Многообразия, моделируемые в ненормируемых топологических векторных пространствах Фреше тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Аль Нафие Захир Добеас Азаве

• Аль Нафие Захир Добеас Азаве
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Аль Нафие Захир Добеас Азаве

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Газбиение единицы на бесконечномерных дифференцируемых

многообразиях

§ 1. Газбиение единицы на гладком банаховом многообразии

§ 2. Разбиение единицы на ^^-многообразии Фреше

Глава 2. Векторные расслоения и касательные пространства

§ 3. Векторные расслоения над £ ¿^-многообразиями Фреше

§ 4. Касательные пространства ^^-многообразий Фреше

Глава 3. Группы Ли класса £грж и ^¿рто-главные связности

§ 5. Построение группы Ли класса £грж

§ 6. Связность на £^рк-расслоениях

§ 7. ^¿рто-главные связности

Заключение

Обозначения

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многообразия, моделируемые в ненормируемых топологических векторных пространствах Фреше»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. В последнее время появился ряд работ, посвященных теории дифференцируемых многообразий, моделируемых в ненорми-руемых локально выпуклых пространствах (см., например, [25], [26], [27]). А. Фрёлихер и А. Кригл в работе [52] ввели пространства, названные ими удобными (convenient) векторными пространствами. К. Андреас и П. Михор в своих работах [25], [26], [27] установили, что любое локально выпуклое пространство является удобным пространством, и ввели новые структуры на многообразиях, моделируемых в ненормируемых локально выпуклых пространствах: например, касательные векторы, векторные расслоения и векторные поля; а в бесконечномерной дифференциальной геометрии введены новые геометрические структуры: например, группа Ли, расслоения и связности, главные расслоения, главные связности и линейные связности.

С. Т. Додсон в своих работах [38], [39], [40], [41], [42] предложил новый метод для изучения ненормируемых пространств Фреше, рассматривая эти пространства как проективные пределы банаховых пространств. Он исследовал факт о том, что проективные пределы совместимы с алгебраическими структурами на модельных пространствах, а также совместимы с дифференциальными инструментами. Этот метод дал ему возможность для изучения широкой подкатегории бесконечномерных небанаховых многообразий, а именно тех пространств, которые можно рассматривать как проективные пределы банаховых многообразий по образцу пространств Фреше.

Изучение многообразий, моделируемых на бесконечномерных пространствах, приобретает возрастающий интерес в последние три десятилетия благодаря приложениям, выходящим за границы (классической) диффере-ниальной геометрии и соответствующих проблем математического анализа и теоретической физики. К ним относятся, например, слоения, поля струй, связности и финслеровы структуры. В частности, многообразия, моделируемые на ненормируемых локально выпуклых пространствах, изучались с

разных точек зрения в [76], [77], [78], [79], [55], [22], [87], [88] и [25].

Для того, чтобы привести конкретный пример, рассмотрим касательное расслоение ТМ гладкого многообразия М, моделируемого на ненор-мируемом пространстве Фреше Г. В этом случае не гарантировано даже

ТМ,

линейная группа ОЬ(Г), служащая структурной группой в конечномерном случае, не допускает здесь подходящей структуры группы Ли.

М,

ких как связности, кривизна и линейная связность, сводится к подходящим дифференциальным уравнениям в модели. Проблемы, связанные с разрешимостью этих уравнений, ставят под вопрос переносимость соответствующих результатов, полученных для конечномерных или банаховых пространств, на случай пространств, не являющихся банаховыми.

Поскольку метризуемость влечет за собой борнологичность [52], полнота является локальной полнотой. Каждое метризуемое локально выпуклое пространство является борнологическим [59, с. 237], а удобные топологические пространства обладают этими двумя свойствами (борнологией и локальной полнотой), и поэтому ненормируемые пространства Фреше могут быть рассмотрены как удобные топологические векторные пространства, имеющие все свойства удобных пространств.

