Краевая задача дифракции для системы уравнений Максвелла в экранированных слоях, связанных через отверстие тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Родионова, Ирина Анатольевна

• Родионова, Ирина Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Родионова, Ирина Анатольевна

Введение.

Глава 1. Сведение векторной задачи для системы уравнений Максвелла к скалярным задачам для уравнения Гельмгольца.

1.1. Постановка краевой задачи дифракции.

1.2. Сведение векторной задачи к двум скалярным для уравнения Гельмгольца.

Глава 2. Исследование спектральной задачи.

2.1. Однородная краевая задача дифракции. Теорема единственности для случая сред с поглощением.

2.2. Функция Грина для слоя 1 -го рода.

2.3. Функция Грина для слоя 2-го рода.

2.4. Теоремы о голоморфности и фредгольмовости интегральной оператор-функции. Теорема о дискретности спектра.

Глава 3. Задача дифракции на отверстии.

3.1. Сведение задач к интегральным уравнениям.

3.2. Теоремы о разрешимости интегральных уравнений.

3.3. Векторные потенциалы и представление решений.

Глава 4. Численный метод и результаты расчетов.

4.1. Метод Галеркина.

4.2. Сходимость метода Галеркина.

4.3. Реализация метода Галеркина.

4.4. Результаты расчетов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевая задача дифракции для системы уравнений Максвелла в экранированных слоях, связанных через отверстие»

Настоящая работа посвящена аналитическому и численному исследованию векторной задачи дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие. Это - задача дифракции электромагнитного поля на ограниченном отверстии в идеально проводящей бесконечно тонкой плоскости, расположенной между двух идеально проводящих бесконечно тонких плоскостей, причем электродинамические параметры сред между плоскостями могут быть различны.

Наиболее естественный подход к решению этой задачи - сведение се к векторному интегродифференциальному уравнению на отверстии [65]. Задача дифракции электромагнитного поля на отверстии в плоском, идеально проводящем экране является «двойственной» к задаче дифракции на плоском ограниченном идеально проводящем экране и приводит к аналогичному интегродифференциальному уравнению на экране. Поэтому, прежде всего, дадим краткий обзор методов и результатов исследования задачи дифракции на чонком идеально проводящем ограниченном экране.

Интерес к задачам дифракции на экране возник давно, и они являются, по существу, классическими в электродинамике. Традиционная (физическая) теория дифракции создавалась па протяжении нескольких столетий X. Гюйгенсом, О. Френелем, Г. Гельмгольцем, Г.Р. Кирхгофом, Д. Лармором и другими авторами. Для понимания волновых процессов и расчета дифракционных полей большое значение имеет принцип Гюйгенса, согласно которому распространение воли обусловлено действием вторичных источников. Френель уточнил принцип Гюйгенса, приняв во внимание интерференцию сферических волн, излучаемых вторичными источниками. Дальнейшее уточнение принципа Гюйгенса - Френеля принадлежит Кирхгофу, который дал его строгую формулировку, основываясь на уравнении Гельмгольца. В современной теоретической оптике приближенное решение дифракционных задач производится почти исключительно с помощью принципа Гюйгенса - Кирхгофа. Электродинамическая (векторная) формулировка принципа Гюйгенса была дана Котлером.

Благодаря работам А. Пуанкаре стало ясно, что в задачах дифракции электромагнитных волн речь идет о некоторой краевой задаче математической физики. В общей постановке задача состоит в нахождении решений уравнений Максвелла, удовлетворяющих определенным краевым условиям. Позднее А. Зоммерфельд сформулировал дополнительные «условия излучения» (условия на бесконечности), обеспечивающие единственность решения краевой задачи. Следует учитывать также особое поведение полей в окрестности края поверхности гонкого экрана. Уже первое аналитическое решение задачи дифракции на идеально проводящей полуплоскости, полученное Зоммерфельдом [20], позволило проанализировать поведение электромагнитного ноля (решения краевой задачи) в окрестности края тонкого экрана и поведение полей на бесконечности.

Идея метода сведения краевой задачи к поверхностному интегродиффе-ренциальному уравнению с помощью введения потенциалов принадлежит А. Пуанкаре. Впервые векторное интегродифференциальное уравнение в задаче дифракции на экране было получено А. Мауэ в [78]. Это уравнение стали называть интегральным уравнением электрического поля (что не совсем точно, гак как уравнение является интегродифференциальным, а не интегральным). Центральной проблемой при исследовании разрешимости интегродифференциаль-ного уравнения является выбор пространств для решений и для правых частей таким образом, чтобы обеспечить фредгольмовость (и, если удастся, однозначную разрешимость) этого уравнения в выбранных пространствах. Кроме того, пространства решений должно быть достаточно широким и содержать все физически допустимые поля.

