Обобщенное функциональное исчисление в векторных решетках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Тасоев, Батрадз Ботазович

• Тасоев, Батрадз Ботазович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Тасоев, Батрадз Ботазович

1.6. Апробация работы........................................21

Глава 2. Предварительные сведения 22

2.1. Вспомогательные факты..................................22

2.2. Ортосимметричные полилинейные операторы..........28

2.3. Фремлиновское тензорное произведение ................34

2.4. Об одном приложении двойственности Минковского . 38

Глава 3. Обобщенное функциональное исчисление 41

3.1. Определение и вспомогательные леммы ................41

3.2. Обобщенное функциональное исчисление ..............48

3.3. Примеры....................................................53

3.4. Метод огибающих ........................................63

3.5. Неравенства выпуклости..................................67

Глава 4. Приложения 73

4.1. Неравенства выпуклости для билинейных операторов 73

4.2. Конструкция Кальдерона-Лозановского................82

4.3. Интерполяция билинейных операторов

в пространствах Кальдерона — Лозановского .... 89

4.4. Магарамово расширение билинейного оператора ... 94

4.5. Магарамово расширение полинома......................101

Литература 108

Глава 1. Введение

1.1. Обзор литературы

Теория векторных решеток вместе с приложениями к различным разделам математики имеет более чем восьмидесятилетнюю историю и хорошо представлена в монографической литературе, см., например, [3, б, 8, 10, 37, 59, 60, 61, 67, 75, 76, 80, 81]. Основоположниками этой теории являются Г. Биркгоф, Л. В. Канторович, Ф. Рисс и X. Фрсйденталь.

Одним из важных методов исследования является функциональное исчисление. Понятие функции от элементов векторной решетки, введенное Л. В. Канторовичем, играет важную роль в теории полуупорядоченных пространств и ее приложениях (см. [10, 22, 23, 25, 38, 43, 44, 51, 57, 61, 78]).

В 1950 году в монографии Л. В. Канторовича, Б. 3. Вулиха и А. Г. Пинскера [8] было показано, что в ^-пространстве с единицей естественным образом определяются непрерывные функции (/? : К2 —» К от ограниченных элементов этого пространства. В 1973 году Г. Я. Лозановский в своей работе [26] обобщил понятие функции от элементов векторной решетки. В частности, он показал, что во всяком расширенном ^-пространстве естественным образом определяются бэровские функции от элементов этого пространства. Также в этой статье был указан способ конструкции непрерывных положительно

однородных функций от элементов равномерно полной векторной решетки. Изучение таких функций называем функциональным исчислением. В монографии Дж. Линденштрауса и Л. Цафрири [61], а также в работе Дж. Л. Кривина [21], приведены многочисленные применения функционального исчисления в геометрии банаховых решеток и теории положительных операторов. Различные аспекты рассматривались в работах А. В. Бухвалова [4], Б. Море [63], Н. Нильсона и Дж. Шульги [69], Л. П. Яновского [36] и др. Отметим, что во всех работах существенную роль играли реализационные теоремы векторных решеток.

Новый подход к определению функционального исчисления был представлен в 1991 году в статье Г. Бускеса В., де Пахте и А. ван Роя [42], в котором было предложено абстрактное, без привлечения реализационых теорем, определение. Эти функции предполагались всюду определенными в В то же время в ряде работ [4, 23, 25] возникла необходимость определения функций от элементов векторной решетки, определенные на конических подмножествах конечномерного пространства. В связи с этим, в 2009 году А. Г. Кусраевым в работе [58] было показано, что естественным образом определяется положительно однородная функция от элементов равномерно полной векторной решетки, если эта функция определена на коническом множестве конечномерного пространства и непрерывна на некотором коническом подмножестве последнего. Изучение таких функций называем расширенным функциональным исчислением.

В 1991 году вышла работа Р. Хейдона, И. Рено и М. Леви [49], в котором вводится понятие обобщенного функционального исчисления, с помощью которого осуществляются р-выпуклизация и

р-вогнутизации банаховых решеток с «переменным» показателем. Аналоги этих процедур в случае скалярного р описаны в [60, стр. 53 и 54]. Отметим, что пространства суммируемых функций с переменным показателем р € Ь00((л) (см., например, [33]) является примером «переменной» р-выпуклизации пространства Ь^ц).

Тем не менее, определение обобщенного функционального исчисления, введенное в [49, теорема 3.12], фактически функциональным исчислением не является, так как оно определено не на пространстве функций, а на тензорном произведении идеального центра и пространства непрерывных положительно однородных функций на единичной сфере конечномерного пространства. К тому же, рассматриваемое там тензорное произведение изоморфно пространству всюду определенных на конечномерном пространстве функций со значениями в идеальном центре, что не охватывает описанный в [58] случай. Итак, возникает задача, дать общее определение обобщенного функционального исчисления в терминах векторных решеток, частными случаями которого были бы и расширенное, и обобщенное функциональное исчисление.

Одним из основных фактов выпуклого анализа является теорема о том, что выпуклая (сублинейная) полунепрерывная снизу функция, определенная на локально выпуклом пространстве со значениями в полурасширенной вещественной прямой является верхней огибающей множества своих аффинных (линейных) минорант ([73]). В случае операторов справедливость этого утверждения связано с порядковой полнотой пространства образов (см. [13]). Множество линейных минорант сублинейного оператора называем его опорным множеством. Под двойственностью Минковского понима-

ем отображение, сопоставляющее сублинейному оператору его опорное множество ([13, 21]). В работе [53] было показано, что расширенное функциональное исчисление позволяет перенести двойственность Минковского на векторные решетки. На этой основе был развит метод огибающих и единообразный подход к доказательству неравенств выпуклости. В связи с этим, возникает задача: перенести двойственность Минковского на модульные решетки с помощью обобщенного функционального исчисления и на этой основе установить неравенства выпуклости.

Важным применением функционального исчисления является преобразование одних банаховых функциональных пространств в другие. Кальдерон в своей работе [44] по заданным банаховым идеальным пространствам Хо и Х\ на (П, Е, ¡л) построил идеальное банахово пространство на том же измеримом пространстве. Лозановский обобщил эту конструкцию на произвольные вогнутые непрерывные функции <р : —> Е, удовлетворяющие определенным условиям [25]. Эти конструкции получили название пространства Кальдерона — Лозановского. Их обозначают символом <р(Хо, Хх) и являются обобщением пространств Орлича. Дальнейшее развитие этих пространств получили в статье И. Рено [72], где была предложена конструкция Кальдерона — Лозановского с «переменным показателем», называемая обобщенным пространством Кальдерона — Лозановского, частным случаем которых служат пространства Муселяка — Орлича [68]. На основе этой конструкции была доказана теорема о том, что сопряженное по норме пространство к (р(Хо,Х\) является обобщенным пространством Кальдерона — Лозановского, реализуемым па другом измеримом множестве. Бы-

ло бы желательно распространить конструкцию обобщенного пространства Кальдерона — Лозановского на абстрактные банаховы решетки. Но для этого необходимо упомянутое выше общее функциональное исчисление.

Большое число исследований посвящено изучению свойств пространств типа (p(Xo,Xi) и операторов в них (С. В. Асташкин [1], Е. И. Бережной [2], Г. Я. Лозановский [24], П. Форалевски и X. Худзик [48], А. Каминска Л., Малигранда и Л. Е. Персон [50], Н. Кругляк и Л. Малигранда [52], Л. Малигранда [64, 65, 66], В. А. Шестаков [77] и др.). Так, например, Л. Малигранда в своей работе [64] показал, что для любого положительного билинейного оператора Т из Е х F —> L°(Q,S,//), где Е и F — идеальные пространства на и (0,2,^2, ^2) соответственно, выполняется неравенство

T((po(xo,xi),(pi{yo,yi)) < <р(ТОо|, \yo\),T(\xi\, |yi|))

для всех xq, х\ € Е и уо, у\ G F при условии, что </?о, fi — суперлинейный непрерывные функции на R+ и <ро(1, s)</?i(l, t) ^ C(p(l,st) для некоторого С > 0 и всех s,t > 0. Используя этот результат, он доказал интерполяционную теорему для положительного билинейного оператора, действующего в пространствах Кальдерона — Лозановского. Аналогичный интерполяционный результат ранее был получен C.B. Асташкиным [1] при некоторых дополнительных условиях. А. Г. Кусраев, пользуясь развитым им функциональным исчислением, в работе [57] обобщил результат Л. Малигранды для положительных билинейных операторов, действующих в равномерно полных векторных решетках. В этой работе был предложен новый подход, основанный на тензорном произведении векторных решеток и неравенства выпуклости. Однако, подобных исследований нет для

обобщенных пространств Кальдерона — Лозановского. С учетом вышесказанного, возникает задача: применить обобщенное функциональное исчисление и метод огибающих к конструкции Кальдерона — Лозановского и исследовать интерполяцию положительных билинейных операторов в этих пространствах.

1.2. Актуальность темы исследования

Идеи функционального исчисления, двойственности Минковского и пространств Кальдерона — Лозановского были источником многих публикаций. Эти идеи развивались и их взаимодействие породило новые исследования в теории функциональных пространств и положительных операторов. Изучение функций от элементов векторной решетки со значениями в идеальном центре этой решетки в основном обусловлено исследованиями в области идеальных банаховых пространств измеримых функций. Однако, не смотря на различные приложения обобщенного функционального исчисления, нет общего унифицированного подхода к его определению. Также не рассмотрена связь с двойственностью Минковского, исследование которой дало бы дополнительные возможности в приложениях.

