Разветвлённые накрытия римановых поверхностей и графов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Лимонов, Максим Петрович

• Лимонов, Максим Петрович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Лимонов, Максим Петрович

Оглавление

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Разветвленные накрытия римановых поверхностей

1.2. Разветвлённые накрытия графов

1.3. Графы групп и теория униформизации

Глава 2. Точки Вейерштрасса как точки ветвления голоморфных отображений

2.1. Циклические накрытия и теорема Левитса

2.2. Обобщение теоремы Левитса на случай нерегулярных накрытий

2.3. Накрытия регулярного типа и точки Вейерштрасса

Глава 3. Группы с разбиениями, действующие на графах

3.1. Дискретная версия теоремы Акколы о группах, допускающих разбиения

3.2. 7-г1шсрэллинтические графы

Глава 4. Гиперэллиптические графы и поднятие гиперэллиптической инволюции

4.1. Поднятие гиперэллиптической инволюции на абелевы накрытия

4.2. Поднятие гиперэллиптической инволюции на нерегулярные накрытия

Заключение

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разветвлённые накрытия римановых поверхностей и графов»

Введение

В диссертации исследуются разветвлённые накрытия римановых поверхностей и их дискретные аналоги.

В первой части изучаются точки Вейерштрасса как точки ветвления голоморфных отображений римановых поверхностей. Обобщается на случай нерегулярных накрытий теорема Левитса о связи точек Вейерштрасса и числа неподвижных точек автоморфизма римановой поверхности. На основе этого обобщения даётся новый способ нахождения точек Вейерштрасса па накрытиях регулярного типа.

Другая часть диссертации посвящена актуальной в последнее время дискретизации теории римановых поверхностей. Роль римановых поверхностей играют конечные связные графы, а голоморфные отображения заменяются на гармонические. Оказывается, что категория графов с гармоническими морфизмами между ними отражает многие свойства классической теории римановых поверхностей. В диссертации предлагается новый метод униформизации регулярных и нерегулярных накрытий графов, основанный на теории графов групп Басса - Серра. С помощью этого метода устанавливаются теоремы об обобщённых гиперэллиптических графах и поднятии гиперэллиптической инволюции на нерегулярные накрытия.

Общая характеристика работы

Актуальность и обзор темы исследования

Теория римановых поверхностей возникла на основе классических работ Римана и Гурвица в конце 19 - начале 20 веков. Первоначально риманова поверхность определялась как разветвлённое накрытие над сферой Римана. Позже понятие разветвлённого накрытия естественным образом переросло в понятие голоморфного отображения одномерного комплексного многообразия (римаиовой поверхности). При этом выяснилось, что образом такого отображения может быть не только сфера, но также любая другая риманова поверхность. Важную роль в этой теории играет наличие точек ветвления. Наибольший интерес здесь представляет случай, когда порядок ветвления отображения достаточно велик по отношению к роду поверхности. В этом случае возникают так называемые точки Вейерштрасса. Более точно, точка Р на римановой поверхности X рода д > 2 называется точкой Вейерштрасса, если на X существует мероморфная функция с полюсом порядка < д в точке Р и регулярная в других точках. Несмотря на то, что точки Вейерштрасса являются классическим объектом, до сих пор не существует простого метода их нахождения на римановых поверхностях. В середине 20 века Бруно Шёнеберг [1) предложил метод, позволяющий находить точки Вейерштрасса как неподвижные точки конформных автоморфизмов, порядок которых определённым образом зависит от рода поверхности и рода её фак-ториоверхности по действию этого автоморфизма. Обозначим через о конформный автоморфизм порядка п компактной римановой поверхности X рода д > 2. и через д* — род факториоверхпости X/(а).

Теорема (ЗсЬбпеЬе^ [1]). Неподвижная точка Р автоморфизма а порядка п является точкой Вейерштрасса, если д* ^ [д/п]7 где [х] — целая часть х.

Теорема Шёнеберга не получила широкого распространения в литературе. Более известной является эквивалентная ей теорема Левит-са, опубликованная в 1963 г. и включающая число неподвижных точек автоморфизма сг, которое мы обозначим через ¿.

Теорема (Ьеш^ей [2]). Если точка Р не является точкой Вейер-штрасса на X и с(Р) — Р, то автоморфизм, а имеет не менее 2 и не более ^ неподвиэ!сных точек, и род д* поверхности X/(а) даётся формулой д* = [д/п]. Записывая д в виде д = д*п + г, существует только три возможных случая:

(a) г = 0, д = д*п, £ = 2.

