О свойствах решений гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Найдюк, Филипп Олегович

• Найдюк, Филипп Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Найдюк, Филипп Олегович

ч Введение

1 Смешанная задача для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода.

1.1 Постановка задачи для волнового уравнения на отрезке с краевыми условиями первого и третьего родов

1.2 Представление решения задачи (1.1.3)-(1.1.4) в виде тригонометрического ряда.

1.3 Решение задачи (1.1.3)-(1.1.4) методом шагов

1.4 Формула суммы тригонометрического ряда специального вида

1.5 Постановка задачи для волнового уравнения на отрезке с краевыми условиями второго и третьего родов

1.6 Решение задачи (1.5.2)-(1.5.3) методом шагов.

1.7 Решение волнового уравнения для нагруженной струны

2 Новая вычислительная схема решения смешанной задачи для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода и её сравнение с известными.

2.1 Применение разностной схемы для решения смешанной задачи с краевым условием третьего рода

2.2 Построение новой схемы для решения смешанной задачи с краевым условием третьего рода.

3 Волновое уравнение с сингулярными коэффициентами на связных и конечных геометрических графах. f 3.1 Понятие связного открытого геометрического графа

3.2 Функциональные пространства на связном открытом геометрическом графе.

3.3 Волновое уравнение на геометрическом графе с д- и 6'- сингу-лярностями в коэффициентах

3.4 Единственность решения смешанной задачи для волнового уравнения с 5- и 8'- сингулярностями в коэффициентах

3.5 Примеры смешанных задач для волнового уравнения на различных графах

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О свойствах решений гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами»

Настоящая работа посвящена исследованию уравнения гиперболического типа uxx{x,t) - q{x)u(x,t) = Utt{x,t) (х е Г, t > 0), (1) в котором Г - геометрический граф, а коэффициент q(x) есть конечная линейная комбинация S и 5' функций с носителями в точках из Г q(x) = ^^ ki5(x — Xi) + ^Г^ kj5'(x — £j) i э здесь 8 это дельта функция Дирака).

Основная цель, которая преследовалась в работе, состоит в выделении классов геометрических графов и смешанных задач для уравнения указанного типа, решения которых могут быть выражены через начальные данные посредством конечного числа арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простых преобразований независимого аргумента (аддитивный сдвиг и умножение на —1), - подобно тому, как решение волнового уравнения на отрезке с краевыми условиями первого рода выражается через начальные данные с помощью формулы Далам-бера.

Несколько слов об истории исследований линейных дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях.

Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах - пространственных сетях, одномерных клеточных комплексах, одномерных стратифицированных множествах) началось сравнительно недавно, около 25-30 лет назад. К таким уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [15, 79, 82]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [15, 82, 79, 46, 76, 81]), деформаций упругих сеток (см., например, [15, 82]) и струнно-стержневых систем [3, 54], диффузии в сетях [15, 82, 24], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [84, 78, 72], бифуркаций вихревых течений в жидкости [74], гемодинамики (см., например, [48]), колебаний сложных молекул (см., например, [49, 11, 15]), расчёт гидравлических сетей (см., например, [14]), приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (топологических сетях) (см., например, [50, 27, 81, 26]).

Мы не будем подробно останавливаться на результатах исследований обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на геометрических графах. Отметим лишь, что для таких уравнений достаточно полно изучен вопрос о разрешимости задачи с краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля при условиях трансмиссии во внутренних вершинах графа, а так же вопрос о структуре спектра (условия простоты, оценки геометрической и алгебраической кратностей, асимптотики, оценки резольвенты, существования полугруппы); построена теория функции Грина, исследованы свойства неосцилляции уравнений и неравенств, доказаны аналоги теорем Штурма о сравнении и перемежаемости, установлены условия осцилляционности спектра в случае геометрических графов без циклов - см. [15] и цитированную там литературу.

Часть этих результатов была получена и в случае обобщения условий Кирхгофа, которые могут быть проинтерпретированы как наличие в потенциале аддитивной составляющей в виде конечной линейной комбинации: 1) 5-функций с носителями во внутренних вершинах геометрического графа [15], 2) <5'-функций с носителями там же [60, 73, 1].

