Обратные экстремальные задачи для стационарных моделей переноса вещества тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Соболева, Ольга Владимировна

• Соболева, Ольга Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соболева, Ольга Владимировна

Введение

1 Коэффициентные обратные экстремальные задачи для стационарного уравнения конвекции—диффузии—реакции

1.1 Постановка исходной краевой задачи

1.2 Постановка обратной экстремальной задачи.

1.3 Необходимые условия оптимальности.

1.4 Анализ единственности и устойчивости решений экстремальных задач.

1.4.1 Единственность решения обратной задачи восстановления плотностей источников.

1.4.2 Единственность решения обратной задачи восстановления неизвестного коэффициента граничного условия

1.4.3 Локальная единственность и устойчивость решения многопараметрической задачи идентификации.

1.5 Устойчивость решения двухпараметрической экстремальной задачи относительно малых возмущений функционала качества и объемной плотности.

2 Экстремальные задачи для нелинейной модели переноса вещества

2.1 Постановки исходной краевой задачи. Основные пространства

2.2 Определение слабого решения и разрешимость задачи 2.

2.3 Постановка и разрешимость экстремальных задач

2.4 Вывод и анализ системы оптимальности.

2.4.1 Существование множителей Лагранжа

2.5 Анализ единственности решений экстремальных задач

2.6 Устойчивость решений конкретных экстремальных задач

3 Анализ результатов численных экспериментов

3.1 Описание общего подхода к решению многопараметрическо-экстремальной задачи численными методами.

3.2 Вспомогательные формулы.

3.3 Алгоритм численного решения нелинейной обратной экстр мальной задачи.

3.4 Результаты численного решения нелинейной обратной экстрс мальной задачи.

3.5 Результаты численного решения линейной обратной экстремалЕ ной задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные экстремальные задачи для стационарных моделей переноса вещества»

В последние годы усиленно развивается теория управления гидродинамическими полями в жидких средах. Одной из целей теории является установление наиболее эффективных механизмов управления физическими полями в сплошных средах. Математическое описание такого типа проблем включает три компоненты: цель, механизмы управления, используемые для достижения желаемой цели, и ограничения, которым должны удовлетворять состояние и управления рассматриваемой системы. Роль ограничений обычно играют уравнения рассматриваемой модели сплошной среды: конвекции-диффузии-реакции, гидродинамики и др., вместе с краевыми и начальными условиями, тогда как желаемая цель достигается путем минимизации определенного функционала качества.

В. инженерной экологии задачи управления возникли при решении актуальной проблемы защиты окружающей среды от антропогенного воздействия. Одной из первых работ, в которой исследуются экстремальные задачи для линейного уравнения переноса вещества, явилась книга Г.И. Марчу-ка [67]. В этой книге, в частности, был предложен эффективный метод решения экстремальных задач для линейного нестационарного уравнения переноса. Более подробно о постановках соответствующих задач можно прочитать в [32,62,67,68,74], где, кроме того, можно познакомиться с эффективным методом решения указанных задач для линейных нестационарных уравнений'распространения примеси. Близкие задачи управления рассмотрены в [40, 51, 58, 63, 72, 85, 95, 97,104,112,129,130,137] для нестационарного уравнения конвекции-диффузии и в [16,36,101,102,112,120,132] для стационарного уравнения конвекции-диффузии.

Наряду с задачами управления, важную роль в приложениях играют обратные задачи для моделей гидродинамики и переноса вещества. Типичная обратная задача для уравнений гидродинамики состоит в следующем: в некоторой части области течения задается нужный гидродинамический режим, а требуется определить или создать реализующие этот режим (гидр од и нам ические) источники. Для моделей массопереноса обратные задачи возникают естественным образом при исследовании процессов распространен^-51 загрязняющих веществ в природных водоемах или в атмосфере методом математического моделирования. Возникающие при таком исследовании к:зраевые задачи содержат ряд гидродинамических, биохимических и других п£краметров, а также функции, описывающих плотности источников загрязнений- Для то~ го, чтобы однозначно определить решение соответствующей краевой задачи, адекватно описывающей рассматриваемый процесс, значения все^<- входных параметров, начальных и граничных функций, а также плотност^з^ граничных PI распределенных источников должны быть известны. Однаюо на пРак~ тике часто возникают ситуации, когда некоторые из указанных параметров или плотностей источников неизвестны. В этих случаях приходится наряду с искомым решением рассматриваемой краевой задачи отыскивает"!3 и неизвестные параметры, используя некоторую дополнительную инфоЦРЗУ1аи>ию 0 решении.