(b)г = ^, д={д* + 1)п-1, ¿ = з.

(c) г = п- 1, д= (д* + 1)п - 1, Ь = 4.

Эта теорема имеет два следствия, которые приведены в статье Ларчсра [3]. Первое говорит о том, что если нетривиальный конформный автоморфизм а компактной римаповой поверхности рода д > 2 имеет более 4 неподвижных точек, то все эти точки являются точками Вейерштрасса. Следует отметить, что формулировка именно этого следствия обычно приводится в литературе как теорема Ле-витса. Второе следствие утверждает, что если а имеет единственную неподвижную точку Р. и суммарный порядок ветвления В накрытия 7Г : X —> Xх удовлетворяет неравенству В > Ап — 2 или В < 2п — 4, то Р является точкой Вейерштрасса.

Более подробно случай единственной неподвижной точки автоморфизма и разобран в работе Гуереро [4]: если автоморфизм о имеет единственную неподвижную точку Р, то она должна быть точкой Вейерштрасса, за исключением случая, когда а имеет порядок 6 и д — бд* + 1. В этом исключительном случае накрытие X —> Х/(а) разветвлено над тремя точками. Слои над такими точками состоят из неподвижных точек сг, а2, а3 соответственно. Суммарный порядок ветвления В такого накрытия равен 12, и точка Р является (/-точкой Вейерштрасса, где д > 2 (по поводу обобщенных точек Вейсштрасса см. [5]).

В статье [6] Маклохлин переформулировал и доказал теорему Левитса в терминах фуксовых групп. В формулировке Маклохлина случаи (а)-(с) записаны с помощью сигнатур таких групп.

Работы МакКуилана [7] и Веймана [8] обобщают теорему Левитса на случай произвольного алгебраического функционального поля одной переменной над алгебраически замкнутым основным полем почти произвольной характеристики.

Наконец, теорема Левитса обобщается в статье Гарсиа и Лакса [9] на случай кривых Горнстейна.

Все указанные результаты дают достаточные условия существования точек Вейерштрасса на регулярных циклических накрытиях. В параграфе 2.2 настоящей диссертации показывается, что теорему Левитса можно обобщить на случай нерегулярных накрытий римано-вых поверхностей, и тем самым получить новые способы нахождения точек Вейерштрасса.

В последнее время появилось множество работ различных авторов [10-13], посвящённых дискретным версиям теории римановых но-

верхностей. Роль римановых поверхностей в этих теориях играют конечные связные графы, а голоморфные отображения заменяются на гармонические. Оказывается, что категория графов с гармоническими морфизмами между ними отражает многие свойства классической теории римановых поверхностей. Для них построена теория якобиевых многообразий (дискретными аналогами которых являются конечные абелевы группы) и доказаны аналоги теоремы Римана - Роха и Ри-мана - Гурвица. Многие теоремы классической теории римановых поверхностей также установлены в дискретном случае. Этот подход нашёл эффективные применения к теории кодирования, стохастической теории и финансовой математике. Библиографию по этому вопросу можно найти в [14]. Главы 3 и 4 посвящены дальнейшему обобщению классических теорем из теории римановых поверхностей на графы.

Цель работы

Целью работы является нахождения точек Всйерштрасса на нерегулярных накрытиях римановых поверхностей, а также получение дискретных аналогов классических теорем из теории римановых поверхностей.

Методы исследований

В работе используются методы классического комплексного анализа, топологической теории графов, а также теория графов групп Басса - Серра.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Разработан новый способ нахождения точек Вейерштрасса на

нерегулярных накрытиях римановых поверхностей.

2. Обобщена теорема Левитса на случай нерегулярных накрытий римановых поверхностей.

3. Разработан новый метод униформизации регулярных и нерегулярных накрытий графов, основанный на теории графов групп.

4. Установлена дискретная версия теоремы Акколы о поднятии гиперэллиптической инволюции на нерегулярные накрытия.

Все основные результаты получены автором лично.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами, работающими в области геометрической теории функций, комплексного анализа, геометрии и теории графов.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на следующих российских и международных научных конференциях и семинарах:

• Школа-конференция по геометрическому анализу молодых учёных, аспирантов и студентов, организованная Горно-Алтайским государственным университетом. Телецкое озеро, 2012.

• Международная (44-я Всероссийская) молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики». Екатеринбург, 2013.

• Республиканская научная конференция «Актуальные вопросы комплексного анализа». Ташкент (Узбекистан), 2013.

Международная конференция «Геометрия и анализ на метрических структурах». Новосибирск, 2013.