1.3. Краткое содержание работы

Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, дается обзор литературы по изучаемому вопросу, приводится краткое со-

держание диссертации.

Во второй главе собран вспомогательный материал: факты, определения, обозначения. Первый параграф начинается с понятия равномерного пополнения векторной решетки и возможности продолжения положительного оператора на равномерное пополнение с сохранением положительности. Далее вводятся /-алгебра и определение универсального пополнения векторной решетки.

Во второй главе собран вспомогательный материал: факты, определения, обозначения. Первый параграф начинается с понятия равномерного пополнения векторной решетки и возможности продолжения положительного оператора на равномерное пополнение с сохранением положительности. Далее вводятся /-алгебра и определение универсального пополнения векторной решетки. Эти понятия используются в представлении решеточных биморфизмов и стоунов-ского преобразования.

Второй параграф второй главы посвящен ортосимметричным полилинейным операторам. Здесь центральным понятием является степень векторной решетки. Пусть — архимедова

векторная решетка. Пара (Е150, ©5) называется в-ой степенью Е, если Ево — векторная решетка, О8 : Е х ■ ■ ■ х Е ^ Ево — орто-симметричный решеточный й-морфизм, называемый каноническим полиморфизмом или каноническим в-морфизмомом степени и для любой (архимедовой) векторной решетки Е и любого ортосиммет-ричного решеточного й-морфизма (р : Е х • • • х Е —» Е существует единственный решеточный гомоморфизм 5 : Е8<э —> Е такой, что Б о ©4. = {р. Отображение ь : Е —» определяемое формулой и : х I—» х ©5 |х-| 05 • • • ©5 играет важную роль в дальнейшем.

В третьем параграфе вводится тензорное произведение векторных решеток, называемое фремлиновским тензорным произведением, и рассматриваются некоторые его свойства.

В заключительном параграфе второй главы рассмотрено одно приложение двойственности Минковского, необходимое для построения метода огибающих. В заключительном параграфе второй главы рассмотрено одно приложение двойственности Минковского, необходимое для построения метода огибающих. Пусть N — натуральное число, ф — компакт и К ~ конус в Е]У. Оператор Р : К —> С{С}) называют сублинейным, если Р(х + у) ^ Р(х) + Р(у) и Р(Хх) = АР(х) для всех х,у £ К иО^АеМ. Множество линейных операторов из М"^ в С(С^), мажорируемых оператором Р, называют опорным множеством Р и обозначают символом дР; символически:

дР := {А £ С(<2)) : (Уж £ К) Ах < Рх},

где Ь(ШМ,С(С2)) — пространство линейных операторов из в С (О). Элемент из дР называют опорным оператором Р.

Двойственность Минковского — это отображение, связывающее сублинейную функцию со своим опорным множеством.

Необходимый для дальнейшего результат гласит, что при определенных условиях сублинейный оператор Р : К —> С((5) допускает представление

(Рх){г) = эир [(Ае)СО) {хек, ь е О).

АчдР

Этот факт является ключевым при доказательстве теоремы 3.4.2.

Третья глава посвящена обобщенному функциональному исчислению. В первых двух параграфах приводятся вспомогательные леммы, определение обобщенного функционального исчисления и

теорема о его существовании.

Множество С С называется коническим, если АС С С для всех А ^ 0. Функция <р : С —> Л, заданная на коническом множестве С, называется положительно однородной, если </?(А£) = А<£>(£) для всех А ^ 0 и £ 6 С.

Пусть 6 не равны нулю одновременно, —

идеальный центр с равномерной топологией и Л — /-подалгебра в Обозначим символом Л(ж1,... ,Ждг) Л-модульную векторную подрешетку в Е, порожденную набором у := (жх,. . . ,хдг). Положим по определению

А[у] := Л[жь ... ,хм] :=

{(^(хх),..., ш(хм)) : 0 Ф и € Нош(Л(ж1,..., жлг))},

где Нот(Л(а;1,..., х'дг)) — множество всех М-значных решеточных гомоморфизмов на А(х-1,.. ., х^). Пусть коническое множество С С К^ содержит К. Символом Ж [С, К, Л) будем обозначать векторную решетку, состоящую из всех положительно однородных функций (р : С —> Л, непрерывных на К.

Теорема 1.3.1. Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, Л — /-подалгебра в Х\,..., х^ £ Е. Предпо-

ложим, что К С содержит Л[х1,..., х^}. Тогда существует единственный А-модульный решеточный гомоморфизм у" : (р ь-» </?(•, Х'х,..., хдг) из Ж(С,К,А) в Е такой, что £(сИ{) = х^ (1 ^ i ^ ТУ). Более того, $(Ж(С, К, Л)) содержится в и-равномерном замыкании А-модульной подрешетки, порожденной Х\,. . . , х^, т.е. $(Ж(С, К, Л)) С А(х1,. . ., Ждг), где замыкание вычисляется в Е равномерно относительно и = |х1| + ... + |хдг|. Если А замкнута по норме

в 2Г(Е), ТО К, Л)) = Л<жь ...,xN).

В третьем параграфе приведены примеры обобщенного функционального исчисления в конкретных функциональных пространствах. Также показано, что если Л = {XI : Л Е R} С где I — тождественный оператор на равномерно полной векторной решетке Е, то обобщенное функциональное исчисление в смысле определения 3.1.5 совпадает с расширенным функциональным исчислением [53], а в случае когда Л = ^f(E) — с обобщенным функциональным исчислением в смысле определения [49].

В четвертом параграфе третьей главы показано, что обобщенное функциональное исчисление позволяет перенести двойственность Минковского на равномерно полные векторные решетки, следовательно, в них работает метод огибающих.

Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, х\,... ,х'дг Е Е, А — /-подалгебра в 2?{Е), К — замкнутый конус в R^, содержащий А[х\,... ,xn]. Обозначим через J%/(K,A) (Ж^(К,А)) множество всех сублинейных (суперлинейных) непрерывных операторов из К в Л, L{R^,A) пространство линейных операторов из R^ в Л. Оператор ip : К —> Л называют сублинейным, если <р{и + v) ^ <р(и) + ip(v) и (р(Хи) = Хср(и) для всех и, v Е К и 0 < Л Е R; ф : К —» Л суперлинеен, если —ф сублинеен.

Пусть (7г, •) обозначает линейный оператор t н-> (п, t) = JZiLi из R^ в Л, где t = (¿1,. . ., tN) Е R^, 7Г = (ni . .. , nN) Е Л". Для сублинейного оператора у : К —> Л (суперлинейного оператора ф : К А) положим по определению

dtp := {тг Е Л^ : (тг, t> < (p(t) (t Е К)}, дф := {тг Е Л^ : <тг, i> ^ <p(t) (i Е К)}.

Теорема 1.3.2. Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, Х\,..., а?дг € Е, <р € Жу(К, А) и £ А). Тогда справедливы равенства

<p(-,xi, . . . , xn) = SUp | ^ 7tixi : (7Ti . . . , 7Гдг) G

г=1 n

гр(-,хl,..., хдг) = inf | : (7Ti..., 7Ttv) 6

г=1

Более того, (/?(-, :ei,. .. ,xn) {ф{-, x\,..., Xn)) есть равномерный предел возрастающей (убывающей) сети, каждый член которой есть супремум (инфимум) конечного набора элементов вида YhiLi^iXi, где (7Г1..., irN) е д(р ((7п ..., 7rN) е dip).

В пятом параграфе третьей главы приведены некоторые классические неравенства выпуклости, доказательства которых основаны на методе огибающих.

Обозначим через Л) А)) множество всех непрерыв-

ных возрастающих относительно R+ сублинейных (суперлинейных) операторов из К в Л и К — R+ = R+ — К. Как обычно, положительные операторы будем обозначать символом L(MN,A)+.

Пусть Е, F — равномерно полные векторные решетки и 3f(E), 3f(F) — идеальные центры Е и F соответственно, Л, А' — изоморфные замкнутые /-подалгебры в £2f(E) и 3f(F) соответственно. Оператор / : Е —F U {±оо} называется возрастающим, если f{x2) ^ fix 1) Для всех xi, Х2 £ Е, х2 ^ Х\. Скажем, что сублинейный (суперлинейный) оператор / : Е —» F U {±00} А-сублинеен (А-суперлииееи), если f(irx) = тт(/х) для всех 0 ^ 7г Е Л и х Е Е.

