Обобщённые ренормгрупповые уравнения в неперенормируемой квантовой теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Толкачёв Денис Михайлович

• Толкачёв Денис Михайлович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Толкачёв Денис Михайлович

Введение

Глава 1. Получение универсального разложения в амплитудах

8УМ

1.1 Формализм спинорной спиральности в различных измерениях

1.2 Суперпространство на массовой поверхности

1.2.1 Суперпространство на массовой поверхности М = (1,1)

для И =

1.2.2 Суперпространство М =1 О = 8 на массовой поверхности

1.3 Четырёхточечная амплитуда в БУМ теориях в различных измерениях

1.3.1 От физических к упорядоченным по цветам амплитудам рассяния

1.3.2 Дуальная конформная инвариантность

1.4 Выводы

Глава 2. Обобщенные РГ-уравнения в теориях 8УМ в высших

размерностях

2.1 ^-операция

2.2 Вычисления ведущих полюсов в различных измерениях пространства-времени

2.2.1 В = 6 N = (1,1) БУМ

2.2.2 В = 8 N = 1 БУМ

2.2.3 В = 10 N = 1 БУМ

2.3 Обобщённые РГ-уравнения

2.3.1 Обощенные РГ уравнения для И = 6, 8,

2.4 Выводы

Глава 3. Анализ обобщенных РГ уравнений

3.1 Общий метод численного анализа

3.2 Анализ случая И =

3.3 Анализ случая И =

3.4 Анализ случая И =

3.5 Выводы

Глава 4. РГ уравнения для подлидирующих порядков и анализ

схемной зависимости

4.1 Подлидирующий случай

4.2 Схемная зависимость

4.2.1 Схемная зависимость в И = 8 БУМ в лестничном приближении

4.2.2 Схемная зависимость в И = 10 БУМ в лестничном приближении

4.2.3 Схемная зависимость при Э=6

4.3 Схемная зависимость в общем случае

4.4 Кинематически зависимая перенормировка

4.5 Выводы

Глава 5. Обобщенное РГ уравнение для произвольного

скалярного потенциала

5.1 Механизм Коулмана-Вайнберга

5.1.1 Эффективный потенциал в произвольной скалярной

теории в И =

5.2 РГ уравнение для эффективного потенциала в произвольной скалярной теории в 4 измерениях

5.2.1 Пример I: степенной потенциал

5.2.2 р =

5.2.3 р >

5.2.4 Пример II: Экспоненциальный потенциал

5.3 Выводы

Глава 6. Обобщённое ренормгрупповое уравнение в

инфляционной космологии

6.1 Инфляционные модели

6.2 Инфляционная модель с одним скалярным полем с медленным скатыванием

6.3 Инфляция с эффективным потенциалом

6.3.1 Т 2-модель

6.3.2 Т 4-модель

6.4 Выводы

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Словарь терминов

Список литературы

Приложение А. Мастер-интегралы до пятипетлевого порядка

Приложение Б. Код для численного счёта

интегродифференциальных уравнений на примере И =

Приложение В. Инфляция с медленным скатыванием

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщённые ренормгрупповые уравнения в неперенормируемой квантовой теории поля»

Введение

Квантовая теория поля (КТП) является одной из самых быстро развивающихся теорий современной теоретической физики. На её основе была сформулирована Стандартная модель элементарных частиц, наиболее эмпирически успешная модель практически всех известных взаимодействий: электрического, слабого и сильного, а также элементарных частиц вещества: кварков и лептонов. Однако в ходе изучения и развития КТП исследования сталкивались с трудностями, некоторые из которых не разрешены до сих пор.

В процессе изучения матрицы рассеяния, центрального объекта исследования КТП, обнаружились расходимости, которые являются отражением математического факта: произведение обобщенных функций является плохо определенной операцией [1; 2]. Это приводит к расходимостям сечений процессов (а именно, ультрафиолетовых (УФ) расходимостей фейнмановских петлевых интегралов) различного вида, поэтому необходимо введение процедуры регуляризации. На этом основании можно утверждать, что классические лагранжианы, которые берутся за основу в КТП, являются неполными на квантовом уровне и нуждаются в доопределении с помощью процедуры перенормировок.

В зависимости от того, повторяют ли перенормированные лагранжианы структуру изначальной модели, теории делятся на два класса: перенормируемые и неперенормируемые [3—5]. Примеры перенормируемых теорий хорошо известны: квантовая электродинамика, квантовая хромодинамика, четвертное скалярное взаимодействие и так далее. Из-за того, что в этих моделях число типов расходящихся интегралов ограничено, все возникающие в ходе перенормировки члены поглощаются в параметры: константу связи, массу и так далее, что делает классическую теорию согласованной с её квантовой "версией". Дело в том, что изначальные параметры лагранжиана являются ненаблюдаемыми величинами, поэтому можно требовать от констант такого поведения, чтобы конкретные наблюдаемые величины не содержали сингулярностей, получаемых в ходе расчётов.

Было замечено [2; 6], что перенормировки величин обладают групповыми свойствами, в частности, перенормировка является мультипликативной операцией. Это в свою очередь привело к возникновению ренормализацион-

ной группы (РГ). С помощью этой группы можно записать РГ-уравнения, решениями которых являются наблюдаемые эффективные заряды теорий. Например, выражения для бегущих констант связи находятся с помощью таких уравнений, причем они отвечают за характеристические свойства всей модели целиком. Так, кулоновское взаимодействие в квантовой электродинамике растет с энергией до нуль-заряда, а сильное взаимодействие, напротив, обладает асимптотической свободой в пределе больших энергий.

Позже было выяснено, что РГ-симметрия связана с фундаментальными свойствами рассматриваемых фейнмановских интегралов: локальным характером их расходимостей [3; 4; 7; 8]. То есть РГ-уравнения могут быть выведены исходя из условия локальности. В итоге, теорема Боголюбова-Парасюка обеспечивает конечность перенормированных функций Грина и Б-матричных элементов [9].

