Алгебры Ли проективных движений псевдоримановых пространств пяти измерений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Хакимов Джамолиддин Рахмонович

• Хакимов Джамолиддин Рахмонович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Хакимов Джамолиддин Рахмонович

2.2 Н-пространства типа {221}

2.3 Н-пространства типа {32}

2.4 Н-пространства типа {41}

2.5 Н-пространства типа {5}

3 Формы кривизны пятимерных жестких

^-пространств в косонормальном репере

3.1 Формы кривизны ^-пространств типа {221}

3.2 Формы кривизны ^-пространств типа {32}

3.3 Формы кривизны ^-пространств типа {41}

3.4 Формы кривизны ^-пространств типа {5}

4 Структура проективных и аффинных алгебр Ли

пятимерных жестких ^-пространств

4.1 Проективно-групповые свойства ^-пространств типа {221}

4.2 Проективно-групповые свойства ^-пространств типа {32}

4.3 Проективно-групповые свойства ^-пространств типа {41}

4.4 Проективно-групповые свойства ^-пространств типа {5}

5 Алгебры Ли проективных и аффинных движений

^-пространств Н221 типа {221}

5.1 Условия постоянства кривизны ^-пространств типа {221}

в канонической карте

5.2 Свойства проективных векторных полей

в ^-пространствах типа {221}

5.3 Интегрирование обобщенных уравнений Киллинга

в ^-пространствах типа {221}

5.4 Инфинитезимальные гомотетии и изометрии

в ^-пространствах типа {221}

5.5 Классификация ^-пространств типа {221} по алгебрам Ли проективных и аффинных движений

Заключение

Литература

Список публикаций автора

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебры Ли проективных движений псевдоримановых пространств пяти измерений»

Введение

Актуальность темы исследования. Теория Груип проективных преобразований псевдоримановых пространств является одним из активно развивающихся разделов дифференциальной геометрии, имеющих приложения в теории дифференциальных уравнений и анализе, а также в теоретической и математической физике.

Проективные преобразования систематически возникают при исследовании симметрий уравнений математической физики. Достаточно упомянуть, что алгебра Ли инфинитезимальных точечных симметрий уравнения Кортевега-де Фриза является подалгеброй проективной, точнее, аффинной алгебры Ли, а уравнение Риккати можно рассматривать как "своеобразную реализацию" группы проективных преобразований на прямой [1].

Концепция теории групп была предложена Э. Галуа во время его работы над алгебраическими проблемами. К. Джордан нашел дальнейшее применение теории групп. Теория непрерывных групп была основана Софусом Ли. Исследуя возможность использования расширенных методов Галуа для решения задач, связанных с интегрированием дифференциальных уравнений, Ли обнаружил новый тип групп, которые он назвал непрерывными группами преобразований (в наше время они называются группами Ли).

Впервые задача определения римановых пространств Vп, допускающих непрерывные группы проективных преобразований, рассматривалась С. Ли и затем учеником Г. Дарбу М. Кёнигсом для случая двумерных поверхностей. Дальнейшее развитие теории проективных преобразований и проективных движений (инфинитезимальных проективных преобразований) в пространствах с линейной связностью связано с именами многих известных математиков - Э. Картан, Л.П. Эйзенхарт, М.С. Кнебельман, И.А. Схоутен, К. Яно, И.П. Егоров, Г. Врэнчану, Ш. Кобаяси и др.

Проблема проективных преобразований в V" тесно примыкает к проблеме геодезических отображений псевдориманывых пространств, которая в

разное время рассматривалась Е. Бельтрами, У. Дини, Т. Леви-Чивита, Г. Фубини, Л.П. Эйзенхартом, П.А. Широковым. А.З. Петровым, Н.С. Синю-ковым, A.C. Солодовниковым, В.И. Голиковым, Г.И. Кручковичем, A.B. Аминовой и др. [2].

Как известно, в пространствах постоянной кривизны Sn проективная группа совпадает локально с проективной группой псевдоевклидова пространства, т. е. с группой дробно-линейных подстановок, и зависит отn(n+2) параметров.

В пространствах Vn непостоянной кривизны порядок проективной группы не превосходит число n(n — 2)+5 [3], причем в большинстве случаев эта группа состоит из преобразований подобия (гомотетий) или изометрий.

В 1903 г. в "Записках Туринской Академии наук" вышла работа Г. Фубини "О группах геодезических преобразований" [4], которая положила начало систематическому определению и изучению пространств с положительно определенными метриками, допускающих проективную группу более широкую, чем группа гомотетий. Позже А. С. Солодовников ( [5], 1956 г.) продолжил исследования Г. Фубини; в трудах Фубини и Солодов-

Vn

n > 3, по (локальным) группам проективных преобразований, более широким, чем группы гомотетий.

Выводы Фубини и Солодовникова опираются на предположение о положительной определенности рассматриваемых метрик. Снятие условия знакоопределенности значительно усложняет задачу и требует принципиально нового подхода к ее решению (см., например, [6-18]).

В 1987 г. вышла работа А. В. Аминовой [19] (см. также [20]), где в рамках метода подвижного репера была развита техника косонормального репера, которая дала ключ к решению задачи в псевдоримановых пространствах общего вида. В работах А. В. Аминовой [6-14] были найдены все лоренцевы многообразия размерности n > 4, допускающие негомотетические инфини-тезимальные проективные и аффинные преобразования, и для каждого из них - максимальная проективная и аффинная алгебра Ли, включая гомо-

тетическую и изометрическую подалгебры.

Подобная задача для псевдоримаповых пространств произвольной сигнатуры ранее не рассматривалась.

Поэтому представленное в данной работе исследование проективно-груп-повых свойств пятимерных псевдоримановых пространств общей сигнатуры в случае невырожденной характеристики Сегре производной Ли метрического тензора (так называемых жестких ^-пространств, см. § 1.2) является актуальной задачей, имеющей важное теоретическое и прикладное значение.

В теоретической физике за последние годы значительно возрос интерес к использованию геометрических свойств многомерных, в частности, 5-мерных пространств.

В 1919 г. Т. Калуцей была предложена идея геометризации электромагнитного поля в духе эйнштейновской теории тяготения с помощью увеличения на единицу числа пространственных координат; сейчас в литературе 5-мерная теория называется теорией Килуцы Кленни. Заслуга Клейна состоит в обобщении линеаризованного варианта теории Килуцы на общий случай.

В теории Килуцы Клеини мир описывается 5-мерным псевдоримановым пространственно-временным многообразием с квадратичной дифференциальной формой

dI2 = да@dxаdxв (а, в = 1,..., 5). (1)

Пятнадцать компонент 5-мерного метрического тензора определяют десять компонент 4-мерного метрического тензора и четыре компоненты векторного электромагнитного потенциала. Оставшаяся пятнадцатая компонента метрического тензора описывает некоторое скалярное поле.

