Дифференциальные уравнения на геометрических графах с особенностями в коэффициентах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Глотов, Николай Владимирович

• Глотов, Николай Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Глотов, Николай Владимирович

Введение

1 Описание решений волнового уравнения на конечном и ограниченном геометрическом графе при условиях трансмиссии типа "жидкого" трения

1.1. Основной объект исследования.

1.2 Разностное уравнение, сводящее задачу (1.1.1)—(1.1.3) к набору задач о распространении граничных режимов

1,3. Существование решения.

1,4 Случай единичной длины рёбер геометрического графа

1.5. О стабилизации решений задачи (1.1.1)-(1.1.3).

2 Решение смешанной задачи для волнового уравнения на графе-звезде при условии, описывающем трение в узле.

2.1. Постановка задачи.

2.2 Единственность решения.

2.3. Сведение задачи (2.1.1) к задачам на отрезке.

2.4 Решение задачи (2.3.4).

2.5. Вырождение решения задачи (2.3.4) при t > 1.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциальные уравнения на геометрических графах с особенностями в коэффициентах»

Настоящая работа посвящена исследованию уравнения гиперболического типа

Uxx(xyt) = uu(x,t) (:х е R{Г), t > 0). (1) с условиями трансмиссии, моделирующими жидкое трение в узлах геометрического графа:

Г и£(х, t) = k{x)ut(x, t) (х G J(T), t > 0), (2) h£D{x) где Г - геометрический граф, J(Y) - вершины Г, R{Г) = Г \ J(Г) -множество, компоненты связности которого есть рёбра Г (геометрический граф и дифференцирование по х G Г понимается в соответствии с [20]). Система соотношений (1), (2) формально может быть записана в едином виде: uxx{x,t) = щ(х,г) + Щ)5{х - £)ut{x,t) (жеГ, t > 0), ej(r) где 5(х—£) - дельта-функция с носителем в точке £ е J{Г). Таким образом, система (1), (2) может рассматриваться как гиперболическое уравнения на геометрическом графе с особенностями (типа дельта-функций) в коэффициенте при младшей производной щ.

Основная цель - получение конечного описания решения указанного уравнения с заданными условиями трансмиссии в узлах геометрического графа через и(х, 0) и ut(x, 0).

Несколько слов об истории исследований дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях.

Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах - пространственных сетях, одномерных стратифицированных множествах, одномерных клеточных комплексах) началось сравнительно недавно, около 25-30 лет назад. К подобным уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [20, 69, 71]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [20, 71, 39, 66]), деформаций упругих сеток (см., например, [20, 71]) и струнно-стержневых систем [2, 45], диффузии в сетях [20, 71, 28], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [73, 68, 61], бифуркаций вихревых течений в жидкости [63], гемодинамики (см., например, [40]), колебаний сложных молекул (см., например, [41,11]), расчёт гидравлических сетей (см., например, [19]); приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (топологических сетях) (см., например, [29]).

Мы не будем подробно останавливаться на результатах исследований обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на геометрических графах. Отметим лишь, что для таких уравнений достаточно полно изучен вопрос о разрешимости задачи с краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля при условиях трансмиссии во внутренних вершинах графа, адекватных закону Кирхгофа, а так же вопрос о структуре спектра (условия простоты, оценки геометрической и алгебраической кратностей, асимптотики, оценки резольвенты, существование полугруппы); построена теория функции Грина, исследованы свойства неосцилляции уравнений и неравенств, доказаны аналоги теорем Штурма о сравнении и перемежаемости, установлены условия осцилляционности спектра в случае геометрических графов без циклов - см. [20] и цитированную там литературу. Часть этих результатов была получена и в случае обобщения условий Кирхгофа, которые могут быть проинтерпретированы как S— и д'~взаимодействие в узлах сети [20, 51, 62, 1].

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на геометрических графах могут рассматриваться как частный случай уравнений эллиптического типа на стратифицированных множествах, теория которых к настоящему времени развита до аналогов неравенства Пуанкаре, принципа максимума, неравенства Гарнака, теоремы о среднем, формулы Пуассона, метода Перрона - см., например, [43, 42, 44, 5, 35, 20].

Аналоги классических результатов (разрешимость, существование сильно непрерывной полугруппы) получены и для уравнений параболического типа - см., например, [28, 70].

На результатах исследований уравнений гиперболического типа на геометрическом графе1 остановимся более подробно. Прежде всего, если говорить о волновом уравнении на геометрическом графе, то, помимо неточнее, на декартовом произведении геометрического графа и R1. следования структуры и асимптотики спектра и оценок резольвенты (об этом выше уже шла речь), следует сказать о получении аналогов формулы Даламбера [46, 64, 65, 3, 33, 32, 53, 67]. Эти аналоги позволили для смешанной задачи с краевыми условиями первого и/или второго родов на геометрическом графе с соизмеримыми по длине рёбрами: 1) описать решение (а значит, и соответствующие операторные косинус-функции и синус-функции) в конечной форме, означающей квазипериодичность - см. [53, 31, 33, 34, 72, 47], 2) обосновать корректность начальной задачи [30], 3) создать эффективную вычислительную схему, основанную на теореме о среднем [55]. Аналог формулы Даламбера позволил также свести решение смешанной задачи (для, по-прежнему, волнового уравнения) на геометрическом графе с рёбрами, вообще говоря, несоизмеримыми, к системе (недифференциальных) уравнений с конечным числом запаздываний [48, 49, 50, 54]. Предприняты и первые попытки исследования задач управления [52, 18, 4] (последнее в духе работ [23]-[27], [59, 60]) при краевых условиях пока только первого рода. На повестке дня и перенесение методов задач наблюдения (см., например, [22, 21]) на волновые уравнения на геометрических графах. Отметим здесь также работы [6]-[10], в которых метода Римана переносится на гиперболические уравнения на геометрических графах. В случае волнового уравнения на геометрическом графе при условиях трансмиссии, описывающих S— и 5'—взаимодействие в узлах сети, для некоторых классов геометрических графов, краевых условий и условий трансмиссии получены формулы, содержащие конечное число арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простейших преобразований начальных данных, означающих сдвиг графика и его симметричное отображение (см. [36, 37, 38]).

