Некоторые вопросы теории эволюционных задач на сетях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Копытин, Алексей Вячеславович

• Копытин, Алексей Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Копытин, Алексей Вячеславович

Введение

1 Волновое уравнение на пространственной сети

1.1 Волновое уравнение на пучке.

1.2 Геометрический граф и волновое уравнение на нем

1.3 Согласованные продолжения /е для функции /, заданной на графе.

1.4 Аналог формулы Даламбера на сети.

1.5 Единственность решения задачи Коши

1.6 Непрерывная зависимость решения от начальных данных

2 Обобщенные решения волнового уравнения на конечном графе

2.1 Используемые понятия и определения.

2.2 Свойства оператора — Дг и порождаемой им КОФ.

2.3 Обоснование метода Фурье для волнового уравнения

2.4 Ограниченность решений волнового уравнения в пространстве Со (Г) в случае графа с соизмеримыми ребрами

2.5 Теорема о спектре оператора — Дг.

2.6 Квази-периодичность решений волнового уравнения

2.7 Пример графа, на котором волновое уравнение имеет непериодические решения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы теории эволюционных задач на сетях»

Дифференциальные уравнения на пространственных сетях (геометрических графах), привлекшие пристальное внимание математиков около двух десятилетий назад, актуальны в самых различных разделах техники и естествознания. Они возникают при описании явлений в непрерывных системах сетеподобной структуры (электрических, гидравлических, акустических сетях, тепловодах, волноводах, нейронных и вычислительных системах, упругих решетчатых конструкциях, электронных системах и т.д.).

Первые математические постановки краевых задач для дифференциальных уравнений на сети связаны с именами G. Lumer'a, S. Nicaise'a, Ю.В. Покорного, B.C. Павлова и Л.Д. Фаддеева, J.-P. Roth'a (см. [15, 19, 34, 44, 45, 46, 52, 53]). К настоящему времени заметные продвижения в этой области принадлежат S. Nicase'y - исследование асимптотики спектра с помощью преобразования Фурье, анализ функции Вейля, построение полугрупп в соответствующих гильбертовых пространствах (см. [47]-[49]), F. Ali-Mehmeti - анализ распространения волн для линейных и нелинейных уравнений (см. [30]—[33]), J. von Below'y - исследование обратных задач восстановления структуры сети по ее спектру (см. [35]—[38]), J.E. Lagnese'y, G. Leugering'y и Е. J. P. G. Schmidt'y - асимптотика спектра для уравнения четвертого порядка, проблема управляемости (см. [40]—[43], [54]).

Заметные результаты получены и в направлении, разрабатываемом Ю.В. Покорным и его учениками - это классический цикл осцилляци-онных свойств (спектральная простота, число нулей собственных функций и их перемежаемость и пр.) как в соответствующей осцилляцион-ной теории, восходящей к Штурму, а в XX столетии развитой усилиями О. Kellogg'a, М.Г. Крейна и S. Karlin'a. Синтетический (недекомпозиционный) взгляд на дифференциальные уравнения на сетях, разработанный Ю.В. Покорным и его учениками, позволил на этом пути построить теорию неосцилляции для линейных дифференциальных уравнений второго порядка, теорию функции Грина, установить теоремы сравнения (см. [3]-[7], [20]—[28]), на основании которых и получаются осцилляцион-ные свойства спектра и собственных функций ( см. [17, 18, 29]).

Настоящая работа посвящена исследованию волнового уравнения Utt = Uxx на геометрическом графе. Изучение распространения волн на сети началось сравнительно недавно. Одной из первых работ в этом направлении можно считать монографию F. Ali-Mehmeti "Nonlinear waves in networks", вышедшую в 1994 году. В ней для частного случая графа, имеющего структуру креста, составленного из четырех одинаковых ребер, предъявлено решение волнового уравнения в форме Даламбера. На произвольном же конечном графе с привлечением теории полугрупп доказаны существование, единственность и регулярность решения задачи Коши для гиперболического уравнения общего вида.

