Методы теории измерительно-вычислительных систем для решения задачи интерпретации измерений и их приложение в спектрометрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Юань Боюань

• Юань Боюань
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Юань Боюань

Оглавление

Введение

Глава 1. Основные подходы к решению задач интерпретации данных

1.1 Введение

1.2 Корректные и некорректные задачи

1.3 Метод В.К. Иванова

1.4 Метод М.М.Лаврентьева

1.5 Метод регуляризации А.Н.Тихонова

1.6 Метод С. И. Кабанихина

1.7 Метод Ю. П. Пытьева. Теория измерительно-вычислительных систем

1.7.1 Описание подхода

1.7.2 Схема измерения

1.7.3 Схема интерпретации

1.7.4 Интерпретация измерения с помощью линейных ИВС

1.7.5 Теория измерительно-вычислительных систем в гильбертовом пространстве

1.7.6 Модель измерения [А,

1.8 Заключение

Глава 2. Оценивание значения функции в заданных точках ее области

определения по измерениям конечного числа ее функционалов

2.1 Постановка и решение задачи оценивания элемента бесконечномерного гильбертова пространства по измерению конечного числа функционалов

2.2 Оптимальный выбор размерности проекции элемента и/, допускающий оценку с заданной погрешностью

2.2.1 Оценка функции по измерению ее линейных функционалов с некоррелированной погрешностью одинаковой дисперсии

2.2.2 Оценка функции по измерению ее линейных функционалов со случайной погрешностью с заданным корреляционным оператором общего вида

2.2.3 Оценка значений функции в заданных точках ее области определения

Глава 3. Оценки максимальной возможности прараметров модели

измерений

3.1 Сведение модели измерения элемента С2(Х) к конечномерной модели измерения

3.2 Возможностная модель погрешности измерений

3.3 Оценки максимальной возможности

3.4 Минимаксные оценки координат вектора ~и

Глава 4. Применение разработанных методов к интерпретации данных

спектрометрического эксперимента

4.1 Общая математическая модель спектрометрического эксперимента

4.2 Модель двухщелевого спектрометра

4.3 Решение задачи интерпретации данных двухщелевого спектрометра методами редукции измерений

4.3.1 Задача редукции измерений. Модельные данные

4.3.2 Задача редукции реальных измерений

4.4 Метод эффективного ранга для решения задачи интерпретации данных двухщелевого спектрометра

4.4.1 Задача редукции для модельных данных

4.4.2 Задача редукции для реальных данных

4.5 Решение задачи интерпретации данных двухлучевого спектрометра методом построения оценок максимальной возможности и минимаксных оценок

4.5.1 Результаты для модельного эксперимента

4.5.2 Результаты для реального эксперимента

4.6 Математическая модель мессбауэровского спектрометрического эксперимента

4.7 Оценки максимальной возможности и минимаксные оценки для измерений на мессбауэровском спектрометре

4.8 Исследование вычислительного алгоритма на устойчивость

Заключение

Список литературы

Список обозначений

В работе используются следующие обозначения: g, q, f — элементы линейного пространства.

#(•} : X ^ Ri (или более кратко #(•)) — функция, определенная на некоторой области X, принимающая значения на числовой прямой Ri. а(;, •) : X х Y ^ Ri (или более кратко а(;, •)) — функция, определенная на некоторой области X х Y, принимающая значения на числовой прямой Ri. g(x), q(x), f (x) — значения функций g(•), q(•), f (•) в точке x £ X. || • У — норма (вектора, линейного оператора). У • ||2 — норма Гильберта-Шмидта линейного оператора. A £ (Rm ^ Rn) — линейный оператор, действующий из Rm в Rn. A-i — линейный оператор, обратный к A.

A- — оператор, псевдообратный к A, A- = limw^0 A*(AA* + ш1 )-iA*.

A* — оператор, сопряженный оператору A.

E — символ математического ожидания.

N(A) — нуль-пространство (ядро) линейного оператора A.

Rn — n-мерное евклидово пространство, n = dim Rn, если не оговорено

иначе.

R(A) — пространство значений линейного оператора A.

R^(A), N^(A) — ортогональные дополнения евклидовых пространств

R(A), N(A) соответственно.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы теории измерительно-вычислительных систем для решения задачи интерпретации измерений и их приложение в спектрометрии»

Введение

Актуальность темы

Точность и надежность результатов исследования всегда напрямую зависела от точности измерений тех или иных параметров изучаемого объекта. Однако в современных экспериментальных исследованиях значения изучаемых параметров д объектов или явлений не удается измерять непосредственно, их приходится оценивать из результатов £ измерений величин, зависимость которых от д дается некоторой математической моделью. Такие задачи называются задачами интерпретации измерений [63]. К задачам интерпретации измерений относится задача сейсморазведки в геофизике [15, 33, 59, 73, 74], задачи томографии [23, 32, 96], астрофизики [11, 12, 62], оптики и спектроскопии [3,58,92] и др.

При интерпретации экспериментальных данных часто считается, что эти данные являются результатом измерения некоторого сигнала д, рассматриваемого как выходной сигнал измерительного прибора А, при этом считается, что на вход измерителя А поступает сигнал д, интересующий исследователя. Результат измерения сопровождается аддитивной погрешностью V. Задача интерпретации состоит в определении входного сигнала д измерительного прибора А по данным измерения, ее решение опирается на математические модели измерительного прибора А и шумовой погрешности V, а также на использовании дополнительной (априорной) информации о д. Соотношение

£ = Ад + V (1)

при этом называется схемой эксперимента [44].

