Обратная задача интерпретации данных по результатам тестовых экспериментов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Копит, Татьяна Александровна

• Копит, Татьяна Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Копит, Татьяна Александровна

Введение

Глава 1. Методы интерпретации экспериментальных данных измерений.

1.1. Основные подходы к решению задачи интерпретации данных при заданной модели измерений.

1.2. Основные подходы к решению задачи интерпретации данных при незаданной модели измерений или заданной частично

1.3. Выводы и результаты главы.

Глава 2. Метод интерпретации данных на основе кусочно-линейной аппроксимации модели измерений.

2.1. Модель измерения. Решаемые задачи

2.2. Кусочно-линейная аппроксимация оператора Л(-) по тестам

2.3. Задача оценивания входного сигнала на основе кусочно-линейной аппроксимации модели измерения.

2.4. Выводы и результаты главы.

Глава 3. Эмпирическое восстановление и редукция нечеткой модели измерения.

3.1. Редукция измерения при известной модели измерительного прибора А

3.2. Постановка задачи редукции и эмпирического восстановления модели измерения.

3.3. Редукция измерений при априорных нечетких ограничениях на координаты сигналов и матричные элементы оператора Л

3.4. Редукция измерений при априорных нечетких ограничениях на евклидовы нормы сигналов и оператора Л

3.5. Выводы и результаты главы.

Глава 4. Анализ и интерпретация данных модели фотосинтетической системы.

4.1. Общие сведения о моделируемой системе.

4.2. Имитационное моделирование системы.

4.3. Интерпретация данных модели фотосинтетической системы

4.4. Выводы и результаты главы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратная задача интерпретации данных по результатам тестовых экспериментов»

В современных научных исследованиях часто приходится решать задачи, в которых из имеющегося массива данных требуется извлечь некоторую скрытую в них информацию. Такие задачи называют задачами интерпретации данных. К ним. в частности, относятся задачи оценивания параметров исследуемых объектов по поступающим от них сигналам, задачи прогноза состояния систем в будущем или в условиях, отличных от тех, при которых получены данные, по наблюдению их текущих состояний, и др.

Для извлечения из данных полезной информации необходима математическая модель, связывающая данные с содержащейся в них информацией (прямая модель формирования данных). Задача интерпретации данных может рассматриваться как обратная задача математического моделирования, методы решения которых широко известны. Однако если модель задана неточно, то точность решения обратной задачи может оказаться неудовлетворительной. В этом случае необходимо уточнение модели.

Одним из способов уточнения модели является проведение тестовых экспериментов — натурных или вычислительных, результатом которых являются отклики модели на известные ситуации. По этим данным на первом этапе производится уточнение модели, и на следующем эта уточненная модель используется для решения обратной задачи: из данных, полученных независимо от тестов, извлекается информация о той ситуации, в которой эти данные получены.

Математическая процедура уточнения модели по тестам зависит от того, как поставлена задача уточнения модели. Поскольку для рассматриваемой задачи чрезвычайно важна именно точность интерпретации данных, то актуальной является задача разработки таких математических методов уточнения модели, которые обеспечивали бы максимальную точность интерпретации данных на втором этапе, или, по крайней мере, в которых погрешность уточненной модели была бы согласована с точностью интерпретации.

Решение задачи интерпретации зависит от используемых модельных предположений о том, как получены данные тестов и интерпретируемые данные, поэтому актуальной является разработка математических методов контроля адекватности этих предположений. Модельные предположения считаются адекватными, если они не противоречат всем известным данным о моделируемой реальности.

Решению этих задач и посвящена настоящая работа.

Кроме того, заметим, что под результатами тестов можно понимать расчеты прямой задачи для некоторых известных ситуаций. Если прямая модель построена как сложный комплекс программ, требующих большого времени расчета, то вся доступная информация о модели формирования данных фактически содержится в вычислениях, выполненных с некоторой точностью для набора тестовых ситуаций. Тем самым развиваемые в диссертации методы актуальны для решения задач интерпретации данных, модель формирования которых задана в виде сложных компьютерных моделей.

Цель и задачи работы.

