Применение сплайнов в методе Адамса решения дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Хассан Инаам Р.

• Хассан Инаам Р.
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хассан Инаам Р.

Введение

Глава I. Основние сведения о решении задачи Коши. и построении неполиномиальных сплайнов ненулевой высоты.

1.1. Методы решения задачи Коши.

1.1.1. Экстраполяционный метод Адамса и другие . многошаговые методы.

1.1.2. Методы разложения в ряд Тейлора.

1.1.3. Методы Рунге-Кутта.

1.2. О построении сплайнов нулевой высоты.

1.2.1. Построение решения ассоциированного . . . дифференциального уравнения.

1.2.2. Оценка погрешности.^.

1.3. О построении сплайнов ненулевой высоты

1.4. О построении сплайнов ненулевой высоты в случае ipa(t) = ipa(t), а = 0, l,.,m

1.5. Применение сплайнов ненулевой высоты для . . . решения задачи Коши.

Глава II. Решение задачи Коши с помощью базисных сплайнов четвёртого порядка аппроксимации первой высоты . 37 2.1. О построении сплайнов четвертого порядка аппроксимации первой высоты.

2.1.1. Случай щ(х) = (р*(х).

2.1.2. Решение задачи Коши для одного уравнения

2.1.3. Решение задачи Коши для системы уравнений

2.2. Погрешность приближения сплайнами четвертого порядка аппроксимации первой высоты и погрешность решения задачи Коши.

2.2.1. Погрешность приближения сплайнами при pi(x) = хг~г.

2.2.2. Погрешность решения задачи Коши при . . (Pi(x) = х1-1.

2.2.3. Погрешность приближения сплайнами при щ(х) =

2.2.4. Погрешность решения задачи Коши при . . щ{х) = e-V-V*.

2.2.5. Погрешность приближения сплайнами при pi(x) = 1, (f>2(x) = X, (р3(х) = еАх, </74(ж) = е~Ах

2.2.6. Погрешность решения задачи Коши при . . ipi(x) = 1, ср2(х) = х, (р3(х) = еЛх, (р4(х) = е~Ах

2.2.7. Погрешность приближения сплайнами при

Pi(x) = e^-V*.

2.2.8. Погрешность решения задачи Коши при . . <р£х) =

2.3. Результаты численных экспериментов.

2.3.1. Решение простейших дифференциальных . . уравнений

2.3.2. Решение систем дифференциальных уравнений

2.3.3. Решение жестких уравнений

Глава III. Решение задачи Коши с помощью базисных сплайнов шестого порядка аппроксимации второй высоты

3.1. Построение базисных сплайнов шестого. порядка аппроксимации второй высоты.

3.1.1. Базисные сплайны шестого порядка аппроксимации второй высоты при (fii(x) = хг~г

3.1.2. Базисные сплайны шестого порядка аппроксимации второй высоты при (fi{x) — е-^-1^.

3.1.3. Базисные сплайны шестого порядка аппроксимации второй высоты при ср(х) = екАх

3.2. Погрешность приближения сплайнами шестого порядка аппроксимации второй высоты.

3.2.1. Случай ср{(х) = xl~l

3.2.2. Оценка погрешности решения задачи Коши

3.2.3. Случай cpi(x) = е~^х

3.2.4. Оценка погрешности решения задачи Коши

3.2.5. Случай <fi(x) = 1, х, екАх,к = ± 1, ±

3.2.6. Случай tpi(x) =

3.3. Результаты численных экспериментов

Глава IV. Решение задачи Коши с помощью базисных сплайнов восьмого порядка аппроксимации третьей высоты

4.1. Построение базисных сплайнов ш8,з(%)

4.1.1. Базисные сплайны восьмого порядка аппроксимации третьей высоты при (pi(x) — хг~г.

4.1.2. Базисные сплайны при cpi(x) =

4.1.3. Базисные сплайны при.

Pi(x) = 1, (Р2(х) = х, (р(х) = еАкх.

4.2. Погрешность приближения сплайнами Ш8,з(х) при pi(x) = xi-1.