В свете вышеизложенного изучение возможности получения конечного описания решения волнового уравнения на геометрическом графе с особенностями в коэффициенте при щ, выражаемыми условиями трансмиссии типа жидкого трения (2), и анализ свойств этого решения представляется и актуальным, и естественным продолжением уже проведённых исследований для волнового уравнения на геометрическом графе. Настоящую работу можно рассматривать как один из шагов в этом направлении. Указанные условия трансмиссии имеют параболический тип, и, значит, в целом уравнения, изучаемое в диссертации, можно характеризовать как гиперболико-параболическое. Хорошо известно (смотри, например, работы Репникова В.Д. [56]-[58]), что решения параболического уравнения имеют стабилизацию при t —> +оо. Поэтому представляет интерес и вопрос о возможной стабилизации решений рассматриваемого в диссертации уравнения.

Перейдём к краткому описанию основных результатов диссертации.

Первая глава посвящена исследованию волнового уравнения на геометрическом графе с условиями трансмисии, моделирующими жидкое трение в узлах графа. В этой главе также вводятся понятия, используемые в ходе исследования. Приведено подробное описание объектов исследования.

В пункте 1.1 определяется конечный и связный геометрический граф Г из R", как связное объединение конечной совокупности прямолинейных отрезков из Rn.

Для каждого я £ Г определим множество D(x) := {h 6 En \\h\\ = 1 и (x + eh) € Г для достаточно малых £ > 0}.

Выделим особо в рассмотрение (и зафиксируем) конечное подмножество J(T) геометрического графа Г, которое обязательно содержит в себе (возможно, строго содержит) объединение двух множеств: {х G \D{x)\ ф 2} и {х € Г \D(x)\ = 2A(he D{x) (-h) £ D{x))}. Точки из ^(Г) будем называть вершинами Г. Обозначим: R(T) = Г \ J{Г). Компоненты связности множества R(Г) будем называть рёбрами геометрического графа Г. Валентностью вершины будем называть количество примыкающих к ней рёбер. v(x 4" £hi — v(x)

Для функции v : Г R определим v^(x) = -для х G Г и h Е D(x)). Если h € D(x), то для достаточно малых е > 0 выполнено и h 6 + eh)] поэтому можно определять = i)"^"(сс sft) if^ lim^ —----—Пусть \D(x)\ = 2 (т. е. D(x) двухэлементно) и

У^ ^(ж) = 0; если при этом производные v^(x) совпадают для обоих h€D(x) h G D(x), то их общее значение будем обозначать через v"(x), называя его второй производной функции v в точке х. Если и : Г хТ —> R (Т -связное подмножество R) и при некотором t € Т функция и(- ,t) имеет вторую производную в точке ж, то эту производную будем обозначать через uxx(x,t).

В этом же пункте вводится основной объект исследования - волновое уравнение (1) на декартовом произведении рёбер геометрического графа и . При этом предполагается, что искомая функция и(х, t) определена и непрерывна на Г х [0; +оо) по совокупности переменных и удовлетворяет условиям: первое, условие (2), где к(х) - заданные неотрицательные числа, второе, для любого интервала (а; 6), являющегося ребром Г, и для любого to > Q функция v(y, t) = и(а + y\\b — а||-1(6 — а), t) обладает на (0; \\Ь - а||) х (0; to) равномерно непрерывными производными vyy и

Система (1), (2) при к(х) > 0 может рассматриваться, например, как модель малых колебаний растянутой сетки из струн с условиями так называемого "жидкого" трения в узлах. Для системы (1), (2) будем рассматривать начальные условия и(х,0) = <р{х), щ(х, 0) = 0 (яеГ). (3)

Из (3) следует, что (р непрерывна на Г. Устремив в (2) £ к нулю, получим условия трансмиссии для ip <рЦх) = 0 (х € J(T)). (4) heD(x)

Кроме того, предполагаем всегда, что ip удовлетворяет ещё условиям, гарантирующим должную регулярность и(х, t) : первое, на 7?(Г) определена и непрерывна ip", второе,

V(® € ЛПМЛ € ОД) №■(*) = Дт + eh)], (5) причём последний предел существует и конечен, третье,

V(s G J(T)Mh, V € ОД) = <р%(х)], (6) четвёртое, х е J(T)) Л (к(х) ф 0)) У(Л 6 адкм = 0]. (7)