В качестве уравнений поля используются 5-мерные уравнения Эйнштейна

Кав — 1 дав К + Л дав = ХЯав, (2)

где Qав есть 5-мерный тензор энергии-импульса внешней материи. Из этих уравнений следуют аналоги 4-мерных уравнений Эйнштейна с тензором

энергии-импульса электромагнитного поля и уравнения Максвелла. В качестве уравнений движения частиц берутся 5-мерные уравнения геодезических

Л2 ха Лх^

И2 = -dTU, ^

где Г^ — 5-мерные символы Кристоффеля. Теории с размерностью пространства больше пяти и с полевыми уравнениями, аналогичными уравнениям Эйнштейна, называются теориями типа Калуцы-Клейна.

В 1921 году Калуца и Клейн показали, что при определенных условиях (таких как цилиндричность: дд^/дх5 = 0,1,] = 1,... , 4) добавление 5-го измерения может объяснить появление электромагнитного поля. Проблема заключается в том, что хотя сама модель является геометрической, условия типа цилиндричности не являются геометрическими. Эта проблема была частично решена Эйнштейном и Бергманом, которые в своей статье 1938 года предположили, что пятое измерение компактифицируется в небольшую окружность Б1, так что в полученном цилиндрическом 5Б пространстве-времени Я4 х Б Зависимость от х5 макроскопически незаметна.

В работе [21] было показано, что если во всех определениях векторов, тензоров и т.д. заменить Я4 на Я4 х Бто условия типа цилиндричности станут полностью геометрическими.

В работе А.П. Трунева [22] была развита модель фундаментальных взаимодействий на основе теории Калуцы — Клейна в 5-мерном пространстве.

В работах [23] и [24] рассматривается (4+с1)-мерное пространство-время с топологией Т х V3 х Vгде V3 и V3 - однородные и изотропные подпространства, причём V3 (внутреннее подпространство) компактно. Выбран упрощенный сценарий эволюции рассматриваемой модели: задается временная зависимость масштабных факторов подпространств V3 и Vприближенно соответствующая полученным ранее решениям уравнений Эйнштейна. На этом фоне исследуются возмущения метрики с одним индексом 4-мерного подпространства Т х V3 и один индексом внутреннего подпространства V3. Сжатие масштаба внутреннего пространства (что необходимо для согласования с наблюдениями в настоящее время) приводит к

возникновению в 4-мерном физическом пространстве массивных полевых мод рассматриваемых возмущений, которые гипотетически связываются с наличием темной реликтовой материи во Вселенной.

Теорема о соответствии теории Килуны Клеи ни 4-мерной эйнштейновской теории гравитации, взаимодействующей с электромагнетизмом, доказана в [25]. Получено точное решение вакуумных уравнений Эйнштейна в 5-мерном пространстве, представляющее собой решение Боннора 4-мерной теории Эйнштейна-Максвелла. Найденное решение описывает массивный источник, обладающий магнитным и дипольным моментами.

Стабильность вакуумных решений многомерных уравнений Эйнштейна (а значит, сохранение планковских размеров внутреннего пространства) в механизме спонтанной компактификации за счет эффекта Казимира достигается путем чрезмерного увеличения числа полей внешней материи. Для преодоления этого недостатка в [26] предложено использовать механизм нарушения калибровочных симметрий с помощью петель Вильсона, активно используемый в теории суперструн. Рассмотрена космологическая модель

ds2 = dt2 - а23(t)dxidxj - Ъ2^)^х5)2 (г,; = 1,..., 3),

содержащая внешние Би(2)-калибровочные поля и взаимодействующие с ними спиноры. В правой части 5-мерных уравнений Эйнштейна содержится тензор энергии импульси. соответствующий однопетлевым вакуумным флуктуациям спинорных и калибровочных полей. Полученная из 5-мерных уравнений Эйнштейна система уравнений для параметров а (^ и Ъ^) допускает стабильное решение при сравнительно малом числе спинорных полей.

В статье [27] рассматривается 5-мерная космологическая модель с безмассовой 5-пылью в качестве источника. Зависимость отх5 не учитывается, однако феноменологически вводится известный казимировский потенциал. Показано, что уравнения такой модели допускают решение, в котором три пространственных измерения расширяются во времени, а дополнительное измерение стягивается, причем скорость этих процессов определяется количеством 5-пыли во Вселенной. Строится обобщение на случай про-

извольного числа тороидальных дополнительных координат. Проводится обсуждение влияния потенциала Казимира на космологические сценарии и возможные его изменения, связанные с наличием во Вселенной тяжелых фермионов.

В статье [28] рассмотрено уравнение геодезических в 5-мерной космологии Килуцы Клеини. В качестве основного результата декларируется установление на качественном уровне того факта, что 5-скорость и другие величины в рассматриваемом случае будут зависеть не только от времени, но и от массы частицы. При сопоставлении полученных космологических уравнений с 4-мерными уравнениями в случае материи в виде идеальной жидкости получен аналог метрики Фрид.ми ни Робер тсони Уокери. Приводятся рассуждения о природе и динамике гравитационной постоянной.

В [29], [30] предложена новая интерпретация 5-мерной теории, согласно которой дополнительные слагаемые в 5-мерных вакуумных уравнениях Эйнштейна Gap = 0 для метрик вида

ds2 = evdt2 - eQit^(dx2 + dy2 + dz2) - е^Чф2,

содержащих произвольные функции и v(t,^), отождествляются с

правой частью соответствующего 4-мерного уравнения для идеальной жидкости:

GMv = 8nG[(p - p)u^uv - pq^].

Показано, что для некоторой не зависящей от ф метрики (5-мерная метрика де Леона), являющейся решением уравнений указанного вида, 4-мерный сектор которой соответствует фридмановской модели простран-

ственноплоской Вселенной, заполненной излучением, подобное отождеств-

pp

от времени. Для другой предложенной в этих работах метрики выбором свободного параметра удается добиться соответствия на гиперплоскостях ф = const с пространственно-плоскими моделями Фридмана как в случае излучения, так и в случае пылевидной материи.

Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод, что тема настоящей диссертационной работы является актуальной.

Целью диссертационной работы является определение всех 5-мерных жестких ^-пространств Hx, т.е. псевдорпмановых многообразий (М5, д) произвольной сигнатуры с (невырожденной) характеристикой Сегре1 х = {г1,...,гк}, т1,...,Гк £ N, г1 + ... + Гк = 5, и вещественными собственными значениями производной Ли Ьхд метрики д в направлении инфи-нитезимального преобразования X, допускающих (негомотетические) проективные и аффинные движения (т.е. инфинитезимальные проективные и аффинные преобразования), и для каждого из них - определение структуры соответствующих максимальных проективной и аффинной алгебр Ли, включая классификацию ^-пространств ^21 тип а {221} по максимальным алгебрам Ли проективных и аффинных преобразований, более широким, чем алгебры Ли гомотетий.

Основные задачи диссертационной работы.

( М5, д)

по типам в соответствии с алгебраической структурой билинейной формы Н = Lхg и включает следующие этапы.

1. Интегрирование уравнений Эйзенхарта для каждого допустимого типа (23) ^пространств Hx (см. § 1.2).

2. Вычисление кривизны ^пространств Hx и получение необходимых и достаточных условий постоянства кривизны исследуемых пространств.

Н

пространства Hx непостоянной кривизны.

