Обобщенные функции Малкина и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Михайленко, Борис Александрович

• Михайленко, Борис Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Михайленко, Борис Александрович

Первая

глава диссертации состоит из 5 параграфов. В первом параграфе изложены некоторые понятия и факты из теории мер некомпактности и уплотняющих операторов, которые приведены в удобной для дальнейшего изложения адаптации.

Во втором параграфе сформулирована и доказана теорема о бифуркации решений из одномерного многообразия решений предельного уравнения в случае гладких операторов и простого собственного значения. Подробнее, рассматривается задача о нахождении условий, при которых операторное уравнение в банаховом пространстве Е имеет при достаточно малых значениях параметра £ решения, близкие к предельным решениям этого уравнения при е — 0. Пусть Р : Е —>■ Е имеет две непрерывные производные в смысле Фреше; Q : Е х [0Л] —> Е непрерывно д ифф.еран ц-и руем а—пе—каждо й^13~тгерШшных7~Т1 ре д 11 о л агается, что уравнение Р{х) = 0 имеет одномерное множество решений Xq(6). параметризованное параметром 0 £ [0.7"]. Т > 0. существует Tq(6>). и х'{](6) ф- 0. Пусть также 0— простое собственное значение оператора P'(xq(6)). а оператор [1 — Р'(хп(0))] является уплотняющим с константой q < 1 по мере некомпактности Хаусдорфа.

Тогда можно определить обобщенную бифуркационную функцию Малкина М[0. Т} —> R соотношением де скобками (с. г) обозначен результат действия функционала 2 из сопряженного пространства Е* на элемент с пространства Е, а через го(в) — собственный вектор сопряженного оператора (Р'^го(#)))*. Тогда существует производная М'(9).

Справделива следующая теорема.

Теорема 1. Для всякого значения во Є [0. Т]. такого что М(во) = 0 а М'{во) т^ 0. уравнение Р{х) + еС}{х.е) — 0 разрешимо в некоторой окрестности; точки хо(Оо). и решение имеет вид

Р(х) + eQ(x. є) =

M(e) = (Q(x0(e).0).z0(6)). где г = 1.т. эквивалентно .условию 5у € !)/,• для достаточно малого 6 > 0. Аналогично, можно определить 21 векторов (С1 • С-2 • ■ • С/) • С £ { — 1 • 1}. г = 1. А, и ] = 1. 2/. таких что условие го(<9о))>С/ >0, где 77,(х'о(^о)) — ориентированные нормали к поверхностям М®. г = 1. . /.эквивалентно условию ¿и € Д7 для достаточно малого <5 > 0.

Наконец, рассматриваются два семейства векторов, определяющих области Оь и Д?. соответственно: е{'.4,.е*„) : е} € {-1;1},г = 1. 2. . ?п; /с = 1.2. .2/?/.}.

С1 • С-2 ■ ■ ■ • С/) : С/ £ { — 1.1}. г = 1.2. .1\ ] = 1. 2. 2/}.

Всякое непустое подмножество предыдущих семейств определено подмножеством множсств индексов ./,, 11 {7гч}7ч = 1""'ч; соответственно, где 1 < гр < 2т и 1 < гч < 21. Установлено, что есть собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению для всех Р'к(гп(в)).к = 1.2???. и для в, достаточно близкого к во. В дальнейшем также предпола!ается. что

А4) нулевое собственное значение операторов Р'к (,то(#)). к = 1. .2т. является простым.

Аналогично первому параграфу. каждой производной Р[.(хо(в)).к = 1.2т. можно поставить в соответствие проектор Рисса тг/,.(0) : К" —> ьрап(л:()(0)). заданный формулой 7Тк(в)и — (у,21-(0)):и'о(в). где это собственный вектор, соответствующий простому нулевому собственному значению сопряженного оператора (Р[.{х0(9))У, для которого (х'0(в). г/Дб*)) = 1.

Обобщенные функции Малкина Мк]{0) определяются следующим образом: где к = 1. . 2 ?7 л and j = 1.21. Производные М'к (0) существуют в интересующих нас областях.

В условиях А1)-А4). описанных выше, сформулирован и доказан основной результат раздела

Теорема 2. Пусть существует такое знамение Oq 6 [0,1]. что xo(9(i) е Г> П Гд. числа 1 < гр < 2т, 1 < rq < 21 и индексы {klp}lp=1 lp.{jt4},4=i v что для любых k е {klp}lp=i .,р и j £ {jiq}iq=i г, следуюг^ие условия выполнены:

1 Kh(00)QJ(x0(00).0)=0:

2. оператор п{ва)Р'к'(х0{в0))у1щ{в0) + щ (Wy(1)M£o). 0)тгА (0О) обратим,;

3. {iu'k. n,(zo(0o)))ei > 0. г 1. m. u

1п,Ы0оШ! >0. / • : 1./. wl = У I + 4

Тогда существует локальное решение уравнения Р(х) + sQ{x, е) = 0; определенное соотношением xi ¡(е) = + +

Далее сделано замечание о представлении условий Теоремы 2 в терминах бифуркационной функции Малкина. Также показано, что векторы wJk. которые задают "нагіравление"решениям х^^(є). могут быть явно вычислены по заданным формулам.

В четвертом параграфе сформулирована и доказана теорема о бифуркации решений из многообразия решений предельного уравнения в случае, когда собственное значение не простое, и существуют присоединенные к собственному векторы. Рассматривается более общее, чем в предыдущих случаях, бифуркационное уравнение вида

Р{х.є)+єО{х,є) = 0. (4) где Е— банахово пространство. Р : Е х [0.1] —» Е и Q : Е х [0. 1] —> Е. Пусть уравнение Р(х.О) = 0 имеет одномерное многообразие решений Г = {х(9) : в Є [0.7"]}. іде Т Є К— некоторая постоянная, т.е. Р(х(в),0) = 0 при всех в Є [0, Т\.

