О сходимости и существовании формальных решений систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Чулков, Сергей Павлович

• Чулков, Сергей Павлович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чулков, Сергей Павлович

Введение

1' Полиномы Гильберта и Гильберта-Самюэля и системы линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами

1.1 Введение

1.2 Формальные решения системы.

1.3 Символ системы как алгебраическое многообразие.

1.4 Символ системы и ее формальные решения.

1.5 Символ системы и ее аналитические решения.

1.6 Пример: Гармонические функции.

2 Сходимость формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных

2.1 Введение

2.2 Формулировка результата.

2.3 Упорядоченная полугруппа

2.4 Доказательство Теоремы 2.2.1.

2.4.1 Леммы о мажорировании.

2.4.2 Формулировка условий специального случая.

2.4.3 Замена координат.

2.4.4 Построение мажорирующего уравнения.

2.4.5 Построение мажорирующего ряда.

2.4.6 Завершение доказательства теоремы.

2.5 Примеры и замечания.

2.5.1 Пример. Случай одного уравнения.

2.5.2 Пример. Необходимость условий теоремы.

2.5.3 Случай нескольких неизвестных функций.

3 Полином Гильберта для систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных

3.1 Введение

3.2 Свойства полугруппы

3.3 Отображение Грёбнера и базисы дифференциальных идеалов

3.4 Формальные решения системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных.

3.4.1 Формальные решения системы как функционалы на кольце дифференциальных операторов.

3.4.2 Существование формальных решений.

3.5 Теорема сходимости и ее следствия.

3.6 Примеры и замечания.

3.6.1 Условие а), наложенное на упорядочивание -<, и сходимость формальных решений.

3.6.2 Случай нескольких неизвестных функций.

3.6.3 О пространстве решений в точках "плохой" гиперповерхности Е

3.6.4 Алгебраический смысл функции Гильберта системы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О сходимости и существовании формальных решений систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных»

Диссертация состоит из трех глав. Наиболее сильные результаты получены автором в теории сходимости формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных [1], их изложению посвящена глава 2. В ней исследуется один из вариантов классического вопроса о сходимости формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных. Мы формулируем и доказываем необходимые и достаточные условия сходимости заданного (найденного любым методом) формального решения системы дифференциальных уравнений в частных производных. Наш критерий сходимости формальных решений применим к системам дифференциальных уравнений (в т.ч. и нелинейных) разрешенным относительно старших производных (в смысле некоторого полного упорядочения множества производных функции многих переменных) и, что особенно важно, "почти разрешенным относительно старших производных". Он утверждает, что формальный ряд, являющийся формальным решением системы, сходится, если и только если сходится определенная частичная сумма этого ряда. Наша теорема обобщает теорему сходимости Рикье [15] и следствия работы Паламодова [8], касающиеся сходимости формальных решений (более подробно история вопроса и мотивировки наших результатов изложены в предисловии к главе 2).

Глава 2 полностью независима от остальных глав диссертации. Для доказательства основного результата главы 2 мы используем некоторые факты о комбинаторике и геометрии полугруппы й71, поиск которых был мотивирован для нас работой Хованского [9],и некоторые идеи работы Ри-кье [15].

Главы 1 и 3 посвящены теории систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных. В главе 1 изложены результаты работы автора [2], написанной в соавторстве с А.Г. Хованским. Технически результаты главы 1 полностью независимы от остальных глав. В указанной главе рассматриваются системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Алгебраическими методами описываются пространства формальных и аналитических решений такой системы. Определяются и описываются понятия функции и полинома Гильберта и функции и полинома Гильберта-Самюэля для системы уравнений в частных производных. Перечислим полученные результаты. Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами на одну неизвестную функцию г комплексных переменных х\,.,хп. Символ системы — это алгебраическое многообразие М в двойственном пространстве с переменными £1,. идеал X которого порожден многочленами, полученными из уравнений системы заменой операций дифференцирования по переменным хъ на операции умножения на соответствующие переменные

Одним из основных инвариантов алгебраического многообразия является его функция Гильберта. Это функция Н натурального аргумента, сопоставляющая числу к размерность факторпространства полиномов степени не выше к по векторному подпространству, состоящему из полиномов, принадлежащих идеалу X многообразия. Знаменитая теорема Гильберта утверждает, что функция Н является полиномом на множестве достаточно больших натуральных чисел. Степень этого полинома равна размерности г многообразия М, а старший коэффициент, умноженный на г!, есть степень многообразия М (то есть подсчитанное с учётом кратностей число точек пересечения многообразия с общей аффинной плоскостью дополнительной размерности). Какую роль играет полином Гильберта символа М для исходной системы дифференциальных уравнений? Мы даем ответ на этот вопрос.