В пункте 1.2 вводится определение смежных вершин: две различные вершины а и & из J{Г) назовём смежными, если интервал (а; Ь) является ребром Г. Если а и b смежны, то будем писать: а Ь. Далее в этом пункте задача (1)-(3) сводится к набору задач о распространении граничных режимов с помощью разностного уравнения. Для этого доказана

Лемма 1.2.1 Пусть существует набор {/ia(£)}aej(r) функций из С2[0; +оо) такой, что для любой пары смежных вершин а и b из J{Г) задача

Vyy{y,t)=vtt{y,t) (0 <у <\\b — a||, £ > 0) v(0,t) = pia{t), v{\\b~alt)=nb(t) (t> 0) v(y, 0) = tp (a + - , vt(y, 0) = 0 (0 < у < \\b - a\\)

8) имеет классическое peuieme v(y, a, b), причём для любой a G J{Г)

0, t\ a, b) = k(a)(fj,a)'(t) (t > 0). (9) b|b«-»a

Тогда функция u(x, t), определяемая при x G [a; b], где a «-> b, равенствами u(x,t) — v(\\x—a\\,t',a,b), в которыхaub пробегают все возможные пары смежных вершин, является решением задачи (1)-(3). Верно и обратное: еслии(х,{) является решением задачи (1)-(3), то существует набор функций {fia(t)}aej^), обладающий указанным свойством, причём для любых смежных вершин aub решение задачи (8) связано с u(x,t) равенством v(y,t]a,b) = u(a + y\\b — a||-1(& — a),t).

Пусть a b. Обозначим через <ра,ъ{у) нечётную и 2||&—а||-периодичес-кую функцию, определённую на R \ (||& — a||Z) (Z - множество всех целых чисел) и совпадающую с <р(а + у||& — a||-1(b — а)) на (0; ||& - а||). Производная (<ра,ьУ доопределяема по непрерывности в точках ||6 — a||Z; доопределённую так функцию (<ра,ъ)' обозначим через

Для выделения признака, по которому набор {/ia}aej(r) функций из С2[0; +оо) удовлетворяет условию леммы 1.2.1, была доказана

Лемма 1.2.2. Набор {//а}ае^(г) функций из С2[0;+оо) удовлетворяет условию леммы 1.2.1 тогда и только тогда, когда этот набор удовлетворяет системе уравнений mi(t,\\b-a\\)

2- Е W'(*-(2j> + l)||6-a||)р=о m2(t,\\b-a\\) }

-2 ■ £ (iia)'(t - 2p\\b - all) + ipa<b(t) I (t > 0, a € <7(Г)) P=l J

10) и начальным условиям

Да(0) = <р(а), aej(r); (И) здесь mi(t, Г) есть целая часть числа (t — l)/{2l), a m<i(t,l) есть целая часть t/(2l).

Решение задачи (8) представимо в виде v(y, t\ а, Ь) = fa,b(y +1) + fa,b{y ~ (12) где fa,b = 7<Pa,b + F\\b-a\\Ha + G\\b-a\\Vb, $a,b ~ фуНКЦИЯ, получаемая ИЗ <pafi доопределением в точках ||6 — a||Z средним арифметическим своих предельных значений слева и справа, mi(y,l)

5>(у-(2р+1)0, у>о/\у£1(т-1) (QiiiMy) = Р=° , (13) ад(у+)+(ад(у-))д yei(2N-1)

12

N - множество всех натуральных чисел), (Tifi)(y) = —(Gil^iy—l), у G М.

Равенство (9) приобретает вид: (W*) + Щ\Ь-а\\Ы){1) - 2(0||6-e|| W)(* ~ ||Ь - fl||)} =

Ь|Ь<-»а (|D(o)| + fc(a))W(t) (t > 0), а € J( Г), (14) что, с учётом (13), совпадает с (10).

Таким образом, леммы 1.2.1 и 1.2.2 сводят решение задачи (1)-(3) к решению задачи (10), (11).

В пункте 1.3 доказывается существование и единственность решения задачи (10), (И). Этот факт устанавливает

Теорема 1.3.1. Решение задачи (10), (11) существует, единственно и дважды непрерывно дифференцируемо на [0;+оо).

Из этой теоремы следует, что решение задачи (1)-(3) существует и единственно.

В пункте 1.4 рассматривается случай единичной длины рёбер геометрического графа. Полагаем, что длины всех рёбер геометрического графа Г одинаковы и равны 1. Перенумеруем все вершины числами от 1 до т: J(Y) = {ci, с2,., Cm}. Обозначим G = Gi

Пусть А = (ау)у=1 - матрица смежности вершин геометрического графа Г (то есть а^- = 1, если Cj q, и aZJ- = 0, если Cj а), V -матрица валентностей вершин геометрического графа Г (V = diag(v1,v2,.,vm), v{ = \D(ci)\, i = ljn),

К = diag{k(c\), ^(сг),., k(Cm)), g(t) - вектор-функция, г-ая компонента которой равна £ = (WW» WW» • • • > (/O'Wf

Тогда система уравнений Е ^МО (i> 0)^ = 1^- (15) jlCjWCi может быть записана в виде (ниже I - тождественный оператор): + 2MQ)V - 2лд + яу)М = g(t) (t > 0), (16) где (Mf)(t) = f(t — 1), а оператор на вектор-функциях определяется так же, как и на скалярных, то есть формулой (13). В свою очередь, (16) можно записать в виде:

Q{2MQV - 2AQ)n' + {V + К)ц' = Qg, (17) где Q - оператор сужения функции на [0; +оо).