Предполагается, что операторы Р и Q удовлетворяют следующим условиям: cl) операторы Р и Q непрерывны по совокупности переменных в окрестности множества Г х [0. 1]; с2) существуют первая и вторая производные Р^{х. г) и P"L ^(.т. г) оператора Р по первому аргументу в окрестности множества Г при всех £• Є [0. 1]. непрерывные по совокупности переменных в окрестности множества Г х [0. 1]; сЗ) существует первая и вторая производные Р'^(х(в).є) и Рр^(х(в).є) оператора Р по второму аргументу при всех є Є [ОД], непрерывные по е: с4) существует смешанная вторая производная оператора Р![,Мв).,0): с5) существует производная по первому аргументу в окрестности Г при всех с £ [0.1]. непрерывная по совокупности переменных в окрестности множества Г х [0.1]: сб) существует производная по второму аргументу С}'^(х(0).О).

Предполагается также, что сТ) функция х(в) дважды дифференцируема при всех 9. и

АО) Ф о.

Все производные здесь и далее понимаются в смысле Фреше.

Очевидно, 0— собственное значение оператора Р^(х(в),0). Пусть оператор / — Р'^(х(в).0) является д—уплотняющим по мере некомпактности Хаусдорфа с константой с/ < 1. Тогда ноль - собственное значение конечной кратности оператора Р^(х(в), 0). Пусть это собственное значение реализует конечную кратность посредством единственного с точностью до линейно зависимости собственного вектора х'(в). обозначенного через ео(9). и присоединенных к нему векторов = 1. ?77. то есть

Р11](х(в).,0)е1](в) = 0 и Р^(х(в). 0)е/(в) = е?^(9)-.1 = 1, -т.

Существует единственный с точностью до линейной зависимости собственный вектор 2()(6|) и присоединенные векторы г^б),] = 1. . 772 оператора (Р^(х(в).0))х. отвечающие нулевому собственному значению.

Корректно определены проекторы Рисса тт(в) на собственное инвариантное подпространство, отвечающие нулевому собственному значению оператора Р^(х(9). 0). действующие на произвольный элемент 1г £ Е по правилу

-ГШ-V—/т „ - > —-—-— етД0). (е„7Д0); гД£))

Пусть через СУ]{9),] = 0 .777, обозначены коэффициенты в разложениии е'п{0) в сумму е'0(9) = ао(9)е0(9) -Ь + у{®)где у (9) Є Ел{9). Пусть 7ї(вЩ])(х(9).0)е0(9). \ъ(0)Р1{1)Ш-0ЫвЫ9)+7т(9)д{ l)(x(9).0)y0(9)+7^(9)Q{2){x(9).0)., где через Р^(х(9). 0)|(/7Г((5))£ обозначено сужение оператора Р'щ(х(в). 0) на подпространство (/ — 7г(в))Е.

Огіредяется обобщенная многомерная бифуркационная функция Малкина

3=1 J=і

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (cl)-(c7). Пусть 9q Є [О.Т]— такое значение параметра, при котором

TT{9(])(Q{X{9[]).0) + Р('2)(х(0п).О)) = 0.

Если уравнение

Мв{Ао, Ais .,Am) = разрешимо относительно AJ: j = 0. т. и для его решения ••• А hn) выполнено у слов ае д д det [тгг-Щ (// 0, fh ■■■■ l-i,n). ^— мва (/-¿0 ■/';:••: Мш)] ф 0: СЛо см,,, то уравнение (4) имеет пр'и малых е pemewue вида аг = .г(<90) + адео(0о) + <т2 ^ + ^о(^о) + 0(с3), гс^е О (V3) — бесконечно малая величина порядка s3.

В пятом параграфе приводится пример несовпадения структур собственных инвариантных подпространств, отвечающих единичному-собственному значению оператора сдвига по траекториям линеаризованной порождающей системы и производной интегрального оператора, построенного по периодической задаче для этой системы. Доказана теорема о построении нового эквивалентного такой задаче оператора, относительно структуры собственного инвариантного подпространства которого все известно.

Пусть неподвижные точки уо интегрального оператора Е : Е —>• Е. где Е—банахово пространство, определяют Т— периодические решения уравнения х - /(¿.гг). оператор Е дифференцируем по Фреше, и его производная, вычисленная в точке г/о. является вполне непрерывным или <7—уплотняющим относительно меры некомпактности Хаусдорфаконстантой д < 1 оператором. опре11еляюпди.м Т— периодические решения линеаризованного на периодическом решении уравнения. Известно и активно используется большое количество операторов, обладающих указаннымиойствами. Некоторые из них описаны в [12. 204-206] и [9. 197-198].

Предполагается, что линеаризованная на периодическом решении .то система имев! Г—периодическое решение .г'о и присоединенные решения Флоке. Справедлива теорема.

Теорема 4. Существуют линейные непрерывные операторы В : Е —>• Е и £ : 1т,{В) —> Е. где 1т,(В) это образ оператора В. тахие чт,о сНт(1гп(В)) < ос. оператор £В вполне непрерывен. 1 ^ а(В^). п, для оператора

Е = Е — ^В(Е — I) справедливо, что Еуо — уо. а та,клее Е'(уо)уо - г'о и — г:) = ■■•иг- где V)— периодические составляющие присоединенных решений Флоке.

Вторая

глава посвящена приложениям общих теорем о бифуркации, полученных в предыдущей главе, к вопросам о бифуркации периодических решений для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром и состоит из 3 параграфов.