Исходя из описанных актуальных проблем целью диссертационной работы является:

• разработать новые математические методы и алгоритмы интерпретации данных, модель формирования которых построена по результатам ее откликов на тестовые ситуации с точностью, обеспечивающую максимальную или заданную точность решения обратной задачи интерпретации данных;

• разработать новые математические методы и алгоритмы проверки адекватности используемых при этом математических моделей;

• реализовать эффективные численные алгоритмы решения задачи интерпретации данных в виде комплексов программ для проведения вычислительного эксперимента.

Методы исследования.

В диссертации используется подход теории измерительно-вычислительных систем, созданный под руководством профессора Ю.П. Пытьева [1-5]. Считается, что данные, которые следует интерпретировать, получены в результате эксперимента, проведенного по схеме

Здесь V моделирует погрешность данных. Считается, что / — элемент евклидова пространства 71 дг, Л(/) и и — элементы евклидова пространства Ип, N,12 < оо. Данные £ используются для оценки вектора евклидова пространства 7Zrn, т < оо Оператор и Е (7£дг —»• 71т) — известный линейный оператор.

В терминах теории измерительно-вычислительных систем векторы У, и м V рассматриваются как математические модели сигналов, е = лц) +1/.

1) и = и}

2) а операторы А и и ~ как математические модели измерительных приборов, так, что £ интерпретируется как результат измерения искаженного аддитивным шумом и выходного сигнала А(/) измерительного прибора А(-), на вход которого подан (неизвестный) сигнал / от изучаемого объекта. Задача интерпретации измерения ставится как задача поиска такого преобразования Я сигнала результатом Щ которого является наиболее точная версия выходного сигнала и = (У/ «идеального измерительного прибора» II. на вход которого подан сигнал /. тот же. что и при измерении (1) Если математическая модель измерительного прибора А(-) уточняется в эксперименте, то преобразование Я зависит от результатов тестовых измерений (3).

В диссертации используется два подхода к решению задачи интерпретации данных на основании модели, уточняемой по тестам В первом из них об операторе Л(-) известно, что он может быть любым из заданного класса нелинейных операторов, и измеряются его значения в серии тестовых экспериментов

3 = А{/,) + и„ Э = 1.М. (3)

Погрешности измерений и и гл,, 7 = 1. . , М, ограничены по норме

Во втором подходе считается, что на множестве линейных операторов А, сигналов / и погрешностей измерений V и ] = 1,. М, задана возможность, которая, как и вероятность, является мерой [6] Эта мера полностью упорядочивает предопределенности, шансы на то, что именно эти значения указанных математических величин реализовались в данном эксперименте Метод решения обратной задачи интерпретации данных построен как метод оценок вектора и. максимизирующих апостериорную возможность

Заметим, что для линейного оператора Л Е (IZn —> 1Zn) и погрешностей и и i/j, j = 1,. ., М, как случайных векторов задача интерпретации измерений на основе модели, построенной по тестам, решена в работах Ю.П. Пытьева, А.И.Чуличкова, П.В Голубцова. Е.А. Черемухина [7, 8].

Решаемые в диссертации задачи отличаются предположениями о нелинейности оператора А(-) и иными математическими моделями погрешности измерений.

Численные эксперименты реализованы с использованием программ, написанных на языке C/C++, а также программ на базе платформы Mat-lab.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Разработаны методы и численные алгоритмы решения обратной задачи интерпретации данных, для двух ситуаций:

• модель формирования данных строится путем кусочно-линейной аппроксимации на основе тестов, погрешность измерения ограничена по норме, при этом контролируется точность интерпретации данных и адекватность используемых математических моделей;

• модель формирования данных задана в виде распределения возможностей на множестве линейных операторов и уточняется по тестам, погрешности измерений являются нечеткими векторами с заданными распределениями возможностей, при этом максимизируется апостериорная возможность интерпретации данных и контролируется адекватность используемых математических моделей

2. Создан комплекс программ для прямого моделирования процессов протонного транспорта и синтеза АТФ на фотосинтетической мембране сложной пространственной структуры. В вычислительном эксперименте получены оценки входных параметров системы.

Научная новизна работы.