Цель данной работы - получить явное представление решения волнового уравнения на произвольной пространственной сети через начальные данные (в форме Даламбера) и на основе этого представления исследовать вопрос об ограниченности, почти-периодичности и квази-периодич-ности решений.

Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Получен аналог формулы Даламбера для решения волнового уравнения на произвольной пространственной сети и на его основе установлена корректность соответствующей начальной задачи.

2. Обоснован метод Фурье для обобщенных решений волнового уравнения на конечном графе.

3. Доказана ограниченность всех обобщенных решений волнового уравнения и получена их оценка в случае конечного графа с соизмеримыми ребрами.

4. Для такого графа построена матрица, спектр которой полностью описывает спектр оператора —<Р/<1х2 (включая оценку кратности собственных значений).

5. Доказана квази-периодичность всех обобщенных решений волнового уравнения в случае конечного графа с соизмеримыми ребрами.

Перейдем к описанию результатов работы по главам.

Первая глава посвящена исследованию волнового уравнения на пространственной сети (геометрическом графе). Основная цель этой главы - получить аналог формулы Даламбера и установить на его основе корректность соответствующей начальной задачи.

В пункте 1.1 показывается, что задача Коши для волнового уравнения на пучке из т полуограниченных прямых может быть сведена к уже известным задачам на полуограниченной прямой [0, +оо) с условиями Неймана и Дирихле в точке 0. Точнее говоря, если набор функций {щ^х^)}^ является решением задачи

1) (2) (3) Ш то функции щ(:г,£) находятся по формулам х+Ь и фг{х) = х > О, т

У] Кзф^-х) - ф{(-х), X < О,

3=1 а

Р\ + Р2 + • • • + Рт

Далее показывается, что если полуограниченные прямые заменить отрезками [О,Ц, добавив условия щ(Ь,£)=0, то функции щ{х^) снова могут быть получены по формулам (5), правда, в этом случае &(х) и фг{х) будут иметь период 4Ь и на отрезке [0,41/] определяться следующим образом: щ(х) = <

X £ [0,1/], ж е [ь, 2Ц , X е [2Ь,ЗЬ],

III \

У» - 2 к№з) (х

3=1 ' то \

2 ^Г кцр'з -(рЛ(4Ь-х), х е [3Ь, Щ]

7 = 1 ' г(ж),

-фг{2Ь-х), хе [о,ь], то г(я) = <

Фъ-2^2К-зФЗ ){х-2Ь), Х<г [2Ь, Щ, ¿=1 ' , т \ 4 ¿=1 '

В пункте 1.2 дается определение геометрического графа Г в Iя как связного множества, представляющего собой объединение не более чем счетного числа гладких незамкнутых самонепересекающихся кривых {е}ее£> называемых ребрами графа, соединяющих некоторые пары различных точек называемых вершинами этого графа. При этом предполагается, что множество V дискретно, любые два ребра могут пересекаться лишь в вершинах, и к каждой вершине примыкает конечное число ребер.

Длина ребра е обозначается через /е. Предполагается, что точная нижняя граница длин ребер графа Г положительна, т.е.

Фиксируются некоторые вершины, принадлежащие ровно одному ребру, которые называются граничными. Остальные вершины Г называются внутренними. Множество граничных вершин обозначается через <9Г, а множество внутренних - через 7(Г). При этом не исключается возможность того, что Г вообще не имеет граничных вершин, т.е. <9Г = 0.

Через Еъ обозначается множество ребер, примыкающих к вершине V, а через еу - пара (е, у), где е £ Еу.

