Квантовые поправки в суперсимметричных теориях при использовании различных регуляризаций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Алешин Сергей Сергеевич

• Алешин Сергей Сергеевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Алешин Сергей Сергеевич

Содержание

Введение

1 N = 1 суперсимметричная теория Янга—Миллса, регуляри-зованная высшими ковариантными производными с сохранением БРСТ-инвариантности

1.1 Действие для N =1 суперсимметричной

калибровочной теории Янга-Миллса

1.2 Формализм фонового поля в N = 1 суперпространстве

1.3 N =1 суперсимметричная теория Янга-Миллса

и ее регуляризация высшими ковариантными производными

1.4 Перенормировка N = 1 суперсимметричной

теории Янга-Миллса

1.5 Ренормгрупповые функции

2 Вклад духов Нильсена—Каллош в в-функцию N =1 суперсимметричной теории Янга—Миллса, регуляризованной высшими ковариантными производными с сохранением БРСТ инвариантности

2.1 Духи Нильсена-Каллош

2.2 Регуляризация однопетлевых расходимостей для духов Нильсена-Каллош

2.3 Свободные двухточечные связные функции Грина для духов Нильсена-Каллош

2.4 Фейнмановские правила для духовых вершин Нильсена-Каллош, дающих вклад в в-функцию

2.5 Диаграммы с петлями духов Нильсена-Каллош

2.6 Вклад полей Паули-Вилларса духов Нильсена-Каллош в в-функцию

2.7 Вклад в в-функцию от духов Нильсена-Каллош

3 Структура трехпетлевых вкладов в в-функцию N = 1 СКЭД с N1 ароматами, регуляризованной с помощью раз-

мерной редукции

3.1 N =1 СКЭД с Nf ароматами и ее регуляризация

с помощью размерной редукции

3.2 Структура трехпетлевых вкладов в в-функцию, пропорциональных (Nf )2

3.3 Аналог факторизации в двойные полные производные для теории, регуляризованной с

помощью размерной редукции

3.4 Проверка аналога факторизации в двойные полные производные для теории, регуляризованной размерной редукцией, в

трехпетлевом приближении

4 NSVZ-схема для N =1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованной с помощью размерной редукции, в трехпетлевом приближении

4.1 Ренормгрупповые функции, определенные

в терминах голой константы связи

4.2 Ш-схема

4.3 NSVZ-схема в трехпетлевом приближении

Заключение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовые поправки в суперсимметричных теориях при использовании различных регуляризаций»

Актуальность темы исследования

Математические аспекты глобальной суперсимметрии впервые были исследованы Гольфандом и Лихтманом [1]. В их работе было построено обобщение группы Ли, содержащее в себе группу Пуанкаре и группу внутренней симметрии, допускающее нетривиальную S-матрицу. Выяснилось, что такая группа может быть связана с группой суперсимметрии с помощью теоремы Коулмена-Мандулы [2]. Дальнейшее развитие суперсимметричных теорий связанно с построением лагранжианов, инвариантных относительно глобальной суперсимметрии [3, 4] и локальной фермионной калибровочной симметрии — супергравитация [5, 6].

Одним из следствий введения группы суперсимметрии, действующей на элементы ^-матрицы, является улучшение квантовых свойств теорий в ультрафиолетовой области, а именно: подавление расходимостей в суперсимметричных теориях приводит к отсутствию некоторых контрчленов, необходимых в несуперсимметричных теориях. Такие свойства суперсимметричных теорий известны не только для теорий, обладающих гло-

бальной суперсимметрией, речь о которых пойдет ниже, но и для теорий с локальной суперсимметрией [7, 8, 9]. Утверждения такого рода известны как теоремы о неперенормировке, позволяющие, в частности, обнаружить взаимозависимость квантовых поправок к массе и взаимодействию N =1 суперсимметричных теорий, возникающую из-за неперенормировки суперпотенциала [4, 10, 11]. Отметим, при этом, что ввиду перенормировки волновых функций суперполей материи, перенормируются массы и взаимодействия ф3. Кроме того, теоремы о неперенормировке позволяют установить интересные ренормализационные свойства теорий, регуляризованных размерной редукцией и обладающих расширенной глобальной суперсимметрией. В частности, было показано, что N =2 теория Янга-Миллса с глобальной суперсимметрией конечна во всех порядках выше однопетлево-го [12, 13, 14, 15]. А в четырехмерии, на основе трехпетлевого вычисления [16] было установлено, что теория Янга-Миллса с N = 4 суперсимметрией является конечной и, следовательно, конформно-инвариантной на квантовом уровне [12, 13, 17, 18].

Ещё один, не менее эффективный подход к изучению ультрафиолетовых расходимостей суперсимметричных теорий связан с изучением супермуль-типлета аномалий. Известно, что киральная аномалия и аномалия следа тензора энергии-импульса должны принадлежать одному супермультипле-ту [19, 20, 21, 22]. Так как в N = 4 теории Янга-Миллса киральная аномалия отсутствует, то оказывается, что и весь супермультиплет должен быть равен нулю ввиду его неприводимости. Таким образом, из-за пропорциональности следа тензора энергии-импульса бета-функции [23] его

тривиальность обеспечивает конечность теории Янга-Миллса с N = 4 суперсимметрией [24]. Аналогичные рассуждения можно применить к N = 2 теории Янга-Миллса, а именно, из-за тривиальности вкладов высших петель в киральную аномалию [25, 26] удается установить, что в-функция вышеуказанной теории полностью определяется однопетлевым приближением [14].

Ряд интересных результатов был получен в области динамики N = 1 суперсимметричных теорий. Одним из таких результатов является обнаружение точной в-функции для N =1 суперсимметричных теорий без полей материи . Если же в N =1 суперсимметричной теории присутствуют киральные суперполя материи, то точная в-функция такой теории может быть выражена через аномальную размерность суперполей материи

[27, 28, 29, 30, 31, 32]:

(1)

2п(1 - С2а/2п)

где - аномальная размерность киральных суперполей материи, при этом используются следующие обозначения:

^ (татв) = т(д) &

(ТАТВ) = Т (Я) 6АВ; (ТА)к (ТА)кз = С (Я)/; ¡АСП / ВСП = С25АВ; г = $лл,

■АСП гВСП — п яАВ

(2)

генераторы фундаментального представления нормированы следующим

образом:

гг(гАгв) = 6АВ/2;

где

С2 и С(Я)^ 2Т (Я)

операторы Казимира;

индекс Дынкина представления Я;

г

размерность калибровочной группы.