1. Разработаны математические методы кусочно-линейной аппроксимации оператора А(-) по тестам, указаны классы нелинейных операторов, допускающих такую аппроксимацию. Разработаны методы проверки адекватности построенной модели.

2. Разработаны методы, алгоритмы и программы решения обратной задачи интерпретации данных на основе аппроксимации модели, построенной по тестам, а также методы согласования точности аппроксимации модели с точностью решения обратной задачи интерпретации данных.

3. Разработаны математические и численные методы и алгоритмы решения обратной задачи интерпретации данных, модель которых задана в терминах теории возможностей и уточнена по результатам тестов. Разработаны методы проверки адекватности математической модели.

Научная и практическая значимость.

В диссертации благодаря полученным теоретическим результатам становится возможным решать обратные задачи интерпретации данных для прямых моделей, расчеты по которым требуют большого времени.

Разработанный в диссертации комплекс программ прямого моделирования процессов фотосинтеза в соединении с методами и программами, решающими обратные задачи интерпретации данных, позволяет устанавливать связи между некоторыми выделенными параметрами модели фотосинтеза и данными наблюдений, оптимально оценивать параметры модели фотосинтеза.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Копит, Татьяна Александровна

4.4. Выводы и результаты главы

В данной главе рассмотрены примеры практической реализации предложенных методов при анализе и интерпретации данных модели фотосинтетической системы. Приведено описание моделируемой системы, подходов в моделировании процессов и результатов численных экспериментов. Приведены результаты решения задачи интерпретации измерений на основе аппроксимации модели и нечеткой редукции измерений, получены оценки параметров максимальной точности. В результате восстановлены функциональные связи между параметрами процесса фотосинтеза, что обеспечивает лучшее понимание функционирования системы.

Заключение

В заключение приведем наиболее важные результаты, полученные в диссертации:

1. Разработан метод анализа и интерпретации экспериментальных данных, позволяющий оценивать входной сигнал измерительного прибора и точность оценок при интерпретации измерений, проведенных с погрешностью ограниченной нормы, основанный на аппроксимации модели измерения кусочно-линейной моделью, построенной по результатам тестов, согласующейся с результатом измерений

2. Разработаны методы анализа и интерпретации экспериментальных данных, в которых нечеткая модель измерения и оценка параметров изучаемого объекта восстанавливаются в единой оптимизационной задаче, где погрешность измерений описывается в терминах теории возможностей. Методы и алгоритмы разработаны для следующих моделей распределений нечетких элементов: в случае, когда априори заданы нечеткие ограничения на координаты сигналов и погрешности измерений и на матричные элементы матрицы оператора, задающего измерительный прибор, а также в случае, когда модель погрешности измерений задана в виде нечетких ограничений на ее евклидову норму.

3. Разработаны методы проверки адекватности используемых моделей.

4 Реализованы эффективные численные методы и алгоритмы в виде комплексов программ для проведения вычислительного эксперимента

5 Показана эффективность предложенных методов и алгоритмов на примере анализа данных модели фотосинтетической системы

Получены оценки входных параметров системы согласующихся с точностью измерений.

Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы.

1. Метод, решающий задачи интерпретации данных на основе кусочно-линейной аппроксимации модели измерений позволяет получать априорные оценки погрешности решения задач интерпретации и проверять адекватность используемой модели.

2. Метод решения задач интерпретации данных на основе теоретико-возможностной модели измерений позволяет получать оценки максимальной апостериорной возможности и контролировать адекватность используемых математических моделей При этом оценки параметров изучаемого объекта и модель измерений восстанавливаются в единой оптимизационной задаче.

3. Проведение интерпретации данных для ряда конкретных задач показало эффективность предложенных методов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Копит, Татьяна Александровна, 2012 год

1. Пытъев Ю.П. Методы анализа и интерпретации эксперимента.— М.: Изд-во моек, университета., 1990. — С. 286.

2. Пытъев Ю.П. Математические методы интерпретации эксперимента.— М.: Высш. шк, 1989,- С. 352.

3. Пытъев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. — М.:Физматлит., 2004. — С. 400.