По нашему мнению, риманова геометрия банаховых и гильбертовых многообразий достаточно развита. Естественным развитием этих исследований является переход к изучению аналогов геометрических структур на бесконечномерных многобразиях, моделируемых в векторных топологических пространствах, не допускающих введения совместимой с их топологией нормы. Этим вопросам и посвящена данная диссертация. В ней предлагается способ решения вышеуказанных проблем в предположении, что ненормиру-мые пространства являются удобными топологическими векторными пространствами [59]. Это предположение позволяет нам изучать многие свойства бесконечномерных многообразий, не являющихся банаховыми, а именно

тех, которые моделируются на ненормируемых многообразиях Фреше класса Сгрк, то есть на Сгрк -многообразиях Фреше.

Цель диссертационной работы состоит в обобщении на многообразия, моделируемые на ненормированных пространствах Фреше (мы назовем их многообразиями Фреше класса Сгрк шт Сгрк -многообразиями Фреше), критериев паракомпактности этих многообразий, методов построения разбиений единицы на этих многообразиях и проектирования связностей в главных расслоениях.

Основные результаты диссертации. Все полученные результаты для Сгрк -многообразий Фреше являются новыми. Выделим основные из них:

1. В работе доказана следующая теорема. Пусть М — паракомпактное дифференцируемое многообразие класса Сп, п = 1, 2,..., то, моделируемое в банаховом пространстве В с норм о й ||.||. Если существует строго монотонная биективная вещественная функция /: [0, ^ [0, такая, что суперпозиция f о||.|| есть вещественнозначная функция класса Сп на В, то на М существует разбиение единицы класса Сп.

2. Доказана теорема о Сгрк -паракомпактности многообразия Фреше класса Сгрк.

3. В работе доказано, что если Е есть ненормируемое топологическое пространство Фреше, то оно является Сгрк -нормальным.

4. Доказана теорема о том, что если п: £ ^ В является Сгрк -векторным расслоением со стандартным слоем Ь и базовое пространство В моделируется на ненормируемом пространстве Фреше, то тотальное пространство £ является ^¿рк-паракомпактным.

5. В работе доказана следующая теорема. Пусть М является Сгрк -многообразием, моделируемым на ненормируемом пространстве Фреше

тогда Сгрк -кинематическое касательное расслоение ТМ является Сгрк -паракомпактным.

6. Доказана теорема о том, что любое Сгрто -главное локально тривиальное расслоение (Р, п, В, С) с базой В, моделируемой на ненормируемом пространстве Фреше, допускает Сгрто -главные связности.

Методы исследования. Известно, что любое ненормпруемое топологическое векторное пространство Фреше является удобным векторным пространством, мы определяем максимальный атлас карт, используя тот же класс дифференцируемости, который имеют удобные векторные пространства, и определяем новый тип многообразия Фреше этими максимальными атласами.

В доказательстве того, что многообразия Фреше, моделируемые в ненормируемых пространствах, являются паракомпактными, использованы методы работ [26] и [35] для построения разбиений единицы на этих многообразиях.

Для определения связности в главном расслоении над ненормируемы-ми многообразиями Фреше класса Сгрк и для построения Сгрк-главные связности, использованы методы работы [26].

Краткий обзор литературы. Определения типов топологических векторных пространств (локально выпуклых, локально ограниченных, мет-ризуемых, нормированных пространств) и перечень некоторых связей между свойствами этих типов пространств можно найти в [15, с. 15,16]. Определение пространства Фреше (полное метризуемое локально выпуклое топологическое векторное пространство), его топологические свойства, примеры можно найти в [6], [14], [57], [15], [30], [45], [72]. Дальнейшие структурные результаты о пространстве Фреше приведены в [23], [31], [43], [60], [64], [65], [93], [73], [83], [89]. Более специализированные аспекты структурной теории пространств Фреше можно найти в [90], [91], [92].

В последнее время опубликован ряд работ, посвященных теории гладких многообразий, моделируемых на пространствах Фреше (см., например, [74], [57]). В них приведены определения, примеры, рассмотрены дифференциально-топологические свойства этих многообразий. Вместе с тем недоста-

точно внимания уделено дифференциально-геометрическим аспектам: теории связностей, нахождению геодезических и тензора кривизны, хотя эти вопросы представляют немалый интерес в связи с использованием многообразий Фреше в общей теории относительности ([47], [50], [32]).

