Формальная геометрия и алгебраические инварианты геометрических структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Хорошкин, Антон Сергеевич

• Хорошкин, Антон Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хорошкин, Антон Сергеевич

0 Введение

0.1 История вопроса.

0.2 Основные результаты

0.3 Краткое описание диссертции.

0.4 Благодарности.

1 Когомологии алгебр Ли и алгебра Вейля

1 Когомологии алгебр Ли

1.1 Примеры гюполо1ических ajiie6p Ли.

1 2 Когомологии абсолютные и относительные.

2 Алгебра Вейля

2.1 Определение DG-алгебры Вейля.

2 1.1 Относительная алгебра Вейля

2 2 Связности и морфизмы из алгебры Вейля.

2.2 1 Построение характеристических классов. Гомоморфизм Черна-Вейля.

2.2.2 Главное однородное h-пространсгво и плоская связность.

2.2.3 Алгебра Вейля и спектральная последовахельносгь

Серра Хохшильда.

2 3 Алгебра Вейля алгебры Ли gln

2.4 Алгебра Вейля шпебры Ли Wn (формулировка результатов)

3 Когомологии некоторых алгебр Ли и связь с алгебрами Вейля

3.1 Алгебра Ли Wn к g ® Оп и её когомологии.

3.2 Векторные поля, сохраняющие флаг слоений.

II Геометрические инварианты и когомологии алгебр Ли

4 Формальная геометрия и характеристические классы

4 1 Характеристические классы расслоений.

4.2 Характеристические классы флагов слоений.

4.2.1 Случай полных флагов п = (1,., 1).

4.3 Характеристические классы семейств

5 Сизигии некоторых квадратичных многообразий

5.1 Сизигии и коюмологии алгебр Ли.

5.2 Кривая Веронезе.

5.3 Грассманиан Gr(2, N).

III Вычисления когомологий некоторых бесконечномерных алгебр Ли

6 Вычисление когомологий алгебры Ли Wn к g <8> Оп

6.1 Относительный коцепной комплекс.

6.2 gln-MHBapHaHibi

7 Когомологии H*(W„,SmW*)

7.1 Граф-комплексы.

7.2 Относительные когомологии R'(Wm+n, glm n; k).

7.3 Алгебра Вейля алгебры Ли Wn (вычисления).

7.3.1 Связь когомологии ал1ебр Ли Wm+n и Wm>n.

7.3.2 Формулы для коциклов.

7.3.3 Частный случай п = 1.

8 Когомологии W(WniW*®m) 93 8.1 Векюрные поля, сохраняющие набор коммутирующих слоений

8 2 Верхняя оценка когомологий.

8 3 Нижняя оценка когомологий.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формальная геометрия и алгебраические инварианты геометрических структур»

0.1 История вопроса

Теория когомологий алгебр Ли рассматривалась ещё в работах Шевалле (см., например, [36]) в 1940-х годах. Им было дано определение (ко)цепного комплекса алгебры Ли, который впоследствии получил название комплекса Шевалле (определение см. в параграфе 1.2). Комплекс Шевалле имеет существенно меньшие размеры, чем комплекс Хохшильда универсальной обертывающей алгебры, который вычисляет те же самые пространства когомологий. Например, коцепной комплекс конечномерной алгебры Ли конечномерен в отличие от комплекса Хохшильда. Это позволяет продвигаться в вычислениях когомологий алгебр Ли существенно дальше, чем для произвольных ассоциативных алгебр

Методы вычисления когомологий бесконечномерных алгебр Ли активно разрабатывались в 70-х и 80-х годах 20 века в работах И.М.Гельфанда, Д.Б.Фукса, М.В.Лосика, Б.Л Фейгина и многих других. В монографии [31], которая не потеряла акхуальносгь и по сей день, изложены применения результатов вычислений пространств коюмологий к другим областям математики