С неперенормируемыми теориями ситуация гораздо сложнее. Так, оказывается, что для неперенормируемых теорий обычная РГ-симметрия не работает. Это ясно по определению, число типов расходящихся диаграмм в таких моделях бесконечно: контрчлены, добавляемые в лагранжиан, порождают новые и новые типы взаимодействий, то есть форма контрчленов не повторяют формы членов изначального лагранжиана. Вследствие размерности констант связи в таких теориях при росте энергии сечения процессов нарушается и унитарность. Наиболее удручающим фактом в этом свете оказывается то, что большинство взаимодействий, которые можно определить в квантовой теории поля являются неперенормируемыми. Более того, по-видимому, условие перенормируемости не является фундаментальным физическим принципом в отличие, например, от калибровочной инвариантности, которая требует своего соблюдения от всех членов действия и допускает существования разного типа вкладов, которые, вообще говоря, могут являться неперенормирумыми. В этом смысле, условие перенормируемости значительно ограничивает выбор возможных форм взаимодействия в лагранжиане [10].

Из-за того, что в неперенормируемых теориях существует масштаб, вклады от таких теорий могут быть подавлены и не наблюдаться эмпирически из-за недоступности всей физической шкалы масштабов энергий. По-видимому, в этом свете успех перенормируемых моделей связан с тем, что нам на

эксперименте доступны лишь малые энергии1. Это вызывает необходимость понимания устройства неперенормируемых КТП. Наиболее яркими примерами неперенормируемых моделей являются четырехфермионные взаимодействия, все скалярные взаимодействия в инфляционной космологии, и, конечно же, гравитация.

Как было сказано ранее, контрчлены в лагранжианах неперенормируемо-го типа растут бесконтрольно, но все-таки некоторая предсказуемость в таких КТП присутствует. Расходимости в неперенормируемых локальных теориях также являются локальными, что является следствием теоремы Боголюбова-Парасюка и её можно использовать для изучения всех последовательностей фейнмановских интегралов. В свою очередь, такой подход приводит к обобщению РГ-симметрии и РГ-уравнений. Изучению того, как именно могут быть обобщены РГ-уравнения и как именно это может помочь пониманию непере-нормируемых взаимодействий и посвящена данная работа.

Удобным подспорьем для рассмотрения являются суперсимметричные модели в высших четных измерениях, в которых часть расходящихся диаграмм, как известно, сокращается [11]. Благодаря формализму спиральных спиноров и ВСР"^рекуррентным соотношениям [12; 13], можно рассеяние 2 в 2 записать во всех порядках с помощью диаграмм ограниченного числа топологий. В том числе из-за такого ограничения в суперсимметричных неперенормируемых моделях возможно более простым способом, чем без такого ограничения, получить обобщенные РГ-уравнения и подробно их исследовать.

Ещё одним удобным полем для изучения методов работы с неперенормиру-емыми теориями является изучение скалярных взаимодействий произвольного типа в четырехмерии методом эффективного потенциала, обобщающее результаты [14]. В них расходящимся подграфом является однопетлевая вакуумная диаграмма, с помощью этого "кирпичика" можно построить все одночастично-неприводимые диаграммы высших порядков. Следствием такого исследования также будет обобщенное РГ-уравнение, которое позволит изучить скалярные неперенормируемые модели, например, из инфляционной космологии.

Целью данной работы является построения обощённых ренормгрупповых уравнений в неперенормируемой квантовой теории поля, решением которых является бесконечная сумма полюсных членнов, логарифмов, в заданном порядке

1 Современные эксперименты достигают масштаба энергий в несколько ТэВ (103 ГэВ), в то время

как планковская энергия равна 1019 ГэВ

по теории возмущений, в основном для лидирующего (ведущего) порядка. Обобщённые ренормгупповые уравнения выводятся для суперсимметричной теорий в высших размерностях пространства-времени и скалярной теории с произвольной формой потенциала. Также целью является анализ следствий, вытекающих из таких уравнений.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Вычисление четырехточечных фейнмановских диаграмм в лидирующем порядке по теории возмущений для суперсимметричной модели Янга-Милса в высших размерностях пространства-времени.

2. Анализ структуры ^-операции в вычислениях диаграмм для построения обобщённых РГ уравнений.

3. Разработка численных методов и аналитическое решение уравнений (когда это возможно) для анализа обобщённых РГ уравнений.

4. Вычисление более высоких порядков расходимостей в фейнмановских диаграммах по ТВ для анализа схемной зависимости.

5. Построение обобщенного РГ уравнения для произвольной скалярной теории.

6. Получение обобщенных РГ уравнений для конкретных потенциалов, степенных и экспоненциальных. Также приложение РГ уравнений к инфляционной космологии.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Получены обобщенные ренормгрупповые уравнения в максимальной БУМ теории в высших размерностях пространства-времени для четырехточечной амплитуды. Эти уравнения являются интегродифферен-циальными и, в частности, для выделенных простых серий диаграмм, получены обобщенные ренормгрупповые уравнения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые решены аналитически.

2. На основании полученных рекуррентных соотношений для подпод-лидирующих и т.д. вкладов, обнаружена универсальная структура построения не зависящего от ^вклада произвола в неминимальной схеме вычитания сингулярностей, что позволяет выражать полный произвол (не зависящий от 1) в любом порядке по ТВ, как сдвиг константы связи.

3. Получено обобщенное ренормгрупповое уравнение для скалярной теории поля с произвольным скалярным потенциалом. Также проведен анализ решения ренормгрупповых уравнений для степенных и экспоненциальных потенциалов, в ходе чего обнаружено поведение с конечным разрывом в таких потенциалах при учёте всех лидирующих квантовых поправок.

4. Получено обобщенное ренормгрупповое уравнение для скалярного инфляционного потенциала для альфа аттракторных T-моделей. На основе анализа уравнения для таких потенциалов было обнаружено сохранение классического асимптотического поведения и сохранение спонтанного нарушения симметрии при учете всех лидирующих квантовых поправок, то есть был обнаружен механизм Колемана-Вайнберга в такой скалярной теории.

Научная новизна:

1. Впервые были получены обобщенные РГ уравнения в SYM теориях в высших размерностях пространства-времени.

2. Впервые был проведен анализ схемной зависимости (зависимости от схемы вычитания) в таких теориях.

