Математическое моделирование в задачах оптимального управления ламинарным пограничным слоем в сверхзвуковых потоках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Кузнецов, Валентин Константинович

• Кузнецов, Валентин Константинович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецов, Валентин Константинович

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ ЛАМИНАРНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ НА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛАХ.

1.1. Постановка вариационной задачи.

1.2. Автомодельные решения системы уравнений ламинарного пограничного слоя на проницаемой поверхности.

1.3. Необходимые условия оптимальности.

2. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ.

2.1. Алгоритм поиска оптимального управления.

2.2. О структуре управления в окрестности точки торможения.

2.3. Разностные схемы для уравнений оптимально управляемого пограничного слоя

2.4. Минимизация сопротивления трения на клиновидных профилях.

2.5. Минимизация сопротивления трения на круговом цилиндре.

2.6. Об оптимальном охлаждении криволинейной стенки.

3. О ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ В ПРИБЛИЖЕННОЙ ПОСТАНОВКЕ.

3.1. Аппроксимирующая система второго приближения уравнений ламинарного пограничного слоя.

3.2. Принцип максимума в задаче оптимального управления пограничным слоем.

3.3. Оптимальное управление пограничным слоем на круговом цилиндре.

3.3.1. Аналитические решения.

3.3.2. Вычислительный эксперимент.

3.4. Оптимальное управление пограничным слоем на клиновидных профилях.

3.4.1. Аналитические решения.

3.4.2. Алгоритм построения оптимальных управлений при наличии ограничения на скорость вдува.

3.4.3. Вычислительный эксперимент.

3.4.4. Комбинированный метод построения оптимальных управлений.

3.5. Аппроксимирующая система второго приближения для уравнений Эйлера-Лагранжа-Остроградского.

4. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛАМИНАРНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ НА ТЕЛАХ ВРАЩЕНИЯ.

4.1. Постановка вариационной задачи.

4.2. О вариационной задаче в приближенной постановке.

4.3. Минимизация сопротивления трения на круговом конусе.

4.3.1. Аналитические решения.

4.3.2. Вычислительный эксперимент.

4.4. Оптимально управляемый пограничный слой на сфере.

4.4.1. Аналитические решения задачи о минимизации трения.

4.4.2. Минимизация тепловых потоков.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование в задачах оптимального управления ламинарным пограничным слоем в сверхзвуковых потоках»

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор литературы по теме исследования, определяются цели и задачи исследования, приводятся перечень основных результатов, выносимых на защиту и структура диссертации.

Актуальность. Большое значение в современной практической аэродинамике высоких скоростей имеют задачи обеспечения тепловой защиты корпуса летательного аппарата и уменьшения силы лобового сопротивления. Первая задача заключается в минимизации теплового потока, передаваемого от пограничного слоя к обтекаемой поверхности, а вторая для удобообтекаемых тел сводится к минимизации преобладающего в данном случае сопротивления поверхностного трения.

Так как для большинства газов внутренние трения и теплопроводности проявляются в основном в довольно тонких слоях, примыкающих к обтекаемой поверхности, то для решения многих практических задач обтекания тел потоком газа с большими скоростями пользуются идеями и методами теории пограничного слоя, которые были предложены Л. Прандтлем для течения несжимаемой жидкости в 1904 г. [149].

Теория пограничного слоя оказалась очень плодотворной и дала мощный толчок к развитию теоретических исследований. Под влиянием задач, поставленных развитием авиационной и ракетной техники, эта теория быстро превратилась в самостоятельный раздел механики жидкости и газа.

Следует отметить, что в зависимости от значений числа Рейнольдса и других условий течения внутри пограничного слоя, он может быть ламинарным или турбулентным. Теория ламинарного пограничного слоя в настоящее время довольно глубоко развита в многочисленных исследованиях [см. например 48, 52, 69, 81, 85, 102, 116], чего нельзя утверждать в отношении турбулентного пограничного слоя.

Главными областями применения теории пограничного слоя являются задача о вычислении сопротивления, возникающего при обтекании тела вследствие трения жидкости о поверхность тела, расчет теплопередачи между телом и обтекаемой жидкостью, определение точки отрыва пограничного слоя.

Имеются различные способы, позволяющие влиять на характеристики пограничного слоя. Один из таких способов, заключающийся в отсасывании пограничного слоя, указал еще Л. Прандтль в своей первой работе о пограничном слое [149].

Наиболее распространенными способами управления пограничным слоем являются [123, 139]: охлаждение или нагрев обтекаемой стенки [61, 80], вдув [83, 142] в пограничный слой или отсос [63, 154], придание стенке особой формы [1, 5, 118, 132], сдвиг стенки по нормали к обтекаемой поверхности [86], сдув пограничного слоя [144], введение управляющих вихрей [46]. Методы управления пограничным слоем проверены экспериментально [4, 7, 21, 22, 55, 57, 64, 65, 105, 104, 129, 130] и исследованы теоретически [см. напр. 8, 9, 60, 143, 100].

Из всех способов управления пограничным слоем наибольшее практическое значение представляют отсос и вдув в пограничный слой [50, 69, 116].

Вдув газа в пограничный слой используется как средство уменьшения трения [154] и теплопередачи [133, 134, 152]. С увеличением скорости вдува в направлении нормали к стенке напряжение трения в пограничном слое, уменьшается [50, 69, 116]. При отсутствии вдува, максимум напряжения трения имеет место на стенке. С увеличением интенсивности вдува напряжение на стенке значительно уменьшается, а в пограничном слое существенно возрастает, достигая максимума на некотором удалении от поверхности. При этом, если интенсивность вдува невелика, то сохраняются основные допущения теории пограничного слоя.

Отсасывание применяется для стабилизации пограничного слоя. Уменьшение сопротивления достигается за счет затягивания ламинарно-турбулентного перехода и предотвращения отрыва, в связи с тем, что при турболизации потока силы трения существенно возрастают. Отсос уменьшает толщину пограничного слоя (более тонкий пограничный слой имеет меньшую наклонность к переходу в турбулентное состояние) и создает в нем профили скоростей, обладающие более высоким критическим числом Рейнольдса [116].