Линейные связности на многообразиях Фреше строятся, как правило, с помощью заданной римановой L2-метрики ([33], [51]). Нам известны только два примера неримановой линейной связности. Первый пример можно найти в работе X. Омори [79]. Он построил линейную связность на группе Ли-Фреше Diff (M) диффеоморфизмов компактного многообразия M. Далее, А. Тромба в работе [84] построил такую связность на многообразии Фреше гладких почти комплексных структур на компактной ориентированной поверхности без границы рода p > 1.

Р. Юльметов в своих работах [20] и [21] представил интересные методы построения линейных связностей на многообразиях Фреше, в частности, методы проектирования и канонического лифта связности в главных расслоениях, предложенные в конечномерном случае K.M. Егиазаряном [9].

Как известно, в пространствах Фреше нельзя развить простое и естественное дифференциальное исчисление, каким является, например, исчисление в банаховых пространствах, основанное на дифференцируемости по Фреше. В связи с этим имеется много различных определений производной отображения между пространствами Фреше, которые можно разбить на два типа. Для пространств Фреше, представимых в виде предела цепочки банаховых пространств, производную можно определить, используя только исчисление в банаховых пространствах. Примерами работ в этом направлении являются [3], [78]. Второй тип — традиционный, когда понятие дифференцируемости вводится на самих пространствах Фреше. Такой подход реализован в большом количестве работ, например, [29], [44], [56], [61], [67], [94], причем в последних четырех — для произвольных локально выпуклых пространств.

Авербух В. И. и Смолянов О. Г. в своих работах [1], [2] дали обзор существующих определений операций дифференцирования в векторных то-

дологических пространствах с указанием связей между ними.

Для изучения более общего случая, в частности, случая ненормпруе-мых пространств Фреше, известны различные определения дифференцируемое™, эквивалентности которых обсуждаются в [56], [61], [18]. Примеры ненормируемых пространств Фреше описаны в [15, с. 41 - 45] и во введении [52, с. 1х].

Недостатком дифференциального исчисления в пространствах Фреше является отсутствие теоремы об обратной функции в ее классической формулировке (см. [94, с. 3], где объяснены причины). Для каждого исчисления приходится строить свой вариант этой теоремы (см. [57], [78], [61], [44]).

Литература по многообразиям Фреше более редка ( см. [17], [57], [51]) по сравнению с множеством книг и статей с изложением основ теории банаховых многообразий: [7], [13], [82], [16], [66], [24]. Основные определения теории многообразий, моделируемых на локально выпуклых пространствах, рассмотрены в [94], [10], [29], [75], [26]. На произвольном гладком банаховом расслоении связность можно определить как морфизм расслоений, это определение можно найти в [17].

Для главного расслоения (2,р, М, С) три различные определения связности в бескоординатном виде приведены в [86]: 1) как тензорное поле типа (1,1) на удовлетворяющее некоторым условиям, 2) как горизонтальное распределение на 3) как расщепление точной последовательности 0 ^ V2 ^ Т2 ^ 2 хмТМ ^ 0, где 2 хмТМ — расслоенное произведение расслоений (2,р, М, С) и (ТМ,пм,М).

На произвольных главных расслоениях определения связности переносятся на расслоения Фреше с небольшими изменениями, пример можно найти в [57, с. 93].

В общей ситуации понятие многообразия можно описать так. Тополо-

М

образием, если каждая его точка х имеет окрестность N(х), гомеоморфную открытому множеству (обычно шару В) в некотором модельном простран-

Е,

является топологическим линейным пространством). Совокупность окрестности N (ж) и этого гомеоморф изма фх : N (ж) ^ В С Е называется картой, а набор карт, покрывающих М, атласом. Еели (N1, Ф1) и (N2, ф2) — две карты, причем пересечение N = N1 П N2 непусто, то определены отображения склейки ф2 о ф-1, ф1 о ф-1 и па эти отображения накладываются дополнительные ограничения. Так, если Е = Кп, а отображения склейки дифференцируемы, то многообразие называется дифференцируемым; хорошо известны также гладкие и аналитические многообразия. Обычно в качестве модельного пространства используют конечномреными пространства Кп и Сп; соответствующие многообразия называют конечномерными. Теория таких многообразий и функций на них чрезвычайно обширна; ограничимся здесь ссылкой на фундаментальную монографию [13]. В данной работе обсуждается ситуация, когда пространство моделей бесконечномерно.

