Исследование решений неклассических краевых задач для уравнений смешанного типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Лихоманенко, Татьяна Николаевна

• Лихоманенко, Татьяна Николаевна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Лихоманенко, Татьяна Николаевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Двухсерийные тригонометрические системы, возникающие в уравнениях смешанного типа

1.1. Постановка задачи

1.2. Свойство базисности Рисса в пространстве Ь2

1.3. Вспомогательные утверждения

1.4. Явный вид биортогональной системы

1.5. Интегральное представление решения задачи Франкля в специальной области

1.5.1. Постановка задачи Франкля в специальной области

1.5.2. Интегральное представление решения задачи Франкля в специальной области

Глава 2. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром и наклонной линией изменения типа

2.1. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром и наклонной линией изменения типа

2.1.1. Постановка задачи

2.1.2. Интегральное условие связи на линии изменения типа

2.1.3. Собственные функции и свойство базисности в эллиптической области

2.1.4. Условие сопряжения градиентов

2.2. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром в случае симметричных наклонных линий изменения типа

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Собственные функции и свойство базисности в эллиптической области

2.3. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром в случае несимметричных наклонных линий изменения типа

2.3.1. Постановка задачи

2.3.2. Собственные функции и их базисность

Глава 3. Одна нелокальная краевая задача для уравнения Лаврентьева-

Бицадзе

3.1. Нелокальная краевая задача в двумерной области

3.1.1. Постановка задачи

3.1.2. Однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи в двумерной области

3.2. Нелокальная краевая задача в трехмерной области

3.2.1. Постановка задачи

3.2.2. Однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи в трехмерной области

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование решений неклассических краевых задач для уравнений смешанного типа»

Введение

Актуальность темы. Многие математические задачи, описывающие физические процессы, сводятся к решению задач для дифференциальных уравнений в частных производных, которые не принадлежат известным классам эллиптических, гиперболических или параболических уравнений. По всей видимости, первые результаты, касающиеся подобных уравнений, появились в работах С.А. Чаплыгина [114] при исследовании газовых струй. Поскольку в одной части области уравнения являются эллиптическими, в другой — гиперболическими, они получили название уравнений смешанного типа. В 20-30-е годы XX века Ф. Трикоми [108] и С. Геллерстедт [6] положили начало исследованиям краевых задач для уравнений смешанного типа: ими изучались краевые задачи для уравнений следующего вида (где т > 0)

уиХХ + Uуу °

sgnу \у\тихх + Uyy = 0.

Позже М.А. Лаврентьев и А.В. Бицадзе предложили рассматривать модельное уравнение смешанного типа

ихх + sgn у Uyy = 0,

для которого многие результаты удается получить в аналитическом виде.

Необходимость развития теории для уравнений смешанного типа возникла в середине 40-х годов XX века в связи с работой Ф.И. Франкля, в которой были указаны возможные приложения уравнений смешанного типа к околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамике [111, 112]. В 1945 г. Ф.И. Франкль обнаружил приложение задачи Трикоми в теории сопел Лаваля, а затем и в других разделах трансзвуковой газовой динамики. Помимо этого И.Н. Ве-куа нашел приложения при исследовании теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек [53], когда кривизна оболочки меняет знак. Позже оказалось, что краевые задачи для уравнений смешанного типа применимы в различных областях естественных наук: в задачах физики лазеров [4], при моделировании плазмы [3, 65], в математической биологии [86].

Начало современной теории уравнений смешанного типа представлено в работах М.А. Лаврентьева [66] и А.В. Бицадзе [50], Ф.И. Франкля [110], И.А. Векуа, K.G. Guderley [8], К.И. Ба-бенко [40], Л.В. Овсянникова [88], P. Germain и R. Bader [7]. В дальнейшем уравнениями смешанного типа занимались M. Protter [28], C. Morawetz [23], А.М. Нахушев [85], М.М. Смирнов [103], Г.Д. Каратопраклиев [62]. Исследования по уравнениям смешанного типа стали

проводиться по нескольким направлениям, среди которых спектральная теория, уравнения смешанного типа с негладкими линиями изменения типа, поиск корректных краевых задач.

Спектральная теория для уравнений смешанного типа, в частности, требует привлечения методов теории несамосопряженных операторов, развитой Д. Биркгофом, Т. Карлема-ном, М.В. Келдышем, В.А. Ильиным. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа — несамосопряженная задача, и поэтому спектр не обязан лежать на вещественной оси. Первые результаты по спектральной теории получены при исследовании задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в работах Т.Ш. Кальменова [61], доказавшего существование хотя бы одного положительного собственного значения и соответствующей ему неотрицательной собственной функции, Е.И. Моисеева [75, 78], установившего сектора комплексной плоскости, в которых нет собственных значений, С.М. Пономарева [92], нашедшего специальные области для задачи Трикоми, в которых удается выписать собственные значения и собственные функции в явном виде, доказать их полноту в эллиптической области. Спектральные задачи для нелокальных краевых задач уравнений смешанного типа, для которых, в частности, найдены сектора комплексной плоскости, где спектр не существует, исследовались в работах М.С. Салахитдинова и А.К. Уринова [100]. Последние результаты по спектральной теории представлены в статьях М.С. Салахитдинова, Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова, Т.Ш. Кальменова и их учеников [73, 22, 39, 20, 94, 95, 96, 55, 47], а также в работах [1, 34]. Указанные результаты касаются различных модификаций постановок краевых задач: ставятся нелокальные краевые условия, специальные условия склейки на линии изменения типа, рассматриваются негладкие линии вырождения. Помимо этого D. Lupo, D.D. Monticelli и K.R. Payne исследовали [17] спектральные вопросы для класса линейных дифференциальных операторов эллиптико-гиперболического типа для задачи Дирихле в весовых пространствах Соболева и доказали, что собственные функции образуют базис в соответствующем функциональном пространстве, а в статье [16] для линейной задачи Трикоми в специальной области продемонстрировали, что вещественные собственные значения, соответствующие обобщенным собственным функциям, положительны, и получили нижние оценки на спектр.