4.3. Погрешность решения задачи Коши при tpi(x) = хг~г

4.4. Погрешность приближения сплайнами а>8,з(ж) при р{(х) = е-Ь-Ъ*

4.5. Погрешность решения задачи Коши при

Vъ(х) =

4.6. Результаты численных экспериментов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение сплайнов в методе Адамса решения дифференциальных уравнений»

Первые численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений изобрели еще Ньютон и Эйлер. К началу XX века были уже известны ставшие теперь классическими методы Адамса и Рунге-Кутта. Текущий период характерен бурным развитием вычислительной техники и усиленным применением ЭВМ и численных методов для решения все более и более расширяющегося круга задач. Изменение требований породило новую волну конструирования и исследования численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, не ослабевшую и сегодня. Ранее известные методы были детально изучены и обобщены, построены новые классы методов, созданы методы, ориентированные на решение задач со специальными свойствами, например, так называемых жестких систем. Большой прогресс достигнут и в разработке удобных для пользователей, эффективных и надежных программ. Этим вопросам посвящено огромное число журнальных публикаций, множество монографий, как узкоспециальных, так и общего характера, а также учебных пособий (некоторые из них включены в список литературы). На русский язык были переведены монография Штеттера (1973)(см. [44]), сборник обзорных лекций, прочитанных на летней школе в Англии (редакторы Холл и Уатт, (1976)(см. [43] и др.). Одним из наиболее известных и применяемых методов решения задачи Коши является метод Рунге-Кутта. Этому методу посвящено множество работ (см. [45], [46], [47], [50], [52], [53], [54]).

При численном решении задачи Коши обычно предпочтение отдают одношаговым методам, которые обладают устойчивостью вычислений, возможностью легко менять шаг сетки и отсутствием предварительного построения начала таблицы.

Как известно, интерполяционные методы Адамса точнее экстрапо-ляционных, обладают устойчивостью, но требуют решения одного уравнения или системы в зависимости от решаемой задачи. В статье [64] приводятся оценки погрешности неявных одношаговых методов четвертого порядка, аналогичных по способу построения интерполяционным методам Адамса. Традиционно построение методов Адамса основано на замене подыптегралной функции интерполяционными полиномами Лагранжа или Эрмита (см. напр. [30], [35] ).

В ряде случаев применение сплайнов при приближении функций имеет ряд преимуществ по сравнению с использованием интерполяционных многочленов.

В математике интенсивное изучение сплайнов началось, фактически, только в середине XX века, когда в 1946 году Исаак Шёнберг [59] впервые употребил этот термин в качестве обозначения для рассмотренных им функций с "кусочными" свойствами.

К настоящему моменту существует большое количество статей и серия монографий, посвященных теоретическим исследованиям и практическому применению сплайнов (см. [1], [17], [19], [25], [29], [31], [33], [34], [39], [55] и библиографию в них).

Стремление к разработке более экономичных методов приводит к использованию функций с малым носителем (локальных функций — см.

20]) с теми или иными минимальными свойствами. Наиболее часто применяются пространства с базисом из функций, носители которых имеют минимальную кратность перекрытия (обычно именуемую кратностью накрытия). К ним относятся Б-сплайиы (см. [26], [28]), сравнительно недавно разработанные интерполяционные минимальные сплайны (см. [11], [23]), а также ряд конечно-элементных аппроксимаций (см., например, [40]). Подобные аппроксимации называются минимальными [33] и позволяют значительно снизить трудоемкость вычислений [21]. Сплайн В. С. Рябенького [38] был, по-видимому, первым интерполяционным минимальным сплайном.

В работах Буровой И.Г. и Демьяновича Ю.К. (см., например, [6], [11]) рассматривались построение и свойства непрерывных и непрерывно дифференцируемых заданное число раз минимальных полиномиальных и тригонометрических интерполяционных сплайнов со свойством "точности" соответственно на алгебраических и тригонометрических полиномах заданной степени. Отличительная черта этих сплайнов заключается в том, что аппроксимация строится отдельно на каждом сеточном интервале в виде линейной комбинации базисных сплайнов с коэффициентами, равными значениям приближаемой функции в нескольких соседних узлах сетки. При этом интерполирующая функция строится достаточно просто, поскольку решение интерполяционной задачи в точке не зависит от поведения функции в достаточно удаленных узлах сетки.

В данной работе предложены неявные одношаговые методы четвертого, шестого и восьмого порядков для решения задачи Коши и устанавиваются оценки погрешности. Предлагаемые методы основаны на известном интегральном тождестве и приближенной замене подынтегральной функции неполиномиальными минимальными эрмитовыми сплайнами (см. [8], [11], [15]). Для оценки погрешности на сеточном интервале применен метод, описанный в работе [7]. Построенные таким образом методы обладают точностью на некотором заданном множестве функций, что позволяет в ряде случаев существенно уменьшить погрешность решения задачи Коши.

Диссертация содержит четыре главы (48 параграфов).

