Обобщенные расслоения Вейля многообразий, зависящих от параметров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Бушуева, Галина Николаевна

• Бушуева, Галина Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бушуева, Галина Николаевна

Введение

1 Расслоения Вейля

§1.1 Алгебры Вейля.

§1.2 Строение А-гладких отображений.

§1.3 Расслоения Вейля.

§1.4 Структурные группы расслоения Вейля.

§1.5 Обобщенные расслоения Вейля.

2 Расслоенные функторы, сохраняющие произведение, на категории многообразий, зависящих от параметров

§2.1 Категория Mfm многообразий, зависящих от параметров

§ 2.2 Расслоенные функторы, сохраняющие произведение, на категории Mf х Жт.

§ 2.3 Функторы, сохраняющие произведение, на категории Mfm.

§ 2.4 Категория Mf™ многообразий, зависящих от параметров

§ 2.5 Расслоенные функторы, сохраняющие произведение, на категории (Mf х Rm)tr

§ 2.6 Обобщенный функтор Вейля ТА

§ 2.7 Функторы, сохраняющие произведение, на категории Mf™

§ 2.8 Эквивалентность функторов ТА.

3 Геометрия высшего порядка расслоений Вейля на категории гладких многообразий

§3.1 Расслоение Вг(А)ТАМп А-гладких r-реперов на ТАМп

§ 3.2 Фундаментальные полувекторные поля на Вг(А)ТАМп

§ 3.3 Структурная форма расслоения Вг(А)ТАМп

§3.4 Структурные уравнения расслоения Вг(А)ТаМп.

4 Геометрия высшего порядка многообразий, зависящих от параметров

§ 4.1 Расслоения реперов высшего порядка многообразий из категории M.f™.

§4.2 Структурная форма расслоения Br(Mn х U)

§4.3 Структурные уравнения расслоения Br(Mn х U).

§ 4.4 Связности в расслоении Br(Mn xU).

§ 4.5 Ассоциированные связности в Т^(Мп х U).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенные расслоения Вейля многообразий, зависящих от параметров»

Актуальность темы. Расслоения дифференциально-геометрических объектов над гладкими многообразиями являются одними из основных объектов изучения дифференциальной геометрии. Соответствие F, относящее многообразию М расслоение FM —»• М дифференциально-геометрических объектов данного типа, как правило, представляет собой функтор из категории многообразий, морфизмами которой являются локальные диффеоморфизмы /: Мп —> М'п, в категорию локально тривиальных расслоений. Особое место среди таких функторов занимают так называемые функторы, сохраняющие произведение, то есть функторы F, относящие произведению многообразий М х М' произведение соответствующих расслоений FM х FM' —> М х М'. В работах Г. Кайнца и П Михора [51], Д. Эка [46], О Лучиано [65] было получено полное описание функторов, сохраняющих произведение, в терминах расслоений Вейля. Расслоение Вейля ТАМ, определяемое локальной алгеброй А в смысле А.Вейля было введено А. Вейлем в работе [83] как обобщение расслоения пй-скоростей Ш Эресмана [47]. Связь теории локальных алгебр и их групп автоморфизмов с теорией дифференциально-геометрических объектов была установлена также в работах В. В. Вагнера [4,5].

Геометрии расслоений Вейля посвящено много исследований. Укажем, кроме упомянутых выше, работы А. Моримото [72], Л Паттерсо-на [75], исследования П. Юэна [86,87], А. П. Широкова [30,31], И. Ко-ларжа [53, 55], И. Коларжа и В Микульского [57, 59], Э Окассы [74], В. В Шурыгина [36—38], А. Я Султанова [23], Я. Дебекки [43] Касательные расслоения и расслоения ^-скоростей Ш.Эресмана [47], представляющие собой частные случаи расслоений А. Вейля, исследовались в работах В. В. Вагнера [5], К-Яно и Ш Ишихары [84], Ш.Сасаки [78], А. Моримото [71], Н.В.Талантовой и А.П.Широкова [24] и других авторов. Теории функторов, сохраняющих произведение, посвящены работы В. Микульского [66—68], Я. Ганкарзевича, В. Микульского и 3. Погоды [48],

Я. Ганкарзевича, Н Рахмани и М. Сальгадо [49], А. Сабрас и И Коларжа [41,42].