Теорема 1.3.3 (Неравенство Йенсена). Пусть Е, F — равномерно полные векторные решетки, / : Е F U {+00} — возрас-

тающий K-сублинейный оператор, д : Е F U{—оо} — возрастающий А-суперлинейный оператор. Предположим, что р Е К), ф Е ЖХ(К,А), A[x1...,xn} С К, A[f(x{)...J(xN)] С К и ..., ^(хдг)] с К. Если x\,...xn £ dorn (/) П dorn (g), то (р(•, Х\,..., ж/v) Е dorn (g), ф(-, ..., х^) Е dorn (/) и выполняются неравенства

/(V>(-, жь ..., xN)) ^ ф(-, f(x 1),..., f{xN)), g(<p(-,xi,.. .,xN)) ^ ip(-,g{xi),... ,g{xN)). Возьмем t = (ii,.. ., ijv) € R+ и конечный набор положительных элементов тт\ . . . , 7ryv Е А. Отождествим Л с пространством непрерывных функций C(Q) на некотором компакте Q и определим функцию Ulli? е по формуле (•'= tfq)

(q Е Q). Функцию nüi^r мы будем отождествлять с соответствующим положительным элементом из Л+. Тогда для каждого фиксированного набора (7Г1.. . ,7Гдг) Е Л^ мы можем определить оператор

ф : R^ Л+ по формуле ф(г) := Пг=1*Г е R+)- Аналогично

n

можно определить ср : R+ —-> Л+ по формуле ip(t) := М*)1/*. Из

г=1

неравенства Йенсена без труда выводятся следующие два следствия: Следствие 1.3.4 (Неравенство Гёльдера). Пусть Е, F — равномерно полные векторные решетки, f : Е —> F U {+оо} — возрастающий А-сублинейный оператор и dorn (/) = Е+. Тогда для любых xi, ... ,xjv Е Ей 0 ^ 7Г1, ... , 7Гдг Е А. 7Г1 + . . . + 7Гдг = I

выполняется неравенство

n n

/(tlw'O ^П/м"4-

i=1 г=1

Следствие 1.3.5 (Неравенство Минковского). Пусть Е, F — равномерно полные векторные решетки, f : Е —> F U {+оо} —

возрастающий К-сублинейный оператор и dorn (/) = Е+. Предположим, что существуют число 0<с)^1и7геЛ такие, что 51 ^ 7Г ^ I. Тогда для любых Х\,... ,xjy Е Е выполняется неравенство

г=1 г=1

Обратное неравенство имеет место, если f : Е —> F U {—оо} — Л-суперлинеен, dorn (/) = Е+ и тт ^ I.

В четвертой главе приведены некоторые приложения обобщенного функционального исчисления . В первом параграфе установлено неравенство выпуклости для билинейного оператора.

Пусть Е, F — векторные решетки, Ai, Л2 — /-подалгебры в 3f(E) и 3f(F) соответственно. Символом Ai <g) Л2 будем обозначать тензорное произведение векторных решеток Ai и Л2.

Тройку К := (К0, К1, К2) замкнутых конусов в R^ назовем мультипликативной, если для всех s (s\,..., sjy) Е К\ и t := (¿1,..., ¿дг) Е К2 выполняется st := (s\ti,..., Sjv^yv) Е Kq. Пусть Ai, Л2 — /-подалгебры в и соответственно, и Aq := Ai®A2.

Тройка функций <¿>2) из К{ в А^ (г := 1,2) называется

мультипликативной (супермультипликативной) на К, если выполняется неравенство ^i(s)<S>^2(i) ^ (Vii5)®<P2{t) ^ V?o(sO) для всех s £ К\ t € К2- Скажем, что /-подалгебры Ai С 3?(Е), Л2 С 2f(F) и Ло С 2f(G) согласованы, если Aq ~ Ai (g> Л2, т.е. Ао и Ai <Э Л2 изоморфны как /-подалгебры. Предположим, что /подалгебры Ai С 3?(Е), Л2 С 3?(F) и А0 С 2f(G) согласованы. Билинейный оператор b : Е х F —> G назовем Kq-билинейным, если выполняется равенство Ь(ттх,ру) = (-7Г (g> p)(b(x,y)) для всех 7Г Е Аь р е А2, х е Е к у е F.

Теорема 1.3.6. Пусть Е, Е и £ — равномерно полные векторные решетки, Х\,..., х^ Е Е и у\,... ,ун Е Е, /-подалгебры Ах С 3?(Е), Л2 С ^Г(^), Л0 С ^(С) согласованы иЪ:Е*Р неположительный. Л о - б ил и ней п ый оператор. Предположим, что К = (К0,КЪК2) — мультипликативная тройка замкнутых конусов в RN, <рг, Фг Е Ж{Кг,Аг) (г = 1,2), <р0 Е Жу(К0,А0), ф0 Е ЖА{К0, А о), тройки (^0,^1^2) и (фо, ф\, Ф2) соответственно субмультипликативна и супермультипликативна на К. Если А\ [х'1,.. . , х^] С К\, Л2[?/ь • ■ •, У и] С К2 и А0[Ь(х1, ух),..., Ъ{хм, ум)] С К0, то справедливы неравенства

% 1(-, жх, ...,хм), ч>2(-,У1, • • •, Ы) ^ <Л)(-> Н^ьШ), • • •, ?/лг))> ..., хм),ф2(-,Уи Ум)) < Фо(-> Ь(х1 ,у{),..., Ь{хи, ум)).

Во втором параграфе четвертой главы приведена абстрактная конструкция Кальдерона — Лозановского в терминах суперлинейного оператора и описание его сопряженного по норме пространства.

Пусть X — банахова решетка, У — равномерно полная векторная решетка. Оператор Ф : Х+ —> У+ называют суперлинейным, если выполняются условия Ф(х + у) ^ Ф(ж) + Ф (у) для всех х, у Е Х+ и Ф(Хх) = ХФ(х) для всех х Е Х+ и А Е К+. Оператор Ф называют разложимым, если для любых у\,у2 Е У+, удовлетворяющих неравенству у\+у2 ^ Ф(ж), существуют х\,х2 Е Х+ такие, что х = х\+х2 и Ф{хг) = 1,2).

Обозначим через Ф(А") — порядковый идеал в У, порожденный множеством Ф(Х+) = (Ф(ж) : х Е Супераддитивность опе-

ратора влечет Ф(Х) = ЦгеХ+[—Ф(х)> или> что то же самое,

Ф(Х) = {у еУ : {Зх е X +) \у\ ^ Введем на Ф(Х) норму

|| • ||ф по формуле ||г||ф = Ы{\\х\\ : х Е Х+, Ф(х) ^ \г\} (г Е Ф(Х)).

Теорема 1.3.7. Пусть X — банахова решетка, У — равномерно полная векторная решетка и Ф : Х+ —У+ — суперлинейный оператор. Тогда || • || есть монотонная норма на Ф(Х) и пара Z = (Ф(Х), || • ||) является банаховой решеткой.

Пусть Ф обладает свойством разложимости. Каждому элементу х* поставим в соответствие функционал Ф*(х*) : Z+ —> К+, действующий по правилу

{г,Ф*(х*)):= т£ {(ж, ж*) Ф(х) > г} (г е £+).

Обозначим через Ф*(Х*) порядковый идеал в Е*, порожденный множеством (Ф*(х*) : х* Е Введем норму на Ф*(Х*) по формуле ||г*||Ф. : = т£{||ж*|| : ж* Е Ф*(ж*) ^ \г*\}.

Теорема 1.3.8. Справедлива формула Ф(Х)* = Ф*(Х*), причем равенство означает совпадение банаховых решеток Ф(Х)* и Ф*(Х*) как по составу элементов, так и по норме.

В третьем параграфе вводятся обобщенные пространства Каль-дерона — Лозановского и устанавливается теорема об интерполяции билинейных операторов этих пространствах.

Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, А — /подалгебра в и Ео, Е\ —порядковые идеалы в Е, являющиеся банаховыми решетками и модулями над А. Возьмем ф Е А) и обозначим через 1р(-} Ео, Е\) порядковый идеал в Е, порожденный множеством {ф(-,хо,х{) : 0 ^ хк Е Е^,к — 0,1}. Для каждого х Е Ео, Е\) положим по определению

Ыщ.^Ег) ■= 1пН1ко|^||ж1|| : \х\ < ф(-, Хо, XI), 0 ^ хк Е Ек, к = 0,1}

Тогда пара Ео, Е\), || • Ц^,) является банаховой решеткой, называемой пространством Кальдерона — Лозановского.

Теорема 1.3.9. Пусть (Е0, Е\), (Т0, и (С0, Сх) — пары банаховых решеток, являющиеся порядковыми идеалами в равномерно полных векторных решетках Е, Р и С соответственно, /-подалгебры Ах С Л2 С Ад С согласованы. Предположим,

что Ь Е X Е —^ Ст — положительный Ад-билинейный оператор такой, что его сужения &о : Д) х -^о ~~*" Со и : Е\ х Е\ * С\ ограничены по норме. Если тройка функций ф^ Е А{). (г = 0,1, 2) супермультипликативна на то сужение

Ь:ф1(;Ео,Е1)хф2(.,Ео,Е1)нф0(.,Со,С1)

ограничено по норме.

В четвертом параграфе приведена конструкция Магарамово расширения для ортосимметричных билинейных операторов.

Говорят, что билинейный оператор В : Е х Е —> С сохраняет интервалы или обладает свойством Магарам, если для любых х,у е Е+ и 0 ^ д ^ В(х, у) Е существуют 0 ^ и ^ а; и 0 < V ^ такие, что д = В (и, у), или, короче, В ([0, ж] х [0,?/]) = [0 ,В(х,у)] для всех х,у Е Е+. Положительный порядково непрерывный билинейный оператор, обладающий свойством Магарам, называется билинейным оператором Магарам.

