Обобщенные групповые пространства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Ястребов Ю.Н.

• Ястребов Ю.Н.
• 1950

Оглавление диссертации Ястребов Ю.Н.

Введение. • « I

Глава I .Аффинная связность s обебвршшх групповых пространствах.

1. Пространства с абсолютвы-л параллелизмом направлений* • «

2. Основные соотношения

3. Операторная форма основных сост* ношений • «

Глава П Первоначальные следствия в групповой случай«

4. Шрвеначальные следствия • . •

5. Групповой случай . • •

Глава Ш Пространстве ^ •

6.Структурные коэЬициенты обобщенных групповых пространств • • •

7. Определяющее дифференциальные уравнения • « «

8« Коафицавнтй евяэяоетн • • •

9» Групп© ДВШШНИЙ ^ • . •

Глав а 1У Ценный образ ^

ХО • Центросишгавктжхюекеа прсетрей-етве X и Дараллвльаев па ре не сенсе В X и • « • II* Геодезические зшнза в ^

12. Двумерные поверхности 5 в ■

13. Кручанее пространства

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенные групповые пространства»

В пространстве ^конечной группы Ли мое-но, следуя Картану^и Схоутену^ ввести две аффинные связ ности без кривизна* Если а , , ^ операторы двух взаимных параметрических групп, то эти же операторы определяют в каздой точка рассматриваемой области аффинные реперы Л/(*'.-■ л*]¡^Ч*',-,^ Нижний индекс здесь номер вектора, верхний шв носат контравариаатаый характер.

Кащцый репер задает групповую связность* Векторы с постоянными координатами относительно одного из реперов являются параллельно переносииьши в соответствующей связности.

Коэфициентн построенных связностей имеют вид: ^ Ц1 ^ Л ^ г ■1 ^ - ^ и

1 V

В этих обозначениях ■» наверху означает, что л

К (Ь ^ Ь х VI

Л^, . ^ образуют систему коварзантннх векторов в групповом пространстве. То же относится к Ь^,.

Если ^ и ? ^ кручение первой и соответственно второй связности, то имеют место следуш^е соотношения. Во-первых, ^ ^ - О ' Ь) и во-вторых,

I ■ а г гд = с . ' и)

При этом V символ дифференцирования, который мозао отнести к любой из построенных связностей«

Пусть теперь задано некоторое пространство аффинной связности без кривизны, с коефициентами « Для тензора кривизны этой связности, во всей рассматриваемой области, выполняется условие?

1 1

В такой пространстве существует абсолютный парая~ лелизм векторов и моеяо построить п. линейно независимых,, коваргантно постоянных векторных полай г»

Введем новую связность, коафвциевты которой ^ определим так?

Обозначим а у кручаиие и символ дифференци роваиия для связности Г4 и соответственно и

V для связности » Кроме того* пусть тензор кривизна связности

Потребуем теперь8 чтобы кроме имело место одно из следуннпрх соотношений: или vf=o ■ w

Тогда, если рйСсыЁтрйвйть ÍW »-••.) как операторы и составить коммутатор

M-eJftr, ■ то мошо показать, что постоянше« В самой деле, пусть имеет место • Введем в рассмотрение ска« р г лярные коэфацивнты ^ сявдувщЕш образок:

В силу (rj в так как И-;1 ковариантно постоянные вектора , р1 !> U — - о

ПЛ' для любых Л | т.е. постояниые« Кроме того, из следует, что

Но d-'-.r ,

CU гd ■ г л причем, вследствие , можно заменить аналоI рично групповым связностям с помощью / стр. л о /•

Г^ А1 .Г -ч

1 1 та*

Используя это в 0°) и подставляя результат в (<}) МЫ получим .О) с постоянными С:3 ,

Если же выполняется (6) , то можно рассмотреть линейно независимые векторы ^ # ковариантно о1 Г ¡А постоянные в связности Ъ ^ • Представив снова I и й^1 с помощью Ц** и мы сможем вместо 1м) напасать:

4 г ^ %

А ^ ^ или свернув, .это с Вз

Если теперь воспользоваться тозвдеством Нкобв:

-- о и заменить с пошлою (ч] , то в силу и линейной независимости Я/)---; ^ мы получим: е е. г- Сч = О для любых К • Сг, снова постоянные.

Это значит * что в обоих случаях оператора А*,. определяют однотранэитивну© группу Ли •

Таким образок., каядое из соотношений (т) ц [() является характеристическим для связностей без кривизны, соответствующих групповым пространствам.

Заметим, что условия (?) и для связностей без кривизны вполне равносильны» Из первого следует второе и наоборот. Кроме того, очевидно, что ($) и (б) лишь другая запись условий (*) и 11) • и Гг, обладают общгш семейством геодезических и кагщая связность вносит в это семейство свой абсолютный параллелизм*

Геодезическими линиями служат однопараметрнчвекие подгруппы и их классы смежности. Если х пробегает однопараметричвскую подгруппу, то точки ах и описывают геодезические параллельные тщу собой I I образом,. Аналогично "хо. и х! принадлежат геодезавеским, параллельным меаду собой Л образом.

Существенными являются следующие два свойства групповых параллелизмов. а/ Если в и £ две геодезические линии, пере с екающее я в точив Д , а Ь и и точки взятые на £ и ^ произвольным образом * то геодезическая сс , проходящая через параллельно € I образом и геодезическая у*у , прозаэдяцая через Ь параллельно € и. образом, пересекаются. Другими словами линии аобразуют параллелограмм 9 ,противоположные стороны которого, связаны, кавдая пара своим, параллелизмом« в/Пусть два параллелограмма Ф и из имввт общую сторону. Тогда два другие стороны их, свя-зонные параллелизмом мащцу собой и с общей стороной, являются противоположными сторонами третьего параллелограмма ■ , вершины которого, таким образом совпадают с теми вершинами Фг и , которые для Ф, и . не являются общши. Выражаясь иначе, в групповом пространстве осупрствляется конфигурация, имеющая вид призмы в кавдой вершине которой сходятся три геодезических*

Кроме того, групповые параллелизмы обладают и еле« дующими' очевидными свойствами.

1 • Каадая геодезическая линия параллельна самой I себе.

Z, Две геодезические линии параллельные третьей в одном и том я© смысле, параллельны и меащу-собой в том яз смысле•

3. Через любую точку проходит лишь одна геодезическая , параллельная данной в i смысле и аналогично во Н смысле.

В свою очэредь, исходя из параметрического семейства кривых, в котором определены два параллелизма со свойствами Л-У и , Щ могао выполнить построение группы, получив первую и вторую аффинные связности. В этом случае удобно перейти сначала к векторам, считая вектором упорядоченную пару точек. Далее ввести для векторов равенство ! и ü рода, с помощь« которого восстааоетть и самую группу»

Если гв рассматривать семейства путей аналогичные групповым траекториям # сохраняя (о) и отбрасывая (в), то вивсто групповая свяэаостей естественно рассмотреть связности е абсолютным паршшвлЕзаом направлений*