Геометрические свойства дискретных двупорожденных групп в пространстве Лобачевского тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Рассказов, Алексей Александрович

• Рассказов, Алексей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рассказов, Алексей Александрович

СОДЕРЖАНИЕ.

Введение 3 Глава I. Предварительные результаты

§ 1. Основные определения

1.1. Пространства постоянной кривизны

1.2. Гиперболическая геометрия

1.3. Группа изометрий пространства Лобачевского

1.4. Классификация элементов мебиусовой группы

1.5. Дискретные группы

1.6. Фундаментальные области

1.7. Теорема Пуанкаре 17 § 2. Орбифолды

2.1. Определения

2.2. Локальная структура ориентируемых

трехмерных орбифолдов 23 Глава II. Строение канонического фундаментального множества для орбифолда

§ 1. Двумостовые узлы и зацепления 26 § 2. Фундаментальное множество

орбифолдов п)

2.1. Строение фундаментального множества орбифолдов 0(р/д, 2)

2.2. Фундаментальное множество орбифолда на

узле восьмерка

2.3. Алгоритм построения канонического фундаментального множества для орбифолда 0(р/д, п)

2.4. Теоремы существования и единственности

канонического фундаментального многогранника

'2.5. Примеры 49 Глава III. Изометрии гиперболических многообразий Фибоначчи

§ 1. Введение

§ 2. Симметрии узла восьмерка

§ 3. Максимальность группы О,(п)

§ 4. Фактор-орбифолды 81 Глава IV. Функции роста групп двумостовых узлов и зацеплений

§ 1. Введение

§ 2. Функция роста замощения

§ 3. Функция роста группы двумостового узла

§ 4. Следствия и примеры

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрические свойства дискретных двупорожденных групп в пространстве Лобачевского»

ВВЕДЕНИЕ.

Теория дискретных групп преобразований на плоскости и в прог странстве возникла еще в конце прошлого века в связи с появлением работ Ф.Клейна и А.Пуанкаре. Она была использована ими для изучения многозначных аналитичных функций и решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследуя группу Л4 дробно-линеиных преобразовании расширенной комплексной плоскости С = сиоо, порожденную отражениями относительно окружностей и прямых, А.Пуанкаре обнаружил, что подгруппы, сохраняющие инвариантной верхнюю полуплоскость {1т г > 0 | г 6 С}, группы Л4 являются группами гиперболических изометрий Н2 относительно гиперболической метрики йв2 = \\(1г\\2 / (1тг)2. Развивая геометрический подход, А.Пуанкаре показал, что всякая группа Л4. допускает продолжение в верхнее полупространство Н3 = £ Е3 \г = х + гу £ С, I > 0} и является полной группой изометрий пространства Лобачевского Н3 с гиперболической метрикой (1з2 = {¿х2 + (1у2 + (1г2)/{2. Позже была обнаружена связь между дискретными группами и трехмерными многообразиями.

Однако отсутствие развитого математического аппарата не позволило получить более глубоких результатов. Лишь в шестидесятых годах нашего столетия после появления теории квазиконформных отображений, теория дискретных групп преобразований начинает интенсивно развиваться. В это время появилось большое количество работ, в которых применялись аналитические методы, методы теории квазиконформных отображений, алгебраические, геометрические и топологические методы. Среди них наиболее значительными являются работы Л.Альфорса, П.П.Белинского, Л.Берса, Л.Гринберга, Э.Б.Винберга, С.Л.Крушкаля, М.А.Лаврентьева, А.Мардена, Б.Мас-кита, Ю.Г.Решетняка.

В дальнейшем, изучение клейновых групп ( дискретных групп гиперболических преобразований ) существенно продвинулось за счет использования методов топологии трехмерных многообразий. Новым толчком в развитии теории дискретных групп преобразований послужили работы В.Терстона. Он показал, что почти любое трехмерное многообразие допускает введение метрики постоянной кривизны и тем самым может быть описано с помощью теории дискретных групп преобразований, действующих в трехмерном пространстве Лобачевского. Кроме него большой вклад здесь внесли работы Г.Мостова, Д.Сулливана, Г.Маргулиса. Таким образом, современная теория дискретных групп преобразований оказалась на стыке нескольких направлений - топологии, геометрии, теории функций и теории групп.