Изучение интегрального уравнения электрического поля было начато А. Мауэ в [7В]. Позднее в фундаментальной монографии Hönl П., Майе А. W., Westpfahl К. Theorie der Beugung, Springer-Verlag, 1961 (см. [65]) была доказана теорема единственности для решений этого уравнения (и краевой задачи дифракции), исследовано поведение дифракционных полей на бесконечности и в окрестности гладкого края экрана, получены аналитические решения задач дифракции на тонком диске и на сфере. В случае плоского экрана авторы записали интегральное уравнение электрического поля, используя преобразование Фурье, в виде уравнения, которое теперь называют псевдодифференциальным (сами авторы назвали его псевдоинтегральным).

Начиная с конца 40-х годов, Я. Н. Фельдом была опубликована серия работ [63], [64], посвященных задаче дифракции на тонком экране. В этих работах была предпринята попытка построения теории разрешимости краевой задачи дифракции в пространстве L\. Выбрать в качестве пространства решений интегрального уравнениея электрического поля «традиционное» пространство Z,2 нельзя, поскольку оно является слишком узким и не содержит решений с требуемой особенностью в окрестности края экрана (особенность известна, например, из аналитического решения задачи дифракции па полуплоскости). В работах Я. Н. Фельда выбор пространств согласован с поведением полей в окрестности ребра, однако нет эффективного описания пространства образов оператора, определяемого левой частью интегрального уравнения электрического поля.

Г.А Гринбергом [11] для случая плоского экрана была предложена процедура перехода от векторного интегродиффренциальпого уравнения к,векторному интегральному уравнению на экране. Метод включает в себя решение еще двух дополнительных краевых задач для уравнения Гельмгольца, причем одну из них - в общем виде [19]. Отметим, что каких - либо выводов о разрешимости задачи дифракции на плоском экране не было сделано.

Начиная с 1968 года стали активно развиваться численные методы решения задач дифракции на экранах и отверстиях. После выхода монографии Harrington R. F. Field Computation by Moment Methods, Macmillian Co., 1961 (см. [75]) стали применяться такие численные методы как метод моментов, метод Галеркина и метод коллокации для решения задач дифракции на экранах различной формы, по без достаточного математического обоснования. Не изучая свойства оператора интегрального уравнения электрического поля (фредголь-мовость, вид главной части и т.д.), авторы ограничивались анализом внутренней (вычислительной) сходимости и сравнением результатов с аналитическими решениями. Поэтому некоторые эффекты, связанные со специфическим свойствами оператора интегрального уравнения электрического поля, были упущены.

Тем не менее, в численных решениях задач дифракции па тонком экране был накоплен большой опыт. Имеется несколько монографий [5], [19], [75], [81], [91] по решению задач дифракции на экранах различной формы. Отметим также работы, сыгравшие важную роль в развитии численных методов решения задач дифракции на тонких экранах [7], [13], [60], [79], [80], [88]. Заметим, что при расчетах применялись, в основном, метод моментов, метод конечных элементов и метод Галеркина с выбором простейших базисных и пробных функций (некоторые авторы все эти методы рассматривают как модификации метода моментов). Состояние численных исследований подробно отражено в сборнике фундаментальных работ, опубликованных в период с 20-х по 90-ые годы [72]. Следует подчеркнуть, что проблема эффективного численного решения задач дифракции на тонких экранах произвольной формы (в резонансном диапазоне частот, когда длина волны в пространстве сравнима с размерами экрана) в настоящее время, по-видимому, пока не решена даже с использованием самых мощных современных ЭВМ.

Помимо попыток аналитического и численного решения интегрального уравнения электрического поля для анализа задач дифракции на тонком экране было предложено несколько иных подходов приближенного решения, связанных с упрощением задачи. В частности, активно развивались асимптотические методы [2], [4], [59], [62]. Не вдаваясь в подробное обсуждение асимптотических методов решения задач дифракции на незамкнутых поверхностях, укажем только их общий недостаток. Для них не решен вопрос о точности асимптотического решения и границах его применимости. С особой остротой этот вопрос встает в резонансной области частот, когда характерные размеры поверхности сравнимы с длиной возбуждаемой электромагнитной волны.

Таким образом, в математической теории дифракции к 90-м годам прошлого века сложилась ситуация, когда для решения задач используется большое количество приближенных, численных методов, известны некоторые аналитические решения задач дифракции на простейших поверхностях, в то время как общей теории разрешимости не было построено. Здесь под теорией разрешимости мы понимаем результаты, аналогичные классической теории потенциала, то есть теоремы о существования и единственности решения краевой задачи и уравнения на экране (в подходящих пространствах), теоремы о представимости решения краевой задачи в виде векторного потенциала, теоремы о «скачках» предельных значений и т.д.