Приведем в качестве примера спектрометрический эксперимент, в котором с помощью спектрометра с заданной аппаратной функцией •)

измеряется спектр электромагнитного излучения д(-) некоторого вещества. В этом случае входным сигналом является спектр излучения д(-), выходной сигнал д = Ад спектрометра формируется согласно соотношению

с»

д(Е) = ^ а#(Е,Е)д(Е)(Е, Е е [0, с). (2)

о

Смысл аппаратной функции а#(-, •) спектрометра состоит в том, что при подаче на вход спектрометра монохроматического потока гамма-квантов единичной интенсивности энергии Е на выходе спектрометра получим спектр а$(Е,Е), Е е [0,»). Аппаратная функция, возможно, зависит от неизвестного параметра $ е в. В задаче интерпретации данных спектрометрического эксперимента требуется найти приближенное значение входного спектра д(-) (или функции значения известной функции и(д)) по данным измерений д(-), выполненным с погрешностью, и на основании аппаратной функции а#(-, •), зависящей от параметра, значение которого неизвестно, но задано множество его возможных значений.

Поскольку качество решения задачи интерпретации экспериментальных данных определяется подробностью априорных сведений о решении и о модели измерений, актуальным является развитие методов, позволяющих учитывать дополнительную информацию о решении, в частности, методов, позволяющих формализовать опыт исследователя и его априорные представления об объекте исследования и модели измерений. Поскольку речь идет об измерительном эксперименте, то при этом важно, чтобы полученное решение обладало экстремальными свойствами, такими, как максимальная точность оценки [44] или ее максимальная возможность [35]. Так как решение задачи интерпретации экспериментальных данных и ее качество (точность, возможность) зависят от используемой математической модели измерения, актуальным также

является развитие методов проверки согласия математической модели с результатом эксперимента.

Второй аспект, обусловивший актуальность данной диссертационной работы, состоит в том, что экспериментальные данные, как правило, состоят из конечного набора чисел, в то время как неизвестные (восстанавливаемые при интерпретации) зависимости являются функциями, заданными на конечном или бесконечном отрезке числовой прямой, на плоскости или ее части и т.п.

В приведенном примере спектрометрического эксперимента (2) спектр #(•) задан на положительной полупрямой, и если считать функции $(•} и а(^, •) непрерывными, то можно записать значение выходного спектра д(-) при заданной энергии Е в виде линейного функционала д(-):

с»

д(Д) = У а^Е^Ё^Е. (3)

о

Считая, что измерения проводятся в при значениях энергии Ё\,... ,Ёп, следует определить, какую «часть» входного спектра можно оценить по значению конечного набора функционалов входного спектра, измеренных с погрешностью, и дать метод вычисления этой «части», а также оценить точность этого оценивания.

В диссертации решается актуальная задача исследования ограничений, накладываемые на решения задач интерпретации данных в случае, когда эти данные представляют собой значения конечного числа линейных функционалов неизвестного входного сигнала, разработан вычислительный метод перехода к конечномерной модели (на основе методов дискретизации исходной математической модели, не приводящей к потере точности решения задачи интерпретации данных), создаются методы решения задач интерпретации измерений, результат которых представлен конечным числом линейных функционалов неизвестной

функции, даются методы оценивания погрешности решения и проверки адекватности используемых моделей, а также созданы алгоритмы и программное обеспечение, реализующие созданные в диссертации методы.

В случае, когда о параметрах математической модели измерений известно, что они могут принимать любое значение из некоторой области, можно построить решение задачи интерпретации данных, минимизирующее максимальную ошибку [76, 84]. При этом решение получается при максимально неблагоприятных условиях, и, как правило, их погрешности оказываются неприемлемо велики. Уменьшить ошибки оценок можно учетом дополнительных сведений о модели измерений.

Поэтому актуальным является развитие методов формализации априорных сведений о решении задачи интерпретации экспериментальных данных, имеющихся у исследователя.

Настоящая диссертация посвящена решению названных здесь задач.

Степень разработанности темы

Один из широко распространенных подходов к решению задачи интерпретации измерений состоит в решении интегрального уравнения Фредгольма 1 рода (2). Задачи решения уравнения Фредгольма первого рода относятся к обратным задачам математической физики [63]. Различие между прямыми и обратными задачами математической физики хотя и достаточно условно, но обычно состоит в следующем. Если для «прямых» задач их решение определяется из уравнений с частными производными с дополнительными требованиями в виде краевых и начальных условий, то в обратных задачах некоторые из этих условий неизвестны. Кроме того, в обратных задачах могут быть неизвестны коэффициенты и правые части уравнений. Обратные задачи часто являются некорректными в классическом смысле. Понятие некорректных задач было дано Ж. Адамаром [1,94,95].

Согласно Ж. Адамару, задача является корректной, если она однозначно разрешима и ее решение устойчиво к возмущению данных. Считалось, что математические задачи должны удовлетворять этим естественным требованиям, иначе они считались поставленными некорректно. Однако на практике возникали ситуации, при которых было необходимо решать задачи, формальное решение которых не удовлетворяло требованиям корректности Адамара.

Подход к решению некорректных задач был разработан в середине XX века российским математиком Андреем Николаевичем Тихоновым [65-69]. Он предложил принцип регуляризации, который стал основой многих новых разновидностей методов регуляризации, например, итерационных, спектральных и др. [9,17,20-22,25,26,60,61,63,64,71,72,85,88,102-106].

Основная идея методов регуляризации состояла в таком выборе приближенного решения задачи, который давал бы устойчивое решение, то есть такое решение, которое стремилось бы к точному при стремлении погрешности в задании данных к нулю.