в-функция (1) получила название точной в-функции Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова (КБУ^). Изначально точная NSVZ в-функция была получена для ренормгрупповых функций, определенных через голую константу связи [27, 29, 31, 32].

Точная NSVZ в-функция может быть получена различными способами: исследованием инстантонного вклада в эффективное действие [27, 33], аномалий [28, 30, 34] или неперенормировки топологического члена [35]. Кроме того, были проведены проверки с помощью теории возмущений, основанные на вычислениях в-функций N =1 суперсимметричной теории Янга-Миллса, регуляризованной с помощью размерной редукции в ЭЯ-схеме, в однопетлевом [36], двухпетлевом [37]1, трехпетлевом [38, 39, 40, 41] и четырехпетлевом [41, 42, 43] приближениях. Выяснилось, что вычисленные в-функции в однопетлевом и двухпетлевом приближении совпадают с точной NSVZ в-функцией, так как 2-х петлевая в-функция и однопет-

ХВ этих работах однопетлевое и двухпетлевое вычисление были выполнены с использованием размерной регуляризации.

левая аномальная размерность схемно независимы в теориях с одной константой связи, но, начиная уже с трехпетлевого приближения, равенство нарушается. Однако, рассогласованность результатов может быть устранена с помощью конечной перенормировки [40], существование которой само по себе является весьма нетривиальным фактом [43]. Построение конечной перенормировки, связывающей ЭЯ и NSVZ схемы вплоть до четвёртого порядка теории возмущений было осуществлено в работах [41, 44].

Выяснилось, что вопрос о пертурбативной природе точной NSVZ в-функции существенным образом может быть прояснен с помощью регуляризации высшими ковариантными производными [45, 46] см. также [26]. Регуляризация высшими ковариантными производными может быть обобщена на суперсимметричный случай и сформулирована в терминах N = 1 суперполей [47, 48], а для N = 2 суперсимметричных калибровочных теорий соответствующая регуляризация может быть построена в N =2 гармоническом суперпространстве [49]. Такое обобщение регуляризации высшими ковариантными производными, в отличии от размерной редукции, позволяет явно сохранять N =1 или N =2 суперсимметрии на всех этапах квантовых вычислений. Вычисление трехпетлевой в-функции N =1 суперсимметричной квантовой электродинамики (СКЭД) с использованием суперсимметричной версии регуляризации высшими ковариантными производными выявило интересную особенность квантовых поправок, а именно, оказалось, что петлевые интегралы, определяющие в-функцию могут быть представлены в виде интегралов от полных производных [50] в импульсном пространстве. Дальнейшее исследование структуры интегралов с

использованием ковариантных правил Фейнмана в формализме фонового поля [51, 52] обнаружило факторизацию в двойные полные производные [53] (в пределе нулевого внешнего импульса).

Благодаря такой характерной структуре, один из петлевых интегралов может быть вычислен явно, что позволяет получить NSVZ соотношение. Так, в случае N =1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованной с помощью высших производных, интегралы, определяющие в-функцию в к-петлях, преобразуются в интегралы, образующие аномальную размерность в (к-1)-ой петле [31, 32]. Обнаруженная связь петлевых интегралов позволила явным суммированием ряда теории возмущений получить точную NSVZ в-функцию N =1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованную с помощью высших производных, выраженную в терминах голой константы связи [54, 55].

Найденный пертурбативный механизм образования точной NSVZ в-функции использовал ренормгрупповые функции, выраженные в терминах голых констант связи. Оказалось, что такие ренормгрупповые функции зависят от регуляризации, но не зависят от схемы вычитаний при фиксированной регуляризации [56]. Если же эти функции определять через пере-нормиромированную константу связи, то NSVZ соотношение может быть получено только для специальной схемы перенормировок (NSVZ-схема). Так, например, было построено предписание [56, 57], приводящее к NSVZ соотношению N =1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованной с помощью высших производных, при условии, что ренормгрупповые функции выражены в терминах перенормированных констант связи. Оказалось, что

NSVZ-схема, построенная для такой теории, может быть определена через граничные условия для констант перенормировок:

%3(а,х0) = 1; % (а,х0) = 1, (3)

где х0 фиксированное значение х = 1пА/д. Заметим, что конечные перенормировки не затрагивают ряд схемно независимых членов. В частности, оказалось, что в N =1 СКЭД с Nf ароматами члены, пропорциональные первой степени Nf, схемно независимы и удовлетворяют точной NSVZ в-функции во всех порядках теории возмущений.

Несмотря на несомненные достоинства регуляризации с помощью высших производных, большее распространение при квантовых вычислениях в суперсимметричных теориях получила регуляризация с помощью размерной редукции. Размерная редукция широко используется для вычислений в высших порядках теории возмущений и, в том числе, суперсимметричной квантовой хромодинамике [58]. Известно, что размерная регуляризация [59, 60, 61, 62] нарушает суперсимметрию [63, 64, 65], так как числа бозонных и фермионных степеней свободы по-разному зависят от размерности пространства-времени. Поэтому была предложена модификация этой регуляризации [64], основанная на методе размерной редукции [66, 67]. Регуляризация с помощью размерной редукции сохраняет калибровочную инвариантность, унитарность и глобальную суперсимметрию, но является математически противоречивой теорией [68].

Существуют модификации регуляризации размерной редукцией [69, 70, 71], позволяющие сделать теорию согласованной в терминах

компонентных полей, тем не менее, квантовые поправки высших петель в таких теориях могут нарушать суперсимметрию [72, 73, 74]. Так, например, в N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса был обнаружен вклад в трехпетлевую в-функцию, вычисленную с использованием фермион-фермион-скалярной вершины при тривиальном вкладе в в-функцию, вычисляемой с использованием фермион-фермион-векторной вершины в том же порядке теории возмущений. Данный результат означает нарушение суперсимметрии ЭЯ-схемой.