В начале 1990-х годов в работах Ю.Г. Смирнова [231, была построена теория разрешимости (трехмерных) векторных электродинамических задач на незамкнутых поверхностях. Для задачи дифракции стороннего электродинамического поля на незамкнутых поверхностях (экранах) были получены следующие результаты:

- теорема о существовании и единственности решений краевой задачи для системы уравнений Максвелла в соответствующих пространствах;

- утверждения о представимости решения задачи в виде векторного потенциала;

- сведение краевой задачи к уравнению на многообразии с краем;

- теоремы о «скачках» предельных значений для векторных потенциалов или других представлений решений краевой задачи;

- теоремы о разрешимости уравнения на многообразии в подходящих пространствах;

- теоремы о регулярности (о гладкости решений) и исследование асимптотического поведения решений в окрестности края и угловых точек многообразия;

- утверждение о зависимости решения уравнения и краевой задачи от параметров.

Основным инструментом исследования задач дифракции на незамкнутых поверхностях была теория псевдодифференциальных (ПД) операторов, действующих в пространствах Соболева сечений векторных расслоений |17]. [44],

46]. Задача дифракции анализируется по следующей схеме. Задача приводит к ПД уравнению на многообразии с краем Q (экране). Соответствующий ПД оператор L рассматривается в специально выбранных гильбертовых пространствах L: Н\ —> Н2- Ключевым моментом при изучении задач дифракции является доказательство ограниченности и фредгольмовости с нулевым индексом оператора L. Доказательство проводится стандартным методом [32], [33]: оператор L представляется в виде суммы ограниченных операторов, непрерывно обратимого S и компактного К: L = S + К. Решение исходной краевой задачи ищется в виде векторных потенциалов. Из единственности решения краевой задачи выводится единственность для решений соответствующего ПД уравнения Lu — f, и б Н\, а из альтернативы Фредгольма - разрешимость уравнения при любой правой части / е Н2. Отсюда следует разрешимость и для краевой задачи. Подробное изложение теории разрешимости задач дифракции па тонких ограниченных идеально проводящих экранах содержится в монографиях A.C. Ильинского и Ю.Г. Смирнова [23].

К настоящему времени общая теория псевдодифференциальных операторов разработана достаточно полно и изложена в работах Дж. Дж. Кона и JI. Ни-ренберга [77], Г.И. Эскина [70], М.А.Шубина [69], Ю.В Егорова 1141, [15|, Б.А. Пламеневского [45], М. Тейлора, С. Ремпеля и Б. Шульце [46] и других авторов. Первое систематическое использование этой теории в задачах дифракции, по-видимому, начал W. Wendland [90]. Им были рассмотрены двумерные скалярные задачи дифракции на тонких экранах и развита соответствующая теория разрешимости этих задач. Позднее Е. Stephan [89] обобщил результаты на случай ограниченных экранов в R с гладким краем. Отметим, что в рамках теории ПДО для скалярных задач этот переход осуществляется сравнительно легко. Далее в работах [83], [86] были рассмотрены экраны с угловыми точками и получены (численным методом) порядки сингулярности решений в окрестности этих точек, а так же введены и описаны весовые классы Соболева для самих решений. Эти исследования в определенном смысле продолжают пионерские работы В.А. Кондратьева [36| и Б.А Пламеневского [45] по анализу решений в окрестности конических точек.

При решении задач дифракции на незамкнутых поверхностях мы будем использовать технику исследования Г1ДО на многообразиях с краем. При этом будут специально выбраны векторные пространства Соболева, отвечающие «физическим» требованиям задачи дифракции.

Отметим еще два класса задач, наиболее близких к задачам дифракции электромагнитных волн на тонких экранах. Это (векторные) задачи дифракции электромагнитных волн на замкнутых идеально проводящих поверхностях и (скалярные) задачи дифракции акустических волн на незамкнутых поверхностях.