Метод регуляризации применяется, в частности, и к решению уравнений Фредгольма 1 рода. К таким задачам приводится и уже упомянутые обратные задачи решения уравнений в частных производных [61], а также и задачи интерпретации экспериментальных данных [7,8,63].

Для решения уравнения Фредгольма первого рода с приближенными данными об операторе Фредгольма и правой части предложено большое количество методов. При этом используются различные модели неточности задания данных. Например, погрешность измерения V в формуле (1) может считаться либо ограниченной по норме [63], либо обладающей известными стохастическими свойствами [70,72], на класс решений могут быть наложены дополнительные ограничения, в результате решение регуляризованной задачи оказывается единственным, и стремится к точному при стремлении погрешности измерения V к нулю [60, 61, 71].

Несмотря на значительные успехи в создании методов решения таких задач, интерес к ним не угасает и в настоящее время [93,101].

В отличие от методов регуляризации, в теории измерительно-вычислительных систем, разработанной в работах Ю.П.Пытьева [37-44, 46-57] оценка неизвестных параметров д строится из требования ее максимальной точности [44]. Формально, в этих задачах считается, что результат £ измерительного эксперимента получен по схеме

£ = Ад + V, (4)

где £ интерпретируется как искаженный шумом V результат регистрации выходного сигнала Ад измерительного преобразователя А, на вход которого подан сигнал д от измеряемого объекта. Интерес представляет наиболее точная оценка либо д, либо результата ид преобразования д заданным оператором и. При этом, как правило, обеспечивается и стремление оценки к точному значению оцениваемых параметров д (или ид) при стремлении погрешности измерений V к нулю. В приведенном примере (2) математическая модель измерительного преобразователя А дается интегральным оператором.

Развитие методов решения задач интерпретации экспериментальных данных показало, что на точность ее решения существенно влияет априорная информация о классе ее решений. Один их методов формализации такой априорной информации состоит в том, что данные о модели измерений формулируются в рамках варианта теории возможностей, разработанных Ю.П. Пытьевым в работе [35]. В этой работе мера возможностей Р(•) построена на алгебре Т всех подмножеств пространства элементарных событий О так, что для каждого А е Т значение Р(А) определяет относительное предпочтение, шансы на наступление события А: если Р(А) > Р(В), то событие А имеет больше шансов реализоваться, чем событие В. Содержательными в теории

возможностей являются утверждения "A более возможно (менее возможно), чем B", "A и B равновозможны", поэтому меры возможностей P(•) и P'(-) эквивалентны, если существует такая строго монотонно возрастающая функция y(•) : R1 ^ R1, что для любого A G F выполнено равенство P(A) = y(P'(A)). Фундаментальным понятием в этом варианте теории возможностей является нечеткий элемент v нормированного пространства R, который по аналогии со случайным элементов в теории вероятностей задается распределением возможностей nv(•): nv(x) = p0 есть возможность равенства v = x. Если (x) = 0, равенство v = x невозможно, если (x) = 1, равенство v = x вполне возможно, если nv(x) > (y), равенство v = y менее возможно, чем v = x.

Опираясь на этот метод, в настоящей работе предложена математическая формализация утверждения «большие значения погрешности измерения менее возможны, чем малые». состоящая в задании распределения возможностей (•), монотонно убывающим при увеличении нормы погрешности v. Оценка максимальной меры возможности параметров модели измерения (4) в простейшем случае определяется из следующих соображений. Пусть g — некоторая оценка входного сигнала g, тогда z> = £ — Ag — погрешность измерения, которая объясняет отличие результата измерения £ от Ag, ее возможность равна (£ — Ag). Оценка g, выбранная из условия g = arg sup (£ — Ag), называется оценкой максимальной меры возможности. В этой работе считается также, что модель измерительного прибора A зависит от неизвестного параметра $ G О, где О — заданное ограниченное множество, и наложены априорные ограничения на значения входного сигнала g.

Цель работы

Целью диссертационной работы является развитие методов решения задачи интерпретации экспериментальных данных, обеспечивающие контроль точности решения и контроль адекватности используемой

математической модели измерений; дающие способы формализации априорных данных об искомой проекции и математической модели измеряемых линейных функционалов. Задачи работы

Основными задачами данной диссертационной работы являются:

1. Задача интерпретации экспериментальных данных, представленных как конечный набор линейных функционалов неизвестной функции / (элемента гильбертова пространства), измеренных с погрешностью, как задачи наиболее точного оценивания значений конечномерной проекции элемента и/ гильбертова пространства, где и — заданный линейный оператор.

2. Задача выбора проекции элемента и/ максимальной размерности, допускающий оценку с заданной погрешностью.

3. Задача оценивания проекции элемента и/ из принципа максимальной возможности на основе теоретико-возможностной модели погрешности измерения, в которой считается, что большие измерительные погрешности менее возможны, чем малые.

4. Создание вычислительных алгоритмов решения задач интерпретации измерения, выбора оптимальных проекций элемента и/ и решения задачи оценивания проекции элемента и/ из принципа максимальной возможности.

5. Создание программного комплекса, реализующего созданные в диссертационной работе алгоритмы, для решения задач интерпретации данных спектрометрических экспериментов в оптической и мессбауэровской спектрометрии.

Научная новизна

1. Задача интерпретации измерений поставлена, решена и исследована как задача оптимального оценивания конечномерной проекции

Рд элемента д бесконечномерного гильбертова пространства по измерению конечного числа его линейных функционалов, оптимальность оценки обеспечивается ее максимальной точностью. Получено семейство линейных подпространств максимальной размерности, проекции элементов на которые допускают оценки с заданной точностью.