Возможность установления безотрывного течения в пограничном слое несжимаемой жидкости у пористой стенки произвольной длины за счет чередования отсоса и вдува доказана в работе [115].

Наряду с классическими постановками задач по управлению пограничным слоем на проницаемых профилях, благодаря работам Казанского профессора Т.К. Сиразетдинова и его учеников, успешно развивается новое направление: теория оптимально управляемого пограничного слоя.

Одним из способов уменьшения показателей суммарного сопротивления трения или теплопередачи, как уже отмечалось, является управление местными значениями градиентов продольной скорости на обтекаемой поверхности путем вдува жидкости в пограничный слой. Так как энергетические ресурсы (суммарный расход жидкости, мощность системы управления) ограничены, то естественным образом возникает вариационная задача оптимального управления пограничным слоем.

Первой публикацией в этом направлении является работа [107], в которой дается пионерская постановка задачи об оптимальном управлении ламинарным пограничным слоем.

В работах [108, 109] в качестве функционалов выступает либо суммарное ньютоновское трение, либо количество тепла в единицу времени, передаваемое от пограничного слоя к обтекаемой поверхности; управлением служит скорость вдува, который предполагается «слабым», т.е. практически не влияющим на распределение скорости на внешней границе пограничного слоя. В качестве ограничений выступает суммарный расход и кинетическая энергия вдуваемой жидкости (мощность системы управления). Разработан метод интегрирования сопряженной системы, основанный на идее пограничного слоя решений для множителей Лагранжа. Позднее Крайко [67] сделал полезное замечание к проблеме интегрирования сопряженной системы, вытекающее из факта существования интеграла Крокко для уравнения энергии в случае обтекания пластинки при числе Прандтля Рг = 1 и постоянной температуре стенки.

В работе [29] с помощью теоремы Нетер [30, 131, 145] был найден первый интеграл сопряженной системы для случая минимизации силы трения в пограничном слое несжимаемой жидкости на произвольном проницаемом профиле. Групповые свойства уравнений оптимально управляемого пограничного слоя исследованы в работе [44], а в [43] было осуществлено их расслоение. В работе [26] построено основное интегральное соотношение сопряженной системы и получено следствие из первого интеграла, которое предложено использовать для построения минимизирующей последовательности оптимальных законов вдува. На примере обтекания пластинки была показана эффективность использования группового подхода к решению вариационной задачи по сравнению с идеей пограничного слоя решений для множителей Лагранжа, предложенного в [109].

Задача оптимизации теплообмена для случая несжимаемой жидкости с учетом уравнения теплового баланса рассмотрена в работе [34].

В работе [6] дана постановка и решение задачи оптимального управления двухфазным пограничным слоем несжимаемой жидкости (через проницаемую поверхность подается жидкость с физическими свойствами, резко отличающимися от свойств жидкости в основном потоке). Разработан алгоритм построения оптимального закона вдува для случая обтекания пластинки; в качестве функционала выступает величина силы ньютоновского трения, в качестве ограничений — расход и энергия вдуваемой жидкости. В статье [55] результаты работы [6] были распространены на случай оптимизации теплового обмена в двухфазном пограничном слое несжимаемой жидкости. Отметим, что в работах [6, 55] для построения оптимальных управлений был использован первый интеграл сопряженной системы, полученный ранее в [29].

В работе [33] поставлена и решена задача о построении оптимальной неразрушающей тепловой защиты поверхностей, обтекаемых потоком вязкого газа при любой зависимости вязкости от температуры, произвольном числе

Прандтля и произвольной температуре поверхности. Отметим, что в работе [109] подобная задача была поставлена для случая постоянной температуры стенки и линейной зависимости вязкости от температуры; там же были получены необходимые условия оптимальности. В качестве функционала выступает конвективный тепловой поток, передаваемый от пограничного слоя к стенке; в качестве управления - местный расход газа через проницаемую поверхность. Задача решается при ограничении на мощность системы охлаждения, которая рассчитывается с учетом закона Дарси [10, 97]. Оптимальная задача алгоритмизирована: проблема поиска оптимального управления с помощью метода обобщенных интегральных соотношений A.A. Дородницына [54, 84, 96] сведена к рекуррентному интегрированию двух систем обыкновенных дифференциальных уравнений с разрешимыми особенностями в точке полного торможения потока. Проведен вычислительный эксперимент по построению оптимального расхода охладителя через пористую стенку кругового цилиндра. Минимизирующая последовательность строилась комбинированным способом: на первой итерации оптимальное управление определялась методом типа Пикара, последующие приближения методом наискорейшего спуска [108]; была обнаружена быстрая сходимость итерационного процесса: оптимальное управление, найденное в первом приближении в аналитическом виде, дает значение функционала, совпадающее с точностью до 1-2% с его значением, полученным для «предельного» управляющего воздействия. Работы [32, 41] посвящены минимизации тепловых потоков на проницаемых телах вращения. Получены необходимые условия оптимальности, построен первый интеграл сопряженной системы, получен оптимальный закон вдува охладителя в первом приближении (также в аналитической форме), разработан итерационный подход к построению последовательности оптимальных управлений. Проведен вычислительный эксперимент для случая обтекания сферы сверхзвуковым потоком. Кроме того, поставлена и решена задача о форме внутреннего контура стенки, обеспечивающей требуемую температуру наружной стороны обшивки.

В области гиперзвуковых скоростей рассмотрены задачи оптимального управления пограничными слоями идеально диссоциирующего газа [12, 13], неравновесно диссициирующего газа [11, 16] и неравновесно диссоциирующего замороженного газа [14].

В работах [39, 90] были разработаны разностные схемы для уравнений оптимально управляемого пограничного слоя в несжимаемой жидкости, соответственно, на клиньях и круговом конусе, а в статье [38] для случая обтекания клиньев потоком несжимаемой жидкости впервые была доказана конечность оптимального управления в критической точке. Следует подчеркнуть, что разностные схемы была построены с учетом первого интеграла, полученного профессором К.Г. Гараевым для сопряженной системы относительно множителей Лагранжа. В работе [92] с использованием метода дифференциальной прогонки [49] получены характеристики устойчивости пограничного слоя на плоской проницаемой пластине с оптимальным законом вдува, и проведено их сравнение с соответствующими характеристиками в случаях равномерного вдува и непроницаемой поверхности пластины.