Положительный билинейный оператор ф из Е х Е в С называется абсолютно непрерывным относительно В, если В(х,у) Е ф(х,у)±1-для всех 0 ^ х,у Е Е. Положительный оператор В : Е х Е —> С называют существенно полооюительпым, если := {ж Е Е :

Теорема 1.3.10. Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, а Е — произвольное К-пространство. Для любого суще-

ственно положительного ортосимметричпого билинейного оператора В Е BL~(E; F) существуют К-пространство Е, инъективпый решеточный гомоморфизм j из Е в Е и положительный билинейный оператор Магарам В Е BL~(E\F), удовлетворяющие следующим условиям:

(1) В(х,у) = B(jx,jy) (х,уеЕ);

(2) порядковый идеал в Е, порожденный множеством j(E), совпадает с Е;

(3) существует изоморфизм f-алгебр h : Orth(i?)—Orth(Z?) такой, что

тг В(х,у) = B(h{b)jx,h{ji)jy) = B{h(ir)jx,jy) = B(jx,h(ir)jy)

[х,уеЕ, тг Е Orth(F)+);

(4) Е плотна в Е в том смысле, что для любых z £ Е и 0 < £ Е R существуют ze Е Е, разбиение (тт^) С проектора \B(z,z)] Е

и семейство (х^) С Е такие, что

B(z£, \z£\) = о-^щВ^х^\jx^\), \B(ze,\z£\)-B(z,\z\)\^eB(\z\,\z\).

Используя этот результат, а также теоремы о линеаризации орто-симметричных билинейных операторов и интегральном представлении линейных операторов, получено также интегральное представление для ортосимметричных билинейных операторов.

В заключительном пятом параграфе четвертой главы установлен вариант теоремы 7 для положительных ортогонально аддитивных полиномов.

1.4. Основные положения, выносимые на защиту

Основные результаты настоящей работы, выносимые на защиту, опубликованы в ведущих математических журналах из списка ВАК:

(1) Построение обобщенного функционального исчисления в равномерно полной векторной решетке (теорема 3.2.4);

(2) Распространение метода огибающих на модульные векторные решетки (теорема 3.4.2);

(3) Неравенства выпуклости (теорема 3.3.7 и следствия 3.5.8, 3.5.9);

(4) Неравенство выпуклости для билинейных операторов (теорема 4.1.10);

(5) Абстрактная конструкция Кальдерона-Лозановского (теорема 4.2.3) и описание сопряженного пространства (теорема 4.1.10);

(6) Обобщенные пространства Кальдерона-Лозановского (теорема 4.3.2) и описание сопряженного пространства (теорема 4.3.7);

(7) Интерполяция обобщенных пространств Кальдерона-Лозановского (теорема 4.3.9);

(8) Магарамово расширение ортосимметричного билинейного оператора и ортогонально аддитивного полинома (теоремы 4.4.6 и 4.5.1);

(9) Интегральное представление ортосимметричного билинейного оператора (теорема 4.4.9);

1.5. Методы исследования

В работе использованы методы теории меры, линейной алгебры, общей топологии, выпуклого анализа, теории решеточно-

нормированных пространств, положительных операторов, теории двойственности. Кроме того, используются конструкции тензорного произведения, степени векторный решетки, Кальдерона-Лозановского и магарамова расширения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенное функциональное исчисление в векторных решетках»

1.6. Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались по мере их получения:

• на семинаре по математическому анализу в Южном математическом институте ВНЦ РАН;

• на международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (4-8 июля 2011 года, Волгодонск, Россия);

• на международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (14-20 июля 2013 года, Владикавказ, Россия);

• на двух конференциях «Молодые ученые в решении актуальных проблем науки» (2011,2012 гг., Владикавказ, Россия);

• четыре раза на «Владикавказской молодежной математической школе» (2009-2012 года).

Результаты диссертации опубликованы в работах [27]-[32] и [19]. В единственной совместной работе [19] автору Б. Б. Тасоеву принадлежат теоремы 3 и 4, выносимые на защиту в данной диссертации.

Глава 2. Предварительные сведения

Данная глава имеет вспомогательный характер. В ней приводятся необходимые определения и факты из теории векторных решеток и операторов в них. В этой главе приведены следующие конструкции, используемые в дальнейшем: равномерное пополнение векторной решетки; /-алгебры, представление решеточных гомоморфизмов; сто-уновское преобразование; пространство регулярных полилинейных операторов; ортосимметричность, расширенное функциональное исчисление; степень векторной решетки; строение полилинейных орто-регулярных операторов в равномерно полных векторных решетках; тензорное произведение векторных решеток. В завершении главы приведено одно приложении двойственности Минковского, необходимое для построения метода огибающих.

Ниже все векторные решетки предполагаются архимедовыми.

2.1. Вспомогательные факты

Всюду далее Е, Е, С — векторные решетки.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.1. Пусть (А, — направленное множество. Будем говорить, что сеть (ха)аед в векторной решетке Е сходится равномерно или г-сходится к х Е Е, если существуют 0 ^ е Е

Е+ и убывающая числовая последовательность (An)ngf^ с пределом lim^oo An = 0 такие, что для каждого п G N существует индекс а(п) для которых выполняется \ха — х\ ^ Хпе при всех а ^ а(п). Элементы е, х называют соответственно регулятором сходимости и г-пределом сети (ха). Сеть (ха)а£д называется г-фундаментальной, если сеть (ха — Ж/з)(а,/?)еЛх,4 г-сходится с регулятором е к нулю. Векторную решетку называют полной относительно сходимости с регулятором или равномерно полной, если каждая г-фундаментальная последовательность в ней г-сходится.

Лемма 2.1.2. Пусть h : Е —> F — решеточный гомоморфизм, Е равномерно полна. Тогда h(E) равномерно полная подрешетка в F. Доказательство. См. [61, теорема 59.3(iii)]. □

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.3. Пусть Е5 обозначает порядковое пополнение векторной решетки Е. Равномерным пополнением Еги векторной решетки Е называют замыкание Е в Е5 относительно ти-топологии, см. [71, определение 2.12 и терему 2.13]. Определение ru-топологии см. в [61, гл. 9, § 63].

Обозначим символом ш(Е) множество всех элементов из Е+, представимых как r-пределы последовательностей в Е. Точнее, элемент е Е Е+ входит в ru(Е) в том и только в том случае, если существует последовательности (хп) С L и (Ап) С К+ и элемент и £ Е+ такие, что limn Ап = 0 и \хп — е| ^ Апи (п € N). Тогда Е\ = ru(Z?) — ru(Е) — векторная подрешетка в Е5, причем ru(.E') — порождающий конус в ней. Для любого ординала а определим Еа рекурсией по а: Е\ := ru(Е) - ru(Е), Еа+1 := ru(Еа) - ru(Еа), Ер:= Для предельного ординала /3 <

Лемма 2.1.4. Имеет место представление Eru = Ui<a<wi гДе

и>1 — первый несчетный ординал.

Доказательство. Подробности см. [71]. □

Лемма 2.1.5. Пусть Е, Р — векторные решетки, Р — равномерно полна. Тогда каждый положительный оператор (решеточный гомоморфизм, мономорфизм) Т : Е —> F допускает единственное положительное (гомоморфное, мономорфное) продолжение Т : Еш Р.

доказательство. Пусть х е Е\+ := ти(Е). Тогда существует последовательность (хп) с Е, сходящаяся равномерно к х. Так как \Тхп — Тхт| ^ |АП — Ат\Ти, то в виду равномерной плотности Р можно определить аддитивный положительно однородный оператор Т\ : Е\+ —> Р+ формулой Т\х \— НтпТхп и затем продолжить его на Е\ := Е\+ — Е\+ разностью.

Если Т решеточный гомоморфизм, то Т\ также будет решеточным гомоморфизмом. Пусть оператор Т инъективен. Для 0 < х е Е\ в силу плотности Е в Е\ найдется 0 < у Е Е такой, что 0 < у ^ х. Следовательно, Т\Х ^ Т\(у) — Т(у) > 0, что означает инъектив-ность оператора Т\. В виду леммы 2.1.4 доказательство завершается индукцией по а. □

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.6. Векторная решетка А, являющаяся одновременно алгеброй, называется решеточпо упорядоченной алгеброй, если ху е А+ для всех х, у е А+.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.7. Решеточно упорядоченная алгебра А называется /-алгеброй, если из того, что х,Ау = 0и0^2;ЕЛ) следует хг л у = гх л у = 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.8. .^-пространство Е называют расширенным, если любое множество попарно дизъюнктных положительных

элементов имеет супремум. В другой терминологии ([37, 67]) расширенное К-пространство — универсально полная векторная решетка.

Если Е — архимедова векторная решетка, то существует единственная (с точностью до решеточного изоморфизма) универсально полная векторная решетка Еп (называемая универсальным пополнением или максимальным расширением Е) такая, что Е решеточно изоморфна порядково плотной векторной подрешетке в Еи и для любого х е Е1Х выполняются равенства х = зир{у е Е : у ^ х] = т{{у Е Е : у ^ х]. Порядковая плотность Е в Еи означает, что для любого 0 < у е Еи существует 0 < х е Е такой, что х ^ у.

Пусть (Е) — полная булева алгебра полос векторной решетки Е, & С} — её стоуновский компакт (см. [5]). Тогда универсальное расширение Еп решеточно изоморфно /-алгебре Соо(Я) всех непрерывных функций из С} в К и {±оо}, принимающих значения ±оо лишь на нигде не плотных подмножествах ф, (см. [10, 37]). Отсюда, в частности, следует следующий результат.

Теорема 2.1.9. Каждая универсально полная векторная решетка Е обладает порядковой единицей. Выбрав единицу 1 е Е, можно единственным образом наделить решетку Е умножением, превращающим её в точную коммутативную /-алгебру, в которой 1 служит кольцевой единицей.