Различным аспектам дифференциальной геометрии высшего порядка — теории связностей высших порядков, теории дифференциально-геометрических объектов — посвящены исследования Г. Ф Лаптева [18], В. В Вагнера [3], А. М. Васильева [7], Н.М.Остиану [21], Л. Е. Евту-шика [13, 14], Б. Н Шапукова [27, 28], М В.Лосика [20], А К.Рыбникова [22], И. Коларжа и М. Модуньо [60].

Более полную библиографию работ, посвященных касательным расслоениям, расслоениям струй Эресмана, расслоениям и функторам А Вейля, различным проблемам дифференциальной геометрии высшего порядка можно найти в обзорах А. П. Широкова [31], в монографиях Л. Е Евтушика, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану и А. П. Широкова [11], Б. Л Рейнхарта [77], П Молино [69], И Коларжа, П Михора и Я Словака [56].

А. П. Широковым [31] было установлено, что расслоение Вейля ТАМп обладает естественной структурой гладкого многообразия над алгеброй А, что позволило применять при изучении геометрии расслоений Вейля теорию многообразий над алгебрами. Общей теории пространств над алгебрами и ее применению посвящены работы А П. Широкова [29, 32], В. В. Вишневского[8,9], Г. И. Кручковича[16,17], В. В. Шурыгина [39], и других авторов (см. обзор А. П. Широкова [31], книгу В. В. Вишневского, А. П. Широкова, В. В. Шурыгина [10]).

Структуры гладких многообразий над бесконечномерными алгебрами, являющимися обратными пределами конечномерных, возникают на бесконечномерных многообразиях, рассматривавшихся И Н Бернштей-ном и Б. И. Розенфельдом [1]. Функторы А. Вейля на категории бесконечномерных многообразий, моделируемых локально выпуклыми векторными пространствами, изучались в работе А. Кригла и П. Михора [61]. Другое обобщение функтора А. Вейля на случай бесконечномерных многообразий построено И. Коларжем [52].

Таким образом, изучение геометрии гладких многообразий над локальными алгебрами и геометрии расслоений Вейля как многообразий над алгебрами является направлением исследований, взаимодействующим со многими интенсивно развивающимися областями современной геометрии

В теории дифференциальных уравнений, при построении различных геометрических моделей лагранжевой и гамильтоновой механики возникает необходимость в рассмотрении расслоений вида У —К (или в более общем случае У —Жт), где R — время. Такие расслоения тривиализуемы, то есть У ~ М х Ж. При этом возникают геометрические структуры, зависящие от параметров (времени). В этой связи отметим работы А. Вон-дра [82], М. Ранады [76], М. де Леона и К. Маррето [64] Поэтому актуальным становится подход к изучению дифференциально-геометрических структур на многообразиях вида М х Жт с точки зрения теории функторов Вейля.

Целью диссертационной работы является обобщение теории функторов Вейля на случай естественных категорий многообразий, зависящих от параметров, установление взаимосвязи обобщенных функторов Вейля с функторами, сохраняющими произведение, и изучение геометрии обобщенных расслоений Вейля.

Методы исследования. При изучении функторов Вейля и функторов, сохраняющих произведение, на категориях многообразий, зависящих от параметров, применяются методы изучения естественных расслоений и функторов, сохраняющих произведение (см. монографию И. Коларжа, П. Михора и Я Словака [56]), а также методы теории многообразий над алгебрами (см книгу В В Вишневского, А. П. Широкова, В В. Шу-рыгина [10], обзорные работы А П. Широкова [31, 32], В. В. Шурыги-на [39]) При исследовании вопросов, относящихся к геометрии расслоений Вейля, используются методы теории дифференциально-геометрических структур на многообразиях (П. Молино [69], Л. Е Евтушик, Ю Г Лу-мисте, Н. М. Остиану, А П. Широков [11]).