4. Чуличков А.И. Основы теории измерительно-вычислительных систем сверхвысокого разрешения. — Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2000. — С. 140.

5. Пытъев Ю.П. Задачи редукции в экспериментальных исследованиях. // Матем.сборник. — Т. 120 (162) №2,- 1983.- С. 240-272.

6. Chulichkov A.I., Pyt'ev Y.P. Measurement computer systems: Modeling, reliability, algorithms. // Pattern Recognition and Image Analysis. — Т. 1 №2. — 1991.

7. Голубцов П.В., Пытъев Ю.П., Чуличков А.И. Построение оператора редукции по тестовым измерениям. // В сб. "Дискретные системы обработки сигналов". Устинов: Удмуртский государственный университет. — 1986. — С. 68—71.

8. Черемухин Е.А., Чуличков А.И. О редукции к идеальному прибору по данным тестирующих измерений. // Вестник Московского ун-та. Сер. 3 Физика. Астрон. Т. 3. - 2004. - С. 15-18.

9. Численные методы решения обратных задач математической физики. /

10. Под ред. С. А. Сб. ст. под.ред. Тихонова А.Н. — М.: Изд-во моек, университета., 1988,— С. 267.

11. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач,— М.:Наука, 1979. — С. 285.

12. Численные методы решения некорректных задач. / А.Н. Тихонов, A.B. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. М.: Наука, 1990. - С. 232.

13. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. — М.: Наука, 1995. С. 311.

14. Морозов В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи. // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., ВИНИТИ, М.- Т. 11.- 1973. — С. 129-178.

15. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука., 1987. - С. 239.

16. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1987.— С. 217.

17. Леман Э. Теория точечного оценивания. — М.: Наука. 1991.

18. Pao С.Р. Линейные статистические методы и их применение.— М.: Наука, 1968.

19. Пытьев Ю.П. Методы редукции в гильбертовых пространствах. // Матем.сборник. Т. 126 (168) №4. - 1985. - С. 543-565.

20. Пытьев Ю.П. О точности и надежности интерпретации косвенных измерений. // ДАН СССР. Т. 295 №3. - 1987. - С. 542-545.

21. Пытъев Ю.П. О точности и надежности интерпретации эксперимента. // Вестник МГУ, Сер.З Физика, астрономия. Т. 27 №3. - 1988. — С. 14-19.

22. Пытъев Ю.П. О точности и надежности интерпретации совокупности измерений. // Вестник МГУ, Сер.З Физика, астрономия, — Т. 27 №5.— 1988. С. 3-7.

23. Пытъев Ю.П. Псевдообратный оператор, свойства и применения // Матем.сборник. — Т. 118(160) №1(5).- 1982,- С. 19-49.

24. Чуличков А.И., Пытъев Ю.П. Рекуррентные методы редукции измерений. // Мат.моделирование. — Т. 1 №8. — 1989. — С. 22-44.

25. Боровков A.A. Математическая статистика. — М.:Наука., 1984. — С. 472.

26. Боровков A.A. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез. — М.:Наука., 1984.

27. Митин И.В., Пытъев Ю.П., Шодмонкулов Т.Д. Метод максимальной надежности в задаче анализа и интерпретации спектрометрических измерений // Матем. моделирование. — Т. 3 из 12. — 1991. — С. 31-37.

28. Пытъев Ю.П., Сердоболъская M.JI. Метод максимальной надежности в задаче выбора модели. // Вестник МГУ, Сер.З Физика, Астрономия,— Т. 29 № 5. 1988. - С. 18-23.

29. Пытъев Ю.П. Надежность интерпретации эксперимента, основанной на приближенной модели. // Мат.моделирование.— Т. 1 № 2. — 1989. — С. 49-64.

30. Митин И.В. Анализ и интерпретация данных для приближенных моделей эксперимента. // Дисс. канд. физ-мат. Наук. — 1990.

31. Мишин И.В., Чуличков А.И. О надежности параметрически заданной модели измерений. // Вестник МГУ Сер.З Физика, астрономия. — Т. 30 т. 1989. - С. 8-14.