2. Предложен метод сведения исходной математической модели измерения к конечномерной модели. Показано, что такой метод дискретизации не приводит к потере точности решения задачи интерпретации данных.

3. Разработаны численные методы и программное обеспечение вычисления оценки проекции Рд элемента д максимальной точности на основе предложенной дискретизации исходной бесконечномерной модели.

4. Дана математическая формализация условия «большие погрешности измерений менее возможны, чем малые». В рамках этой формализации поставлена, решена и исследована задача построения оценок максимальной меры возможности проекции Рд элемента д на конечномерное подпространство, даны методы проверки адекватности используемой математической модели.

Теоретическая и практическая значимость работы Теоретическая ценность работы состоит в том, что в ней приведена математическая формализация задачи интерпретации измерений, позволяющая строить оптимальные по точности оценки исследуемых параметров и оптимальные оценки, учитывающие качественную информацию о модели измерения (оценки максимальной меры возможности). В диссертации развивается теоретическая основа для данного класса задач интерпретации данных и анализа адекватности используемых математических моделей.

Практическая ценность работы заключается в построении методов оценивания изучаемых параметров, методов оценки непротиворечивости математической модели и результатов измерений и их применения для решения задач интерпретации данных, состоящей в оценивании входного спектра двухщелевого спектрометра, измеряющего оптические спектры излучения, и мессбауэровского спектрометра, а также задач анализа адекватности математических моделей, используемых для построения этих оценок. Разработанные в диссертации методы могут найти применение при анализе и интерпретации данных измерительных экспериментов в радиофизике, геофизике, при неразрушающем контроле и в других областях.

Методология и методы исследования

Используются методы функционального анализа, теории вероятностей и математической статистики, теории возможностей и теории измерительно-вычислительных систем. Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие новые научные результаты:

1. Новые математические методы постановки и решения задачи интерпретации данных натурного измерительного эксперимента и проверки адекватности используемых для этого математических моделей эксперимента: метод решения задачи интерпретации данных натурного эксперимента, полученных как результат измерения с погрешностью конечного числа линейных функционалов искомой функции, состоящий в максимально точной оценке значений кусочно непрерывного представителя искомой функции в точках ее непрерывности; метод формализации качественной информации о математической модели натурного эксперимента (формализация утверждения «большие погрешности измерений менее возможны, чем малые, формализации информации о значениях параметров

измерительного прибора и др.), основанный на подходах теории возможностей; метод построения оценок максимальной возможности изучаемых параметров на основе данных натурного эксперимента и математической модели измерения, построенной на основе качественной («нечеткой») информации о ее параметрах; метод проверки непротиворечивости результатов измерения и «нечеткой» математической модели измерительного эксперимента;

2. Оптимальный по точности вычислительный метод сведения исходной модели измерения с погрешностью значений конечного числа линейных функционалов элемента гильбертова пространства к модели, в которой используются лишь ортогональная проекция этого элемента на конечномерное подпространство гильбертова пространства; метод не дает потери в точности математического моделирования данных натурного эксперимента.

3. Вычислительные алгоритмы решения задач интерпретации данных измерительного эксперимента на основе его «нечеткой» математической модели, а также вычислительные методы решения задач анализа непротиворечивости этой математической модели и экспериментальных данных.

4. Зависимости максимальной размерности проекции элемента бесконечномерного пространства, оцениваемой в задаче интерпретации данных натурного эксперимента, от точности оценивания для экспенриментов в области оптической и ядерной спектрометрии.

Степень достоверности результатов

Математические утверждения, полученные в рамках диссертационного исследования, снабжены строгими доказательствами, что обеспечивает достоверность результатов. Теоретические положения подтверждены вычислительными экспериментами, выполненными для

данных оптической и ядерной спектрометрии, результаты которых находятся в согласии с известными физическими моделями.

Апробация работы

Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих международных и всероссийских научных конференциях: Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 2012г., Дубна, 2014г ; XI Всероссийское совещание-семинар «Инженерно-физические проблемы новой техники». МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2014г.; Х Международная конференция «Интеллектуализация обработки информации», Греция, о. Крит, 2014г., а также на на научных семинарах: «Обратные задачи математической физики» в НИВЦ МГУ имени М.В.Ломоносова под руководством проф. Бакушинского А.Б., проф. Тихонравова А.В., проф. Яголы А.Г.; кафедры математического моделирования и информатики физического факультета под руководством проф. Ю.П.Пытьева.

Результаты диссертации опубликованы в 8 научных работах, 4 из которых изданы в рецензируемых журналах, из них три статьи [82, 87, 91] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК РФ .

Результаты диссертационной работы получены автором лично. В совместных публикациях автору принадлежат формальные доказательства утверждений лемм и теорем, разработка структуры программного комплекса и его реализация, совместно с соавторами — постановка задач, формализация моделей экспериментов.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем работы составляет 131 страницы машинописного текста; диссертация содержит 41 рисунка, без таблиц и 106 ссылки на литературные источники.

Глава 1. Основные подходы к решению задач интерпретации данных

1.1. Введение

Как уже упоминалось во введении, при экспериментальных исследованиях часто приходится решать задачу интерпретации данных, в которой по известным результатам измерений требуется определить значения ненаблюдаемых параметров физической системы. Эта задача требует задания математической модели измерения, связывающей данные измерений с ненаблюданемыми параметрами, и относится к обратным задачам математической физики. Такие задачи встречаются в геофизике, астрономии, при медицинской диагностике, в компьютерной томографии, дистанционном зондировании Земли, при спектральном анализе и в задачах неразрушающего контроля [21,45,59,62,74,89]. Как правило, такие задачи относятся к классу некоррекно поставленных.