В первом параграфе рассматривается бифуркация периодических решений из цикла для уравнений с переменной структурой. Пусть дана двумерная система дифференциальных уравнений

- где функции / : К2 ->й2и(/:1х К2 х [0. 1] М2. параметр є Є [0; 1]. Пусть уравнение (5) при £ = 0 имеет Т—периодический цикл хо. через Г обозначено множество сдвигов этого цикла : в Є [0. Т]}. і де .Тд (■) = х0(- + в), и через Д - множество {х0(0 : і Є [0. Г]} С М2. через Д+ — область плоскости, находящаяся внутри кривой Д. а через Д~ — область плоскости вне Д. Пусть функция / такова, что где функции /+ и /" дважды непрерывно дифференцируемы на своих областях определения. Для простоты также предполагается, что функция д непрерывна по совокупности переменных и непрерывно дифференцируема по второму и третьему аргументам.

При с = 0 линеаризованная на цикле система (5) имеет периодический цикл .Гд. Предполагается, что не существует других периодических решений этой системы, линейно независимых с ±0-Определены обобщенные бифуркационные функции Малкина получены условия бифуркации периодичесих решений для уравнения (5) при малых значениях е. В рассматриваемой ситуации возможно х{1) = ¡{х)+єд(і.х.є), ; (,т). если х Є Д /"(х). если х Є Д

М±(0) = 0);0).=±(в)). как существование от 1 до 2 бифуркационных решений, так и их отсутствие.

Во втором параграфе доказан принцип усреднения для быстро осциллирующих систем с вырожденным средним. Рассматривается уравнение где А— невырожденная п х п—матрица с постоянными коэффициентами, / : М1 х М/? —> К"— непрерывная и Т—периодическая по первой переменной и дважды дифференцируемая по второй переменной функция, причем её производные непрерывны по совокупности переменных, малый параметр £ 6 [0.1].

Предполагается, что усредненное уравнение имеет одномерное связное многообразие положений равновесия : в Є [0. 1]}, и существуют первая и вторая производные х$(9) и х'0(в) по в. причем х'0(в) ф 0.

Сформулирован принцип усреднения, полученныйиспользованием частногоучая теоремы 3 при операторе Р. не зависящем от

Третий параграф содержит формулировку и доказательство теоремы о бифуркации периодических решений из цикла предельного уравнения в случае наличия присоединенных векторов к собственному вектору, отвечающему единичному собственному значению оператора сдвига за период по траекториям линеаризованной на цикле системы. Расс м атр и в ается у равнение т = є Ах + є ¡(і, х), х = ср(х) + єіь(і,х,є), где (р \ М" —> Ж" — дважды непрерывно дифференцируемая функция. ф : Е х 1" х [0.1] —> К"—непрерывная по совокупности переменных, непрерывно дифференцируемая по второй и третьей переменным и Т~ периодическая по первой переменной функция, с—малый параметр. Предполагается, что порождающая (при £ = 0) система х — (f(x) имеет цикл ^о(-) периода Т. В силу автономности уравнения сдвиги ,то(- + в) также являются его Т—периодическими решениями. Пусть линеаризованная на цикле система х = (p'(xo(L + в))х имеет при всех 9. помимо решения х'0(9). присоединенные к нему решения Флоке при всех 0. В данном разделе указаны условия на возмущение ф. при выполнении которых из некоторой точки цикла, соответствующей некоторому 9q. рождается непрерывная по £ вегвь Т—периодических решений уравнения (8). и даны формулы для вычисления главного члена разложения по е таких решений.

Все условия теоремы 3 (для случая оператора Р. не зависящего от г) оказываются выполненными. Как и в случае принципа усреднения, построена многомерная обобщенная бифуркационная функция Мал кипа. Основной результат раздела получается применением теоремы 3.

В третьей главе, состоящей из пяги параграфов, исследуется бифуркация периодических решений из цикла невозмущенного уравнения для уравнения нейтрального типа с малым запаздыванием x'(t) = f{x(t).ix(t-£h))+ax/(t-£h)+£g(t./x(t).x(t-£h))£)+cb(t)x,(t-Eh). где функции / : М" х R" ~> R" и ry : R х М" х R" х [0. 1] непрерывны по совокупности переменных и удовлетворяют условию Липшица по первому и второму аргументам, соответственно, а это п х п— матрица с ||а|| < q < 1. матрица b(t) непрерывно дифференцируема по аргументу, h > 0 и г Е [0. 1]. Для получения желаемого результата требуется определить оператор сдвига по траекториям такого уравнения в пространстве более широком, чем пространство непрерывных функций, а именно в пространстве Н][—Н, 0] абсолютно непрерывных функций с образами в К", определенных на промежутке [—/г.0]. производная которых принадлежит пространству Ьо[—/г.0]. В первом и втором параграфах доказаны корректность определения оператора сдвига и свойства непрерывной зависимости от параметра и начального условия и необходимой гладкости по пространственной переменной и параметру.

В третьем параграфе описывается построение конструкции, позволяющий применить к рассматриваемой задаче теорему о бифуркации из параграфа 3 главы 1. Пусть через И4 обозначен оператор сдвига из 0 в 'Г вдоль траекторий уравнения (9). определенный соотношением (ИЛг<р)(£) = х(Т + £ [—/г.0]. где х— решение уравнения (9) с начальным условием х(Ь) = ф(Ь) при / 6 [—1'1.0]. Пусть и (в) : 0] НЦ-Н.О}- оператор сдвига из 0 в Т вдоль траекторий уравнения действующий по правилу и{в)д){г) = у{Т + 0 + 1). £ е [—/г.0]. где ¿'—решение начальной задачи для уравнения (10) с начальным условием у{{) = I 6 [-/г.0].