В приведенных примерах отдельной задачей при изучении уравнений смешанного типа является исследование систем функций, с помощью которых решения выписываются в виде рядов: наличие свойства базисности в пространствах Lp, р > 1, изучение биортогональных систем, при помощи которых может быть получено интегральное представление решений, оценка поведения коэффициентов разложения. Вопросы базисности различных систем функций подробно рассматриваются в теории приближений. Так C.H. Muntz [25] получил расширение известной теоремы Вейерштрасса об аппроксимации полиномами на системы степеней

с произвольными показателями, а O. Szász рассмотрел системы степеней с комплексными показателями и нашел критерий полноты системы в пространстве L2(0,1). После работ R. Páley и N. Wiener [27], Б.Я. Левина [69] возрос интерес к исследованию систем экспонент и тригонометрических функций вида

{.A(t)emt; В(t)e-ikt}n>o,k>i

{cos (nt + 7(t)); sin (nt + j(t))}n>0.

Проблемами полноты и базисности систем функций, возникающих при решении задач математической физики, занимались А.М. Седлецкий [102] и Е.И. Моисеев [77]. Совместный обзор результатов этой области можно найти в [82]. Последние результаты представлены в статьях [73, 22, 39, 90], где различные тригонометрические системы функций исследованы на полноту, минимальность и базисность в пространствах Лебега. В ряде работ Б.Т. Билало-ва [44, 45, 46] исследованы системы экспонент и тригонометрических функций в пространствах Лебега. Исследованием собственных и присоединенных функций несамосопряженных операторов занимаются А.С. Макин [70], Шкаликов [99], R. Mennicken и M. Möller [21].

Как упоминалось выше, ряд исследований по уравнениям смешанного типа касается случаев негладких линий изменения типа и уравнений с несколькими линиями вырождения [58, 84, 41, 54, 29, 32]. Обзор такого рода задач и литературы приведен в [65]. Последние результаты в этом направлении получены в работах М.М. Смирнова [104], А.А. Полосина [89], А.Н. Зарубина [68, 37], Н.О. Таранова [107], J.M. Rassias [31], G.C. Wen [35, 36], О.А. Репина [93], B.J. Kádirkulov [14]: для уравнений смешанного типа (Лаврентьева-Бицад-зе, Трикоми, с запаздывающим аргументом, с дробной производной и др.) с различными линиями вырождения (перпендикулярными, параллельными, негладкими) доказаны теоремы существования и единственности решений задачи Трикоми и нелокальных краевых задач.

Другим важным направлением исследования уравнений смешанного типа являются постановка корректных краевых задач, в том числе и в многомерных областях, изучение существования и единственности решений для многомерных областей и исследование их устойчивости. Классические краевые задачи, такие как задачи Дирихле и Неймана, корректность которых для эллиптических уравнений хорошо известна, могут быть некорректно поставленными для уравнений смешанного типа. Впервые это показал А.В. Бицадзе для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в работе [48]. После этой работы встал вопрос о поиске областей и краевых условий, заданных на всей границе области, для которых задача Дирихле является корректно поставленной. В дальнейшем задача Дирихле для уравнений смешанного типа рассматривалась в работах [5, 23, 105, 97, 52] и был получен ряд результатов с ограничением

на вид области или требованием дополнительных условий на функции, заданные на границе области. Например, в работе А.П. Солдатова [105] показано, что существует и единственно решение задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области, ограниченной дугами окружности и гиперболы. Обширный обзор работ по этой теме представлен в монографии М.М. Хачева [113]. В связи с приложениями к газовой динамике актуален вопрос о постановке корректных задач не только в двумерной, но и в многомерных (п > 3) областях. А.В. Бицадзе и А.М. Нахушев для простого модельного уравнения смешанного типа с тремя и больше независимыми переменными сформулировали [49] нелокальные краевые задачи и доказали существование и единственность регулярных решений. Г. Каратопрак-лиев рассмотрел [62] постановки краевых задач для многомерных уравнений и исследовал существование и единственность сильных и слабых решений. В работе [85] А.М. Нахушева был получен критерий единственности для задачи Дирихле в многомерной цилиндрической области. A.K. Aziz и M. Schneider нашли [2] достаточные условия, чтобы решение краевой задачи Франкля-Моравец было единственным в трехмерной области.

В последнее время были рассмотрены постановки задач с нелокальными краевыми условиями для уравнений смешанного типа, например, с нелокальным интегральным условием (см. [57, 98, 101]) в двумерных областях, или с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения (см. [106, 56]). В статьях D. Lupo, D.D. Monticelli и K.R. Payne [18, 19] изучается корректность задачи Дирихле при отыскании решений в слабом смысле. В работе [9] показывается существование нетривиального решения однородной задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в круге. Результаты, касающиеся задачи Дирихле для эллиптико-гиперболических уравнений типа Келдыша представлены в монографии T.H. Otway [26], в которой также описаны приложения уравнений смешанного типа к физике холодной плазмы и оптике. Для неоднородного уравнения Трикоми в прямоугольнике демонстрируется [13] некорректность постановки задачи Дирихле. В работе [87] исследованы решения аналогов задач Трикоми, Франкля и Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в трехмерных областях и показаны существование и единственность классических решений.

В середине XX столетия M.H. Protter [28] ввел в рассмотрение краевые задачи, являющиеся многомерными аналогами классических задач на плоскости для уравнений смешанного типа. Введенные многомерные аналоги являются некорректно поставленными в отличие от корректных двумерных задач. До сих пор нет фундаментальных результатов по вопросу существования решений введенных аналогов краевых задач в многомерных областях. Известно, что задача Проттера для уравнений смешанного типа не только некорректна, но и

при гладкой правой части уравнения имеет сингулярные обобщенные решения. В настоящее время исследования в этом направлении ведутся J.M. Rassias [30], N. Popivanov, M. Schneider и их учениками. Например, для уравнений типа Келдыша ими была показана [10] некорректность задачи, введено определение квазирегулярного решения и найдены достаточные условия единственности таких решений, а в дальнейшем доказаны [11] существование и единственность обобщенного решения в подходящем функциональном пространстве.