Во многих вопросах теории клейновых групп решающую роль играют специфические свойства неевклидовой геометрии. В связи с этим в последнее время получили новое развитие геометрические идеи, заложенные в работах А.Пуанкаре.

В настоящей работе изучаются дискретные группы преобразований, действующих в пространствах постоянной кривизны. Полученные результаты использованы для нахождения полной группы изо-метрий многообразий Фибоначчи и функции роста для групп двумо-стовых узлов и зацеплений.

Методика исследования. В работе используются геометрические методы теории дискретных групп и теории геометрических структур на многообразиях и орбифолдах.

Научная новизна и практическая значимость работы. В диссертации получены следующие основные результаты:

I. Построено фундаментальное множество для групп двумостовых узлов и зацеплений.

II. Вычислены функции роста для групп двумостовых узлов и зацеплений.

III. Вычислена полная группа изометрий гиперболических многообразий Фибоначчи.

Все полученные результаты являются новыми и могут быть использованы для дальнейшего развития геометрии многообразий, геометрической теории функций и теории групп.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на XXXIV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" ( г.Новосибирск, 1996 ), Школе-конференции "Алгебра и анализ" ( г.Новосибирск, 1996 ), Втором Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике ( г.Новосибирск, 1996 ), Школе-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М.Гагаева ( г.Казань, 1997 ), 29-й Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" ( г.Екатеринбург, 1998 ), Школе-конференции по фуксо-вым группам ( г.Ланкастер, 1998 ), Международной алгебраической конференции посвященной памяти А.Г.Куроша ( г.Москва, 1998 ), Международном Математическом Конгрессе ( г.Берлин, 1998 ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [68] - [73].

Объем диссертации. Диссертация изложена на 105 страницах, состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 73 наименований, содержит 22 рисунка и 8 таблиц.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

В первой главе приведены предварительные сведения, а также формулировки основных определений и теорем, используемых в диссертации.

Вторая глава диссертации посвящена построению фундаментального множества для орбифолдов 0(р/д, п) с носителем трехмерная сфера, сингулярным множеством двумостовый узел или зацепление р/д и сингулярной особенностью 2тг/п в сферическом, евклидовом и гиперболическом трехмерных пространствах. Ее основная цель состоит в том, чтобы построить простейшее возможное фундаментальное множество для 0(р/д,п) в том смысле, что оно имеет всего две пары взаимно эквивалентных криволинейных граней. Построенный фундаментальный многогранник невыпуклый и состоит из 2р тетраэдров, вершины которых могут быть определены каноническим способом из представления фундаментальной группы орбифолда.

В разделе 2.1 будет построено каноническое фундаментальное множество для орбифолдов 0(р/<?, 2) в сферическом пространстве ( топологическое строение таких орбифолдов приведено в работе Дж.Минку-са [55] ). Аналогичное построение может быть проведено не только в сферическом пространстве, но также и в евклидовом и гиперболическом пространствах. Это будет сделано в разделе 2.3.

В разделе 2.2 будет построено фундаментальное множество орбифолда (9(5/2, п) на узле восьмерка в сферическом, евклидовом и гиперболическом пространствах. Кроме того, для фундаментального множества группы орбифолда 0(5/2,3), реализующегося в евклидовом пространстве, будут приведены целочисленные декартовы координаты вершин фундаментального многогранника. Здесь же будут построены в некотором смысле фундаментальные многогранники для конических структур на узле восьмерка в сферическом, евклидовом и гиперболическом пространствах.

Завершат вторую главу алгоритм для построения канонического фундаментального множества орбифолда ö{p/q, п) в общем случае и иллюстрирующие его примеры.

В главе III будет разработан геометрический метод вычисления группы изометрий замкнутых трехмерных гиперболических многообразий.

Основным результатом главы является следующая

Теорема 3.6 Полная группа изометрий Isom(Mn) гиперболического многообразия Фибоначчи Мп, п > 4; состоит из 8п элементов и имеет следующее представление:

Isom(Mn) = {х,у\хЪг = уА = {ух)2 = (y~lxf = 1).