Так как уравнение (10) - это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение, то можно записать равенство ([/©)(£) = ф(Т + /)©(0). I е [-/}-, 0]. где Ф- фундаменатльная матрица, нормальная в нуле, системы

2/(0 = (/ - аУ\Г{1)(хМ^о(0) +

Пусть уравнение (10) имеет единственное с точностью до линейной зависимости Т—периодическое решение и присоединенные к нему решения Флоке до порядка т включительно. Тогда Ф(Т) имеет собственный вектор, отвечающий единичному собственному значению, и присоединенные к нему векторы до порядка т. т < п. при этом геометрическая кратность единичного собственного значения равна т + 1. Доказано, что это свойство "наследуется"оператором £7, и, таким образом, единичное собственное значение эгого оператора имеет конечную кратность, которая, согласно нашим предположениям, равна т + 1.

Построена обобщенная функция Малкина. Показано, что все объекты, используемые в теореме 3. определены корректно, и все условия теоремы выполнены.

В четвертом параграфе приведено вычисление собственного и присоединенных векторов сопряженного оператора, которые необходимы для вычисления проекторов Рпсса и получения бифуркационных условий и явного вида ветви бифуркационных решений. В пятом параграфе описаны способы вычисления всех пределов и производных, фигурирующих в формулировке теоремы 3.

Глава

Абстрактные теоремы о бифуркации из многообразия решений предельного уравнения

В данной главе приведены абстрактные теоремы о бифуркации решений операторного уравнения с малым параметром в банаховом пространстве из многообразия решений предельного уравнения в случае гладких и негладких операторов.

1.1 Некоторые понятия и факты из теории мер некомпактности и уплотняющих операторов

Приведем некоторые определения и теоремы теории мер некомпактности и уплотняющих операторов в удобной для нас формулировке, которые будут часто использоваться в дальнейшем.

Определение 1. (см. п. 1.1.2 из [9]) Мерой некомпактности Хаусдорфа ^(П) .множества О называется анфимум тех d > 0. при которых О имеет в Е ■конечную d - сеть.

Определение 2. (см. ¡9]) Оператор Fq : Ü —> Е называется уплотняющим отностительно меры неколтактности Хаусдорфа с произвольной константой q > 0. если x{Fq{CI)) < qxify-, ¿де Q с U. а х - мерсі; некомпактности Хаусдорфа.

Определение 3. (см. ¡9J) Оператор F : Н х U —» Е называется уплотняющим по совокупности переменных относительно меры некомгшктности Хаусдорфа с произвольной константой q > 0. если х(і?([0. 1] х Q)) < qx{Q). где О С U. а х ~ мера некомпактно сти Хаусдорфа.

Теорема 5 (см. п. 1.5.9 в |9]). Производная Фреше F'(x) уплотняющего относительно меры, некомпактности Хаусдорфа с произвольной константой q > 0 оператора является, уплотняющим относительно меры некомпактно сти Хаусдорфа с константой q > 0 оператором.

Теорема 6 (см. п. 1.5.7 в |9]). Пусть операторы, семейства f — {J\ : Л Є А} непрерывны, и допускают, диагональное представление f\{x) - Ф(Л. х, х) через оператор Ф : Л х М х Е\ —> Ео (Ег и Е'2 — банаховы пространства, М С Е\ и Л— произвольное множество). Пусть при, любом у Є Е\ множество Ф(Л х М{у}) вполне ограничено, а при, любых Л Є А и х Є М оператор Ф(Л.х'.-) удовлетворяет условию Липшица с константой q < 1. не зависящей от Л и х. Тогда се,м,ейство f является, уплотняющим относительно меры некомпакптности, Хаусдорфа, с константой, q.

Справедливо следующее следствие Теоремы

Следствие 1 (см. п. 1.5.8 в [9]). Су міма вполне непрерывного и, сэюимающего операторов fi.fo Е\ —> Е2 на любом ограниченном .множестве М Є Е\ является уплотняющим по мере Хаусдорфа оператором,.

Теорема 7. Пусть Е— ба,пахово пространство. А : Е —> Е— вполне непрерывный оператор. Тогда уравнение х — Ах = у при, данном у Є Е разрешимо тогда и только тогда, когда для любого ф є Е* из равенства, ф — А*ф = 0 следует,, что (у,ф) = О.

Теорема 8 (см. [9]). ЕІусть оператор Е уплотняет, с константой q < 1 относительно меры некомпактност,и Хаусдорфа. Тогда все точки его спектра, лежащие в комплексной плоскости вне круга радиуса, q с центром в нуле, являют,ся собственными значениям,и конеиной кратности.

Из теоремы 8 и альтернативы Фредгольма следует следующее утверждение.

Теорема 9. Пусть F уплотняет с констамтой q < 1 относительно меры, неколтактпости Хаусдорфа. Тогда вне круга радиуса c¡ < le комплексной плоскости все точки спектра сопряженного оператора F* .являются собственными значениями конечной кратности. равной кратности сответствующего собственного значения, оператора F.

Пусть оператор Е : 0 —» Е уплотняет относительно меры некомпактности Хаусдорфа с константой q < 1.

Определение 4. Говорят, что на множестве U С Е задано уплотняющее векторное поле Ф. если каждой, точке х Є U сопоставлен вектор Фх = (/ — F)x из Е; где I - тождественный оператор.

Каждому невырожденному на 8U уплотняющему непрерывному векторному полю может быть приписана целочисленная характеристика 7(Ф. U). называемая вращением поля Ф на dU. Сформулируем основные свойства вращения: Io. Гомотопные на 8U поля имеют одинаковое вращение. 2°. Пусть уплотняющее непрерывное векторное поле Ф определено и невырождено на множестве 0'\ У [/?. причем области 11] попарно не пересекаются и лежат в ограниченной области и. Тогда вращения 7(Ф.[/у) отличны от нуля лишь при конечном числе индексов и точку в и.

Характеристику у(Ф.и) также называют индексом неподвижных точек оператора і7 и обозначают через іпсІ(Е. и).