4. Исследование структуры максимальных проективных и аффинных алгебр Ли, более широких, чем алгебры Ли гомотетий, для каждого из

Н

5. Интегрирование обобщенных уравнений Киллинга Lхg = Н, для Н-пространств ^21 таи а {221}, включающих три класса ^^^^^^^анств: H221^1J

^21,2 И ^21,3-

6. Классификация ^пространств ^21,1, ^21,2 и H221,3 типа {221} непостоянной кривизны по (негомотетическим) алгебрам Ли инфинитезималь-

^м. § 1.1.

ных проективных и аффинных преобразований с указанием размерностей, базисных элементов и структурных уравнений максимальных проективных, аффинных, гомотетических и изометрических (под)алгебр Ли.

Методы исследования. Методы дифференциальной геометрии и математического анализа, теории групп и алгебр Ли, теории систем дифференциальных уравнений. При интегрирования уравнений Эйзенхарта применялся метод косонормального репера А. В. Аминовой [31].

Положения, выносимые на защиту.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Определены все классы 5-мерных жестких ^-пространств Нх, т. е. 5-мерных псевдоримановых пространств (М5,д), допускающих нетривиальные решения Н = сошI • д уравнения Эйзенхарта с вещественной невырожденной характеристикой Сегре х-

Н

ранств Нх всех допустимых типов х- Найдены необходимые и достаточные условия постоянства кривизны 5-мерных жестких Ь-пространств.

3. Получены необходимые и достаточные условия существования в 5-мерном псевдоримановом пространстве негомотетического проективного

х

4. Изучена структура негомотетической проективной алгебры Ли Рг в

Н

эта алгебра содержит подалгебру Нг—1 инфинитезимальных гомотетий размерности г — 1.

5. Дана классификация Н-пространств Н221д, Н221,2 и Н2213 тип а {221} непостоянной кривизны по (негомотетическим) алгебрам Ли инфинитезимальных проективных и аффинных преобразований, — найдены все проек-тивно-подвижные метрики и вычислены размерности, базисные элементы и структурные уравнения действующих в них максимальных проективных и аффинных алгебр Ли.

Научная новизна. Все основные результаты, полученные в процессе диссертационного исследования, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследованиях групп преобразований псевдоримановых и обобщенных пространств, а также в теории симметрий дифференциальных уравнений, при построении и изучении физических теорий типа Калуцы-Клейна, в квантовой теории поля, общей теории относительности и в учебном процессе при чтении спецкурсов и факультативных курсов для студентов и аспирантов - математиков и физиков.

Апробация работы. Диссертационное исследование рассмотрено, обсуждено и одобрено на заседании кафедры геометрии Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Казанский (Приволжский) Федерал ьныи Университет».

Материалы диссертационной работы докладывались на следующих международных и всероссийских научных конференциях:

- Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии, посвященная юбилеям выдающихся профессоров Казанского университета, математиков Петра Алексеевича и Александра Петровича Широковых (Казань, КФУ, 2016);

- Международная конференция «Современная геометрия и её приложения» (Казань, 27 ноября - 3 декабря 2017 г.);

- International scientific and practical conference «The actual problems of teaching mathematics and natural sciences in the training of credit system» -Kurgan-Tyube State University after Nosira Khusrava (2018, Bohtar mine, Tajikistan 29-30 june);

- VI11-й Международный научный семинар «Нелинейные модели в механике, статистике, теории поля и космологии» «(GRACOS-18) » (Казань, 28 октября - 3 ноября 2018 г.);

- XVII Всероссийская молодежная школ а-конференция «Лобачевские чтения» (Казань, 23 - 28 ноября 2018 г.);

- Международная научная школа-семинар «Петровские чтения» (Казань, 2018);

- Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения В.Т. Базылева «Классическая и современная геометрия» (Москва, 22-25 апреля 2019 г.);

- 3rd Symposium of the BRICS Association on Gravity, Astrophysics and Cosmology (Kazan, August 29 to September 3, 2019);

- Международная конференция «Современная геометрия и её приложения- 2019» (Казань, 4-7 сентября 2019);

- XVIII Всероссийская молодежная школ а-конференция «Лобачевские чтения-2019» (Казань, 25 - 30 ноября 2019 г.).

- XIX Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2020» (Казань, 1-4 декабря 2020 г.).

Основные результаты диссертации отражены в 21 работе автора, их список приведен в конце диссертации; из них 20 опубликованы и одна принята к печати, 3 статьи в научных журналах, рекомендованных ВАК Министерства науки и высшего образования РФ по специальности 01.01.04 и индексируемых в международных Базах данных Scopus и Web of Sciense, 5 статей в других ведущих рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК Министерства науки и высшего образования РФ по смежным специальностям, 12 тезисов в материалах конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 139 страницах и содержит введение, пять глав, 22 параграфа, заключение, библиографический список, включающий 108 наименований работ отечественных и зарубежных авторов, и список публикаций автора по теме диссертации (21 наименование).

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели, основные результаты и методы исследования, научная новизна, теоретическая и практическая значимость диссертации, приведены апробация и краткое описание диссертации.

Первая глава содержит четыре параграфа (§§ 1.1-1.4) и носит реферативный характер. Здесь приводятся предварительные сведения о псевдо-

римановых пространствах Уп (§1.1), проективных, аффинных и конформных преобразованиях (§1.2), описываются метод косонормального репера и развитый А. В. Аминовой общий подход к нахождению и исследованию проективных преобразований псевдоримановых многообразий (§1.3). В §1.4 дается обзор направлений исследований 5-мерных псевдоримановых пространств и 5-мерных физических теорий типа Калуцы-Клейна, подтверждающий актуальность представленной работы.

В первом параграфе второй главы для каждой из четырех допустимых характеристик Сегре х билинейной формы Н: {221} {32} {41} {5}, (см. (23)) определяются формы связности и коэффициенты вращения Риччи (§2.1). В §§ 2.2-2.5 интегрируются уравнения Эйзенхарта, находятся векторные поля канонического косонормального репера, вычисляются компоненты тензоров Н, д и определяющая функция р проективного движения в каноническом натуральном репере, удовлетворяющие уравнениям Эйзенхарта.

Н

пространства непостоянной кривизны. С помощью структурных уравнений Картана вычисляются формы кривизны этих пространств в адаптированном косонормальном репере и устанавливаются необходимые и достаточные условия постоянства их кривизны.

В четвертой главе (§§ 4.1-4.4) исследуются пятимерные псевдоримано-вы пространства, допускающие инфинитезимальные проективные преобразования. Находится общее решение уравнения Эйзенхарта для каждого из жестких Н-пространств типов {221}, {32}, {41} и {5} непостоянной кривизны. Решается вопрос о параллельных билинейных формах в жестких Н

существования негомотетических аффинных и проективных движений в

Н

вается структура негомотетической проективной алгебры Ли в указанных Н

В пятой главе детально изучаются Н-пространства Н221 непостоянной

кривизны. В канонических (натуральных) координатах устанавливаются необходимые и достаточные условия, при которых ^21 является пространством постоянной кривизны (§5.1). Формулируются общие свойства проективных векторных полей в пространствах ^21 (§5.2). Интегрируются обобщенные уравнения Киллинга в пространствах ^21 непостоянной кривизны

Н

В §5.5 дается классификация ^пространств ^21 непостоянной кривизны по (негомотетическим) алгебрам Ли инфинитезимальных проективных и аффинных преобразований. Перечисляются все проективно-подвижные метрики и указываются размерности, базисные элементы и структурные уравнения действующих в них максимальных проективных, аффинных (в действительности гомотетических), гомотетических и изометрических алгебр Ли.