Найдено представление для оператора Qобратного к Q. Для этого доказана

Лемма 1.4.2. Оператор Q~l, обратный к Q, представим в виде: Q~l = Q(P - М), где (Pf)(t) = f(t + 1).

Обозначив и = Qfi', можем записать уравнение

2M-2V-1A) + (E + V-lK)(P-M))v]{t) = (V~1g)(t) (t> 0) (18) в виде: t > 0). (19)

Заметим, что матрица {E+V~lK) - диагональная, с положительными элементами на диагонали, поэтому она обратима.

Далее особо рассматривается случай К = V. В этом случае (19) примет вид: + 1) = (V~lA)v(t) + \(Vlg)(t) (t > 0). (20)

Доказана

Лемма 1.4.3. Пусть В - (т х т)—матрица, a q(t) - т—мерная функция, заданная на [0; +оо). Тогда если v{t) - решение уравнения v(t + l) = Bv(t) + q(t)t (21) то для любого t G [0; 1) и любого п G N выполнено:

Т1—1 v{t + п) = Bnv{t) + Bpq(t + п - 1 - р). (22) р=о

Благодаря результатам, полученным в леммах 1.4.2 и 1.4.3, доказана

Теорема 1.4.1. Пустъ n(t) есть решение (16) и К = V. Тогда для любого t G [0; 1) и любого n Е N выполнено:

At + п) = \iy-lAf-l\V-lg{l -t) + V-lAV-lg{t)}. (23)

Кроме того, для t G [0; 1) выполнено //(£) = \V~lg(t).

Далее рассматривается случай произвольного соотношения между V и К. Обозначим а = (К + V~1K)-\2V-1A), 7 = -(К + V~lK)~l(K -У-гК), g(t) = [{К + V~lK)-lV-lg]{t), или, что то же самое, а = 2(К+ V)~lA, 7 = (K-V){K + V)~\ g(t) = [(К + V)-lg]{t). Доказана

Лемма 1.4.4. Пустъ матрица 5 есть решение уравнения 5(а + 5) = 7, причём матрицы а и 8 перестановочны. Тогда решение уравнения (19), обнуляющееся во всех точках промежутка [—1;1), даётся формулой:

П-1 п-р-1 v(t + n) = J2 + + (te[0;1), n e N). p=o i=0

Лемма 1.4.4 позволяет установить вид решения уравнения (16). Доказана

Теорема 1.4.2. Пусть выполнены условия леммы 1-4-4- Тогда решение уравнения (16) определяется равенством: п-1 п l/(t+n) = (24) р=0 р=о

Автором применялся ещё один подход к решению уравнения (19), которое с учётом введённых обозначений а, 7, g можно записать так: u(t + 1) = au(t) + 7u(t - 1) + Eg(t) (t > 0). (25)

В результате реализации подхода была установлена

Теорема 1.4.3. Пусть матрицы а и 7 перестановочны. Тогда для любого фиксированного t € [0; 1) и любого т 6 N решение уравнения (16) определяется равенством: fi!{t + т) = amg(t) + am-Xg(t + 1), где ат определяется формулой /к-1 \

EW>fflM (2б) к=1 \j=0 /

Замечание. Для того, чтобы определить, в каких случаях матрицы о; и 7 перестановочны, был рассмотрен ряд примеров для конкретных геометрических графов. Это позволило сделать предположение о том, что матрицы а и 7 перестановочны, если ki = wvi, где г пробегает все возможные номера вершин геометрического графа. То есть К = Q.V, где Q = luE, Е - единичная матрица. Действительно, в этом случае а = (1 + u)~l(2V~1A), 7 = (1 + — w)E, а потому матрицы а и 7 действительно перестановочны.

Результаты пунктов 1.2-1.4 резюмирует

Теорема 1.4.4. Решение u(x,t) задачи (1)-(3) существует и единственно. При этом если длины рёбер Г равны 1, то для любых двух смежных вершин a ub u(x,t) = v(\\x — a\\,t-,a,b), где v(y,t',a,b) - классические решения задач (8), в которых функции fia{t), а Е J(Г), в случае К = V определяются теоремой 1.4-1, 6 случае выполнения условий леммы I.4.4 ~ тпеоремой 1.4-2, а в случае перестановочности а и 7 -теоремой 1.4-3.

В пункте 1.5 приводятся примеры, иллюстрирующие применение теоремы 1.4.1 из пункта 1.4. Эти примеры показывают, что в случае К = V возможна стабилизация решения задачи (1)-(3), причём эта стабилизация может носить различный характер: (а) начиная с некоторого значения t, решение вырождается в const; (б) начиная с некоторого значения £, решение становится периодическим, причём отличным от const; (в) решение стремится к const при t +00, будучи отличным от const в любой окрестности точки t = +00. Здесь уместно отметить, что для решений параболических уравнений стабилизация может иметь место только в пределе при t—> 00. Это показано в работах Репникова В.Д. [56]-[58].

Глава 2 посвящена решению смешанной задачи для волнового уравнения на графе-звезде при условии, описывающем трение в узле.