Введем также обозначения, которые будут использоваться на протяжении всего текста.

1. Через 5рап{Ь)}п л будем обозначать линейную оболочку, натянутую на набор векторов

2. Через (х.у)н будем обозначать скалярное произведение элементов х Є И .у є И в случае гильбертова пространства Н или результат применения функционала у Є Н" к элементу х Є Н в случае банахова пространства Н. В разделах, на протяжении которых идет речь о единственном пространстве Н. индекс Н мы будем опускать и писать просто (х.у).

3. Через [В]е1 будем обозначать сужение оператора В : Е —> Е на подпространство Еі С Е.

4. Через (т(.4) обозначим спектр линейного непрерывного оператора

7(ф: и) = 7(Ф, и і) + . + 7(Ф, и,) +

1. если Х() Є и, 0; если х'о ^ и.

1.2 Бифуркация из одномерного многообразия решений в случае гладких операторов и простого собственного значения

В этом разделе мы сформулируем условия, при которых уравнение в банаховом пространстве Е имеет при достаточно малых значениях параметра 5 решения, близкие к предельным решениям этого уравнения при г = 0. Пусть Р : Е —> Е имеет две непрерывные производные в смысле Фреше: С? : Е х [ОД] —> Е непрерывно дифференцируема по каждой из переменных. Предположим, что уравнение Р{х) = 0 имеет одномерное множество решений Хо(в). параметризованное параметром 9 £ [0;Т]. Т > 0, существует

§{9). и х'0(9) ф 0. Пусть также 0 £ сг(Р'(хо(9))) — простое собственное значение, а оператор [I — Р/(:/;0(6'))]— является уплотняющим с константой с/ < 1 по мере некомпактности Хаусдорфа.

Определим обобщенную бифуркационную функцию Малкина А/[0. Г] —» К соотношением где через го(9) обозначен собственный вектор, отвечающий нулевому-собственному значению оператора (Р1 (хо(9)))ж. Далее будет показано, что существует производная М'(9).

Справделива следующая теорема.

Теорема 10. Для всякого значения 9о Є [0.Т]. такого что М(во) = 0 и М'{9о) Ф 0. уравнение Р(х) +єС}(х.є) = 0 разрешимо в некоторой окрестности точки хо(9о). и решение имеет вид х(є) = .то(^о) + ~ги + 0(є2). где 0(с2)— бесконечно .малая величина порядка с2. При этом вектор ги может быть вычислен в явном виде.

Р{х) + єд(х.є) =

М(в) = (Я(хо(9),0).=о(в)),

Очевидно. Р' {хо{9))х'{](9) — 0. В силу теоремы 8. нулевое собственное значение является собственным значением конечной кратности. Тогда. вследствие его простоты, собственное подпространство. отвечающее нулю. есть зрап{х'0(в)) = {ах'^в) :аб!}.

Представим Р'{х0{в)) = / — (/ — Р'(хо(в))): заметим, что 1 € сг(/ — Р'(х(] {$))) — простое собственное значение, поэтому справедливо разложение пространства: Е — Ь(х'0(9)) ф Ео(в). где Р'(х0(в)Е0(в) С £7О(0)).

Следовательно. корректно определены проекторы Рисса т\(хо(9)) : Е —> Ь(х'0(9)). действующие по правилу {К го(в))х'0(9) тт{х0(0) /г = -т^—. (1.3)

Дальнейшее доказательство будет приведено в следующем разделе для более общей теоремы о бифуркации.

1.3 Бифуркация из одномерного многообразия решений в случае негладких операторов и простого собственного значения

В этом разделе рассматривается негладкое бифуркационное уравнение с малым параметром г > 0. Мы опишем условия, при которых существуют ветви решений, параметризованные параметром г. возникающие из кривой решений уравнения при е = 0. Также мы приведем несколько простых примеров, иллюстрирующих различные типы бифуркаций, возникающих в данном негладком случае.

1.3.1 Вводный частный случай в К2.

Р а с с м о тр им у равнение

-.г.у)-:(;;././/.:) 0. где Р : К2 ->• М2 и д : М2 х [0, 1] -)- К2. Предположим, что Р(х. у) = функция Р непрерывна в М2 и что она не дифференцируема по Фреше в точке .го[д).в € [0.1]. Предположим также, что Р дважды непрерывно диференцируема в любой точке (х.у) 6 М2. такой что

Обозначим через Р'±{х.у) и Р±(х.у) производные при у > 0 и у < 0. соответственно. Предположим, что эти производные имеют пределы значение отображения Р1(.то(#)); которому отвечает собственный вектор Х'о(9). и предположим, что это собственное значение простое.

Пусть тт±(в) : К2 —> 5рап(.То(#))— проектор Рисса, заданный соотношением 7т±(9)у = (у. г±(9))х'0{9), где г±{9) есть собственный вектор сопряженного оператора (Р±(хо(9)))х, отвечающий нулевому-собственному значению, такой что (~±(9). х'0(9)) — 1.

Следовательно, одномерное подпространство Е±(9) = Кег(тт±(9)) инвариантно по отношению к оператору Р±(хо(9)). и М2 = /т(тг±(0)) © Кег(тт±(в)) и тт±{9)Р1±{х0{9)) = 0 (см., например, [31]). Введем теперь бифуркационную функцию Малкина М±{9) следующим образом: имеет одномерное множество решений хо(в)

9 £ [0.1], что у ф 0, и что (для простоты) функция ф является гладкой в К2.

А4±(9)х'0(9) = (д(х0(9).0),г±(9))х'(](9).

Тогда М±{6) — 0. если и только если тт±(6)С}(хо(6). 0) = 0.