Термин формальная геометрия возник в 1970-х i одах в работах И. М. Гель-фанда, Д. Каждана и Д. Б Фукса (см. например [11]). Основная идея формальной геоме!рии состоит в замене обычного n-мерного многообразия X на гомотопное ему бесконечномерное многообразие формальных аффинных систем координат — Xc-°or/GLn. На многообразии формальных систем координат Xсоог действует бесконечномерная алгебра Ли формальных векторных полей Wn, можно ввести понятие главного, однородного И^-просгранства (см. параграф 2.2.2), одним из примеров которого и являв! ся Xсоог Для конечномерной алгебры Ли g примеры главных однородных пространств исчерпывающи факторами соответсвующей группы G по дискретной подгруппе. В этом смысле каждое многообразие заменяется на фактор бесконечномерной группы по дискретной подгруппе, так что бесконечномерная группа одинакова для всех многообразий фиксированной размерности, а вот подгруппа, по которой происходит факторизация, зависит от многообразия. При этом все дифференциально-геометрические конструкции на конечномерном мноюобразии могут быть перенесены на где они могут быть построены исходя из алгебраических конструкций, связанных с алгеброй Ли Wn.

Одним из наиболее ярких применений данного метода является теория характеристических классов слоений. В качестве иллюстрации остановимся чуть более подробно на классическом примере трехмерного вещественного когомологического класса тотального многообразия, который строится но произвольному слоению F коразмерности 1 (класса Годбийона Вея [16]). Ориентированное слоение коразмерности 1 может быть задано глобальной

1-формой инигде не обращающейся в нуль. Форма и удовлетворяет условию интегрируемости, которое равносильно существованию 1-формы г] с d[)jiLJ = и Л г]. Можно показать, что, во-первых, форма г] Adr] замкнута, а, во-вюрых, когомологический класс этой формы определяется лишь кон-кордантным классом слоения (и не зависит от произвола в выборе форм и и rj). И.М.Гельфанду и Д.Б.Фуксу принадлежит следующее замечание. Если на X задано оснащенное1 слоение коразмерности п, то на X существует каноническая (с точностью до конкордантности2) гладкая 1-форма и со значениями в алгебре Ли формальных векторных полей Wn, коюрая удовлетворяет уравнению Маурера Картана 1 dDRu) + -\u,u]Wn = 0.

Любая 1-форма со значениями в алгебре Ли g, удовлетворяющая уравнению Маурера-Картана, задаёт отображение коцепного комплекса C'(g;R) в комплекс форм на многообразии £У(Х). Следовательно, классы когомо-логий алгебры Ли Wn определяют характеристические классы оснащённых слоений коразмерности п, называемые также вторичными характеристическими классами. Класс Годбийона-Вея соответствует классу, происходящему из единственного нетривиального класса когомологий алгебры Ли W\. Более юго, все непрерывные характеристические классы оснащённых слоений должны исчерпываться данными характеристическими классами. Отметим, что описание дискретных характеристических классов слоений не известно и по сей день.

Плоение называется оснащенным, если его нормальное расслоение тривиализовано

2Если и, и' - две М^-структуры, отвечающие оснащенному слоению Т на X, то И^-структура S1, отвечающая слоению J7 х R на X х [0,1] и совпадающая с и на X х 0 и с и/ на X х 1, осуществляет конкордантность между и> и и/

Подобными методами могут быть получены харак!ерисгичекие классы слоений с различными дополни 1ельными структурами. Эти вопросы активно разрабатывались в 70-х и 80-х годах 20 века Одной из естественных задач является описание непрерывных характеристичеких классов флагов слоений. Методы формальной геометрии позволяют свести её к вычислению koi омологий некоторого семейства бесконечномерных алгебр Ли (см. раздел 1.1). В работе [25] было предложено гипотетическое описаниее непрерывных характеристических классов флагов слоений для произвольных коразмерностей. Однако доказательство приводилось только в случае пары вложенных слоений, большее из которых имеет коразмерность 1. Из недавних работ В. Доценко [17] и автора [39] легко получить ответ для пары слоений, если коразмерность меньшего в большем равна 1. В данной работе мы приведём полное описание непрерывных характеристических классов слоений.