32. Митин И.В., Чуличков А.И. Локальная редукция изображения на малых эвм. // Тезисы докладов на конференции "Обработка изображения и дистанционные исследования Новосибирск. — 1987. — С. 157-158.

33. Голубцов П. В. Методы калибровки модели измерения для решения задачи редукции. // Дисс. канд. физ-мат. наук. — 1988.

34. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. — М.: Наука., 1979. С. 448.

35. Hastie Т., Tibshirani R., Friedman J. The Elements of Statistical Learning. — Springer, 2001. — P. 533.

36. Principal Manifolds for Data Visualisation and Dimension Reduction / A.N. Gorban, B. Kegl, D. Wunsch, A.Y. Zinovyev. — Springer, Berlin Heidelberg New York, 2008.

37. Горбань A.H. Обучение нейронных сетей,— СССР-США СП «Параграф», 1990. — 160 pp.

38. Загоруйко Н.Г. Прикладные методы анализа данных и знаний.— Новосибирск: ИМ СО РАН, 1999. 270 pp.

39. Vapnik V.N. Statistical learning theory. — N.Y.: John Wiley and Sons, Inc., 1998,- P. 732.

40. Scholkopf В., Smola A.J. Learning with Kernels. Support Vector Machines. Regularization, Optimization, and Beyond. — MIT Press, Cambridge, MA, 2002. P. 626.

41. Witten I.E., Frank E. Data Mining: Practical Machine Learning Tools and Techniques (Second Edition). — Morgan Kaufmann, 2005.— P. 525.

42. Закс EI. Теория статистических выводов. — M.: Мир, 1975.

43. Де Ерот М. Оптимальные статистические решения, — М.: Мир, 1979.

44. Savage L.J. The Foundations of Statistics. — Dover. New-York, 1972.

45. Dempster A.P. Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping. // Ann. Math. Statist. Vol. 38,- 1967,- Pp. 325-339.

46. Shafer G. A mathematical theory of evidence. — Princeton N. J.: Princeton University Press, 1976.

47. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. // Fuzzy Sets and Systems. Vol. 1. - 1978. - Pp. 3-28.

48. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. / Под ред. П. ред. Д.А. Поспелова. М.: Наука. — 1986.

49. De Соотап G. Possibility theory /, II, III // International Journal of General Systems. Vol. 25. - 1997. - Pp. 291-371.

50. Dubois D., Prade E. Theorie des Possibilites. — MASSON, Paris-Mi-lano-Barcelona-Mexico., 1988.

51. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. — М.: Радио и связь, 1990.

52. Wolkenhauer 0 Possibility Theory with Applications to Data Analysis — Research Studies Press, 1998

53. Пытъев Ю П Неопределенные нечеткие модели и их применения // Интеллектуальные системы — Vol 8 of 1-4 — 2004 — Рр 147-310

54. Zadeh L A Fuzzy sets, mf // Control Vol 8 - 1965 - Pp 338-353

55. Пытъев Ю П Возможность как альтернатива вероятности — M Физматлит, 2007 — С 464

56. Zadeh L A Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility // Fuzzy sets and systems Vol 1 - 1978 - Pp 3-28

57. Заде Л А Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений — M Мир 1976

58. Slowinsh R Handbook of Fuzzy Sets and Possibility Theory Operation Research and Statistics — Kluwer Academic Publishers 1998

59. Vejnarova J Conditional independence relations m possibility theory // International Journal of Uncertainly Fuzzmess and Knowledge-based Systems Vol 8(3) - 2000 - Pp 114 138

60. Орловский С А Проблемы принятия решения при нечеткой исходной информации — M Наука 1981

61. Рисс Ф , Секефалъви-Надъ Б Лекции по функциональному анализу — M Мир 1979

62. Шилов ГЕ, Гуревич Б Л Интеграл мера и производная наука — M Наука, 1967

63. Кириллов К.В., Чуличков А. И. Редукция измерений в нечеткой модели эксперимента как решение задачи линейного программирования. // Вестник Моск. ун-та. Серия 3, физ., астрон. — Vol. 2. — 1999. — Pp. 65-67.

64. Жучко О.В., Пытъев Ю.П. Восстановление функциональной зависимости теоретико-возможностными методами. // ЖВМ и МФ,— Т. 43 из 5. 2003. - С. 765-781.