Обозначим через п±(хо(#)) нормальный вектор к кривой хо( направленный в область у > 0 и у < 0; соответственно, и через Р[г){у,є),у Є М". — производную F(г^c) по г-й переменной, г Є {1;2}. Следующий результат - прямое следствие теоремы 11 раздела 1.3.2.

Предложение 1. Предположим, что существует во Є [ОД]. такое 'что

1. 7гх(0о)д(яо№)-О) = 0;

2. оператор обратим. Пусть

УЇ = (— (л-о(<9о))I(6»„))К=)-1 ^(^-0(<9о)- 0). (1.5)

4" - (А±(в0))~1(-пАШ'мЫШ.о)-1-7г±(в0)Р1(х0(9(]))у^ - ЫвоЩ^ЫОо)-0)4) (1-6) и := 4 + ^о •

Тогда для до ста/тонн,о .малого г > 0 уравнение Р(х. у)-\-єС}{х. у .г) —

I. имеет две ветви решений, порожденных хо(во). если оба сл,е дую'(і /,их усл,о вия

Нь.п+(а.-о(0о))>>О и (гу^.П-Ыво))) > 0 (1.7) выполнены. Ветви решений имеют вид (Д =хо(0о)+^+о(с): (1.8)

II. имеет одну ветвь рачений, если только одно из условий (1.7) справедливо;

III. если оба условия (1.7) не выполнены, то уравнение (1-4) не имеет ветвей решений вида (1.8).

Приведем теперь три очень простых примера, иллюстрирующих различные случаи бифуркации. описанные в предыдущем предложении 1. Единственная задача этих примеров - проверить условия предложения 1 в очень простых ситуациях: фактически, очевидно, что мы можем получить те же заключения тривиальными прямыми вычислениями.

0\ . (х + у- 1/2\

Пример 1. Пусть Р{х,у) = ; Q{x.y,e) = г/.

М/ ' \ х + у-1 у

Х()(9) = ^ ^ . в Є [0. 1]. Пусть во = 1/2; рассмотрим производные по на/правлению функции Р в тючке xq(9q) вдоль у > 0 и у < 0, с о от ее т с т в енно:

ПЫОо)) = (° ° \0 ±

Заметим, что x'^q) = ^ ^ есть собственный вектор оператора PL(xo(9q)) . отвечающий его простому нулевому собственному значению. Более т,ого. z±(9q)

Следовательно : К" —> spa,n{\ ) задан соотношением тг±(в0)у = тг(в0)ь = (v.x'0(90))x'0(90). Так как Q(x0(e0), 0) = f мы и,меем. что n{9(])Q{xQ{9o). 0) = 0. то есть М±(в{]) = 0. и условие 1 предложения 1 выполнено. Векторы у^ заданы соотношением

У0х = (-Р±ЫШ{1-«(в0т')-1ЯЫОо),ъ) ; ^

Так как Р^(х0(90)) = 0. АвоЮщЫШ^Ы = ( тг(6'о)(5/(1)(^о(^о); О)тг(0о) = ^ ^^ , <3'(2)(.то(#о);0) = 0, мы получаем, что условие 2 предложения 1 выполнено, и аД = I следовательно = ^ ^ ^ . Так как (ю^.п±(хо($о)) > 0-, п~(хо(во)) = ( ) . предложение 1 обеспечивает существование \±1)' двух семейств решений 'уравнения Р(х.у) + еС^(х.у,е) — 0. возникающих из хо(Оо) = и заданных формулой 0 \ , л (х + у-1/2 Пример 2. Пусть Р(х. у) = . (^(х.у.Е) =

М + 2у) \ х + уи Х[)(9) = 9 е [0.1]. Пусть 90 = 1/2. Мы имеем р'+ые0))= иР'Ы°о))= ^ •

Как и в предыдущем пр'аме'ре. х'о(0о) = г±(0о) = ^ ^ • Р±(хо(&о)) — 0-,

7г(90№х0(в0).,0) = 0. 7г(9Щ1)(Х0(90).,0)7Т(90) = С?{2)Ы9(]).0) = 0. о \ / о Л А/б

В этом случае получим = ( I . у0 = I I . гсд = I

Тд = ( ^ ; следовательно. о(#о))) > 0 и

•Шо,п.(х0{в0))) < О.

По предложению 1 получим существование одного семейства решений вида . Л/2\ /-1/6' ' ' V 0 У V 1/6,

Пример 3. Пусть Р(х.у) = [ ) . (¿{х.у.е), х${6) и как в предыдущем примере. Мы имеем

Р'±ЫОо))=(° °

Поступая так же. как в прим,ере 1. мы получим т^ =1 I . и. таким, образом, {ш^. ?1--(.то(#о))) < 0. Прямым вычислением можно 1/2" убедиться, что не существует решений вблизи £о($о) — |

1.3.2 Общая теорема в R"

В этом подразделе мы рассматриваем бифуркационное уравнение

P{x)+eQ{x.,e) = 0, (1.9) где Р : R" -> R" и Q : R" х [0,1] R". Предположим, что уравнение Р{х) — 0 имеет параметризованное одномерное множество {хо(в),в Е [0,1]} решений. Обозначим это множество через Тр. Предположим, что Гр С П "^Mf. где М,р — это (п — 1) —мерные гладкие поверхности в R". Тогда ориентированные нормали п,(х).х «е М/\ г = 1. .т. к каждой поверхности определены корректно. Предположим, что данные поверхности делят любую достаточно малую окрестность 17(Гр) кривой Гр на 2т открытых областей О к. к = 1.2т. Мы предположим также, что отображение Р имеет непрерывные производные Фреше Р'к,Р[[, к — I. .,2т. в каждой области I)/,. и все эти производные имеют пределы Р[{хр) := Нтх^хр,хе1)к Р'к(х) и Р"{хр) := Птх^хр.х(,0к Рк{х) для всех хр <е Тр. к = 1. . 2т.