Будем называть геометрический граф Г графом-звездой, если Г = ш

U (a, bi) UM, а, bi € Г\ bi - попарно различны. Ниже мы всегда будем г=1 полагать, что ||6г- — а|| = 1/2. Для такого графа рассматривается смешанная задача ихх{х, t) = utt{x, t) (x £ Г \ {a}, t > 0) m

M = M(M) (t> 0) i=1

27) u(bi,t) = 0 (г = 1,ш, £>0) u(x, 0) = ip(x), ut{x, 0) = 0 (x € Г) 0 ч +f def u(a + shi,t) -u(a,t) где hi = 2 • (0; — a), a uT(a, t) = lim —^----—-. Уравнение в s-»+0 s

27) будем понимать так же, как и в работе [12], а именно для х € (a, bi) ди(х, t) д2и(х, t) полагаем их(х, t) = ——— и ихх(х, t) = , , где производные по ohi (ohiY направлениям hi уже неодносторонние. Под решением задачи (27) будем понимать функцию и(х, £), определенную и непрерывную на Г х [0, +оо) и удовлетворяющую условию: для любого i = l,m и любого t > 0 производные ихх, utt и равномерно непрерывны на (а, 6г) х (0, Т). Относительно функции ip будем предполагать, что она определена на

Г, и что <р"(х) равномерно непрерывна на (a, bi) для любого г = 1,ш, причем 1) для любого i = 1 ,m выполнено (lim <р"{х) = 0), 2) x—>bi диэ(х) lim (р"(х) = 0; здесь <р"(х) для х £ (a, bi) обозначает 2. Следу

Otli) х-*а ет отметить, что последние два условия необходимы и достаточны для существования решения задачи (27) в указанном выше смысле.

В этой главе описывается решение задачи (27) через ip{x) и Л, и на основе этого описания даётся анализ стабилизационных свойств решения.

В пункте 2.2 доказывается единственность решения задачи (27) с использованием функционала полной энергии.

В пункте 2.3 решение задачи (27) сводится к решению набора задач на отрезках. Для реализации этого подхода потребовалось представить функцию (р(х) в задаче (27) в виде слагаемых, обладающих специального вида симметрией относительно точки а. Для этого введена в рассмотрение функция Ф, координаты которой определяются по правилу:

Фi{y) = v{bi~yhi), у е (0,1/2], г = 1,т.

Функцию Ф можно представить в виде суммы: Ну) ^ Ну) Ыу) т(у)

1 Чу) N Чу) Чу)

Чу)

1 Чу) ^ -Чу) о о т{у) О о

-4{у) т где Чу) = — и С1((у) = Чу) - $»(у) - для i = Но т г=1 тогда т р(х) =

28)

1=1 где Ш((х) - функции, определенные следующим образом: ш\{х) = Hi ^1/2 — \\х — a\\j для х G Г, а для i = 2, т uii(x) =

Qi (1/2 — ||ж — а||), если х Е [а; Ь{) -fij (1/2 - ||z - а||), если х € [а; bi) ■ О, для остальных хбГ

В силу (28) решение и(х, £) задачи (27) представимо в виде т i=1 где щ - решение задачи (27), но при (р = о;,-. Лемма 2.3.1. Пусть v(y,t) - решение задачи Vyy(y,t) = vtt{y,t) (у € (0,1/2), £>0) v(0,t) = v(l/2,«) = 0 (£>0) v(y,0) = fii(y) (ye[0,1/2]) v*(y,0) = 0 (ye [0,1/2])

29) гдег = 2,m. Тогда

Ui(x,t) ~ г; (1/2 - - а||,£), при х е (a-,bi) -v(1/2 — Цж — а||,£), npuxe(a;bi) О, при остальных х € Г

30)

Поскольку представление решения задачи (29) через функцию Qi хорошо известно (например, в форме Д'Аламбера), то наша задача (о представлении решения задачи (27)) сводится к отысканию представления решения u\(x,t).

Лемма 2.3.2. Пусть w(y,t) - решение задачи

Wyy(y, t) = wtt(y, t) {у e (0,1/2), t > 0) w(0,t) = 0 (t > 0) wy(l/2,t) = ~.wt(l/2,t) (£> 0) lib w(y,0) = n1(y) (yG [0,1/2]) wt(y,o) = о (ye [0,1/2])

Тогда wi(x,£) = ги (1/2 — Цж - a||,£).

31)

Таким образом, вопрос о получении представления решения задачи

27) (через ср, А, га) сводится к получению представления решения задачи

31) через fii и — . т

В пункте 2.4 решается задача (31). Рассматривается следующая вспомогательная задача: где a(t) некоторая дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям а'(0) = 0 и а"(0) = 0.

Основная цель пункта 2.4 - показать, что существует функция а такая, что решение задачи (32) совпадает с решением задачи (31).

Разделяя неоднородности в задаче (32) для случаев a(t) = 0 и fii(y) = 0 и решая ее формально в двух случаях, следуя, например, [6], придем к следующему утверждению.

Лемма 2.4.1. Решение задачи (32) при t±y ф к + 1/2, Лг = 0,1, 2,. может быть представлено в виде

Wyy(y,t) = Wtt(y,t) (у е (0,1/2), t > 0)

W(0,i) = 0 (i>0) < W (1/2, t) = a(t) (t> 0) W(y,0) = Ql(y) (ye [0,1/2]) Wt(y,0) = 0 (ye [0,1/2])

32)

33)

Y, aft ~ (2k + l)i - y)+i • (fix(y + t) + tli{y-1 где a(t) (t > 0) ~ J ЗД*}) ({5} < 1/2) a(t) = { , fii(s) = <

0 (t < 0) [ -Qi(l - {s}) ({s} > 1/2) а через {s} обозначена дробная часть s.