Например, исследование процесса распространения загрязнений zzs/ЕОжет происходить в ситуации, когда источники загрязняющего вещества расХ^г°ложеиы в месте, недоступном для прямых измерений, либо информация о- параметрах источника скрывается, и их требуется восстановить, используя: Дополнительную информацию о состоянии среды, например, в виде поля изл^еРенных значений концентрации загрязняющего вещества в некоторых достз^з^ных Для измерений зонах. Неучтенные выбросы загрязнений от таких источ^ез:111^06 мо~ гут представлять опасность для окружающей среды.

Распространение загрязнений может проходить также в ситуацип^3^ когда неизвестны некоторые параметры среды. В этих случаях, наряду с искомым решением, приходится отыскивать и неизвестные параметры средх^*-1 - Приведенные примеры являются примерами так называемых задач для моделей распространения загрязнений в природных средах. У^£<азанные задачи заключаются в нахождении неизвестных плотностей источне^с^0® параметров среды, в которой происходит изучаемый процесс, по допсз»-:п:нитель-ной информации о состоянии среды. Pix еще называют обратными з=^=&дачами, поскольку в этих задачах требуется восстановить одну-из причин воз^^^п.еиствия по заданному следствию.

Обратные задачи принято разделять на следующие типы:

1. Ретроспективные (эволюционные), заключающиеся в установлении предыстории некоторого состояния процесса.

2. Граничные, заключающиеся в восстановлении граничных условий или содержащихся в них параметров.

3. Коэффициентные, заключающиеся в определении коэффициентов уравнений.

4. Геометрические, заключающиеся в нахождении геометрических характеристик контура области или координат точек внутри нее.

Особую трудность вызывает исследование коэффициентных обратных задач, поскольку по своим постановкам они относятся к нелинейным и, как правило, некорректным задачам математической физики. Это обстоятельство существенно осложняет проблемы построения вычислительных алгоритмов для приближенного решения коэффициентных задач, делает весьма сложным полное и строгое обоснование их сходимости.

Исследованию коэффициентных обратных задач посвящено довольно много работ. Среди огромного числа работ по обратным задачам для уравнений математической физики, отметим работы [15,18,20,21,27,33,34,36,41-43,48, 51,64,70,75,77,81,90,100,103,105,107,111,115,116,120,133,138] российских и зарубежных исследователей, близкие по тематике диссертации.

Обратная задача нахождения старшего коэффициента для уравнения теплопроводности рассматривалась в работах Кабанихина С.И. [47,48], Кожано-ва А.И. [52-54], Колтуновского O.A. [56,57], Нагориова О.В. [72] и др. авторов. В [48] для нахождения неизвестного старшего коэффициента в уравнении теплопроводности по данным измерений на границах области применяется итерационный метод градиентного спуска. Авторами получены теоретические оценки для вариаций целевого функционала в зависимости от вариаций коэффициента и построена аппроксимация градиента целевого функционала. С помощью численных экспериментов проведено сравнение скорости сходимости итерационных процессов для различных параметров спуска.

В диссертационной работе Колтуновского O.A. [56] исследована разрешимость нелинейных обратных задач с финальным или интегральным переопределением и с дополнительным переопределением решения на временных слоях для параболических уравнений с одним или двумя неизвестными коэффициентами при одной из старших производных в случаях, когда соответствующая прямая задача является первой или второй начально-краевой задачей для параболического уравнения. Доказаны теоремы существования и единственности.

В работах Ивапчова Н.И. [42], Shidfar А. и Azary H. [133], Wang J. и Pao С. [138] рассматривается обратная задача для общего параболического уравнения с неизвестным зависящим от времени старшим коэффициентом. В [42] установлены условия существования и единственности решения данной задачи. В [133] для решения данной задачи применяется подход, связанный с представлением неизвестного коэффициента в недивергентной форме, (см. о нем в [106]), и приведены результаты ряда вычислительных экспериментов. В [138] развивается монотонный итерационный метод для численного решения в классе конечно-разностных уравнений реакции-диффузии с нелинейным коэффициентом диффузии.

В [100] предложен эффективный численный алгоритм нахождения старшего коэффициента одномерного параболического уравнения. Он основан на применении фильтрации для уменьшения шума в данных с помощью ортогонального полиномиального метода Грамма с перемещением усредненного окна фильтра для гладких зашумленных данных.

В [76] рассмотрена задача об определении коэффициентов при первых производных в гиперболическом уравнении второго порядка. В качестве информации задается след решения некоторой прямой задачи для исходного уравнения вместе с его нормальной производной на боковой поверхности цилиндрической области. Импульсный точечный источник расположен вне'области, в которой подлежат определению искомые коэффициенты, и является параметром задачи. Предполагается, что число источников, для которых задается след решения, совпадает с числом определяемых коэффициентов.