3. Впервые было получено обобщенное РГ уравнения для произвольной скалярной теории.

4. Впервые были вычислены все лидирующие квантовые вклады в инфляционной теории с медленным скатыванием.

5. Впервые был продемонстрирован пример скалярной теорией с сохранением спонтанного нарушения симметрии после учёта всех лидирующих квантовых поправок по средствам РГ уравнения.

Достоверность. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

1. Международная конференция по физике элементарных частиц и космологии, посвященная памяти Валерия Рубакова, национальная лабораторией Алиханяна (Ереванский институт физики), Армения в 2023 год (устный доклад: "Effective potential in the inflationary cosmology");

2. Международная конференция по квантовой теории поля, физике высоких энергий и космологии, Объединенный институт ядерных исследова-

ний, Дубна, Россия, в 2022 году (устный доклад: "All-loop contribution to effective potential");

3. IV международная научная конференция "Проблемы взаимодействия излучения с веществом", посвященная 90-летию со дня рождения Б.В. Бокутя. Гомель, Беларусь 2016 год (устный доклад: "Divergences in maximal supersymmetric Yang-Mills theories in diverse dimensions").

Также на семинарах в 2023 году в Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова ОИЯИ (устный доклад "Leading all-loop quantum contribution to the effective potential in general scalar field theory") на семинарах в институе физики имени Б. И. Степанова НАН Беларуси в 2023 (устаный доклад "Эффективный потенциал в инфляционной космологии") и в 2018 (устаный доклад "Сингулярности в максимальных суперсимметричных теории Янга-Миллса в различных измерениях") .

Личный вклад. Все результаты, приведенные в данной диссертационной работе, получены лично автором, либо при его непосредственном участии.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах в рецензируемых журналах, включённых в список ВАК и/или международных баз данных Web of Science и/или Scopus [15—19].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и 3 приложений. Полный объём диссертации составляет 127 страниц, включая 44 рисунка и 1 таблицу. Список литературы содержит 72 наименования.

Глава 1. Получение универсального разложения в амплитудах 8УМ

Благодаря развитию новых вычислительных методов: формализмов спи-норной спиральности, твисторные формализмы, различные наборы рекуррентных соотношений для древестных амплитуд, методы, основанные на унитарном разрезе для петлевых амплитуд, а также различные реализации формализма суперпространства на массовой поверхности для теорий с суперсимметрией [20]), был достигнут значительный прогресс в понимании структуры амплитуд (^-матрицы) в калибровочных теориях различных измерений (обзор см., например [20]). Предметом исследования стали в основном так называемые максимально суперсимметричные теории, которые, как считается, обладают особыми свойствами, обусловленными высшими симметриями. К числу калибровочных и гравитационных теорий с максимальной суперсимметрией в И = 4 пространственно-временных измерениях, относятся и являются наиболее важными примерами М = 41 суперсииметричная теория Янга-Милса (БУМ) и N =8 Супергравитация.

Одним из открытий стало обнаружение дуальной конформной симметрии для М = 4 БУМ. Если объединить алгебры обычной (супер)конформной симметрии и дуальной (супер)конформной симметрии, то они сольются в бесконечномерную янгиановскую алгебру [21], которая в принципе должна полностью определять ^-матрицу теории М = 4 БУМ.

Если теория М = 4 БУМ полностью УФ конечна на массовой поверхности и обладает только ИК-расходимостями [22—24], то в высших измерениях ситуация обратная: ИК-расхождений нет даже на массовой поверхности, но все теории УФ-неперенормируемы. Следует отметить, что формализм спинорных спиральностей и методы, основанные на унитарности могут быть обобщены на размерность пространства-времени большую, чем И = 4 [25—27].

Новые вычислительные методы позволили по-новому подойти к исследованию УФ-свойств ^-матриц формально неперенормируемых гравитационных теорий с расширенной суперсимметрией (в качестве примера можно привести И = 4 М = 8 супергравитацию). Среди калибровочных теорий в высших изме-

1^'-число генераторов суперсимметрии.

рениях с максимальной суперсимметрией имеются следующие четыре случая:

В = 4, N = 4; В = 6, N =2; В = 8, N =1; В =10, N =1.

Будет неудивительно, если все эти теории обладают некоторыми исключительными свойствами. В этом контексте интересно отметить, что интегралы четырехточечных амплитуд в любой теории БУМ имеют практически одинаковую форму (отличаются только древесные амплитуды, являющиеся общими факторами) и сильно ограничены дуальной конформной инвариантностью в размерности В = 6 [28] и, вероятно, во всех измерениях В = 10 [25].

1.1 Формализм спинорной спиральности в различных измерениях

Как уже было сказано, формализмы спинорной спиральности и суперпространства на массовой поверхности играют решающую роль в последних достижениях в понимании теории структуры ^-матрицы четырехмерных суперсимметричных калибровочных теорий поля. Поскольку именно эти формализмы позволили продвинуться в вычислениях как некогда ранее. Здесь обсуждается обобщение этого формализма на случай четных размерностей В = 6, 8 и 10.

В нашем обсуждении мы в основном следуем [26]. В четных измерениях всегда можно выбрать киральное представление гамма-матриц в виде Гц (по-прежнему {Г^} = 2д

гц = 0 ) , (1.1)

\0)в>а 0 у к '

где — индекс векторного представления БО(В — 1,1)2, А и В' = 1,..., 2^—1 являются индексами Зргп(БО(В — 1,1)). Нас интересуют случаи В = 4, 6,8,10. В этих обозначениях можно разложить спинор Дирака ф как пару киральных и

2БО(п, т)- спецальная псевдоортогональная группа, состоящая из псевдоортогональных матриц, размерности п + т = И с детерминантом равным единице.