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на геометрических графах могут рассматриваться как частный случай уравнений эллиптического типа на стратифицированных множествах, теория которых к настоящему времени развита до аналогов неравенства Пуанкаре, принципа максимума, неравенства Гарнака, теоремы о среднем, формулы Пуассона, метода Перрона - см., например, [52, 51, 53, 8, 34, 15].

Аналоги классических результатов (разрешимость, существование сильно непрерывной полугруппы) получены и для уравнений параболического типа - см., например, [24, 80].

На результатах исследований уравнений гиперболического типа на геометрических графах остановимся более подробно. Прежде всего, если говорить о волновом уравнении на геометрическом графе, то, помимо исследования структуры и ассимптотики спектра и оценок резольвенты (об этом выше уже шла речь), следует сказать о получении аналогов формулы Даламбера [56, 75, 77, 5, 31, 29, 62]. Эти аналоги позволили для смешанной задачи с краевыми условиями первого и/или второго родов на геометрическом графе с соизмеримыми по длине рёбрами: 1) описать решение (а значит, и соответствующие операторные косинус-функции и синус-функции) в конечной форме, означающей квазипериодичность -см. [62, 28, 31, 32, 83, 57], 2) обосновать корректность задачи [30], 3) создать эффективную вычислительную схему, основанную на теореме о среднем [64]. Аналог формулы Даламбера позволил также свести решение смешанной задачи (для, по-прежнему, волнового уравнения) на геометрическом графе с рёбрами, вообще говоря, несоизмеримыми, к системе (недифференциальных) уравнений с конечным числом запаздываний [58, 59]. Ещё одно направление исследований (пока мало разработанное) - это создание аналога метода Римана [37, 10, 9]. Предпринимаются и первые попытки исследования задач управления [61, 12] и задач управляемости [7] (последнее в духе работ [18]-[22], [69, 70]) при краевых условиях пока только первого рода. На повестке дня и перенесение методов задач наблюдения (см., например, [17, 16]) на волновые уравнения на геометрических графах.

Основная цель настоящей диссертации изначально состояла в получении формулы решения смешанной задачи с краевыми условиями третьего рода (которые адекватны наличию в потенциале односторонней ^-функции) для волнового уравнения на геометрическом графе с соизмеримыми рёбрами - формулы, аналогичной той, которая была получена ранее в работах [56, 62, 28, 31, 32, 29, 83, 57] для краевых условий первого и/или второго родов - с последующим созданием эффективной вычислительной схемы для решения таких задач. Однако, в полной мере этой цели достичь не удалось, поскольку быстро выяснилось, что в отличии от случая краевых условий первого и/или второго родов, такая задача не решена даже для отрезка - простейшего варианта геометрического графа. Поэтому часть настоящей диссертации служит выводу формулы для продолжения начальных данных в представлении решения (в форме Даламбера) смешанной задачи для волнового уравнения на отрезке при наличии краевого условия третьего рода - формулы, содержащей конечное число арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простейших преобразований начальных данных, означающих сдвиг графика и его симметричное отображение. Разработанный здесь подход позволил получить такого же типа описание для продолжения начальных данных и в задаче о колебаниях нагруженной струны. В заключительной части работы результаты "подготовительного" этапа применяются к волновому уравнению (1) на геометрическом графе с краевыми условиями третьего рода. При этом выяснилось, что результаты "подготовительной" части находят применение и для волновых уравнений на геометрических графах в случае, когда в потенциале (множитель при искомой функции) представляет собой линейную комбинацию (5-функций или их производных (в смысле [23]).

Перейдём к краткому описанию основных результатов данной диссертации.

Первая глава посвящена исследованию смешанной задачи для волнового уравнения с краевым условием третьего рода на отрезке или, что тоже самое, уравнению (1) при q{x) = кд-(х — £), где <L, — так называемая, левосторонняя дельта функция. Основная цель этой главы - получить аналог формулы Даламбера через продолжения начальных данных в виде, эффективном с вычислительной точки зрения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Найдюк, Филипп Олегович, 2004 год

1. Абдулмаджид М. Колеблемость ветвящихся решений уравнений второго порядка - спектральная теория: дисс. . канд. физ.-мат. наук / М. Абдулмаджид. - Воронеж, 1992. - 101 с.