Пусть ц = 1 + P{t) - непрерывное доопределение a'(t) на [0; +oo), a ae(t) - непрерывное доопределение функции — (1/2 +1) на [0; +oo).

Лемма 2.4.2. Пусть fy(t) = fi(t), t G [j - 1 ,j), j G N. Тогда решение задачи (32) является решением задачи (31) если и только если для любого j G N выполнено

A W = J + 1) ■ (1 ~ 2М'-1. (34)

Другими словами, (3(t) = — • ее({£}) • (1 — , где [£] - г^елая пасть t, а {£} - дробная часть t. При этом если ц = 2, то равенство (34) при j = 1 следует понимать как fii(t) = — • ae(£).

Следствие 2. Возвращаясь к прежним обозначениям (a', fii), соотношение (34) можно записать следующим образом: d(t) = ~ • Qi (1/2 +1 - И) • (1 - 2Ipf = a'(t - И) • (1 - 2hif , Г то есть

At) = A{t}) (1 - 2Ivf . (35)

Замечание. Формула (35) дает возможность представить функцию a'(t) на промежутке вида \j — 1, j), j G N\{1} через свои значения на промежутке [0,1). При этом для любого t G [0,1) последовательность + j — 1)|, представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1 — 2/д).

Вышеприведенными рассуждениями установлена Теорема 2.4.1. Решение задачи (32) является решением задачи (31), если и только если

171 ■— a'(t) = -^-j- • Oj (1/2 +1), t е [0,1), (36) и

Замечание. В этой теореме представление а' через при t G [0; 1) вполне согласуется с условиями а'(0) = 0 и а"(0) = 0, т. к. в силу построения функции Qi выполнены равенства (1/2) = 0 и f^'(1/2) = 0. Подытоживает результаты первых четырёх пунктов второй главы т.

Теорема 2.4.2. Решение задачи (27) имеет вид: u(x,t) = i=1 где щ при г = 2,т определяется формулой (30), a u\(x,t) = W( 1/2 — ж — a\\,t), где W определяется равенством (33), в котором, в свою очередь, а определяется по формулам (36) и (37).

В пункте 2.5 рассказывается о вырождении решения задачи (31) при t> 1.

Следствие 3. Если Qi ф 0, то при X = т supp а С [0,1], а при \фт supp а неограничен сверху.

Следствие 4. Пусть V(y, t) есть решение задачи (31), и пусть ф 0. Тогда при Л = т supp V С [0,1/2] х [0,1], а при Л ф т supp V не ограничен.

Основные результаты диссертации являются новыми и опубликованными в [12]-[17]. В совместных работах [12], [13], [17] Прядиеву B.JL принадлежит постановка задачи, а автору диссертации точные формулировки и доказательства утверждений. Работа [13] опубликована в издании, соответствующему списку ВАК РФ.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Потрягинские чтения - XIV"(Воронеж, ВГУ, 2003); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, ВГУ, 2003); Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XV" (Воронеж, ВГУ, 2004); Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XVI"(Воронеж, ВГУ, 2005); Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения-XVII"(Воронеж, ВГУ, 2006), на семинаре по качественной теории краевых задач под руководством профессора Ю.В. Покорного.

Об организации текста. Диссертация состоит из введения, двух глав, объединяющих в общей сложности десять пунктов, и списка литературы. Объём диссертации 93 стр. Библиография содержит 74 наименования. Нумерация формул организована по порядку, в соответствии с номером главы и пункта.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Глотов, Николай Владимирович, 2007 год

1. Абдулмаджид М. Колеблемость ветвящихся решений уравнений второго порядка - спектральная теория : дис. . канд. физ.-мат. наук / М. Абдулмаджид. - Воронеж, 1992. - 101 с.

2. Боровских А.В. О распространении волн по сети / А.В. Боровских, А.В. Копытин // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1999. - С. 21-25.

3. Бурлуцкая М.Ш. Граничное управление системой из трёх струн с одним закреплённым концом / М.Ш. Бурлуцкая // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 45-46.

4. Гаврилов А.А. Аналог леммы о нормальной производной для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве / А.А. Гаврилов, О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 2000. - Т. 36, N 2. - С. 226232.

5. Гаршин С.В. Метод Римана для уравнения гиперболического типа на декартовом произведении графа-звезды и R1 / С.В. Гаршин // Труды молодых учёных Воронежского государственного университета. -2004. № 2. - С. 3-9.

6. Гаршин С.В. Разрешимость аналога задачи Гурса для уравнения гиперболического типа на простейшем геометрическом графе / С.В. Гаршин; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2005. - 13 с. - ден. В ВИНИТИ 02.06.05, № 798-В2005.

7. Гаршин С.В. Нелокальное условие разрешимости аналога задачи Гурса для гиперболического уравнения на графе-звезде / С.В. Гаршин // Международная конфер. по диф. уравнениям и динамическим системам : тез. докл. Суздаль, 2004. - С. 55-56.

8. Герасименко Н.И. Задача рассеяния на некомпактных графах / Н.И. Герасименко, Б.С. Павлов // Теоретическая математ. физика. 1988. - Т. 74, № 3. - С. 345-359.