Научная новизна

В диссертации впервые была исследована структура петлевых интегралов в N =1 суперсимметричной электродинамике с Nf ароматами, регу-ляризованной размерной редукцией, которая приводит к появлению связи между двухточечными функциями Грина калибровочного суперполя и суперполей материи. В частности, для данной регуляризации эта связь была прослежена в низших порядках теории возмущений. Также для двухпет-левого вклада и схемно зависимой части трехпетлевого вклада в поляризационный оператор были найдены аналоги интегралов от ^-сингулярностей, которые возникают в случае использования регуляризации высшими производными. На основе этого результата впервые было установлено, что при использовании размерной редукции ренормгрупповые функции, определенные в терминах голой константы связи, не удовлетворяют NSVZ соотношению. Построены граничные условия, которые определяют NSVZ схему для ренормгрупповых функций, определенных в терминах перенормировн-

ной константы связи, в рассматриваемом порядке теории возмущений для теории регуляризованной размерной редукцией. Также впервые был вычислен вклад духов Нильсена-Каллош [75, 76] в в-функцию (определенную в терминах голой константы связи) N = 1 суперсимметриной теории Янга-Миллса, регуляризованной высшими ковариантными производными с сохранением БРСТ-инвариантности, и продемонстрировано, что он может быть записан в виде интеграла от двойных полных производных по петлевому импульсу для произвольного выбора слагаемого с высшими производными.

Объект исследования

В диссертационной работе исследуются:

1. N = 1 суперсимметричная теория Янга-Миллса, регуляризован-ная высшими ковариантными производными с сохранением БРСТ-инвариантности.

2. N = 1 суперсимметричная квантовая электродинамика с Nf ароматами, регуляризованная с помощью размерной редукции.

Методология и методы исследования

В диссертации были использованы методы суперсимметричной квантовой теории поля, включающие в себя метод построения суперсимметричных инвариантов в N = 1 суперпространстве, метод фонового поля в N = 1 суперпространстве, методы регуляризаций высшими ковариантными производными, Паули-Вилларса и размерной редукцией в N = 1

суперпространстве, формализм квантования суперсимметричных теорий континуальным интегралом, метод построения правил Фейнмана для суперграфов, метод перенормировок и ренормгрупповой подход в суперсимметричных теориях.

Цели и задачи диссертации

1. Вычисление и исследование вклада духов Нильсена-Каллош в в-функцию (определенную в терминах голой константы связи) N = 1 суперсимметриной теории Янга-Миллса, регуляризованной высшими ковариантными производными с сохранением БРСТ-инвариантности.

2. Поиск пертурбативного механизма возникновения связи ренорм-групповых функций в N =1 СКЭД с Nf ароматами, регуляри-зованной размерной редукцией, в трехпетлевом приближении для в-функции и двухпетлевом приближении для аномальной размерности суперполей материи.

3. Изучение причин не выполнения NSVZ-соотношения N =1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованной размерной редукцией, для ренорм-групповых функций, определенных в терминах голой константы связи.

4. Построение граничных условий для констант перенормировки, определяющих NSVZ-схему при использовании регуляризации размерной редукцией в трехпетлевом приближении.

Степень разработанности темы исследования

Поставленные в диссертационной работе цели и задачи полностью выполнены.

Степень достоверности результатов

Достоверность выносимых на защиту диссертационной работы результатов обеспечивается использованием строгих математических методов суперсимметричной квантовой теории поля, а также проверкой воспроизведения некоторых ранее известных результатов.

Научные положения, выносимые на защиту

1. В двухточечной функции Грина калибровочного суперполя N = 1 суперсимметричной квантовой электродинамики с Nf ароматами, ре-гуляризованной с помощью размерной редукции, были найдены структуры, обеспечивающие связь трехпетлевой в-функции с двухпетлевой аномальной размерностью суперполей материи.

2. Обнаруженная связь двухточечных функций Грина калибровочного суперполя и суперполей материи в N = 1 СКЭД, регуляризован-ной с помощью размерной редукции, приводит к нарушению NSVZ-соотношения для ренормгрупповых функций, выраженных в терминах голой константы связи.

3. Для N = 1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованной размерной редукцией, были найдены граничные условия для констант перенормировки, обеспечивающие NSVZ-схему в третьем порядке теории возмущений.

4. Для N =1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованной размерной редукцией, была установлена связь между ренормгрупповыми функциями, определенными в терминах голой константы связи, и ренормгруп-повыми функциями, определенными в терминах перенормированной константы связи в ЭЯ-схеме.

5. Вычислен вклад духов Нильсена-Каллош в в-функцию (определенную в терминах голой константы связи) N =1 суперсимметричной теории Янга-Миллса, регуляризованной высшими ковариантными производными с сохранением БРСТ-инвариантности.

6. Обнаружено, что петлевые интегралы, дающие вклад в 2-х точечную функцию Грина калибровочного суперполя N =1 суперсимметричной теории Янга-Миллса, регуляризованной высшими ковариант-ными производными с сохранением БРСТ-инвариантности, соответствующие вкладу духов Нильсена-Каллош, факторизуются в интегралы от двойных полных производных. Показано, что такая факторизация не зависит от регуляризующего члена с высшими производными.

Практическая ценность работы

Практическая ценность диссертации определяется тем, что обнаруженные аналоги ^-сингулярностей предположительно могут быть использованы при построении общего перенормировочного предписания, определяющего NSVZ-схему для ренормгрупповых функций, определенных в терминах перенормированной константы связи, для суперсимметричных теорий, регуляризованных размерной редукцией. Кроме того, результаты диссертации могут быть использованы для изучения поведения бегущих

констант связи в Минимальной Суперсимметричной Стандартной Модели (МССМ). Обнаруженные структуры в петлевых интегралах, определяющих в-функции исследуемых (с использованием различных регуляриза-ций) суперсимметричных теорий, определяют взаимосвязь перенормировок калибровочных полей и суперполей материи. Такая связь может быть использована для изучения квантовых поправок в высших порядках теории возмущений.

Личный вклад соискателя

Научные результаты, выносимые на защиту диссертации, получены лично автором.