Обзор теорем существования и единственности решений для уравнений смешанного типа и приложений к задачам трансзвуковых течений можно найти в работе C.S. Morawetz [24]. Обзор результатов последних десятилетий по краевым задачам для уравнений смешанного типа для трансзвуковых течений, касающийся вычислительных аспектов динамики жидкостей и таких практических задач, как проектирование аэродинамического профиля и управление течением жидкости, приведен в монографии А.Г. Кузьмина [15].

Цель диссертационной работы. В свете перечисленных выше работ и направлений исследований по уравнениям смешанного типа научный интерес представляет исследование решений неклассических краевых задач для уравнений смешанного типа, что и является целью настоящей диссертационной работы. Важно исследовать системы функций, с помощью которых выписываются решения неклассических краевых задач, получить биортогональные системы и интегральные представления решений в аналитическом виде. Интерес представляет исследование спектральной задачи для уравнения смешанного типа с линией вырождения, проходящей под произвольным углом к оси координат. Еще одним важным вопросом диссертационной работы является получение корректно поставленных задач для уравнений смешанного типа в многомерных областях при помощи введения нелокальных условий.

Основные результаты работы.

1. Доказано свойство базисности двухсерийных тригонометрических систем в пространстве L2 (0, 2) ив явном аналитическом виде построена биортогональная к ней система функций. Результаты расширены на случай двухсерийных систем функций с идентичной второй серией и с произвольными функциями в первой серии, на которые наложены ограничения симметричности относительно в = 4 и базисности Рисса в пространстве L2 (0, 4). С помощью аналитического вида биортогональной системы построено интегральное представление решения задачи Франкля в специальной области.

2. Изучены спектральные вопросы задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в случае наклонной линии изменения типа: задачи Трикоми с линией вырождения, проходящей под произвольным углом а Е (—4, 4) к оси х, и задачи Геллерстедта с двумя линиями изме-

нения типа, проходящими под двумя, не обязательно равными, углами а\, а2 € (—4, 4) к оси х (в последнем случае линия вырождения является негладкой). Получены условия на спектральные параметры областей эллиптичности и гиперболичности, при которых собственные функции рассматриваемых задач выписаны в явном виде и показано, что они образуют базис Рисса в эллиптической области. Получено интегральное условие связи типа свертки, приносимое гиперболической областью на границу и связывающее значения функции и ее производных на линии изменения типа.

3. Получена постановка корректной по Адамару краевой задачи для уравнения Лаврен-тьева-Бицадзе. Показано, что задача с нелокальным условием, связывающим значения функции в гиперболической области со значениями на линии изменения типа, является корректно поставленной не только в двумерном, но и в трехмерном пространствах.

Методы исследования. В диссертации используется теория дифференциальных уравнений, функциональный анализ, теория функции комплексного переменного, операционное исчисление, теория сингулярных интегральных операторов, теория специальных функций, теория интегральных уравнений Вольтерры.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность работы. Впервые получены биортогональные системы в аналитическом виде для рассматриваемых двухсерийных систем функций. Явный вид биортогональных систем может использоваться при построении решений уравнений смешанного типа в интегральном виде и при доказательстве равномерной сходимости рядов Фурье в спектральном методе решения краевых задач. Для уравнений смешанного типа с линиями вырождения, проходящими под углом к оси координат, найдены условия, при которых собственные функции выписываются в явном виде. Получено интегральное условие связи в виде свертки на линии изменения типа, что позволяет сводить неклассические краевые задачи для уравнений смешанного типа с наклонной линией вырождения к задаче для эллиптического уравнения. Впервые рассмотрена корректная по Адамару нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа в трехмерном пространстве с нелокальным условием, связывающим значения функции на границе со значениями функции на линии изменения типа. Полученные результаты диссертации могут быть использованы в практике при математическом моделировании процессов трансзвуковой газовой динамики и в учебных целях при преподавании функционального анализа и дифференциальных уравнений в частных производных.

Апробация работы. Результаты работы были представлены в виде докладов на конференциях:

1. международная молодежная конференция «Ломоносов», Московский государственный университет М.В. Ломоносова, Москва, 2012 г. и 2013 г.;

2. международная конференция Applications of Mathematics in Engineering and Economics (AMEE), Созополь, Болгария, 2012 г. и 2013 г.;

3. международная научная конференция «Актуальные проблемы теории уравнений в частных производных», посвященная памяти А.В. Бицадзе, Московский государственный университет М.В. Ломоносова, Москва, 2016 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах. Из них работы [115, 116, 117, 118] опубликованы в российских журналах из перечня ВАК. Работа [119] опубликована в зарубежном журнале, включенном в Web of Science и/или Scopus. Личный вклад автора, отражающий основные результаты, выносимые на защиту, состоит в их самостоятельном получении. Участие научного руководителя Е.И. Моисеева ограничивается постановкой задач, составлением планов исследований, проверкой достоверности полученных результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 111 страниц. Библиография содержит 119 наименований.

Основное содержание работы

В первой главе, результаты которой изложены в работах [116] и [117], исследуется семейство двухсерийных тригонометрических систем следующего вида

оо

{cos 4пв}™=0) jsin 4 ^п + 00 + 1

п= 1

У 2

которое является естественным обобщением двухсерийных тригонометрических систем функций {cos 4и0}^=о, {cos 4(п — А)0}^=1 с параметром A G (-го, то), возникающих при решении задачи Франкля с нелокальным условием четности. Вначале изучается свойство базисности в смысле Рисса системы функций (1) в пространстве L2 (0, 2).

Определение 1. Система функций {/га}^1 образует базис Рисса в гильбертовом пространстве Н, если {fni образуют базис в Н и существуют положительные константы С1 и С2

<х

такие, что для любого с = {сга}^ 1 G 12 ряд cnfn сходится, причем справедливы двусто-

п= 1

ронние оценки

Ci\\c\\l <

^ ^ C-nfn

п=1

< С2||с| 122.

н

Для системы функций (1) были получены следующие утверждения.