Первый класс задач отличается от рассматриваемых в настоящей работе задач тем. что изучается дифракция на замкнутых поверхностях. Векторный характер задач сохраняется, исследуются краевые задачи для системы уравнений Максвелла. Общая теория разрешимости электромагнитных задач дифракции на замкнутых поверхностях была построена уже к концу 60-х годов. С. Muller [84] смог довести до определенной завершенности э ту теорию, доказав теоремы существовании и единственности. Благодаря этому теория дифракции электромагнитных волн на замкнутых поверхностях по своей внутренней замкнутости стала сравнимой с теорией потенциала. Современное изложение теории разрешимости для этого класса задач имеется в монографии Д. Колтона и Р. Кресса [35]. Доказательство разрешимости краевой задачи основано на сведении се к интегральному уравнению Фредгольма второго рода по поверхности и опирается на теорему о «скачке» соответствующего векторного потенциала [35]. Уравнения рассматриваются в классах Гельдера. К сожалению, эта техника неприменима при исследовании задач дифракции на незамкнутых поверхностях, поскольку по теореме «о скачке» векторный потенциал будет принимать различные значения с разных сторон Q, что противоречит непрерывности поля. Поэтому для незамкнутых поверхностей можно получить только уравнения первого рода (по традиционной терминологии). Уравнения первого рода на замкнутых поверхностях рассматривались в [35], однако их разрешимость устанавливалась сведением к уже изученному уравнению Фредгольма второго рода.

Второй класс составляют задачи дифракции акустических волн на незамкнутых поверхностях. Не смотря на то, ч то эти задачи скалярные, в них проявляется специфика задач на многообразиях с краем. Теория разрешимости для этого круга задач была построена недавно в работах (71], [731, [74], [83], [85], [86], [89], [90] (аналогичная теория для акустических задач дифракции на замкнутых поверхностях известна давно [38], [39]; ее подробное изложение имеется в работе [87]). Основным инструментом, позволившим добиться прогресса в изучении задач дифракции акустических волн на незамкнутых поверхностях стала техника исследования псевдодифференциальных операторов (ПДО), действующих в пространствах Соболева.

Имеется еще ряд задач, которые также могут быть рассмотрены методом псевдодифференциальных уравнений. В частности, задача дифракции электромагнитного поля на отверстии в плоском, идеально проводящем экране. Эта задача является двойственной к тому же векторному интегродифференциальному уравнению. Задача дифракции на частично экранированном магнитодиэлектри-ческом слое отличается от предыдущей наличием магпитодиэлектрического заполнения и дополнительной экранирующей идеально проводящей плоскости в одном из полупространств. Задача обычно решается с помощью введения функций Грина слоя для уравнения Гельмгольца. Основной трудностью здесь является постановка условий на бесконечности. Эти условия были сформулированы А. Г. Свешниковым [56] и П. Вернером [82] и носят название парциальных условий излучения Свсшникова-Всриера. Задача дифракции на частично экранированном слое также сводится к решению уравнения на отверстии. Еще одна задача дифракции - о связи через отверстие полупространства с прямоугольным полубесконечным волноводом. В этой задаче уже недостаточно использования одной скалярной функции Грина для представления решения в цилиндрической области. Используется представление решения с помощью двух функций Грина со смешанными граиичньтми условиями. На бесконечности применяются условия излучения Свешникова.

Последние три задачи принадлежат к классу задач о связи объемов через отверстие. Все они приводят к одному типу интегродиффсренциальных уравнений на отверстии. Теория разрешимости для этого круга задач также была построена методом псевдодифференциальных уравнений [23], [76].

Отметим важную отличительную особенность этих трех задач от задачи, рассматриваемой в диссертации. Для перечисленных задач имеет место теорема единственности, в то время как для рассматриваемой в диссертации задачи единственности решения (на некоторых частотах) может не быть. Поэтому прежде чем решать задачу дифракции (задачу с правой частью) необходимо исследовать однородную задачу, которая является задачей на собственные значения для некоторой нелинейной оператор-функции.

Эта задача относится к обширному классу задач электродинамики — спектральным задачам о распространении электромагнитных волн в волнове-дущих структурах. Применение в радиотехнике и электронике в качестве вол-новедущих структур волноводов сложных поперечных сечений, микрополоско-вых и щелевых линий передачи потребовало построения математических моделей процессов распространения электромагнитных волн в таких устройствах. При этом возникла необходимость исследования нового широкого класса задач электродинамики, характеризующихся сложной геометрией граничных незамкнутых поверхностей, неоднородным диэлектрическим заполнением и наличием бесконечно тонких металлических ребер (пластин) в структуре. Первейшей задачей здесь является описание свойств электромагнитных волн, которые могут распространяться в таких структурах.

При исследовании процессов распространения волн в волноведущих структурах с неоднородным заполнением возникают краевые задачи на собственные значения для систем уравнений эллиптического типа с разрывными коэффициентами. На линиях (поверхностях) разрыва коэффициентов ставятся дополнительные условия, называемые условиями сопряжения. В простейших задачах спектральный параметр присутствует лишь в уравнениях и не входит в условия сопряжения, в результате возникает задача на собственные значения для некоторого самосопряженного оператора. Однако при анализе достаточно сложных моделей спектральный параметр уже входит не только в уравнения, но и в условия сопряжения, причем нелинейно. Задача оказывается несамосопряженной.