Апробация результатов

Материалы диссертационной работы были доложены на конференциях:

1. С. С. Алешин, А. Л. Катаев, К. В. Степаньянц. Структура 3-х петлевых интегралов для в-функции N=1 СКЭД, регуляризованной размерной редукцией // VI Всероссийская молодежная конференция по фундаментальным и инновационным вопросам современной физики, ФИАН, Москва, Россия, 15-20 ноября 2015 (стендовый доклад)

2. С. С. Алешин. Структура квантовых поправок N=1 СКЭД, регуляри-зованной с помощью размерной редукции // Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2016», МГУ им. М.В. Ломоносова, Россия, 11-15 апреля 2016

3. S. S. Aleshin. Structure of loop intégrais, regularized by the dimensional

reduction, in N=1 SQED // Quantum Field Theory and Gravity (QFTG'2016), Tomsk State Pedagogical University, Russia, August 1-7, 2016

4. S. S. Aleshin. NSVZ relation and the dimensional reduction in N=1 SQED // Supersymmetries & Quantum Symmetries - SQS'2017, Joint Institute for Nuclear Research, Bogoliubov Laboratory of Theoretical Physics, Russia, July 31 - August 5, 2017

Также полученные результаты были доложены на семинаре кафедры теоретической физики физического факультета МГУ, 21 декабря 2016 и на семинаре ИТФ им. Ландау, 7 апреля 2017.

Список публикаций

Основные результаты, приведенные в диссертации, опубликованы в рецензируемых научных изданиях из списка ВАК [77] - [79], а также в сборнике тезисов [80] и трудов [81].

Структура и объем диссертационной работы

Диссертация состоит из введения, четырех основных глав, заключения и списка используемой литературы. Общий объем диссертации 116 страниц. Список литературы включает 103 наименований.

Краткое содержание

В Главе 1 производится квантование N = 1 суперсимметричной калибровочной теории Янга-Миллса методом фонового поля с использованием регуляризации высшими ковариантными производными. Приводится общий формализм перенормировки N =1 суперсимметричной теории Янга-

Миллса, а также формулируются определения и обозначения для ренорм-групповых функций.

В Параграфе 1.1 формулируется N = 1 суперсимметричная калибровочная теория Янга-Миллса, приводится калибровочная симметрия теории.

В Параграфе 1.2 описывается формализм фонового поля в N = 1 суперпространстве. Определяются квантовые и фоновые калибровочные преобразования, калибровочные суперсимметричные фоново ковариантные производные, а также приводится выражение для тензора напряженности калибровочного суперполя в терминах фонового и квантового суперполей.

В Параграфе 1.3 рассматривается регуляризация высшими ковариант-ными производными в N = 1 суперпространстве с сохранением БРСТ-инвариантности теории. Затем выбирается фоново калибровочно инвариантный член, фиксирующий калибровку, и выписываются соответствующие ему действия для духовых полей Фаддеева-Попова [82] и Нильсена-Каллош. Далее записываются БРСТ-преобразования и проверяется БРСТ инвариантность рассматриваемой теории. Для устранения однопетлевых расходимостей вводится дополнительная регуляризация Паули-Вилларса. Затем строится производящий функционал для связных функций Грина.

В Параграфе 1.4 приводится общий формализм перенормировки N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса, а также выписываются соотношения, которым удовлетворяют константы перенормировки. Далее описывается метод вычисления констант перенормировок.

В Параграфе 1.5 определяются ренормгрупповые функции, выражен-

ные в терминах голой константы связи, а также ренормгрупповые функции, выраженные в терминах перенормированной константы связи. Приводятся основные их свойства.

Глава 2 посвящена вычислению и анализу вклада духов Нильсена-Каллош в в-функцию N =1 суперсимметричной теории Янга-Миллса, регуляризованной высшими ковариантными производными с сохранением БРСТ-инвариантности.

В Параграфе 2.1 объясняются причины введения духов Нильсена-Каллош.

В Параграфе 2.2 строится вклад в функциональный интеграл от духов Нильсена-Каллош. Для его вычисления производится дополнительная регуляризация Паули-Вилларса однопетлевых расходимостей.

Параграф 2.3 посвящен вычислению двухточечных связных функций Грина свободной теории.

В Параграфе 2.4 формулируются фейнмановские правила для вершин духовых диаграмм Нильсена-Каллош, дающих вклад в в-функцию.

В Параграфе 2.5 для духов Нильсена-Каллош производится вычисление двухточечной функции Грина фонового калибровочного суперполя, определяющей вклад в в-функцию. В ходе вычислений проверяется сокращение неинвариантных вкладов в эту функцию Грина. Затем петлевые интегралы, определяющие в-функцию, представляются в виде интегралов от двойной полной производной, что позволяет редуцировать петлевые интегралы к интегралу от ^-функции.

В Параграфе 2.6 вычисляется вклад полей Паули-Вилларса для духов

Нильсена-Каллош в в-функцию. В ходе вычислений также проверяется сокращение неинвариантных вкладов. Затем петлевые интегралы, определяющие в-функцию, представляются в виде интегралов от двойной полной производной, что позволяет редуцировать петлевые интегралы к интегралу от ^-функции.

В Параграфе 2.7 получен вклад в в-функцию, определяемый вкладами духов Нильсена-Каллош и соответствующих им полей Паули-Вилларса для случая общей формы регуляризации высшими ковариантными производными.

Глава 3 посвящена изучению структуры трехпетлевых вкладов в в-функцию N = 1 суперсимметричной квантовой электродинамики (СКЭД) с Nf ароматами, регуляризованной с помощью размерной редукции.

В Параграфе 3.1 описывается N = 1 СКЭД с Nf ароматами, регуляри-зованная с помощью размерной редукции.

В Параграфе 3.2 продемонстрирован механизм генерации NSVZ в-функции в трехпетлевом приближении N = 1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованной высшими ковариантными производными. Далее строится трехпетлевой схемнозависимый вклад в двухточечную функцию Грина калибровочного суперполя N = 1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованной с помощью размерной редукции. Показано, что факторизация интегралов, определяющих в-функцию N = 1 СКЭД с Nf ароматами, в интегралы от ^-функций имеет свой аналог для трехпетлевых схемнозависимых вкладов в в-функцию в случае, когда теория регуляризована с помощью размерной

редукции. Для найденного аналога приведено явное выражение до третьего порядка теории возмущений включительно. Показано, что найденная структура связывает двухточечные функции Грина калибровочного и материальных суперполей, как это делают интегралы от 5-функции в теории, регуляризованной с помощью высших ковариантных производных.

В Параграфе 3.3 произведена проверка результата для трехпетлевой в-функции N =1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованной с помощью размерной редукции, в ЭЯ-схеме.