Доказательство. См. [6, 10, 37].□

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.10. Оператор Ь : Е х ^ —> (? именуют билинейным, если он линеен по каждому из аргументов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.11. Билинейный оператор Ъ : Е х ^ —> £ называют решеточным биморфизмом (положительным), если частичные операторы Ь(х, ■) : у н-> Ъ(х,у) (у е -Р) и Ь(-,у) : х н-» Ъ(х,у)

(x G Е) являются решеточными гомоморфизмами (положительными операторами) при 0^x£EmQ^y£F.

Теорема 2.1.12. Пусть в универсальном пополнении Fu векторной решетки F фиксирована структура f-алгебры с единицей и умножение обозначено символом о. Для произвольного решеточного биморфизма Ъ : Е x F —> G существуют два решеточных гомоморфизма S : Е Fu и Т : F Fu такие, что

b(x,y) = S{x)oT(y) {х £ Е, у £ F). Доказательство. См. [15, теорема 3.2]. □

Теорема 2.1.13. Пусть Е векторная решетка и 0 < е G Е. Существует не более одной операции умножения на Е, превращающей её в f-алгебру, в которой е служит мультипликативной единицей. Доказательство. См. [37, теорема 2.58]. □

Определение 2.1.14. Элемент е > 0 векторной решетки Е называется сильной порядковой единицей, если для любого х £ Е существует число 0 ^ [л £ R такое, что ^ [ле.

Теорема 2.1.15. Пусть Е векторная решетка (f-алгебра) с сильной порядковой (сильной порядковой мультипликативной) единицей е. Тогда существует компакт Q такой, что Е решеточно изоморфно плотной по норме векторной подрешетке (f-подалгебре) в C(Q). При этом изоморфизме е переходит в тождественную единицу.

Доказательство. Введем норму в Е по формуле ||ж|| :=

inf{/i > 0 : ^ fie} и обозначим ее пополнение по этой норме ,—. _

через Е. По теореме Крейнов — Какутани существует компакт Q такой, что Е решеточно изометрически изоморфно C(Q). Отсюда следует плотность по норме Е в C(Q). При этом изоморфизме е

переходит в тождественную единицу.

Если Е — /-алгебра, то ее пополнение Е также является /алгеброй. Так как е мультипликативная единица как в Е так и в C(Q), то из теоремы 2.1.13 следует, что векторная решетка Е является /-подалгеброй в C(Q). □

Лемма 2.1.16. Пусть Q — компакт, Е — плотная по норме векторная подрешетка в С(Q). Тогда Е порядково плотна в C(Q).

Доказательство. См. [46, лемма 1.2]. □

Пусть {$1,38, ц) — пространство с мерой, В{$1,38 ,р) — алгебра измеримых множеств по модулю множеств меры нуль и пусть (р ; 38 —> В{$1,38,р) — фактор-гомоморфизм. Булев гомоморфизм р : B(Q, 38, р) 38 именуют лифтиигом фактор-алгебры B(VL,3S,p), если р(А) Е А для каждого класса эквивалентности А Е B(fl, 38, р). Последнее означает, что <р о р — тождественное отображение на B(£l, 38, ¡i). Известно, что если пространство с мерой (Г2, 38, р) обладает свойством прямой суммы, то фактор-алгебра B(Q, 3%, р) имеет лифтинг. Пусть Q — стоуновский компакт булевой алгебры B(Q, 33, р), т.е. В(£1,38,р) изоморфно Clop(Q). Для каждой точки со Е Q ультрафильтр {А Е В{£1,3$,р) : ш Е р(А)} Е Q обозначим символом т(и). Отображение т : Q —> Q, построенное таким образом, будем называть каноническим погружением Q, в стоуновский компакт Q, соответствующий лифтингу р.

Теорема 2.1.17. Пусть р — лифтинг алгебры B(Q,3§, р), т — соответствующее каноническое погружение О стоуновский компакт Q булевой алгебры B(Q,3ét, р), a t : B(íl,3é?, р) —» Clop(Q) — сто-уновское представление 38, р). Тогда имеют место следующие утверждения:

(1) р(А) = т l(i(A)) для каждого класса эквивалентности А € В{П,38,р);

(2) i~l{U) = ip(r~l(U)) для каждого открыто-замкнутого множества U Е Clop(Q);

(3) отображение т : Q —> Q измеримо по Борелю и образ г(0) плотен в Q;

(4) прообраз r~1(N) тощего подмножества N С Q измерим в О, и имеет меру нуль.

Доказательство. См. [10, теорема 1.2.9]. □

Обозначим символом т* отображение, сопоставляющее каждой функции / Е Cqo(Q) класс эквивалентности измеримой функции /от. Пусть L°(f2,38, ¡1) обозначает множество классов эквивалентности измеримых функций, Ь°°{у1,38, р) — подпространство в L°(i7,3$, р), состоящее из почти всюду ограниченных функций.

Теорема 2.1.18. Отображение т* — линейный порядковый изоморфизм из Coo(Q) на L°(Q, 3%, р). Образ C(Q) при изоморфизме т* совпадает с 38, р). Для u Е 3%, р) функцию й := т-1(/и)

называют стоуновским преобразованием и.

Доказательство. См. [10, теорема 1.4.9]. □

2.2. Ортосимметричные полилинейные операторы

Здесь приводятся основные определения, простейшие свойства и линеаризация ортосимметричных полилинейных операторов в векторных решетках, используемые в дальнейшем. Подробное изложение можно найти в [12, 40].

Пусть Е\,.. . , Es (2 ^ s Е N) и F — векторные решетки. Все век-

торные решетки предполагаются вещественными и архимедовыми.

Возьмем 5 Е N и фиксированный набор (а\... ,а3), где а^ Е Е{ (г = 1,..., й). Обозначим ак:= (аь ..., а*_ь а^+ь • • •, аа). Для отображения <р : Е1! х • • • х Е3 —> Е определим оператор ^ : Ек —> Е формулой

<Аг*. : а* •-> </?(аь ..., аь_х, ж*, а*+ъ ... ,а5) (хк Е Ек) (1)

В этих обозначениях к:— 1,. . . , в, причем возникающие при к = 1 и к = б символы ао и а8+\ опускаются.

Определение 2.2.1. Оператор ^ : Е\ х • • • х Е3 —> Е именуют полилинейным, если он линеен по каждому из аргументов, т. е. для каждого к = 1,..., й оператор <рак : Ек —> Е линеен, каковы бы ни были фиксированные 01,..., ак+1,..., а3 Е Е{.

Множество всех полилинейных операторов из Е\ х • • • х Е3 в Е образует векторное пространство, которое будем обозначать через ОД х • • • х

Определение 2.2.2. Полилинейный оператор р : Е\ х • • • х Ея —> Е называют положительным, если ... , х3) ^ 0 для любых

О ^ XI Е Е\,..., 0 ^ х3 Е Е3. Множество всех полилинейных положительных операторов из Е\ х • • ■ х Еэ в Е, обозначаемое символом Ь+(Е\ х • • • х Е3; Е), является выпуклым острым конусом и определяет порядок в пространстве Ь(Е\ х • • • х Е3\ Е), согласованный со структурой векторного пространства. Таким образом, для полилинейных операторов <р\,р2 £ х • • • х Е3\ Е) соотношение </?2 ^ означает по определению, что оператор — р>2 положителен.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2.3. Полилинейный оператор, представимый в виде разности двух положительных полилинейных операторов, на-

зывают регулярным. Обозначим символом ЬГ(Е\,..., Е3] Е) множество всех регулярных полилинейных операторов из Е\Х ••• х Е3 в Е, т. е. ЬГ{ЕЪ ...,Ез]Е):=Ь+(Е1,..., Е3, Л - Ь+(Е1} ...,Е3, Р). Пространство ЬГ(Е,... ,Е3;Е) с порядком, индуцированным из Ь{Е\ х • • • х Е3] Е), является упорядоченным векторным пространством.

определение 2.2.4. Полилинейный оператор называется порядково ограниченным, если он каждое порядково ограниченное множество в Е\ х • • • х Е3 переводит в порядково ограниченное множество в .Р. Обозначим множество всех порядково ограниченных операторов из Е\ х • • • х Ея в Е символом Ь~(Е\,..., Е3, Е).

Ясно, что каждый полилинейный положительный оператор порядково ограничен. Следовательно, каждый регулярный оператор порядково ограничен, но обратное, в общем случае, неверно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2.5. Полилинейный оператор : Е3 —> Е называется ортосимметричным, если (р(х\,..., х3) = 0 для любых х\,...,х3 £ Е, удовлетворяющих условию \х^\ А \х^\ = 0 для некоторых % т^ Говорят, что оператор </? орторегулярен, если он орто-симметричен и регулярен.

Обозначим символом Ьог(3Е,Е) пространство всех орторегуляр-ных полилинейных операторов из Еэ в Е, упорядоченное конусом положительных ортосимметричных полилинейных операторов. Обозначим символом Ь~(3Е, Е) упорядоченное векторное пространство всех ортосимметричных порядково ограниченных полилинейных операторов из Е3 в р. Тогда Ь0Г(3Е, р) с Ь~{8Е, р).

Теорема 2.2.6. Если Е порядково полна, то пространства Ьог^Е, Е) и Ь~(3Е, Е) совпадают и служат полосой в ЬГ(3Е, Е).