Теорема 1. Двухсерийная система функций (1) образует базис Рисса в пространстве L2 (ü, |) для любых 7 Е R, ¡3 Е (—§, |) , удовлетворяющих условию | = — ¡3 + к при всех к Е 2 Z + 1.

Следствие 1. Пусть ¡3 = [30 + 2т при [30 Е {—|, , т Е Z и 7 Е R, удовлетворяющие | = —¡3 + к при всех к Е 2 Z +1. Тогда в пространстве L2 (0, |) двухсерийная система функций (1) при т = 0 образует базис Рисса, при т > 0 минимальна и неполна, при т < 0 не минимальна и полна.

Полученные результаты обобщены на следующий класс двухсерийных систем функций.

Определение 2. Будем говорить, что система функций {gn(@)}^L0 принадлежит классу функций V, если система {gn(0)}c^=0 образует ортогональный базис Рисса в L2 (0, |) и Уп Е N и {0} верно дп(в) = Qn (| — в) .

Следствие 2. Пусть [3 = (30 + 2т при (30 Е (—|, |) , т Е Z и 7 Е R, удовлетворяющие | = —¡3 + к при всех к Е 2 Z + 1. Пусть система {gn(^)}^L0 Е V. Тогда в пространстве L2 (ü, l) двухсерийная система функций {gn(d)}'^¡>=0, {sin [4 (п + |) в + |] при т = 0 образует базис Рисса, при т > 0 минимальна и неполна, при т < 0 не минимальна и полна.

Замечание 1. Пусть выполнено условие - = —¡3 + к при к Е 2 Z + 1 и система функций

о € Тогда двухсерийно,я система функци,й о, {вт [4 (п + |) в + 2] }п= 1

не образует базис в пространстве Ь2 (0, 2).

Рассматривается вопрос построения биортогональной системы к системе функций (1) в явном виде. Из теоремы 1 следует, что функция f (в) € Ь2 (0, 2) единственным образом разложима в пространстве Ь2 (0, 2) в ряд

Г / В \

f (0) = ^2 An cos4nd + Bn sin 4Í n + 2J

n 0 n 1

^«+D«+2

где коэффициенты разложения А,п и Вп однозначно определяются через биортогональную систему {СпШ^о, {Нп(е)}пп= 1

тг/2 тг/2

Ап = J !(р)Сп(р) др, Вп = J /(р)Нп(р) др. оо

Доказана следующая теорема о виде биортогональной системы.

Теорема 2. Биортогональная система функций {Сп(в)}"=0, {Нп(в)}"=1 к двухсерийной системе функций (1) в пространстве Ь2 (0, для любых 7 € К, [3 € (—|, 1), удовлетворяющих - = — ¡3 + к при всех к € 2Z +1, имеет вид

Gn(0) =

2 . , 8tg (f3 +

— cos 4п0 — ir

и2

ж/4

[ í sin2^>\

-Р

sin 20 cos 20

sin 2(0 + <p) sin 2(0 — <p)

cos 4mp dip

1 n = 0

2 ne N

Hn(0) =

cos (f3 +

2

— sin

7Г

(»+2)

4U+2) *

+ -2 (2 sin 20) sin ж¡3

un+l3 sin 40 du

■K2

(1 — u)P (u2 + 1 — 2u cos 40)

Следствие 3. Для функций биортогональной системы справедливы следующие оценки

\Нп(в)\ < ci| cos 2в\ • | sin29\^+l + С2

\Gn(6)\< Ci + С2 ln\в\ +ln

* — 0 2

+ ln

4—<

+ Сз

\в\-а +

* — 0 2

где а = а(Р) Е [0,1) , а с1, с2, С1, С2, С3, — константы, не зависящие от номера п и параметров Р, j.

Также справедливо обобщение.

Следствие 4. Пусть система {дпЕ 'R-. Тогда биортогональная система {Gn(0)}"°, {Нп(9)}"=1 к двухсерийной системе функций {gn(9)}"=°, {sin [4 (п + |) в + 2] }'1 в пространстве L2 (0, 2) для любых [3 Е (— §, 2) , j Е R, удовлетворяющих ^ = —f3 + к при всех к Е 2Z +1, имеет вид

Сп(в) = || дп\\ Нп(0) =

2

4°, í) 2

1 w —

2 ■к

7Г/4

Г f

PJ \sin20j

-13

sin 20 cos 2 0

sin 2(0 + tp) sin 2(0 — ф)

9n(<fi) d<p

cos (f3 +

2

— sin

ж

(»+2)

4U+2)

+ -g (2 sin 20)13 sin ж¡3

un+P sin 40 du

■K2

(1 — u)!3 (u2 + 1 — 2u cos 40)

В заключении главы рассматривается регулярное решение задачи Франкля в специальной области из работы Е.И. Моисеева, удовлетворяющее уравнению Лаврентьева-Бицад-зе ихх + sgnу иуу = 0 в области V, ограниченной отрезком АА' оси ОУ, где А = (0,1), А' = (0, —1), отрезком характеристики А'С = {у = х — 1, 0 < х < 1}, где С = (1, 0), и дугой

х

X

2

X

1

X

—а

X

1

X

Ь единичной окружности с центром в начале координат, проходящей через точки А и С, и следующим краевым условиям

uxIa'a = 0; u(0, y) = u(0, - у), уе [0, 1]; Ml = f(d), ве

0, -. 2 J

Решение задачи было получено в виде ряда по двухсерийной тригонометрической системе функций {cos 4пв}~=0, {sin(4 п — 1), которая является частным случаем системы (1) при 3 = — 1, 7 = 0. С помощью построенной биортогональной системы выписано интегральное представление для решение задачи Франкля в указанной области в предположении, что функция f(6) лежит в классе Гельдера: в эллиптической области (z = гегв)

«(г, = 4 7/Ы^Ф,р) dp + 16 7dP№ v.p. 7(—)1/2 sin2pcos2^d/+

v' ' ж J v ^ ж2 J v J ysin2p/ sin 2(p + /) sin 2(p — /) *

0 0 0

^ ъ/2 ^ъ/2 1 ! !

f ff ^ ( w 4^2 r 1 [q-1 (1 — g)2 sin 4 p (z, q) dq

+ — J /(p)^'p)dp — dp/(p)(2sin2p) 2 J (—2 + i — 2gcos4p) 0 0 0

и гиперболической области

2»(x, v)=4 7f Mi**. „. p) dp+4 'fdp kP) v.p. / (^)1/2 si,22p+'s/2p'°2':'^;) ,»+

ж J ж2 J J \srn2p/ sin2(p + /)sin2(p —/)

0 0 0

Г- Ъ/2 1 11

+ /ДрИ*.^)dp — Щ dp/(p)(2sin2p)-t/"2(1"2"+2«у*d".