Другое применение формальной геометрии связано с задачами алгебраической К-теории. В работах [28, 29] была обрисована программа действий в этом направлении. В работе [28] (и впоследствии в работе [27]) было приведено доказательство теоремы Римана-Роха, основанное на вычислениях в когомологиях Хохшильда алгебры дифференциальных опера юров и в кого-мологиях универсальной обёртывающей алгебры U(Wn). Кольцо когомоло-гий алгебры U(Wn) было извес:но лишь гипотетически, чю сильно увеличивало технические трудности в доказательствах в работе [28]. Проделанные в диссертации вычисления помогут упростить некоторые доказательства в pa6oie [28].

Задачи классификации многообразий естественно приводят к вопросу о когомологиях алгебры Ли Vect(M) векторных полей на многообразии М.

Явное вычисление кольца когомологий алгебры Ли Vect(5'1) не потеряло своей ак1уальнос1и и по сей день (см. [13]) Конечномерность пространств когомологий алгебры Vect(M) для произвольного многообразия М была доказана в pa6oie [14], где также определены и вычислены диагональные когомологии алгебры Ли Vect(M). Общее вычисление когомологий с тривиальными коэффициентами для алгебры Ли векторных полей на многообразии было проделано сначала Хефлшером [33, 34], а потом (другим способом) Bottom и Сигалом [6]. Оба доказательства существенно используют локальные вычисления, то есть вычисление когомологий алгебры Ли формальных векторных полей, а после этого по-разному решают задачу глобализации. Вычисление когомологий с коэффициентами в пространствах гладких 'тензорных полей принадлежит Цудзисита [35]. Возможные продолжения и применения вычислений когомологий алгебр Ли голоморфных векторных полей на многообразии были намечены в докладе Б.Л.Фейгина на математическом конгрессе в Киото [26]. Результаты локальных вычислений когомологий алгебры Ли формальных векторных полей с коэффициентами в симметрических степенях коприсоединённого представления позволят посчитать те же когомологии для алгебры Ли гладких векторных полей на многообразии.

Некоторые недавние применения формальной геометрии можно отнести скорее к неконструктивной технике доказательства различных теорем существования. Здесь следует упомянуть различные работы по деформационному квантованию, например, рабо:у М.Концевича [19] и работу Р. Безрукавникова и Д.Каледина [2], где вопросы глобализации формальности существенно используют аргументы формальной геометрии.

0.2 Основные результаты

В диссертации вычислены когомологии различных бесконечномерных алгебр Ли и показано, как эги результаты применяются к построению геометрических инвариантов.

Основная конструкция формальной геометрии каждому комплексному многообразию X сопоставляет отображение из кольца относительных когомологий H'(Wn,gln;k) в коюмологии де Рама При этом отображении образующие кольца H^H^gl^k) переходят в классы Черна касательного расслоения к многообразию. Мы предлагаем аналогичный метод построения характеристических классов g-расслоений на комплексных многообразиях (для произвольной алгебры Ли g). Для этого следует расширить алгебру Ли Wn формальными g-значными функциями, то есгь рас-смофегь алгебру Ли Wn к g 0 Оп формальных векторных полей, сохраняющих структуру g-расслоения. В диссертации показано, как вычислить относительные и абсолютные когомологии данной алгебры Ли. Определим DG-алгебру W'(gl®g) как фактор алгебры Вейля W'(gl®g) по (2п+ 1)-му члену стандартной фильтрации на ней. Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 2. DG-алгебра W'(gln©g) квазиизоморфна коцепному комплексу алгебры JIu Wn к g ® Оп с постоянными коэффициентами. Более того, можно явно описать квазиизоморфизм, согласованный со стандартной фильтрацией F' на W'(gln(Bg) и фильтрацией Ссрра-Хохшильда Ф' на C'(Wn Kg® Оп; к) отвечающей подалгебре JIu gln©g.