доказательство. Для билинейных операторов этот факт уста-

новлен в [14, следствие 2.6]. Общий случай выводится аналогично. □ Определение 2.2.7. Полилинейный оператор р : Е\ х • • • хЕ3 —► Е называют решеточным полиморфизмом или в-морфизмом, если для любого к:= 1,...,5и любых 0 ^ щ Е Б1*, г ф к, оператор <рък из (1) является решеточным гомоморфизмом. Очевидно, что решеточный полиморфизм положителен. В случае э = 2 принято говорить о решеточном биморфизме (см. определение 2.1.11).

Предложение 2.2.8. Для положительного полилинейного оператора ср : Е\ х • • • х Е8 Е равносильны утверждения:

(1) (р — решеточный полиморфизм:

(2) \(р(х1,... = </?(Ы>..., |жв|) для всех х{ е Е{ (г < в).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2.9. Пусть - архимедова век-

торная решетка. Пара (£^0,Од) называется в-ой степенью Е: если выполнены следующие условия:

(1) Е— векторная решетка;

(2) ©д : Е х • • • х Е —» Е50 — ортосимметричный решеточный 5-морфизм, называемый каноническим полиморфизмом или каноническим в-морфизмомом степени;

(3) для любой (архимедовой) векторной решетки Е и любого ортосимметричного решеточного в-морфизма р : Е х • • • х Е —> Е существует единственный решеточный гомоморфизм Б : Еэ° —> .Р, такой что 5 о 05 =

Следующий результат, утверждающий существование степени у любой архимедовой векторной решетки, установлен в [43] (в=2) и [38] (общий случай).

Теорема 2.2.10. Пусть 2 ^ 5 € N и Е - (архимедова) векторная решетка. Существует единственная с точностью до решеточного

изомофизма з-ая степень (Е3°, ©5) векторной решетки Е.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.2.11. Единственность степени (Е°,<Э) означает, что если пара (Е®, ®), где Е® — векторная решетка и ©: Е X. Е Е® — симметричный решеточный б-морфизм, удовлетворяет универсальному свойству 3) из указанного выше определения, то существует решеточный изоморфизм г из Е° на Е® такой, что ¿О = ® и Г1® = О.

Следующий факт, доказанный в [54, пункт 6.2(3)] при в = 2, остается справедливым для произвольного 2 ^ й € N.

Лемма 2.2.12. Канонический полиморфизм из определения 2.2.9 (гсх,..., х8) > Х\ О • • • 0 х8 порядково непрерывен.

Ниже приведем определение расширенного функционального исчисления, с помощью которого, в частности, конструктивно описывается степень равномерно полной векторной решетки. Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, Х\,... 6 Е. Введем следующие обозначения: пусть (х\,..., Хм) обозначает подрешетку в Е, порожденную множеством {жь ... Нот((жх,..., х^)) — мно-

жество всех К-значных решеточных гомоморфизмов на (хх>... ат.[ — к-ю координатную функцию в К* т. е. т.-, : (¿1,... , ¿дг) и.

Положим по определению

И := [хг,... ,хм] := {(^(хх),.. .,ш(хх)) : и <Е Нот((хх,...

Множество С С называется коническим, если А С С С для всех А ^ 0. Обозначим через Ж [С, [у]) векторную решетку, состоящую из всех непрерывных функций на [у] С С, обладающих свойством положительной однородности, т. е. /(А£) = А/(¿) для всех £ 6 С и А ^ 0. Ясно, что 34?{С, [у]) — векторная решетка относи-

тельно поточечных операций. Изучение функций / Е Ж [С, [у]), для которых может быть корректно определено ¡{х\, ..., Ждг) называется расширеным функциональным исчислением.

Теорема 2.2.13. Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, х := (х\,..., Х'дг) Е Ем. Предположим, что коническое множество С в содержит [у]. Тогда существует единственный решеточный гомоморфизм

х : / х(/) := }{хъ (/ Е Н)),

отображающий Ж[С, [р]) в Е такой, что х(тг) = а^ (г := 1,..., А^). Более того, образ у^(Ж{С, [у])) совпадает с замыканием (х\,..., ждг) относительно сходимости с регулятором и:= |х'1| + • • • + ||-Доказательство. Можно найти в [58]. □

Рассмотрим интересующую нас реализацию степени равномерно полной векторной решетки Е (см. [38]).

Пусть функции ^ : 1 1 и : I5 ^ К - функции, определяемые формулами $5(£) := и J3(tl,..., := г^1^ • • • и положим по определению а3(Ь, и) := (£й + и:= + т93(и)) (£, и, ¿1,..., Е М). Как видно, и о"3 непрерывны и положительно однородны, значит по теореме 2.2.13 в Е корректно определены элементы Js{x 1,... , х3) и сг3(х, у) для любых х, у, Х\,. .. , х3 Е Е. Пусть х@у:= а3(х,у) и а ^ обозначает отношение порядка в Е.

Теорема 2.2.14. Алгебраическая система ЕэВ :— (Е, ф, ©, является векторной решеткой. При этом пара (ЕэВ, Js) есть 5-ая степень векторной решетки Е.

Доказательство. См. [38, теорема 5.1]. □

Предложение 2.2.15. Если Е — равномерно полная векторная решетка, то существует ортогонально аддитивный порядковый (нелинейный) изоморфизм ¿6. из Е на Eso такой, что l3(—x) = —ts(x), = ¿(|ж|) (х £ Е) и

1>ЛФ) Ф h(y)) = (Xs + ys)1/s (х, у е Е). (2)

доказательство. В качестве is возьмем тождественный оператор в Е, рассматриваемый как оператор из (Е, +, в (Е, 0, Тогда соотношение (2) можно переписать в виде равенства х 0 у = (;х8 + yb)lls, которое совпадает с определением 0. □ Следующая теорема — основной результат параграфа.

Теорема 2.2.16. Пусть Е, F — векторные решетки, Е — равномерно полна и (р : Es —» F — ограниченное ортосимметричное s-линсйное отображение. Тогда отображение S^ : Eso —> F, определенное равенством

(Sy, о ¿s)(x) = ср(х, \х\,..., |ж|) (х £ Е),

есть единственный ограниченный линейный оператор такой, что <р = Sy о ©5.. При этом соответствие ср н S^ является изо-

А /Г Г\ ТЭ/П1УП/^ТЛ ULTV -nr\r\r*rr\r\ О ZJ Г'ФТЭ T~(SJT.. JP\ „ r.ftnso- rr\

L/Oiviui/JJJJJA lipt/V/i jywii^ J. J-/ A-J Q у -1—' ) A J XX Q у ' 1 ) J. y.

Доказательство. Cm. [38, теорема 5.1(ii)]. □

2.3. Фремлиновское тензорное произведение

Подробное изложение параграфа можно найти в работах [46] и [74]. Начнем с определения алгебраического тензорного произведения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3.1. Пусть X и У — векторные пространства. Пара (X 0 У, 0) называется алгебраическим тензорным произведением, если выполнены следующие условия:

(1) X 0 У — векторное пространство;

(2) - билинейный оператор;

(3) для любого векторного пространства Z и любого билинейного оператора Ь : X хУ —Z существует единственный линейный оператор Т : X 0 У —> Z, такой что Т о 0 = Ъ.

Лемма 2.3.2. Для векторных пространств X н У существует единственное с точностью до линейного изоморфизма тензорное произведение (X 0 У, 0).

Лемма 2.3.3. Для и = ЕГ=1 хг ® У% ^ X ®У эквивалентны следующие утверждения:

(1) и = 0;

(2) Е?=1 /(жЖи) = 0 для всех / 6 X« и д 6 У";

(3) Е?=1 /Ми = 0 для всех / е X«;

(4) ЕГ= 19{Уг)х1 = 0 для всех д еУК

Доказательство. См. [74, предложение 1.2]. □

Следующая фундаментальная теорема была доказана Фремли-

ным в [46, теорема 4.2].

Теорема 2.3.4. Пусть Е и Р — векторные решетки. Тогда существует единственная с точностью до решеточного изоморфизма векторная решетка Е 0 Р и решеточный биморфизм 0, удовлетворяющие следующим условиям:

(1) решеточный биморфизм 0 порождает вложение алгебраического тензорного произведения Е 0 Р в Е 0 Р;

(2) если С — произвольная векторная решетка, то суще-

ствует взаимно однозначное соответствие между решеточными би-морфизмами Ь : Е х Е —> (7 и решеточными гомоморфизмами Т : Е 0 Е —> С, устанавливаемое формулой Ь = Т о 0;

(3) Е 0 Р плотно в Е 0 Р в том смысле, что для любого и е Е 0 .Р найдутся хо е Е и уо е Е такие, что для любого 6 > О существует элемент V е Е ® Е такой, что \и — V\ ^ 5хо ® уо;

(4) 0 Р порядково плотно в Е0 Р. т.е. для любого О < и е JБ®F найдутся х е Е+ и у е Е+ такие, что 0 < х <£> у ^ и.

Определение 2.3.5. Пару из теоремы 2.3.4 приня-

то называть фрсмлиновским тензорным произведением векторных решеток Е и Р.

Приведем некоторый свойства фремлиновского тензорного произведения, используемые в дальнейшем.

Лемма 2.3.6. Если С — векторная решетка иф:ЕхЕ^С — решеточный биморфизм такой, что ф{х,у) > 0 для всех 0 < х е Е и О < е Р, то Е®Е можно отождествить с векторной подрешеткой в С, порожденной множеством ф(Е х Е).