Первый параграф главы I носит вспомогательный характер и посвящен основным сведениям о численных методах решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе приведены схемы методов Адамса и Рунге-Кутта (см. напр. [35]). Во втором параграфе первой главы излагаются сведения о построении неполиномиальных сплайнов нулевой высоты (см. [8], [11])- Следуя работе [33] под высотой будем понимать количество производных функции, используемых в приближении. Описывается построение решения ассоциированного дифференциального уравнения и методика получения оценки погрешности приближения сплайнами нулевой высоты (см.[7]). В третьем параграфе приводится построение неполиномиальных сплайнов непулевой высоты с помощью системы образующих функций ipi(x) (см.[15]). В четвертом параграфе рассматривается построение сплайнов ненулевой высоты в случае <Pi(x) = <рг(х), г — 0,1,.,га, где <р(х) — заданная функция. В пятом параграфе изучается применение сплайнов ненулевой высоты для решения задачи Коши.

В главе II рассматривается вопрос о построении неполиномиальных сплайнов четвертого порядка аппроксимации первой высоты, обладающих свойством точности на функциях ipiix). Получено приближенное решение задачи Коши для одного уравнения и для системы уравнений. Дано представление погрешности приближения сплайнами четвертого порядка аппроксимации первой высоты и оценка погрешности решения задачи Коши при (fi{x) = жг-1, при фг{х) — е-(г-1)х, при ipi(x) = а также при <fi(x) = 1, ср2(х) = х: <рз(х) = еАх, <р4(х) = е~Ах.

Приведены результаты численных экспериментов и получены представления для погрешностей решений дифференциальных уравнений. Проведено сравнение полученных численных решений с результатами счёта по известным схемам Рунге-Кутты и Адамса.

В главе III рассматривается решение задачи Коши с помощью неполиномиальных базисных сплайнов шестого порядка аппроксимации второй высоты. В начале главы приводится построение этих базисных сплайнов. При этом получены базисные сплайны шестого порядка аппроксимации второй высоты при (fii(x) = ж*-1, при <pi(x) — г = 1, ., 6, а также при tpi(x) в виде cpi(x) = 1, <р2(х) = х, (рз(х) = ipi(x) - е~Ах, ips(x) = е2Ах, щ(х) = е~2Ах.

Даны оценки погрешности приближения сплайнами шестого порядка аппроксимации второй высоты. Более подробно рассмотрен случай <Pi(x) = ж*-1, а также рассмотрен случай <fi(x) = Получена оценка погрешности решения задачи Коши в случае применения полиномиальных сплайнов, а также порядок погрешности в случае применения экспоненциальных сплайнов и при <pi(x) = 1, ж, екЛх,к = ±1, ±2 и при ifi(x) = е(г-"1)-'г. Получены результаты численных экспериментов. Третий параграф посвящен решению ряда уравнений и систем; полученные результаты подтверждают численую устойчивость полученных схем.

В главе IV рассмотрено решение задачи Коши с помощью неполиномиальных базисных сплайнов восьмого порядка аппроксимации третьей высоты. Получены базисные сплайны восьмого порядка аппроксимации третьей высоты при (pi(x) = жг-1, при щ(х) = при (fi(x) = 1 ,ip2(x) = х,(р(х) = eAkx,k = ±1,±2, ±3,A > 0. Выведена оценка погрешности приближения этими сплайнами. Подробно рассмотрено получение погрешности приближения сплайнами восьмого порядка аппроксимации третьей высоты при <pi(x) = хг~1. Получена погрешность решения задачи Коши при tpi(x) — хг1, и порядок погрешности при cpi(x) = Приведены результаты численного решения уравнений, которые показывают справедливость сделанных теоретических выводов.

Нумерация формул в диссертации — своя в каждой главе. Нумерация теорем, лемм, таблиц и рисунков единая.

Основными результатами диссертации являются следующие

1. Получена оценка погрешности четырежды непрерывно дифференцируемой функции неполиномиальными сплайнами четвертого порядка аппроксимации первой высоты, обладающими свойством точности на функциях:

1) <pi(x) = е-^"1)*, * = 1, 2, 3, 4,

2) (pi(x) = i = 1, 2, 3, 4,

3) <pi(x) = 1, (p2(x) = ж, <рз(х) = e®, (ж) =

2. Дана оценка погрешности шесть раз непрерывно дифференцируемой функции неполиномиальными сплайнами шестого порядка аппроксимации второй высоты, обладающими свойством точности на функциях:

1) п(х) = е"^, i = l,2,. ,6,

2) <pi(x) = 1, = х, <р3(х) = ех, у?4(ж) = еа;, = е2х, <рб(х) = е2а;.