ж J ж2 J J (q2 + 1 — 2g cos 4p)

0 0 0

где участвуют следующие функции

, p) = 1-2-'cocs°^+8— 2; y, p) = w(x + ^ p) + w(x — ^ p);

) = 1-3

4<

1 — s4 cos 4 f 1,

-2s4 cos4 s8 — 2 ;

3

s, q) = !—; ufo ^ ^ = v(x + ^ ^ — v(x — y, q);

' ( ", ^ = * —"1—2^1+4'^+? +4); f(x, p) =r(x + y,p) — r(x — y,p).

Во второй главе, результаты которой изложены в работах [118] и [119], изучаются уравнения смешанного типа со спектральным параметром и наклонной линией изменения типа (линия вырождения образует произвольный угол а с осью x). Рассмотрена задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральными параметрами /2 и /2 для эллиптической и гиперболической областей соответственно

uxx(x, у) + uyy(x, у) + /2u(x, у) =0, в эллиптической области V+, uxx(x, у) — uyy(x, у) + /2u(x, у) = 0, в гиперболической области V-,

в области V = V + U V-:

• отрезок АВ = {у = х tg а | х Е (0, cos а)}, где а Е (—\, |) — наклонная линия изменения типа уравнения;

• эллиптическая область D+ ограничена осью у, отрезком АВ и сектором единичной окружности BD = {ж = cos ip,y = sin р | р Е \а, };

• гиперболическая область D~ ограничена отрезком АВ и двумя характеристиками уравнения ихх(х,у) — иуу(х,у) = 0: у = —X (отрезок АС) и у = х — v^cos (а + |) (отрезок ВС).

Введено следующее обозначение для значений решения и(х,у) уравнения (2) в областях эллиптичности и гиперболичности

и+ (•, •) = w(-, •), в эллиптической области D+, и-(•, •) = «(•, •), в гиперболической области D-.

Искомая функция и(х,у) должна удовлетворять однородным краевым условиям

U(X,y)lAD = 0, U(X,y)lAC = 0, U(X,y)lE¡D = 0, условию непрерывности на линии изменения типа АВ

U+(x,y)lA В = U-(x,y)lAB

и условию сопряжения градиентов

1 ди+(г,'р) 1 ди-(р,ф)

г dip

5)

A В

ab р дф

заданному в полярной системе координат (х = г cos ip, у = г sin р) для эллиптической области и гиперболической системе координат (х = р ch ф, у = р sh ф) для гиперболической области. При горизонтальной линии вырождения (а = 0) условие сопряжения градиентов переходит в условие непрерывности градиента. Решение и(х,у) ищется в следующем классе функций

С CD) П С 1(D+ U АВ) n C2(D+) П C2(D- \ (AC U СВ)), (6)

причем допускается особенность порядка ниже единицы в концевых точках А и В линии изменения типа для градиента решения и(х,у): существуют константы с > 0, е > 0 такие, что

с

lVul <-Г-Г. (7)

[((ж — cos а)2 + (у — sin а)2)(х2 + у2)] 2

Определение 3. Функция и(х,у) класса (6)-(7), удовлетворяющая уравнению (2) в области 'D = Т>+ U Т>-, граничным условиям (3) и условиям сопряжения (4)-(5) называется решением задачи Tß,ß, или собственной функцией задачи Трикоми с соответствующими собственными значениями ß2 и Д2 в областях эллиптичности и гиперболичности.

Для построения решения рассматриваемой задачи Tßß найдено интегральное условие связи на наклонной линии изменения типа АВ, которое задается областью гиперболичности. Для этого рассмотрено уравнение (2) в гиперболической области Т>- в новой системе координат (х' = ,у' = ) , в которой линия изменения типа АВ описывается уравнением у' = х' ctg (а + , а функция и(х', у') должна удовлетворять следующему уравнению

их'у'(х',у')+ ¡12и(х',у') = 0, (х',у') eV . (8)

Утверждение 1. Любую функцию и(х',у') класса (6)-(7), являющуюся решением уравнения (8) и удовлетворяющую условию u\ac = 0, можно единственным образом представить в области V- в интегральном виде

хХ

и(х',у') = У V(t)Jo - W - t ctg Р)) dt, (9)

о

где ¡3 = а + 4, J0 — функция Бесселя первого рода, а и(t) — некоторая функция класса С1 (0, sin , причем

W(t)\ < y-,-гт^, с > 0, е > 0.

t(t -

C помощью полученного представления (9) решения и(х',у') задачи Т^^ в гиперболической области Т>- получено интегральное условие связи между функцией и(х,у) и ее частными производными на линии вырождения АВ.

Теорема 3. Решение и(х,у) задачи Т^ удовлетворяет следующему интегральному условию связи на наклонной линии вырождения АВ:

в гиперболической области V- интегральное условие связи имеет вид (th а = tg а)

l р

ир (p, ф) - ри- (p, ф) Р

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лихоманенко, Татьяна Николаевна, 2017 год

Список литературы

1. Aldashev S.A. Existence of eigenfunctions of the Tricomi spectral problem for some classes of multidimensional mixed hyperbolic-parabolic equations // Ukrainian Mathematical Journal. — 2010. — Vol. 62. — №. 6. — P. 835-846.

2. Aziz A.K., Schneider M. Frankl-Morawetz Problem in R3 // SIAM Journal on Mathematical Analysis. — 1979. — Vol. 10. — №. 5. — P. 913-921.