Скалярной функцией на графе Г называется отображение, действующее из Г в К. Для каждого ребра е графа Г фиксируется далее натуральная параметризация 7е : [0,1е] —> е. Вершина V Е е называется начальной (конечной) вершиной ребра е, если V = 7е(0) (г> = 7е(/е)). Для и : Г —> М через ие обозначается функция, заданная на отрезке [0,1е] следующим образом:

Для и : Г —> К, V Е V и произвольного ребра е из Еу определяется также функция ие<и на отрезке [0,1е]

На Г вводятся следующие функциональные пространства: Со (Г) - пространство непрерывных на Г функций, удовлетворяющих условию и = 0; (7)

9Г

С(э(Г) - подпространство Со (Г), составленное из функций, обладающих

I = н^ 1е > 0. если V - начальная вершина е, ие{1е ~ £), если V - конечная вершина е.

6) тем свойством, что ие G С1 [0,1е] для каждого ребра е из Е и удовлетворяющих условию согласования во внутренних вершинах «(е,,Х„(0+) = 0, vGJ(r), (8) e£Ev где к(еу) > 0 и ^ к(еь) = 1 (если v € <9Г, то полагается к(еу) = 0); eeEv

Со(Г) - подпространство Сд(Г), составленное из функций, таких что ие £ С2 [0,1е] для каждого ребра е из Е и в каждой внутренней вершине v вторые производные по всем возможным направлениям совпадают, а в каждой граничной вершине вторая производная по единственно возможному направлению равна нулю.

Для произвольной функции и(х) из Сд(Г) в каждой точке х графа Г, У принадлежащей единственному ребру е, определяется производная и'(х) следующим образом У {Х)

Если функция и(х) принадлежит пространству Сд(Г), то вторая производная и"(х) определена в каждой точке х графа Г по формуле: и"(х) = <(£) , .

6 и=ъ\х)

На графе Г рассматривается волновое уравнение ии{х, t) = ихх{х, t) {х б Г, t > 0), (9) решение которого ищется в классе функций и : Г х [0, +оо) —> К таких, что u(-,t) е Cq(Г), ut(-,t) € Сд(Г) при каждом t > 0 и и(х,-) для любого х 6 Г принадлежит пространству С2[0, +оо). Для этого уравнения рассматривается начальная задача и(х, 0) = <р(х), щ(х,0)= ф(х), (10) где <р G С02(Г), ф € СоНГ).

Как и в случае пучка, решение уравнения (9) на каждом ребре е из Е ищется в виде:

1 ~ ~ 1 /* ~ «еК, *) = + *) + ^еЙ ~ *)) + 2 У ^^ где функции <£>е(£) и ^(С) ЯВЛЯЮТСЯ Продолжениями функций И на всю числовую ось. В пункте 1.3 для произвольной функции /(х) из Со (Г) строится семейство продолжений {/е,у} определенных на промежутке [0, +оо) по следующей рекурсивной формуле: Д«(0, ^ [о, У,

Д«К) = \ 2 £ «(е^/^к - у - /еу (е - у, ее (¿в, +00), (п) где г;' - другая вершина ребра е. Далее для каждого ребра е с началом в вершине V строится продолжение /е функции /е на всю числовую ось

Д„(0, ее[0,+оо), в(0 ф'Ж'Л-0 ~ Дг,(-0, £ е (-00, о). (12)

Лемма 1 Длл каждого ребра е функция /е непрерывна на всей оси.

Лемма 2 Пусть /(х) принадлежит пространству Сд(Г) (С1(Т)). Тогда для каждого ребра е функция /е(£) один раз (соответственно дважды) непрерывно дифференцируема на всей числовой оси.

В пункте 1.4 с помощью лемм 1 и 2 доказывается следующая

Теорема 1 Функция и(х,£) : Г х [0, +оо) —> определяемая на каждом ребре е соотношением: ей, *) = + 0 + Ш - *)) + ^ I феМ (13) является решением задачи (9), (10).

Формула (13) представляет собой точный аналог формулы Даламбера на сети.

В пункте 1.5 доказывается единственность решения задачи (9), (10).