Понятие некорректно поставленных задач ввел Hadamaгd при исследовании задачи Коши в двадцатые годы XX века [1]. В сороковые годы XX века Андрей Николаевич Тихонов создал концепцию обратных и некорректных задач, и разработал методы регуляризации, тем самым стал основателем крупного научного направления, получившего мировое признание [63], [64].

Универсального метода решения некорректных задач не существует, и для каждого конкретного случая выбираются в зависимости от математической модели.

1.2. Корректные и некорректные задачи

Пусть оператор А отображает топологическое пространство Q в топологическое пространство ^ (А : Q ^ ^). Для топологического

пространства Ц символом О(д) обозанчим окрестность элемента д Е Ц. Всюду в дальнейшем ^(А) — область определения, Л(А) — область значений оператора А.

Определение 1.1 корректность задачи, корректность по Адамару Задача Ад = / корректна на паре топологических пространств Ц и ^, если выполнены следующие три условия:

1. для любого элемента / Е ^ существует решение дт Е Ц уравнения Ад = / (условие существования решения), т.е. Л(А) = ^;

2. решение дт уравнения Ад = / единственно в Ц (условие единственности решения), т.е. существует обратный оператор А-1: ^ ^ Ц;

3. для любой окрестности 0(дт) С Ц решения дт уравнения Ад = / найдется окрестность 0(/) С ^ правой части /, такая, что при всех /5 Е 0(/) элемент А-1 /5 = д5 принадлежит окрестности 0(дт), т.е. оператор А-1 непрерывен (условие устойчивости решения).

Определение 1.2 Задача Ад = / некорректна на паре пространств Ц и ^, если хотя бы одно из трех требований корректности не выполнено.

Некорректные задачи могут быть поставлены в форме вычисления значения оператора (вообще говоря, неограниченного) в точке

Т/ = д, / Е ^ д Е Ц. (1.1)

Если при решении уравнения Ад = / оператор А-1 существует, то задача (1.1) эквивалентна решению уравнения Ад = /. Но, во-первых, оператор А-1 может не существовать. Во-вторых, во многих прикладных задачах (например, при дифференцировании функции, суммировании рядов и др.) переход к виду Ад = / бывает неудобен или вообще невозможен, хотя теоретически обе задачи можно исследовать по одной

схеме. Переформулируем условия корректности по Адамару для задачи (1.1):

1. оператор Т определен на всем Л(Т) = ^;

2. Т — однозначное отображение;

3. оператор Т непрерывен.

Задача (1.1) называется некорректной, если хотя бы одно из условий корректности нарушено. Наиболее важен и содержателен случай нарушения третьего условия (случай неустойчивости). При этом задача (1.1) сводится к задаче приближения неограниченного оператора ограниченным.

1.3. Метод В.К. Иванова

Пусть А — вполне непрерывный оператор (компактный), это означает, что оператор А переводит всякое ограниченное множество в предкомпактное. Построение устойчивого к малым изменениям ] приближенного решения по формуле

я = А-1 /

возможно, если я ищется на компакте М с Q и / е А(М) с ^.

Квазирешением як уравнения Ая = f на множестве М с Q называется элемент як е М, на котором достигается нижняя грань невязки

рр (АЯк,/ )= т£ рр (АЯ,7).

деЫ

Рассмотрим теперь случай, когда Q и ^ являются сепарабельными гильбертовыми пространствами. Пусть А : Q ^ ^ — вполне непрерывный оператор

М = В(0, г) = {я е Q : ||я|| < г}. Обозначим через А* оператор, сопряженный к оператору А.

Известно, что А*А — самосопряженный положительный (т.е. для всех я = 0 (А*Ая, я) > 0) вполне непрерывный оператор, действующий из Q в

Q.

Пусть {Ап} — последовательность собственных значений оператора А*А (упорядоченных по убыванию), а {^п} — отвечающая им полная ортонормированная последовательность собственных функций (векторов). Элемент А*/ представим в виде ряда

00

А*/ = ^ /и^и, /п = (А*/,^*). (1.2)

п=1

В этих условиях справедлива следующее утверждение:

Лемма 1.1 Квазирешение уравнения Ая = / на множестве В(0,г)

выражается формулами

Е"=1 £V,., если Е"=1| < г2,

як = ^ " 2

П=1 ¿вV, если | > г2,

г^е в — корень уравнения

то / 2

£ (АПГв)2 =г2 (13)

п=1 4 7

Доказательство этой леммы можно найти в книге [20].

1.4. Метод М.М.Лаврентьева

Если в уравнения Ая = / приближенно заданная правая часть / не принадлежит А(М), можно попытаться заменить это уравнение близким к нему уравнением

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Юань Боюань, 2017 год

Список литературы

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. — М.:Наука, 1978.

2. Белинский А.В., Мисютина Т.С., Чуличков А.И. Компьютерный практикум: Задачи анализа и интерпретации данных. Линейная редукция измерений. Надежность модели. Учебно-методическая разработка.Выпуск 4 //место издания ООП физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова Москва, - 2006 с. 42

3. Болтс Г.П. Обратные задачи в оптике. — М.: Машиностроение, 1984.

— 200 с.