Научная новизна результатов, полученных в диссертации и выносимых на защиту, заключается в следующем1

1 Построено обобщенное расслоение Вейля многообразия Мп х Rm, зависящего от т параметров, структурной группой которого является А-аффинная дифференциальная группа Dn(А)

2. Выяснена структура расслоенных функторов, сохраняющих произведение, на категории многообразий М х Rm, зависящих от т параметров, морфизмами которой являются расслоенные отображения, проектирующиеся в тождественные отображения пространства параметров Rm. Доказано, что все такие функторы определяются т-параметрическим семейством А(£), t 6 Rm, алгебр Вейля и набоо о ром из т гладких функций t ь-А(£), где А — максимальный идеал алгебры А, состоящий из всех ее нильпотентных элементов. Аналогичная задача решена для категории многообразий, зависящих от т параметров, морфизмами которой являются расслоенные отображения, проектирующиеся в трансляции пространства параметров Шт В этом случае всякий расслоенный функтор, сохраняющий произведение, эквивалентен некоторому обобщенному функтору Вейля, определяемому постоянной алгеброй Вейля А и набором из т элео ментов идеала А.

3. Получены условия эквивалентности обобщенных функторов Вейля в терминах изоморфизмов пар локальных алгебр (А, В), где В — подалгебра в А.

4 Изучено строение структурной группы Grn{А) расслоения Вг(А)ТаМп А-гладких реперов порядка г расслоения Вейля ТАМп гладкого многообразия Мп Определена структурная форма расслоения Вг(А)ТаМп и получены структурные уравнения этого расслоения. Доказано, что локальные диффеоморфизмы расслоения Вг{А)ТаМп, сохраняющие структурную форму, являются продолжениями локальных А-диффеоморфизмов расслоения Вейля ТАМп.

5. Построено главное расслоение Br(Mn х Mm) реперов порядка г многообразия, зависящего от m параметров, ассоциированое с обобщенным расслоением Вейля. Определена структурная форма расслоения В7 (Мп х Мт) и получены структурные уравнения Выяснено строение локальных диффеоморфизмов расслоения Br{Mn х Rm), сохраняющих структурную форму.

6. Построен объект связности в расслоении Br(Mn х Жт) и получены уравнения горизонтального распределения индуцируемых связ-ностей в ассоциированных обобщенных расслоениях Вейля.

Теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер Полученные в ней результаты могут найти применение в исследованиях естественных расслоений и дифференциально-геометрических структур высшего порядка, а также в геометрии многообразий, несущих на себе структуру представления коммутативной ассоциативной унитальной алгебры.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах

Международная конференция по геометрии и анализу, Пенза, 9—11 октября 2002 г;

Международный семинар имени Н. И. Лобачевского «Современная геометрия и теория физических полей», Казань, 28 ноября — 1 декабря 2002 г;

Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова «Колмогоров и современная математика», Москва, 16-21 июня 2003 г,

9-ая Международная конференция по дифференциальной геометрии и ее приложениям, Прага, 30 августа — 3 сентября, 2004 г;

Международная молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения», Казань, 28 ноября — 1 декабря 2001, 2002 гг.

Результаты работы регулярно докладывались на заседаниях Казанского городского геометрического семинара и итоговых научных конференциях Казанского университета

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах [88-94]

Краткое содержание диссертации.

Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности выбранной темы и краткое содержание работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бушуева, Галина Николаевна, 2005 год

1. Вишневский, В. В. Пространства над алгебрами. / В. В Вишневский, А. П. Широков, В. В Шурыгин. — Казань- изд-во Казанского университета, 1984. — 264 с.

2. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. / JI. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану, А. П. Широков // Итоги науки и техники. / ВИНИТИ — Т. 9: Проблемы геометрии — М., 1979. — 247 с.