2. Беллман Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Кук. М. : Мир, 1967. - 548 с.

3. Березин И.С. Методы вычислений: в 2-х т. / И.С. Березин, Н.П. Жидков. М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. - Т. 2. - 620 с.

4. Боровских А.В. О распространении волн по сети / А.В. Боровских, А.В. Копытин // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1999. - С. 21-25.

5. Будак Б.М. Сборник задач по математической физике / Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов. М. : Наука, 1972. - 688 с.

6. Бурлуцкая М.Ш. Граничное управление системой из трёх струн с одним закреплённым концом / М.Ш. Бурлуцкая // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 45-46.

7. Гаврилов А.А. Аналог леммы о нормальной производной для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве / А.А. Гаврилов, О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 2000. - Т. 36, № 2. -С. 226-232.

8. Герасименко Н.И. Задача рассеяния на некомпактных графах / Н.И. Герасименко, B.C. Павлов // Теоретическая математ. физика. -1988. Т. 74, № 3. - С. 345-359.

9. Глотов Н.В. О колебаниях с трением на сети / Н.В. Глотов, B.JI. Прядиев // Современные методы теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2003. - С. 39-40.

10. Головатый Ю.Д. Асимптотика собственных значений и собственных функций в задачах о колебаниях среды с сингулярным возмущениемплотности / Ю.Д. Головатый, С.А. Назаров, О.А. Олейник // Успехи мат. наук. 1988. - Т. 43, выпуск 5(263). - С. 189-190.

11. Гудзовский А.В. К расчёту гидравлических сетей / А.В. Гудзовский // Докл. АН. 1988. - Т. 358, № 6. - С. 765-767.

12. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный и др.]. М. : Физматлит, 2004. - 272 с.

13. Знаменская J1.H. Задача граничного наблюдения за упругими колебаниями / J1.H. Знаменская // Современные методы теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XV": материалы Воронеж, весен, мат шк. - Воронеж, 2004. - С. 97.

14. Знаменская J1.H. Управление упругими колебаниями / JI.H. Знаменская. М. : Физматлит, 2004. - 176 с.

15. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени / В. А. Ильин // Диф. уравнения. 1999. - Т. 35, № 11. - С. 1517-1534.

16. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце / В.А. Ильин // Диф. уравнения. 1999. - Т. 35, № 12. - С. 1640-1659.

17. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией / В.А. Ильин // Диф. уравнения. 2000. - Т. 36, № И. -С. 1513-1528.

18. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии / В.А. Ильин // Докл. РАН. 2001. - Т. 376, № 3. - С. 295-299.

19. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса / В.А. Ильин, В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. 1999. - Т. 35, № 5. - С. 692-704.

20. Кадиев Р.И. Изучение спектральных характеристик одного класса операторов Шредингера с потенциалами нулевого радиуса: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / Р.И. Кадиев. Махачкала, 1995. - 18 с.

21. Каменский М.И. О полугруппе в задаче диффузии на пространственной сети / М.И. Каменский, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Докл. РАН. 1999. - Т. 368, № 2. - С. 157-159.

22. Канторович JI.B. Приближённые методы высшего анализа / J1.B. Канторович, В.И. Крылов. JI. : Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1949. - 695 с.

23. Комаров А.В. О приближении многомерных объектов одномерными: автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук / А.В. Комаров. Воронеж, 2003. - 18 с.

24. Комаров А.В. О спектре равномерной сетки из струн / А.В. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Изв. вузов. 2000. - Т. 463, № 4. - С. 23-27.

25. Копытин А.В. Об аналоге формулы Даламбера и спектре лапласиана на графе с соизмеримыми ребрами / А.В. Копытин, B.JI. Прядиев // Вест. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2001. -№ 1. - С. 104-107.

26. Копытин А.В. Некоторые вопросы теории эволюционных задач на сетях: дисс. . канд. физ.-мат. наук / А.В. Копытин. Воронеж, 2002. - 77 с.

27. Копытин А.В. Об ограниченности обобщённых решений волнового уравнения на сети / А.В. Копытин // Современные методы теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIII": материалы Воронеж. весен, мат. шк. - Воронеж, 2002. - С. 80-81.