Доказательство теоремы использует методы теории трехмерных орбифолдов, классические результаты Дена о симметриях узла восьмерка и оценок Ф.Геринга и Г.Мартина для расстояний между осями элементов конечного порядка в дискретной группе движений пространства Лобачевского.

Частный случай этого утверждения, когда фундаментальная группа многообразия Фибоначчи является арифметической, т.е. для п = 4,5,6,8,12, был доказан теоретико-числовыми методами К.Маклач-ланом и А.Райдом в [49].

Глава IV посвящена вопросам роста групп двумостовых узлов и зацеплений. Используя построенное в главе II фундаментальное множество и связь между функцией роста группы и функцией роста замощения пространства фундаментальным многогранником той же группы, будет доказан следующий результат:

Теорема 3.5 Функция роста группы G двумостового узла или зацепления munap/q имеет следующий, вид:

R(t) =_(t + i)((p ~ q)qt2p — ptp + l)_

(Р- q)qt2p+l - 3(р - q)qt2P + рР>+1 + ptp - 3t + 1

Кроме того, в замечании 3.8 будет установлен порядок роста групп двумостовых узлов и зацеплений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рассказов, Алексей Александрович, 1998 год

Литература

[1] Андреев Е.М., О выпуклых многогранниках в пространстве Лобачевского, Ма-тем. сб., том 81, N.3 (1970), 445-478.

[2] Андреев Е.М., О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского, Матем. сб., том'83, N.2 (1970), 256-260.

[3] Бердон А., Геометрия дискретных групп, М.: Наука, 1986, 304 с.

[4] Веснин А.Ю., Медных А.Д., Многообразия Фибоначчи как двулистные накрытия над трехмерной сферой и гипотеза Мейергофа - Поймана, Сиб. матем. журн., том 37, N.3 (1996), 534-542.

[5] Веснин А.Ю., Медных А.Д., Гиперболические объемы многообразий Фибоначчи, Сиб. матем. журн., том 36, N.2 (1995), 266-277.

[6] Винберг Э.Б., Дискретные группы, порожденные отражениями в пространствах Лобачевского, Матем. сб., том 72, N.3 (1967), 471-488.

[7] Винберг Э.Б., Некоторые примеры кристаллографических групп в пространствах Лобачевского, Матем. сб., том 78, N.4 (1969), 633-639.

[8] Винберг Э.Б., Гиперболические группы отражений, Усп. мат. н., том 40, N.1 (1985), 26-66.

[9] Григорчук Р.И., Ii проблеме Милнора о групповом росте, Докл. АН СССР, том 271, N.1 (1983), 31-33.

[10] Ефремович В.А., Геометрия близости римановых многообразий, Усп. мат. н., том 8, N.5 (1953), 198.

[11] Коксетер Г., Мозер У., Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп, М.: Наука, 1980.

[12] Кроуэлл Р., Фокс Р., Введение в теорию узлов, М.: Мир, 1967.

[13] Линдон Р., Шупп П., Комбинаторная теория групп, М.: Мир, 1980.

[14] Медных А.Д., Группы автоморфизмов трехмерных гиперболических многообразий, Докл. АН СССР, том 285, N.1 (1985), 40-44.

[15] Медных А.Д., О группе изомет.рий гиперболического пространства додекаэдра Зейферта-Вебера, Сиб. матем. журн., том 28, N.5 (1987), 134-144.

[16] Шварц A.C., Объемный инвариант накрытий, Докл. АН СССР, том 105, N.1 (1955), 32-34.

[17] Alonso J.M., Growth functions of amalgams, Arboreal group theory (R.C.Alperin, ed.), Math.Sei.Res.Inst.Publ. 19, Springer-Verlag, New-York 1991, 1-34.

[18] Benedetti R., Petronio C., Lectures on Hyperbolic Geometry, Universitext, Springer, 1992.

[19] Borel A., Commensurability classes and hyperbolic volumes, Annali Sei. Norm. Pisa 8 (1991), 1-33.

[20] Bourbaki N., Groupes et algebres de Lie, Chapitres 4,5 et 6, Masson, Paris, 1981.

[21] Bürde G., Zieschang H., Knots, de Gruyter Studies in Mathematics, Berlin - New-York, 1985.