9. Глотов Н. В. Решение смешанной задачи для волнового уравнения на графе-звезде при условии, описывающем трение в узле / Н. В. Глотов, В. JI. Прядиев; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2006. - 13 с. -деп. в ВИНИТИ 23.05.06, № 689-В2006.

10. Глотов Н. В. О смешенной задаче для волнового уравнения на графе-звезде при условии трения в узле // Н. В. Глотов // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: тез. докл. Суздаль, 2004. - С. 56-57.

11. Глотов Н. В. Разностное уравнение, решающее задачу о малых колебаниях струнной сетки с условием "жидкого" трения в узлах // Н. В. Глотов // Современные методы теории краевых задач: "Понтря-гинские чтения XVII": матер, конф. - Воронеж, 2006. - С. 37-38.

12. Глотов Н. В. Один подход к решению волнового уравнения на пространственной сети типа цепочки // Н. В. Глотов // Современные методы теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XVI": матер. конф. - Воронеж, 2005. - С.46-47.

13. Глотов Н. В. Решение смешанной задачи для волнового уравнения на графе-звезде с особенностью в узле // Н. В. Глотов, В. J1. Прядиев // Современные методы теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XV": матер, конф. - Воронеж, 2004. - С. 57-58.

14. Глотов Н.В. О колебаниях с трением на сети / Н.В. Глотов, B.JI. Прядиев // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения IV": матер, конф. - Воронеж, 2003. - С. 39-40.

15. Гудзовский А.В. К расчёту гидравлических сетей / А.В. Гудзовский // Докл. АН. 1988. - Т. 358, № б. - С. 765-767.

16. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный и др.]. М. : Физматлит, 2004. - 272 с.

17. Знаменская JI.H. Задача граничного наблюдения за упругими колебаниями // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2004. - С. 97.

18. Знаменская J1.H. Управление упругими колебаниями / JI.H. Знамес-кая. М. : Физматлит, 2004. - 176 с.

19. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени / В.А. Ильин // Диф. уравнения. 1999. - Т. 35, № И. - С. 1517-1534.

20. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце / В.А Ильин // Диф. уравнения. 1999. - Т. 35, № 12. - С. 1640-1659.

21. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией / В.А Ильин // Диф. уравнения. 2000. - Т. 36, № 11. - С. 1513-1528.

22. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии / В.А. Ильин // Докл. РАН. 2001. - Т. 376, № 3. - С. 295-299.

23. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса / В.А. Ильин, В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. 1999. - Т. 35, № 5. -С. 692-704.

24. Каменский М.И. О полугруппе в задаче диффузии на пространственной сети / М.И. Каменский, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Докл. РАН. 1999. - Т. 368, № 2. - С. 157-159.

25. Комаров А.В. О спектре равномерной сетки из струн / А.В. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Изв. вузов. 2000. - Т. 463, № 4. - С. 23-27.

26. Копытин А.В. Об ограниченности обобщённых решений волнового уравнения на сети / А.В. Копытин // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIII": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2002. - С. 80-81.

27. Копытин А.В. Об аналоге формулы Даламбера и спектре лапласиана на графе с соизмеримыми рёбрами / А.В. Копытин, B.JI. ПрядиевВест. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Матаматика. 2001. - Я21.- С. 104-107.

28. Копытин А.В. Некоторые вопросы теории эволюционных задач на сетях : дис. . канд. физ.-мат. наук : 010102 / А.В. Копытин. Воронеж, 2002. - 77 с.

29. Копытин А.В. Об одном представлении решения волнового уравнения на сети / А.В. Копытин, B.JI. Прядиев // Современные методы теории функций и смежные проблемы : тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк., (дополнит, вып.). Воронеж, 2001. - С. 307.

30. Коиытин А.В. Решение волнового уравнения на пространственной сети / А.В. Копытин, B.JI. Прядиев // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2000. - С. 19-23.

31. Куляба В.В. Неравенство Пуанкаре на стратифицированных множествах / В.В. Куляба, О.М. Пенкин // Докл. РАН. 2002. - Т. 386, № 4.- С. 453-456.

32. Найдюк Ф.О. Краевое условие третьего рода в задаче на графе / Ф.О. Найдюк, B.JI. Прядиев // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIVм: материалы Воронеж, весен. мат. шк. - Воронеж, 2003. - С. 96-97.

33. Найдюк Ф.О. О свойствах решений гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами : дис. . канд. физ.-мат. наук / Ф.О. Найдюк. Воронеж, 2004. - 134 с.

34. Найдюк Ф.О. Формула продолжения начальных данных в решении Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода / Ф.О. Найдюк, B.JI. Прядиев // Вестник Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2004. - №1. - С. 115-122.

35. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети / А.В. Боровских и др.] // Докл. РАН. -1995. Т. 345, N 6. - С. 730-732.

36. Осреднённая нелинейная модель гемодинамики на графе сосудов /A.Я. Буничева и др. // Дифференциальные уравнения. 2001. -Т. 37, N 7. - С. 905-912.

37. Павлов B.C. Модель свободных электронов и задача рассеяния /B.C. Павлов, М.Д. Фадеев // Теоретическая математ. физика. 1983. - Т. 55, № 2. - С. 257-269.

38. Пенкин О.М. О принципе максимума для эллиптического уравнения на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 1998. - Т. 34, № 10. - С. 1433-1434.

39. Пенкин О.М. О слабом принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе / О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 1997. - Т. 33, № 10. - С. 1404-1409.