Эха теорема имеет важные следсхвия. Например, для произвольной али гебры Ли g и её подал1ебры h С g получаем следующее утверждение.

Следствие 3. Урезанная относительная DG-алгебра Вейля изоморфна относительному коцепному комплексу бесконечномерной алгебры Ли Wm Kg® От по модулю подалгебры JIu (glm ф h) С (glm Ф g):

JT(gim е g, gim е h)/(A"(gim e g)* ® s>m(g\m © g)*) ~

В частном случае редуктивной алгебры Ли g с компактной группой Ли G путём несложного обобщения основной конструкции формальной геометрии можно получить следующий результат.

Теорема 7. Существует естественный морфием а, являющийся изоморфизмом колец в градуировках, не превосходящих 2п, для которого следующая диаграмма коммутативна.

Н'(BGLn) ® Н'(BG)------~ - - - E'(Wn к g <g> 0„, gln 0 g; k) н

В качестве алгебры Ли g имеет смысл рассмотреть алгебру Ли формальных векторных полей (ог, вообще говоря, другого числа переменных). Таким образом, мы приходим к рассмогрению алгебры Ли формальных векторных полей, сохраняющих флаг слоений. Вычисление колец относительных и абсолютных когомологий этой алгебры Ли, обозначаемой Wn = Wni iK Oni ® (Wn2 к Ori2 <g> (. <g> Wnk).), можно считать одним из центральных в диссертации.

Теорема 4. Относительные когомологии алгебры Ли Wn по модулю подалгебры Ли gl^ = glra 0 • ■ • ф gln отличны от 0 только в четных степенях и совпадают с gl^-инвариантами в факторалгебре S'gl^/I:

Где идеал I в симметрической алгебре порождён набором подпространств Sno+ +nr+1(gln0 Ф • • • Ф gl„r) для г = 0,., к.

Теорема 5. Кольцо когомологий алгебры Ли Wn формальных векторных полей, сохраняющих структуру флага слоения, с постоянными коэффициентами H'(W^;k) имеет нулевое умножение и совпадает с кольцом когомологий урезанной алгебры Вейля.

Данные теоремы доказываю 1ся одновременно с важным для формальной 1 еометрии вычислением когомологий алгебры Ли Wn с коэффициентами в симметрических С1епенях коприсоединённого представления.

Теорема 1. Для любого натурального к

Мы также опишем явно коцепи, представляющие ненулевые коциклы. В качестве иллюстрации к теореме о когомологиях алгебры Ли, сохраняющей флаг слоений посчитаны ряды Гильберта соответствующих колец и выписаны коцепи, представляющие нетрививильные классы когомологий для случая полных флагов, то есть в случае, когда коразмерности любых двух соседних слоений отличаются на 1.

Теорема 9.

El(Wn,glT-SkW*)

Sn+*gl„]g4 если( = 2п, О, если г ф 2п. n Чк dimНk(W{l, ,1); k) = 1 + £ q2n+\ 1 + q)n~lC(n) q> О k=l где С(п) = — ri-e число Каталана.

Проделанные локальные вычисления позволяют сформулировать гипотезу о когомологиях алгебры Ли векторных полей на многообразии Мы ожидаем, что её можно доказать методами, аналогичными использованным в статье [б], где разобран случай тривиальных коэффициентов. Рассмотрим классифицирующее расслоение 7Г : EUn BUn. Базой одной из удобных реализаций этого расслоения явялется грассманиан n-мерных плоскостей Gr(n, оо) со стандартным клеточным разбиением Шуберта. Обозначим через Х^ прообраз 2/г-мерною клеючного скелета BUn.

Гипотеза. Когомологии H'(Vect(M); Sm Vect(M)*) совпадают с когомоло-гиями пары W(secxn+m(M),sccxn+m-\(M)), где sec Xk{M) — пространство сечений расслоения со слоем Xk, ассоциированное с касательным расслоением над п-мерным многообразием М.