Международный молодежный семинар по теории функций и топологии. Горно-Алтайск, 2014.

52-я Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2014.

Russian-Slovenian Workshop «Graphs and Groups, Cycles and Coverings». Новосибирск, 2014.

International Workshop «Maps and Riemann Surfaces». Новосибирск, 2014.

53-я Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2015.

Семинар отдела анализа и геометрии, институт математики им. C.JI. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководитель: академик РАН, д. ф.-м. н., профессор Ю.Г. Решетняк.

Семинар «Инварианты трёхмерных многообразий», институт математики им. C.J1. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководители: чл.-корр. РАН, д. ф.-м. п., А. К). Веснин, д. ф.-м. н., профессор А. Д. Медных.

Семинар «Графы и римановы поверхности», Matcj Bel University. Banska Bystrica, Словакия. Руководитель: профессор Р. Неделя.

Публикации

Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в семи печатных и электронных изданиях [Al-A7], из них две статьи опубликованы в журналах из списка ВАК [А1,А2], пять — в тезисах докладов и материалах конференций [АЗ-А7].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. В работе имеются 10 рисунков. Список литературы содержит 42 наименования и приведён в порядке цитирования, за исключением работ автора по теме диссертации, выделенных в отдельную часть. Общий объём диссертации - 74 страницы.

Содержание работы

Во введении описываются основные результаты диссертации и даётся обзор исследований по теме диссертации.

Первая глава содержит предварительные сведения из теории римановых поверхностей, графов и теории графов групп Басса - Сер-ра.

Вторая глава посвящена разработке новых способов нахождения точек Вейерштрасса на римановых поверхностях. Глава состоит из трёх параграфов.

Первый параграф носит предварительный характер. В нём обсуждаются различные версии классической теоремы Левитса [2], которая утверждает, что если нетривиальный конформный автоморфизм римановой поверхности рода д > 2 имеет более четырёх неподвижных точек, то все эти точки являются точками Вейерштрасса.

Во втором параграфе доказывается обобщение теоремы Левитса

на случай нерегулярных накрытий. Неподвижная точка автоморфизма и порядка п римановой поверхности X является точкой ветвления регулярного накрытия X —» X/ (а). Порядок ветвления такой точки равен п. Основная идея здесь заключается в том, чтобы для произвольного голоморфного отображения римановых поверхностей в качестве аналога неподвижной точки рассматривать точки, порядок ветвления которых равен п, где п — степень отображения. Такие точки мы будем называть точками полного ветвления. Основной результат сформулирован в следующей теореме.

Теорема 7. Пусть X иУ — римаповы поверхности, и род X больше 1. Пусть : X У - голоморфное отображение. Предположим, что ср имеет более 4 точек полного ветвления. Тогда все они являются точками Вейерштрасса.

В том же параграфе устанавливаются две изложенные ниже теоремы. Пусть ср : X —> У — голоморфное отображение степени п римановых поверхностей родов д и 7 соответственно. Следуя Акколе [15], назовём отображение <р строго разветвлённым, если д > п27+(п—I)2.

Теорема 8. Пусть X и У — римаповы поверхности, и род X больше 1. Пусть ср : X —> У ~ строго разветвлённое отображение, а Р — точка полного ветвления отображения (р. Тогда Р является точкой Вейерштрасса на X.

В следующей теореме даны дополнительные условия, позволяющие но сравнению с теоремой 7 уменьшить количество точек полного ветвления до двух. При этом, из всех точек полного ветвления точками Вейерштрасса окажутся только те, которые снова перейдут в точки Вейерштрасса.

Теорема 9. Пусть X и У — римаиовы поверхности, и род У больше 1. Пусть <р : X —» У — голоморфное отобраэ/сение. Предположим, что (р имеет больше одной точки полного ветвления. Пусть Р — одна из этих точек и <р(Р) — точка Вейершгпрасса на У. Тогда Р — точка Вейерштрасса на X.

В третьем параграфе на основе приведённой выше теоремы 7 предлагается новый способ нахождения точек Вейерштрасса на накрытиях регулярного типа.

Пусть (р : X —> У — разветвлённое накрытие римановых поверхностей. Для любой точки у £ У множество <р~1{у) называется слоем над у. Если слой содержит точки ветвления, то он называется сингулярным. Если каждый сингулярный слой состоит из точек ветвления с одинаковыми порядками (своими для каждого слоя), то уэ называется накрытием регулярного типа. Основной результат этого параграфа составляет следующая теорема.