Начиная с 60-х годов, проводились многочисленные исследования данного круга задач. Главное внимание было уделено получению практических результатов: расчету характеристик основной волны структуры, представляющий наибольший интерес с физической точки зрения, а также нескольких высших типов волн.

Состояние области численных методов расчета параметров различных типов волноведущих структур подробно отражено в монографиях и обзорных работах [8], [12], [16], [18], [31].

Следует, однако, сказать, что большинство используемых методов не получило до сих пор серьезного математического обоснования. Несмотря на большое количество работ, долгое время оставались недоказанными теоремы о существовании хотя бы одной точки спектра и о дискретности спектра задачи, необходимые для строгого обоснования математической модели. Не выяснены до конца вопросы, связанные со сходимостью методов. Практически отсутствуют результаты о распределении характеристических чисел в комплексной плоскости. Не исследуются такие свойства системы собственных и присоединенных волн, как полнота и базисность, необходимые для задач возбуждения и при моделировании неоднородностей в структурах.

Исследование этого круга вопросов требует привлечения новых теоретических методов. Дело в том, что задача о распространении электромагнитных волн в волноведущих структурах так или иначе сводится к изучению сложной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра, что весьма затруднительно 'традиционными методами теории дифракции.

Теория распространения электромагнитных волн в волноводах с однородным заполнением получила евое завершение в работах А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [53], [54], [55], в которых помимо исследования спектра волн были решены вопросы о разложимости поля но системе собственных волн волновода, а также построены функции Грина, позволяющие получить решение задачи возбуждения волновода сторонним источником. Но задача о распространении волн в таких волноводах не является векторной а, как говорят, «распадается» на две скалярные самосопряженные задачи.

Для волноводов с неоднородным заполнением известны некоторые частные результаты, касающиеся распределения спектра электромагнитных волн. Для прямоугольных волноводов со слоистым заполнением [16], [76] и для круглых волноводов с круглым магпитодиэлсктрическим стержнем [40] получены и исследованы трансцендентные «дисперсионные» уравнения, позволяющие вычислять точки спектра (постоянные распространения и затухания) с любой наперед заданной точностью. Однако даже в этих простейших случаях отсутствуют результаты о свойствах системы электромагнитных волн (полнота, базис-иость).

Задача об электромагнитных волнах волноведущей структуры с неоднородным заполнением является векторной и несамосопряжепной. В таких структурах могут существовать «комплексные» волны (или, точнее, комплексно-сопряженные волны), отвечающие точкам спектра, не лежащим на вещее гвен-ной или мнимой осях в комплексной плоскости. Этот эффект был обнаружен и исследован в работах [3], [57]. Существование кратных точек спектра и их классификация обсуждались в [22], [37].

Существенный вклад в математическую теорию распространения электромагнитных волн в сложных волповедущих структурах был сделан А. С. Ильинским и 10. В. Шестопаловым [29], [30], [31], [66], [67], [68]. Ими было предложено сводить задачу об электромагнитных волнах волноведущей структуры к исследованию некоторой мероморфной оператор-функции, сложным образом зависящей от спектрального параметра. Оператор-функция является матричным интегральным сингулярным оператором или оператором с логарифмической особенностью ядра и рассматривается в пространствах Гельдсра с весом. Задача сводится к однородным одномерным интегральным уравнениям по линиям разрыва коэффициента диэлектрической проницаемости. В разработке этого подхода принимали участие также Е. В. Черпокожин [28] и Ю.Г. Смирнов [24], [25], [26], [27].

Основным методом исследования свойств спектра оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра, является примснеиие известной теоремы о дискретности спектра фредгольмовой голоморфной оператор-функции. изложенной, например, в фундаментальной монографии И.Ц. Гохбер-га и М.Г. Крейна [9]. Основываясь на фредгольмовости оператор-функции, на этом пути была доказана дискретность спектра задачи для широкого класса волноведущих структур с неоднородным заполнением. Для щелевых структур с малыми размерами щели методом малого параметра с помощью операторного обобщения теоремы Руше Ю. В. Шестопаловым [31] была установлена непустота спектра задачи. Позднее А. С. Ильинским, ЬО. В. Шестопаловым, Ю.Г. Смирновым, Е. В. Чернокожиным, Р.З. Даутовым, Е.М. Карчевским были получены результаты о дискретности спектра и о распределении точек спектра на комплексной плоскости для различных волноведущих структур [25]. [28], [30], [31]. Другой метод операторных пучков разрабатывался для анализа свойств спектра волноведущих структур в работах [34]. В настоящей диссертации также применяется теорема о дискретности спектра фредгольмовой голоморфной оператор-функции для исследования свойств спектра задачи.