4. Белов Ю.А., Заворотний А.Л., Белова М.М., Чуличков А.И. Обработка измерений в условиях нечеткости на основе многокритериальной оптимизации // Математическое моделирование,

- 2006 том 18, № 11, с. 55-60

5. Батова С.С., Пирогов Ю.А., Чуличков А.И. Сверхразрешение в системах пассивного радиовидения // В кН. «Сборник тезисов докладов научно-технической конференции «Гиперспектральные приборы и технологии». г. Красногорск, 17-18 января 2013 г. С. 140141.

6. Белега Е.Д., Рыбаков А.А., Трубников Д.Н., Чуличков А.И. Эффективная размерность фазовой траектории в задаче визуализации эволюции динамической системы // вычислительной математики и математической физики, - 2002 том 42, № 12, с. 1891-1898

7. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. — Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1979. - 448с.

8. Воскобойников Ю.Е, Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. - Новосибирск: Наука, 1984. - 240 с.

9. Ван Я., Чжан Е, Лукъяненко Д.В., Ягола А.Г. Метод решения обратной задачи восстановления функции распределения размеров частиц аэрозоля в атомсфере на множестве кусочно-выпуклых функций. // Вычислительные методы и программирование, 2012, т. 13, с.49-66.

10. Вертхейм Г. Эффект Мессбауэра. М.: Мир, 1966. 250 с.

11. Гончарский А.В., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Некорректные задачи астрофизики. Москва, Изд-во Наука, 1985.

12. Гончарский А.В., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. Москва, Изд-во Наука, 1978.

13. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. - М.: УРСС. 2001. - 430 с.

14. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. Множественная регрессия. — 3-е изд. — М.: «Диалектика», 2007. — С. 912

15. Дмитриев В. И. Электромагнитные поля в неоднородных средах. М., 1969.

16. Захарченко А.А., Чуличков А.И. Точность оценки и адекватность модели при минимаксном оценивании параметров формы сигнала // Вестник Московского университета. - 2006 Серия 3. Физика, астрономия, № 6, с. 11-13

17. Иванов В. К.,Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М., 1978.

18. Кириллов К.В., Чуличков А.И. Редукция измерений в нечеткой модели эксперимента как решение задачи линейного

программирования // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1999. №. 2. С. 62-64.

19. Копит Т.А., Чуличков А.И., Устинин Д.М. Интерпретация экспериментальных данных на основе кусочно-линейной аппроксимации модели измерений // Вестник Московского университета. - 2010 Серия 3. Физика, астрономия, № 5, с. 3-8

20. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Изд. 2-е, перераб. Сибирское научное изд-во, 2009.

21. Кабанихин С.И. Обратные задачи естествознания и компьютерное моделирование // Наука из первых рук. 2013. № 1 (49). С. 32-43.

22. Кабанихин С.И., Криворотько О.И. Сингулярное разложение в задаче об источнике //Сибирский журнал вычислительной математики 2012. Т.15, №2.

23. Куницын В.Е., Терещенко Е.Д. Томография ионосферы. Москва, Изд-во Наука, 1991, 176 с.

24. Копит Т.А., Чуличков А.И., Устинин Д.М. Эмпирическое восстановление нечеткой модели эксперимента и редукция измерения в в равномерной метрике // Вычислительные методы и программирование: Новые вычислительные технологии (Электронный научный журнал), - 2011 том 12, с. 90-96

25. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода Докл. АН СССР. 1959. Т.127, № 1.

26. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск, 1962.

27. Леман Э. Теория точечного оценивания. - М.: Наука. 1991. - 448с.

28. Лебедева В.В. Экспериментальная оптика. 4-е изд. — М.: Физический факультет МГУ имени М.В.Ломоносова, 2005. — 282 с.

29. Матвеева Т.В., Гудцов П.С., Чуличков А.И., Докукина И.В., Мисютина Т.С., Грачев Е.А. Компьютерный практикум: математические методы анализа и интерпретации эксперимента. Учебно-методическая разработка. Выпуск 2 //место издания ООП физического ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова Москва, - 2005 с.38

30. Митин И.В., Пытьев Ю.П., Шодмонкулов Т.Д. Метод максимальной надежности в задаче синтеза и интерретации спектрометрических измерений. - Матем.моделирование, 1991, Т.3, № 12, С.31-37.

31. Мастеров В.Ф., Насрединов Ф.С., Серегин П.П. Мёссбауэровская спектроскопия (Лабораторный практикум). СПб.: Изд-воо СПбГТУ, 1996. 52с.

32. Натеррер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М., Мир, 1990.

33. Маловичко А. К. Методы аналитического продолжения аномалий силы тяжести и их приложения к задачам гравиразведки. М., 1956.

34. Мастеров В.Ф., Насрединов Ф.С., Серегин П.П. Физика твердого тела. 1995. Т.37, № 5. С. 1265-1292.

35. Пытьев Ю.П. Возможность как альтернатива вероятности. Математические и эмпирические основы, применение. М., 2007.

36. Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применения. - М.: УРСС, 2000.

37. Пытьев Ю.П., Сухорукова Г.В., Чуличков А.И. Задачи дистанционного зондирования: математическое моделирование, анализ и интерпретация результатов Мат. моделирование. - 1994. -Т.6, № 11. - С. 113-127.

38. Пытьев Ю.П. Задачи редукции в экспериментальных исследованиях. — Матем. сб., т. 120(162). с.240-272.

39. Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 254 с.

40. Пытьев Ю.П. К теории измерительно-вычислительных систем минимаксного типа Мат. моделирование. - 1991. - Т.3, № 10. - С.65-94.

41. Пытьев Ю.П. К теории нелинейных измерительно-вычислительных систем Мат. моделирование. - 1992. Т.4, № 2. - С. 76-94.