Теорема 11. Пусть X и У - римановы поверхности, а (р : X —> У -N-листное накрытие регулярного типа. Предположим, что (р имеет г сингулярных слоев, и 1-й состоит из N¡гп{ точек ветвления порядка ТП{, г = 1,..., г. Пусть (I - положительное целое число > 1. Рассмотрим мноэюество Хл точек ветвления отобраэ/сения <р, порядки которых делятся на (1 и предполоэ/сим, что N/пц > 4, а

с1:(1\т1

накрытие <р разлооюимо в композицию отобраэ/сений (р = ф о /7 где / — накрытие степени (1. Тогда все точки множества Х^ являются точками Вейерштрасса.

Главы 3 и 4 посвящены актуальной в последнее время дискретизации теории римановых поверхностей. Роль римановых новерхно-

стей играют конечные связные графы, а голоморфные отображения заменяются на гармонические. Оказывается, что категория графов с гармоническими морфизмами между ними отражает многие свойства классической теории римановых поверхностей.

Обозначим через У(Х) множество вершин и через Е(Х) множество направленных рёбер графа X. Функции 5.1 : Е(Х) —> У{Х) определяют начало и конец направленного ребра соответственно. Мор-физм (р : X —> У графов называется гармоническим отображением или разветвлённым накрытием, если для всех х 6 У(Х), у 6 У (У) таких, что у — (р(х), количество

|е € Е(Х) : х = ¿(е), <р(е) = е'|

одинаково для всех рёбер е! <Е Е(У) таких, что у = 5(е'). Пусть (7 < Аи^Х) — группа автоморфизмов графа X. Будем говорить, что группа С действует гармонически на графе X1 если для всех подгрупп Н < С канонические проекции (рн '■ X —> X/Н являются гармоническими. Если (7 действует гармонически и без обратимых рёбер, то будем говорить, что С действует чисто гармонически на X. Род графа определяется как ранг его первой группы гомологий.

В третьей главе доказываются дискретные версии теорем Ак-колы о группах, действующих на римановых поверхностях и допускающих разбиения [16, 17]. Эти результаты применяются для установления свойств 7-гиперэллиитических инволюций на графах. Третья глава делится на два параграфа.

В первом параграфе устанавливаются дискретные версии теорем Акколы о группах с разбиениями. Говорят, что конечная группа С допускает разбиение {6?1.....СА.}, где С; < С и 5 > 1, если С = 1^=1

и Сг П Gj = {1}, г^ — 1,2,... ,5, г ф ]. Следующий результат по сути является формулой Римапа - Гурвица, записанной без индексов ветвления.

Теорема 12. Пусть X - граф рода д. Предположим, что группа Оо < действует на X чисто гармонически и допускает разбиение {Сх,..., Обозначим щ = д1 — д(Х/Сг); где г = 0,1,..., в. Тогда

Граф X рода д > 2 называется 7-гиперэллиптическим, если существует гармоническое отображение F : X —» У степени 2, где граф У имеет род 7. Накрывающая инволюция этого отображения называется 7-гиперэллиптической. В следующем утверждении устанавливается условие, при котором 7-гиперэллиптическая инволюция единственна.

Предложение 2. Пусть 7 — неотрицательное целое число и X -граф рода д > 47 + 1. Предполоэюим, что J — автом,орфизм второго порядка, действующий чисто гармонически на X и такой, что род Х/(Т) равен 7. Тогда 3 единственен, и группа {</) центральна в полной группе автоморфизмов графа X.

Непрерывная версия этого результата для римановых поверхностей получена в работе Р. Д. М. Акколы [16]. В диссертации приведён пример, показывающий, что полученная в предложении 2 оценка д > 47 + 1 не улучшаема.

Второй параграф иосвящён доказательству дискретного аналога результатов Р. Д. М. Акколы [16] и Е. Бухаланса [18] о 7-гипсрэл-

.5

1 = 1

липтических поверхностях. Этот аналог сформулирован в следующей теореме.

Теорема 14. Пусть X — неразветвлённое накрытие степени 2 над гиперэллиптическим графом У рода д > 2. Тогда граф X является 7-гиперэллиптическим для, некоторого 7 < [^г1] •

В доказательстве этого результата используется теория графов групп Басса - Серра для униформизации накрытий графов.

В четвёртой главе устанавливается существование нерегулярного накрытия произвольной нечётной степени над любым гиперэл-линтическим графом, что является дискретной версией теоремы Ак-колы [19].

В первом параграфе устанавливается предложение 3, используемое в доказательстве основного результата главы. Индекс д в записи Хд обозначает род графа.