Рассматриваемая в диссертации задача имеет непосредственное отношение к проблеме П. Вернера, сформулированной им в 1996 году в Штуттгарте. П. Вериером, в частности, было доказано [82-83], что при внесении сколь угодно малой сферы в слой, свойства спектра задачи резко изменяются («исчезают» так называемые «стоячие» волны). Он выдвинул гипотезу, что сколь угодно малое отверстие в рассматриваемой в диссертации задаче также резко изменяет спектр задачи (по сравнению с аналогичной задачей в слоях без отверс тия). Для исследования проблемы П. Вернера необходимо исследовать предельный переход точек спектра при стремлении диаметра отверстия к нулю. Эта проблема до сих пор, по-видимому, не решена и в диссертации не рассматривается.

Данная работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы и приложения.

В первом параграфе первой главы рассматривается квазиклассическая постановка векторной краевой задачи дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие. Слои могут иметь различные электродинамические параметры. Во втором параграфе осуществляется сведение векторной задачи для системы уравнений Максвелла к двум скалярным задачам для уравнения Гельмгольца.

Вторая глава посвящена задаче на собственные значения относительно спектрального параметра со для системы уравнений Максвелла в слоях, связанных через отверстие. В первом параграфе приводится постановка однородной задачи для системы уравнений Максвелла. Используются условия Свсшни-кова-Вернера на бесконечности. Доказывается теорема единственности для случая, когда одна из сред имеет поглощение. Поскольку в работе будет применяться метод функций Грина для сведения краевой задачи к псевдодифференциальному уравнению па отверстии в специальных пространствах Соболева, во втором и третьем параграфах изучаются свойства функций Грина слоя для уравнения Гельмгольца с краевыми условиями 1-го и 2-го рада. В четвертом параграфе даются определения голоморфности оператор-функций, вводятся пространства Соболева. Устанавливается голоморфность и фредгольмовость оператор-функции задачи и доказывается дискретность спектра в случае сред без поглощения.

В третьей главе рассматриваются две краевые задачи дифракции на отверстии для уравнения Гельмгольца с различными краевыми условиями. В первом параграфе осуществляется сведение задач дифракции к интегральным уравнениям. Во втором параграфе доказываются теоремы о разрешимости этих уравнений в пространствах Соболева. В третьем параграфе осуществляется представление решений краевых задач через потенциалы. Изучаются их свойства. Доказывается теорема эквивалентности.

В четвертой главе описывается, исследуется и применяется численный алгоритм решения интегрального уравнения. В первом параграфе осуществляется выбор конечномерных подпространств и построение проекционного метода Галеркина в выбранных подпространствах. Во втором параграфе проводится доказательство сходимости метода Галеркина, используя эллиптичность уравнения. В третьем параграфе рассматриваются вопросы численной реализации метода Галеркина. В частности, применяется специальный метод вычисления интегралов со слабой особенностью, позволяющий свести вычисление таких интегралов к вычислению интегралов без особенности. Четвертый параграф содержит результаты численных расчетов для отверстия прямоугольной формы.

Данная работа содержит следующие основные результаты.

1. Векторная краевая задача для системы уравнений Максвелла о дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие, сведена к двум скалярным задачам для уравнения Гельмгольца.

2. Доказана теорема единственности для случая, когда одна из сред имеет поглощение.

3. Устанавлена голоморфность и фредгольмовость оператор-функции задачи и доказана дискретность спектра задачи в случае сред без поглощения.

4. Краевые задачи дифракции для уравнений Гельмгольца сведены к иптег-родифференциальным (псевдодифференциальным) уравнениям. Доказаны теоремы о разрешимости этих уравнений в пространствах Соболева. Доказаны теоремы эквивалентности краевых задач интегральным уравнениям.

5. Применен, обоснован и реализован численный метод Галеркина для решения слабосингулярного интегрального уравнения в прямоугольнике. Представлены результаты численных расчетов.

По материалам диссертации опубликовано 10 работ [1], [41], [42], [47], [48], [49], [50], [51], [52]. [58], одна из которых [52] в журнале из списка журналов ВАК РФ. Результаты диссертации докладывались на международных и всероссийских конференциях и симпозиумах [1], [41], [47], [48], [49], [50], [51], а также на научных семинарах кафедры «Прикладная математика» Казанского государственного университета и кафедры «Математики и суперкомпьютерного моделирования» Пензенского государственного университета.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Родионова, Ирина Анатольевна, 2009 год

1. Бабич В.М., Булдарев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972.