40. Пенкин О.М. О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Диф. уравнения. 1998. - Т. 34, № 8. - С. 1107-1113.

41. Перловская Т.В. О краевой задаче нелокально взаимодействующих уравнений разного порядка / Т.В. Перловская // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2003. - С. 110.

42. Покорный Ю.В. Волновое уравнение на пространственной сети / Ю.В. Покорный, B.JI. Прядиев, А.В. Боровских // Докл. РАН. 2003. - Т. 388, № 1. - С. 16-18.

43. Прядиев B.JI. О непериодических колебаниях упругих сеток / B.JI. Прядиев // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XI": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2000. - С. 158.

44. Прядиев B.JI. Свойства фундаментального решения смешанной задачи для волнового уравнения на графе // Современные методы теории функций и смежные проблемы : тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 202-203.

45. Прядиев В. JI. Ядро интегрального оператора, обращающего одну начально-краевую задачу для волнового уравнения на пространственной сети // Тр. матем. ф-та, вып. 9 (нов. серия). Воронеж: ВорГУ, 2005. - С. 78-92.

46. Прядиев B.JI. Теоремы Штурма для разрывных уравнений на графе / B.JI. Прядиев, М. Абдульмаджид; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1992. - 20 с. - Деп. В ВИНИТИ 15.04.92, № 1288-В92.

47. Прядиев B.JI. Об управлении колебаниями сети / B.JI. Прядиев, Н.В. Глотов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 203204.

48. Прядиев B.JI. К вопросу о периодичности колебаний упругих сеток /B.JI. Прядиев, А.В. Копытин, А.В. Боровских // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения X": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 1999. - С. 198.

49. Прядиев В. JL, Коровина О. В. О представлении решений волнового уравнения на одномерной пространственной сети // Соврем, методы в теории краевых задач: Матер. Воронеж, весен, мат. шк. "Понтрягинские чтения XVI". - Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 129-131.

50. Прядиев B.JI. Правило параллелограмма для волновых уравнений на сетях. Визуализация решений / B.JI. Прядиев, С.С. Шаталов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 206-207.

51. Репников В.Д. О связи двух типов предельных интегральных уравнений функций класса Tb(Rn) // ДАН СССР. 1983. - Т. 272, № 4.C. 798-801

52. Репников В.Д. О стабилизации решений параболических уравнений с дивергентной элиптической частью // Дифференциальные уравнения. 1995. - Т. 31, № 1. - С. 114-123

53. Репников В.Д. О стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в плоскости Больаи-Лобачевского // Дифференциальные уравенения. 2002. - Т. 38, №2. - С. 262-270

54. Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. I / В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. 2002.- Т. 38, № 3. С. 393-403.

55. Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. II / В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. 2002.- Т. 38, № 4. С. 529-537.

56. Уравнения электрического поля дендрита нервной клетки / Ю.В. Покорный и др.] // Дифференциальные уравнения и их применения: тез. докл. Второй международ, науч.-практ. конф. СПб, 1998.- С. 147-148.

57. Функция Грина разрывной задачи Дирихле на графе / Ю.В Покорный и др.]; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1992. - 8 с. - Деп. В ВИНИТИ 03.06.92, № 1836-В92.

58. Ali-Mehmeti F. Nonlinear waves in networks / F. Ali-Mehmeti // Mathematical Research. 1994. - V. 80. - 174 p.

59. Ali-Mehmeti F. Splitting of the energy of dispersive waves in a star-shaped network / F. Ali-Mehmeti, V. Regnier // University of Valenciennes. Preprint LMACS 99.7. - Valenci., - 2003. - 18 p.

60. Cattaneo C., Fontana L. D'Alambert formula on finite one-dimensional networks // J. of Math. Anal, and Appl. 2003. - V. 284, N 2. - P. 403-424.

61. Dependence of intracellular potentials on ramification of dendrites / Yu.V. Pokorny etc.] // Mechanisms of Adaptiv Behavior: Int. Symp. Dedicated to Academician Ivan Pavlov's 150-anniversary: Abstr. -St.Petersburg, 1999. P. 140.

62. Kuchment P. Graph models of wave propagation in thin structures / P. Kuchment // Waves in Random Media. 2002. - V. 12, № 4. - P. 1-24.

63. Nicaise S. Approche spectrale des problemes de diffusion sur les reseaux / S. Nicaise // Lecture Notes in Math. 1987. - V. 1235. - P. 120-140.

64. Pokorny Yu.V. Differential equations on networks (geometric graph) / Yu.V. Pokorny, A.V. Borovskikh // J. Mathematical sciences. 2004. -V.ll, № 6. - P. 691-718.

65. Pryadiev V.L. On the laplacian spectrum on a graph with commensurable edges / V.L. Pryadiev, A.V. Kopytin // Spectral and Evolutional problems: Proc. of the Eleventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Simferopol, 2001. - V. 11. - P. 167172.

66. The problem of intracellular and extracellular potentials of dendritic trees / Yu.V. Pokorny etc.] // Electrical Activity of The Brain: Mathematical Models к Analytical Methods: Proc. of The 1-st International Symposium. Pushchino, 1997. - P. 22-24.

67. Zheng Songmu Extinction properties of solution to hyperbolic equations / Songmu Zheng // J. Part. Differ. Equat. 1991. - V. 4, N 2. - P. 52-60.