1 Предварительные сведения

1.1 Псевдоримановы многообразия

Гладкое п-мерпое многообразие М, на котором задано невырожденное симметричное тензорное поле д валентности (0, 2), обладающее тем свойством, что для любой точки р Е М билинейный функционал др на линейном пространстве ТрМ является скалярным произведением, называется

псевдоримановым многообразием ( [32], см. также [33]).

д

пространства, или просто метрикой.

Для любых гладких векторных полей X, У на псевдоримановом пространстве М их свертка д(Х, У) с тензор ом д является гладкой функцией на М. Эта функция называется скалярным произведением полей X, У и обозначается символом (Х,У) = д (Х,У).

В локальной карте (х,и) функция (X, У) определяется формулой (X, У)

• . / д д \ .

= д-X1 У-7 на и, где д- = д I , I - компоненты тензора д, а Xг и У3

- компоненты векторных полей X и У.

( М, д)

нейная связность V, удовлетворяющая условиям

Z < X, У >=< VzX,У > + < X, VzУ >, (4)

V* У = Vy X + [X, У] (5)

для всех дифференцируемых векторных полей X, У, ^ на М и называемая связностью Лемм Чмммти или римановой связностью. Компоненты связности V называются символами Кристоффеля.

Символы Кристоффеля, или Кристоффели первого и второго рода мет-д

1

2

Гк,з = гк3'1 = 7л(д^д-к + дз д1к — дк д-), (6)

Г- = ^ = 1 дкк (д{ д-к + д- дк — дк д-). (7)

2

Компоненты тензора кривизны Щк1 определяются коэффициентами линейной связности Леви-Чивита и находятся по формуле

дГ дГ«

п« _ _31 зк | р^. рг -р^ -рг /о\

3 — "дХ^ - ~дхГ + Г ^ - Г 3кГ ы • v»;

Для любого векторного поля X на гладком многообразии М существует линейное отображение X : / ^ X/ алгебры Ем вещественных функций на М в себя то прав илу (X/)(р) — X/ где р € М, Хр/ есть производная функции / вдоль вектора Xp, принадлежащего касательному пространству ТрМ к М в точке р ( [2], см. также [35]). Если £1,..., £п — компоненты векторного поля X в гарте (ж, и), то

X/|и — £ • ^ = (9)

в частности,

XX« — £« (г — 1,...,п).

Множество Хм всех дифференцируемых векторных полей на гладком М

мерности относительно операции коммутирования (скобки Ли), определенной равенством [X, У]/ — X(У/) — У(X/) для всех функций / на М и X, У € хм- Если X — £3д3 и У — п3д3 в карте (ж, и), то согласно (9) имеем

[X, У ] —(£3 дз пг — п3 дз £ «)дг.

В частности, для координатных векторных полей X! — д^..^^, — дп выполняются равенства

[X«, Xj ]—0 (г, ^ — 1,...,п).

Гладкая кривая 7 — ж^, а < £ < Ь, где —то < а < Ь < то, на многообразии М с линейной связностью V называется геодезической, если векторное иоле X, касательное к 7 в точке ж^ параллельно вдоль 7, то есть если VXX — 0 для всех £, где £ есть аффинный параметр для 7, а VX означает ковариантную производную вдоль X [35].

Напомним определение характеристики Сегре тензора . Пусть Л-мат-рица

имеет в точке х Е У систему элементарных делителей (Л — Л1)т1, (Л — Л1)т2,..., (Л — Л2)т1, (Л — Л2)т2, ....Инварианты Л.,, называемые базисами элементарных делителей, определяют собственные числа тензора Н- в точ-х

йвг(Нгз — Лд-) = 0.

Числа т1,т2, ...,т'1,т'2,... определяют тип тензора Н-. Для обозначения типа тензора употребляется символ

X = {(т1,т2, ...)(т'1,т'2,...)...},

в котором круглые скобки объединяют числа, соответствующие одному и тому же характеристическому числу. Этот символ называется характеристикой Сегре Л-матрицы (Н- — Лд-) или матрицы (Н-) [2] (см. также [34]).

1.2 Инфинитезимальные преобразования

Напомним, что локальная однопараметрическая группа непрерывных преобразований, определенных на и х 1£) где 1£ = (—£,£),£ > 0 и и - открытое подмножество в М, является непрерывным отображением (х,т) Е и х 1£ ^ ¡.т(х) Е /т(и), таким, что /т : х ^ /т(х) является диффеоморфизмом и на открытое множество /т(и) из М и

/т1+т2 (х) = /т1 ◦ /т2 (х)

всякий раз, когда т1,т2,т1 + т2 Е 1£ и /Т2(х) Е и [35].

Диффеоморфизм ] : Ап = (М, V) ^ Ап = (М, V), где V(V) - аффинная связность на М(М), называется аффинным отображением, если он отображает любое параллельное векторное поле вдоль I с М в параллельное векторное поле вдоль /(I) с М.

Диффеоморфизм / : Ап ^ Ап является аффинным отображением тогда и только тогда, когда /* (V) = V, т. е. локально в общей системе координат

компоненты аффинных связностей (V и V) связаны соотношением

Г -(х) = ^(х),

18

при этом тензор деформации Р — V — V равен нулю.

Пусть многообразие Ап — (М, V), оснащенное аффинной связностью V, допускает геодезическое отображение на псевдориманово многообразие Vп — (М,д), где д - метрический тензор в Vп.

Диффеоморфизм / : Ап ^ Vn является аффинным отображением тогда и только тогда, когда метрический тензор д в Vп параллелен в Ап, т.е.

Vg — 0.

Аффинное отображение Ап — (М, V) на себя называется аффинным преобразованием в Ап. Множество всех аффинных иреобразований в Ап образует аффинную группу в Ап.

Векторное поле X па Ап называется бесконечно малым аффинным преобразованием, или аффинным (киллинговым) векторным полем, а также аффинным движением, если это поле генерирует локальную однопарамет-рическую группу / в окрестностп и любой точки р € М, которая сохраняет аффинную связность, т.е. отображение / : М ^ М является аффинным преобразованием [2]. Векторное поле X на М является инфинитезималь-ным аффинным преобразованием тогда и только тогда, когда

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хакимов Джамолиддин Рахмонович, 2021 год

Список литературы

[1] Аминова А. В., Аминов Н. А. Проект,иена,я геометрия систем дифференциальных уравнений второго порядка // Матем. сб. - 2006. - Т. 197, N 7 — С. 3-28.