антикиральных спиноров Вейля3 ЛА и Л а. Лоренцево вращение ЛА и Л а выглядит так

6ЛА = (ОВЛВ, 6Ла = (ОА''^', (1.2)

где

(ОВ = 4 [(^Ц)АА'К)а'В - К)АА'(^)А>В] (1.3)

\А' = ± >В' = 4

(аПА'< = 4 [К)ааК)А'В - (а^)А'А(а^)АВ'] (1.4)

Два спинора Дирака ^ и можно объединить в лоренц-инвариантную

'Г

ную так, что

комбинацию "фГСиспользуя матрицу зарядового сопряжения С, определен-

СТО"1 = -(Гц)т. (1.5)

Для спиноров Вейля возможны два разложения С в зависимости от размерности, соответвено для И = 4,8 и И = 6,10:

с = (пВА "а) (1.6)

(Ява 0 \

^ 0 оВА7

(п-В 0 \ \0 ПВ7

°=1?' ¿> (17)

Матрицы Я подчиняются следующим соотношениям для И = 4,8 и И = 6,10 соответвено:

ЯваЯас = ЬСВ ЯВА ЯА'С' = Ь% (1.8)

Я-= &ВЯа ЯА' = ^ (1.9)

Матрицы Я можно использовать для опускания и поднятия индексов спиноров

Ла = ЛВ Я ВАЛА = ЯВ'А' Л-' (1.10)

3Так как спиноры Вейля имеют в два раза меньшее число степеней свободы, чем спиноры Дирака.

и связи киральных и антикиральных спиноров

ЛА = , ЛА' = ЛАП^ (1.11)

Можно также построить Лоренц инвариантные пары для спиноров, отмеченных % и 2:

Л?ПВАЛА = (гз), Лв>,&в'А'ЛА^ = М (1.12)

Л/ = Щэ), ЛаО,а ЛА^ = (г\з | (1.13)

Матрицы С всегда можно выбрать так, что Ст = - С и Ст = С для Б = 4,8 и И = 6,10 соответственно.

В некоторых измерениях также возможно построить дополнительные Лоренц инварианты. Например, в И = 6 имеется 8р1п(БО(Ъ, 1)) = Би(4)*, поэтому можно использовать абсолютно антисимметричный тензор £авсе, связанный с Би(4)*, так, что: £АВСОЛ^Л$Л% = (1234), ^^^Лв^Лс^Лва = [1234]. Эти комбинации также лоренц-инвариантны.

Светоподобный (безмассовый) импульс рц всегда можно связать с парой спиноров Вейля, используя уравнения Дирака для спиноров ЛА и Ла>:

(р^)ВА'ЛА> = 0 и (р^)ЛА = 0. (1.14)

Решения этих уравнений можно обозначить дополнительными индексами спи-ральности а и а', преобразующиеся под действием малой группы - группы Лоренца, т.е. в нашем случае 80(0 — 2). Можно заметить, что в измерениях И > 4 спиральность безмассовой частицы перестает сохраняться и трансформируется по малой группе аналогично спиральности массивной частицы в И = 4. Из уравнений Дирака видно, что

(р^)ВА'ЛА>а> = 0, (р^)ЛАа = 0, (1.15)

(р^)ВА'Лав = 0, = 0. (1.16)

Решения этих уравнений можно взять Л А>а>(р),ЛАа(р) (и их сопряженные) таким образом, что

£ ЛВа(р)ЛАа (р) = р^(о^)ВА', £ ЛВ1а1 (р)ЛаА(р) = (о*)В,А. (1.17)

а а'

Это дает желаемое представление светового импульса рц в виде пары спиноров Вейля.

Используя спиноры Вейля, можно также построить представление для векторов поляризации глюонов в измерениях О, которое с точностью до нормировки

Ла(р)(иа>(д) м Ла(р)(и^)Ла (д)

СШ - О*-)-, £ц' ЫЯ) - д*-)-. (1.18)

Отметим, что векторы поляризации содержат зависимость от дополнительного параметра (вектора) д. Эта зависимость параметризует калибровочную неоднозначность, а зависимость от д должна сокращаться в калибровочно-инва-риантных объектах, таких как амплитуды рассеяния. Векторы поляризации безмассовых фермионов могут быть выбраны в качестве спиноров Вейля, тогда как векторы поляризации скаляров тривиальны.

Используя такое представление импульсов и векторов поляризации через спиноры Вейля, всегда можно записать амплитуду рассеяния в калибровочной теории в произвольной четной размерности, которая является функцией лоренц-инвариантных произведений импульсов и векторов поляризации через спинорные произведения соответствующие импульсам только внешних частиц.

Таким образом, всегда можно записать амплитуду рассеяния в калибровочной теории в виде произвольной четной размерности как функцию лоренц-инвариантных произведений импульсов и векторов поляризации через спинорные произведения.

1.2 Суперпространство на массовой поверхности

В этом разделе обсуждаются существенные детали, касающиеся суперпространство на масосвой поверхности, для размерностей И = 6,8,10.

Используя суперпространство на масосвой поверхности, можно получить компактное представление для амплитуды (все амплитуды с разными частицами объединены в один объект) в суперсимметричных калибровочных теориях, что очень удобно при вычислениях на основе унитарности [29].

Начнем с В = 6 М = (1,1).

Формализм суперпространства на массовой поверхности рассмотрен в [30].

1.2.1 Суперпространство на массовой поверхности М = (1,1) для

В = 6

Такое пространство можно параметризовать следующим набором координат:

М = (1,1) Э=6 суперпространство = {Л^Д^^Лга}, (1.19)

где па и Па — грассмановы координаты4, I = 1,2 и I' = 1',2' — индексы Зи(2)д х Зи(2)д5 Я-симметрии 6 . Обратим внимание, что это суперпространство не является киральным. В этом суперпространстве существуют два типа

АТ —

суперзарядов дА± и с коммутационными соотношениями

{(А } = рАВ еы,

{ЯА1 чЪвУ } = РАВ £/'7', {(1А1 } = 0. (1.20)

Используя это суперпространство, аналогично случаю И = 4 БУМ [29], можно объединить все операторы рождения/уничтожения состояний на массовой поверхности из супермультиплета М = (1,1) в единственную комбинацию, которая инвариантна относительно преобразований суперсимметрии на массовой поверхности. Сам супермультиплет М = (1,1) задан следующими операторами рождения/уничтожения

которые соответствуют физическим поляризациям глюона 1Ааа), двух фер-мионов |Ф®),|Ф а) и двух комплексных скаляров |ф|') (антисимметрична относительно 1,1'). Этот мультиплет СРТ 7 самосопряжен.