42. Пытьев Ю.П Математические методы интерпретации эксперимента

- М.: Высшая школа, 1989. - 352 с.

43. Пытьев Ю.П. Методы редукции измерений в гильбертовых пространствах. 1985 Математический сборник 126(168) № 4 УДК 517.4

44. Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. - Изд. 2-е, перераб. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 c. - ISBN 5-9221-0446-2.

45. Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. Методы морфологического анализа изображений - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 336 с.

46. Пытьев Ю.П. Методы синтеза измерительных приборов на измерительно-вычислительном комплексе Вопросы кибернетики (Проблемы комплексирования бортовых кибернетических систем). -М.: Наука, 1986. - С. 147-162.

47. Пытьев Ю.П Методы анализа и интерпретации эксперимента. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. - 286 с.

48. Пытьев Ю.П. Надежность интерпретации эксперимента, основанной на приближенной модели Мат. моделирование. - 1989. - Т.1, № 2. - С. 49-64.

49. Пытьев Ю.П. Нелинейная редукция измерения Мат. моделирование

- 1989. - Т.1, № 5. - С. 44-59.

50. Пытьев Ю.П., Сердобольская М.Л. О задачах редукции в случае известного корреляционного оператора Вестник Моск. ун-та. Серия Физика, Астрономия. - 1988. - Т.29, №6. - С.78-79.

51. Пытьев А.Ю., Пытьев Ю.П. Об эффективной размерности множества измерений ЖВМиМФ. - 1998. - Т.38, № 4. - С. 682-697.

52. Пытьев Ю.П. О точности и надежности интерпретации совокупности измерений Вестник Моск. ун-та. Серия Физика, Астрономия. - 1986. - Т.27, № 5. - С. 3-7.

53. Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. Основы теории измерительно-вычислительных систем сверхвысокого разрешения Измерительная техника. - 1998, февраль. - С. 3-10.

54. Пытьев Ю.П. Подавление ложных сигналов в задаче повышения разрешения ДАН СССР. - 1980. - Т. 255, №3. - С.540-544.

55. Пытьев Ю.П. Псевдообратный оператор. Свойства и применения Матем. сборник. - 1983. - Т.118(160), № 1(5). - С. 19-49.

56. Пытьев Ю.П., Голубцов П.В. Распределение ресурса времени измерений в эксперименте Вестник Моск. ун-та. Серия Физика, Астрономия. - 1983. - Т.24, № 5. - С. 46-50.

57. Пытьев Ю.П. Точность и надежность интерпретации косвенных измерений ДАН СССР. - 1987. - Т.295, № 3. - С. 543, 545.

58. Русаков В.С. Основы мессбауэровской спектроскопии. М., 2011. 20

59. Романов В.Г., Кабанихин С.И. Обратные задачи геоэлектрики. Москва.: Наука. 1991.

60. Степанова И.Э., Ван Янфей, Ягола А.Г., Титаренко В.Н. Обратные задачи и методы их решения. Издательство: Бином. Лаборатория знаний Год издания: 2014

61. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. - М: ЛКИ, 2009, 480 с.

62. Теребиж В.Ю. Восстановление астрономических изображений с предельно высоким угловым разрешением при различной априорной информции относительно объекта отчет о НИР № 96-02-17296 (Российский фонд фундаментальных исследований)

63. Тихонов А.Н, Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. 3 изд. Москва: Наука, 1995.

64. Тихонов А., Леонов А., Ягола А. Нелинейные некорректные задачи. Москва: Наука, 1995.

65. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. ДАН СССР, 1943, 39, № 5.

66. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач. ДАН СССР, 1963, 151, № 3.

67. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. ДАН СССР, 1963, 153, № 1.

68. Тихонов А.Н. Об устойчивых методах суммирования рядов фурье Докл. АН СССР. 1964. Т. 156, № 1.

69. Тихонов А.Н. Регуляризация некорректно поставленных задач Докл. АН СССР. 1963. Е.153, № 1. С.49-52

70. Турчин В. Л., Козлов В. П., Малкевич М. С. // Успехи физ. наук. 1970. 102. № 3. С. 345-385.

71. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М., 1990.

72. Федотов А. М. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск, 1990.

73. Федынский В. В. Разведочная геофизика. М., 1964.

74. Хайкович И.М., Кучин Я.И. Нелинейный алгоритм решения обратных задач прикладной геофизики (на примере обратной задачи гамма-каротажа) Каротажник. 2011. № 3. С. 23-33.

75. Чуликков А.И., Демин Д.С., Копит Т.А., Цыбульская Н.Д. Анализ формы изображений, заданных с погрешностью // Интеллектуальные системы. - 2013. - Т. 17, № 1-4. - С. 117 - 121.

76. Чуличков А.И., Копит Т.А. Минимаксная интерпретация экспериментальных данныхна основе модели, восстановленной по тестам // Интеллектуализация обработки информации: 9-я международная конференция. 2012. C. 648-651

77. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 296с.

78. Чуличков А.И., Копит Т.А. Методы редукции измерений на основе эмпирически восстановленной нечеткой модели // Сложные cbcntvs/ - 2012. - № 1. - С. 7-24.

79. Черемухин Е.А, Чуличков А.И. О применении теории измерительно-вычислительных систем в томографии // Журнал вычислительной математики и математической физики, - 2005 том 45, № 4, с. 741-752

80. Черемухин Е.А., Чуличков А.И. О редукции к идеальному прибору по данным тестирующих измерений // Вестник Московского университета. - 2004 Серия 3. Физика, астрономия, № 3, с. 15-18

81. Чуличков А.И. Основы теории измерительно-вычислительных систем сверхвысокого разрешения. Линейные стохастические измерительно-вычислительные системы место издания Издательство Тамбовского государственного технического университета г. Тамбов, - 2000. 140 с.