Предложение 3. Пусть Хр —> Хч — циклическое накрытие графов степени п, где Хд — гиперэллиптический граф. Тогда сквозное гармоническое отобралсение Хр —»• Хя —> А^о регулярно, а его группа преобразований налоэ!сения изоморфна диэдральиой группе порядка 2п.

Во втором параграфе получен следующий основной результат. Для его доказательства используется теория графов групп Басса -Серра и теория униформизации накрытий графов.

Теорема 15. Пусть Хя - гиперэллиптический граф, и п — любое положительное нечётное число. Тогда существует нерегулярное неразветвлённое накрытие Хр —>■ Хя степени п такое, что Хр - гиперэллиптический граф.

В заключении диссертации приведены итоговые результаты.

17

Глава 1

Предварительные сведения

В этой главе даются основные понятия и определения, используемые в дальнейших главах. Параграф 1.1 знакомит с терминологией главы 2. Параграфы 1.2 и 1.3 посвящены главам 3 и 4.

1.1. Разветвлённые накрытия римановых поверхностей

Римановой поверхностью называется одномерное связное комплексное многообразие. В данной работе мы рассматриваем только компактные римановы поверхности без края.

Пусть / : X —> У — непостоянное голоморфное отображение римановых поверхностей, и в локальных координатах точки х Е X отображение / записывается в виде гп = гп. Если п > 1, то точка х называется точкой ветвления порядка п отображения /. Число п при этом называется индексом ветвления отображения / в точке ж, а величина (п — 1) — порядком ветвления отображения / в точке х. Сумму порядков ветвления отображения / по всем точкам х е X назовём суммарным порядком ветвления отображения / и обозначим через В. Пусть у = /(х), где х не является точкой ветвления. Тогда количество прообразов точки у называется степенью отображения /.

Непостоянные голоморфные отображения римановых поверхностей называются накрытиями этих поверхностей. Если непостоянное голоморфное отображение имеет точки ветвления, то накрытие называется разветвлённым. В противном случае — неразветвлённым.

Пусть / : X —> У — накрытие римановых поверхностей. Множество конформных гомеоморфизмов : X —> X таких, что / о р> = f образует группу которая называется группой преобразований наложения накрытия /.

Накрытие / : X —> У называется регулярным, если его группа преобразований наложения действует транзитивно на каждом слое /-1(2/)> У £ У- В этом случае поверхность У оказывается изоморфной факторповерхности Х/й, и накрытие / является канонической проекцией / : X —> Х/й. Накрытие, не являющееся регулярным, называется нерегулярным.

Приведём следующее важное соотношение.

Теорема (формула Римана - Гурвица). Пусть / : X —> У — накрытие римановых поверхностей степени п. Предположим, что род поверхностей X и У равен д и 7 соответственно. Тогда справедливо соотношение

2<7 - 2 - П(27 -2) + В, где В — суммарный порядок ветвления накрытия /.

Обратимся к понятию точки Вейерштрасса.

Определение 1. Пусть риманова поверхность X имеет род д > 2. Точка Р е X называется точкой Вейерштрасса, если на X существует мероморфная функция, которая в точке Р имеет полюс порядка < д и регулярная в других точках.

Количество точек Вейерштрасса на римановой поверхности ограничено снизу и сверху величиной 2д + 2 и дг — д соответственно. Также существует понятие обобщённой точки Вейерштрасса, но в данной работе мы его не рассматриваем.

1.2. Разветвлённые накрытия графов 1.2.1. Графы

Следуя Жан-Пьеру Серру [20], определим граф следующим образом.

Определение 2. Граф X состоит из:

(i) множества вершин V{X)\

(ii) множества направленных ребер Е(Х), соединяющих вершины; причём с каждым ребром е £ Е(Х) в множество Е(Х) также входит ребро с обратным направлением ё;

(iii) двух функций s,t : Е{Х) —» V(X), определяющих соответственно начальную и конечную вершину ребра;

(iv) инволюции е —У ё множества Е(Х) без неподвижных ребер такой, что s(e) = t{e) и t(e) = 5(e) (смена ориентации).

В настоящей работе рассматриваются конечные связные графы, возможно имеющие кратные рёбра и петли. Множество

St (а) = St* (а) = s~l(a) = {eG Е{Х) | s(e) = а}

назовём звездой вершины а 6 V(X). Величина deg(a) — |St(a)| называется валентностью вершины а. Морфизм графов </? : X —»• У переводит вершины в вершины, ребра в ребра, и для любого е £ Е(Х) выполнено <£>(s(e)) = s(</?(e)), <p{t{e)) — £(</?(е)) и <р(ё) = <р(е). Заметим, что морфизм графов переводит петли в петли. При работе с петлями в графах может оказаться полезным подход с использованием полурёбер, разработанный в [21].