2. Белянцев A.M., Гапонов A.B. О волнах с комплексными постоянными распространения в связных линиях передачи без диссипации. Радиотехника и электроника, 1964, 9, №7, 1188-1197.

3. Вайшптейн JI.A. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988.

4. Васильев E.H. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987.6J Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

5. Вычислительные методы в электродинамике. /Под ред. Р. Митгры. М.: Мир, 1977.

6. Гвоздев В.И., Хитров С.С. Линии передачи для интегральных схем СВЧ. Зарубежная радиоэлектроника, 1982, №5, 86-107.

7. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.

8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1965.

9. Гринберг Г.А. Метод решения задач дифракции электромагнитных воли на идеально проводящих экранах, основанный на изучении наводимых на экранах теневых токов. I и II //Журнал Теор. Физика, сер.Б, т.28, 1958, вып.З, с.542-568.

10. Даутов Р.З., Карчевский Е.М. Существование и свойства решений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2000, 40, №8, 1250-1263.

11. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1985.

12. Егоров Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. М.: Наука, 1984.

13. Егоров Ю.В. Лекции по уравнениям с частными производными. Дополнительные главы. М., Изд-во МГУ, 1985.

14. Егоров Ю.В. Частично заполненные прямоугольные волноводы. М. , Сов. радио, 1967.

15. Егоров Ю.В., Шубин М.А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Элементы современной теории. В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.31. Итоги науки и техники, ВИНИТИ. М., 1988. С.5-125.

16. Заргапо Г.Ф., Лерер А.М., Ляпин В.П., Синявский Г.П. Линии передачи сложных сечений. Ростов н/Д., Изд-во Ростовского ун-та, 1983.

17. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982.

18. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных в физике, М.: Иностр. литература, 1950.

19. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

20. Ильинский A.C., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М., Изд-во МГУ, 1983.

21. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. М.: ИПРЖ «Радиотехника», 1998.

22. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Исследование математических моделей микрополосковых линий. В кн.: Методы математического моделирования, автоматизация обработки наблюдений и их применения. М.: Изд-во МГУ, 1986, с.175-198.

23. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Математическое моделирование процесса распространения электромагнитных колебаний в щелевой линии передачи. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1987, 27, №2, 252-261.

24. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Численное моделирование щелевых линий передачи. В кн.: Актуальные вопросы прикладной хматематики. М.: Изд-во МГУ, 1989, с. 127-138.

25. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Численное моделирование щелевых линий передачи, образованных волноводами различного поперечного сечения. Радиотехника и электроника, 1989, 34, №5, 908-916.

26. Ильинский A.C., Шестопалов Ю.В. Математические модели для задачи распространения волн в микрополосковых устройствах. Вычисл. методы и программирование. М., Изд-во МГУ, 1980, Вып. 32, 85-103.

27. Ильинский A.C., Шестопалов Ю.В. О спектре нормальных волн щелевой линии передачи. Радиотехника и электроника, 1981, 26, №10, 2064-2073.

28. Ильинский A.C., Шестопалов Ю.В. Применение методов спектральной теории в задачах распросгранения волн. М., Изд-во МГУ, 1989.

29. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

30. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

31. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. ДАН СССР, 1951, 77, №1, 11-14.

32. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

33. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками. Труды ММО, т. 16, 1967, с.209-292.

34. Краснушкин П.Е., Федоров E.H. О кратности волновых чисел нормальных воли в слоистых средах. Радиотехника и электроника, 1972, 17, №6, с.1129.

35. Купрадзе В.Д. Основные задачи математической теории дифракции. М.: Гостехиздат, 1935.

36. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебания и интегральные уравнения. М.: Гостехиздат, 1951.

37. Левин Л. Теория волноводов. Методы решения волповодных задач. М., Радио и связь, 1981.

38. Медведик М.Ю., Родионова И.А., Смирнов Ю.Г. Численный метод решения псевдодифференциального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие. Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки, 2009, №1.

39. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., Наука, 1983.

40. Мищенко A.C. Векторные расслоения и их применения. М.: Наука, 1984.

41. Пламеневский Б.А. Алгебра псевдодифференциальных операторов. М.: Наука, 1986.

42. Свешников А.Г. Принцип излучения. Доклады АН СССР. 1950, 73, №5, 917-920.

43. Смирнов Ю.Г. О распространении электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой. Радиотехника и электроника, 2005, 50, №2, 196-202.