[2] Аминова A.B. Проективные преобразования псевдоримановых многообразий, /А. В. Аминова. - М.: Янус-К, 2003. - 619 с.

[3] Егоров И. П. Движения в пространствах аффинной связности/ И. П. Егоров. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1965. - 184 с.

[4] Fubini G. Sui gruppi trasformazioni geodetiche / G. Fubini // Mem. Acc. Torino. CI. Fif. Mat. Nat. - 1903. - V. 53, № 2. - P. 261-313.

[5] Солодовников А. С. Проективные преобразования римановых пространств/ А. С. Солодовников // УМН. - 1956. - Т. 11. - С. 45-116.

[6] Аминова А. В. Алгебры Ли инфинитезимальных проект,иены,х преобразований лоренцевых многообразий, / A.B. Аминова // УМН. — 1995.

- Т. 50, вып. 1. - С. 69-142.

[7] Аминова А. В. Группы проект,иены,х преобразований некоторых полей тяготения /А. В. Аминова // Гравитация и теория относительности.

- 1970. - № 7. - С. 127-131.

[8] Аминова А. В. О полях тяготения, допускающих группы, проект,иены,х движений /А. В. Аминова // ДАН СССР. - 1971. - Т. 197, № 4. - С. 807-809.

[9] Аминова А. В. Проективные группы, в полях тяготения (I)/А. В. Аминова // Гравитация и теория относительности. - 1971. - № 8. - С. 3-13.

[10] Аминова А. В. Проективные группы, в полях тяготения (II) /А. В. Аминова // Гравитация и теория относительности. - 1971. - № 8. - С. 14-20.

[11] Аминова А. В. О бесконечно малых преобразованиях, сохраняющих траектории пробных тел/А. В. Аминова // Препринт ИТФ АН УССР. Киев. - 1971. - С. 71-85.

[12] Аминова А. В. Проективно-групповые свойства некоторых римано-вых пространств /А. В. Аминова // Тр. Геом. семин. ВИНИТИ АН СССР - 1974. Т. 6. С. 295-316.

[13] Аминова А. В. Группы проектиеных и аффинных движений в пространствах общей теории относительности /А. В. Аминова // Тр. Геом. семин. ВИНИТИ АН СССР - 1974. Т. 6. С. 317-346.

[14] Аминова А. В. Проективные группы в пространствах-временах, допускающих два постоянных векторных поля/А. В. Аминова // Гравитация и теория относительности. - 1976. - № 10. - С. 9-22.

[15] Жукова Л. И. Римановы пространства с проект,иеной группой / Л. И. Жукова // Учен. зап. Пензенск. пед. ин-та. - 1971. - Т. 124. - С. 13-18.

[16] Жукова Л. И. Проективные преобразования в римановых пространствах (изотропный случай) / Л. И. Жукова // Учен. зап. Пензенск. пед. ин-та. - 1971. - Т. 124. - С. 19-25.

[17] Жукова Л. И. О группах проект,иены,х преобразований некоторых римановых пространств / Л. И. Жукова // Учен. зап. Пензенск. пед. ин-та. - 1971. - Т. 124. - С. 26-30.

[18] Жукова Л. И. Римановы пространства, допускающие проективные преобразования / Л. И. Жукова // Изв. вузов. Матем. - 1973. ..Vo 6. С. 37-41.

[19] Aminova А. V. On geodesic mappings of Riemannian spaces / A. V. Aminova // Tensor. - 1987. - Vol. 46. - P. 179-186.

[20] Аминова А. В. Об интегрировании ковариантного дифференциального уравнения первого порядка и геодезическом отображении римановых

пространств произвольной сигнатуры и размерности/ А. В. Аминова // Изв. вузов. Математика. - 1988. - N. 1. - С. 3-13.

[21] Starks S. A. Kaluza - Klein 5D ideas made fully geometric /S. A. Starks, O. Kosheleva, V. Kreinovich // arxiv:0506218vl. — URL: https://arxiv.org/abs/physics/0506218vl (date of the application: 29.06.2005).

[22] Трунев А. П. Фундаментальные взаимодействия в теории Калуцы -Клейна / А. П. Трунев // Научный журнал КубГАУ. — 2011. — Т. 71, вып. 7. — 27 с.

[23] Bleyer U. Mixed metric perturbation in Kaluza — Klein cosmologies. / U. Bleyer , D. E. Leibscher , A. G. Polnarev // Astron. Nachr. — 1990. - Vol. 311. №3. - P. 151-154.

[24] Bleyer U. Mixed metric perturbations in Kaluza — Klein cosmologies. / U. Bleyer , D. E. Leibscher , A. G. Polnarev // Nuovo Cum. B. — 1991. — Vol. 106, №2. - P. 107-122.

[25] Becerril R. Bonnor solution in five-dimensional gravity. / R. Becerril, T. Matos // Phys. Rev. D. - 1990. - Vol. 41, №6. - P. 1895 - 1896.

[26] Ho Choon - Lin. Wilson line breaking and vacuum, stability in Kaluza -Klein cosmology, j Ho Choon - Lin, Nqkin-Wong // Phys. Rev. D. — 1991. - Vol. 43, №10. - P. 3107-3111.

[27] Guendelman E. I. Kaluza - Klein - Casimir cosmology with decoupled heavy modes. /Е. I. Guendelman // Phys. Lett. — 1988. - Vol. B201, № 1. _ p. 39 41.

[28] Fukui Takao. The motion of a test particle in the Kaluza - Klein-type of gravitational theory with variable mass. / Fukui Takao //Astrophys. and Space Sci. - 1988. - Vol. 141, № 2. - P. 407-413.

[29] Wesson P. S. A physical interpretation of Kaluza - Klein cosmology. /Р. S. Wesson // Astrophys. J. - 1992. - Vol. 394, M. - P. 19-24.

[30] Wesson P. S. The properties of matter in Kaluza - Klein cosmology. /Р. S. Wesson // Mod. Phys. Lett. A. - 1992. - Vol. 7, Ml. - P. 921-926.

[31] Аминова А. В. Псевдоримаповы многообразия с общими геодезическими/ А. В. Аминова // УМН. - 1993. - Т. 48, вып. 2. - С. 107-164.

[32] Постников. М. М. Лекции по геометрии. Сем естр V. Риманова геометрия. / М. М. Постников. - М.: Факториал, 1998. - 496 с.

[33] Шарафутдинов В. А. Введение в дифференциальную топологию и ри-манову геометрию/В. А. Шарафутдинов. учеб. пособие. Новосиб. гос. ун-т. - Новосибирск: ИПЦ НГУ, 2018. - 282 с.

[34] Широков П. А. Тензорное исчисление/ П. А. Широков. - Казань: Изд-во КГУ, 1961.-447 с.

[35] Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси , К. Номидзу. -М.: Наука, 1981, Т. 1-2.

[36] Mikesh J. Differentia], Geometry of Special Mappings/ J. Mikesh. - Palack University, Olomouc, 2019. - 565 p.

[37] Эйзенхарт Л. П. Непрерывные группы, преобразований /Л. П. Эйзен-харт. М.: Ни. лит., 1947. - 358 с.