Морфизм графов (р : X —» Y для каждой вершины а G V(x) индуцирует локальное отображение

<ра : Stx(a) StYMa)).

Морфизм <p называется локально биективным, если отображение 'р>а биективно для всех a G V(x). Мы называем <р неразветвлённым накрытием, если ср сюръективно и локально биективно. Биективный морфизм называется изоморфизмом, и изоморфизм <р> : X —> X — автоморфизмом.

Замечание 1. Следует отмстить, что данное нами определение мор-физма графов отличается от определения М. Бейкера и С. Норина [14] в следующим смысле. Пусть ср : X —> Y — морфизм графов и для некоторого е G Е(Х) пусть <p>(s{e)) = <p{t(e)) = b G V{Y). Тогда морфизм ip из работы [14] переведёт ребро е в вершину Ъ. В нашем случае морфизм <р должен отправить ребро е в петлю с вершиной Ь.

1.2.2. Гармонические отображения графов

Определим класс морфизмов графов, называемых гармоническими отображениями, которые имеют много общих свойств с голоморфными отображениями между римановыми поверхностями. Понятие гармонического отображения между графами введено X. Уракавой [22] для простых графов и обобщено М. Бейкером и С. Норином [14] для мультиграфов (графов, имеющих кратные рёбра).

Определение 3. Морфизм <р> : X —»• Y графов называется гармоническим огпобралсением или разветвлённым накрытием, если для всех х G V(X), у G V(У) таких, что у - (р(х), количество

\е G Е(Х) : х = л(е), (р(е) = е'\

одинаково для всех рёбер е' Е Е(У) таких, что у = з(е')-

На Рис. 1.1 приведен пример локальной картины гармонического отображения </?.

Рис. 1.1. Пример слоя гармонического отображения.

Непосредственно проверяется, что композиция двух гармонических отображений снова гармоническое отображение. Следовательно класс графов вместе с гармоническими отображениями между ними образует категорию. Заметим также, что любое неразветвлённое накрытие графов является гармоническим отображением.

Пусть if : X —> Y — гармоническое отображение и х 6 V{X). Мы определяем кратность отображения (р в вершине х формулой

тД.х) = \ее Е{Х) : х = 5(e), ц>{е) = е'\

для любого ребра е' G Е{Х) такого, что <р(х) = s(e'). По определению гармонического отображения, кратность mip(x) не зависит от выбора е'. Если т^{х) > 1 для некоторой вершины х £ V(X), то такая вершина называется точкой ветвления отображения <р>. Образ <+>{х) точки

ветвления будем называть критическим значением. На Рис. 1.1 кратность <р в вершинах а, Ъ и с равна 3, 1 и 2 соответственно. Вершины а и с являются точками ветвления.

Определим степень гармонического морфизма <р : X У как величину

¿её(<р):=\ееЕ(Х):1р(е) = е'\ (1.1)

где е' € Е(У) — любое ребро графа У. Из определения гармонического отображения графов и их связности следует, что правая часть (1.1) не зависит от выбора е', и следовательно deg((p) определена корректна. На Рис. 1.1 степень отображения равна 6.

Пусть дан граф X. Для удобства введём обозначения Ех '■= \Е{Х)\/2 и Ух := |У(Х)|. Тогда род графа X определяется формулой

д(Х) = ЕХ - Ух+ 1.

Эта величина совпадает с рангом первой группы гомологий графа и с его цикломатическим числом. Заметим, что эйлерова характеристика Хх графа X связана с его родом формулой = 1 — д(Х). Докажем формулу Римана - Гурвица для гармонических отображений графов.

Теорема 1 (формула Римана - Гурвица). Пусть (р : X —> У -- гармоническое отображение графов степени п. Предполооюим, что род графов X и У равен д и 7 соответственно. Тогда

9~ 1 = п(7 - 1) + (т^х) - 1), (1.2)

хеУ(Х)

где — кратность отображения (р в вершине V.