Теорема 2 Задача (9), (10) не может иметь более одного решения.

Пункт 1.6 посвящен доказательству непрерывной зависимости решения от начальных данных. При помощи формул (11) и (12) доказывается следующая лемма:

Лемма 3 Пусть / £ Со(Г) и sup |/(х)| < М. Тогда для любого полох£Т жительного Т выполнено неравенство е(01<з £е[-Т,/е + Т], (14) где е - произвольное ребро графа Г.

С использованием леммы 3 легко доказывается теорема о непрерывной зависимости решения задачи (9), (10) от начальных данных на ограниченном временном промежутке.

Теорема 3 Пусть Т > 0. Тогда для любого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что если выполнены неравенства \ip2(x)—(pi(x)\ < 5 и \ip2{x) —Ф1{х)\ < 5 при всех х Е Г7 то u2(x,t) - Ul(x,t)\ <е {x,t)£Tx [0,Т], где ui(x,t) и U2(x,t) решения уравнения (9), удовлетворяющие начальным условиям ixi(я,0) — — ФЛХ) и ^(я^О) = (р2{х),

Во второй главе, в отличие от первой, рассматривается обобщенное решение задачи Коши для волнового уравнения u"(t) = A Tu(t), (15) u(0) = ip, и'(0)=ф, (16) где Дг = й?2/с&г2, на конечном (т.е. составленном из конечного числа ребер) графе с непустой границей.

В пункте 2.1 вводится понятие сильно непрерывной косинусной операторной функции.

Пусть X - банахово пространство и С(Х) - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X.

Семейство {С(£) : £ € К} операторов из С(Х) называется сильно непрерывной косинус-функцией (КОФ), если оно удовлетворяет условиям:

1) С (г + з) + С(£ - в) = 2 СЙС(в), ¿, 5 е К;

2) С(0) = 1,1- тождественный оператор в X;

3) С(Ь)х непрерывна по £ при любом х € X.

Линейный оператор А : В (А) С X —» X с областью определения О (А) называется генератором КОФ С если

1)(А) = {х е X : предел Цт(С(2£)а; — ж)/2£2 существует}

С каждой КОФ будем связывать сильно непрерывную синус-функцию (СОФ) определяемую как для уравнения (17) с оператором А : D(A) С X —> X таким, что D{Á) = X и р(А) 0, корректно поставлена на R тогда и только тогда, когда и

А:г = - lim(C(2t)x - х)/212 = -С"{0)х. о

Как известно (см. [39]), задача Коши и" + Аи = 0 гг(0) = ip, и'( 0) = ф

17)

18)

А является генератором сильно непрерывной КОФ С. В этом случае решение задачи (17), (18) может быть записано в виде и(Ь) = С{г)<р + Б^ф. (19)

Функции, представимые в виде (19), называются обобщенными решениями задачи (17), (18) (слово "обобщенное" мы будем опускать в дальнейшем).

В пункте 2.2 с использованием теорем 1 и 2 доказывается следующая

Теорема 4 Оператор —Др порождает в пространстве Со (Г) сильно непрерывную КОФ С, задаваемую посредством

С(ЗДе(0 = \ш + г) + т - *)), £ е [0, у, * € к (20) для каждого ребра е графа Г.

Далее рассматривается лишь так называемый "самосопряженный" случай, когда каждой внутренней вершине V € J(T) можно поставить в соответствие такое положительное число а (г;), что если ребро е соединяет вершины V и г/ из ./(Г), то а(у)к(еу) = а(у')к(еу'). Каждому ребру е, примыкающему к некоторой внутренней вершине г>, ставится в соответствие положительное число ре = а(ь)к(еу).