3. Евтушик, Л. Е. Дифференциальные связности и инфинитезималь-ные преобразования продолженной псевдогруппы. / Л Е. Евтушик// Труды геом. семин. / ВИНИТИ — Т. 2. — М., 1966. — С. 119-150.

4. Евтушик, Л. Е. Нелинейные связности в метрических пространствах высших порядков. / Л. Евтушик // Известия вузов. Математика. — 1970, — № 1 — С 48-60.

5. Евтушик, Л. Е. Нелинейные шр-связности в главных расслоениях. / Л. Евтушик//Матем. заметки. — 1972. — Т. 11, № 3. — С 341—351.

6. Кобаяси, Ш. Основания дифференциальной геометрии. В 2 т. Т. 2. / Ш. Кобаяси, К. Номидзу; перевод с анг. Л. В. Сабинина — М. Наука, 1981. — 344 с.

7. Кручкович, Г. И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях, I. / Г И. Кручкович // Труды семин по вект. и тенз. анализу. — вып.16. — М Изд-во МГУ, 1972. — С. 174-201

8. Кручкович, Г. И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях, II. / Г. И Кручкович // Труды семин. по вект. и тенз. анализу.— вып.17. — М. Изд-во МГУ, 1974. — С. 218-227

9. Лаптев, Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии. / Г. Ф. Лаптев // Труды геом. семин. — Т. 1 — М. Институт науч. инф. АН СССР, 1966. — С 139— 189.

10. Ленг, С. Алгебра: пер. с анг. / С. Ленг— Москва: Мир, 1968.— 434 с.

11. Лосик, М. В О теореме приведения для связностей высшего порядка. /М. В Лосик// Дифференциальная геометрия, межвуз. сб. науч. тр. / Саратовский гос. ун-т. — вып.5. — Саратов, 1980 — С. 53—64.

12. Остиану, Н. М. Ступенчато-расслоенные пространства. // Труды геометр, семин. / ВИНИТИ АН СССР— т. 5.— М., 1974, —С. 259-309.

13. Рыбников, А. К. О реализации аффинных связностей второго порядка. / А К Рыбников // Вестник МГУ. Мат Мех. — 1984. — № 3. — С. 41-46

14. Султанов, А. Я. Продолжения тензорных полей и связностей на расслоения Вейля / А. Я. Султанов // Известия вузов. Математика. — 1999. — №9, — С 81-90.

15. Талантова, Н. В Замечания об одной метрике в касательном расслоении./ Н В. Талантова, А. П. Широков // Известия вузов. Математика— 1975 — № 6. — С. 143-146.

16. Фейс, К. Алгебра: кольца, модули и категории. В 2 т. Т. 1. / К. Фейс; перевод с анг. Л. А. Койфмана и др]; под ред. Л. А. Скорнякова. — М. Мир, 1977. — Т. 1. — 688 с.

17. Фукс, Д Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. / Д. Б. Фукс — М. Наука, 1984. — Т. 233.

18. Шапуков, Б. Н. Связности на дифференцируемых расслоениях. / Б. Н. Шапуков// Итоги науки и техники. / ВИНИТИ — Т. 15. Проблемы геометрии. — М., 1985. — С. 61—95.

19. Шапуков, Б. Н. Производная Ли на расслоенных многообразиях. /Б. Н. Шапуков // Итоги науки и техн. / ВИНИТИ.— Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — М., 2002 — С. 103-134.

20. Широков, А. П Пространства определяемые алгебрами. Дис. . .докт. физ.-мат. наук: 01.01.04. / А П. Широков — Казань, 1965.

21. Широков, А. П. Замечание о структурах в касательных расслоениях. / А П Широков //Труды геометр, семин / ВИНИТИ — Т. 5 — М., 1974 — С 311-318.

22. Широков, А. П Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами. / А. П. Широков // Итоги науки и техники. / ВИНИТИ — Т. 12: Проблемы геометрии. — М„ 1981. — С. 61-95.

