotropic fluid // Journal de Physique. 1986. Vol. 47, no. 4. P. 595-606.

82. Kai S., Zimmermann W. Pattern Dynamics in the Electrohydrodynamics of Nematic Liquid Crystals // Progress of Theoretical Physics Supplement. 1989. Vol. 99. P. 458-492.

83. Janiaud B., Kokubo H., Sano M. Coupled phase instability of a cellular pattern // Phys. Rev. E. 1993. Vol. 47. P. R2237-R2240.

84. Oikawa N., Hidaka Y., Kai S. Formation of a defect lattice in electroconvection of nematics // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70, no. 6. P. 066204.

85. Tatsumi S., Sano M., Rossberg A. G. Observation of stable phase jump lines in convection of a twisted nematic liquid crystal // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73, no. 1. P. 011704.

86. Kaiser M., Pesch W. Amplitude equations for the electrohydrodynamic instability in nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 1993. Vol. 48, no. 6. P. 4510-4528.

87. Kramer L., Bodenschatz E., Pesch W. Interaction and dynamics of defects in anisotropic pattern-forming systems // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 64. P. 2588-2588.

88. Bodenschatz E., Weber A., Kramer L. Interaction and dynamics of defects in convective roll patterns of anisotropic fluids //J. Stat. Phys. 1991. Vol. 64. P. 1007-1015.

89. Kramer L., Dressel B., Zhao H., Pesch W. Theory of Electroconvection for the Gourmet // Mol. Cryst. Liq. Crys. 2001. Vol. 364, no. 1. P. 101-110.

90. Treiber M., Kramer L. Coupled complex Ginzburg-Landau equations for the weak electrolyte model of electroconvection // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58, no. 2. P. 1973-1982.

91. Dennin M., Ahlers G., Cannell D. S. Chaotic Localized States near the Onset of Electroconvection // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 77, no. 12. P. 2475-2478.

92. Dennin M., Cannell D. S., Ahlers G. Patterns of electroconvection in a nematic liquid crystal // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 57, no. 1. P. 638-649.

93. Oprea I., Triandaf I., Dangelmayr G., Schwartz I. B. Quantitative and qualitative characterization of zigzag spatiotemporal chaos in a system of amplitude equations for nematic electroconvection // Chaos. 2007. Vol. 17, no. 2. P. 023101+.

94. Plaut E., Ribotta R. Weakly nonlinear analysis of the secondary bimodal instability in planar nematic convection // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 56, no. 3. P. R2375-R2378.

95. Rossberg A. G. Three-dimensional pattern formation, multiple homogeneous soft modes, and nonlinear dielectric electroconvection // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 62, no. 6. P. 8114-8132.

96. Zhao H., Kramer L. Zigzag structures and domain walls in electroconvection of nematic liquid crystal // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 62, no. 4. P. 5092-5100.

97. Dressel B., Joets A., Pastur L. et al. Competition of Periodic and Homogeneous Modes in Extended Dynamical Systems // Phys. Rev. Lett. 2002. no. 2. P. 024503+.

98. Komineas S., Zhao H., Kramer L. Modulated structures in electroconvection in nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 67, no. 3. P. 031701.

99. Funfschilling D., Sammuli B., Dennin M. Patterns of electroconvection in the nematic liquid crystal N4 // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 67. P. 016207.

100. Riecke H., Silber M., Kramer L. Temporal forcing of small-amplitude waves in anisotropic systems // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 49. P. 4100-4113.

101. de la Torre Juárez M., Rehberg I. Four-wave resonance in electrohydrodynamic convection // Phys. Rev. A. 1990. Vol. 42. P. 2096-2100.

102. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Science. Cambridge University Press, 2002. ISBN; 0521592852.

103. Manrubia S. C., Mikhailov A. S., Zanette D. H. Emergence of Dynamical Order. Synchronization Phenomena in Complex Systems. World Scientific, 2004. Vol. 2 of World Scientific Lecture Notes in Complex Systems. ISBN: 981-238-803-6.

104. Winfree A. T. Biological rhythms and the behavior of populations of coupled oscillators // J. Theor. Biol. 1967. Vol. 16, no. 1-4. P. 15-42.

105. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence. SpringerVerlag Berlin Heidelberg New York Tokyo, 1984. ISBN: 3-540-13322-4.

106. Strogatz S. From Kuramoto to Crawford: exploring the onset of synchronization in populations of coupled oscillators // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2000. Vol. 143, no. 1-4. P. 1-20.