65. Павловский Ю.Н. Имитационное моделирование сложных процессов и систем. // М.: Пресс, Современные проблемы прикладной математики. — Т. 1. — 2005. — С. 75-98.

66. Рубин А.В., Резничеико Г.Ю. Кинетика биологических процессов,— Изд-во МГУ, Москва., 1987.

67. Рапке О., Rumberg В. Kinetic modelling of the proton translocating c/oc/i — atp synthase from spinach // FEBS Letters. — Vol. 383. — 1996. — Pp. 196-200.

68. Oster G., Wang H. Reverse engineering a protein: The mechanochemistry of atp synthase. // Biochimica et Biophysica Acta. — Vol. 1458.— 2000.— Pp. 482-510.

69. Рапке O., Rumberg B. Energy and entropy balance of atp synthesis. // Biochimica et Biophysica Acta. — 1997. — Pp. 183-194.

70. Berry S., Rumberg B. h+/atp coupling ratio at the unmodulated c/qc/i — atp synthase determined by proton flux measurements. // Biochimica et Biophysica Acta. Vol. 1276. - 1996. - Pp. 51-56.

71. Rumberg В., Рапке О. Kinetic analysis of rotary /0/i — atp synthase // 11th International Congress on Photosynthesis, Budapest, Hungary. — 1998.

72. Rumberg В., Strelow F. Kinetics and energetics of redox regulation of atp synthase from cloroplasts. // FEBS Letters.- Vol. 323 of 1,2.- 1993. — Pp. 19-22.

73. Rumberg В., Strelow F. Kinetics modeling of the photosynthetic electron transport chain. // Bioelectrochemistry. — Vol. 53. — 2000. — Pp. 35-53.

74. Говинджи О.Д. Фотосинтез. Т. 1,2,— Москва: "Мир 1987.

75. Рубин А.Б. Биофизика. Т. 1.2. — Москва: Книжный дом "Университет"., 2000.

76. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука: Пер. с англ. - М.: Мир,, 1978. - С. 418.

77. Многочастичное компьютерное моделирование процессов электронного транспорта в мембране тилакоида. / И.Б. Коваленко, A.M. Абатурова, П.А. Громов и др. // Биофизика. Т. 52 (3). - 2007. - С. 492-502.

78. Дубинский А.Ю., Тихонов А.Н. Регуляция электронного и протонного транспорта в хлоропластах, кинетическая модель и ее сравнение с экспериментом. // Биофизика. — Т. 39. — 1994. — С. 652-665.

79. Дубинский А.Ю., Тихонов А.Н. Математическое моделирование фотоиндуцированного поглощения протонов хлоропластами для различных механизмов утечки протонов через тилакоидную мембрану // Биофизика. Т. 40. - 1995. - С. 365-371.

80. Дубинский А.Ю., Тихонов А.Н. Математическая модель тилакоида как распределенной гетерогенной системы электронного и протонного транспорта. // Биофизика. Т. 42. - 1997. - С. 644-660.

81. Вершубский A.B., Приклонский В.И., Тихонов А.Н. Электронный и протонный транспорт в хлоропластах с учетом латеральной гетерогенности тилакоидов. математическая модель. // Биофизика. — Т. 46,- 2001,- С. 471-481.

82. Вершубский A.B., Приклонский В.И., Тихонов А.Н. Математическоемоделирование электронного и протонного транспорта, сопряжённого с синтезом атф в хлоропластах. // Биофизика. — Т. 49. — 2004,- С. 57-71.

83. Докукина И. В. Клеточные структуры и опосредованные ионами кальция сигнальные пути: математическое моделирование. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Москва. 2007. - С. 134.

84. Самарский A.A., Гулин А. В. Численные методы, — М.:Наука, 1989.

85. Калиткин H.H. Численные методы. — М.:Наука, 1978.

86. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем.— М.:Наука, 1971,- С. 553.

87. Вентцелъ Е.С. Исследование операций. — М.: Сов. радио,, 1972. — С. 552.

88. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.:Наука, 1980. С. 518.