3. Получена оценка погрешности восемь раз непрерывно дифференцируемой функции неполиномиальными сплайнами восьмого порядка аппроксимации третьей высоты, обладающими свойством точности на функциях:

1) <р{(х) = е-**-1*, i = l,2f.,8,

2) <pi(x) = 1, <p2(x) = x, (p3(x) = ex, y>4(:r) = e-*, (p5(x) = e2*, y>6(®) = 4>ч{х) = e3x, <p8(x) = e~3x.

4. Получен неявный одношаговый метод решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка (а также систем дифференциальных уравнений первого порядка), обладающий сходимостью порядка 0(h5) на каждом сеточном промежутке [xj, Xj+1] длины h. Получено представление погрешности метода на промежутке [xj, a^+i] и оценки погрешностей решения задачи Коши для четырёх разновидностей этого метода.

5. Получен неявный одношаговый метод решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка (а также систем дифференциальных уравнений первого порядка), обладающий сходимостью порядка 0(h7) на каждом сеточном промежутке [xj, Xj+1]. Получено представление погрешности для трех разновидностей этого метода на промежутке [xj, Xj+1] и получена константа в оценке погрешности решения задачи Кошп с помощью этого метода в случае применения полиномиальных сплайнов ненулевой высоты.

6. Получен неявный одношаговый метод решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка (а также систем дифференциальных уравнений первого порядка), обладающий сходимостью порядка 0(h9) на каждом сеточном промежутке [xj, Xj+1]. Получено представление погрешности для трех разновидностей этого метода на промежутке [xj, Xj+i] и получена константа в оценке погрешности решения задачи Коши с помощью этого метода в случае применения полиномиальных сплайнов ненулевой высоты.

Основные утверждения, полученные в диссертации

Рассмотрим задачу Коши у' = д(х,у(х)), у(хо)=уо, (1) предполагая, что её решение у(х) существует и единственно на отрезке [яг0, X], х0 < X.

Пусть функция д 6 С4[ж0, X] х R1 , где х £ [ж0, X], у 6 R1.

На промежутке [жо, X] введём сетку узлов xq < х\ < . < xjy = X и обозначим yj приближенное значение решения у(х) задачи (1) в точке xji Уз ^ y{xj)i отыскиваемое с помощью методов вида: yj+i = У] + yj)vj, о + g(xj+ь yj+i)vj+i,o+ (9x(xj: У]) + 9y(xj, yj)g{xj, yj)) vjr\-+ {g'xixj+ь Vj+i) + 9y{xj+1, yj+i)g(xj+b yj+1)) Vj+1,1, (2) где числа Vjtо, Vj+i;o, Vj,i, Ч/+1,ь задают рассматриваемый метод (см. ниже).

В дальнейшем полагаем h = xj+i—xj, не отмечая в этом обозначении зависимость от j (для краткости изложения).

В диссертации доказаны следующие теоремы Теорема 1. При сформулированных выше предположениях для погрешности решения задачи Коши (1) на промежутке [xj,xj+1] с помощью метода (2) справедливо неравенство

V \Уз+1 ~ у{хз+01 < если vjfi = vj+lfi = h/2, v3, i = ~vj+i,i = h2/l2.

2) \yj+i~y{xj+i)\ ^ + +ll^' + ey'll^.^j], К a 2.68, при

- ~27ek + 6h + 5 ~ 18ekh + 27e2k ~ 5e3k

Vjfi ~ ~ 6(eh - 1)3 (2 + Seh + 6ehh - 6e2h + еш)е~н 41 ~ 6(eh l)2 ' 27eh - 5 + 18e2hh - Qe3hh - 27e2h + 5e3h Vj+1'°~ —6(eh - 1)3 ' -3e2h + 6eh- 1 + 6e2hh - 2e3h VjW~ 6(eh — l)2

3) fc+i - y(xj+i)\ < h5K\\yv - 6?/IV + IV" - 6</"||[x.,Xj+l], при

- ~5 + + 18e2hh - 6e3/lfr - 27е2Л + 5e3/l 0 6(e/l - 1)3 > —3e2h + 6eh - 1 + - 2езл ~ - l)2 +27ел - Qh - 5 + 18ел/г - 27e2h + 5e3/l 6(e* - 1)3 '

- (2 + 3eft + 6eA/i - 6e2h + e3/l)e~/l 6(eh — l)2 причём К & 0.16, если 0 < h < 0.3, К va 0.03, если 0.3 < h < 1.