Методы диссертации позволяют вычислить когомологии алгебры Ли, сохраняющей репер слоений, что даёт возможность сформулировать и доказать существенные ограничения на расположение ненулевых когомологий алгебры Ли Wn с коэффициентами в тензорных степенях коприсоединённо-го представления.

Теорема 6. Для любого натурального к и i не принадлежащее промеэюут-ку [п, 2п] имеет место равенство mwn,g\n-,w:®k) = o.

В диссертции также приведён пример другого применения вычислений когомологий алгебр Ли для подсчёта геометрических инвариантов, называемых си шгиями. Так, мы вычисляем сизигии плюккерова вложения грас-сманиана 2-мерных плоскостей.

0.3 Краткое описание диссертации

Основной 1ексг диссертации разбит на три части. Часть I содержит напоминание классических резульчашв о когомологиях (бесконечномерных) алгебр Ли. Кроме того, приведены резулыагы основных проведённых в диссертации вычислений. Часть II посвящена геометрическим применениям. В ней показано, как использовать вычисленные когомологии для построения различных инвариантов геометрических структур. Часть III главным образом техническая и содержит в себе доказательства анонсированных результатов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хорошкин, Антон Сергеевич, 2006 год

1. Bezrukavnikov R. Koszul Property and Frobenius Splitting of Schubert Varieties // arXiv.org/alg-geom/9502021. - 1995. - 8 pp.

2. Bezrukavnikov R., Kaledm D. Fedosov quantization in algebraic context // arxiv.org/rnath.AG/0309290. 2003. 46 pp.

3. Берштейи И.Н., Розенфельд Б.И. Однородные пространства бесконечномерных алгебр Ли и характеристические классы слоений // Успехи математических наук. 1973. Вып. 4. — С. 103-138.

4. Вorel A. Sur la cohomologie de& espaces fibres principaux et des espaces homogenes de groupes de Lie compacts // Annals of Mathematics. — Vol. 57 1953. - P. 115-207.Русский перевод Расслоенные пространства и их приложения, Москва. 1958. - С. 163-246.

5. Bott R. Lectures on characteristic classes and foliations. Notes by Lawrence Conlon, with two appendices by J.Stasheff. Lectures on algebraic and differential topology // Second Latin American School in Math., Mexico City. 1971. - P. 1-94.

6. Bott R., Segal G. The cohomology of vector fields on a manifold // Topology. 1977. Vol 16 - P. 285-298.

7. Ботгп Р, Ту Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. // М. Наука. 1989 - 336 с.

8. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления // М. ИЛ. 1947. - 408 с.

9. Винберг Э.Б., Попов В. Л. Некоторый класс квазиоднородных афин-ных многообразий // Известия академии наук СССР, Серия мат. — 1972. Т. 36. - С. 749-764.

10. Guillemin V. Notes on Gelfand-Fuks cohomology // M.I.T. 1973. -57 pp.

11. Гелъфанд И. M., Каждаи Д. А., Фукс Д. Б. Действия бесконечномерных алгебр Ли // Функц. анализ и его прил. 1972. Вып. 1. — С. 10 15.

12. Гелъфанд И М., Фукс Д. Б. Когомологии алгебры Ли формальных векторных полей // Изв. Акад Наук СССР. Сер. Мат. - 1970. - Т.34, вып. 2. С. 322 337.

13. Гелъфанд И. М., Фукс Д. Б. Когомологии алгебры Ли векторных полей на окружности// Функц. анализ и его прил. — 1968. — Выи. 2, №4 — С. 92-93.

14. Гелъфанд И. М, Фукс Д. Б. Когомологии алгебры Ли касательных векторных полей гладкого многообразия// Функц. анализ и его прил. — 1969. Вып. 3, №3. - С. 32-52.

15. Гелъфанд И. М., Фейгин Б. Л., Фукс Д. Б. Когомологии алюбры Ли формальных векторных полей с коэффициентами в сопряжённом сней пространстве и вариации характеристических классов слоений // Функц анализ и его прил. — 1974. Вып.2. — С. 13-29.