3. Bers L. Mathematical Aspects of Subsonic and Transonic Gas Dynamics. Surveys in Applied Mathematics. V. 3. John Wiley & Sons, New York. — 1958. — 164 P.

4. Bassanini P., Galaverni M. Contrazioni multiple, sistemi iperbolici e problema del laser // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. — 1982. — Vol. 31. — P. 32-50.

5. Cannon J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient // Ann. Math pura ad appl. — 1963. — V.ol 62. — P. 371-377.

6. Gellerstedt S. Quelques problemes mixtes pour l'equation ymuxx + uyy = 0 // Arkiv for Matematik Astronomie och Fysik. — 1938. — Vol. B 26A, № 3. — P. 1-32.

7. Germain M.M. P., Bader R. Sur le probleme de Tricomi // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1953. — Vol. 2. — №. 1. — P. 53-70.

8. Guderley K.G. The theory of transonic flow. Oxford: Pergamon Press. 1962. — 341 P.

9. He C., Liu C. Nonexistence for mixed-type equations with critical exponent nonlinearity in a ball // Applied Mathematics Letters. — 2011. — Vol. 24. — №. 5. — P. 679-686.

10. Hristov T.D., Popivanov N.I., Schneider M. On uniqueness of quasi-regular solutions to Protter problem for Keldish type equations // AIP Conference Proceedings. — AIP, 2013. — Vol. 1570. — №. 1. — P. 321-326.

11. Hristov T. et al. Generalized solutions of Protter problem for (3+1)-D Keldysh type equations // AIP Conference Proceedings. — AIP Publishing, 2016. — Vol. 1789. — №. 1. — P. 040007.

12. Hunt R., Muckenhoupt B., Wheeden R. Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert transform // Transactions of the American Mathematical Society. — 1973. — P. 227-251.

13. Kangqun Z., Yuchen L. On Dirichlet Problem of Tricomi-Type Equation in Rectangular Domains // Journal of Nanjing Normal University. — 2016. — Vol. 39. — №. 1. P. 29-35.

14. Kadirkulov B.J. Boundary problems for mixed parabolic-hyperbolic equations with two lines of changing type and fractional derivative // Electronic Journal of Differential Equations. — 2014. — Vol. 2014. — №. 57. — P. 1-7.

15. Kuz'min A.G. Boundary value problems for transonic flow. John Wiley & Sons, London, UK. — 2003. — 316 P.

16. Lupo D., Payne K.R. Spectral bounds for Tricomi problems and application to semilinear existence and existence with uniqueness results // Journal of Differential Equations. — 2002. — Vol. 184. — №. 1. — P. 139-162.

17. Lupo D., Monticelli D.D., Payne K.R. Spectral theory for linear operators of mixed type and applications to nonlinear Dirichlet problems // Communications in Partial Differential Equations. — 2012. — Vol. 37. — №. 9. — P. 1495-1516.

18. Lupo D., Monticelli D.D., Payne K.R. Fredholm properties and nonlinear Dirichlet problems for mixed type operators // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2013. — Vol. 397. — №. 2. — P. 837-860.

19. Lupo D., Monticelli D.D., Payne K.R. On the Dirichlet problem of mixed type for lower hybrid waves in axisymmetric cold plasmas // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 2015. — Vol. 217. — №. 1. — P. 37-69.

20. Mamajonov J. Non-local boundary value problems for mixed type equations with non-smooth line of changing type with spectral parameter. Diss. Freie Universität Berlin. — 2007.

21. Mennicken R., Möller M. Non-self-adjoint boundary eigenvalue problems. Gulf Professional Publishing, 2003. — Vol. 192. — 500 P.

22. Moiseev E.I., Abbasi N. The basis property of an eigenfunction of the Frankl problem with a nonlocal parity condition in the space Sobolev W1(0,k). // Integral Transforms and Special Functions. — 2011. — Vol. 22. — № 6. — P. 415-421.

23. Morawetz C.S. The Dirichlet problem for the Tricomi equation // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1970. — Vol. 23. — №. 4. — P. 587-601.

24. Morawetz C.S. Mixed equations and transonic flow // Journal of Hyperbolic Differential Equations. — 2004. — Vol. 1. — №. 01. — P. 1-26.

25. Mäntz C.H. Uber den Approximationssatz von Weierstrass // Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz. — Springer Berlin Heidelberg, 1914. — P. 303-312.

26. Otway T.H. The Dirichlet problem for elliptic-hyperbolic equations of Keldysh type. Springer. — 2012. — Vol. 2043.

27. Paley R.E.A.C., Wiener N. Fourier transforms in the complex domain. New York: American Mathematical Society. — 1934. — Vol. 19. — P. x+ 184.

28. Protter M.H. New boundary value problems for the wave equation and equations of mixed type // Journal of Rational Mechanics and Analysis. — 1954. — Vol. 3. — №. 5. — P. 435-446.

29. Rassias J.M. On mixed type partial differential equations. Sao Carlos / Sp. / Brasil / Univ.

Sao Paolo, 1988.

30. Rassias J.M. Tricomi-Protter problem of nD mixed type equations // Int. J. Appl. Math. Stat. — 2007. — Vol. 8. — №. M07. — P. 76-86.

31. Rassias J.M. The exterior Tricomi and Frankl problems for quaterelliptic-quaterhyperbolic equations with eight parabolic lines // European Journal of Pure and Applied Mathematics. — 2011. — Vol. 4. — №. 2. — P. 186-208.

32. Sibner L.M. A boundary value problem for an equation of mixed type having two transitions // Journal of Differential Equations. — 1968. — Vol. 4. — №. 4. — P. 634-645.

33. Szasz O. Uber die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen // Mathematische Annalen. — 1916. — Vol. 77. — №. 4. — P. 482-496.

34. Tengayeva A., Dildabek G. Existence of eigenvalues of problem with shift for an equation of parabolic-hyperbolic type // AIP Conference Proceedings. — AIP Publishing, 2016. — Vol. 1759. — №. 1. — P. 020146.

35. Wen G.C. Oblique derivative problem for general Chaplygin-Rassias equations // Science in China Series A: Mathematics. — 2008. — Vol. 51. — №. 1. — P. 5-36.