В Главе 4 на основе найденных аналогов интегралов от 5-функции, для теории, регуляризованной с помощью размерной редукции, была найдена связь ренормгрупповых функций, выраженных в терминах голой константы связи. Показано, что если ренормгрупповые функции выражены в терминах голой константы связи, то для N =1 СКЭД с Nf ароматами NSVZ-соотношение не выполнено, если же ренормгрупповые функции выражены в терминах перенормированной константы связи, то NSVZ-соотношение также не выполнено в ЭЯ-схеме, однако, были найдены граничные условия, накладываемые на константы перенормировки, с помощью которых была получена NSVZ-схема до третьего порядка теории возмущений включительно.

В Параграфе 4.1 вычисляется аномальная размерность суперполей материи, выраженная в терминах голой константы связи. С помощью найденной связи двухточечных функций Грина калибровочного и материальных суперполей, устанавливающейся благодаря найденному аналогу интеграла от 5-функции, в теории, регуляризованной с помощью размерной

редукции, было получено аналитическое выражение для аддитивной поправки к NSVZ-соотношению рассматриваемой теории. Показано, что для ренормгрупповых функций, выраженных в терминах голой константы связи, NSVZ-соотношение не выполняется, а в-функция явно зависит от е.

В Параграфе 4.2 формулируются граничные условия для констант перенормировки в случае, когда теория регуляризована с помощью высших ковариантных производных, определяющие NSVZ-схему. Интегрированием ренормгрупповых уравнений получены выражения для констант перенормировки теории, регуляризованной с помощью размерной редукции в рассматриваемом порядке теории возмущений. Далее строятся граничные условия для констант перенормировки в случае, когда теория регуляризо-вана с помощью размерной редукции в ЭЯ-схеме, определяющие условия совпадения соответствующих ренормгрупповых функций, выраженных в терминах перенормированной и голой констант связи. Затем данный результат проверяется для трехпетлевой в-функции и двухпетлевой аномальной размерности суперполей материи.

В Параграфе 4.3 строится конечная перенормировка констант связи, связывающая ЭЯ и NSVZ схемы, которая позволяет получить граничные условия, накладываемые на голую константу связи и константу перенормировки суперполей материи. Далее, с помощью найденных граничных условий были найдены конечные константы, определяющие NSVZ-схему.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алешин Сергей Сергеевич, 2017 год

Литература

[1] Гольфанд Ю. А., Лихтман Е. П. Расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение P-инвариантности. // Письма в ЖЭТФ. - 1971. - 13. - с. 452 - 455.

[2] Coleman S., Mandula J. All possible symmetries of the S matrix. // Phys.Rev. - 1967. - 159. - p. 1251 - 1256.

[3] Акулов В. П., Волков Д. В. О возможном универсальном взаимодействии нейтрино. // Письма в ЖЭТФ. - 1972. - 16. - 11. - с. 621 -624.

[4] Wess J., Zumino B. A Lagrangian model invariant under supergauge transformation. // Phys.Lett. B - 1974. - 49. - p. 52 - 54.

[5] Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S. Progress towards a theory of supergravity. // Phys.Rev. D - 1976. - 13. - p. 3214 - 3218.

[6] Deser S., Zumino B. Consistent supergravity. // Phys.Lett. B - 1976. -62. - p. 335 - 337.

[7] Grisaru M. T., van Nieuwenhuizen P., Vermaseren J. A. M. One Loop Renormalizability of Pure Supergravity and of Maxwell-Einstein Theory

in Extended Supergravity. // Phys.Rev.Lett. - 1976. - 37. - p. 1662 -1666.

[8] Grisaru M. T. Two Loop Renormalizability of Supergravity. // Phys.Lett. B - 1977. - 66. - p. 75 - 76.

[9] Deser S., Kay J. H., Stelle K. S. Renormalizability Properties of Supergravity. // Phys.Rev.Lett. - 1977. - 38. - p. 527 - 530. / ArXiv.org e-print archive. 2015. arXiv: hep-th/1506.03757

[10] Iliopoulos J., Zumino B. Broken Supergauge Symmetry and Renormalization. // Nucl.Phys. B - 1974. - 76. - p. 310 - 332.

[11] Ferrara S., Iliopoulos J., Zumino B. Supergauge Invariance and the GellMann - Low Eigenvalue. // Nucl.Phys. B - 1974. - 77. - p. 413 - 419.

[12] Grisaru M. T., Siegel W. Supergraphity. 2. Manifestly Covariant Rules and Higher Loop Finiteness. // Nucl.Phys. B - 1982. - 201. - p. 292 -314.

[13] Howe P. S., Stelle K. S., Townsend P. K. Miraculous Ultraviolet Cancellations in Supersymmetry Made Manifest. // Nucl.Phys. B - 1984. - 236. - p. 125 - 166.

[14] Howe P. S., Stelle K. S., West P. C. A Class of Finite Four-Dimensional Supersymmetric Field Theories. // Phys.Lett. B - 1983. - 124. - p. 55 -

58.

[15] Buchbinder I. L., Kuzenko S. M., Ovrut B. A. On the D = 4, N = 2 nonrenormalization theorem. // Phys.Lett. B - 1998. - 433. - p. 335 -345. / ArXiv.org e-print archive. 1997. arXiv: hep-th/9710142

[16] Avdeev L. V., Tarasov O. V., Vladimirov A. A. Vanishing Of The Three Loop Charge Renormalization Function In A Supersymmetric Gauge Theory. // Phys.Lett. B - 1980. - 96. - p. 94 - 96.

[17] Mandelstam S. Light Cone Superspace and the Ultraviolet Finiteness of the N = 4 Model. // Nucl.Phys. B - 1983. - 213. - p. 149 - 168.

[18] Brink L., Lindgren O., Nilsson B. E. W. N = 4 Yang-Mills Theory on the Light Cone. // Nucl.Phys. B - 1983. - 212. - p. 401 - 412.

[19] Ferrara S., Zumino B. Transformation Properties of the Supercurrent. // Nucl.Phys. B - 1975. - 87. - p. 207 - 220.

[20] Clark T. E., Piguet O., Sibold K. Supercurrents, Renormalization and Anomalies. // Nucl.Phys. B - 1978. - 143. - p. 445 - 484.