107. Acebrón J. A., Bonilla L. L., Pérez Vicente C. J. et al. The Kuramoto model: A simple paradigm for synchronization phenomena // Rev. Mod. Phys. 2005. Vol. 77. P. 137-185.

108. Strogatz S. H., Mirollo R. E., Matthews P. C. Coupled nonlinear oscillators below the synchronization threshold: Relaxation by generalized Landau damping // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 68. P. 2730-2733.

109. Bonilla L. L., Neu J. C., Spigler R. Nonlinear stability of incoherence and collective synchronization in a population of coupled oscillators //J. Stat. Phys. 1992. Vol. 67. P. 313-330.

110. Crawford J. Amplitude expansions for instabilities in populations of globally-coupled oscillators // J. Stat. Phys. 1994. Vol. 74. P. 1047-1084.

111. Balmforth N. J., Sassi R. A shocking display of synchrony // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2000. Vol. 143. P. 21 - 55.

112. Aeyels D., Rogge J. A. Existence of Partial Entrainment and Stability of Phase Locking Behavior of Coupled Oscillators // Progress of Theoretical Physics. 2004. Vol. 112, no. 6. P. 921-942.

113. Maistrenko Y., Popovych O., Burylko O., Tass P. A. Mechanism of Desynchronization in the Finite-Dimensional Kuramoto Model // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93. P. 084102.

114. Mirollo R. E., Strogatz S. H. The spectrum of the locked state for the Kuramoto model of coupled oscillators // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2005. Vol. 205. P. 249 - 266.

115. Chopra N., ong M. W. S. On Synchronization of Kuramoto Oscillators // IEEE Conference on Decision and Control. 2005. P. 3916-3922.

116. Sakaguchi H., Shinomoto S., Kuramoto Y. Mutual Entrainment in Oscillator Lattices with Nonvariational Type Interaction // Progress of Theoretical Physics. 1988. Vol. 79, no. 5. P. 1069-1079.

117. Daido H. Lower Critical Dimension for Populations of Oscillators with Randomly Distributed Frequencies: A Renormalization-Group Analysis // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 61. P. 231-234.

118. Strogatz S. H., Mirollo R. E. Collective synchronisation in lattices of nonlinear oscillators with randomness // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1988. Vol. 21, no. 13. P. L699.

119. Strogatz S. H., Mirollo R. E. Phase-locking and critical phenomena in lattices of coupled nonlinear oscillators with random intrinsic frequencies // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1988. Vol. 31, no. 2. P. 143 - 168.

120. Niebur E., Schuster H. G., Kämmen D. M., Koch C. Oscillator-phase coupling for different two-dimensional network connectivities // Phys. Rev. A. 1991. Vol. 44. P. 6895-6904.

121. Rogers J. L., Wille L. T. Phase transitions in nonlinear oscillator chains // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 54. P. R2193-R2196.

122. Chowdhury D., Cross M. C. Synchronization of oscillators with long-range power law interactions // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 82. P. 016205.

123. Shinomoto S., Kuramoto Y. Phase Transitions in Active Rotator Systems // Progress of Theoretical Physics. 1986. Vol. 75, no. 5. P. 1105-1110.

124. Sakaguchi H. Cooperative Phenomena in Coupled Oscillator Systems under External Fields // Progress of Theoretical Physics. 1988. Vol. 79, no. 1. P. 39-46.

125. Kelker H., Hätz R. Handbook of Liquid Crystals. Wiley-VCH Verlag GmbH, 1998. ISBN: 3527254811.

126. Edited by: Dietrich Demus. Fundamentals, Volume 1, Handbook of Liquid Crystals. 1 edition. Wiley-VCH, 2008. ISBN: 3527292705.

127. Baur G., Wittwer V., Berreman D. Determination of the tilt angles at surfaces of substrates in liquid crystal cells // Physics Letters A. 1976. Vol. 56, no. 2. P. 142 - 144.

128. Rasenat S., Härtung G., Winkler B. L., Rehberg I. The shadowgraph method in convection experiments // Experiments in Fluids. 1989. Vol. 7. P. 412+.

129. Plaut E., Joets A., Ribotta R. Optical characterization of the director field in a distorted nematic layer //J. Phys. France. 1997. Vol. 7. P. 2459+.

130. Amm H., Stannarius R., Rossberg A. G. Optical characterization of chevron texture formation in nematic electroconvection // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1999. Vol. 126, no. 3-4. P. 171-188.

131. Scheuring M., Kramer L., Peinke J. Formation of chevrons in the dielectric regime of electroconvection in nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58, no. 2. P. 2018-2026.