16. Godbillon С., Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension 1// CR Acad. Sci. Paris. 1971. - P. 92-95.

17. Kontsevich M. Deformation quantization of Poisson manifolds, I // Letters in Mathematical Physics. 2003. - Vol 66, №3. - P. 157-216.

18. Macdonald I. G. Symmetric Functions and Hall Polynomials, Second edition // Oxford University Press, New York. — 1995. 475 pp.

19. Милнор Ж. В., Сташефф Ж. Д. Характеристические классы // М., Мир. 1979. 372 с

20. Pohshchuk A., Positselski L. Quadratic Algebras// University Lecture Series, Amer. Math. Soc.Providence. 2005. - №37. - 159 pp.

21. Стенли P. Перечислительная комбинаторика // M.: Мир. — 1990. — 440 с.

22. Уфнаровский В. А. Комбинаторные и асимиготические методы в алгебре.// Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, М.: ВИНИТИ. 1989. Т. 57., Алгебра 6. - С. 9-157.

23. Фейгип B.JI. Характерисхические классы флагов слоений // Функц. анализ и ею прил. — 1975. — Вып 4. — С. 49-56.

24. Feigm B.L. Conforinal field theory and Cohomologies of the Lie algebra of holomorphic vector fields on a complex curve. // Proceedings of international congress of Mathernatitians, Kyoto, Japan. 1990. — P. 7185.

25. Feigm В., Feldei G., Shoikhet B. Hochschild cohomology of the Weyl algebra and traces in deformation quantization // arxiv:math.QA/0311303.30 pp.

26. Feigin B.L., Tsygan В L Riemarm-Roch theorem and Lie algebra cohomology I // Proc. Winter Sch. Geom. Phys , Srni, 1988. Suppl. Rend. Circ. Mat. Palermo, II. - Ser. 21 - 1989. - P. 15 52.

27. Feigm В L., Tsygan В L. Additive K-theory // K-theory, Arithmetic, and Geometry, Lecture Notes Math. — 1987. 252 pp.

28. Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии // М.: Наука. 1989. - 528 с

29. Фукс Д. Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли // М.: Наука. — 1984. 272 с.

30. Froberg R , Lowfal B. Koszul homology and Lie algebras with application to generic forms and points// Homology, Homotopy and Applications. — 2002. Vol.4(2). - P. 227-258.

31. Haefliger A Sur la cohomologie de Gelfand-Fuchs // Lect.Notes Math. — 1975. Vol. 484. - P. 121-152.

32. Haefliger A. Sur la cohomologie de l'algebre de Lie des champs de vecteurs // Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Superieure. — 1976. — №9. — P. 503-532.

33. Tsujishita T. On the continious cohomology of the Lie algebra of vector fields.// Proc. Jap. Acad. 1977. - A53, №4. - P. 134-138.

34. Chevalley C., Eilenberg S. Cohomology theory of Lie groups and Lie Algebras // Transactions of the American Mathematical Society. — 1948. №63. - P. 85-124.Публикации автора по теме диссертации

35. Goiodentsev A. L., Khoroshkin A.S., Rudakov А N. On syzygies of highest weight orbits // "Moscow Seminars in Mathematical Physics "American Mathematical Society Translations, American Mathematical Society, Providence, RI. 2007. - Series 2. 45 pp

36. Khoroshkin A. Another interpretation of syzygies of Koszul algebras.// Preprint ITEP-TH-91/04. 2004. - 4 pp.

37. Хорошкин А С. Алгебра Ли формальных векторных полей, расширенных формальными g-значными функциями // Труды семинаров ПОМИРАН. — 2006. Т. 335, серия: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 19. С. 205-230

38. Хорошкин А. С. Алгебра Ли формальных векторных полей, сохраняющих структуру слоения // Деп. в ВИНИТИ РАН № 1376-В2006. -38 с.

39. Хорошкин А. С. Сизигии некоторых квадратичных многообразий и их связь с когомологиями алгебр Ли // Успехи Математических Наук. — 2006. Т.61, вып.5. С. 189 190.