На Г вводится гильбертово пространство .£/2 (Г), состоящее из функций, определенных на Г и обладающих тем свойством, что ие е 1/2 [0,1е] для каждого ребра е. В этом пространстве определяется скалярное произведение по формуле ееЕ {

Показывается симметричность и отрицательность оператора — Дг в 1/2(Г). В силу дискретности спектра оператора — Дг, в пространстве 1/2(Г) существует ортонормированный базис {фк}&=1, гДе Фк - собственная функция оператора — Дг, отвечающая собственному значению Л^.

Таким образом, произвольная функция / из пространства 1/2(Г) может быть представлена в виде

00 = У^Скфк, к=1 где Ck = (/, фк)• Числа называются коэффициентами Фурье функции / по системе {фк}

В силу симметричности и отрицательности оператор Дг допускает самосопряженное отрицательное расширение по Фридрихсу.

Теорема 5 Оператор —Др порождает в пространстве -^(Г) сильно непрерывную КОФ С, причем для каждого í G 1 оператор C(t) является самосопряженным и ||C(¿)|| < 1.

Теорема 6 Для любых tp и ф из пространства L2(T) решение задачи (15), (16) почти-периодично.

Пункт 2.3 посвящен обоснованию метода Фурье для волнового уравнения. В этом пункте доказываются следующие утверждения:

Теорема 7 Для любых (р и ф из ^(Г) решение u(t) задачи (15), (16) представимо в виде оо u(t) = Фк{йк COS л/Xkt + Ък Sin y/Xkt), (21) к=1 где ак = (<р,фк); о- Ък = ,—(ф, фк), причем ряд, стоящий справа, схо

V А к дится в 1/2 (Г) равномерно по t.

Теорема 8 Пусть функция / € Со (Г) абсолютно непрерывна и ее про

00 изводная f принадлежит пространству ^(Г). Тогда ряд ^ Ск из коk=i эффициентов Фурье функции f абсолютно сходится.

Лемма 4 Собственные функции фк равномерно ограничены в Со (Г).

И, наконец, с использованием теоремы 8 и леммы 4 легко доказывается

Теорема 9 Пусть (р, ф € Со (Г) и £ ^(Г). Тогда решение и(р) задачи (15), (16) представимо в виде со и(Ь) = ^^ фк(ак сов к=1 где ак = (<р,фк)? а Ьк = фк), причем ряд, стоящий справа, сходится в Со (Г) равномерно по

Значительная часть второй главы (пункты 2.4-2.7) посвящена исследованию решений волнового уравнения на графе с соизмеримыми ребрами, т.е. таком, что отношение 1е/1е> рационально для любых двух ребер е и е'. В этом случае без ограничения общности рассуждений можно считать, что длины всех ребер равны 1. Далее рассматриваются только такие графы.

В пункте 2.4 показывается ограниченность решения задачи (15), (16) в пространстве Со (Г) и устанавливается соответствующая оценка.

Через Еу обозначается множество всех пар е„ £ У, е € Еь). Вводится в рассмотрение вспомогательное пространство ^(Еу) функций, заданных на Еу, со скалярным произведением

С использованием формул (11) и (12), доказывается следующая

Теорема 10 КОФ С в пространстве Со (Г) ограничена на К, и для операторов С(£) (Ь £ Ж), рассматриваемых в Со(Г); имеет место оценка

8ир||С(*)|| <К, (22) где К = а 2 Ре / штре. е&Е / ее£

С учетом оценки СОФ 5, установленной А.Г. Баскаковым (см. [2]), получаем оценку решения задачи (15), (16).

Теорема 11 Для любых (р и ф из Со (Г) решение задачи (15), (16) ограничено на Ж, и справедлива оценка

23) a(ev, e'v,) = < где Ai - первое собственное значение оператора —Аг

В пункте 2.5 рассматривается оператор А — С{ 1) в пространстве 1/2(Г). В силу формул (11) и (12), для произвольных v Е V и е 6 Ev имеем

Af)e,v(0 = Е Е £ е [0,1/2], (24) г/еУ e'£Ev, где a(ev,e'v,)evje'/Eev ~ элементы 2\Е\ х 2\Е\ матрицы А, определяемые следующим образом f к(еу) + K,(ev') — 1, е = е' и v г/, к(е'„), — v ф

О в остальных случаях.