28. Копытин А.В. Об одном представлении решения волнового уравнения на сети / А.В. Копытин, B.JI. Прядиев // Современные методы теории функций и смежные проблемы: тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк., (дополнит, вып.). Воронеж, 2001. - С. 307.

29. Копытин А.В. Решение волнового уравнения на пространственной сети / А.В. Копытин, B.JI. Прядиев // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2000. - С. 19-23.

30. Кошляков Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1962. - 768 с.

31. Куляба В.В. Неравенство Пуанкаре на стратифицированных множествах / В.В. Куляба, О.М. Пенкин // Докл. РАН. 2002. - Т. 386, № 4. - С. 453-456.

32. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа / « Ш.Е. Микеладзе. М. : Гос. издат. технико-теоретич. лит., 1953.527 с.

33. Найдюк Ф.О. Исследование формулы Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода / Ф.О. Найдюк; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2003. - Деп. В ВИНИТИ 07.07.03, 23 с. - № 1288-В2003.

34. Найдюк Ф.О. Об аналоге метода Римана для негладких гиперболических уравнений / Ф.О. Найдюк // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 163.

35. Найдюк Ф.О. О методе Даламбера в случае упруго закреплённой струны / Ф.О. Найдюк // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1999. - С. 41-46.

36. Найдюк Ф.О. О решении волнового уравнения с краевым условием третьего рода /Ф.О. Найдюк // Современные методы в теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. шк. Воронеж, 2002. -С. 106.

37. Найдюк Ф.О. Решение волнового уравнения для нагруженной струны / Ф.О. Найдюк // Международной конфер. по диф. уравнениям и динамическим системам: тез. докл. Суздаль, 2004. - С. 149-150.

38. Найдюк Ф.О. Краевое условие третьего рода в задаче на графе / Ф.О. Найдюк, B.JI. Прядиев // Современные методы теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2003. - С. 96-97.

39. Найдюк Ф.О. Формула продолжения начальных данных в решении Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода / Ф.О. Найдюк, B.JI. Прядиев // Вестник Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2004. - № 1. - С. 115-122.

40. О собственных колебаниях струны с присоединённой массой / Ю.Д. Головатый и др.] // Сиб. мат. журн. 1988. - Т. 29, № 5. - С. 71-91.

41. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети / А.В. Боровских и др.] // Докл. РАН. -1995. Т. 345, № 6. - С. 730-732.

42. Олейник О.А. О собственных колебаниях неоднородной струны с конечным числом присоединённых масс / О.А. Олейник, Т.С. Соболева // Успехи мат. наук. 1988. - Т. 43, № 6. - С. 185-186.

43. Осреднённая нелинейная модель гемодинамики на графе сосудов / А.Я. Буничева и др.] // Диф. уравнения. 2001. - Т. 37, № 7. -С. 905-912.

44. Павлов Б.С. Модель свободных электронов и задача рассеяния / Б.С. Павлов, М.Д. Фадеев // Теоретическая математ. физика. -1983. Т. 55, № 2. - С. 257-269.

45. Пенкин О.М. Некоторые вопросы качественной теории краевых задач на графах: дисс. . канд. физ.-мат. наук / О.М. Пенкин. Воронеж, 1988. - 89 с.

46. Пенкин О.М. О принципе максимума для эллиптического уравнения на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 1998. - Т. 34, № 10. - С. 1433-1434.

47. Пенкин О.М. О слабом принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе / О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 1997. - Т. 33, № 10. - С. 1404-1409.

48. Пенкин О.М. О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Диф. уравнения. 1998. - Т. 34, № 8. - С. 1107-1113.

49. Перловская Т.В. О краевой задаче нелокально взаимодействующих уравнений разного порядка /Т.В. Перловская // Современные методы теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2003. - С. 110.

50. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения / Э. Пинни. М. : Изд. иностр. лит., 1961. - 248 с.

51. Покорный Ю.В. Волновое уравнение на пространственной сети / « Ю.В. Покорный, B.JI. Прядиев, А.В. Боровских // Докл. РАН.2003. Т. 388, № 1. - С. 16-18.

52. Прядиев B.J1. О непериодических колебаниях упругих сеток / B.JI. Прядиев // Современные методы в теории краевых задач: "Понтря-гинские чтения XI": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2000. - С. 158.