Доказательство. Согласно определению гармонического отображения, имеем Ех = пЕу. Подсчитаем количество Ух- Возьмём любое

ребро е € Е(У) и его начальную вершину у = 5(е). Зафиксируем любой её прообраз хо £ (р~1(у). Пусть кратность отображения ср в вершине х0 равна т1р(хо). Тогда ровно т9(.т0) прообразов ребра е имеют общую начальную вершину х0 и \<р>~1(у)\ = п - ~ !)•

Следовательно Ух = пУу — ^хеУ(Х)(тЛх) ~ ■'■)• Теперь запишем эйлерову характеристику графа X и выразим её через эйлерову характеристику графа У:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лимонов, Максим Петрович, 2015 год

Список литературы

1. Schöneberg, B. Über die Weierstrass-Punkte in den Körpern der elliptischen Modulfunktionen / B. Schöneberg // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. - 1951. - Vol. 17. - P. 104 111.

2. Lewittes, J. Automorphisms of Compact Riemann Surfaces / J. Le-wittes // Amer. J. Math. - 1963. - Vol. 85, no. 4. - P. 734-752.

3. Larcher, H. Wcierstrass points at the cusps of Fo(16p) and hyperel-lipticity of T0(n) / H. Larcher // Canad. J. Math. - 1971. - Vol. 23.

- P. 960-968.

4. Guerrero, I. Automorphisms of compact Ricmann surfaces and Weierstrass points /1. Guerrero // Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook, N.Y., 1978) Ann. of Math. Stud. - 1981.

- Vol. 97. - P. 215-224.

5. Accola, R. D. M. On generalized Weierstrass points on Riemann surfaces / R. D. M. Accola // Modular functions in analysis and number theory. Lecture Notes Math. Statist. - 1983. Vol. 5, - P. 1-19.

6. Maclachlan, C. On Schoeneberg's theorem /C. Maclachlan // Glasg. Math. J. - 1973. - Vol. 14, no. 2. - P. 202-204.

7. McQuillan, D. L. A note on Weierstrass points /D. L. McQuillan // Canad. J. Math. - 1967,- Vol. 19. - P. 268-272.

8. Wayman A. K. An elementary proof of a fixed point theorem of J. Lewittes and D.L. McQuillan / A. K. Wayman // Canad. Math. Bull. - 1978. - Vol. 21. - P. 99-101.

9. Garcia, A. Rational nodal curves with no smooth Weierstrass points / A. Garcia, R. F. Lax // Proc. Amer. Math. Soc. - 1996.

- Vol. 124. - P. 407-413.

10. Bâcher, R. The lattice of integral flows and the lattice of integral cuts on a finite graph / R. Bâcher, P. de la Harpe, T. Nagnibeda // Bull. Soc. Math. Fr. - 1997. - Vol. 125. - P. 167 198.

11. Biggs, N. L. Chip-firing and the critical group of a graph/ N. L. Biggs // J. Algebraic Combin. - 1999. - Vol. 9, no. 1. - P. 25-45.

12. Cori, R. On the sandpile group of a graph / R. Cori, D. Rossin // European J. Combin. - 2000. - Vol. 21, no. 4. - P. 447-459.

13. Caporaso, L. Algebraic and tropical curves: comparing their moduli spaces / L. Caporaso // Preprint. - 2011. arXiv: 1101.4821v3.

14. Baker, M. Harmonic morphisms and hyperelliptic graphs / M. Baker, S. Norine // Int. Math. Res. Notes. - 2009. - Vol. 15.

- P. 2914-2955.

15. Accola, R. D. M. Strongly Branched Coverings of Closed Riemann Surfaces / R.D.M. Accola // Proc. Amer. Math. Soc. - 1970. -Vol. 26, no. 2. - P. 315-322.

16. Accola, R. D. M. Riemann Surfaces with Automorphism Groups Admitting Partitions /R. D. M. Accola // Proc. Amer. Math. Soc. -1969. - Vol. 21, no. 2. - P. 477-482.

17. Accola, R. D. M. Two theorems on Riemann surfaces with noncyclic automorphism groups / R. D. M. Accola // Proc. Amer. Math. Soc.

- 1970. Vol. 2. - P. 598-602.

18. Bujalance, E. A classification of unramified double coverings of hyperelliptic Riemann surfaces / E. Bujalance // Arch. Math. - 1986.

- Vol. 47. - P. 93-96.

19. Accola. R. D. M. On lifting the hyperelliptic involution / R.D.M. Accola // Proc. Amer. Math. Soc. - 1994. - Vol. 122, no. 2. - P. 341-347.

20. Serre, J.-P. Trees / J.-P. Serre - New York: Springer-Verlag, 1980.

- 144 p.

21. Malnic, A. Lifting graph automorphisms by voltage assignments / A. Malnic, R. Nedela, M. Skoviera // European Journal of Combinatorics. - 2000 - Vol. 21, no. 7. - P. 927-947.