В силу самосопряженности оператора Л в пространстве 1/2(Г), матрица А является самосопряженной в ^(Еу). С использованием формул (24) доказывается следующая

Лемма 5 Собственные значения оператора А и матрицы А совпадают.

Оказывается, что спектр матрицы А полностью описывает спектр оператора —Аг и имеет место

Теорема 12 Спектр оператора — Аг представляет собой следующее множество: сг(-Дг) = {А > 0 : cos \/А G где сг(А) обозначает спектр матрицы А. При этом кратность А как собственного значения оператора — Аг не превосходит геометрической кратности cos л/А.

Пусть /XI, /Х2, ., /хт (т < 2|-Е|) - различные собственные значения матрицы А, пронумерованные таким образом, что первые д из них лежат в интервале (—1,1) (0 < д < т). Обозначим = агссоэ/Хг (1 < г < т). Тогда, по теореме 12, спектр оператора — Дг состоит из собственных значений вида

К,к = (^г + 2жк)2, 1 < г < т, причем к £ X, если 0 < Шг < 7г; к > 0, если ил = 7г; к £ К, если и>г = 0.

Таким образом, участвующий в оценке (23) решения задачи (15), (16) квадратный корень из первого собственного значения оператора — Дг равен наименьшему положительному из чисел и^ 1 < г < т.

В пункте 2.6 показывается квази-периодичность решений уравнения задачи (15).

Поскольку пространство 1/2 (Г) разложимо в прямую сумму ад = я№фяйе.ея(1д) (25) где Нц. - собственное подпространство оператора Л, отвечающее собственному значению /х^, оператор ортогонального проектирования на подпространство Н№ представим в виде

Рг 1*2

Тогда проекция произвольной функции / из 1/2 (Г) на Нцг может быть получена с помощью формул

РЪ/МО = Р^ е>у')1е',у'{£), £ € [0, 1/2],

ГДР Р(1г{еУ1еу')еу,е'~ элементы матрицы ортогонального проектирования определяемой по формуле

Рг

Зфг где I - единичная матрица размерности 2\Е\ х 2|£'|.

Для произвольных функций (f и ф из Со (Г) через ipi и фг обозначаются их проекции на подпространство Н^, т.е. ty = Т^лр и ф{ = Т^ф. Тогда из формулы (26) следует, что ipi G Со (Г) и фг € Со (Г).

Теорема 13 Для любых (р и ф из Со (Г) решение u{t) задачи (15), (16) квази-периодично и представило в виде q u(t) = /0(i) + Ш) cos + 9i(t) sin Vit. (28) i=1

З^есъ /¿(i) и gi(t) - 1-периодические функции, определяемые как fi{t) = -Д— sin^(£ + 1) - + 1) sinc^i), (29) sm u/j

9i{t) — — (ui(t + 1) cos^i — ^(i) cosuiAt + 1)), (30) smcjf где щ(г) = С(г)<рг + 8(г)фг, a fo(t) - i или 2-периодическое решение уравнения (15), определяемое как

9 q где (р0 = ip - J] <Pi и ф0 = ф - £ Фгг=1 г=1

Следствие 1 Д/u того, чтобы решение задачи (15), (16) было периодично при любых (р и ф из Со (Г) необходимо и достаточно, чтобы отношение Ui/n было рационально для каждого г, 1 < г < т.

В пункте 2.7 приводится пример графа, на котором волновое уравнение имеет непериодические решения.

Основные результаты диссертации опубликованы в [9]-[13], [51] и являются новыми. Они докладывались и обсуждались на воронежских весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач" в 1998-2001 гг, на научной сессии ВГУ в 1999 г, на XXIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ в 2001 г, на семинаре по качественной теории краевых задач при Воронежском госуниверситете (руководитель - проф. Ю.В. Покорный) в 1998-2001 гг.