[21] Piguet O., Sibold K. The Supercurrent in N =1 Supersymmetrical Yang-Mills Theories. 1. The Classical Case. // Nucl.Phys. B - 1982. - 196. - p. 428 - 446.

[22] Piguet O., Sibold K. The Supercurrent in N =1 Supersymmetrical Yang-Mills Theories. 2. Renormalization. // Nucl.Phys. B - 1982. - 196. - p. 447 - 460.

[23] Adler S. L., Collins J. C., Duncan A. Energy-Momentum-Tensor Trace Anomaly in Spin 1/2 Quantum Electrodynamics. // Phys.Rev. D - 1977. - 15. - p. 1712 - 1721.

[24] Sohnius M. F., West P. C. Conformal Invariance in N = 4 Supersymmetric Yang-Mills Theory. // Phys.Lett. B - 1981. - 100. -p. 245 - 250.

[25] Adler S. L., Bardeen W. A. Absence of higher order corrections in the anomalous axial vector divergence equation. // Phys. Rev. - 1969. - 182. -p. 1517 - 1536.

[26] Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. // М.: Наука. - 1988. - 272 с.

[27] Novikov V. A., Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. Exact Gell-Mann-Low Function of Supersymmetric Yang-Mills Theories from Instanton Calculus. // Nucl.Phys. B - 1983. - 229. - p. 381 - 393.

[28] Jones D. R. T. More on the Axial Anomaly in Supersymmetric Yang-Mills Theory. // Phys.Lett. B - 1983. - 123. - p. 45 - 46.

[29] Novikov V. A., Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. Beta Function in Supersymmetric Gauge Theories: Instantons Versus Traditional Approach. // Phys.Lett. B - 1986. - 166. - p. 329 - 333. [Sov. J. Nucl. Phys. - 1986. - 43. - p. 294.] [Yad. Fiz. - 1986. - 43. - p. 459 - 464.]

[30] Shifman M. A., Vainshtein A. I. Solution of the Anomaly Puzzle in SUSY Gauge Theories and the Wilson Operator Expansion. // Nucl.Phys. B -1986. - 277. - p. 456 - 486. [Sov. Phys. JETP - 1986. - 64. - p. 428 -440.] [Zh. Eksp. Teor. Fiz. - 1986. - 91. - p. 723 - 744.]

[31] Vainshtein A. I., Zakharov V. I., Shifman M. A. Gell-mann-low Function In Supersymmetric Electrodynamics. // JETP Lett. - 1985. - 42. - p. 224 - 227. [Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. - 1985. - 42. - p. 182 - 184.]

[32] Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. Exact Gell-mann-low Function In Supersymmetric Electrodynamics. // Phys.Lett. B - 1986. -166. - p. 334 - 336.

[33] Shifman M. A., Vainshtein A. I. Instantons versus supersymmetry: Fifteen years later. //In *Shifman, M.A.: ITEP lectures on particle physics and field theory, vol. 2* - p. 485 - 647. /ArXiv.org e-print archive. 1999. arXiv: hep-th/9902018

[34] Arkani-Hamed N., Murayama H. Holomorphy, rescaling anomalies and exact beta functions in supersymmetric gauge theories. // JHEP - 2000.

- 0006. - 030. / ArXiv.org e-print archive. 1997. arXiv: hep-th/9707133

[35] Kraus E., Rupp C., Sibold K. Supersymmetric Yang-Mills theories with local coupling: The Supersymmetric gauge. // Nucl.Phys. B - 2003. - 661.

- p. 83 - 98. / ArXiv.org e-print archive. 2002. arXiv: hep-th/0212064

[36] Ferrara S., Zumino B. Supergauge Invariant Yang-Mills Theories. // Nucl.Phys. B - 1974. - 79. - p. 413 - 421.

[37] Jones D. R. T. Asymptotic Behavior of Supersymmetric Yang-Mills Theories in the Two Loop Approximation. // Nucl.Phys. B - 1975. -87. - p. 127 - 132.

[38] Avdeev L. V., Tarasov O. V. The Three Loop Beta Function in the N = 1, N =2, N = 4 Supersymmetric Yang-Mills Theories. // Phys.Lett. B -1982. - 112.-p. 356 - 358.

[39] Jack I., Jones D. R. T., North C. G. N = 1 supersymmetry and the three loop gauge Beta function. // Phys.Lett. B - 1996. - 386. - p. 138 - 140. / ArXiv.org e-print archive. 1996. arXiv: hep-ph/9606323

[40] Jack I., Jones D. R. T., North C. G. N = 1 supersymmetry and the three loop anomalous dimension for the chiral superfield. // Nucl.Phys. B - 1996. - 473. - p. 308 - 322. / ArXiv.org e-print archive. 1996. arXiv: hep-ph/9603386

[41] Jack I., Jones D. R. T., North C. G. Scheme dependence and the NSVZ Beta function. // Nucl.Phys. B - 1997. - 486. - p. 479 - 499. / ArXiv.org e-print archive. 1996. arXiv: hep-ph/9609325

[42] Harlander R. V., Jones D. R. T., Kant P., Mihaila L., Steinhauser M. Four-loop beta function and mass anomalous dimension in dimensional reduction. // JHEP - 2006. - 0612. - 024. / ArXiv.org e-print archive. 2006. arXiv: hep-ph/0610206

[43] Jack I., Jones D. R. T. Regularization of supersymmetric theories. // Adv. Ser. Direct. High Energy Phys. - 2010. - 21. - p. 494 - 513. / ArXiv.org e-print archive. 1997. arXiv: hep-ph/9707278

[44] Jack I., Jones D. R. T., Pickering A. The Connection between DRED and NSVZ. // Phys.Lett. B - 1998. - 435. - p. 61 - 66. / ArXiv.org e-print archive. 1998. arXiv: hep-ph/9805482

[45] Slavnov A. A. Invariant regularization of nonlinear chiral theories. // Nucl.Phys. B - 1971. - 31. - 301 - 315.

[46] Slavnov A. A. Invariant regularization of gauge theories. // Theor.Math.Phys. - 1972. - 13. - p. 1064 - 1066. [Teor. Mat. Fiz. -1972. - 13. - p. 174 - 177.]

[47] Krivoshchekov V. K. Invariant regularization for supersymmetric gauge theories. // Theor.Math.Phys. - 1978. - 36. - p. 745 - 752.