132. Rosenblum M., Pikovsky A., Kurths J. et al. Phase synchronization: from theory to data analysis // Handbook of Biological Physics, Ed. by F. Moss, S. Gielen. 2001. Vol. 4. P. 279+.

133. Lachaux J.-P., Rodriguez E., JacquesMartinerie, Varela F. J. Measuring Phase Synchrony in Brain Signals // Human Brain Mapping. 1999. Vol. 8. P. 194-208.

134. Hramov A. E., Koronovskii A. A. An approach to chaotic synchronization // Chaos. 2004. Vol. 14, no. 3. P. 603-610.

135. Короновский А. А., Храмов A. E. Непрерывный вейвлетный анализ. Физ-матлит, 2003. ISBN: 5-9221-0389-Х.

136. Кузнецов С. П. Динамический хаос. Физматлит, 2006. ISBN: 5-94052-100-2.

137. Grassberger P., Procaccia I. Characterization of Strange Attractors // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 50. P. 346-349.

138. Mane R. On the dimension of the compact invariant sets of certain nonlinear

maps // Dynamical Systems and Turbulence, Lecture Notes in Mathematics, Ed. by D. Rand, L. S. Yang. 1981. P. 230-242.

139. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J.-M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. A. 1976. Vol. 14. P. 2338-2345.

140. Eckmann J. P., Kamphorst S. 0., Ruelle D., Ciliberto S. Liapunov exponents from time series // Phys. Rev. A. 1986. Vol. 34. P. 4971-4979.

141. Песин Я. Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эрго-дическая теория // Успехи математических наук. 1977. Т. 32. С. 55-112.

142. Hinov Н. P., Vistin L. К. Parallel and cross-like domains due to d.c. and low frequency (< 2 Hz) electric fields in nematic liquid crystal layers with negative dielectric anisotropy // Journal de Physique. 1979. Vol. 40, no. 3. P. 269-292.

143. Derzhanski A., Petrov A. G., Khinov С. P. В., Markovski L. Piezoelectric deformations of nematic liquid cristals in nonhomogeneous d.c. electric field // Bulg. J. Phys. 1974. Vol. 1. P. 165-b

144. Advances in Liquid Crystal Research and Applications. Pergamon, Oxford-Klado Budapest, 1980.

145. С. И. Жданов, H. П. Грачева. Электрохимия жидких кристаллов // Жидкие кристаллы / Под ред. С. И. Жданов. Химия, 1979. С. 35-65.

146. Murakami S., Naito Н. Charge Injection and Generation in Nematic Liquid Crystal // Jpn. J. Appl. Phys. 1997. Vol. 36. P. 773-776.

147. Naemura S., Sawada A. Ionic Conduction In Nematin And Smectic A Liquid Crystals // MCLC. 2003. Vol. 400, no. 1. P. 79-96.

148. Barbero, G., Freire, F. C. M., Scalerandi, M. Behavior of an electrolytic cell containing two groups of ions submitted to a step-like external voltage // Eur. Phys. J. E. 2009. Vol. 30. P. 245-256.

149. Alexe-Ionescu A. L., Barbero G., Lelidis I. Models for ionic contribution to the complex dielectric constant of nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 80. P. 061203.

150. Macdonald J. R. Utility of continuum diffusion models for analyzing mobile-ion immittance data: electrode polarization, bulk, and generation-recombination effects // J. Phys.: Condens. Matter. 2010. Vol. 22, no. 49. P. 495101.

151. Korniychuk P. P., Gabovich A. M., Singer K. et al. Transient and steady electric currents through a liquid crystal cell // LC. 2010. Vol. 37, no. 9. P. 1171-1181.

152. Plaut E., Pastur L., Ribotta R. Spatio-temporal patterns in the thermoconvection of a planar nematic layer: II. Experiments // The European Physical Journal B - Condensed Matter and Complex Systems. 1998. Vol. 5. P. 283-297.

153. Malraison, B., Atten, P., Berge, P., Dubois, M. Dimension of strange attractors : an experimental determination for the chaotic regime of two convective systems // J. Physique Lett. 1983. Vol. 44. P. 897-902.

154. Swinney H. L., Gollub J. Characterization of hydrodynamic strange attractors // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1986. Vol. 18, no. 1-3. P. 448 - 454.

155. Zhou S.-Q., Ahlers G. Spatiotemporal chaos in electroconvection of a

homeotropically aligned nematic liquid crystal // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 74. P. 046212.