Ряд работ посвящен исследованию проблемы идентификации младшего коэффициента в параболическом уравнении. Традиционный подход в решении проблем идентификации младшего коэффициента состоит в сведении обратной задачи к интегральному уравнению Вольтерра первого рОДа с ис пользованием функции Грина прямой задачи. Такой подход, в частности, был использован в [135] для определения младшего коэффициента одномерного параболического уравнения. Обратная задача определения младшего коэффициента параболического уравнения рассмотрена также в [113], гДе проведен сравнительный анализ применения для ее численного решений четырех различных конечно-разностных схем. .Следует отметить также кгп^гу [81], в которой предложены численные алгоритмы решения задачи иденти:<ФикаЧии младшего коэффициента двумерного эллиптического уравнения в ограНИчен" ной области через усредненные данные о потоке, основанные на использовании двухслойного градиентного метода и квазиалгоритма Ньютона

В [90] представлен численный алгоритм решения экстремальной задачи идентификации младшего коэффициента для эллиптического уравнения переноса примеси, основанный на подходе, впервые примененном в работе [Ш]-В [38] исследована задача определения младшего коэффициента ст^1*ионаР~ ного нелинейного уравнения теплопроводности.

В работе Саватеева Е.Г. [77] исследована задача восстановления т^г-падшего коэффициента параболического уравнения. Автором доказано сугхз;®ствова" ние и единственность ее решения. В работе Кожанова А.И. [54] исследуется задача нахождения младшего коэффициента специального вида, вводящего в параболическое уравнение, для которой доказаны теоремы существования и единственности. Аналогично задаче нахождения коэффициента П1?и старшей производной автор использует метод переопределения для неизвестной функции. В работе Кожанова А.И. [53] использован при«3^' ана" логичный работе [56], но в качестве условия переопределения задаеТся значение решения в финальный момент времени. Доказывается существование регулярного решения.

В [75] рассматриваются три задачи, одна из зесоторых является задачей восстановления младшего коэффициента параболг^^1еского уравнения.

Ряд статей посвящен задаче восстановления сразу несколько неиз^еСТНь1Х коэффициентов. Среди них отметим, например, [29-31,41,43,70], где р>^ссматриваются вопросы, связанные с существованием и единственностью восстановления как коэффициента диффузии, так и коэффициента конвекции двумерного параболического уравнения. Там же установлены условия существования и единственности решения обратной задачи, состоящей в одновременном нахождении коэффициентов теплопроводности и объемной теплоемкости в случае, когда они являются функциями времени.

Наряду с коэффициентными обратными задачами, важную роль в приложениях играют граничные обратные задачи. Идентификации граничных условий посвящена значительная часть монографии Самарского A.A. и Ваби-шевича П.Н. [81], где, в частности, исследуются задачи восстановления граничных условий для одномерных и двумерных параболических уравнений. Обратные задачи, связанные с идентификацией граничных условий, исследованы также в [114,128,134].

Реже встречаются работы по восстановлению неизвестного коэффициента, имеющего смысл скорости течения жидкости, входящего в уравнение конвекции-диффузии. Отметим в этой связи работу [120], в которой представлен численный алгоритм восстановления указанного коэффициента конвекции в двумерном уравнении конвекции-диффузии, основанный на применении градиентного метода и метода Ньютона.

При исследовании моделей конвекции-диффузии-реакции вещества особый интерес вызывает задача нахождения коэффициента массообмена на открытых границах исследуемой области. Открытой границей может являться граница водной акватории, разделяющая два соседних государства, граница отделяющая залив и открытое море, поверхность воды, на которой происходит в процессе испарения воды с поверхности или выпадении осадков, либо придонный слой, в результате осаждения или поднятия взвеси [86,87,93].

Важно отметить, что исследование обратных задач для уравнений математической физики можно свести к исследованию соответствующих экстремальных задач. Это достигается путем введения функционала качества, адекватно отвечающего рассматриваемой обратной задаче, и последующей его минимизации на решениях исходной задачи. На этом пути возникают обратные экстремальные задачи, для исследования которых можно применять методологию, развитую для исследования задач управления. Это позволяет рассматривать обратные задачи и задачи управления с единых позиций математической теории оптимального управления и применять для их решения один и тот же математический аппарат, основанный на теории экстремальных задач условной оптимизации. Указанный подход применялся в работах [14,16,18,21,36,50,104,120] для стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции и в работах [3,9,13,19,20,98] для общей нелинейной модели переноса вещества.

Отметим также статьи [110,122], в которых исследованы как краевые задачи, так и задачи управления для нелинейной модели биконвекции, т.е. конвекции, вызванную концентрацией движущихся вверх или вниз микроорганизмов (вывод соответствующей математической модели на основе биологических и физических предпосылок см. в [126]).