Сверх того, предположим, что <5 или разрывна, или не дифференцируема по Фреше по первой переменной х на некоторой кривой Гд = {к{6) : в е [0.1]}, такой что Гд С Г\11=1М?, где М® — это (п— 1) —мерные гладкие поверхности в К". и что существует такое во Е [0. 1]. что то(^о) = Все рассмотрения далее касаются существования решений в окрестности £о($о)• Всякая достаточно малая окрестность К(Гд) кривой Гд разделена на 21 открытых областей Д.¡.у — 1.21. поверхностями М®.% — 1./. Предположим, что С} непрерывно дифференцируема относительно переменной х в каждой области Ду и относительно второй переменнной когда первая принадлежит Д,. Также предположим, что производная по £ непрерывна повокупности (.т. г) при х £ Д?. Мы полагаем, что все эти производные имеют пределы (^^^(Хц.г) : = Нтт>7;(г,;ед^'^^(х.е) для всех хч е Гд.^' = 1. . 2/. д'{2](х,0) := Итг>0 .геД, Я[2)(х>£) для всех ] = .21. и д^Хд.с) := Нт.,^ ,6д:Я{х,е) для всех хц £ Гд. ] = 1. . 21. Ясно, что если С} непрерывна в точке хя € Гд. то я]{хч. е) не зависит от ].

Всюду далее мы предполагаем, что

А1) кривые Тр и Гд кладки:

А2) х'0(в) Ф 0 для всех в е [0.1]. и существует вторая производная х{\(в). непрерывная в любой точке в £ [0. 1];

АЗ) любая пара поверхностей М[ либо пересекается трансверсально. .либо совпадает. То же условие предполагается выполненным для поверхностей М®.

Как нетрудно видеть, последнее условие позволяет ввести биекцию между 2т открытыми множествами 0/,; и 2т векторами из т компонент здп(^, щ (:с'о(#о))); •■: пт(хо(6о))), где это любой вектор, принадлежащий множеству О^.к = 1. 2т. Другими словами, если мы выберем вектор (е\. . ект), для которого е1} Е { — 1.1}. г = 1. . т. среди 2т векторов, описанных выше, то условие (у.пг(хо(во)))е^' > 0. где г = \.т. эквивалентно условию ¿и £ Эк для достаточно малого 5 > 0. Аналогично, мы можем определить 21 векторов (С/; С)• ••• С/)-, С/ £ { —1Д}:?' = и ] = 1.2/. таких что условие (и.Г]г(хо(во)))^ > 0. где г]г(хо(во))— ориентированные нормали к поверхностям М®. г = 1, . /.эквивалентно условию 5и Е Д? для достаточно малого 5 > 0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Михайленко, Борис Александрович, 2011 год

1. Айзепгендлер П. Г. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в многомерном случае/ П.Г. Айзенгендлер, М.М. Вайнберг // ДАН СССР. - 1965. - Т. 163, - №3. - С. 543-546.

2. Айзепгендлер П.Г. О периодических решениях навтономных систем/ П.Г. Айзенгендлер. М.М. Вайнберг //' ДАН СССР. 1965. -Т. 165. - №2. - С. 255-257.

3. Айзенгендлер П.Г. О ветвлении периодических решений автономных систем и дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / П.Г. Айзенгендлер. М.М. Вайнберг // ДАН СССР. 1967. - Т. 176, - №1. - С. 9-12.

4. Айзенгендлер П.Г. Применение теории исключения к задаче о ветвлении решений нелинейных уравнений./ П.Г. Айзенгендлер // Учен. зап. Моск. обл. пединститута им Н.К. Крупской. 1966. - Т. 166, - вып. 10. - С. 253-273.

5. Айзепгендлер П.Г. О ветвлении периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием, I / П.Г. Айзенгендлер, М.М. Вайнберг // Известия высших учебных заведений. 1969. - № 10. - С. 3-10.

6. Айзепгендлер П.Г. О ветвлении периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием, II / П.Г.Айзенгендлер, M.M. Вайнберг // Известия высших учебных заведений. 1969. - № 11. - С. 3-12.

7. Ахмеров P.P. Ко второй теореме H.H. Боголюбова в принципе усреднения для функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа / P.P. Ахмеров, М.И. Каменский // Дифференц. уравнения. 1974. - № 13. - С. 537-540.

8. Меры некомпактности и уплотняющие операторы /' P.P. Ахмеров и др.]. Новосибирск: Наука, 1986. - 265 с.

9. Колмогоров A.Ii. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. 4-е изд., перераб. - М.: Наука, 1976. - 543 с.

10. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Наука, 1966. - 331 с.

11. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М.: Наука, 1975. - 512 с.

12. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний/ И. Г. Мал кии. М.: Государствен нос издательство технико-теоретической литературы, 1956. - 451 с.

13. Маргпынюк Д. И. О периодических решениях нелинейных систем с запаздыванием / Д.И. Мартынюк, А.В. Самойленко // Математическая физика. Киев. 1967. - С. 128-145.

14. Родкииа А.Е. О дифференцируемое™ оператора сдвига по траекториям уравнения нейтрального типа / А.Е. Родкина. Б.Н. Садовский // Тр. математического факультета. Воронеж, 1974. -Вып.12. - С. 31-37.

15. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Дж. Сансоне. М: Издательство иностранной литературы, 1953 г. - Т.1. - 346 с.

16. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. VI.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 223 с.

17. Хартмап Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. VI: Мир, 1970. - 720 с.

18. Шиманов С.Н. Колебания квазилинейных автономных систем с запаздыванием/ С.Н. Шиманов// Известия вузов. Радиофизика. -1960. Т.З, - №3. - С. 456-466.

19. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазилинейных систем с запаздыванием/ С.Н. Шиманов// ПММ. 1959. - T.XXII, - вып. 5. -С. 836-844.

20. Clarke F.H. Optimization and non-smooth analysis, New York. Wiley, 1983.

21. Dankowicz. H., Zhao. X. Local analysis of co-dimension-one and co-dimension-two grazing bifurcations in impact microactuators, Physica D 202 (2005), 238-257.

22. Fang, Cong Na; Wang, Quan Yi Existence, uniqueness and stability of periodic solutions to a class of neutral functional differential equations. (Chinese) J. Fuzhou Univ. Nat. Sci. Ed. 37 (2009), no. 4, 471-477.

23. Feigm. M. I. The increasingly complex structure of the bifurcation tree of a piecewise smooth system. J. Appl. Math. Mech. 59 (1995), 853-863.

24. Gohberq I Golbeiy S & Kaashoek M A Classes of lmeai opeiatois I BirkauserVeilag, Basel 1990

25. Grcief John B Kong Lingju Penodic solutions foi functional dif-feiential equations with sign-changing nonlmeauties Pioc Roy Soc Edmbuigh Sect A 140 (2010) no 3 597-616

26. Guief John B Sakei S H New oscillation ciiteiia foi geneiahzed second-oidei nonhneai neutial functional difteiential equations Dynam Systems \ppl 19 (2010) no 3-4 455-472

27. Gvo Li Xianq Lu Shi Ping Da Bo Liang Feng Existence of pen-odic solutions to a second-oidei neutial functional difteiential equation with deuatmg aigunients (Chinese) J Math (Wuhan) 30 (2010) no 5 839-847

28. Jeffiey M B Colombo A The two-fold smgulaiit\ of discontinuous \erroi fields SJ\M î Appl D}n Syst bf 8 (2009) 624-640

29. Rowalczyk P di Bernardo M Champneys 4 B Hogan S J Homn M Pin omen P T Kuznetsou YU 4 & Nord mark A Two-parametei discontmuitv-mduced bifui cations of limit cvcles classification and open pioblems Int J Bifui cation and Chaos 16 (2006) 601629

30. Kowalczyk P & d? Bemauio M Two-paiametei degeneiate sliding bifui cations m Fihppov s\ stems Phvsica D 204 (2005) 204-229

31. Loud VV S Penodic solutions of a peituibed autonomous system/ VV S Loud// Ann Math 1959 - 70 - P 490-529

32. Lvo Li Ping Oscillation theoiems foi nonhneai neutial hypeibohc pai tial functional diffei ential equations (Chinese) I Math (Wuhan) 30 (2010) no 6 1023-1028

33. Маддго. G. М., di Bernardo. M. & Kennedy. M. P. Non smooth bifurcations in a piecewice-linear model of the Colpitts oscillator. IEEE Trans. Circuits Systems I Fund. Theory Appl. 47 (2000), 1160-1177.

34. Nordmark. А. В. Kowalczyk. P. A codimension-two scenario of sliding solutions in grazing-slicling bifurcations, Nonlinearity 19 (2006), 1-26.

35. Wan; Shu Li: Yang. Jian; Feng. Chun Huci; Huang. Jian Mm Existence of periodic solutions to higher-order nonlinear neutral functional differential equations with infinite delay. (Chinese) Pure Appl. Math. (Xi;an) 25 (2009), no. 3, 556-562, 594.

36. Wang, Chao; Li, Yongkun: Fei, Yu Three positive periodic solutions to nonlinear neutral functional differential equations with impulses and parameters on time scales. Math. Comput. Modelling 52 (2010), no. 9-10, 1451-1462,

37. Wa/ng, Chuncheng; Wei. Junjie Hopf bifurcation for neutral functional differential equations. Nonlinear Anal. Real World Appl. 11 (2010), no. 3, 1269-1277.

38. Wei. Fengying; Wang, Ke The periodic solution of functional differential equations with infinite delay. Nonlinear Anal. Real World Appl. 11 (2010), no. 4, 2669-2674.

39. Zhu, Yarding Periodic solutions for a higher order nonlinear neutral functional differential equation. Int. .J. Comput. Math. Sci. 5 (2011), no. 1, 8-12, 34K13.

40. Михайленко Б.А. Об эквивалентных интегральных операторах в задачах о периодических решениях дифференциальных уравнений / Б.А. Михайленко // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика,— Воронеж, 2011.— № 1. С. 193-201.

41. Каменский М.И. О малых возмущениях систем с многомерным вырождением / М. И. Каменский. Б. А. Михайленко // Автомат, и телемех. Москва. 2011. - №5. - С. 148-160.

42. Михайленко Б.А. Принцип усреднения в системах с вырожденным средним / Б.А. Михайленко // Актуальные проблемы математики и информатики (труды математического факультета) — Воронеж, 2010,- № 2. С. 66-80.

43. Михайленко Б.А. Фазовый портрет двумерной динамической системы с разрывной правой частью / Б.А. Михайленко // Актуальные проблемы математики и информатики (тр. мат. факультета) Воронеж. 2008 - № 3. - С. 32-43.

44. Михайленко Б.А. Негладкие бифуркации с двумерным вырождением / Б.А. Михайленко // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронежской весен, мат. шк. "Понтрягинекие чтения XXI11.— Воронеж, 2010.— С. 152-154.

45. Михайленко Б.А. О собственных подпространствах Т-эквивалентных интегральных операторов / Б.А. Михайленко // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Воронеж, зим. мат. шк. — Воронеж, 2011.— С. 221-222.

46. Mikhaylenko В. A. Bifurcations over a Nonsmooth Implicit Function Theorem / В.A. Mikhaylenko // International Workshop on Resonance Oscillations and Stability of Nonsmooth Systems : abstr., June 16-25, 2009, London London, 2009 - P. 31.