Исследование влияния равномерно распределенного по всей поверхности цилиндра и оптимального вдувов на распределение скорости на внешней границе пограничного слоя и, как следствие этого, на трение проведено в работе [91]. Как показывают приводимые в [91] расчеты, учет влияния вдува на распределение скорости на внешней границе пограничного слоя оказывает слабое влияние на трение: разница в суммарном трении не превышает 2,5 %.

Отметим, что уравнения Эйлера-Лагранжа-Остроградского задачи оптимального управления пограничным слоем, полученные на основе уравнений Прандтля и используемые при поиске решений, полностью совпадают с сопряженной системой, записанной для уравнений Навье-Стокса, и для которой был осуществлен предельный переход при больших числах Рейнольдса [23].

Задача оптимального управления пограничным слоем также ставилась и решалась в рамках аппроксимирующей системы 2-го приближения (в смысле

A.A. Дородницына) для случаев обтекания сверхзвуковым потоком клиньев [51, 94] и кругового конуса [42]. Для обоих случаев была получена приближенная аналитическая формула для определения оптимальных управлений в первом приближении. Стоит отметить, что эти формулы были получены без учета условий трансверсальности.

В работе [36] для случая Рг=1 задача минимизации сопротивления трения в сверхзвуковом потоке при обтекании клиньев ставилась непосредственно для уравнений типа Прандтля [93]. Как известно [48, 82], в этом случае уравнения движения из системы уравнений пограничного слоя можно интегрировать независимо от уравнения энергии. Поиск оптимальных управлений проводился с использованием алгоритма типа Пикара [40].

Первый интеграл задачи оптимального управления ламинарным пограничным слоем получен также для системы уравнений пограничного слоя в переменных Фолкнер-Скэн [28]. Важно отметить, что этот интеграл автоматически следует из соответствующего закона сохранения для сопряженной системы.

Задача оптимального управления электропроводящей жидкостью в магнитном поле рассмотрена в работе [15].

В работах [17, 18, 19] поиск оптимального управления (вдув-отсос), минимизирующего сопротивление, определяемое как скорость диссипации энергии во внешней к телу области деленная на скорость жидкости на бесконечности, производится в рамках полных уравнений Навье-Стокса. При этом также используется градиентный метод. В рамках приближения Стокса (при малых числах Рейнольдса) получены аналитические формулы для определения оптимальных управлений. Также рассматривается возможность применения численных методов нелинейного программирования [114], которые оказываются намного менее эффективными, нежели стандартные способы решения вариационных задач газовой динамики [66].

Следует подчеркнуть, что все указанные выше оптимальные задачи принадлежат к классу двумерных вариационных задач типа Майера [24].

Возможности усовершенствования аэродинамических характеристик крылового профиля путем введения на нем проницаемого участка, через который осуществляется распределенный отсос пограничного слоя, рассмотрены в работах [1, 3], в которых поставлена и решена задача минимизации суммы коэффициентов аэродинамических сопротивлений крылового профиля для двух крайних углов атаки при условии отсутствия отрыва пограничного слоя несжимаемой жидкости. Численно показано, что отрыв пограничного слоя отсутствует во всем диапазоне углов атаки. В работе [2] числовые расчеты управления пограничным слоем для устранения его отрыва проведены с учетом энергетических затрат устройств активного управления пограничным слоем.

В рамках теории гидродинамической устойчивости на основе интегральных соотношений «трех моментов» в конечном виде получены простые аналитические зависимости, позволяющие вычислить основные характеристики пограничного слоя, а также оптимальное распределение скорости отсасывания [62, 63].

Среди зарубежной литературы по рассматриваемой тематике следует отметить нижеследующие работы.

В работах [119, 121] рассмотрены задачи оптимального управления ламинарным пограничным слоем несжимаемой жидкости в стационарном случае, уравнения которого взяты в форме Мизеса: требуется найти управление (вдув или отсос [121], или распределение скорости на внешней границе пограничного слоя [119]), реализующее заданное распределение продольной компоненты скорости в фиксированном сечении х = х . Функционал записывается в виде чебышевского отклонения действительного распределения скорости от желаемого. В обеих работах методом наискорейшего спуска проведены вычислительные эксперименты для модельных задач; при этом обнаружена достаточно быстрая сходимость метода последовательных приближений.

В работах [124, 127, 135, 138, 147] рассматривается вариационная задача об определении распределения отсоса из пограничного слоя, обеспечивающего минимальное значение некоторого показателя, определяющего рост возмущений [125, 136] в пограничном слое: либо функционала кинетической энергии возмущений [117, 125, 126, 155], либо так называемого N-фактора [120]. Минимизация подобных показателей приводит к затягиванию ламинарно-турбулетного перехода [137]. Для определения управлений используется градиентный метод с привлечением сопряженных систем для уравнения устойчивости и линеаризированных уравнений Навье-Стокса [148].

В работе [150] описывается базовый аппарат для получения дискретного представления сопряженных уравнений [151] в задаче оптимального управления нестационарными течениями, использование которого демонстрируется на примере решения задачи о минимизации сопротивления трения при обтекании кругового цилиндра. В работе [128] ищется распределение по времени скорости вдува-отсоса через единичное отверстие, обеспечивающего ламинаризацию нестационарного течения на заданном участке. При этом используется метод гашения волн (wave-cancellation) [141, 140].

Как видно из приведенного обзора, задачи сверхзвукового обтекания рассматривались довольно редко. Среди решенных задач этого класса можно выделить задачу об оптимальном охлаждении пористой криволинейной стенки и рассмотренные в приближенной постановке (в рамках аппроксимирующей системы) задачи о минимизации сопротивления трения для частных случаев обтекания клина и кругового конуса. В качестве ограничения в этих задачах выступала мощность системы управления вдувом, а для решения системы уравнений пограничного слоя применялся метод обобщенных интегральных соотношений А.А. Дородницына.