[38] Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия/ Л. П. Эйзенхарт. - М.: Пи. лит., 1948. - 316 с.

[39] Schur F. Uber den Zusammenhang der Räume konstanter Krümmungs masses mit den projectiven Räumen / F. Schur // Math. Ann., - 1886. - Vol.27, - P. 537-567.

[40] Beltrami E. Teoria fondamentale degli spazii di curvature costante/ E. Beltrami // Ann. di Mat. - 1868. - № 2. - P. 232-255.

[41] Dini U. Sopra una prohlema che si presenta nella teoria generale delle rapprezentazioni geografiche di una superficie su di un'altra / U. Dini // Ann. di Mat. - 1869. - V. 3, № 7. - P. 269-293.

[42] Levi-Civita Т. Sülle trasformazioni delle equazioni dinamiche / T. Levi-Civita // Ann. di Mat. - 1896. - V. 24, № 2. - P. 255-300.

[43] Петров А. 3. О геодезическом отображении римановых пространств неопределенной метрики /А. 3. Петров//, Учен. зап. Казан, ун-та, 1949. - Т. 109, вып. 3. - С. 7-36.

[44] Широков П. А. Избранные труды по геометрии / П. А. Широков//. -Казань: Изд-во КГУ, - 1966. - С. 383-389.

[45] Голиков В. И. О геодезическом отображении полей тяготения общего вида / В. И. Голиков // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. - 1963. - № 12. - С. 97-129.

[46] Кручкович Г. И. Уравнения полуприводим,ост,и и геодезическое соответствие пространств Лоренца, /Г. И. Кручкович // Тр. Всесоюзн. заочн. энергетич. ин-та. - 1963. - Вып. 24. - С. 74-87.

[47] Солодовников А. С. Пространства с общими, геодезическими, / А. С. Солодовников // ДАН СССР. - 1956. - Т. 108. - № 2. - С. 201-203.

[48] Солодовников А. С. Геодезические классы, пространств V (К) / А. С. Солодовников // ДАН СССР. - 1956. - Т. 111. Л" 1. С. 33-36.

[49] Солодовников А. С. Пространства с общими, геодезическим,и, / А. С. Солодовников // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. М.: Изд-во МГУ, 1961. - Вып. II. - С. 43-102.

[50] Кручкович Г. И. О пространствах V (К) и их геодезических отображениях / Г. И. Кручкович // Тр. Всесоюзн. заочн. энергетич. ин-та. -1967. - Вып. 33. - С. 3-18.

[51] Синюков Н. С. О геодезическом отображении римановых пространств на симметрические римановы пространства / Н. С. Синюков // ДАН СССР. - 1954. - Т. 98, № 1. - С. 21-23.

[52] Синюков Н. С. Нормальные геодезические отображения римановых пространств / Н. С. Синюков // ДАН СССР. - 1956. - Т. 111, № 4. -С. 266-267.

[53] Синюков Н. С. Эквидистантные римановы пространства/ Н. С. Синюков // Научи, ежег. Одесса. - 1957. - С. 133-135.

[54] Синюков Н. С. Об одном инвариантном, преобразовании римановых пространств с общими, геодезическими/ Н. С. Синюков // ДАН СССР.

- 1961. - Т. 137, № 6. - С. 1312-1314.

[55] Синюков Н. С. Почти геодезические отображения аффинносвязных и римановых пространств / Н. С. Синюков // ДАН СССР. - 1963. - Т. 151, № 4. - С. 781- 782.

[56] Синюков Н. С. К теории геодезического отображения римановых пространств / Н. С. Синюков // ДАН СССР. - 1966. - Т. 169, № 4. - С. 770-772.

[57] Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств / Н. С. Синюков . - М.: Наука, - 1979. - 225 с.

[58] Königs М. G. Sur les geodetiques integrales quadratiques /М. G. Königs // Прилож. II к G. Darboux. Lecons sur la theorie generale des surfaces. IV.

- 1896. - P. 368-404.

[59] Knebelman M. S. Homothetic mappings of Riemann spaces / M. S. Knebelman // Proc. Amer. Math. Soc. - 1958. - V. 9, № 6. - P. 927-928.

[60] Аминова А. В. Группы преобразований римановых многообразий / А. В.Аминова // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. ВИНИТИ. - 1990. 22. - С. 97-165.

[61] Hicks, Jesse W. Algebraic properties of Killing vectors for Lorentz metrics in four dimensions j Hicks, Jesse W. - All Graduate Plan В and other Reports. 102. - 2011. - 1-90 p.

[62] Dieter Kovacs. The geodesic equation in five-dimensional relativity theory of Kaluza-Klein j Dieter Kovacs // General relativity and gravitation, -1984. - Vol. 16, N. 7. - P. 645-655.

[63] N . Mankoc-borstnik. A systematic examination of 5-dimensional Kaluza-Klein theory with sources consisting of point particles or strings. / N . Mankoc-borstnik and M. Pavsi //II nuovo cimento. - Vol. 99 A, N 4. -

1988. - P. 489-507.

[64] Rcheulishvili G. L. The curvature and the algebra of Killing vectors in five-dimensional space /G. L. Rcheulishvili // Journal of Mathematical Physics 33, - 1992. - P. 1103-1108.

[65] Yano K. On harmonic and Killing vectors/ K. Yano // Annals of Math., 55. - 1952. - P. 38-45.

[66] Coley A. A. Special conformal Killing vector space-times and symmetry inheritance /A. A. Coley , and B. O. J. Tupper //J. Math. Phys. 30, -

1989. - P. 2616-2625.

[67] Gross D. J. Magnetic monopoles in Kaluza-Klein theories /D. J. Gross , M. J. Perry // Nucl. Phys. B226. - 1983. - P. 29-48.

[68] Ashfaque H. Bokhari. Symmetries of static, spherically symmetric spacetimes / Ashfaque H. Bokhari and Asghar Qadir //J. Math.Phys. 28. - 1987. - P. 1019-1022.

[69] Kramer D. Exact solutions of einstein's field equations/D. Kramer , H. Stephani, M. MacCallum and E. Herlt. - Cambridge University Press, Cambridge, - 1980. - P. 690.

[70] Rcheulishvili G.Spherically symmetric line element and Killing vectorsin five-dimensional space /G. Rcheulishvili //. - Preprint ICTP, IC/92/108. Miramare-Trieste 1992. - 1-9 p.

[71] Rcheulishvili G. L. Conformal killing vectors in five-dimensional space / G. L. Rcheulishvili. - URL: https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9312004 (date of the application: 02.12.1993).

[72] ABE O. Gravitational-wave propagation in the five-dimensional Kaluza-Klein space-time /ABE O. // II nuovo cimento. - 1994. - Vol. 109 B, N 6.

- P. 659-673.

[73] Santos J. Classification of second order symmetric tensors in five-dimensional Kaluza Klein-type theories / J. Santos, M. J. Reboucas, and A. F. F. Teixeira // Journal of Mathematical Physics 36. - 1995. - P. 30743084.

[74] Kowalski O. Classification of Generalized Symmetric Riemannian Spaces of Dimension n < 5/0. Kowalski // Rozpravy CSAV, Rada MPV. - 1975. -N85.-61 p.