Поскольку локальные свойства многообразия совпадают со свойствами модельного пространства, то важнейшей задачей анализа на многообразиях является задача глобализации. Одним из инструментов глобализации являются разбиения единицы. Здесь мы установим их существование.

Наиболее известны два типа бесконечномерных линейных топологических пространств: банаховы пространства и пространства Фреше. Их свой-

Е

мируемое пространство Фреше.

Следуя монографиям [18] и [52], мы используем для описания интересующего нас класса многообразий параметризованные кривые в ненорми-руемом пространстве Фреше Е, то есть отображения с: К ^ Е и их производные. В дальнейшем мы всюду сокращаем термин «параметризованная кривая» до слова «кривая». Отметим, что пространство гладких кривых СЕ) зависит только от основной системы ограниченных множеств в Е.

Макки. Это объясняется тем, что для гладкой кривой отношение прираще-

ний сходится к производной намного лучше, чем произвольные сходящиеся сети и фильтры.

Сходимость Макки задает вложение категории BornVS борпологиче-ских векторных пространств в категорию LimVS векторных пространств сходимости. Для начала напомним основные определения, касающиеся фильтров и структур сходимости.

Определение направленного множества, сети, фильтра на множестве X и базисного фильтра F можно найти в [18], [52].

Пространством сходимости X называют множество (также обозначаемое X) вместе со структурой сходимости на X, то есть отношением (F сходится к x) между фильтрами F на X и точками x из X (пишем F —> x) таким, что

(a) для всех x G X фильтр, порожденный {x}, сходится к x;

(b) если Fi —> x и Fz < Fi, то F2 —> x;

(c) если F1 —> x и Fz —> x, то F1 V Fz —> x^e F1 V Fz = sup(F1, Fz).

Lim обозначает категорию пространств сходимости, ее морфизмы — так называемые непрерывные отображения д: X ^ Y, то есть такие, что F —> x ^дачет g(F) —> g(x).

Пространство сходимости называют отделимым, или хаусдорфовым, если ни один фильтр, кроме нулевого фильтра, не сходится к различным точкам (см. [52, с.36]).

X

димости, полагая F —> x тогда и только тогда, когда F тоньше, чем

x.

тор f: Top ^ Lim, сохраняющий несущие множества и несущие отображения.

В [52] доказано, что вкладывающий функтор или функтор вложения f: Top ^ Lim категории топологических пространств в категорию пространств сходимости имеет левый обратный т, сохраняющий несущие про-

странства и несущие отображения. Для пространства сходимости Х топология тХ может быть описана следующими эквивалентными способами:

(I) и С тХ открыто тогда и только тогда, когда х € и и $ —> х влечет

и € $

(л) А С тХ замкнуто тогда и только тогда, когда $ —> х, А € 0 € $ влечет х € А.

Пространство сходимости обладает первой аксиомой счётности, если для любого сходящегося фильтра существует более грубый фильтр со счётной базой, сходящийся к той же точке. В [54, с. 254] доказано, что для пространства сходимости с первой аксиомой счётности X выполняются следующие утверждения.

(!) Если $ —> р, А € 0 € т0 существует последовательность точек А, р

(II) А С тХ замкнуто тогда и только тогда, когда А замкнуто относительно сходящихся последовательностей;

(III) Топология тХ является финальной, индуцированной сходящимися последовательностями ^ Х, := N и {то}, и имеет обычную компактную топологию.

Е

местимой, если операции векторного пространства Е х Е ^ Е и К х Е ^ Е непрерывны (К рассматривается со стандартной сходимостью).

Векторное пространство сходимости — это векторное пространство вместе с совместимой структурой сходимости; ЫтУБ обозначает категорию, объектами которой являются векторные пространства сходимости, а морфизмами — непрерывные линейные отображения.

Е

ся фильтр $ на Е такой, что $ — $ —> 0; $ — $ есть образ фильтра $ х $ на Е х Е относительно (ж, у) ^ х — у, и следовательно, его база образована множествами Н — Н := {х — у; х,у € Н}, где Н € Сетью Коши

называется сеть, у которой соответствующий ей фильтр является фильтром Коши.