Об организации текста. Диссертация состоит из введения, двух глав, объединяющих в общей сложности 13 пунктов, и списка литературы. Объем диссертации 77 стр. Библиография содержит 54 наименования. Текст иллюстрируют 5 рисунков.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Копытин, Алексей Вячеславович, 2002 год

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966, 544 с.

2. Баскаков А. Г. Гармонический анализ косинусной и экспоненциальной операторных функций // Математический сборник. 1984. Т. 124(166). С. 68-95.

3. Боровских A.B., Мустафокулов Р., Лазарев К.П., Покорный Ю.В. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети // Доклады РАН. 1995. Т. 345, N 6. С. 730-732.

4. Завгородний М.Г. Об эволюционных задачах на графах // Успехи мат.наук. 1991. Т. 46, N 6. С. 199-200.

5. Завгородний М.Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе // ДАН. 1994. Т. 335, N 3. С. 281-283

6. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

7. Карелина И.Г., Покорный Ю.В. О функции Грина краевой задачи на графе // Дифференц.уравнения. 1994. Т. 30, N 1. С. 41-47.

8. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1976, 544 с.

9. Копытин A.B. Решение волнового уравнения на пучке // Тез. докл. школы "Понтрягинские чтения IX". Воронеж, 1998. С. 106.

10. Копытин A.B. О представлении решения волнового уравнения на графе с соизмеримыми ребрами // Труды математического факультета ВГУ. Воронеж, 2001. С. 67-77.

11. Копытин A.B. О представлении решения волнового уравнения на сети // Труды XXIII Конференции молодых ученых механикоматематического факультета МГУ "Современные исследования в математике и механике". Москва, МГУ, 2001. С. 177-180.

12. Копытин A.B., Прядиев В. Л. Решение волнового уравнения на пространственной сети // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ. Воронеж, 2000. С. 19-23.

13. Копытин A.B., Прядиев В.Л. Об аналоге формулы Даламбера и спектре лапласиана на графе с соизмеримыми ребрами // Вестник ВГУ, Серия физика, математика, 2001. N 1. С.104-107.

14. Левитан В.М., Жиков В. В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М., Изд-во Моск. ун-та, 1978, 205 с.

15. Павлов B.C., Фаддеев М.Д. Модель свободных электронов и задача рассеяния // ТМФ. 1983. Т. 55, N 2. С. 257-269.

16. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О краевой задаче на графе // Дифферент уравнения. 1988. Т. 24, N 4. С. 701-703.

17. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе // Известия вузов. Математика. 1996. N И. С. 57-64.

18. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе // Матем.заметки. 1997. Т. 59, N 5. С. 777-780.

19. Пенкин О.М., Покорный Ю.В., Провоторова E.H. Об одной векторной краевой задаче // Краевые задачи. Пермь, 1983. С. 64-70.

20. Покорный Ю.В. О спектре некоторых задач на графах // Успехи мат.наук. 1987. Т. 42, N 4. С. 128-129.

21. Покорный Ю.В. О неосцилляции на графах // Докл. расшир. засед. семинара Ин-та прикл. математики им. И.Н.Векуа. 1988. Т.З, N 3. С. 139-142.

22. Покорный Ю.В., Карелина И. Г. Нелинейные теоремы сравнения на графах // Матем. заметки. 1991. Т. 50, N 2. С. 149-151.

23. Покорный Ю.В., Карелина И. Г. О функции Грина задачи Дирихле на графе // ДАН СССР. 1991. Т. 318, N 3. С. 942-944.

24. Покорный Ю.В., Карелина И. Г. Нелинейные теоремы сравнения на графах // Украинский мат.журнал. 1991. Т. 43, N 4. С. 525-529.