23. Широков, А. П. Пространства над алгебрами и их применения. /A. П. Широков // Итоги науки и техн. // ВИНИТИ. — Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — М., 2002, — С. 135-161

24. Шурыгин, В. В. К теории дифференциальных групп высших порядков. / В. В. Шурыгин // Известия вузов. Математика.— 1984 — № 11. — С. 77-81.

25. Шурыгин, В. В. Расслоения струй как многообразия над алгебрами. /B. В Шурыгин // Итоги науки и техники / ВИНИТИ — Т. 19' Проблемы геометрии. — М., 1987. — С 3—22.

26. Шурыгин, В. В. Структурные уравнения расслоения Л-аффинных реперов. / В. В. Шурыгин // Известия вузов. Математика. — 1989. — № 12. — С. 78-80

27. Шурыгин, В В. Связности высших порядков и лифты полей геометрических объектов. / В. В. Шурыгин // Известия вузов. Математика — 1992. — № 5. — С 96-104.

28. Шурыгин, В В. Многообразия над алгебрами и их применение в геометрии расслоений струй. / В. В. Шурыгин // Успехи мат. наук — 1993 — Т. 48, № 2 (290). — С. 75-106.

29. Шурыгин, В. В. О категории многообразий над алгебрами /В В. Шурыгин // Труды геометр семин — Т 22. — Казанск. ун-т , 1994.—С 107-122

30. Шурыгин, В. В. Гладкие многообразия над локальными алгебрами и расслоения Вейля. / ВВ. Шурыгин // Итоги науки и техн / ВИНИТИ — Т 73. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры — М., 2002. — С 162-236

31. Alonso, R J. Jet manifolds associated to a Weil bundles / R. J Alon-so//Arch. Math — 2000.—Vol 36.—Pp 195-199

32. Cabras, A. Prolongation of tangent valued forms to Weil bundles. / A. Cabras, I. Kolar//Arch. Math.— 1995.— Vol. 31.— Pp. 139145

33. Cabras, A. Prolongation of second order connections to vertical Weil bundles / A Cabras, I. Kolar // Arch Math.— 2001 — Vol. 37 — Pp. 333-347

34. Debecki, J. Linear liftings of skew-symmetric tensor fields to Weil bundles. / J. Debecki // Czech. Math. J. — 2005. — Vol. 55, no. 3. — Pp. 809-816.

35. Doupovec, M. Natural affinors on time-dependent Weil bundles / M Doupovec, I. Kolar//Arch. Math — 1991. — Vol. 27. — Pp. 205209.

36. Doupovec, M. Iteration of fiber product preserving bundle functors. / M. Doupovec, I. Kolar // Monatsh Math.— 2001 — Vol. 134. — Pp 39-50.

37. Eck, D. J. Product-preserving functors on smooth manifolds / D. J Eck // J. Pure Appl. Algebra. — 1986. — Vol. 42. — Pp. 133140.

38. Ehresmann, C. Les prolongements d'une variete differentiable. i. calcul des jets, prolongement principal / С Ehresmann // C. R. Acad Sci. — 1951, —Vol. 233, no 11.—Pp. 598-600.

39. Gancarzewicz, J. Lifts of some tensor fields and connections to product preserving functors. / J Gancarzewicz, W. Mikulski, Z. Pogoda // NagoyaMath. J. — 1994, — Vol. 135. — Pp. 1-41.

40. Gancarzewicz, J. Connections of higher order and product preserving functors / J Gancarzewicz, N. Rahmani, M Salgado // Czech Math. J. — 2002 — Vol. 52. — Pp. 889-896.

41. Guillemin, V. Deformation theory of pseudogroup structures. / V Guillemin, S. Sternberg// Memoirs of Amer. Math. Soc. — 1966. — Vol. 64.

42. Kainz, G. Natural transformations in differential geometry. / G. Kainz, P Michor// Czech. Math. J — 1987. — Vol. 37 — Pp 584-607.