[48] West P. C. Higher Derivative Regulation of Supersymmetric Theories. // Nucl.Phys. B - 1986. - 268. - p. 113 - 124.

[49] Buchbinder I. L., Pletnev N. G., Stepanyantz K. V. Manifestly N = 2 supersymmetric regularization for N = 2 supersymmetric field theories. // Phys.Lett. B - 2015. - 751 - p. 434 - 441. / ArXiv.org e-print archive. 2015. arXiv: hep-th/1509.08055

[50] Soloshenko A. A., Stepanyantz K. V. Three loop beta function for N = 1 supersymmetric electrodynamics, regularized by higher derivatives. // Theor. Math. Phys. - 2004. - 140. - p. 1264 - 1282. [Teor. Mat. Fiz. - 2004. - 140. - p. 437 - 459.] / ArXiv.org e-print archive. 2003. arXiv: hep-th/0304083

[51] Grisaru M. T., Zanon D. Covariant Supergraphs. 1. Yang-mills Theory. // Nucl.Phys. B - 1985. - 252. - p. 578 - 590.

[52] Grisaru M. T., Milewski B., Zanon D. The Supercurrent and the Adler-bardeen Theorem. // Nucl.Phys. B - 1986. - 266. - p. 589 - 619.

[53] Smilga A. V., Vainshtein A. Background field calculations and nonrenormalization theorems in 4-D supersymmetric gauge theories and their low-dimensional descendants. // Nucl.Phys. B - 2005. - 704. - p. 445 - 474. / ArXiv.org e-print archive. 2004. arXiv: hep-th/0405142

[54] Stepanyantz K. V. Derivation of the exact NSVZ (5-function in N = 1 SQED, regularized by higher derivatives, by direct summation of Feynman diagrams. // Nucl.Phys. B - 2011. - 852. - p. 71 - 107. / ArXiv.org e-print archive. 2011. arXiv: hep-th/1102.3772

[55] Stepanyantz K. V. The NSVZ (-function and the Schwinger-Dyson equations for N = 1 SQED with Nf flavors, regularized by higher derivatives. // JHEP - 2014. - 1408. - 096. / ArXiv.org e-print archive. 2014. arXiv: hep-th/1404.6717

[56] Kataev A. L., Stepanyantz K. V. NSVZ scheme with the higher derivative regularization for N = 1 SQED. // Nucl.Phys. B - 2013. - 875. - p. 459

- 482. / ArXiv.org e-print archive. 2013. arXiv: hep-th/1305.7094

[57] Kataev A. L., Stepanyantz K. V. Scheme independent consequence of the NSVZ relation for N = 1 SQED with Nf flavors. // Phys.Lett. B

- 2014. - 730. - p. 184 - 189. / ArXiv.org e-print archive. 2013. arXiv: hep-th/1311.0589

[58] Bednyakov A. V. Running mass of the b-quark in QCD and SUSY QCD. // Int. J. Mod. Phys. A - 2007. - 22. - p. 5245 - 5277 / ArXiv.org e-print archive. 2007. arXiv: hep-ph/0707.0650

[59] 't Hooft G., Veltman M. J. G. Regularization and Renormalization of Gauge Fields. // Nucl.Phys. B - 1972. - 44. - p. 189 - 213.

[60] Bollini C. G., Giambiagi J. J. Dimensional Renormalization: The Number of Dimensions as a Regularizing Parameter. // Nuovo Cim. B - 1972. -12. - p. 20 - 26.

[61] Ashmore J. F. A Method of Gauge Invariant Regularization. // Lett. Nuovo Cim. - 1972. - 4. - p. 289 - 290.

[62] Cicuta G. M., Montaldi E. Analytic renormalization via continuous space dimension. // Lett. Nuovo Cim. - 1972. - 4. - p. 329 - 332.

[63] Delbourgo R., Prasad V. B. Supersymmetry in the Four-Dimensional Limit. // J. Phys. G - 1975. - 1. - p. 377 - 380.

[64] Siegel W. Supersymmetric Dimensional Regularization via Dimensional Reduction. // Phys.Lett. B -1979. - 84. - p. 193 - 196.

[65] Capper D. M., Jones D. R. T., van Nieuwenhuizen P. Regularization by Dimensional Reduction of Supersymmetric and Nonsupersymmetric Gauge Theories. // Nucl.Phys. B - 1980. - 167. - p. 479 - 499.

[66] Brink L., Schwarz J. H., Scherk J. Supersymmetric Yang-Mills Theories. // Nucl.Phys. B - 1977. - 121. - p. 77 - 92.

[67] Gliozzi F., Scherk J., Olive D. I. Supersymmetry, Supergravity Theories and the Dual Spinor Model. // Nucl.Phys. B - 1977. - 122. - p. 253 -290.

[68] Siegel W. Inconsistency of Supersymmetric Dimensional Regularization. // Phys.Lett. B - 1980. - 94. - p. 37 - 40.

[69] Stockinger D. Regularization by dimensional reduction: consistency, quantum action principle, and supersymmetry. // JHEP - 2005. - 0503.

- 076. / ArXiv.org e-print archive. 2005. arXiv: hep-ph/0503129

[70] Signer A., Stockinger D. Factorization and regularization by dimensional reduction. // Phys.Lett. B - 2005. - 626. - p. 127 - 138. / ArXiv.org e-print archive. 2005. arXiv: hep-ph/0508203

[71] Avdeev L. V., Chochia G. A., Vladimirov A. A. On the Scope of Supersymmetric Dimensional Regularization. // Phys.Lett. B - 1981. -105. - p. 272 - 274.

[72] Avdeev L. V. Noninvariance of Regularization by Dimensional Reduction: An Explicit Example of Supersymmetry Breaking. // Phys.Lett. B - 1982.

- 117. - p. 317 - 320.

[73] Avdeev L. V., Vladimirov A. A. Dimensional Regularization and Supersymmetry. // Nucl.Phys. B - 1983. - 219. - p. 262 - 276.

[74] Velizhanin V. N. Three-loop renormalization of the N = 1, N = 2, N = 4 supersymmetric Yang-Mills theories. // Nucl.Phys. B - 2009. - 818. - p. 95 - 100. / ArXiv.org e-print archive. 2008. arXiv: hep-th/0809.2509

[75] Kallosh R. E. Modifed Feynman rules in supergravity. // Nucl.Phys. B -141. - 1978. - p. 141 - 152.