Выбор метода обобщенных интегральных соотношений для решения указанных задач преимущественно определялся тем, что для небольших номеров приближений этот метод характеризуется сравнительно низкими требованиями к вычислительными ресурсам. Однако, увеличение точности данных, полученных с его использованием, реализуется либо за счет "удачного" подбора системы базисных функций (выбор которых носит эвристический характер), либо за счет увеличения номера приближения (числа полос). Причем последнее приводит к весьма значительному росту трудоемкости расчетов.

В связи с существующей тенденцией к увеличению доступных вычислительных мощностей, актуальной является разработка методов поиска оптимальных управлений, основанных на сеточных методах. Кроме того, для дальнейшего развития теории оптимального управления пограничным слоем и расширения области применения её результатов в инженерной практике необходимо введение в рассматриваемые вариационные задачи дополнительных (помимо мощности системы управления) ограничений.

Цели работы. Целью диссертационной работы является разработка эффективных алгоритмов построения законов распределения скорости вдува в ламинарный пограничный слой, обеспечивающих минимальное значение либо функционала суммарного ньютоновского трения, либо функционала суммарного теплового потока при сверхзвуковых режимах обтекания.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались: теория ламинарного пограничного слоя; методы вариационного исчисления и оптимального управления; инфинитезимальный аппарат Ли-Овсянникова; методы численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений.

Достоверность результатов работы обеспечивается использованием известных математических моделей и корректным применением апробированных аналитических и численных методов. Адекватность предложенных моделей подтверждается компьютерным моделированием, близостью численных и аналитических решений. Результаты расчетов, полученных с использованием разработанных алгоритмов, согласуются с результатами исследований других авторов.

Научная новизна работы.

• Вариационная задача о поиске распределения скорости нормального вдува, обеспечивающего минимальное значение суммарного ньютоновского сопротивления трения при обтекании сверхзвуковым потоком цилиндрических тел и тел вращения, рассмотрена в рамках точных уравнений пограничного слоя типа Прандтля для произвольных чисел Прандтля.

• На основе конечно-разностного метода построен алгоритм решения задач оптимального управления ламинарным пограничным слоем при сверхзвуковом обтекании.

• Поставлены (в рамках аппроксимирующей системы) и решены задачи управления ламинарным пограничным слоем с учетом ограничений не только на мощность системы управления вдувом, но и на суммарный расход вдуваемого газа и скорость вдува.

Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит, во-первых, в разработке алгоритмов, методик и комплекса программ, позволяющих моделировать процесс управления ламинарным пограничным слоем и строить оптимальные законы распределения скоростей вдува; во-вторых, в получении приближенных аналитических решений, предназначенных для использования непосредственно в инженерной практике.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах: международной молодежной научной конференции «Туполевские чтения XIV» (г. Казань, 2006 г.); международной молодежной научной конференции «Туполевские чтения XV» (г. Казань, 2007 г.); всероссийском семинаре по аналитической механике, устойчивости и управлению движениям, посвященном столетию Аминова М. Ш. (г. Казань, 2008 г.); всероссийском семинаре по аналитической механике, устойчивости и управлению движениям, посвященном столетию П. А. Кузьмина (г. Казань, 2008 г.); XXVIII Российской школе по проблемам науки и технологий (г. Миасс, 2008 г.); международной научно-практической конференции «Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика», посвященной 300-летию со дня рождения М.В. Ломоносова (г. Архангельск, 2010 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в журналах (3 статьи), в трудах и материалах Международных и Всероссийских конференций (6 тезисов), разработанная автором программа по построению оптимальных законов вдува зарегистрирована зарегистрирована в Отраслевом фонде электронных ресурсов "Наука и образование" и Федеральном государственном научном учреждении "Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти". Автор является дипломантом конкурса научных работ по присуждению именных стипендий Главы Администрации г. Казани по итогам 2006 г.

Результаты работы, выносимые на защиту:

• Алгоритм построения оптимальных управления для цилиндрических тел и тел вращения на основе конечно-разностного метода метода и инвариантно-групповых решениях ранга единицы.

• Аналитические формулы для определения оптимальных управлений в первом приближении в задачах о минимизации сопротивления трения при обтекании кругового цилиндра, клина, прямого кругового конуса и сферы.

• Структура оптимального управления в окрестности точки торможения, полученная с использованием метода разложений в ряды.

• Постановка, необходимые условия оптимальности и алгоритм решения оптимальной задачи об управлении ламинарным пограничным слоем с учетом 3-х ограничений: мощность системы управления вдувом, суммарный расход вдуваемого газа, скорость вдува.

• Комплекс программ, реализующий предложенные методы и алгоритмы.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложений.

В первой главе дается постановка задачи оптимального управления ламинарным пограничным слоем для случая обтекания цилиндрических тел сверхзвуковым потоком вязкого совершенного газа с учетом ограничения на мощность системы управления вдувом. В качестве минимизируемого функционала выступает ньютоновское трение. Записываются необходимые условия оптимальности, первый интеграл вариационной задачи, аппроксимации решений системы уравнений ламинарного пограничного слоя в окрестности точки торможения и её автомодельные решения. Во второй главе предлагается алгоритм решения поставленной в первой главе вариационной задачи на основе метода сеток. С использованием первого интеграла производится понижение порядка сопряженной системы и излагается итерационный метод построения оптимальных управлений. В окрестности нуля записываются автомодельные решения и аппроксимации решений сопряженной системы. Разностная схема используемая для интегрирования исходной системы основана на неявной трехслойной разностной схеме второго порядка точности, а для интегрирования сопряженной системы - на неявной разностной схеме первого порядка точности по продольной координате и второго по поперечной. С использованием разработанной методики поиска оптимальных управлений решаются задачи о минимизации сопротивления трения и теплового потока при обтекании клиньев и затупленного тела.

В третьей главе задача об оптимальном управлении ламинарным пограничным слоем рассматривается в рамках аппроксимирующей системы второго приближения, полученной из исходной системы уравнений ламинарного пограничного слоя по методу обобщенных интегральных соотношений A.A. Дородницына. В качестве ограничений выступают: мощность системы управления вдувом, суммарный расход вдуваемого газа и скорость вдува.

Для вывода необходимых условий оптимальности применяется принцип максимума Понтрягина.