43. Kolar, I An infinite dimensional motivation in higher order geometry. // Proceedings of the Conference on differential geometry and applications. Brno, Czech Republic, Aug.28 — Sept 1, 1995. / Silesian University — Brno, 1996.—Pp. 151-159.

44. Kolar, I Affine structures on Weil bundles. / I Kolar // Nagoya Math J.— 2000,—Vol 158.—Pp. 99-106.

45. Kolar, I On the geometry of fiber product preserving bundle functors // Proceedings of the Conference on differential geometry and applications. Opava, Czech Republic, August 27—31, 2001. / Silesian University — Opava, 2001. — Pp 85-92

46. Kolar, I. A general point of view to nonholonomic let bundles. /1. Kolar // Cahiers topol. geom diff. categ — 2003 — Vol XLIV-2 — Pp. 149— 160.

47. Kolar, I Natural Operations in Differential Geometry. / I. Kolar, P. W. Michor, J. Slovak — Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1993. — 434 pp.

48. Kolar, I. On the fiber product preserving bundle functors. / I. Kolar,W. M. Mikulski // Differ Geom. and Appl — 1999 — Vol 11 — Pp. 105-115.

49. Kolar, I. Natural lifing of connections to vertical bundles. // Rend. Circ. math. Palermo Ser.II, Suppl.63 — 2000. — Pp. 97-102

50. Kolar, I. Contact elements on fibered manifolds. /1 Kolar, W M. Mikulski//Czech. Math J — 2003,—Vol 53 — Pp 1017-1030

51. Kolar, I. On the algebraic structure on the jet prolongations of fibred manifolds / I. Kolar, M Modugno // Czech. Math J.— 1990.— Vol. 40. — Pp 601-611.

52. Kriegl, A Product preserving functors of infinite dimensional manifolds. / A. Kriegl, P W Michor // Archiv. Math — 1996. — Vol 32 — Pp 289-306.

53. Kurek, J The natural operators lifting 1-forms to some vector bundle functors. / J. Kurek, W. Mikulski // Colloq Math. — 2002. — Vol 93, no. 2. — Pp. 259-265.

54. Kures, M. The natural operators lifting vector fields to bundles of Weil contact elements. / M. Kures, W. Mikulski // Czech. Math. J. — 2004. — Vol. 54, no. 4. — Pp. 855-867.

55. Leon M. de. Contrained time-dependent Lagrangian systems and La-grangian submanifolds. / M. de. Leon, C. Marreto // J Math Phys — 1993. — Vol. 34. — Pp 622-645.

56. Luciano, О. О Categories of multiplicative functors and Weil's infinitely near points / О. O. Luciano // Nagoya Math J.— 1988.— Vol 109, — Pp. 67-108.

57. Mikulski, W. M. Natural transformations of Weil functors into bundle functors / Mikulski, W. M. // Rend. Circ mat. Palermo. Ser 2. — 1989, — Vol.22— Pp 177-191.

58. Mikulski, W. M. Natural transformations transforming vector fields into affinors on the extended r-th order tangent bundles. / W. M. Mikulski // Archiv. Math. — 1993. — Vol 29 — Pp. 59-70.

59. Mikulski, W. M. Product preserving bundle functors on fibered manifolds. / W. M. Mikulski // Archiv Math.— 1996,— Vol. 32 — Pp. 307-316.

60. Molino, P Theorie des G-structure: le probleme d'equivalence. / P. Moli-no // Lecture Notes in Mathematics — 1977. — Vol. 588.

61. Molino, P Riemannian Foliations / P. Molino — Birkhauser, 1988.

62. Morimoto, A. Prolongation of connections to tangent bundles of higher order. / A Morimoto // Nagoya Math. J. — 1970 — Vol. 40.— Pp 99-120.

63. Morimoto, A. Prolongation of connections to bundles of infinitely near points. / A. Morimoto // J. Different. Geom. — 1976.— Vol 11, no. 4. — Pp. 479-498.