44. Сологуб В.Г. Коротковолновая асимптотика решения задачи дифракции на круглом диске. //Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1972, т.12, №2, с.388-412.

45. Сологуб В.Г. О решении одного интегрального уравнения типа свертки с конечными пределами интегрирования. //Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1970, т. 11, №4, с.637-654.

46. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

47. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Сов. радио, 1962.

48. Фельд Я.Н. Основы теории щелевых антенн. М.: Сов. радио, 1948.

49. Фельд Я.Н. Дифракция электромагнитных волн на незамкнутых металлических поверхностях. //Радиотехника и электроника, 1975, т.20, №1, с. 2838.

50. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964.

51. Шестопалов В.П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. Киев, Наукова Думка, 1983.

52. Шестопалов Ю.В. Собственные волны открытых и экранированных щелевых линий, образованных областями произвольного поперечного сечения. Докл. АН СССР, 1986, 289, №4, 840-845.

53. Шестопалов Ю.В. Существование дискретного спектра нормальных волн микрополосковых линий передачи со слоистым диэлектрическим заполнением. ДАН СССР, 1983, 273, №3, 594-594.

54. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978.

55. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973.

56. Angell T.S., Hsiao G.C., Krai J. Double Layer Potentials on Boundaries with Corners and Edges. //Comment. Math. Unit. Carol. 1986, vol.27, p.419.

57. Computational Electromagnetics: Frequency-Domain Method of Moments. Ed. By E.K. Miller, L. Medgyesi-Mitschand, E.H. Newman. //IEEE Press, New York, 1992.

58. Costabel M. Boundary Integral Operators on Curved Polygons. //Ann. Mat. Рига Appl., 1983, vol.133, p.305-326.

59. Costabel M. Boundary Integral Operators on Lipschitz Domains: Elementary Results. //SIAM J. Math. Anal., vol.19, № 3, May 1988. p. 613-626.

60. Harrington R.F. Field Computation by Moment Methods. Macmillian Co., New York, 1968.

61. Ilyinsky A.S., Smirnov Yu.G. Electromagnetic Wave Diffraction by Conducting Screens. VSP, Utrecht, the Netherlands, 1998.

62. Kohn J.J., Nirenberg L. An Algebra of Pseudodifferential Operators. //Commun. Pure and Appl. Math., 1965, v. 18, № 1-2, p. 269-305.

63. Маис A.W. Toward Formulator of a General Diffraction Problem via an Integral Equation. //Zeitschrift fur Physik, vol. 126, 1949, p. 601-618.

64. Miller E.K., Poggio A.J. Moment-Method Techniques in Electromagnetics from an Applications Viewpoint. //Electromagnetic Scattering. Edited by P.L.E. Uslenghi New York, Academic Press, 1978, p. 315-358.

65. Mittra R., ed. Numerical and Asymptotic Techniques in Electromagnetics. New York: Springer Verlag, 1975.

66. Moor J., Pizer R. Moment Methods in Electromagnetics: Techniques and Applications. New York: John Wiley & Sons, 1984.

67. Morgenrother K., Werner P. On the Instability of Resonances in Parallelplane Waveguides. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 1989, Vol. 11, 279-315.

68. Morgenrother K., Werner P. On the Principles of Limiting Absorption and Limit Amplitude for a Class of Locally Perturbed Waveguides. Part 2. Time-depended Theory. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 1989, Vol. 11, 1-25.

69. Muller CI. Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetics Waves, Springer-Verlag, New York, 1969.

70. Paivarinta L., Rempel S. A decovolution problem with Kernel l/|x| on the plane. //Appl. Anal. 1987. vol.26, p.105-128.110

71. Paivarinta L., Rempel S. Corner singularities of solutions to A m = / in two dimentions. //Asymptotic Analysis, 5, 1992, p. 429-460.

72. Ramm F.G. Scattering by Obstacles. //Dordrecht. D. Reidel Publ. Comp., 1986.

73. Rao S.M., Wilton D.R., Glisson A.W. Electromagnctic Scattering by Surface of Arbitrary Shape. //IEEE Trans. Antennas Propagation, vol. Ap-30, №3, 1982, p. 409-418.

74. Stephan E.P. Boundary Integral Equations for Screen Problem in R . //Integral Equation and Operator Theory. 1987. vol.10, p.236-257.

75. Stephan E., Wendland W.L. An Augmented Galerkin Procedure for the Boundary Integral Method Applied to Two-dimensional Screen and Crack Problems. //Applicable Analysis. 1984. vol.18, p.105-128.

76. Wang J.H.H. Generalized Moment Methods in Electromagnetics. //New York: John Wiley & Sons, 1991.