Записываются необходимые условия оптимальности, и формулируется алгоритм построения оптимальных управлений. Выводятся формулы для оптимальных управлений в первом приближении в аналитическом виде для случаев обтекания клина и кругового цилиндра. Приводятся результаты вычислительных экспериментов по минимизации сопротивления трения на указанных телах.

В четвертой главе рассматривается задача управления ламинарным пограничным слоем при обтекании тел вращения. Известно, что с использованием преобразования Степанова-Манглера-Дородницына система уравнений ламинарного пограничного слоя на теле вращения приводится к системе, совпадающей по форме с системой уравнений ламинарного пограничного слоя на цилиндрических телах. Таким образом, для решения рассматриваемой задачи может быть применен алгоритм, предложенный во второй главе.

По аналогии с плоским случаем для уравнений пограничного слоя на телах вращения приводится аппроксимирующая система второго приближения. Для случаев обтекания кругового конуса и сферы получены оптимальные управления в первом приближении в аналитической форме.

Проведены вычислительные эксперименты по минимизации сопротивления трения и теплового потока на круговом конусе и сфере по методикам, описанным во второй и третей главах.

Диссертация выполнена на кафедре специальной математики Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кузнецов, Валентин Константинович

Результаты работы могут быть использованы в авиационной и ракетной технике.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные теоретические и прикладные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

1. В рамках уравнений типа Прандтля решена задача оптимального управления ламинарным пограничным слоем в плоском и осесимметрическом случаях при сверхзвуковых режимах обтекания. В качестве функционала выступает либо суммарное ньютоновское трение, либо интегральный тепловой поток, передающийся от пограничного слоя к стенке; в качестве изопериметрического условия - мощность системы управления вдувом, рассчитанная с использованием фильтрационного закона Дарси. С использованием первого интеграла задачи оптимального управления ламинарным пограничным слоем сжимаемой жидкости произведено понижение порядка сопряженной системы. В качестве алгоритма построения оптимальных управлений применялись метод последовательного спуска и метод типа Пикара. Показано, что в некоторых случаях при наличии вдува существуют автомодельные решения исходной системы и системы уравнений Эйлера-Лагранжа-Остроградского.

2. На основе метода сеток, разработан метод интегрирования уравнений оптимально управляемого пограничного слоя сжимаемой жидкости на проницаемой поверхности: схема, используемая для интегрирования исходной системы, основана на трехслойной чисто неявной разностной схеме второго порядка точности по обеим переменным, а схема, используемая для интегрирования сопряженной системы - на неявной разностной схеме первого порядка точности по продольной (маршевой) переменной и второго порядка по поперечной. Для определения требуемых для начала счета по трехслойной неявной разностной схеме значений функций, входящих в исходную систему, на первых двух поперечных слоях, разработан метод расчета решений данной системы с использованием автомодельных решений ранга единицы и в виде их разложений в степенные ряды, справедливые в малой окрестности точки торможения. С использованием: данных разложений для клина и конуса получены асимптотики оптимальных законов вдува при стремлении к точке торможения, и показана их конечность.

3. Поставлена и решена задача оптимального управления ламинарным« пограничным слоем для аппроксимирующей системы второго приближения (в смысле А.А Дородницына) при заданных ограничениях на мощность системы управления вдувом, суммарный расход вдуваемого газа и скорость вдува. В качестве функционала выступает суммарное ньютоновское трение. Для, решения задачи использовался принцип максимума Понтрягина. Получены необходимые условия оптимальности, сформулирован алгоритм построения оптимальных управлений. Показано, что оптимальное управление в задаче минимизации сопротивления; трения на клине может иметь не более двух точек переключения; а; на круговом цилиндре - не более четырех. Для, случаев обтекания клина, кругового цилиндра, конуса и сферы получены аналитические' формулы для определения оптимальных управлений: в первом приближении, удобные для применения непосредственно в инженерной практике. Получена аппроксимирующая: система второго приближения; для уравнений Эйлера-Лагранжа-Остроградского задачи о минимизации сопротивлениям трения на цилиндрических профилях. •

4. На основе полученных теоретических результатов, реализован комплекс программ по моделированию процесса сверхзвукового обтекания тел при наличии вдува в пограничный слой и расчету оптимальных законов распределения вдува. Программа по расчету оптимального распределения скорости вдува в ламинарный пограничный слой при сверхзвуковом обтекании зарегистрирована в Отраслевом; фонде электронных ресурсов: науки и образования РАО [78].

5. Проведены вычислительные эксперименты по управлению пограничным слоем на круговом цилиндре, клиньях, круговом конусе и сфере. Для различных значений температурного фактора на стенке, чисел Маха, углов полураствора клина и конуса, ограничений на энергетические ресурсы и длин участка вдува построены оптимальные управления вдувом в задачах о минимизации сопротивления трения и теплового потока. Максимальные выигрыши в значении функционала сопротивления трения, полученные в процессе вычислительных экспериментов, составили: для клина - 47%, для кругового цилиндра - 65%, для кругового конуса - 35%, для сферы - 24%.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецов, Валентин Константинович, 2010 год

1. Абзалшов Д. Ф. Минимизация коэффициента сопротивления крылового профиля методом оптимального управления // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 6. С. 173-179.

2. Абзалшов Д. Ф., Валитов Р. А., Ильинский И. Б. Об управлении пограничным слоем с учетом энергетических затрат для предотвращения отрыва потока // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 49:12 (2009), 2255-2264

3. Абзалилов Д.Ф., Ильинский Н.Б., Марданов Р.Ф. Усовершенствование аэродинамических характеристик крылового профиля путем введения распределенного отсоса пограничного слоя // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2004. № 2. С. 34-39.

4. Авдуевский B.C., Калашкин В.Н. Проблемы расчета трения и теплообмена в турбулентном пограничном слое. // Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт, №5, 1967. С. 9-24.

5. Аристова Е.Ю., Ильинский Н.Б., Фокин Д. А. Математическое моделирование распределенного отсоса потока в обратной краевой задаче аэрогидродинамики // Математическое моделирование. 1994, т. 6, № 2, с. 90-101

6. Афанасьев A.A. Оптимальный вдув инородной жидкости в пограничный слой // Тр. КАИ, Казань, 1972. Вып. 147. С. 38-44.