4) \Vj+i-y(xj+i)\ <h5 К \\yv-y'"\\[Xj,Xj+1], K = $5(e-1+e)t* 0.066 при

Vj,o = Vj+1,0 = h/2, heh - 2eh + h + 2 - 2eh + h + 2

41 ~ 2(eh - 1) ' 2(eft - 1) '

Теорема 2. В предположении, что g € С6[#о> -X] х il; для погрешности решения задачи Коши у' = д(х,у(х)), у(хо) = уо, ж £ -X] с помощью метода

Уз+i = yj + 9{xj, Vj)vj,о + ^Oj+ъ yj+i)vj+lt0+ +GjVjt 1 + Gj+l^+i,! + QjVj, 2 + Qj + 1^+1,2, где

Qk=g"x{Xk: Ук)+9уу(хк, Ук)д2(хк, JfcjGjfc,

Gk = д'х{хк,ук) + 9у{хк,Ук)д{хк,Ук), k = j, j + l. на промежутке [xj,xj+1] справедливо неравенство yj+i ~ y(xj+i)\ < Kh7 || уш ||, К « 0.0031, здесь

Vj,o = vj+ifi = vjti = ^h2, vi+1>1 = Vj,2 = Vj+i,2 = ^O^3'

Если

- 1 ~60(e?l — l)5 X x(-325e/l+H00e2/l+47-300e/l^+600e2/l^+60^-47e5/l-1100e3/l+325e4/l), 1

Vj+lfi ~ ~ 60(eh — l)5 X x(-47+325e/l-1100e24300e4/l^-60e5,l^-600e3/l^+47e54ll00e3/l-325e4/i),

--1—-(-27e^4-180e'l/i+160e/4^-2/440-60/?r-225e2/'-b59e3^e4'1),

40(e/l —l)5 1

40 (e^— 1У x (—225e2/l + 59eh + 160e3h - 8 + 40e4/l - 180e3h/i + 60eAhh + e6h - 27e5/l), 1 3e~2/l - 30e-fe - 20 - 60fo + 2e3h + 60eh - 15e2/t ~ 120 (eh - l)3 ' 1 2 - 20e3/l - 15e/l + 60e2/l + 60e3ftft + 3e5fe - 30e4/l fj+1,2 - jgo (ел - l)3 ' mo yj+l - y(xj+l) I < Kh7 II /« + 15yyl + 85/ + 225ylv + 274/' + 120/ ||,

1.1 = -XKTJt—Тйх где К— некоторая константа, К > 0.

Теорема 3. В предположении, что g £ С^яо, X] х R для погрешности решения задачи Коши у' = д(х,у(х)), у(хо) = уо, х £ с помощью метода

Vj+i = Уз + AjVj, о + + Bj4 1 + ^+1^+1,1+

C3vi, 2 + Cj+ivj+h2 + D]Vj,3 + Dj+iVj+i^, где

Ak = g(xk, ук), Вк = д'х(хк, ук) + g'y(xk, yk)g(xk, yk), Qfc = УкНд'ууЫ, yk)g2(xk, ук)+2д%у(хк, yk)g(xk, Ук)+д'у(хк, yk)Bk,

Dk = g'"xx(xki Ук) + зд'х'Ху(хк, Ук)д(хк, ук) + Зд"'уу(хк, ук)д2(хк, ук)+ +д'ууу{хк, ук)дъ(хк, у к) + 3 дуу(хк, ук)д(хк, z/jfc)(BJfc + 3 д"у(хк, Ук)Вк+ д'у(хк, ук)(Ск + д'у(хк, Ук)Вк))} к = j, j + 1, h 3 3 если vjtо = Vj+i.0 = Uj-д = —h2, vj+lA = -—/г2, i3 /i4 h4

Vj, 2 = ^i+1,2 = ГТ, = T^TT, Vj + 1,3 =

84' 1680' ' 1680' справедливо неравенство

Vj+i - y(xj+1)| < h9K || г/к ||, К « 0.000058. ifo/m A; = j,^' + 1, s = 0,1, 2,3 задаются формулами (4-21)-(4-28), то существует некоторая константа К, К > 0, что yj+1-y(xj+1)\ < h9Kx х II ^к+28ууш4^22ууп+1960ууЧб769уу+13132^1у+13068г////+5040г/// || . т

Научная новизна. Неполиномиальные минимальные сплайны для построения расчётных схем типа Адамса ранее не применялись. Если линейная комбинация производных от используемых неполиномиальных минимальных сплайнов является решением дифференциального уравнения, то предлагаемые схемы точны на этом пространстве сплайнов. Основные результаты были доложены на следующих конференциях и семинарах:

1. Процессы управления и устойчивость. XXXVIII международная научная конференция аспирантов и студентов, С.- Петербург, Россия, 9-12 апреля 2007 г.