[75] Rosa Anna Marinosci. Classification of Five-Dimensional Generalized Pointwise Symmetric Riemannian Spaces / Rosa Anna Marinosci // Geometriae Dedicata 57. - 1995. - P. 11-53,

[76] Hall G. S. On the Algebraic Structure of Second Order Symmetric Tensors in 5-Dimensionai Space-times / G. S. Hall, M. J. Rebou as, J. Santos and A. F. F. Teixeixa // General Relativity and Gravitation. - 1996. - Vol. 8, N 9. - P. 1107-1113.

[77] Kokarev S. S. Phantom scalar fields in five - dimensional kaluza- klein theory / S. S. Kokarev // Russmn Physics Journal, - 1996. - Vol. 39, N 2.

- P. 146-152.

[78] Rcheulishvili G. L. Generalized killing lorentz manifold vectors in the five-dimensional /G. L. Rcheulishvili // Theoretical and Mathematical Physics.

- 1997. - Vol. 112, N 2. - P. 995-998.

[79] Fulton T. Rohrlich F. Witten L. Conformal invariance in Physics / T. Fulton F. Rohrlich L. Witten // Rev. Mod. Phys. - 1962. - V. 34, N 3. -442-557 p.

[80] Witten E. Search for a realistic Kaluza-Klein theory /Е. Witten // Nucl. Phys. B. - 1981. - V. 186. - P. 412-428.

[81] Rcheulishvili G. L. Spherically symmetric line element and Killing vectors in five-dimensional space/G. L. Rcheulishvili // TMF, 102:3. - 1995, - P. 345-351.

[82] Varaksin O. L. Integration of dirac equation in Riemannian spaces with five - dimensional group of motions /О. L. Varaksin and V. V. Klishevich // Russian Physics Journal. - 1997. - Vol. 40, N 8. - P. 727-731.

[83] Paiva F. M. Limits of space-times in five dimensions and their relation to the Segre types /F. M. Paiva M. J. Rebouca and A. F. F. Teixeira // Journal of Mathematical Physics 38. - 1997. - P. 4228-4236.

[84] Geroch, R. Limits of Space-timesf R. Geroch // Commun. Math. Phys. 13. - 1969. - P. 180-193.

[85] Luis A. Anchordoqui. Metric tensors for homogeneous, isotropic, 5-dimensional pseudo Riemannian models / Luis A. Anchordoqui ,Graciela s. Birman // Revista Colombiana de Matematicas. - 1998. - Vol. 32. - P. 73-79.

[86] Paulo G. Macedo. New Proposal for a 5-dimensional Unified Theory of Classical Fields of Kaluza-Klein type /Paulo G. Macedo. - URL: https://arXiv:0101121vl.(date of the application: 30.06.2001).

[87] Кречет В. Г. Геометрическая теория электромагнитного поля в пятимерном аффинно-метрическом пространстве / В. Г. Кречет , М. В. Левкоева, Д. В. Садовников // Вестник РУДН, серия Физика. - 2001. -Выпуск 1. X 9. С. 33-37.

[88] Magazev A. A. Casimir functions for five-dimensional lie groups with a поп semi-hausdorff space of orbits /А. A. Magazev // Russian Physics Journal, - 2003. - Vol. 46, N 9. - P. 912-920.

[89] Calvaruso G. Homogeneous Geodesies in Five-Dimensional Generalized Symmetric Spaces /G. Calvaruso and R.A. Marinosci // Balkan Journal of Geometry and Its Applications. - 2003. - Vol.8, N 1. - P. 1-19.

[90] Гладуш В. Д. Пят,u„мерная общая теория относительности и теория Калуцы,-Клейна, /В. Д. Гладуш // ТМФ. - 2003, - Т. 136, N 3. - С. 480-495.

[91] Reboucas M.J. Classification of Energy Momentum Tensors in n > 5 Dimensional Space-times: A Review/ M.J. Reboucas, J. Santos, and A.F.F. Teixeira // Brazilian Journal of Physics. - 2004. - Vol. 34, N 2A. - P. 1678-4448.

[92] By Jrnos Kolldr. Einstein Metrics on Five-Dimensional Seifert Bundles / By Jrnos Kolldr // The Journal of Geometric Analysis. - 2005. - Vol 15, N 3. _ p. 445-476.

[93] Mohanty G. Five dimensional cosmological models in Lyra geometry with time dependent displacement field/ Mohanty G., K.L. Mahanta, B.K. Bishi // Astrophys Space Sci. - 2007. - Vol. 310. - P. 273-276.

[94] Aydin Gezer. On infinitesimal conformal transformations of the tangent bundles with the synectic lift of a Riemannian metric/Aydin Gezer // Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.). - 2009. - Vol. 119, N 3. - P. 345-350.

[95] Киселев А.С. Космологическая проблема в пятимерном пространстве- врем,ени/ А.С. Киселев // Ярослав, иед. вести. Сер. Физико-математические и естественные науки. - 2010. Вып. 1. - С. 64-67.

[96] Киселев А.С. Космологиче екая проблема в пятимерном пространстве Римана - Вейля с идеальной жидкостью / А.С. Киселев, В.Г. Кречет // Ярослав пед. вести. - 2011 - Том 3, N 1. (Естественные науки). - С. 37-41.

[97] Kiselev A. S. Static distributions of matter in the five-dimensional riemann-weyl space j A. S. Kiselev, V. G. Krechet // Russian Physics

Journal. - 2012. - Vol. 55, N 4. - (Russian Original. - 2012. - N 4). - P. 417-425.

[98] Arkadiusz Jadczyk. START in a five-dimensional conformal domain j Arkadiusz Jadczyk. - URL: littps: arXiv: 1111,5540v2. (date of the application: 28.11.2011).

[99] Dacko Piotr. Five dimensional almost para-cosymplectic manifolds with contact ricci potential / Dacko Piotr. - URL: https://arxiv.org/abs/1308.6429.(date of the application: 29.08.2013).

[100] Mikesh J. A five-dimensional Riemannian manifold with an irreducible SO(3)-structure as a model of abstract statistical manifold / J. Mikesh, E. Stepanova // Ann Glob Anal Geom. - 2014. - Vol. 45. - P. 111-128.

[101] Pan Yiwen. Rigid supersymmetry on 5-dimensional Riemannian manifolds and contact geometry /Pan Yiwen. - URL: http://arxiv.org/abs/1308.1567v4.pdf (date of the application: 29.05.2015).

[102] Dumitrescu T.T. Exploring curved superspacef T.T. Dumitrescu , G. Festuccia, N. Seiberg. - URL: http://arxiv.org/abs/1205.1115v2.pdf (date of the application: 27.06.2012).

[103] Ladke L. S. Five Dimensional Exact Solutions of Bianchi Type-I SpaceTime in f (R,T) Theory of Gravity / L. S. Ladke, V. K. Jaiswal, R. A. Hiwarkar // International Journal of Innovative Research in Science,Engineering and Technology. - 2014. - Vol. 3, Issue 8. - P. 1533215342

[104] Буданов K.M. Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения вейля второго порядка со связностью полного лифта /К. М. Буданов, А.Я. Султанов // Известия вузов. Математика. - 2015. - N. 12. - С. 3-13.