36. Wen G., Chen D., Cheng X. General Tricomi-Rassias problem and oblique derivative problem for generalized Chaplygin equations // Journal of mathematical analysis and applications. — 2007. — Vol. 333. — №. 2. — P. 679-694.

37. Zarubin A.N. Boundary value problem for an advanced-retarded equation of mixed type with a nonsmooth degeneration line // Differential Equations. — 2014. — Vol. 50. — №. 10. — P. 1352-1363.

38. Агранович М.С. Спектральные задачи в липшицевых областях // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2011. — Т. 39. — №. 0. — С. 11-35.

39. Амбарцумян В.Э. Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения Гельмгольца. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Москва. — 2010.

40. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа. Дисс. д-ра. физ.-мат. наук. Москва. — 1952.

41. Базарбеков А.Б. Об одной задаче для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения // Дифференциальные уравнения. — 1974. — Т. 10. — №. 1. — С. 18-23.

42. Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве // Учёные записки Московского государственного университета. — 1951. — Т. 148. — №. 0. — С. 69-107.

43. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. Издательство «Наукa», Главная редакция физико-математической литературы. — 1966. — 296 C.

44. Билалов Б.Т. Базисные свойства некоторых систем экспонент, косинусов и синусов // Сиб. мат. журн. — 2004. — Т. 45. — №. 2. — С. 264-273.

45. Билалов Б.Т. Система экспонент со сдвигом и задача АГ Костюченко // Сиб. мат. журн. — 2009. — Т. 50. — №. 2. — С. 279-288.

46. Билалов Б.Т., Велиев С.Г. Некоторые вопросы базисов // Баку: Элм. — 2010. — 304 С.

47. Бименов М.А., Кальменов Т.Ш. Об одном признаке полноты корневых векторов задачи Трикоми // Дифференциальные уравнения. — 2003. — Т. 39. — №. 10. — С. 1425-1426.

48. Бицадзе А.В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа // ДАН СССР. — 1953. — Т. 122. — №. 2. — С. 167-170.

49. Бицадзе А.В., Нахушев А.М. К теории уравнений смешанного типа в многомерных областях // Дифференциальные уравнения. — 1974. — Т. 10. — №. 12. — С. 2184-2191.

50. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. Москва: Изд-во «Наука». — 1981. — 448 С.

51. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Москва: Изд-во Иностранной Литературы. — 1949. — 798 С.

52. Вахания Н.Н. О задаче Дирихле для уравнения колебаний струны // Сообщения АН Груз. ССР. — 1958. — Т. 21. — №. 2. — С. 131-138.

53. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. Москва: Изд-во «Наука». — 1982. — 288 С.

54. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Новосиб. ун-т. — 1983. — 84 С.

55. Гималтдинова А.А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа в специальной области // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. — 2013. — №. 1 (30). — С. 46-52.

56. Демина Т.И. Краевые задачи для уравнений смешанного и гиперболического типа в прямоугольных и цилиндрических областях. Нальчик: автореф. ди^. к-та физ.-мат. наук. — 2006.

57. Елеев В.А., Гучаева З.Х. Нелокальная краевая задача для уравнения Лаврентье-ва-Бицадзе в прямоугольной области // Известия Кабардино-Балкарского государственного университета. — 2011. — Т. 1. — №. 1. — С. 9-21.

58.

59.

60

61.

62.

63

64.

65

66

67.

68

69

70

71

72

Зайнулабидов М.М. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Дифференциальные уравнения. — 1969. — Т. 5. — №. 1. — С. 91-99.

Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // Успехи математических наук. — 1960. — Т. 15. — №. 2 (92). — С. 97-154. Ильин В.А. Смешанная задача, описывающая процесс успокоения колебаний стержня, состоящего из двух участков разной плотности и упругости, при условии совпадения времени прохождения волны по каждому из этих участков // Труды математического института имени В.А. Стеклова. — 2010. — Т. 269. — №. 0. — С. 133-142. Кальменов Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. — 1977. — Т. 13. — №. 8. — С. 1418-1425. Каратопраклиев Г.Д. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в многомерных областях. I // Дифференциальные уравнения. — 1977. — Т. 13. — №. 1. — С. 64-75.

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Изд-во «Наука». — 1976. — 542 С.

Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. Москва: Изд-во «Наука». — 1975. — 302 С.

Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та. — 1990. — 208 С.

Лаврентьев М.А., Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. — 1950. — Т. 79. — №. 3. — С. 373-376.

Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. Москва: Изд-во «Наука». — 1965. — 716 С.

Лаштабега О.В., Зарубин А.Н. Задача Трикоми для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа в несимметричной области // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. — 2010. — Т. 10. — №. 4.

Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. — 1956. — 632 С. Макин А.С. О базисности системы собственных функций одной нелинейной спектральной задачи // Дифференциальные уравнения. — 2003. — Т. 39. — №. 5. — С. 612-618. Макин А.С. О нелокальном возмущении периодической задачи на собственные значения // Дифференциальные уравнения. — 2006. — Т. 42. — №. 4. — С. 560-562. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения // Успехи математических наук. —

1948. — Т. 3. — №. 3 (25). — С. 29-112.

73. Могими Ф.Мохаммад Багер. Спектральные свойства задачи Геллерстедта и связанных с ней двух задач для вырождающегося уравнения смешанного типа. Дисс. к.-та физ.-мат. наук. Москва. — 2005.

74. Моисеев Е.И. Некоторые свойства решения уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Математические заметки. — 1979. — Т. 26. — №. 4. — С. 535-546.

75. Моисеев Е.И. Некоторые вопросы спектральной теории уравнений смешанного типа. Дисс. д-ра физ.-мат. наук. Москва. — 1979.

76. Моисеев Е.И. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. — 1981. — Т. 17. — №. 2. — С. 325-338.

77. Моисеев Е.И. О базисности одной системы синусов // Дифференциальные уравнения. — 1987. — Т. 23. — № 1. — С. 177-179.

78. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. Москва: Изд-во МГУ. — 1988. — 150 С.