2. Нелинейный динамический анализ - 2007. Международный конгресс, С.- Петербург, Россия, 4-8 июня 2007 г.

3. Процессы управления и устойчивость. XXXIX международная научная конференция аспирантов и студентов, С.- Петербург, Россия, 7-10 апреля 2008 г.

4. Космос, астрономия и программирование (Лавровские чтения): международная научная конференция, С.- Петербург, Россия, 20-22 мая 2008 г.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Хассан Инаам Р.

Основные результаты второй главы

Объединим основные результаты второй главы, сформулированные в леммах 2, 4, 6, 8 и сформулируем их в теореме 1.

Пусть N — целое число, N > 2, хо < х\ < . < xn = X. Предполагаем, что существует решение задачи Коши

У' = 9(х,у(х)), у(хо) =2/о, х е [:х0, X], (*) где д(х,у) — четырежды непрерывно дифференцируемая функция по своим аргументам.

Приближение yj к решению задачи (*) будем определять с помощью метода:

Уз+1 = Уз + yj)vjfi + g{xj+1, yj+1)vj+ii0+ (ff'xfa, Уз) + g'y{xj, yj)g(xj, Vj)) Vjj+ (g'x(xj+1, yj+i) + 9y(xJ+1, 2/j+i)) Vj+1,1. (**)

Пусть h = Xj+1 — Xj.

Теорема 1. Ярг/ сформулированных выше предположениях для погрешности решения задачи Коши (*) на промежутке [xj, Xj+1] с помощью метода (**) справедливо неравенство

V \Уз+1 ~ y{xj+i)l < mh5\\yV\\[^i+ih если = vj+i,o = h/2, Vj,i = -Vj+1,1 = h2/12.

2) \yj+\ — y(xj+\)| < к5К\\уу + 6yIV + lly'" 4- §y"\[[xj,xj+1]) Къ 2.68, при

-27eh + 6h + 5 - 18ehh + 27e2h - бе3'1 (2 + 3eft + 6ehh - 6e2h + e3h)e~h 41 " 6{eh l)2 ' 27eh - 5 + 18e2/t/i - 6e3hh - 27e2/t + 5e3h Vj+1'°~ —Q(eh — l)3 —3e2h + 6e^ - 1 + 6e2/l/t - 2e3/t 6(ел — l)2

3) |yj+1 - 2/(xJ+1)| < h5K\\yv - 6yw + 11 y'" - 6y"\\[Xj,Xj+lh при

-5 + 27eh + 18e2kh - 6e3kh - 27e2h + 5e3h 40 ~ б(ел - l)3 ' —3e2h + 6eh - 1 + 6e2kh - 2e3/l ^M - — 6(ел - l)2 ' +27e/l - 6ft - 5 + 18efo/i - 27е2/г + 5e3/t Wi+1'° ~ 6{eh - l)3 ' (2 + 3eft + бе^Я - 6e2h + e3h)e~h Vj+1A ~ 6(eh - l)2 ' причём, К & 0.16, если 0 < h < 0.3, К & 0.03, если 0.3 < h < 1.

4) \yj+i - y(xj+1)| < h5 К \\yv - y'"\\[Xj,Xj+l], к « 0.066, при v3,0 = vj+1,0 :: h/2, heh -2eh + h + 2 heh -2eh + h + 2

2{eh — 1) ' 2{eh-l)

2.3. Результаты численных экспериментов 2.3.1. Решение простейших дифференциальных уравнений Пример 1. Будем решать уравнение у' = —2[у — sin(a;)) + cos(:c), х £ [0,20], с начальным условием ?/(0) = 0. Очевидно, решение этой задачи у{х) = sin(:c).