Однако необходимо рассмотреть усечение полного М = (1,1) суперпространства [30]. Это можно делать последовательно используя специальную

4Антикоммутирующие переменные

^Щ^-специальная унитарная группа, состоящая из унитарных матриц размерности N х N , определитель которых равен единице

6Это симметрия, преобразующая различные суперзаряды в теории с суперсимметрией друг в друга

7Симметрия заряда, четности и обращения времени. Это фундаментальная симметрия физических законов при одновременных преобразованиях зарядового сопряжения (С), преобразования четности ( Р) и обращения времени (Т).

версию гармонического суперпространства [30]. Гармонические переменные и^ и 7й±1' в этой настройке должны быть выбраны для параметризации пространства двойного смежного класса.

яи(2)д у ви(2)д (121.

и(1) х и(1) • (1.21)

Используя эти переменные, мы выражаем проецируемые суперзаряды и грас-смановы координаты как

ЯтЛ = и/4М, <Й = и±ГЧм^

Ла = и^Ла, Л± = и±/Лра. (1.22)

Мы также можем перевыразить все операторы рождения/уничтожения состояний на массовой поверхности И = 6 М = (1,1) БУМ, используя наши новые гармонические переменные. Бозонные состояния - это

ф--, ф-А, ф+—, ф++,Ааа, (1.23)

в то время как фермионные состояния

а,, ф+а, « . (1.24)

Тогда нам придется рассматривать только те объекты, которые зависят от множества переменных, которые параметризуют подпространство («аналитическое суперпространство») полное суперпространство N = (1,1) на массовой поверхности

N = (1,1) Э=6 гармонического суперпространства = {Л^,Л^,П—,Л+}. (1.25)

Проецируемые суперзаряды и генераторы импульса, действующие на аналитическое суперпространство для случая п-частиц можно явно записать как:

п п

рлв = £ЛА°(р,)ЛВ* (р,), ч-А = £лЦрО -, Га = £Лд(р^. (1.26)

Теперь, наконец, можно объединить все операторы рождения/уничтожения состояний на массовой поверхности (1.23, 1.24) в одно состояние ) = ^\0) (здесь % обозначает импульсы которые несёт состояние):

) = {ф—а + фаа(л-л-) + Фг--(лАлА) + ФА-(л-л-МлАлА)г + (ФАП-) + (Ф-лА), + (Ф-л-млала) + (Фаламл-л-)

+ (ЛЛ-ЛА)г}\0), (1.27)

где (ХУ) = У^ а/а. В дальнейшем, для простоты, мы отбросим метки ±. Как и в случае И = 4, мы можем формально записать упорядоченную по цвету амплитуду как

, Па,Па}) = <0^ ^^|0>, (1.28)

%=1

где Б — Б-матричный оператор теории, а среднее значение <0| ... |0> понимается относительно некоторой (например, компонентной) формулировки теории. Инвариантность относительно трансляций и преобразований суперсимметрии требует, чтобы амплитуда была аннулирована соответствующими генераторами

рлв Лп = дАЛп = Ча Лп = 0. (1.29)

Таким образом, суперамплитуда должна иметь вид

Лп([\А,к, Па,Па }) = Ь6(РАВ )ь4(ЧА)ь4(Па)Тп({\А?А Па,Па }), (1.30)

где Тп — полином относительно п и п степени 2п — 8. Грассмановы дельта-функции Ь4(дл) и б4(д л) в рассматриваемом случае определяются как

¿V) = 4;£АВСВ б(дА)б(дВ )б(дс )Ь(дп),

б4(Чл) = 4| ^ ¿(Ял)б(Яв )б(Яс )Ь(Ъ). (1.31)

Дельта- функция б(X1) здесь представляет собой обычную грассманову дельта-функцию, определяемую как 8м(X1) = П^=1 X1, где I — индекс Я-симметрии. В гармонической формулировке мы имеем просто 8(Х) = X.

Рассмотрим теперь четырехточечную амплитуду. Степень грассманова многочлена Р4 равна 2п — 8 = 08, поэтому Р4 — функция бозонных переменных только {ЛА,ЛЛ}, как и в случае И = 4

Д4({лЛ,лл, Па,Па }) = б6(рлв )ь4(чл)ь4(чл)Га ({лАЛЛ }). (1.32)

На древесном уровне Т4 можно найти явно из сравнения с выражением для 4х-глюонной амплитуды [30], полученной с помощью шестимерной версии

8В максимально суперсимметричных теориях, которые здесь рассматриваются, количество фер-мионных степеней свободы и число степеней свободы скалярных полей в точности достаточно что бы сократить все глюонных диаграмм типа бабблов и треугольников, и в итоге остаются только диаграммы типа бокс. Это явно будет видно из универсального разложения которое описано ниже.

рекуррентного соотношения ВСЕ"" или прямого вычисления диаграммы Фей-нмана [27]. Это дает нам тот факт, что на самом деле имеет очень простую форму: Р(0) ~ 1/ йЬ. Здесь й и £ — стандартные переменные Мандельштама, переменные, определенные как й = (р1 + р2)2 и Ь = (р2 + Рз)2. Мы также отбрасываем общую зависимость от константы связи. Итак, можно видеть, что на древесном уровне 4х-точечной суперамплитуду можно записать как:

Д«°> = 66(/В )8 4(дЛ)64 (ЦЛ)1. (1.33)

Здесь рАВ и (1А,~с[а определяются как (1.26). На древесном уровне с 5-точечной амплитудой все не так просто [28] по сравнению со случаем с четырьмя точками. Форма подынтегрального выражения совпадает со случаем И = 4 вплоть до амплитуды древесного уравня. Можно утверждать, [31], что это свойство сохранится и за пределами трехпетлевого уровня.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Толкачёв Денис Михайлович, 2024 год

Список литературы

1. Боголюбов, Н. Н. Уравнения в вариациях квантовой теории поля / Н. Н. Боголюбов. — 1952.