[22] Conway J., Advanced problem 5327, Amer. Math. Monthly 72 (1965), 915.

[23] Crowell R.H., Fox R.H., Introduction to knot theory, Grad. Texts Math. 57, Springer Verlag, 1963.

[24] Dehn M., Dei beiden Kleeblattschlingen, Math. Ann. 75 (1914), 402-413.

[25] Dunbar W.D., Meyerhoff G.R., Volumes of hyperbolic 3-orbifolds, Indiana Univ. Math. J., 43, 2, 1994, 611-638.

[26] Epstein D.B.A., Petronio C., An exposition of Poincarè's polyhedron theorem, L'Enseignement Mathématique, 40, 1994, 113-170.

[27] Fenchel W., Elementary Geometry in Hyperbolic Space, Walter de Gruyter, Berlin-New York 1989.

[28] Feng Luo, Möbius Cone structure on 3-manifolds, J.Differential Geometry, 41, 1995, 319-341.

[29] Gehring F.W., Martin G.J., Commutators, collars and the geometry of Möbius groups, Journal D'Analyse Mathématique 63 (1994), 175-219.

[30] Gromov M., Groups of polynomial growth and expanding maps, Publ. Math. IHES 53 (1981), 53-73.

[31] Haeflieger A., Quach N.D., Une presentation du groupe findamental d'une orbifold, Asterisque 116 (1984), 185-192.

»

[32] Helling H., Kim A.C., Mennicke J.L., Some Honey-combs in the hyperbolic 3-space, Preprint, 92-026.

[33] Helling H., Kim A.C., Mennicke J., A geometric study of Fibonacci groups, SFB-343 Bielefeld, Diskrete Strukturen in der Mathematik, Preprint, 1988.

[34] Hempel J., 3-manifolds, Annals of Math Studies, 86, Princeton Univ. Press, 1976.

[35] Hempel J., The lattice of branched covers over the figure-eight knot, Topology and its Applications 34 (1990), 183-201.

[36] Hilden H.M., Losano M.T., Montesinos-Amilibia J.M., On a remarkable polyhedron geometrizing the figure eight knot cone manifolds, Preprint.

[37] Hilden H.M., Losano M.T., Montesinos-Amilibia J.M., On Volumes and Chern-Simons Invariant of Geometric 3-manifolds, J.Math. Soc. Univ. Tokyo, 3, 1996, 723-744.

[38] Hilden H.M., Losano M.T., Montesinos-Amilibia J.M., Geometry and arithmetic of knots, Journal of Knot Theory, 4, 1, 1995, 81-114.

[39] Hilden H.M., Losano M.T., Montesinos-Amilibia J.M., On the arithmetic 2-bridge knots and link orbifolds and a new knot invariant, Journal of Knot Theory and Its Rammifkations, 4, 1 (1995), 81-114.

[40] Hilden H.M., Losano M.T., Montesinos-Amilibia J.M., A Characterization of Arithmetic Subgroups of SL{2,R) and SL(2,C), Math. Nach. 159, 1992, 245-270.

[41] Hilden H.M., Losano M.T., Montesinos-Amilibia J.M., The arithmeticity of the Figure Eight knot orbifold, TOPOLOGY'90, Proceedings of the Research Semestre in Lo.\ Dimensional Topology ( Ohio State University ) ( B. Apanasov, W. Neumann, A. Reid and L. Siebenmann, eds. ), De Gruyter, 1992, 169-183.

[42] Hodgson C., Rubinstein J.H., Involutions and isotopies of lens spaces, Lect. Notes Math. 1144, 1985, 60-96

[43] Johnson D.L., Kim A.C., Song H.-J., The growth of the trefoil group, Groups Korea'94 (eds. A.C.Kim and D.L.Jolmson), de Gruyter, 1995, 157-161.

[44] Johnson D.L., Song H.-J., The growth series of the Gieseking group, Discrete groups and geometry, ( eds. W. J. Harvey and C. Maclachlan ), LMS Lecture Note Ser.173, Cambridge Univ. Press, 1992, 120-124.

[45] Jones K.N., Geometrie Structures on Branched Covers over Universal Links, Contemporary Mathematics 164 (1994), 47-58.