Ниже приведены результаты численных экспериментов, проведенных в среде Maple при значении параметра Digits=25. Используем следующие обозначения:

Rhi — max \y(xi) — y(xi) | — погрешность, вычисленная на равномер-[0,20] ной сетке, построенной на промежутке [0,20] при hi = 0,1, h2 = 0,01. Здесь Xi = 0,1 hf~i, к — 1,2, у — приближенное решение задачи Коши при применении <fi(x) вида:

1. срг(х)=х\г = 0,1,2,3,

2. tpi(x) = х\ г = 0,1, ip2(x) = еАх, ср3(х) = е~Ах

3. (pi(x) = e~ix, i = 0,1,2,3 .

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хассан Инаам Р., 2008 год

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972.- 316 с.

2. Бурова И. Г. Интерполяция минимальными сплайнами и вариационно-разностные методы: учебное пособие. СПб: Изд-во СПбГУ, 1998. 52 с.

3. Бурова И. Г. Минимальные вещественные и комплексные сплай-Hbi//International Conference OFEA'2001 Optimization of Finite element Approximation Splines and Wavelets. June 25-29 2001

4. Бурова И. Г. Optimization of finite element approximations & splines and wavelets // Proc. of the 2-nd Intern, conference OFEA-2001. St.Petersburg (Russia). June 25-29.2001. St.Petersburg, 2002. C.56-64.

5. Бурова И. Г. Об аппроксимации квадратичными и кубическими минимальными сплайнами // Методы вычислений. Вып. 20. СПб. 2003. С. 5-24.

6. Бурова И.Г. О построении тригонометрических сплайнов // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 2. С. 9-14.

7. Бурова И. Г. Приближения минимальными сплайнами максимального и минимального дефекта // Вестн. С.Петербург, ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 1 С. 9-13.

8. Бурова И. Г. Приближения неполиномиальными сплайнами максимального дефекта. Изд-во СПбГУ. СПб., 2007. 40 с.

9. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. О построении сглаженных сплайнов с минимальным носителем // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1983. № 13. С. 10-15.

10. Бурова И.Г., Дел1ъянович Ю.К. Граничные минимальные сплайны и их применение: Курс лекций. СПб.: Изд-во Петерб. гос. ун-та путей сообщ., 1996. 88 с.

11. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. Теория миниимальных сплайнов. СПб., 2000. 316 с.

12. Бурова И. Г., Демьянович Ю.К, О сплайнах максимальной гладкости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2005. Вып. 2. С. 5-9.

13. Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. О гладких тригонометрических сплайнах второго порядка // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер 1. Мат., мех., астр. 2004. Вып. 3. С. 13-19.

14. Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. О гладких тригонометрических сплайнах третьего порядка // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 1. Мат., мех., астр. 2004. Вып. 4. С. 12-23.

15. Бурова И. Г., Тимофеев В. А. Построение сплайнов ненулевой высоты // Методы вычислений. Вып. 21. СПб., 2005. С. 31-39.

16. Ваг ер Б. Г., Серков И.К. Сплайны при решении прикладных задач метеорологии и гидрологии. Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 160 с.

17. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск, 1983. 215 с.

18. Воронкова А. И., Даугавет И.К., Марданов А.А. Практикум по численным методам. СПб., 2003. 80 с.

19. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 208 с.

20. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М., 1984. 303 с.

21. Демьянович Ю.К. Об аппроксимации пространствами локальных функций // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1977. №1. С. 35-41.

22. Демьянович Ю.К. О построении пространств локальных функций на неравномерной сетке // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР. 1983. Т. 124. С. 140-163.

23. Демьянович Ю.К. Локальная аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны. СПб., 1994. 356 с.

24. Демьянович Ю. К. Биортогональная система для минимальных сплайнов и решения задач интерполяции // Докл. РАН 2001. Т. 377, N 6. С. 739-742.

25. Жук В.В., Натансон Г.И. К теории кубических периодических спланов по равноотстоящим узлам//Вестн. Ленингр.ун-та. 1984.Т1.С.5-11.

26. Завьялов Ю.С., Квасов В.И., Мирошниченко В.К. Методы сплайн-функций. М. 1980. 352 с.

27. Калиткин Н. Н. Численные методы. М., 1978. 512 с.

28. Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006. 416 с.

29. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближений. М., 1984. 352 с.

30. Лозинский С.М. О формулях квадратур и одношагових методах численного и ктегрировашие, использующих преизводние. Вестн. С.-Петерб. ун-та. Ж 1. 1975. С. 73-101.

31. Малоземов В.Н., Певный А.Б. Полиномиальные сплайны. JL, 1986. 120 с.

32. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб, М.-Краснодар. 2003. 832 с.

33. Михлин С.Г. Вариационно-сеточная аппроксимация // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР., 1974. Т. 48. С. 32-188.