[76] Nielsen N. K. Ghost counting in supergravity. // Nucl.Phys. B - 140. -1978. - p. 499 - 509.

[77] Aleshin S. S., Kataev A. L., Stepanyantz K. V. Structure of three-loop contributions to the в-function of N =1 supersymmetric QED with Nf flavors regularized by the dimensional reduction. // JETP Lett. - 2016.

- 103. - no.2 - p. 77 - 81. / ArXiv.org e-print archive. 2015. arXiv: hep-th/1511.05675

[78] Aleshin S. S., Kazantsev A. E., Skoptsov M. B., Stepanyantz K. V. One-loop divergences in non-Abelian supersymmetric theories regularized by BRST-invariant version of the higher derivative regularization. // JHEP

- 2016. - 1605. - 014. / ArXiv.org e-print archive. 2016. arXiv: hep-th/1603.04347

[79] Aleshin S. S., Goriachuk I. O., Kataev A. L., Stepanyantz K. V. The NSVZ scheme for N = 1 SQED with Nf flavors, regularized by the dimensional reduction, in the three-loop approximation. // Phys.Lett. B

- 2017. - 764. - p. 222 - 227. / ArXiv.org e-print archive. 2016. arXiv: hep-th/1610.08034

[80] Алешин C. C. Структура квантовых поправок N =1 СКЭД, регу-ляризованной с помощью размерной редукции. // Сборник тезисов XXIII Международной конференции студентов, аспирантов и моло-

дых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2016», секция «Физика» - том 2 - с. 173 - 174.

[81] Алешин C. C., Катаев А. Л., Степаньянц К. В. Структура 3-х петлевых интегралов для в-функции N = 1 СКЭД, регуляризованной размерной редукцией. // Сборник трудов VI Всероссийской молодежной конференции по фундаментальным и инновационным вопросам современной физики, ФИАН, Москва, Россия. - 2015. - с. 77.

[82] Faddeev L. D., Popov V. N. Feynman Diagrams for the Yang-Mills Field. // Phys.Lett. B - 1967. - 25. - p. 29 - 30.

[83] West P. C., Introduction to supersymmetry and supergravity. // Singapore: World Scientific - 1990. - 425 p.

[84] Buchbinder I. L., Kuzenko S. M. Ideas and methods of supersymmetry and supergravity: Or a walk through superspace. // Bristol, UK: IOP -1998. - 656 p.

[85] DeWitt B. S. Dynamical theory of groups and fields. // Gordon and Breach, New York - 1965. - 248 p.

[86] Abbott L. F. The Background Field Method Beyond One Loop. // Nucl.Phys. B - 1981. - 185. - p. 189 - 203.

[87] Abbott L. F. Introduction to the Background Field Method. // Acta Phys. Polon. B - 1982. - 13. - p. 33 - 68.

[88] Slavnov A. A. The Pauli-Villars Regularization for Nonabelian Gauge Theories. // Teor. Mat. Fiz. - 1977. - 33. - p. 210 - 217.

[89] Slavnov A. A. Renormalization of Supersymmetric Gauge Theories. 2. Nonabelian Case. // Nucl.Phys. B - 1975. - 97. - p. 155 - 164.

[90] Ferrara S., Piguet O. Perturbation Theory and Renormalization of Supersymmetric Yang-Mills Theories. // Nucl.Phys. B - 1975. - 93. -p. 261 - 302.

[91] Piguet O., Rouet A. Supersymmetric BPHZ Renormalization. 2. Supersymmetric Extension of Pure Yang-Mills Model. // Nucl.Phys. B

- 1976. - 108. - p. 265 - 274.

[92] Piguet O., Sibold K. Renormalization of N = 1 Supersymmetrical Yang-Mills Theories. 2. The Radiative Corrections. // Nucl.Phys. B - 1982. -197. - p. 272 - 289.

[93] Grisaru M. T., Siegel W. and M. Rocek M. Improved Methods for Supergraphs. // Nucl.Phys. B - 1979. - 159. - p. 429 - 450.

[94] Taylor J. C. Ward Identities and Charge Renormalization of the Yang-Mills Field. // Nucl.Phys. B - 1971. - 33. - p. 436 - 444.

[95] Slavnov A. A. Ward Identities in Gauge Theories. // Theor. Math. Phys.

- 1972. - 10. - p. 99 -104. [Teor. Mat. Fiz. - 1972. - 10. - p. 153 -161.]

[96] Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. // М.: Наука. - 1973. - 416 с.

[97] Chetyrkin K. G., Kataev A. L., Tkachov F. V. New Approach to Evaluation of Multiloop Feynman Integrals: The Gegenbauer Polynomial x Space Technique. // Nucl.Phys. B - 1980. - 174. - p. 345 - 377.

[98] Kataev A. L., Vardiashvili M. D. Scheme Dependence of the Perturbative Series for a Physical Quantity in the g^4 Theory. // Phys.Lett. B - 1989.

- 221. - p. 377 - 383.

[99] Kataev A. L., Stepanyantz K. V. The NSVZ beta-function in supersymmetric theories with different regularizations and renormalization prescriptions. // Theor. Math. Phys. - 2014. - 181. - p. 1531 - 1540. / ArXiv.org e-print archive. 2014. arXiv: hep-th/1405.7598

[100] 't Hooft G. Dimensional regularization and the renormalization group. // Nucl.Phys. B - 1973. - 61. - p. 455 - 468.

[101] Kazakov D. I. Radiative Corrections, Divergences, Regularization, Renormalization, Renormalization Group and All That in Examples in Quantum Field Theory. // ArXiv.org e-print archive. 2009. arXiv: hep-ph/0901.2208

[102] Kataev A. L. Conformal symmetry limit of QED and QCD and identities between perturbative contributions to deep-inelastic scattering sum rules. // JHEP - 2014. - 1402. - 092. / ArXiv.org e-print archive. 2013. arXiv: hep-th/1305.4605

[103] Kutasov D., Schwimmer A. Lagrange multipliers and couplings in supersymmetric field theory. // Nucl.Phys. B - 2004. - 702. - p. 369

- 379. / ArXiv.org e-print archive. 2004. arXiv: hep-th/0409029