Доказательство. См. [46, следствие 4.4]. □

Лемма 2.3.7. Пусть Е§ и Ро векторные подрешетки в Е и Е соответственно. Тогда Е{) 0 Р0 можно отождествить с векторной подрешеткой в Е 0 Е, порожденной множеством Е$ 0 Ро.

Доказательство. Пусть 0:£?хр^Р;0р — канонический биморфизм. Тогда его сужение на х Ро удовлетворяет всем требованиям предыдущей леммы. □

Лемма 2.3.8. Пусть Е, Е и О — векторные решетки, С равномерно полна. Тогда для любого положительного билинейного оператора Ь : Е х Е —> С существует единственный положительный

линейный оператор Т : Е 0 Р —> С такой, что Ь — Т о 0. Доказательство. См. [46, предложение 5.1]. □

Лемма 2.3.9. Пусть Е, Р — нормированные векторные решетки и (Р0Р)+ обозначает пересечение конуса положительных элементов векторной решетки Е 0 Р с алгебраическим тензорным произведением Е 0 Р. Тогда справедливо равенство

Доказательство. Пусть и е [Е 0 Р)+ и / е Е+, д е Р|. Обозначим через Р конус в Е0Р, порожденный множеством {х0?/ : е е Е+, у ^ Тогда в силу [46, предложение 6.6] существует

последовательность (ип) С Р такая, что Нт® д){ип) — <8>д)(и)-Так как каждый элемент ип е Р имеет вид г/п = ® Уг> гДе

жь...а;п е £+ иуъ...уп е Р+, то (¡®д){ип) = Е^/М/Ы > О для всех гг е N. Поэтому, {/<8>д){и) ^ 0, следовательно, справедливо включение С.

Предположим теперь, что и = ЕГ=1 хг®Уг ^ Е0Р и (/<8>д){и) = ЕГ=1 Кхг)9(Уг) ^ 0 для всех / Е Е+ д Е Р+. Обозначим через Ео и Рд нормированные подрешетки в Е и Р1, порожденные множествами {х-1..., и {у\,..., соответственно, а через Е!0 и Р^ — положительные функционалы на Ео и Ро- Так как Ео и Ро содержат сильные порядковые единицы, то существуют компакты ф и Г2 такие, что Ео и Р0 решеточно изоморфны векторным подре-шеткам в ]) и в С(О) соответственно. Поэтому, будем считать, что Ео 0 Ро является подрешеткой в С (С^ х П). По предположению имеем ЕГ=11{хг)д(Уг) = /(ЕГ=1 9(Уг)хг) > 0 для всех / Е Е'+ д Е Р|. Следовательно, 0 < ЕгП=1 9(Уг)хг ^ -^о для всех 9 £ То-

гда для всех д G F'+ и /0 G Е'0 выполняется 0 ^ /o(X2=i g{Vi)xi) = g{TJi=ifo{xi)yi). Поэтому, о ^ E?=i/o(жОг/t е ^о для всех /0 G Отсюда вытекает fo(xi)go{Уг) > 0 для всех f0 £ Е'0 и д0 £ Fq. Из последнего соотношения следует хг(^)Уг{р) ^ 0 Для всех

t £ Q ирей, т.е. О ^ u — Ya=1 xi®Vi £ Eq® Fq vlb виду [46, предложение 4.5] мы получили u £ (Е (g> □

2.4. Об одном приложении двойственности Минковского

Здесь приведем вариант двойственности Минковского, используемый в дальнейшем. Подробное изложение в [21, Глава 1, §8 ].

Пусть N — натуральное число, Q — компакт и К — замкнутый конус в M.N.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4.1. Оператор Р : К —» C(Q) называют сублинейным, если Р{х + у) ^ Р{%) + Р{у) и Р{Хх) — \Р(х) для всех х,у£К иО^\£Ж.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4.2. Множество линейных операторов из R^ в C(Q), мажорируемых оператором Р, называют опорным множеством Р и обозначают символом дР\ символически:

дР := {A £ L(Rn, C{Q)) : (Va; G К) Ах < Рх},

где L(M.N,C{Q)) — пространство линейных операторов из R^ в C(Q). Элемент из дР называют опорным оператором Р.

Двойственность Минковского — это отображение, связывающее сублинейную функцию со своим опорным множеством. Известно, что для сублинейного оператора р, действующего из векторного про-

зе

странства X в /^-пространство Е имеет место представление

рх = sup Тх (х Е X). (3)

Тедр

В общем случае формула (3) не выполняется для сублинейных операторов, действующих в произвольную векторную решетку. Ниже мы рассмотрим класс сублинейных операторов, область значений которых не является /^-пространством, однако, для этих операторов справедливо представление (3).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4.3. Оператор Р : К —> С(Q) называют непрерывным (соответственно, полунепрерывным снизу), если для любого е > 0 и последовательности (хп) С К, сходящейся к элементу х Е X, выполняется Рх — el ^ Рхп ^ Рх + el (соответственно Рх — el ^ Рхп ) при достаточно больших п, где 1 — функция, равная единице на Q.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4.4. Оператор Р : К —» C(Q) называется равностепенно непрерывным, если для каждого е > 0 и to Е Q найдется окрестность U(to) точки to такая, что

(Px)(to) - е < (Px){t) < {Px)(to) + е

при всех х Е К, ||ж|| ^ 1 и t Е U(to).

Лемма 2.4.5. Всякий непрерывный оператор Р : К —C(Q) равностепенно непрерывен.

Доказательство. В силу непрерывности Р и замкнутости К следует компактность множества Р(К П У) в C(Q), где <5? — единичный шар в Отсюда, из теоремы Арцела-Асколи следует справедливость леммы. □

Следствие 2.4.6. Всякий линейный оператор из в C(Q) непрерывен в смысле определений 2.4.3 и 2.4.4.

Доказательство. Ясно, что линейный оператор из в С (О) непрерывен. Остается применить лемму 2.4.6. □

Следующая теорема основной результат параграфа.

Теорема 2.4.7. Пусть Р : К —» С{0) — сублинейный непрерывный оператор. Тогда справедливо представление

(Рх)(г) = вир{(Ах){ь): А едР} {х е к, г е Я). (4)

доказательство. Распространим Р с замкнутого конуса К на М^, полагая Р{х) := +оо для всех х Е М^ \ К. Тогда из [21, Глава 1, §8 ] и леммы 2.4.5 следует справедливость представления (4). □

Глава 3. Обобщенное функциональное исчисление

3.1. Определение и вспомогательные леммы

В этом параграфе мы приведем определение обобщенного функционального исчисления.

Всюду далее в этой главе Е — равномерно полная векторная решетка, Ь — векторная подрешетка в Е и Л — /-подалгебра в идеальном центре с равномерной топологией. Норма в 3?(Е) задается формулой

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тасоев, Батрадз Ботазович, 2013 год

Литература

1. Асташкин С. В. Интерполяция положительных полилинейных операторов в пространствах Кальдерона — Лозановского // Сиб. мат. журн.—1997.—Т. 38, № б.-С. 1211-1218.

2. Бережной Е. И. Интерполяция положительных операторов в пространствах <р(Хо,Х{). Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений,—Ярославль: Яро-славск. ун-т, 1980.—С. 19-29.

3. Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства.—Новосибирск: Наука, 1978.—368 с.

4. Бухвалов А. В. Нелинейная мажорация линейных операторов // Докл. Акад. Наук СССР.-1988.-Т. 298, № 1.-С. 14-17.

5. Владимиров Д. А. Булевы алгебры.—М.: Наука, 1969.—318 с.

6. Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных прост-ранств.-М.: ГИФМЛ, 1961.-407 с.

7. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.— СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2004.-812 с.

8. Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах.—М.; Л.: Гостехиз-дат, 1950.-548 с.

9. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы,—М.: Мир, 1971.-392 с.

10. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.— 619 с.

11. Кусраев А. Г. О строении ортосимметричных билинейных операторов в векторных решетках // Докл. РАН,—2006.—Т. 408, № 1,— С. 25-27.

12. Кусраев А. Г. Ортосимметричные билинейные операторы в векторных решетках // Исследования по современному анализу и математическому моделированию.—Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН.—2008.—С. 186-225.

13. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциальное исчис-леиие. Теория и приложения.—М.: Наука, 2007.—560 с.

14. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О некоторых свойствах ортосимметричных билинейных операторов // Исследования по математическому анализу.—Владикавказ: ВНЦ РАН.—2011.—Т. 1.— С. 104-124.

15. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О мультипликативном представлении билинейных операторов // Сиб. мат. журн,—2008.—Т. 49, № 2.-С. 357-366.

16. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О билинейных операторах, сохраняющих дизъюнктпость // Владикавк. мат. журн.—2004.—Т. 6, № 1.-С. 58-70.

17. Кусраева 3. А. О представлениии ортогонально аддитивных полиномов // Сиб. мат. журн.-2011.-Т. 52, № 2.-С. 315-325.

18. Кусраева 3. А. Однородные ортогонально аддитивные полиномы в векторных решетках // Мат. заметки.—2012.—Т. 91, № 5.— С. 704-710.

19. Кусраева 3. А., Тасоев Б. Б. О полиномах Магарам // Влади-кавк. мат. журн — 2012.—'Т. 14,№ 4.

20. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа.— Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН им. С.Л. Соболева.—2006.—xii+356 с.