34. Морозов В.А. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченных операторов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1971. Т. 11. №3. С. 545-558.

35. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений: Учеб. пособие.— 2-е изд., испр. и доп.— СПб.:Изд-во СПбГУ., 1998. 472 с.

36. Ортега ДжПул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М., 1986. 288 с.

37. Рябенький B.C. Об устойчивости конечно-разностных уравнений: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1952.

38. Рябенький В. С. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошных сред. М., 1987. 320 с.

39. Стечкин С.В., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М., 1976. 248 с.

40. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.М., 1980. 512 с.

41. Хайрер Э., Нёрсетт СВаннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: Пер. с англ.— М.:Мир., 1990. 512 с.

42. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально- флгебраические задачи: Пер. с англ.- М.:Мир., 1999. 685 с.

43. Холл, Уатт Соверменные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Пер. с англ. редакторы Дж. Холл и ДЖ. Уатт. М.: Мир, 1979. 312 с.

44. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1978. 451 с.

45. Alexander A. Diagonally implicit Runge Kutta methods for stiff ODEs. SIAM J. Numer. Anal., Vol. 14, No. 6, December 1977, pp. 1006-1021.

46. Butcher J. C., Cash J.R. Towards efficient Runge Kutta methods for stiff systems. Journal of Computational and Applied Mathematics. Vol. 45, 1993, pp. 203-212.

47. Butcher J. C., Johnston P.B. Estimating local truncation errors for runge-Kutta methods. SIAM J. Numer. Anal, Vol. 27, No. 3, June 1990, pp. 753-761.

48. Butcher J. C., Jfckiewicz Z. Implementation of diagonally implicit multistage integration methods for ordinary differential equation. SIAM J. Numer. Anal., Vol. 34, No. 6, December 1997, pp. 2119-2141.

49. Cooper J. G., Jfckiewicz Z. Error estimates for general linear methods for ODEs. SIAM J. Numer. Anal., Vol. 18, No. 1, February 1981, pp. 65-82.

50. Frank R., Schneld J., Christopher W. Stability properties of implicit Runge-Kutta methods . SIAM J. Numer. Anal., Vol. 22, No. 3, June 1985, pp. 497-512.

51. Gear C. Numerical initial value problems in ODEs. Prentic-Hall. Inc., 1971.

52. Hundsdorfer W.H., Spijker M. N. On the algebraic equations in IRK methods . SIAM J. Numer. Anal., Vol. 24, No. 6, June 1987, pp. 583593.

53. Lambert J. D. Comoutational methods in ODEs. John Wiley & Sons., 1991.

54. Lubich Ch., Nipp K., Stoffer D. Runge-Kutta solutions of stiff differential equations near stationary points. J. Numer. Anal., Vol.2, No. 4, Augest 1995, pp. 1296-1307.

55. Morozov V.A., Gerbennikov A.I. Methods for solution of ill-posedproblems: algorithmic aspect. -M.: Mosco University Press, 2005. 325 pp.

56. Ortega J. M, Rheinboldt W. C. Iterative solution of non-linear equations in several variables. Academic Press. New Yourk , 1970. 288 c.

57. Ortega J. M, Willimas G. Numerical methods for differential equations. Pitman Publishing Inc. , 1981.

58. Prothero A., Robinson A. On the stability and accuracy of one-step methods for solving stiff systems of ODEs, Math. Сотр., Vol. 28, No. 125, Junary 1974, pp. 145-162.

59. Schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation of equidistant date by analytic function // Qaurt. Appl. Math., 1946. Vol. 4. Pt A. P. 45-99; Pt B. P. 112-141.

60. Работы автора по теме диссертации:

61. Бурова И. Г., Хассан ИнаамР. Применение минимальных интерполяционных сплайнов к решению задачи Коши // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1., 2007. Вып. 4. С. 114-117.

62. Бурова И. Г., Хассан Инаам Р. Об оценках погрешностей некоторых одношаговых методов для решения задачи Коши с помощью неполиномиальных сплайнов // Методы вычислений. Вып. 22. СПб.2008. С. 17-26.

63. Хассан Инаам Р. О решении задачи Лотки-Вольтерра // Процессы управления и устойчивость: Тр. 39— й междунар. науч. конф. аспирантов и студентов. СПб., 7-10 апреля 2008 г. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008 (апрель). С. 176-180.

64. Хассан Инаам Р. О решении задачи хищник-жертва // Методы вычислений. Вып. 22. СПб. 2008. С. 145-151.