53. Прядиев B.JI. Свойства фундаментального решения смешанной задачи для волнового уравнения на графе / B.JI. Прядиев // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 202-203.

54. Прядиев B.JI. Теоремы Штурма для разрывных уравнений на графе / B.JI. Прядиев, М. Абдульмаджид; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1992. - Деп. В ВИНИТИ 15.04.92, 20 с. - № 1288-В92.

55. Прядиев B.JI. Об управлении колебаниями сети / B.JI. Прядиев, Н.В. Глотов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 203204.л.

56. Прядиев B.JI. К вопросу о периодичности колебаний упругих сеток / t B.JI. Прядиев, А.В. Копытин, А.В. Боровских // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения X": материалы Воронеж, весен, мат шк. - Воронеж, 1999. - С. 198.

57. Прядиев B.JI. О суммировании рядов из синусов некратных дуг / B.JI. Прядиев, Ф.О. Найдюк // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. -Воронеж, 2003. С. 205.

58. Прядиев B.JI. Правило параллелограмма для волновых уравнений на сетях. Визуализация решений / B.JI. Прядиев, С.С. Шаталов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003 - С. 206-207.

59. Рябенький B.C. Об устойчивости разностных уравнений / B.C. Рябенький, А.Ф. Филиппов. М. : Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1956. - 171 с.

60. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский. М. : Наука, 1971. - 552 с.

61. Самарский А.А. Численные методы математической физики / А.А. Самарский, А.В. Гулин. М. : Научный мир, 2003. - 316 с.

62. Соболев C.JI. Уравнения математической физики / C.JI. Соболев. -М.; Л.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1950. 424 с.

63. Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. I / В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. -2002. Т. 38, № 3. - С. 393-403.

64. Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. II / В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. -2002. Т. 38, № 4. - С. 529-537.

65. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М. : Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1953. -680 с.

66. Уравнения электрического поля дендрита нервной клетки / Ю.В. Покорный и др.] // Дифференциальные уравнения и их применения: тез. докл Второй международ, науч.-практ. конф. СПб, 1998. -С. 147-148.

67. Функция Грина разрывной задачи Дирихле на графе /Ю.В. Покорный и др.]; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1992. - Деп. В ВИНИТИ 03.06.92, 8 с. - № 1836-В92.

68. Ali-Mehmeti F. Nonlinear waves in networks / F. Ali-Mehmeti // Mathematical Research 1994. - V. 80. - 174 p.

69. Ali-Mehmeti F. Splitting of the energy of dispersive waves in a star-shaped network / F. Ali-Mehmeti, V. Regnier; University of Valenciennes. Preprint LMACS 99.7. - Valenci., - 2003. - 18 p.

70. Dependence of intracellular potentials on ramification of dendrites / Yu.V. Pokorny etc.] // Mechanisms of Adaptiv Behavior: Int. Synp. Dedicated to Academician Ivan Pavlov's 150-anniversary: Abstr. -St.Petersburg, 1999. P. 140.

71. Kuchment P. Graph models of wave propagation in thin structures / P. Kuchment // Waves in Random Media. 2002. - V. 12. - № 4, P. 1-24.

72. Nicaise S. Approche spectrale des problemes de diffusion sur les reseaux / S. Nicaise // Lecture Notes in Math. 1987. - V. 1235. - P. 120-140.

73. Nicaise S. Relationship between the lower frequency spectrum of plates and network of beams / S. Nicaise, O.M. Penkin // Math. Meth. Appl. Sci. 2000. - V. 23. - P. 1389-1399.

74. Pokorny Yu.V. Differential equationc on networks (geometric graphs) / Yu.V. Pokorny, A.V. Borovskikh // J. Mathematical sciences. 2004. -V. 119. - Ж 6, P. 691-718.

75. Pryadiev V.L. On the laplacian spectrum on a graph with commensurable edges / V.L. Pryadiev, A.V. Kopytin // Spectral and Evolutional problems: Proc. of the Eleventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Simferopol, 2001. - V. 11. - P. 167172.

76. The problem of intracellular and extracellular potentials of dendritic trees / Yu.V. Pokorny etc.] // Electrical Activity of The Brain: Mathematical Models & Analytical Methods: Proc. of The 1-st International Symposium. Pushchino, 1997. - P. 22-24.