Спектральные свойства задачи Геллерстедта и связанных с нею двух задач для вырождающегося уравнения смешанного типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Фаршбаф Могими Мохаммад Багер

• Фаршбаф Могими Мохаммад Багер
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фаршбаф Могими Мохаммад Багер

Введение

1 Собственные функции задачи Трикоми

1.1 Постановка задачи.

1.2 Общее решение уравнения Трикоми.

1.3 Сшивание решения.

1.4 Граничное условие задачи Трикоми.

1.5 Полнота системы функций Лежандра в 1<2(0,

1.6 Доказательство полноты системы собственных функций задачи Трикоми в L 2{D+).

2 Собственные функции задачи Неймана-Трикоми.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Общее решение задачи Неймана-Трикоми.

2.3 Граничное условие задачи Неймана-Трикоми.

2.4 Доказательство полноты системы собственных функций задачи Неймана-Трикоми.

2.5 Доказательство полноты системы функций Лежандра.

3 Собственные функции задачи Геллерстедта.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Собственные функции задачи Геллерстедта.

3.3 Полнота собственных функций задачи Геллерстедта.

3.4 Уравнение Лаврентьева-Бицадзе.

3.4.1 Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

3.4.2 Задача Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

Выводы Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральные свойства задачи Геллерстедта и связанных с нею двух задач для вырождающегося уравнения смешанного типа»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Первым исследователем в этой области был Ф. Трикоми. Результаты его работы были развиты в работах С. Геллерстедта. Они изучали краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа, известные теперь в литературе как "задача Трикоми"и "задача Геллерстедта".

В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф. И. Франкль, А. В. Бицад-зе, К. И. Бабенко, S. Agmon, L. Nirenberg, М. М. Protter, С. S. Morawetz, P. Germain, R. Bader, Р. О. Lax, R. P. Phillips, M. Schneider, Б. А. Бубнов, В. Ф. Волкодавов, В. Н. Врагов, Т. Д. Джураев, В. Н. Диденко, В. А. Елеев, В. И. Жегалов, А. Н. Зарубин, Т. Ш. Кальменов, Г. Д. Каратопраклиев, И. JI. Кароль, А. И. Кожанов, Ю. М, Крикунов, А. Г. Кузьмин, О. А. Ладыженская, Е. И. Моисеев, А. М. Нахушев,

С. М. Пономарев, С. П. Пулькин, О. А. Репин, К. Б. Сабитов, М. С. Салахитдинов, М. М. Смирнов, А. П. Солдатов, Р. С. Хайруллин, Хе Кан Чер, JI. И. Чибрикова, и др. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Спектральные свойства задач для уравнения смешного типа активно изучались начиная с 80 годов. С. М. Пономарев выписал собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и доказал их полноту в эллиптической части области, являющейся круговым сектором. Е. И. Моисеев доказал базисность этой системы в эллиптической части области и используя свойство базисности построил спектральный метод решения краевых задач для уравнения смешанного типа. Я. Н. Мамедов распространил результаты о полноте собственных функций для вырождающихся уравнений смешанного типа, в частности, для уравнения Трикоми, но в случае, когда эллиптическая часть области - это половина круга в соответствующей геометрии. Полнота собственных функций задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе была доказана К. Б. Сабитовым и А. Н. Кучкаровой [12]. Там же были выписаны собственные функции задачи Геллерстедта и в случае вырождающегося уравнения смешанного типа.

В этой работе изучена полнота собственных функций для вырождающихся уравнений смешанного типа в случае когда эллиптическая часть области D+ - четверть круга в соответствующей геометрии. Ранее были результаты только для случая полукруга.

Цель работы. Целью работы является исследование полноты систем собственных функций задач Трикоми и Неймана-Трикоми для вырождающегося уравнения смешанного типа, а также задачи Геллерстедта.

Методы исследования. Собственные функции задачи выписываются с помощью метода разделения переменных с использованием функций Бесселя и Лежандра. Полнота системы функций Лежандра исследуется с помощью решения специального интегрального уравнения. При этом используется принцип сжимающих отображений и теория пространств суммируемых с некоторой весовой степенной функцией в Lp. Применяется формула Мелера-Дирихле для представления функции Лежандра. Кроме того, используются полнота специальных неортогональных систем косинусов.