64. Munoz, J Weil bundles and jet spaces. / J. Munoz, J. Rodriguez, F. Muriel // Czech. Math. J. — 2000 — Vol. 550, no. 4 — Pp. 721— 748

65. Okassa, E. Prolongements des champs de vecteur a des varietes de points proches. / E. Okassa // C. R Acad. Sci. ser 1. — 1985. — Vol. 300, no. 6 — Pp 173-176.

66. Patterson, L.-N. Connexions and prolongations. / L.-N. Patterson // Canad. J. Math. — 1975. — Vol. 27, no 4 — Pp. 766-791.

67. Ranada, M. Time-dependent Lagrangian systems' A geometric approach to the theory of systems with constraints / M. Ranada // J. Math. Phys — 1994 — Vol. 35. — Pp. 748-767.

68. Reinhart, B. L. Differential geometry of foliations. The fundamental inte-grability problem. / B. L. Reinhart. — Springer, 1983.

69. Sasaki, S On the differential geometry of tangent bundles of Riemanni-an manifolds. / S. Sasaki // Tohoku Math J — 1958 — Vol. 10, no 3 — Pp. 333-354.

70. Shurygin, V V The structure of smooth mappings over Weil algebras and the category of manifolds over algebras. / V V Shurygin // Lobachevskn J of Math — 1999 — Vol. 5 — Pp 29-55

71. Vondra, A. Sprays and homogeneus connections on M x TM / A Von-dra // Archiv Math. — 1992, — Vol 28 — Pp 163-173.

72. Weil, A. Theorie des points proches sur les vanetetes differentiables. / A. Weil // Colloque internat. centre nat. rech sci — Vol 52 — Strasbourg. 1953.—Pp 111-117

73. Yano, K. Tangent and cotangent bundles. / K- Yano, S Ishihara — Marcel Dekker, N Y, 1973.

74. Yano, K. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles I. General theory. / K. Yano, S. Kobayashi // J. Math Soc. Japan — 1966. — Vol 18, no 2 — Pp. 194-210.

75. Yuen, P. С Prolongements de G-structures aux espaces de prolonge-ment. / P. C. Yuen // C. R. Acad. Sci. — 1970. — Vol. 270, no. 3. — Pp. 538-540.

76. Yuen, P С Sur la notion d'une G-structure geometrique et les A-prolon-gements de G-structures. / PC. Yuen // C. R. Acad. Sci. — 1970. — Vol. 270, no. 24. — Pp. 1589-1592.Список публикаций автора по теме диссертации

77. Бушуева, Г. Н. Расслоения Вейля над многообразиями, зависящими от параметров. / Г. Н. Бушуева // Движения в обобщенных пространствах: межвуз сб науч тр. / Пензенск. гос пед. ун-т — Пенза, 2002. — С. 24-34.

78. Бушуева, Г. Н Связности высших порядков и поля геометрических объектов на многообразиях, зависящих от параметров. / Г. Н. Бушуева // Труды геометрического семинара. Межвуз. темат. сб. науч. тр. — вып. 24. — Казань: Изд-во КГУ, 2003. — С. 31-43.

79. Бушуева, Г. Н. Функторы Вейля и функторы, сохраняющие произведение, на категории многообразий, зависящих от параметров. / Г. Н. Бушуева // Известия ВУЗов. Математика.— 2005.— № 5 (516) — С 14-21.

80. Бушуева, Г. Н. Функторы типа Вейля на категории многообразий, зависящих от параметров. / Г. Н Бушуева // Уч. зап-ки. / Казан, гос. ун-т. — Т 147, кн. 1 — Казань. Изд-во КГУ, 2005. — С. 37-50.

81. Bushueva, G. N. On the higher order geometry of Weil bundles over smooth manifolds and over parameter-dependent manifolds /G. N. Bushueva, V. V. Shurygin // Lobachevskn J. of Math. — 2005. Vol. 18. — Pp. 53-105.Щ