2. Shirkov, D. V. Bogolyubov renormalization group and symmetry of solution in mathematical physics / D. V. Shirkov, V. F. Kovalev // Phys. Rept. — 2001. — Т. 352. — С. 219—249.

3. Bogoliubov, N. N. Introduction To The Theory Of Quantized Fields / N. N. Bogoliubov, D. Shirkov. — Moscow : Nauka, 1957.

4. Zav'yalov, O. I. Bogolyubov's R-operation and the Bogolyubov-Parasyuk theorem / O. I. Zav'yalov // Russian Mathematical Surveys. — 1994. — Окт. — Т. 49, № 5. — С. 67.

5. Kazakov, D. I. Radiative corrections, divergences, regularization, renormalization, renormalization group and all that in examples in quantum field theory / D. I. Kazakov. — JINR, 2008.

6. Stueckelberg, E. C. G. The normalization group in quantum theory / E. C. G. Stueckelberg, A. Petermann // Helv. Phys. Acta. — 1951. — Т. 24. — С. 317—319.

7. Bogoliubow, N. N. Über die Multiplikation der Kausalfunktionen in der Quantentheorie der Felder / N. N. Bogoliubow, O. S. Parasiuk // Acta Mathematica. — 1957. — Т. 97. — С. 227—266.

8. Zimmermann, W. Convergence of Bogolyubov's method of renormalization in momentum space / W. Zimmermann // Commun. Math. Phys. — 1969. — Т. 15. — С. 208—234.

9. Shirkov, D. V. The Bogolyubov renormalization group / D. V. Shirkov. — 1996. — Февр.

10. Weinberg, S. The Quantum theory of fields. Vol. 1: Foundations / S. Weinberg. — Cambridge University Press, 06.2005.

11. West, P. C. Introduction to supersymmetry and supergravity. Extended second edition. / P. C. West. — Second. — Singapore : World Scientific, 1990.

12. Dixon, L. J. A brief introduction to modern amplitude methods / L. J. Dixon // Theoretical Advanced Study Institute in Elementary Particle Physics: Particle Physics: The Higgs Boson and Beyond. — 2014. — С. 31—67.

13. Direct proof of tree-level recursion relation in Yang-Mills theory / R. Britto [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2005. — Т. 94. — С. 181602.

14. Coleman, S. R. Radiative Corrections as the Origin of Spontaneous Symmetry Breaking / S. R. Coleman, E. J. Weinberg // Phys. Rev. D. — 1973. — Т. 7. —

C. 1888—1910.

15. Divergences in maximal supersymmetric Yang-Mills theories in diverse dimensions / L. V. Bork [и др.] // JHEP. — 2015. — Т. 11. — С. 059.

16. Structure of UV divergences in maximally supersymmetric gauge theories /

D. I. Kazakov [и др.] // Phys. Rev. D. — 2018. — Т. 97, № 12. — С. 125008.

17. Kazakov, D. I. Leading all-loop quantum contribution to the effective potential in general scalar field theory / D. I. Kazakov, R. M. Iakhibbaev, D. M. Tolkachev // JHEP. — 2023. — Т. 04. — С. 128.

18. Kazakov, D. I. Leading all-loop quantum contribution to the effective potential in the inflationary cosmology / D. I. Kazakov, R. M. Iakhibbaev, D. M. Tolkachev // JCAP. — 2023. — Т. 09. — С. 049.

19. Tolkachev, D. M. Quantum Corrections to the Effective Potential in Generalized Models with a Scalar Field / D. M. Tolkachev, D. I. Kazakov, R. M. Yakhibbaev // Письма в журнал "Физика элементарных частиц и атомного ядра". — 2023. — Т. 20, № 3. — С. 292—295.

20. Bern, Z. Progress in one loop QCD computations / Z. Bern, L. J. Dixon, D. A. Kosower // Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. — 1996. — Т. 46. — С. 109—148.

21. Drummond, J. M. Yangian symmetry of scattering amplitudes in N=4 super Yang-Mills theory / J. M. Drummond, J. M. Henn, J. Plefka // JHEP / под ред. F. Liu, Z. Xiao, P. Zhuang. — 2009. — Т. 05. — С. 046.

22. Beisert, N. On Yangian Symmetry in Planar N=4 SYM / N. Beisert // Gribov-80 Memorial Workshop on Quantum Chromodynamics and Beyond. — 04.2010. — С. 413—438.

23. Exacting N=4 Superconformal Symmetry / T. Bargheer [и др.] // JHEP. — 2009. — Т. 11. — С. 056.

24. Bethe Ansatz for Yangian Invariants: Towards Super Yang-Mills Scattering Amplitudes / R. Frassek [h gp.] // Nucl. Phys. B. — 2014. — T. 883. — C. 373—424.

25. Caron-Huot, S. Spinor Helicity and Dual Conformal Symmetry in Ten Dimensions / S. Caron-Huot, D. O'Connell // JHEP. — 2011. — T. 08. —

C. 014.

26. Boels, R. H. Simple superamplitudes in higher dimensions / R. H. Boels,

D. O'Connell // JHEP. — 2012. — T. 06. — C. 163.

27. Cheung, C. Amplitudes and Spinor-Helicity in Six Dimensions / C. Cheung, D. O'Connell // JHEP. — 2009. — T. 07. — C. 075.

28. Dennen, T. Dual Conformal Properties of Six-Dimensional Maximal Super Yang-Mills Amplitudes / T. Dennen, Y.-t. Huang // JHEP. — 2011. — T. 01. — C. 140.

29. Elvang, H. Scattering Amplitudes / H. Elvang, Y.-t. Huang. — 2013. — Abr

30. Dennen, T. Supertwistor space for 6D maximal super Yang-Mills / T. Dennen, Y.-t. Huang, W. Siegel // JHEP. — 2010. — T. 04. — C. 127.

31. Smilga, A. Ultraviolet divergences in non-renormalizable supersymmetric theories / A. Smilga // Phys. Part. Nucl. Lett. — 2017. — T. 14, № 2. — C. 245—260.

32. Bandos, I. An analytic superfield formalism for tree superamplitudes in D=10 and D=11 / I. Bandos // JHEP. — 2018. — T. 05. — C. 103.