Научная новизна. В первые главе доказана полнота собственных функций задачи Трикоми для вырождающегося уравнения смешанного типа в эллиптической части области, являющейся четвертью круга в соответствующей геометрии. Ранее такие результаты были известны для половины круга. Доказана полнота собственных функций задачи Неймана-Трикоми для вырождающегося уравнения смешанного типа в эллиптической части области являющейся четвертью круга в соответствующей геометрии. Ранее аналогичные результаты были известны для половины круга. Доказана полнота собственных функций задачи Геллерстедта для вырождающегося уравнения смешанного типа. Ранее такие результаты были известны для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные результаты и предложенные методы исследования представляют теоретический интерес и могут быть использованы в спектральной теории краевых задач для уравнений смешанного типа и при решении прикладных задач методом спектрального анализа.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК, МГУ (научные руководители - академик Е. И. Моисеев, профессор И. С. Ломов ), а также докладывались на международной конференции в Калининграде в апреле 2005г, посвященной 200 летию К. Г. Якоби.

Публикации. Основные результаты работы подготовлены и оформлены в трёх статьях и направлены в печать.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, трёх глав и списка литературы. В введении указана актуальность задачи и краткая история основных результатов по уравнениям смешанного типа и основные результаты диссертации. Объём диссертации составляет 84 страницы.

Основное содержание работы

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Фаршбаф Могими Мохаммад Багер

Выводы

В работе получены следующие результаты

1. Найдены в аналитической форме через спецфункции общие решения вырождающегося эллиптико-гиперболического уравнения со спектральном параметром.

2. Выписаны собственные функции с помощью функций Лежандра и Бесселя и собственные значения задачи Трикоми, Неймана-Трикоми и Геллерстедта.

3. Доказана полнота в эллиптической части области системы собственных функций задачи Трикоми, Неймана-Трикоми и Геллерстедта.

4. Доказана полнота в весовом пространстве двух систем функций одна из которых выражена через сумму функций Лежандра, а другая через разность функций Лежандра.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фаршбаф Могими Мохаммад Багер, 2005 год

1. Моисеев Е. И.// Дифференц. уравнения. 1991-Т.27.№ 1. с. 94-103

2. Моисеев Е. И.//Дифференц. уравнения. 1991-Т.27. № 7. с. 1229-1237

3. Моисеев Е. И.//Дифференц. уравнения. 1984-Т.275. № 4. с. 795-798

4. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М., 1965.Т.1.

5. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М., 1974.Т.2.

6. Ватсон Г. Н. Теория Бессолевых функций. Т.1-М.:ИЛ,1949,-603.

7. Моисеев Е. И.//Дифференц. уравнения. 1989-Т.25. № 1

8. Ионкин Н. И., Моисеев Т. Е. //ДАН. 2005-Т.400, № 5, с. 592-595

9. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. 2004

10. Бипадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных.-М.:Наука ,1981- 448 с.

11. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром.- М. Изд-во.МГУ, 1988 г. ,150с.

12. Кучкарова А.Н. Экстремальные и спектральные свойства решений задач Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения:Дис. . к-та Физ.-мат. наук. Казань-2002.

13. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа:Дис. . д-ра физ.-мат. наук. -М. ,1952

14. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа.-М.Изд-во АН СССР. 1959

15. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.- ч.1-М.Наука, 1982.

16. Лаврентьев М.А., Шабат М.В. Методы теории функции комплексного переменного М., 1958.

17. Моисеев Т.Е. //Дифференц. уравнения. 2003-Т.39 № 11.

18. Пономораве С.М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения Лавренътъева-Бицадзе:Дис. . д-ра физ.-мат.наук.- М.1981

19. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа.- М.:Наука, 1970.-304

20. Зарубин А.Н. Исследование начально-краевых задач для уравнений смешанного типа с запаздывающим аргументом. Докторская диссертация, 1996 г., 234 с.

21. Кальменов Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференту Уравнения. -1977.-т.13,Т 8, с.1718- 1725

22. Мамедов Я.Н. О полноте корневых функций некоторых краевых задач. Дифференд. уравнения. 1989 Т.25, с. 167169.

23. Лаврентьев М.А. , Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа. Докл. АН СССР, 1950, 70, 3. 373-376.

24. Сабитов К. Б.,Кучкарова А.Н. Спектральные свойства решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения// Сиб. мат. ж. -2001.-Т. 42 5.-С.1147-1161

25. Е. И. Моисеев, М. Могими// Полнота собственных функций задачи Трикоми в случае, когда эллиптическая часть области четверть круга (в печати).

26. Е. И. Моисеев, М. Могими// Полнота собственных функций задачи Неймана Трикоми в случае, когда эллиптическая часть области четверть круга (в печати).

27. М. Могими// Полнота собственных функций задачи Геллерстедта для вырождающегося уравнения смещенного типа (в печати).