22. Urakawa, H. A discrete analogue of the harmonic morphism and Green kernel comparison theorems / H. Urakawa // Glasg. Math. J. - 2000. Vol. 42, no. 3. - P. 319-334.

23. Mednykh, A. D. On the Riemann - Hurwitz formula for graph coverings / A. D. Mednykh // Preprint. -- 2015. arXiv: 1505.00321vl [math. AT]

24. Corry, S. Genus bounds for harmonic group actions on finite graphs / S. Corry // Int. Math. Res. Notices. - 2011. - Vol. 19. -P. 4515-4533.

25. Bass, H. Covering theory for graphs of groups / II. Bass // Journal of Pure and Applied Algebra. - 1993. Vol. 89. - P. 3-47.

26. Green, M. T. Graphs of groups: Ph. D. Thesis / M. T. Green. -Tuscaloosa: Department of Mathematics in the Graduate School of The University of Alabama, 2012. - 76 p.

27. Mednykh, A. On Wiman's theorem for graphs / A. Mednykh, I. Mednykh // Discrete Mathematics. - 2015. Vol. 338. - P. 17931800.

28. Miranda, R. Algebraic Curves and Riemann Surfaces / R. Miranda

- Providence: American Mathematical Soc., 1995. - 390 p.

29. Farkas, H. M. Riemann surfaces. Graduate Texts in Math. Vol. 71. / H.M. Farkas, I. Kra. - New York: Springer-Verlag, 1981. - 388 p.

30. Fuertes, Y. Genus 2 semi-regular coverings with lifting symmetries /

Y. Fuertes, A. Mednykh // Glasgow Math. J. - 2008. Vol. 50. -P. 379-394.

31. Медных, А. Д. Разветвленные накрытия римановых поверхностей: дис____канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 / Медных Александр Дмитриевич. - Новосибирск, 1978. - 115 с.

32. Медных, А. Д. Римановы поверхности с циклической группой автоморфизмов / А. Д. Медных // Метрические вопросы теории функций: сборник научных трудов «Наукова думка». - 1980. -С. 72-77

33. Звонкин, А. К. Графы на поверхностях и их приложения / А. К. Звонкин, С. К. Ландо. М.: МЦНМО, 2010. - 480 с.

34. Mednykh, I. Discrete Analogs of Farkas and Accola's Theorems on Hyperelliptic Coverings of a Riemann Surface of Genus 2/1. Mednykh // Mathematical Notes. -2014. - Vol. 96, no. 1. - P. 84-94.

35. W. S. Massey, Algebraic topology: An introduction, 4th corrected printing / W. S. Massey. - New York: Springer-Verlag, 1990. -264 p.

Публикации автора по теме диссертации

Al. Лимонов, М. П. Об обобщении теоремы Левитса о точках Вейер-штрасса / М. П. Лимонов // Сибирский математический журнал. - 2014. - Т. 55, № 6. - С. 1328-1333.

А2. Limonov, М. P. Non-regular graph coverings and lifting the hyperelliptic involution / M. P. Limonov // Сибирские электронные математические известия. - 2015. - Т. 12, - С. 372-380.

A3. Лимонов, М.П. О точках Вейерштрасса для голоморфных отображений римановых поверхностей / М. П. Лимонов // Тезисы докладов Республиканской научной конференции «Актуальные вопросы комплексного анализа», - Ташкент: Национальный университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека. - 2013. - С. 82-83.

А4. Лимонов, М. П. К теореме Левитса о точках Вейерштрасса / М.П. Лимонов // Материалы 52-й Международной научной студенческой конференции МНСК-2014: Математика, - Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т. - 2014. - С. 29.

А5. Лимонов, М. П. К теореме Левитса о точках Вейерштрасса / М.П. Лимонов / / Материалы международного молодежного научного семинара по теории функции и топологии, - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ. - 2014. - С. 27-29.

Аб. Limonov, М. P. On graphs with automorphism groups admitting a partition / M.P. Limonov // GRAPHS AND GROUPS, CYCLES AND COVERINGS, 2014: Abstracts of the Russian-Slovenian Workshop, - Novosibirsk: Sobolev Institute of Mathematics. - 2014. -P. 17.

A7. Limonov, M. P. Hyperellipticity of graphs with automorphism groups

admitting a partition / M. P. Limonov // Материалы 53-й Международной научной студенческой конференции МНСК-2015: Математика, - Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т. - 2015. - С. 70.