33. Mafra, C. R. Superstring Scattering Amplitudes with the Pure Spinor Formalism : guc. ... KaHg. / Mafra Carlos R. — Sao Paulo, IFT, 2008.

34. Dual superconformal symmetry of scattering amplitudes in N=4 super-Yang-Mills theory / J. M. Drummond [h gp.] // Nucl. Phys. B. — 2010. — T. 828. — C. 317—374.

35. Generalized Unitarity and Six-Dimensional Helicity / Z. Bern [h gp.] // Phys. Rev. D. — 2011. — T. 83. — C. 085022.

36. Massive amplitudes on the Coulomb branch of N=4 SYM / N. Craig [h gp.] // JHEP. — 2011. — T. 12. — C. 097.

37. The Five-Loop Four-Point Amplitude of N=4 super-Yang-Mills Theory / Z. Bern [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 2012. — T. 109. — C. 241602.

38. Bern, Z. Iteration of planar amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills theory at three loops and beyond / Z. Bern, L. J. Dixon, V. A. Smirnov // Phys. Rev. D. — 2005. — Т. 72. — С. 085001.

39. High Energy Behavior in Maximally Supersymmetric Gauge Theories in Various Dimensions / D. Kazakov [и др.] // Symmetry. — 2019. — Т. 11, № 1. — С. 104.

40. Bern, Z. Two loop four gluon amplitudes in N=4 superYang-Mills / Z. Bern, J. S. Rozowsky, B. Yan // Phys. Lett. B. — 1997. — Т. 401. — С. 273—282.

41. Summation of all-loop UV Divergences in Maximally Supersymmetric Gauge Theories / A. T. Borlakov [и др.] // JHEP. — 2016. — Т. 12. — С. 154.

42. Kazakov, D. I. Leading and Subleading UV Divergences in Scattering Amplitudes for D=8 N=1 SYM Theory in All Loops / D. I. Kazakov, D. E. Vlasenko // Phys. Rev. D. — 2017. — Т. 95, № 4. — С. 045006.

43. Kazakov, D. I. Ultraviolet divergences in D = 8 N =1 supersymmetric Yang-Mills theory / D. I. Kazakov, D. E. Vlasenko // Theor. Math. Phys. — 2017. — Т. 192, № 1. — С. 1016—1027.

44. Kazakov, D. Kinematically Dependent Renormalization / D. Kazakov // Phys. Lett. B. — 2018. — Т. 786. — С. 327—331.

45. Jackiw, R. Functional evaluation of the effective potential / R. Jackiw // Phys. Rev. D. — 1974. — Т. 9. — С. 1686.

46. Hepp, K. Proof of the Bogolyubov-Parasiuk theorem on renormalization / K. Hepp // Commun. Math. Phys. — 1966. — Т. 2. — С. 301—326.

47. D.I., B. Quantum mechanics / B. D.I. — D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland, 1964.

48. Inc., W. R. Mathematica, Version 13.1 / W. R. Inc. — URL: https://www. wolfram.com/mathematica ; Champaign, IL, 2022.

49. Рубаков В.А., Г. Д. Введение в теорию ранней Вселенной: Космологические возмущения. Инфляционная теория. / Г. Д. Рубаков В.А. — 2009.

50. Guth, A. H. The Inflationary Universe: A Possible Solution to the Horizon and Flatness Problems / A. H. Guth // Phys. Rev. D / под ред. L.-Z. Fang, R. Ruffini. — 1981. — Т. 23. — С. 347—356.

51. Starobinsky, A. A. A New Type of Isotropic Cosmological Models Without Singularity / A. A. Starobinsky // Phys. Lett. B / под ред. I. M. Khalatnikov, V. P. Mineev. — 1980. — Т. 91. — С. 99—102.

52. Mukhanov, V. Physical Foundations of Cosmology / V. Mukhanov. — Oxford : Cambridge University Press, 2005.

53. Martin, J. Encyclopedia Inflationaris / J. Martin, C. Ringeval, V. Vennin // Phys. Dark Univ. — 2014. — Т. 5/6. — С. 75—235.

54. Kallosh, R. Universality Class in Conformal Inflation / R. Kallosh, A. Linde // JCAP. — 2013. — Т. 07. — С. 002.

55. Unity of Cosmological Inflation Attractors / M. Galante [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2015. — Т. 114, № 14. — С. 141302.

56. Kallosh, R. Superconformal Inflationary a-Attractors / R. Kallosh, A. Linde, D. Roest // JHEP. — 2013. — Т. 11. — С. 198.

57. Rehman, M. U. GUT Inflation and Proton Decay after WMAP5 / M. U. Rehman, Q. Shafi, J. R. Wickman // Phys. Rev. D. — 2008. — Т. 78. — С. 123516.

58. Elizalde, E. Renormalization group improved effective potential for gauge theories in curved space-time / E. Elizalde, S. D. Odintsov // Phys. Lett. B. — 1993. — Т. 303. — С. 240—248.

59. Elizalde, E. Renormalization group improved effective potential for interacting theories with several mass scales in curved space-time / E. Elizalde, S. D. Odintsov // Z. Phys. C. — 1994. — Т. 64. — С. 699—708.

60. Kallosh, R. Cosmological Attractors and Asymptotic Freedom of the Inflaton Field / R. Kallosh, A. Linde // JCAP. — 2016. — Т. 06. — С. 047.

61. Motohashi, H. Inflation with a constant rate of roll / H. Motohashi, A. A. Starobinsky, J. Yokoyama // JCAP. — 2015. — Т. 09. — С. 018.

62. Weinberg, S. Cosmology / S. Weinberg. — 2008.

63. Improved Constraints on Primordial Gravitational Waves using Planck, WMAP, and BICEP/Keck Observations through the 2018 Observing Season / P. A. R. Ade [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2021. — Т. 127, № 15. — С. 151301.

64. Planck 2018 results. X. Constraints on inflation / Y. Akrami [и др.] // Astron. Astrophys. — 2020. — Т. 641. — A10.

65. Frolovsky, D. Fitting Power Spectrum of Scalar Perturbations for Primordial Black Hole Production during Inflation / D. Frolovsky, S. V. Ketov // Astronomy. — 2023. — Т. 2, № 1. — С. 47—57.