[105] Pini Alessandro. Rigid supersymmetry from conform,a,I supergravity in five dimensions j Alessandro Pini, Diego Rodriguez-Gomeza, Johannes

Schmudea. - URL: http://arxiv.org/abs/1504.04340v3.pdf (date of the application: 2.09.2015).

[106] Abdelghani Zeghib. On discrete projective transformation groups of Riemannian manifolds j Abdelghani Zeghib // Advances in Mathematics 297. - 2016. - P. 26-53.

[107] Fialowski Alice. The moduli space of complex 5-dimensional Lie algebras j Fialowski Alice, Michael Penkava // Journal of Algebra 458. - 2016. - P. 422-444.

[108] Rodroguez-Vallarte M.C. 5-dimensional indecomposable contact Lie algebras as double extensions j Rodroguez-Vallarte M.C., G. Salgado // Journal of Geometry and Physics 100. - 2016. - P. 20-32.

[109] Gall L. Five-dimensional vector multiplets in arbitrary signature / Gall L. and T. Mohaupt. - URL: https://doi.org/10.1007/JHEP09(2018)053.pdf (date of the application: 10.09.2018).

Список публикаций автора по теме диссертации

Работы, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях (в соответствии с Перечнем ВАК по специальности 01.01.04):

[ 1 ] Khakimov, D.R. On projective motions of five-dimensional spaces of special form / A.V. Aminova, D.R. Khakimov// Russian Mathematics.

- 2017. - Vol. 61, N 5. - P. 83-87.

[ 2 ] Khakimov, D.R. Projective group properties of h-spaces of type {221} / A.V. Aminova, D.R. Khakimov // Russian Mathematics. - 2019. - Vol. 63, N 10. - P. 76-82.

[ 3 ] Khakimov D.R. On the properties of the projective Lie algebras of rigidh-spaces H32 of the type {32} /A.V. Aminova, D.R. Khakimov // Uchenye Zapiski KazanskogoUniversiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki. -2020. - Vol. 162, N 2. - P. 111-119. - (In Russian).

Работа, принятия к печати в ведущием рецензируемом научном, журнале (в соответствии с Перечнем ВАК по специальности 01.01.04):

h

пространств H221 типа {221} /А. В. Аминова, Д. Р. Хакимов // Известия вузов. Математика. - Принято к печати 30.03.2021.

Работы, опубликованные в других ведущих рецензируемых журналах (в соответствии с Перечнем ВАК по смежным специальностям):

[ 5 ] Хакимов Д. Р. О проективных движениях 5-мерных пространств. I. H

странство, время и фундаментальные взаимодействия. - 2018. - N 4.

- С. 21—31.

[ 6 ] Хакимов Д. Р. О проективных движениях 5-мерных пространств. II. H-пространства типа {41} /А. В. Аминова, Д. Р. Хакимов // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. - 2019. - N 1. _ с. 45-55.

[ 7 ] Хакимов Д. Р. О проективных движениях 5-мерных пространств. III. H-пространства типа {5} /А. В. Аминова, Д. Р. Хакимов // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. - 2019. X 1. С. 56-66.

[ 8 ] Хакимов Д. Р. H-пространства (H4g) типа {41}: проективно-групповые свойства/ А. В. Аминова, Д. Р. Хакимов// Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. - 2019. - N 4. - С. 4—12.

[ 9 ] Хакимов Д. Р. Проективно-групповые свойства ^-пространств H5 типа {5} /А. В. Аминова, Д. Р. Хакимов // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. - 2020. X 1. С. 4-11.

Работы, опубликованные в материалах конференций:

[ 10 ] Хакимов Д. Р. О проективных движениях пятимерных пространств специального типа/А. В. Аминова, Д. Р. Хакимов // Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии, посвящённая юбилеям выдающихся профессоров Казанского университета, математиков Петра Алексеевича и Александра Петровича Широковых - Казань, 2016. - С. 91.

[ 11 ] Хакимов Д. Р. Об интегрировании уравнения Эйзенхарта и h-простран-ствах типа {221} /А. В. Аминова, Д. Р. Хакимов// Современная геометрия и её приложения: междунар. науч. конф. - Казань, 2017. - С. 17.

[ 12 ] Khakimov D. R. Connection forms of h-spaces of the types {32}, {41} and {5} in skew-normal frames /A. V. Aminova , D. R. Khakimov // The actual problems of teaching mathematics and natural sciences in

the training of credit system: materials of the international scientific and practical conference. -Kurgan-Tyube State University after Nosira Khusrava, 2018. - P. 8-12.

h

the type {32} /А. V. Aminova, D. R. Khakimov // Нелинейные модели в механике, статистике, теории поля и космологии: VI11-й Международный научный семинар (GRACOS-18). - Казань, 2018. - С. 110.

[ 14 ] Хакимов Д. Р. Об интегрировании уравнения Эйзенхарта в случае характеристики {41} неизвестной билинейной формы /Д. Р. Хакимов // Лобачевские чтения - 2018: XVII Всероссийской молодежной школы-конференции. - Казань, 2018. - С. 300-302.

[ 15 ] Khakimov D. R. On five-dimensionsl spaces with projective symmetries /A.V. Aminova, D.R. Khakimov // Program and abstracts of the 4(25) International Winter School-Seminar on Gravity, Astrophysics and Cosmology «Petrov School». - Казань, 2018. - С. 28.

[ 16 ] Khakimov D. R. On the first quadratic integrals of geodesic equation and projective motions of 5-dimensional pseudo-Riemannian manifolds /А. V. Aminova , D. R. Khakimov // Классическая и современная геометрия: международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В.Т. Базылева / под ред. А.В. Царева. - М. 2019. - С. 154.

[ 17 ] Khakimov D. R. On symmetries of five-dimensional spaces/ D. R. Khakimov // III Симпозиум Ассоциации стран БРИКС по гравитации, астрофизике и космологии. - Казань, 2019. - С. 42.

h

А. В. Аминова, Д. Р. Хакимов // Современная геометрия и ее приложения - 2019: сборник трудов международной научной конференции. - Казань, 2019. - С. 6.

h

Р. Хакимов // Лобачевские чтеиия-2019: XVIII Всероссийская молодежная школ а-конференция. - Казань, 2019. - С. 203.

[ 20 ] Хакимов Д. Р. Негомотетичекие проективные движения в жестких Н-пространствах типа {221} / Д. Р. Хакимов // Лобачевские чтения -2020: XIX Всероссийская молодежная школ а-конференция. - Казань, 2020. - С. 110-112.

[ 21 ] Хакимов Д. Р. О проективных алгебрах Ли жестких Н-пространств Н5 типа {5} /А. В. Аминова , Д. Р. Хакимов // Актуальные задачи математики и её преподавания: материал республиканской научно -практической конференции / Бохтар гос. ун-ет им. Носира Хусрава. -Бохтар, 2020. - С. 10.