79. Моисеев Е.И. О решении задачи Франкля в специальной области // Дифференциальные уравнения. — 1992. — Т. 28. — № 4. — С. 721-723.

80. Моисеев Е.И. О единственности решения одной неклассической краевой задачи // Дифференциальные уравнения. — 1992. — Т. 28. — №. 7. — С. 1128-1137.

81. Моисеев Е.И. Разрешимость одной краевой задачи с помощью спектрального метода // Дифференциальные уравнения. — 1993. — Т. 29. — №. 1. — С. 103-115.

82. Моисеев Е.И., Прудников А.П., Седлецкий А.М. Базисность и полнота некоторых тригонометрических систем элементарных функций // ВЦ им. А.А. Дородницына РАН. Москва. — 2004. — 146 С.

83. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Москва: Изд-во «Наука». — 1968. — 513 С.

84. Нахушев А.М. О некоторых задачах для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Сибирский математический журнал. — 1967. — Т. 8. — №. 1. — С. 19-48.

85. Нахушев А.М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дифференциальные уравнения. — 1970. — Т.6. — № 1. — С. 190-191.

86. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. Москва: Высшая школа. — 1995. — 301 С.

87. Нефедов П.В. Неклассические задачи для уравнений в частных производных второго порядка. Дисс. к-та физ.-мат. наук. Москва. — 2015.

88. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. Москва: Наука. Главная редакция физико-математичесгюй литературы — 1981. — 368 С.

89. Полосин А.А. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения // Дифференциальные уравнения. — 1995. — Т. 31. — №. 1. — С. 168-170.

90. Полосин А.А. О базисности одной возмущенной тригонометрической системы функций // Дифференциальные уравнения. — 2000. — Т. 36. — №. 7. — С. 1001-1003.

91. Пономарев С.М. К задаче на собственные значения для уравнения Лаврентьева Бицад-зе // Докл. АН СССР. — 1977. — Т. 233. — №. 1. — С. 39-40.

92. Пономарев С.М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа Лаврентьева-Бицадзе. Дисс. д-ра физ.-мат. наук. Москва. — 1981.

93. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. — 2013. — №. 1 (30).

94. Сабитов К.Б., Кучкарова А.Н. Спектральные свойства решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения // Сибирский математический журнал. — 2001. — Т. 42. — №. 5. — С. 1147-1161.

95. Сабитов К.Б., Гималтдинова А.А. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применения // Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 2001. — Т. 65. — №. 4. — С. 133-150.

96. Сабитов К.Б., Хасанова С.Л. Спектральные свойства краевой задачи с производной по нормали в граничном условии для уравнений смешанного типа и их применения // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2003. — №. 6. С. 64-76.

97. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Доклады Академии наук. — 2007. — Т. 413. — № 1. — C. 23-26.

98. Сабитов К.Б. Критерий единственности решения нелокальной задачи для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области // Дифференциальные уравнения. — 2010. — Т. 46. — № 8. — C. 1205-1208.

99. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Спектральные свойства комплексного оператора Эйри на полуоси // Функциональный анализ и его приложения. — 2017. — Т. 51. — №. 1. — С. 82-98.

100. Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со

101

102

103

104.

105

106

107

108.

109

110

111

112.

113.

114.

спектральным параметром. Ташкент: Фан. — 1997. — 165 С.

Сабитова Ю.К. Краевая задача с нелокальным интегральным условием для уравнений смешанного типа с вырождением на переходной линии // Математические заметки. — 2015. — Т. 98. — №. 3. — С. 393-406.

Седлецкий А.М. К проблеме Мюнца-Саса для пространства С[0,1] // Тр. Моск. энер-гетич. ин-та. 1975. — вып. 260. — С. 89-98.

Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. Москва: Изд-во «Наука». — 1970. — 295 С. Смирнов М. М. Об одной задаче со смещением для уравнения смешанного типа 2-го рода с двумя линиями вырождения // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1982. — №. 3. — С. 68-75.

Солдатов А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. — 1994. — Т.30. — №11. — С. 2001-2009.

Сохадзе Р.И. Первая краевая задача для уравнения смешанного типа с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения // Дифференциальные уравнения. — 1981. — Т. 17. — №. 1. — С. 150-156.

Таранов Н.О. Краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с наклонной линией перемены типа. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Москва. — 2009.

Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа (пер. с итал.) М.-Л.: Изд-во «Гостехиздат». — 1947. — 192 С.

Фихтенгольц Г.М. Курс интегрального и дифференциального исчисления, Т.2 // Москва: Физматгиз. — 2003. — 863 С.

Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. Москва: Изд-во «Наука». — 1973. — 711 С.

Франкль Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения // ПММ. — 1956. — Т. 20. — №. 2. — С. 196-202.

Франкль Ф.И. О задачах С.А. Чаплыгина для смешанных до-и сверхзвуковых течений // Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 1945. — Т. 9. — №. 2. — С. 121-143.

Хачев М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик: Эльбрус. — 1998. — 280 С.

Чаплыгин С.А. О газовых струях. — Государственное издательство технико-теоретической литературы. — 1949. — 144 С. Публикации автора по теме диссертации.

115. Моисеев Е.И., Лихоманенко Т.Н. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Доклады Академии наук. — 2012. — Т. 446. — № 3. — С. 256-258.

116. Моисеев Е.И., Лихоманенко Т.Н. О базисности одной тригонометрической системы, возникающей в задаче Франкля // Дифференциальные уравнения. — 2013. — Т. 49. — № 3. — С. 325-331.

117. Моисеев Е.И., Лихоманенко Т.Н. О базисности двухсерийной тригонометрической системы // Доклады Академии наук. — 2016. — Т. 469. — № 1. — С. 26-29.

118. Моисеев Е.И., Лихоманенко Т.Н. Собственные функции задачи Трикоми с наклонной линией изменения типа // Дифференциальные уравнения. — 2016. — Т. 52. — № 10. — С. 1375-1382.

119. Moiseev E.I., Likhomanenko T.N. Eigenfunctions of the Gellerstedt problem with an inclined-type change line // Integral Transforms and Special Functions. — 2017. — P. 1-8. doi:10.1080/10652469.2017.1288728.