[46] Kojima C., Isometry transformations of hyperbolic 3-manifolds, Tokyo Metropolitan University Preprint, 1987.

[47] Kuiper N., Fairly symmetric hyperbolic manifolds, Preprint IHES, 1989.

[48] Löbell F., Beispiele geschlossener drei-dimensionaler Clifford-Kleinscher Raiime negative Kriimung, Ber. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig 83 (1931), 167-174.

[49] Maclachlan C., Reid A., Generalised Fibonacci Manifolds II, to appear in Transformation Groups 1997.

[50] Magnus W., Untersuchungen über einige unendliche diskontinuierliche Gruppen, Math. Ann. 105 (1931), 52-74.

[51] McCullough D., Automorphisms of punctured-surface bundles, Geometry and Topology 105 (1987), 179-211.

[52] Mednykh A.D., Vesnin A.Yu., On three-dimensional hyperbolic manifolds of Löbell type, in: Complex Analysis and Applications'85, eds.: L. Iliev and I. Ramadanov. Sofia, Publ. House of Bulgarian Acad. Sei. 1986, 40-44.

[53] Milnor J., Problem 5603, Amer. J. Monthly 75, 6 (1968), 685-686.

[54] Milnor J., A note on curvature and the fundamental group, J.Diff.Geometry 2, 1968, 1-7.

[55] Minkus J., The branched cyclic coverings of 2-bridge knots and links, Memoirs of AMS 35, (1982).

[56] Morimoto K., Sakuma M., On unknotting tunnels for knots, Math. Ann. 289 (1991), 143-167.

[57] Ratcliife J.G., Foundations of hyperbolic manifolds, Graduate texts in mathematics 149, Springer, 1994.

[58] Rolfsen D., Knots and links, Publish of Perish Inc., Berkely Ca., 1976.

[59] Seifert H., Weber C., Die beiden Dodekaedrraiime, Math. Z. 37 (1933), 237-253.

[60] Shmatkov R.N., On a Cone-Manifold with the Euclidean Structure on the Whitehead Link, Preprint, 1997.

[61] Smyth N., Growth functions and Euler series, Invent.Math. 77 (1984), 517-531.

[62] Thomas R.M., The Fibonacci groups revised, in: Groups St. Andrews 1989, edited by D.Johnson, London Math. Soc. Lecture Notes Series 160, 445-456.

[63] Thurston W., The geometry and topology of 3-manifolds, Lecture Notes, Princeton University 1980.

[64] Vinberg E.B., Shvartsman O.V., Discrete groups of motions of spaces of constant curvature, Encycl.Math.Sc., Geometry II, Springer, Berlin Heidelberg New-York, 19УЗ, 139-254.

[65] Wagreich P., The growth functions of a discrete group, Group action and vector fields, Lect.Notes in Math. 956, Springer, Berlin, 1982, 125-144.

[66] Wolcott K., The knotting of theta curves and other graphs in §3, Geometry and Topology 105 (1987), 325-346.

[67] Zimmermann В., On the Hantzche-Wendt manifold, Monatsli. Math. 110 (1990), 321-327.

Работы автора по теме диссертации.

[68] Веснин А.Ю., Рассказов А.А., Группы изометрий гиперболических многообразий Фибоначчи, Материалы конференции, посвященной 100-летию Б.М.Гагаева, Казань, 1997, 48-49.

[69] Веснин А.Ю., Рассказов A.A., On Isometrics of the Hyperbolic Fibonacci Manifolds, Bielefeld Preprint Series, 97-114, 1997, 1-23.

[70] Mednykh A., Rasskazov A., On the structure of the canonical fundamental set for the 2-bridge link orbifolds, Bielefeld Preprint Series, 98-062, 1998, 1-32.

[71] Рассказов А.А., О геометрических кристаллах, связанных с узлом восьмерка, Материалы XXXIV международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 1996, 71-72.

[72] Рассказов А.А., О функциях роста групп двумостовых узлов и зацеплений, Тезисы докладов 29-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 1998, 13-14.

[73] Rasskazov A.A., The. structure of the canonical fundamental set for the 2-bridge link orbifolds, Abstracts of Short Communications and Posters, ICM 1998 Berlin, 19b>o, 95-96.