25. Покорный Ю.В., Пенкин О.М. Теоремы Штурма для уравнений на графах // ДАН СССР. 1989. Т. 309, N 6. С. 1306-1308.

26. Покорный Ю.В., Пенкин О.М. О теоремах сравнения для уравнений на графах // Дифференц.уравнения. 1989. Т. 25, N 7. С. 1141-1150.

27. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В. Л. Об уравнениях на пространственных сетях // УМН, 1994, Т. 49, вып. 4 (298). С. 140.

28. Покорный Ю.В., Провоторова E.H., Пенкин О.М. О спектре некоторых краевых задач / / Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений : Сб. науч. тр. Новосибирск. - 1988. - С. 109-113.

29. Покорный Ю.В., Прядиев В.Л., Аль-Обейд А. Об осцилляционных свойствах спектра краевой задачи на графе // Матем.заметки. 1996. Т. 60, вып. 3. С. 468-469.

30. Ali-Mehmeti F. A characterization of a generalized C°°-notion on nets // Integral Equations and Operator Theory. 9 (1986), no. 6, 753-766.

31. Ali-Mehmeti F., Nicaise S. Some realizations of interaction problems // Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 1991. V. 135, 15-27.

32. Ali-Mehmeti F., Nicaise S. Nonlinear interaction problems // Nonlinear Anal. 20 (1993), no. 1, 27-61.

33. Fattorini H.O. Second-order linear differential equations in Banach spaces. Amsterdam, 1985. 314 P.

34. Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. Modelling of dynamic networks of thin thermoelastic beams // Math. Meth. Appl. Sci. 1993. V. 16. 327-358.

35. Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. Control of planar networks of Timoshenko beams // SIAM J. Control Optim. 1993. V. 31. 780-811.

36. Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. Modelling, analysis and control of dynamic elastic multi-link structures. Birkhauser, Boston, 1994.

37. Lagnese J.E. Modelling and controlability of Plate-Beam systems //J. Math. Systems, Estimation and Control. 1995. V. 5. 141-187.

38. Lumer G. Espaces ramifies, et diffusions sur les reseaux topologiques // C.R.Acad.Sci. Paris. 1980. Ser. A-B. t. 291, no. 12, P. A627-A630.

39. Nicaise S. Some results on spectral theory over networks, applied to nerve impuls transmission // Lect.Notes Math. N 1771. Springer-Verlag, 1985. P. 532-541.

40. Nicaise S. Estimées du spectre du laplasien sur un réseau topologique fini // C.R.Acad.Se.Paris. 1986. t. 303, série 1. N 8. P. 343-346.

41. Nicaise S. Spectre des reseaux topologiques finis // Bull.Sci.Math. (2). 1987. t. Ill, no. 4, P. 401-413.

42. Nicaise S. Approche spectrale des problèmes de diffusion sur les reseaux // Lecture Notes in Math., 1987. V. 1235, 120-140.

43. Nicaise S. Elliptic operators on elementary ramified spaces // Integral-Equations-Operator-Theory. 11 (1988), no. 2, 230-257.

44. Nicaise S. Le laplacien sur les reseaux deux-dimensionnels polygonaux topologiques // J.-Math.-Pures-Appl. (9). 67 (1988), no. 2, 93-113.

45. Pryadiev V.L., Kopytin A.V. On the Laplacian spectrum on a graph with commensurable edges // Spectral and Evolution problems: Proceedings of the Eleventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Vol. 11. Simferopol, 2001. P. 167-172.

46. Roth J.-P. Spectre du laplacien sur un graph // C.R.Acad.Sc. Paris. 1983. t. 296, P. 783-795.

47. Roth J.-P. Le spectre du laplasien sur un graphe // Lect. Notes Math. Springer-Verlag, 1984. P. 521-539.

48. Schmidt E.J. P. G. On the modelling and exact controlability of networks of vibrating strings // SIAM J. Control Optim. 1992. V. 30. 229-245.