Экстремальные задачи для нелинейной модели тепловой конвекции рассматривались в ряде работ, из которых отметим [4,5,10,15,17,22,88,89,96,99, 108,109,118,119,121,123-125,131,139]. Близкие экстремальные задачи либо задачи управляемости для нестационарных моделей тепловой конвекции исследованы в [92,117,136]. В [1,2,127] рассмотрены обратные задачи, связанные с задачей усвоения данных (assimilation data) в океанологии. В [45,46,59-61] рассмотрены обратные задачи для моделей тепловой конвекции сильно вязких жидкостей применительно к проблеме изучения тепловых процессов в мантии Земли. Экстремальные задачи для стационарной модели, описывающей совместный перенос тепла и масс, исследованы в [6-8,12].

Отметим также монографии [24,25], посвященные исследованию граничных либо гранично-ретроспективных обратных задач теории теплопроводности. Они заключаются в нахождении неизвестного теплового воздействия на границе тела либо на границе тела и в начальный момент времени по результатам измерения температуры внутри тела. Наконец, упомянем монографию [80], значительная часть которой посвящена разработке эффективных численных алгоритмов решения задач идентификации правых частей эллиптических и параболических уравнений. Упомянем также близкие по тематике диссертации статьи [26,78,84]. В [84] рассмотрена задача определения величины выбросов загрязняющих веществ в атмосферу от нескольких источников. В качестве входной информации используются результаты измерения концентрации примеси на большом удалении от источников, а также априорно заданные и подлежащие уточнению оценки выбросов. Обсуждаются два метода решения указанной обратной задачи. Первый (прямой) метод основан на обращении матрицы А влияния набора источников на набор станций экологического мониторинга, которая строится с помощью математического моделирования распространения примеси в атмосфере. Второй основан на статистическом подходе к нахождению устойчивой оценки решения с ис-1 пользованием метода максимального правдоподобия. В. [26] рассмотрена задача выявления роли различных типов подстилающих поверхностей Земли на уровень концентрации в них оседающих загрязняющих веществ вблизи предприятий, осуществляющих их выбросы, или вблизи источников загрязнения. В [78] строится и исследуется возможная математическая модель распространения загрязнений, в атмосфере. Монография [55] посвящена построению и исследованию математических моделей, описывающих процессы, протекающие в природных средах, в том числе процессы распространения загрязнений в природных средах.

Целью диссертации является теоретический и численный анализ многопараметрических обратных экстремальных задач для стационарных моделей массопереноса в несжимаемой вязкой жидкости, рассматриваемых в ограниченных областях с кусочно-гладкими границами. Будут рассмотрены две модели массопереноса. Первая модель представляет собой линейное уравнение конвекции-диффузии-реакции. Вторая модель представляет собой классическую модель конвекции вещества в приближении Обербека-Буссинеска, причем уравнения модели связаны, между собой через силы плавучести и конвективный перенос вещества.

Перейдем к формулировке основных результатов диссертационнрй работы. Указанная диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 140 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Соболева, Ольга Владимировна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертации были получены следующие основные результаты.

1. Сформулированы и исследованы коэффициентные обратные ^^<^:стремаль-ные задачи для стационарного уравнения коивекции-диффузии-р• ^ста" новлены достаточные условия на исходные данные, обеспечивав^111111^116 СУ10,6-ствование, единственность и устойчивость их решений. Разработ&Д^ »ы эффективные численные алгоритмы их решения, основанные на методе Ц-ЕП:ьютона.

2. Сформулированы и исследованы обратные экстремальные Для нелинейной модели переноса вещества. Установлены достаточные ^з^<3-ЛОВИЯ на исходные данные, обеспечивающие существование, единственность^ устойчивость решения рассматриваемой экстремальной задачи относитехс^Е=^^Ез:о малых возмущений заданного функционала качества и одной из заданны^^ <функции входящей в рассматриваемую нелинейную модель переноса вещесзс^3"

3. На основе разработанных алгоритмов с помощью свободно р>:^^-<зпростра-няемого пакета ЕгееЕеш++ и пакета прикладных математические^ щгрограмм для научных расчётов ЭсПаЬ построены и протестированы прогар»-Для решения коэффициентных обратных экстремальных задач для гхХ^Е5-Зл;м:еР1ЮГО стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции.

4. Установлены зависимости точности восстановления граничны^-^1 <ф>ункции (коэффициента и правой части), входящих в граничное условие тр&"1Гь»его рода для концентрации на части границы Г, рассматриваемой области, выбора значения параметра, входящего в регуляризирующую добавку фзп^^кзДионала качества, начального приближения, размера и расположения обл^-стй Q гДе проводятся измерения и погрешности измерений.