В заданной точке и для каждого натурального числа к рассмотрим векторные пространства Ои{к) и Fu(k) к-струй аналитических и формальных решений системы. Мы доказываем, что размерности этих пространств совпадают между собой, не зависят от точки и и равны значению Н{к) функции Гильберта символа системы в точке к. Доказательство проводится следующим образом: сначала, алгебраически описываются пространства формальных решений системы в точке и. Из этого описания равенство dim = Н(к) становится очевидным. Затем, доказывается следующая теорема об аппроксимации. Для каждого формального решения в точке и данной системы и каждого натурального числа к существует квазиполиномиальное решение системы (то есть линейная комбинация произведений полиномов на экспоненты линейных функций) имеющие ту же &-струю, что и заданное формальное решение. Отсюда немедленно вытекает равенство dim Fu{k) = dim Ои(к).

Функция Гильберта-Самюэля является локальным инвариантом алгебраического многообразия. Верен следующий локальный аналог теоремы Гильберта. Рассмотрим векторное пространство fe-струй ростков аналитических функций в точке £ пространства переменных (О1)*. Две к-струи называются эквивалентными, если их разность совпадает в точке £ с ^-струей некоторого многочлена, принадлежащего идеалу X алгебраического многообразия. Размерность HS^{k) получающегося факторпространства— это значение в точке к функции Гильберта-Самюэля многообразия в точке Локальный вариант теоремы Гильберта утверждает, что функция HS^(k) является полиномом на множестве достаточно больших натуральных чисел. Степень этого полинома равна размерности г ростка многообразия М в точке а старший коэффициент, умноженный на г!, есть кратность точки £ многообразия М (то есть кратность пересечения в точке £ многообразия М с общей аффинной плоскостью дополнительной размерности). Мы выясняем роль многочлена Гильберта-Самюэля символа системы для исходной системы дифференциальных уравнений. Решения вида Р(х)е^,х\ где Р(х) — многочлен степени не выше к, образуют векторное пространство. Мы доказываем, что размерность этого пространства равна Н3^(к).

Отметим что, в указанной работе [2] А.Г. Хованскому принадлежат: идея работы, описание формальных решений, аналогов функции и полинома Гильберта, идея описания специальных аналитических решений и полинома Гильберта-Самюэля; С.П. Чулкову принадлежит теорема аппроксимации формальных решений аналитическими, описание специальных аналитических решений и аналога функции и полинома Гильберта-Самюэля.

Глава 3 основана на результатах препринта [3], написанного в соавторстве с А.Г. Хованским. В этой главе мы рассматриваем случай систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами. Одна из основных целей этой главы состоит в проведении аналогии между результатами полученными в главе 1 для линейных систем с постоянными коэффициентами и соответствующими утверждениями о линейных системах с аналитическими коэффициентами. Несмотря на это, техника исследования отличается от использованной в главе 1. Вместо элементарных методов коммутативной алгебры мы используем подход близкий методу дифференциальных базисов Гребнера и результаты о сходимости формальных решений, описанные в главе 2. Перечислим полученные результаты.

Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнеф нии в частных производных с аналитическими коэффициентами на одну неизвестную функцию z в области U пространства Сп. Мы изучаем пространства ростков формальных и аналитических решений в некоторой ф точке и области U. Обсуждаются следующие вопросы.

Как задавать начальные данные для формальных и аналитических решений подобных систем. Точнее, какие наборы производных неизвестной функции 2г можно фиксировать в данной точке, чтобы существовало единственное формальное (аналитическое) решение системы с такими данными.

Чему равны размерности пространств fc-струй ростков формальных и аналитических решений системы в зависимости от натурального числа к и точки и области U. ф Получены следующие результаты. Показано, что существует "плохая" гиперповерхность Е, в дополнении U \ Е к которой пространства ростков формальных и аналитических решений в каждой точке устроены в некотором смысле одинаково. А именно, существует не зависящее от точки и дополнения множество частных производных, которые можно фиксировать в точке и в качестве начальных данных для формального решения. Формальное решение будет сходящимся, если и только если частичная сумма ряда Тейлора, построенная по фиксированным производным, будет схо-# диться.