7. Батенко С. Р., Терехов В. И. Трение и теплообмен в ламинарном отрывном потоке за прямоугольным уступом при наличии пористого вдува или отсоса // Прикладная механика и техническая физика, 2006, № 1, с. 18-28

8. Бекетаева А. О., Найманова А. Ж. Численное моделирование сверхзвукового течения с поперечным вдувом струй // Прикладная механика и техническая физика, 2004, Т.45, № 3, с. 72-80

9. Ю.Белов C.B. Пористые материалы в машиностроении. М: Машиностроение, 1981. 247 с.

10. Бшъченко Н.Г. К задаче обтекания проницаемой цилиндрической поверхности потоком неравновесно диссоциирующего газа // Труды математического центра им.Н.И.Лобачевского, Казань:УНИПРЕСС, 1998. С.173-183.

11. Бшъченко Н.Г. К задаче оптимального управления пограничным слоем неравновесно диссоциирующего замороженного газа // Изв.ВУЗов. Авиационная техника. 2002. №2. С.12-15.

12. Бшъченко Н.Г., Гараев К.Г., Дербенев С.А. К задаче оптимального управления пограничным слоем электропроводящей жидкости в магнитном поле // Изв.ВУЗов. Авиационная техника. 1994. №1. С.23-27.

13. Бшъченко Н. Г., Гараев К. Г., Овчинников В. А. Группа симметрии и законы сохранения в задаче оптимального управления ламинарным пограничным слоем неравновесно диссоциирующего газа // Изв. вузов. Матем., 1999, № 11, с. 11-19

14. П.Брутян М. А. Оптимальные задачи в вязкой жидкости // Аэрогидродинамика течений с неизвестными границами, Тр. сем. по краев, задачам, вып. 26, Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1991, с. 60-79

15. Брутян М.А., Крапивский IJ.JT. Об оптимальном управлении потоком вязкой несжимаемой жидкости // ПММ. 1984. - Т. 48. Вып. 6. - С. 929934

16. Брутян М.А., Крапивский П.Л., Сычев В.В. Оптимальное управление вязким течением при больших числах Рейнольдса // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1986, №3. С. 174-176.

17. Волчков Э.П. Пристенные газовые завесы. Новосибирск: Наука, 1983. 240 с.

18. Гараев КГ. Группы Ли и теория Нетер в проблеме управления с приложениями к оптимальным задачам пограничного слоя // Казан, гос. техн. ун-т. Казань, 1994. 240 с.

19. Гараев КГ. К задаче оптимизации тепломассообмена в ламинарном пограничном слое при наличии равновесной диссоциации // (Изв. высш. учеб. заведения). Авиационная техника, 1989, № 4. С. 12-14.

20. Гараев КГ. К задаче построения оптимального управления трением в ламинарном пограничном слое // (Изв. высш. учеб. заведения). Авиационная техника, 1981, № 2. С. 27-31.

21. Гараев КГ. О существовании первого интеграла в одной задаче оптимального управления ламинарным пограничным слоем // VIII

22. Четаевская межд. конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление»: Тезисы докладов. Казань: КГТУ, 2002. 384 с.

23. Гараев К. Г. О существовании первого интеграла в одной задаче теории управляемого пограничного слоя. Учён. зап. Казан, гос. ун-та. Серия: Физико-математические науки. 150, № 3, 2008, с. 117-121

24. Гараев КГ. Об инвариантных вариационных задачах // Материалы I Поволжской конференции по автоматическому управлению. Казань: Таткнигиздат, 1971. С. 121-129.

25. Гараев КГ. Об оптимальном управлении движением газа в ламинарном пограничном слое на проницаемых телах вращения // Проблемы аналитической механики, устойчивости и управления движением. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1991. С. 226-231.

26. Гараев КГ., Дараган М.А., Осадчая Д. М. К задаче минимизации сопротивления трения на клиньях в сверхзвуковом потоке // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника, 2006. № 3. С.23-25

27. Гараев КГ., Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Об управлении температурой поверхности сферы, обтекаемой высокоскоростным потоком вязкого газа // (Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника. 1987. - №2. С.22-25.

28. ЪЪ.Гараев КГ., Овчинников В.А. Инвариантные краевые задачи оптимально управляемого пограничного слоя // Прикладная математика и техническая физика. 2003. Т.44. № 1. С.33-38.

29. Гараев КГ., Осадчая Д.М. Оптимальный вдув охладителя в ламинарный пограничный слой на круговом конусе в сверхзвуковом потоке // Всероссийский семинар по аналитической механике, устойчивости и управлению движением. Казань 2005. С.

30. Гараев КГ., Павлов В.Г Групповое расслоение уравнений оптимально управляемого пограничного слоя // (Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника, 1977, № 4. С. 30-33.

31. Гараев К.Г., Павлов В.Г. Групповые свойства уравнений оптимально управляемого пограничного слоя // (Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника, 1970, № 4. С. 5-9.

32. Гараев КГ., Соловьев В.В. Об одной оптимальной задаче аэродинамики пограничного слоя // Гидрогазодинамика летательных аппаратов и их систем: Межвузовский сб. Куйбышев: КуАИ, 1984. С. 41-46.

33. Гарбарук A.B., Спаларт Ф.Р., Стрелец М.Х., Травин А.К, Шур М.Л. Численное моделирование управления отрывом с помощью механических струйных вихрегенераторов // Математическое моделирование, 2006, т. 18, № 3, стр. 55-68

34. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. M.: JL: Физматгиз. 1961. 229 с.

35. Гинзбург И.П. Теория сопротивления и теплопередачи. JL: ЛГУ, 1970. 376 с.

36. Гольдштш М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. 366 с.

37. Жанабеков Ж.Ж., Лукьянов А.Т. Об оптимальном управлении теплообменом на пористой поверхности // (Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника, 1977, № 2. С. 55-61.

38. Жукаускас А., Шланчаускас А. Теплоотдача в турбулентном потокежидкости. Вильнюс: МИНТИС, 1973. 327 с. ЪП.Зинченко В.И., Путянина E.H. Исследование тепломассообмена при обтекании тел различной формы с учетом вдува // ИФЖ, т. 45, № 1, 1983. С. 11-21.

39. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, сер. Математика и кибернетика, №8, 1989.

40. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа, М.: Знание, сер. Математика и кибернетика, №7, 1991, 48 с.

41. Козлов Л. Ф. Ламинарный пограничный слой при наличии отсасывания.

42. К.: Наук, думка, 1968. — 195 с.

43. Комаров В.П., Леонтьев А.И. Экспериментальное исследование эффективности завесы в турбулентном пограничном слое газа. // Теплофизика высоких температур. 1970, т. 8, № 2. с. 353-358.

44. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979.- 447 с.

45. Крайко А.Н. К оптимальному управлению пограничным слоем // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника, 1979, № 1. С. 124-125.

46. Краснов Н.Ф. Аэродинамика тел вращения. М.: Машиностроение, 1964, 572 с.

47. Кузнецов В.К Оптимальное управление ламинарным пограничным слоем на клине в сверхзвуковом потоке. // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2009. № 2. с. 42-45.

48. Ларин О.Б., Левин В.А. Отрыв ламинарного сверхзвукового пограничного слоя с источником энерговыделения // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34, в. 5. С. 1-681 .Лощянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматгиз, 1962, 479 с.

49. Лощянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 736 с.

50. З.Лущик В.Г., Якубенко А.Е. Трение и теплообмен в пограничном слое на проницаемой поверхности при вдуве инородного газа // Теплофизика высоких температур. 2005. Т. 43. № 6. С. 880-887.

51. Ъ4.Лю-Шенъ-Цюань. Расчет ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе при наличии отсоса или вдува // Журнал вычислит, математики и физики. 1962. - №5. - С.868-883.

52. Механика в СССР за 50 лет. Т.2. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. 880 с.

53. Мануйпович С. В. Стабилизация ламинарного пограничного слоя с помощью активного воздействия, локализованного на обтекаемой поверхности // Изв. РАН. МЖГ. 2006. № 1. С. 76-92.

54. Миеле А. Обобщение вариационной задачи на несколько функций двух независимых переменных // Теория оптимальных аэродинамических форм. М.: Мир, 1969. 508 с.

55. Никифорова C.B. О новых фактор-системах уравнений пограничного слоя при сверхзвуковых режимах течения // Казань: Вестник КГТУ. 2004. -№3. - С. 65-67.

56. Осадчая Д.М. Управление пограничным слоем в сверхзвуковых потоках при различных режимах течения / Под редакцией К.Г. Гараева. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2007. 108 с.

57. Осадчая Д.М., Дараган М.А. К задаче оптимального управления пограничным слоем на клиньях в сверхзвуковом потоке // Вестник КЕТУ. Казань, 2004. № 1. С. 26-29.

58. Павлов В.Г., Якимов Е.И. Ламинарный пограничный слой на-проницаемой поверхности в вихревом внешнем потоке // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2004, № 2, с. 39-43.

59. Ревизников Д.Л. Сопряженный тепломассообмен; при обтеканиинеоднородных тел •// Математическое моделирование, 12:7 (2000), с. 51' 57

60. Репухов В.М. Теория тепловой защиты стенки вдувом газа. Киев: Наукова думка, 1980. 296 с.

61. Романенко П. Н. Гидродинамика и тепломассообмен в • пограничном слое. М.: Энергия. 1974. 464 с.

62. Самарский А:А., Гулин А.В. Численные методы. М: Наука, 1989. 432 с.104: Сидняев Н.И. Аэродинамические характеристики гиперзвуковых летательных аппаратов с поверхностным массообменом // Математическое моделирование. 2008, т. 20, № 6, с. 23-34

63. Сидняее Н. И. Экспериментальное исследование влияния массообмена на аэродинамические характеристики тела вращения сложной формы // Известия вузов. Авиационная техника, 2005, №2, 25-29

64. Сиразетдиное Т.К. Метод последовательного спуска для оптимизации систем с распределенными параметрами // Материалы I Поволжской конференции по автоматическому управлению. Казань: Таткнигоиздат. - 1971.- С.5-19.

65. Сиразетдиное Т.К. Оптимальные задачи газодинамики // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 1963. № 2. С. 26-29.

66. Сиразетдиное Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. 480 с.

67. Сиразетдиное Т.К., Диваков О.Г. Оптимальное управление пограничным слоем // (Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника. 1969, № 3. С. 5-13

68. Степанов Ю.Г. Расчет отрывного обтекания крылового профиля при малых скоростях на больших углах атаки // р. ЦАГИ. 1980. Вып. 2080. С.19-31.

69. Тумашев Г.Г. Лекции по газовой динамике. Казань: изд-во КГУ, 1987. 100 с.

70. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: Т.1. М.: Мир, 1991.504 с.

71. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т.2. М.: Мир, 1991.552с.

72. Химмелъблау Д. Прикладное нелинейное программирование. — М.: Мир, 1975.-534 с.

73. Хуснутдинова Н. В. Качественные свойства отрывных течений в пограничном слое Прандтля // Сибирский математический журнал. 2001. Том 42, номер 6. С. 1431 1442.

74. ШлихтингГ. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.

75. Airiau C., Bottaro A., Walther S., Legendre D. A methodology for optimal laminar flow control: Application to the damping of tollmien-shlichting waves in a boundary layer, Phys. Fluids, 15, 2003, p. 1131-1145

76. Amoign O., Pralits J.O., Hanifi A., Berggren M., Henningson D.S. Shape optimization for delay of laminar turbulent transition, 2004, submitted to AIAA J.

77. Balakumar P., Hall P. Optimum suction distribution for transition prediction // Theor. Comput. Fluid. Dyn., 1999, 13, p. 1-19

78. Brauner C.M., Crolet M.H., Misiti M., Gay B. Optimal control of the laminar boundary layer by blowing or suction the wall. «Number. Methods Laminar and Turbulent Flow // Proc. 1 st. int. Conf. Swansea, 1978», London-Plymount, 1978. P. 369-377.