Векторное пространство сходимости называется полным, если любой фильтр Коши сходится и называется секвенциально полным, если любая последовательность Коши сходится [52].

Структура сходимости векторного пространства сходимости определяется множеством фильтров, сходящихся к нулю, поскольку сдвиги являются Lim-морфизмами. В [54, с. 369] доказано, что любое секвенциально полное векторное пространство сходимости с первой аксиомой счётности полно.

Теперь перейдем к структуре сходимости Макки на борнологическом векторном пространстве. Она имеет немаловажную роль.

Борнология на множестве X — это семейство B подмножеств X такое, что:

(i) x е X ^ {x} е B,

(ii) Bi с B2 е B ^ Bi е B,

(iii) Bj Е B, j = 1,2 ^ Bi U B2 Е B.

Это определение можно найти в [58, с. 18].

Множество X с борнологией B на нем называется борнологическим пространством и элементы семейства B называются ограниченными под-

X

Определепие векторной борнологии можно найти в [52, с. 28]. Определение борнологического векторного пространства (векторное пространство вместе с векторной борнологией) и выпукло борнологического пространства (борнологическое векторное пространство, для которого выпуклая оболочка каждого ограниченного множества также ограничена) можно найти в [58, с. 19].

BornVS обозначает категорию борнологических векторных пространств с линейными борнологическими отображениями в качестве морфизмов; CBS

обозначает полную подкатегорию, образованную выпуклыми борпологиче-скими пространствами.

Борнологическое векторное пространство E называется отделимым, если {0} является единственным ограниченным подпространством, или эквивалентно, если для 0 = x Е E подпространство R • x неограннчено.

В [52] доказано, что борнология B на векторном пространстве E является векторной борнологией тогда и только тогда, когда выполняются следующие два свойства:

(i) B Е B ^ B + B Е B,

(ii) B Е B ^ U|t|<l t • B Е B.

а также доказано, что борнология B на векторном пространстве является выпуклой векторной борнологией тогда и только тогда, когда она обладает следующими тремя свойствами:

(i) B Е B ^ -B Е B,

(ii) B Е B ^ 2 • B Е B,

(iii) B Е B ^ (B) Е B, где (-) обозначает выпуклую оболочку.

Категория Born в качестве объектов имеет борнологические пространства; Born(X, Y) образовано так называемыми борнологическими отображениями g: X ^ Y, то есть такими отображениями g, для которых ограниченность B С X влечет ограниченность g(B) С Y.

Направленным множеством p называют множество J вместе с рефлексивным и транзитивным отношением > таким, что для любых ji, j2 Е J существует j Е J, для которого j > ji и j > j2 • Если j2 > ji, то говорят, что j2 «следует за (после)» j .

Сеть па множестве X - это отображение x: p ^ X из направленного pX Мура-Смита.

Пусть F _ фильтр на борнологическом векторном пространстве E, p — направленное множество и x: p ^ E — сеть на E.

Фильтр $ называют сходящимся по Макки (или короче: М-сходящимся) к р Е Е (пишем $ —> р)5 если существует ограниченное множество В С Е, для штор ого $—р < и • В, где и обозначает фильтр окрестностей 0 на К. Сеть х: р ^ Е называется М-сходящейся к р, если соответствующий фильтр является М-сходящимся к р. В случае, когда р определяется однозначно этим свойством, мы пишем р = М- Ит^х(^).

Фильтр $ называется ограниченным, если $ содержит ограниченное множество. Сеть х: р ^ Е называется ограниченной, если соответствующий фильтр ограничен, то есть, если существует jo Е J, для которого множество ) : j > jo} С Е ограничено.

Фильтр $ называется фильтром Макки-Коши, если это фильтр Ко-ши по отношению к сходимости Макки. Сеть х: р ^ Е называется сетью Микки Коши. если соответствующий фильтр является фильтром Микки Коши.

Для того чтобы задать топологию замыкания Макки борнологического векторного пространства, доказаны следующие факты в [52].

Е

Макки задает векторное пространство сходимости, обозначаемое £Е, и таким образом мы получаем функтор £: ВоппУБ ^ LimVS.