Для каждой точки и дополнения U \ Е и каждого натурального числа к обозначим через Аи(к) и Fu(k) пространства fc-струй в точке и ростков формальных и аналитических, соответственно, решений в этой точке. Для всех к размерности пространств Аи(к) и Fu{k) одинаковы и не зависят от точки и. При достаточно больших к функция Я (к) = dim Аи(к) = dimFu(k) является полиномом по к. Более того, установлен алгебраический смысл функции Н. По системе дифференциальных уравнений строЩ ится семейство аффинных алгебраических многообразия, аналитически зависящих от параметра - точки и области V. Для значений параметра и лежащих в дополнении и \ Е к гиперповерхности Е, функции Гильберта этих многообразий одинаковы и совпадают с функцией Н.

Отметим, что рассматриваемые вопросы являются классическими и результаты, полученные в главе 3, не являются абсолютно новыми (более подробно этот вопрос освещен в предисловии к главе 3). Идея написания препринта [3] принадлежит А.Г.Хованскому. В формулировку и изложение результатов препринта каждый из авторов внес равноценный вклад.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чулков, Сергей Павлович, 2005 год

1. Чулков С. П. О сходимости формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных // Функ. анализ и его прил. - 2005. - Т. 39. - Вып. 3.- С. 64-75.

2. Хованский А. Г., Чулков С. П. Полиномы Гильберта и Гильберта-Самюэля и уравнения в частных производных // Математические заметки. 2005. - Т.77. - Вып. 1. - С. 141-151.

3. Хованский А. Г., Чулков С. П. Полином Гильберта для систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами (работа принята к публикации журналом Известия РАН серия Математическая).

4. Атъя М., Макдоналъд И. Введение в коммутативную алгебру. Пер. с англ. М.: Мир, 1972. - 160 с.

5. Зайцева М.И О совокупности упорядочений абелевой группы // Успехи Мат. Наук. 1953. - Т. 8. - Вып. 1. - С. 135-137

6. Мамфорд Д. Алгебраическая геомерия I. Комплексные проективные многообразия. Пер. с англ. М.: Мир, 1979. - 256 с.

7. Овсянников Л. В. Абстрактная форма теоремы Коши-Ковалевской и ее приложения. Уравнения с частными производными (Труды конференции, Новосибирск, 1978) Новосибирск: "Наука" Сибирск. Отдел., 1980. - С. 88-94.

8. Паламодов В. П. Дифференциальные операторы в классе сходящихся степенных рядов // Функ. анализ и его прил. 1968. - Т. 2. - Вып. 3. - С. 58-69.

9. Хованский А. Г. Суммы конечных множеств, орбиты конечных полугрупп и функции Гильберта // Функ. анализ и его прил. 1995. - Т. 29. - Вып. 2. - С. 36-50.

10. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. Теория совместности систем дифференциальных уравнений в полных дифференциалах и в частных производных M.-JL: Го-стехиздат, 1948. - 432 с.

11. Kowalevsky S. Ziir Theorie der partiellen Differentialgleichungen // J. fur Math. 1875. - Vol. 20. - P. 1.

12. Nirenberg L. An abstracy form of the nonlinear Cauchy-Kowalewski theorem. Collection of articles dedicated to S.S. Chern and D.C. Spencer of their sixtieth birthdays //J. Differential Geom. 1972. - Vol. 6. - P. 561-576

13. Nishida T. A note on a theorem of Nirenberg // J. Differential Geom. -1977. Vol. 12. - P. 629-633

14. Pate T. H. A direct iterative method for an abstract Cauchy-Kowalewsky theorem // Indiana Univ. Math J. 1981. - Vol. 30. - No. 3. - P. 415-425

15. Riqmer C. Les systèmes d'équations aux derivées partielles Paris: Gauthier-Villars, 1910. - 618 p.

16. Treves F. An abstract nonlinear Cauchy-Kovalevska theorem // Tr. Amer. Math. Soc. 1970. - Vol.150. - P. 77-92

17. Trevisan G. Classificazione dei semplici ordinamenti di un gruppo libero commutativo con N generatori // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1953. - Yol. 22. - P. 143-156.