82. Чуличков А.И., Юань Б. О возможности оценивания значения функции в заданных точках ее области определения по измерениям конечного числа ее линейных функционалов. // Вестник Московского университета. Сер.3. Физика. Астрономия. 2014. №3, с.15-19.

83. Чуличков А.И., Юань Б, Каримов К.М., Кливаденко Д.В. Оценка функции по конечному набору линейных функционалов, измеренных

с погрешностью // В кн.: 19-я Междунар. конф. «Математика. Компьютер. Образование». Тезисы докладов. Дубна, 2012. С. 233.

84. Чуличков А.И., Юань Б. Оценки, минимизирующие возможность потерь, и минимаксные оценки: сравнительный анализ в журнале Машинное обучение и анализ данных, 2014, том 1, № 9, с. 1246-1260

85. Чжан Е, Лукъяненко Д.В., Ягола А.Г. Применение принципа Лагранжа для решения линейных некорректно поставленных обратных задач с использованием априорной информации о решении. // Вычислительные методы и программирование, 2013, т. 14, с.49-66.

86. Чуличков А.И., Демин Д.С. Фильтрация монотонных выпуклых сигналов, искаженных шумом, и оценка положения особых точек // Фундаментальная и прикладная математика, - 2009 том 15, № 6, с. 15-31 DOI

87. Чуличков А.И., Юань Б. Эффективный ранг задачи оценивания элемента функционального пространства по измерению с ошибкой конечного числа ее линейных функционалов в журнале Компьютерные исследования и моделирование, том 6, № 2, с. 189-202

88. Ягола А. Г., Ван Янфей, Степанова И. Э, Титаренко В. Н. // Обратные задачи и методы их решения. Приложения к геофизике. M., 2014.

89. Serdyukov A.S., Patutin A.V., Shilova T.V. Numerical Evaluation of the Truncated Singular Value Decomposition Within the Seismic Traveltimes Tomography Framwork. Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 2014, 7(2), 224-234.

90. Beutler F.J., Root W.L. The operator pseudoinverse in control and system identification Generalized inverses and applications. N.-Y.; San-Francisko; London: Academic Press, 1976. P.397-494

91. Chulichkov A.I., Yuan B. The possibility of estimating the values of the function at the given points on the measurement result of a finite number

of its linear functionals. - Moscow University Physics Bulletin, 2014, Vol. 69, No. 3, pp. 218-222.

92. Dolenko S.A., Dolenko T.A., Kozyreva O.V., Persiantsev I.G., Fadeev V.V., and Filippova E.M. Solution of Inverse Problem in Nonlinear Laser Fluorimetry of Organic Compounds with the Use of Artificial Neural Networks. Pattern Recognition and Image Analysis, 1999, v.9, No.3, pp.510515.

93. Eichstadt S., Schmahling F., Wubbeler G., Kruger U., Elster C. A new approach to bandpass correction in spectrometer measurements using the Richard son-Lucy method. 2013. 16-th International Congress of Metrology. 14005.

94. Hadamard J. Le problem de Caucy et les equations aux derives partielles lineaires hiperboliques. - P.: Hermann, 1932.

95. Hadamard J. Sur les probl?mes aux D?riv?es partielles et leur signification physique. - Bull. Univ. Princeton, 1902,13.

96. Kak A.C., Slaney M. // Principles of Computerized Tomographic imaging. NY, NYIEEE Press, 1988.

97. Nashed M.Z., Votruba G.F. A unified theory of generalized inverses Generalized Inverses and Applications. N.-Y.; San-Francisko; London: Academic Press, 1976. P.1-110.

98. Pyt'ev Yu.P., Pyt'ev A.Yu. // Effective Dimensionality and Data Compression Pattern Recognition and Image Analysis. - 1997. - V. 7 № 4. -P.393-406.

99. Pyt'ev Yu.P. Measurement Computer Systems of Super High Resolution Pattern Recognition and Image Analysis. - 1994. - V. 1, № 1. - P. 54-76.

100. Pyt'ev Yu.P,. Chulichkov A.I, Sobolev S.S., Antonjuk V.A. On the Problem of Superresolution of Blurred Images. - Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 14, No. 1, 2004, pp. 50-59.

101. Silva Neto A. J., Cella N. A regularized solution with weighted Breg-man distances for the inverse problem of photoacoustic spectroscopy // Comput. Appl. Math. 2006. Vol.25. P.139-165.

102. Wang Y.F. An Efficient Gradient Method for Maximum Entropy Regularizing Retieval of Atmospheric Aerosol Particle Size Distribution Function // Journal of Aerosol Science, Vol 39(4), pp 205-322, 2008.

103. Wang Y.F, Yagola A.G. and Yang C.C. Optimization and Regulariza-tion for Computational Inverse Problems and Applications, Springer, 1st Edition., 2011, 400 p. 36 illus., Hardcover.

104. Wang Y.F., Fan S.F. and Feng X. Retrieval of the Aerosol Particle Size Distribution Function by Incorporating A Priori Information // Journal of Aerosol Science. 2007. N 38. 885-901.

105. Wang Y.F., Fan S.F. and Feng X., Yan G.J. and Y.N. Regularized inversion method for retrieval of aerosol particle size distribution function in W12 Space // Applied Optics, Vol.45, No.28, 7456-7467, 2006.

106. Wang Yanfei Computational Methods for Inverse Problems and Their Applications Higher Education Press, 2007.