66. Curtiss, C. F. Integration of Stiff Equations* / C. F. Curtiss, J. O. Hirschfelder // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 1952. — Т. 38, № 3. — С. 235—243.

67. Greenwood, R. N. How generic is eternal inflation? / R. N. Greenwood, A. Aguirre. — 2021. — Нояб. — arXiv: 2111.14218 [gr-qc].

68. Guth, A. H. Eternal inflation and its implications / A. H. Guth //J. Phys. A / под ред. J. Sola. — 2007. — Т. 40. — С. 6811—6826.

69. Guth, A. H. Could the Universe Have Recovered from a Slow First Order Phase Transition? / A. H. Guth, E. J. Weinberg // Nucl. Phys. B. — 1983. — Т. 212. — С. 321—364.

70. Dalianis, I. Primordial black holes from a-attractors / I. Dalianis, A. Kehagias, G. Tringas // JCAP. — 2019. — Т. 01. — С. 037.

71. Weinberg, E. J. Understanding complex perturbative effective potentials / E. J. Weinberg, A.-q. Wu // Phys. Rev. D. — 1987. — Т. 36. — С. 2474.

72. Dark energy, a-attractors, and large-scale structure surveys / Y. Akrami [и др.] // JCAP. — 2018. — Т. 06. — С. 041.

Приложение А Мастер-интегралы до пятипетлевого порядка

В этом приложении продемонстрированы диаграммы, содержащие лидирующий полюс до 5-го порядка включительно (для И = 6 не приведены лестничные боксы, которые конечны). Они представлены на рис.А.1 и рис.А.2 Диаграммы, которые можно получить путем замены 5 ^ не показаны.

Рисунок А.1 — Все петли до четвертого порядка, содержащие лидирующие полюса.

Рисунок А.2 — Пятипетлевые диаграммы, содержащие лидирующий полюс в

В = 6.

Приложение Б

Код для численного счёта интегродифференциальных уравнений на

примере И = 8

Код написан для Wolfram Mathematica. Он легко может быть преобразован для вычисления остальных интегро-дифференциальных уравнений.

Листинг Б.1 Код на Wolfram Mathematica для численного счета

10

15

20

L = {0};(*starting value*)h = 0.1;(*step value*)Do[l = {L[[d ]]};

For[i = 1, i <= 3, i + + , l = Append [l,

l[[i]] + (-h/12 +

2 h s~2 Integrate[ Integrate[

y (1 - x) (l[[i]] + (l[[i]] /. {t -> s, s -> t})) /. t->tx-ty-sy, {y, 0, x}] , {x, 0, 1}] -If [i > 2 , s~4 h Integrate[

x~2 (1 - x)"2 Integrate[

Integrate[(1 - kc) (l[[i]] /. t -> -s x +

Exp[I ta] t (1 - x) kc) ((l[[i]] /. {t -> s, s -> t}) /. t -> -s x + Exp [-1 ta] s x) , {kc ,

0 ,

1}] , {ta, -Pi , Pi}] , {x, 0, 1}] , 0] )]] ; z = (l + (l /. {t -> s, s -> t}))/2; L = Append [L,

Delete [z, {{1}, {2}, {3}}][[1]] /. s -> 1 /. t -> 1], {d, 3}]

5

Особенность такого подхода состоит в том, что процедура не зависит от 2, т.е. мы восстанавливаем форму решения, но не фиксируем его на оси ^, т.е. мы восстанавливаем форму решения, но не фиксируем ее на оси ^. В области, начинающейся от ^ = 0 до первого полюса, эта проблема отсутствует, так как мы знаем, что в начале функция равна 0. В следующей области между первым и вторым полюсами следует выбрать начальную точку, близкую к полюсу, и

начать процедуру до тех пор, пока она не достигнет второго полюса. Затем аналогичным образом продолжаем работу на следующих интервалах. Описанные расчеты мы провели для всех трех случаев И = 6,8,10.

Приложение В Инфляция с медленным скатыванием

Инфляция с медленным скатыванием (slow roll), это выделенный класс моделей, приводящих и к инфляционному расширению, и к правильному разогреву Вселенной после инфляции [49]. Для описания механизм медленного скатывания, который лежит в основе этого класса моделей, рассматривают классические уравнения, описывающие динамику скалярного поля в расширяющейся Вселенной. Скалярное поле, минимально взаимодействующее с гравитацией, описывается следующим действием

S = dAX\f—g

М2р1„ 1

R + од^д^фдуф - v(ф)

2 2*

В случае однородного скалярного поля и пространственно-плоской Вселенной, метрика хорошо известна и имеет стандартную форму Фридмана-Робертсона-Леметра-Уокера и из действия выше получаются следующее уравнение движения

дУ

Ф + 3Я ф + — = 0, о ф

3М2р1 н2 = ф + У

Где Н = а/а постоянная Хаббла и а(Ъ) масштабный фактор. Последнее уравнение есть закон сохранения энергии.

Первое уравнение имеет простую физическую аналогию — это уравнение описывает механическое скатывание в потенциальной яме V(ф) с зависящим от времени коэффициентом трения, равным 3Н. Инфляция в режиме медленного скатывания возникает, когда член 3Нф, соответствующий трению, значительно превосходит член ускорения ф. Это и есть условие медленного скатывания.

Из уравнений для плотности и давления

• 9

Р = у + V (ф) ф 2

Р = -у - У(ф)

Получаем, что при условии медленного скатывания р ~ — р, что соответствует вакуумоподобной материи чего достаточно для инфляции.

Одно из главных достоинств гипотезы о существовании инфляционной стадии состоит в том, что она объясняет наличие первичных возмущений во Вселенной. Согласно инфляционному механизму, первичные скалярные возмущения возникли в результате усиления вакуумных квантовых флуктуации инфлатонного поля, которое происходит, в конечном итоге, именно благодаря ускоренному расширению Вселенной на инфляционной стадии. Механизм генерация тензорных возмущений такого же, только в этом случае усиливаются вакуумные флуктуации гравитационного поля.