II) Этот функтор обладает леввым обратным п: LimVS ^ BornVS, удовлетворяющим условию п ◦ £ = гь<1. Оба функтора сохраняют несущие векторные пространства и несущие отображения.

III) Пусть х: р ^ Е — сеть в отделимом борнологическом векторном пространстве Е. Тогда сеть х являет ся М-сходящейся к Е Е тогда и только тогда, когда она может быть записана в виде х(^) = bj + хто, где £: р ^ К — сходящаяся к пулю сеть, а Ь: р ^ Е — ограниченная сеть.

¡у) Пусть х: р ^ Е — сеть в отделимом борнологическом векторном про-Е. х

том случае, когда сеть p х p ^ E, определенная формулой (jij'2) ^ x(ji)-x(j2), может быть записана в виде xj^) — x(j2) = t(j1?j2)b (j1? j2), где t: p х p ^ R — некоторая сходящаяся к нулю сеть и b: p х p ^ E — некоторая ограниченная сеть.

(v) Для обычной последовательности x: N ^ E, предложения (iii) и (iv) выше могут быть эквивалентно сформулированы в следующем виде:

(а) xTO = M- 1imn_>TOxn тогда и только тогда, когда существуют (положительные) вещественные числа tn такие, что 1imn_>TOtn = той множество {tn(xn — xTO) : n G N} С E ограничено.

x

когда существуют (положительные) вещественные числа tn,m такие,

что /imn,m_>TOtn,m = то и множество ({tn,m(xn — xm) : n,m G N} С E

ограничено.

Охарактеризуем теперь те векторные пространства сходимости, которые соответствуют посредством сходимости Макки (то есть через функтор £) борнологическим векторным пространствам.

Векторное пространство сходимости G называется борнологическим векторным пространством сходимости, если G = £nG. Обозначим соответствующую полную подкатегорию LimVS через bLimVS.

Эта терминология оправдывается следующими соображениями.

(i) £ (то есть сходимость Макки) задает изоморфизм категории BornVS борнологических векторных пространств на категорию bLimVS бор-нологических векторных пространств сходимости.

(ii) bLMVS является ко-отражающей подкатегорией LimVS (то есть функтор вложения bLimVS в LimVS имеет правый обратный).

Топология замыкания Макки является финальной, индуцированной сходящимися в смысле Макки последовательностями.

функтор т: Lim ^ Top, описанный на с. 10 -11, ограниченный на подкатегорию bLimVS С Lim, является функтором, вводящим на борно-логпческом векторном пространстве сходимости топологию замыкания Мак-

т

вложения f: Top ^ Lim, т.е. т о f = id.

В этой связи А. Фрёлихер и А. Кригль [52] ввели пространства, названные ими удобными (convenient) векторными пространствами. Это сопряжённые пространства к векторным пространствам, а их топология — это топология замыкания Макки. Она определяется как финальная топология относительно всех сходящихся последовательностей Макки S: = NU{to} ^ E (см. [52]). Подмножество U удобного пространства E открыто относительно этой топологии тогда и только тогда, когда выполнено следующее свойство: если Е U является пределом сходящейся последовательности Макки в E, то существует индекс n Е N такой, что Xk Е U для всех k ^ п. Открытые и замкнутые в этой топологии множества называются M-открытыми и M-замкнутыми соответственно.

В дальнейшем мы будем иметь дело с пространствами Фреше и Банаховыми пространствами, которые являются борнологичными. Борнологию на них образуют ограниченные множества (множество A из топологического векторного пространства называется ограниченным, если для любой окрестности нуля U(0) существует Л Е R такое, что A С Л • U(0)). Поэтому, если -р...................... пространство Фреше, то f(F) е bLimVS. Тогда т(f(F)) = F е Top и

топология замыкания Макки на F совпадает с исходной топологией про-

F.