79. Brent R. Algorithms for Minimization Without Derivatives, Prentice-Hall, 1973.

80. Bushnell D. M., Hefner J.M. Viscous drag reduction in boundaiy layers. Progress in Astronautics and Aeronautics. Vol. 123, 1990, p. 531

81. Bystrdma M. G., Levina O., Henningson D. S. Optimal disturbances in suction boundary layers // European Journal of Mechanics B/Fluids, Volume 26, Issue 3, May-June 2007, p. 330-343

82. Cathalifaud P., Luchini P. Algebraic growth in a boundary layer: optimal control by blowing and suction at the wall // Eur. J. Mech. B/Fluids, 2000, 19(4), p. 469-490

83. Collis S. S., Ghayour K., Heinkenschloss M., Ulbrich M., Ulbrich S. Optimal control of unsteady compressible viscous flows // International journal for numerical methods in fluids, 2002, Volume 40, Issue 11, P. 1401-1429

84. Dumitrache A. A method for optimal control in boundary-layer flow // PAMM, 2007, Vol. 7, № 1, p. 1061103-1061104

85. Elbing B.R„ Winkel E.S., Lay K.A., Ceccio S.L., Dowling D.R., Perlin M. Bubble-induced skin-friction drag reduction and the abrupt transition to air-layer drag reduction // Journal of Fluid Mechanics, 2008, Vol. 612, pp 201-236

86. Fransson J. H. M. Flow control of boundary layers and wakes. Ph.D. Thesis, Royal Institute of Technology, KTH Mechanics, Stockholm, Sweden, 2003.

87. Garaev KG. A Remark on the Bellman Principle of Optimality. Journal of The Franklin Institute, 1998, Vol. 335, no. 2, pp. 395-400

88. Glowinscki R., Pironnen O. On the numerical computation of the minimum drag profile in laminar flow // Journal of Fluid Mechanics, 1975, Vol. 72, part 2, pp 385-389

89. Goldstein R.G., Eckert E.R.G., Wilson D.J. Film cooling with normal injection into a superconic flow. Trans. ASME, Ser. B, 1968, vol. 90, № 4. P. 584-589.

90. Goldstein R.G., Shavit G., Chen T.S. Film cooling effectiveness with injection through a porous section. Trans. ASME, Ser. C, 1965, vol. 87, № 3. P. 353-363.

91. Henningson D., Hanifi A. The Application of Optimal Control to Boundary Layer Flow. // Solid Mechanics and Its Applications. IUTAM Symposium on One Hundred Years of Boundary Layer Research. Springer Netherlands, 2006, P. 59-71

92. Hill D.C. Inverse design for laminar three-dimensional boundary layers // Bull. Am. Phys. Soc. 1997, 42,: 2120

93. Hógberg M. Optimal control of Boundary Layer Transition. Ph.D. Thesis, Royal Institute of Technology, KTH Mechanics, Stockholm, Sweden, 2001

94. Hógberg M., Henningson D. S. Linear optimal control applied to instabilities in spatially developing boundary layers // Journal of Fluid Mechanics, Vol. 470, 2002, p. 151-179

95. Joslin R.D. Overview of laminar flow control. Technical Report 1998208705, Nasa, Langley Research Center, Hampton, Virginia, 1998

96. Joslin R. D., Gunzburger M. D., Nicolaides R.A., Erlebacherl G., Hussaini M. Y. Self-Contained Automated Methodology for Optimal Flow Control // AIAA Journal, vol. 35, issue 5, 1997, pp. 816-824

97. Lógdberg O. Turbulent boundary layer separation and control // Technical Reports from Royal Institute of Technology, KTH Mechanics, Stockholm, Sweden, December 2008

98. Nahoui A., Kabouche N., Bahi L. Control of the Laminar Boundary Layer around a Profile by Suction // Adv. Theor. Appl. Mech., Vol. 1, 2008, no. 3,P. 187-198

99. Napolitano M. Numerical Study of Strong Slot Injection into a Supersonic Laminar Boundary Layer // AIAA Journal, 1980. vol. 18, issue 1, pp. 72-77

100. Noether E. Invariante Variationsprobleme // Nachr. Kg. Ges. Wiss. Gottingen. Math. Phys. 1918, к. 1. P. 235-257. (Рус. перевод: Нетер Э. Инвариантные вариационные задачи // Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз, 1959. - С. 611-630)

101. Powell Mi J. D. "A Fortran Subroutine for Solving Systems of Nonlinear Algebraic Equations," Numerical Methods for Nonlinear Algebraic Equations, P. Rabinowitz, ed., Ch.7,1970:

102. Pralits J. O., Hanifi A. Optimal suction design for hybrid laminarflow control // Fluid Mechanics and Its Applications. Six IUTAM Symposium on Laminar-Turbulent Transition. Springer, 2006, p. 201-206

103. Pralits J.O., Hanifi A., Henningson D.S. Adjoint-based optimization of steady suction for disturbance control in incompressible flows // J. Fluid. Mech. 2002, Vol. 467, p. 129-161

104. Prandtl L., Uber Flussigkeitsbewegung bee sehr Kleiner Reibung. III. Intern. Math. Kongr. Heidelberg 1904. P. 484-491.

105. Rumpfkeil MiP., Zingg D. W. The optimal control of unsteady flows with a discrete adjoint method // Optimization and Engineering. Springer Science+Business Media, LLC, 2008

106. Schneider R. Applications of the Discrete Adjoint Method in Computational Fluid Dynamics, Ph.D. Thesis, University of Leeds, 2006.

107. Seban R.A. Heat transfer and effectiveness for a turbulent boundary layer with tan-gential fluid injecton. Trans. ASME, Ser. C, 1960, vol. 82, № 4. P. 3030-312.

108. Shampine, L.F., M.W. Reichelt, and J. Kierzenka, "Solving Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations in MATLAB with bvp4c," available at ftp://ftp.mathworks.com/pub/doc/papers/bvp/

109. Shojaefard M.H., Noorpoor A.R., Avanesians A., Ghaffarpour M. Numerical investigation of flow control by suction and injection on a subsonic airfoil // American Journal of Applied Sciences 2 (10), 2005, p. 1474-1480

110. Tumin A., Reshotko E. Optimal Disturbances in Compressible Boundary Layers // AIAA JOURNAL Vol. 41, No. 12, December 2003