21. Кутателадзе С. С., Рубинов A.M. Двойственность Минковского и ее приложения.—Новосибирск: Изд-во Наука—1976.—250 с.

22. Лозановский Г. Я. О некоторых банаховых структурах // Сиб. мат. журн.—1969.—Т 10, № З.-С. 584-599.

23. Лозановский Г. Я. О некоторых банаховых структурах. II // Сиб. мат. журн.—1971,—Т 12, № З.-С. 562-567.

24. Лозановский Г. Я. О некоторых банаховых структурах. III // Сиб. мат. журн.—1972.—Т 12, № 6.-С. 1304-1313.

25. Лозановский Г. Я. О некоторых банаховых структурах. IV //' Сиб. мат. журн.—1973.—Т 14, № 1.-С. 140-155.

26. Лозановский Г. Я. О функциях от элементов линейной структуры // Изв. высш. учбн. завед. мат.—1973.—Т 12,—С. 45-54.

27. Тасоев Б. Б. Положительные операторы в пространствах Кальдерона — Лозановского // Труды международной конф. молодых ученых «Математически анализ и математическое моделирование»,—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН.—2010.— С. 116-117.

28. Тасоев Б. Б. Замечания о конструкции Кальдсрона — Ло-зановского // Труды международной конф. молодых ученых «Математически анализ и математическое моделирование»,— Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН.-2011.-С. 76-78.

29. Тасоев Б. Б. Конструкция Кальдерона — Лозановского // Исследования по математическому анализу,—Владикавказ: ВНЦ РАН.-2011.-Т. 5.-С. 164-170.

30. Тасоев Б. Б. Магарамово расширение положительного ортосим-метричного билинейного оператора // Владикавк. мат. журн.— 2011.-Т. 13, № З.-С. 64-69.

31. Тасоев Б. Б. Обобщенное функциональное исчисление в векторных решетках // Владикавк. мат. журн,—2013.—Т. 15, № 3.— С. 60-72.

32. Тасоев Б. Б. Обобщенное функциональное исчисление и пространства Кальдерона — Лозановского // Владикавказ: ВНЦ РАН, 2013.-24 е.—(Препринт / ЮМИ ВНЦ РАН; № 1).

33. Шарапудинов И. И. О топологии пространства 0,1] // Мат. заметки—1979.— Т. 26, К0- 4.-С. 613-632.

34. Шефер X. Топологические векторные пространства,—М.: Мир, 1971.-359 с.

35. Энгелькинг Р. Общая топология.—М.: Мир, 1986.—751 с.

36. Яновский Л. П. Порядково р-суммирующие операторы, р-устой-чивые распределения и характеризация Ьр пространств // Сиб. мат. журн.—1986.—Т 27, № 1.-С. 175-179.

37. Aliprantis C. D., Burkinshaw 0. Positive Operators // New York: Academic Press.—1985.—xvi-l 3C7 p.

38. Boulabiar K., Buskes G. Vector lattice powers: /-algebras and functional calculus // Comm. Algebra—2006 —V. 34, № 4.-P. 14351442.

39. Berezhnoi E., Maligranda L. Representation of banach ideal spaces and factorization of operators // Canad. J. Math.—2005.—V. 57, № 5.-P. 897-940.

40. Bu Q., Buskes G., Kusraev A. G. Bilinear maps on product of vector lattices: A survey // Positivity/ Eds. K. Boulabiar, G. Buskes, A. Triki.-Basel a.o.: Birkhäuser.-2007.-P. 97-126.

41. Buskes G., Kusraev A. G. Representation and extension of orthoregular bilinear operators // Vladikavkaz Math. J.—2007.— V. 9, № l.-P. 16-29.

42. Buskes, G., de Pagter.B., van Rooij. A. Functional calculus on Riesz spaces // Indag. Math.(N. S.).-1991.-V. 4, № 2.-P. 423-436.

43. Buskes G., van Rooij A. Squares of Riesz spaces // Rocky Mountain J. of Math.—2004.—V. 31, № l.-P. 45-56.

44. Calderon A.P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method // Studia Math.-1964.-V. 24, № 2.-P. 113-190.

45. Dineen S. Complex Analysis on Infinite Dimensional SpacesBerlin: Springer, 1999.—xv+543 p.

46. Fremlin D. H. Tensor products of Archimedean vector lattices // Amer. J. Math.-1972 -V. 94.-P. 778-798.

47. Fremlin D. H. Tensor products of Banach lattices // Math. Ann.— 1974.-V. 211.—P. 87-106.

48. Foralewski P., Hudzik H. Some basic properties of generalized Calderon-Lozanovskiï spaces // Collect. Math.—1997.—'V. 48, № 4-6-P. 523-538.

49. Haydon R., Levy M., Raynaud Y. Randomly normed spaces.— Hermann, Paris, 1991.—138 p.

50. Kamiriska A., Maligranda L., Persson L. E. Indices, convexity and concavity of Calderon-Lozanovskiï spaces // Math. Scand.—2003.— V. 92—P. 141-160.

51. Krivine J. L. Théorèmes de factorisation dans les espaces réticulés, Seminar Maurey-Schwartz, (1973-74), École Polytech., Exposé 2223.

52. Krugljak N., Maligranda L. Calderon-Lozanovskiï construction on weighted Banach function lattices // J. Math. Anal. Appl.—2003.— V. 288—P. 744-757.

53. Kusraev A. G. Homogeneous functional calculus on vector lattices // Vladikavkaz: VSC RAS, 2008 -34 n -ÎPreo. /IAMI VSC

/ / > A v ■»• /

RAS; m 1.)

54. Kusraev A. G. Orthosymmetric biliniar operators // Vladikavkaz: VSC RAS, 2007.-34 p.-(Prep./IAMI VSC RAS; № 1.)

55. Kusraev A. G. On some properties of orthosymmetric bilinear operators // Vladikavkaz Math. J.-2008.-V. 10, № 3.-P. 29-33.

56. Kusraev A. G. A Radon-Nikodym type theorem for orthosymmetric bilinear operators // Positivity.-2010.-V. 14, № 2.-P. 225-238.

57. Kusraev A. G. Jensen type inequalities for positive bilinear operators // Positivity—2012—V. 16, № l.-P. 131-141.

58. Kusraev A. G. Functional calculus and Minkowski duality on vector lattices // Vladikavkaz Math. J.-2009.-V. 11, № 2.-P. 31-42.

59. Lacey H. E. The Isometric theory of Classical Banach Spaces.— Berlin etc.: Springer-Verlag,—1974.—283 p.

60. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces. Vol. 2. Function Spaces.—Berlin etc.: Springer-Verlag,—1979.—243 p.

61. Luxemburg W. A. J., Zaanen A. C. Riesz Spaces. V. 1.—Amsterdam and London: North-Holland, 1971.-514 p.

62. Maharam D. On positive operators // Contemp. Math.—1984.— V. 26.—P. 263-277.

63. Maurey B. Type et cotype dans les espaces munis de structures locales inconditionnelles. Semin. Maurey-Schwartz, 197374, Exp.24-25.

64. Maligranda L. Positive bilinear operators in Calderon-Lozanovskii spaces // Arch. Math.-2003.-V. 81, № 1-P. 26-27.

65. Maligranda L. Calderon-Lozanovskii spaces and interpolation of operators // Arch. Math.-2003.-V. 81, № 1-P. 26-27.

66. Maligranda L. Calderon-Lozanovskii construction for mixed norm spaces // Springer.—2004.—V. 103, № 4-P. 279-302.

67. Meyer-Nieberg P. Banach Lattices.—Berlin etc.: Springer,—1991— 395 p.

68. Musielak J. Orlicz spaces and modular spaces.—Berlin: SpringerVerlag -1983.-222 p.

69. Nielsen N. J., Szulga J. p-lattice summing operators // Math. Nachr.—1984.—V.-119.—P. 219-230.

70. De Pagter B. /-algebras and orthomorphisms. Thesis-Leiden, 1981.

71. Quinn J. Intermediate Riesz spaces // Pacific J. of Math.—1975.— V.-56, № l.-P. 225-263.

72. Raynaud Y. On duals of Calderon-Lozanovskii intermediate spaces // Stud. Math.-1997 -V. 56, № l.-P. 9-36.

73. Rockafellar R. T. Convex Analysis.—Princeton Univ. Press, Princeton-New Jersey, 1970.

74. Ryan R. A. Introduction to tensor products of Banach spaces.— London: Springer, 2002,—xiv+225 p.

75. Schaefer H.H. Banach lattices and positive operators.—Berlin etc.: Springer, 1974.— xi+376 p.

76. Schwarz H. V. Banach lattices and operators.—Leipzig: Teubner, 1984 —90S n

77. Shestakov V. A. Transformations of Banach ideal spaces and interpolation of linear operators // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math.—1981.—V. 29, № 11-12-P. 569-577.

78. Szulga J. (p,r)-convex functions on vector lattices // Proc. Edinburg Math. Soc.-1994.-V. 37, № 2-P. 207-226.

79. Triki A. On algebra homomorphism in complex almost /-algebras // Comment. Math. Univ. Carolin.-2002.-V. 43, № l.-P. 23-31.

80. Zaanen A. C. Riesz spaces. V. 2.—Amsterdam etc.: North-Holland, 1983.-720 p.

81. Zaanen A. C. Introduction to Operator Theory in Riesz Spaces.— Berlin etc.: Springer,—1997.—325 p.