Далее, пусть E и F — два удобных векторных пространства и E' — сопряжённое пространство к E. Кривая а: R ^ E называется дифференцируемой, если производная

а'(t) = Hm a(t + s) - a(t)

s

существует при любых t. Она называется Ck -кривой, если её производ-

ные вплоть до к-го порядка существуют и являются непрерывными. Она называется гладкой, или С-кривой, если у неё есть производные всех порядков. Эта кривая называется локально липшицевой кривой, если каждая точка г Е К имеет окрести ость и такую, что множество

Г а(Ь) — аЫ . | (£ — 5( ) : £ = з,г,8 е и\

ограничено [52]. Это значит, что кривая удовлетворяет условию Липшица па каждом ограниченном промежутке, поскольку для приращений (£,) величина

а(£п) — а(£о) ^ — Ь а(Ь,+1) — а(Ь,)

£

Ьп Ь0 Ьп Ь0 Ьг+1 Ь

лежит в абсолютно выпуклой оболочке конечного объединения ограниченных множеств.

Далее, для 0 < к < то, согласно [52] функция /: К ^ К называется к раз липшицевой дифференцируемой тогда и только тогда, когда её разностное отношение (разделённая разность) порядка к + 1 ограничена на ограниченных множествах. Кривая а называется ^рк-кривой в Е, если для любого I Е Е' суиерпозиц ия I о а: К ^ К являет ся к раз лип-

к

к=0

такие кривые называются дифференцируемыми по Липшицу. Отображение д: Е ^ Г называет ся ^рк-отображением, если для каждой С'ьрк -кривой а: К ^ Е суперпозиция д о а: К ^ Г являет ся арк -кривой в Г. На от-

иЕ

отображение /: Е 1Э и ^ Г представляет с обой ^рк-отображение, если / о а есть Lipk -кривая и это очень слабое условие, поскольку это означает, что а—1 (и) открыт в К для любой ^рк-кривой а: К ^ Е (см. [52]).

Кроме того, в работе [52] дифференциал С1рк+1 -отображения д: Е ^ Г векторных пространств с топологией замыкания Макки определяется как 01рк-отображение <д: Е х Е ^ Г, <д(х,Н) = ^(д(х + Ь^))|^=0. И соответственно, дифференциал п-го порядка для п < к + 1 <пд: Еп+1 ^ Г,

dng(x, hi,..., hn) = dt(dn-i g(x + thn, hi,..., hn-1))|t=0. В случае, когда E, F^ банаховы пространства (и, как было отмечено выше, топологии замыкания Макки в E, F совпадают с топологиями, индуцированными нормами ), дифференциал dg совпадают с дифференциалом Гато ( см., например, определение дифференциала Гато монографии Колмогорова А. Н., Фомина

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аль Нафие Захир Добеас Азаве, 2017 год

Список литературы

[1] Аль Нафие, Захир Добеас. О паракомпактности бесконечномерных многообразий / Захир Добеас Аль Нафие, С. Б. Климентов // Известия вузов. Северо-кавказский регион. - 2014. - Т. 180. - Вып. 2 - С. 5 - 7.

[2] AL-Nafie, Z.D. Vector bundles over a non normable Frechet manifolds via Lipk-Structures / Z. D. AL-Nafie // Успехи современной науки и образования. - 2016. - Т.7 - Вып. 10 - С. 151 - 154.

[3] Аль Нафие, 3. Д. Разбиение единицы на бесконечномерном многообразии класса Lipk / 3. Д. Аль Нафие // Известия вузов. Математика. Вышла из печати. - 2017. N 10.

[4] Аль Нафие, 3. Д. Паракомпактность липшицевых многообразий над пространствами Фреше / 3. Д. Аль Нафие // Международная конференция

по алгебре, анализу и геометрии: материалы конф. / Казанский (Приволжский) федеральный университет. Казань. - 2016. - С. 87 - 88.

[5] Климентов, С. Б. О паракомпактности бесконечномерных многообразий / С. Б. Климентов, 3. Д. Аль Нафие // 5-ая Международная конференция. Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения / Южный федеральный университет. Ростов-на-Дону. - 2015. - С. 37.

[6] AL-Nafie, Z.D. Some notes on a tangent space of a non normable Frechet manifold via -Structures / Z.D. AL-Nafie // 13-я Международная научно-практическая конференция Достижения и проблемы современной науки: материалы конф. / Научный журнал Globus. Санкт-Петербург. -2016. - С. 101 - 105.