О равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка на компактах в R2 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Зайцев, Александр Борисович

• Зайцев, Александр Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зайцев, Александр Борисович

Введение.

Глава 1. Равномерная аппроксимация г/>-полиномами на компактах без внутренних точек

§1.1. Формулировка задачи и основных результатов.

§1.2. Доказательство основных результатов.

Глава 2. О равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка на компактах в R2 (случай произвольного компакта).

§2.1 Формулировка задачи и основных результатов.

§2.2. Доказательство теоремы 2.1.

§2.3. Доказательство предложений 2.1 и 2.2.

§2.4 Доказательство теоремы 2.2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка на компактах в R2»

Пусть д2 „ д2 д2

L = СЦд-2 + 2С12д-«--Н С22^-"2 axj ох\дх2 0x2

0.1) эллиптический оператор с постоянными комплексными коэффициентами сц,с12 и С22- Эллиптичность оператора (0.1) означает, что корни Ai и Л2 (характеристического) уравнения невещественны. Если, кроме того, мнимые части (характеристических) корней уравнения (0.2) имеют разные знаки, то оператор (0.1) называется сильно эллиптическим.

В диссертации изучаются необходимые и достаточные условия равномерной приближаемости функций L-полиномами, т.е. полиномиальными (по х\ и £2) решениями уравнения на компактах в R2.

В наиболее общем виде интересующая нас задача формулируется так:

При каких условиях на функцию f и компакт X функция f может быть с любой точностью равномерно на X приближена L-полиномами?

Так как в классе непрерывных функций понятия классического и обобщенного решений уравнения (0.3) совпадают ([1, теорема 18.1]), то равномерный предел последовательности решений уравнения (0.3) в некоторой области снова является решением (в той же области). Отсюда следует, что условие Lf = 0 на внутренности Х° компакта X является естественным необходимым условием возможности приближения функции / в сформулированной вьптте задаче.

I •

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект 00-01-00618) и программы "Ведущие научные школы Российской Федерации" (проект НШ-2040.2003.1).

СЦЛ2 + 2С12А + С22 =0

0.2)

Lu = 0

0.3)

Для более конкретного изложения введем необходимые нам в дальнейшем функциональные пространства.

Пусть X — компакт в R2, С(Х) — пространство всех комплексно-значных непрерывных на X функций с нормой ||/||х = тах|/(ж)|.

Положим Al(X) = {/ G С(Х) : Lf = 0 на Х°}. Через А(Х) обозначим пространство функций, непрерывных на X и голоморфных на Х°. Через Vl и V обозначим соответственно классы L-полиномов и полиномов комплексной переменной, через Рь{Х) и Р(Х) — замыкание в С{Х) пространств {р\х : р Е Vl} и {р\х р Е V}, а через R(X) — замыкание в С(Х) сужения на X множества рациональных функций с полюсами вне X. При п > 2 пусть Рп{Х) означает замыкание в С(Х) сужения на X пространства полиномиальных решений

Коши-Римана), а Ап(Х) = {/ G С(Х) : д f = U на А"), йсли У — компактное подмножество в X, то через Rl(Y,X) (соответственно через R(Y,X) или Rn(Y,X) при п > 2) обозначим замыкание в C(Y) пространства функций, определенных и удовлетворяющих уравнению (0.3) (соответственно голоморфных или удовлетворяющих уравнению д и = 0) в некоторой (своей для каждой функции) окрестности компакта X.

Мы ограничимся рассмотрением следующей задачи:

Каковы необходимые и достаточные условия на компактное множество X, при которых совпадают пространства Рь{Х) и Ai{X)?

Компакт X, удовлетворяющий последнему свойству, иногда называют компактом аппроксимации (точнее, в нашем случае, компактом равномерной L-полиномиальной аппроксимации, или L-компактом).

Для случая гармонических функций (L = Д — лапласиан) решение данной задачи дает следующая теорема Уолша-Лебега [2, стр. 503], [3, гл. II, теорема 3.3], которую мы приведем в том виде, как она сформулирована в [4, стр. 107]: хех уравнения д и = 0 (здесь и далее д = 1

Теорема 0.1. Пространства Ра(Х) и А&(Х) совпадают в том и только в том случае, когда X — компакт Каратеодори.

Напомним, что X — компакт Каратеодорщ если дХ = дХ, где дХ — граница компакта X, а X — объединение компакта X и всех ограниченных компонент множества R2 \ X.

Утверждение теоремы Уолша-Лебега с помощью линейной невырожденной замены переменных в К2 может быть дословно обобщено на случай оператора L со взаимно сопряженными характеристическими корнями.

Одним из основных результатов теории аппроксимации полиномами комплексного переменного является следующая теорема Мергеляна [5, стр. 44]:

Теорема 0.2. Пусть X — компакт в М2. Тогда Р(Х) = Л(Х) тогда и только тогда, когда М2 \ X связно.

Заметим, что в приведенных выше критериях полиномиальной аппроксимации соответствующие условия приближаемости являются чисто топологическими и нелокальными.

Для операторов L с условием Ai ф \<i ситуация обстоит заметно сложнее. Основная трудность связана с отсутствием принципов максимума и подходящих результатов о разрешимости и устойчивости задачи Дирихле (в классической постановке) для уравнения (0.3) в од-носвязных плоских областях. Здесь наиболее сильным на данный момент является следующий результат [б, теорема 7.4]:

Теорема 0.3. Пусть D — жорданова область с кусочно-гладкой границей в R2, L — сильно эллиптический оператор вида (0.1). Тогда для любой функции f Е С (3D) существует единственная функция и Е Al(D) с условием и\до = /.

В 1962 г. Браудер получил результат [7, теорема 2], из которого следует

Теорема 0.4. Пусть D — жорданова область с гладкой границей. Тогда Pl(D) = Al(D).

При доказательстве здесь существенно использовались теоремы вложения Соболева, которые требуют весьма ограничительных условий гладкости на границу компакта.

В 1999 г. П. В. Парамонов и К. Ю. Федоровский установили следующий результат (см. [8, теорема 1.1(2)]):

Теорема 0.5. Пусть X — компакт в Ш2, М2 \ X — связно. Тогда Pl(X) = АЬ(Х). 2

Заметим, что теорема 0.5 для случая L = д была ранее доказана X. Кармоной в работе [10].

Из теоремы 0.5 следует, что если X — компакт Каратеодори с несвязным дополнением и в каждой ограниченной компоненте множества R2 \ X задача Дирихле для уравнения (0.3) разрешима при любой граничной функции, то Pl{X) = Al{X). В частности, если X — компакт Каратеодори, дХ является объединением конечного числа кусочно-гладких жордановых контуров, L — сильно эллиптический оператор, то из теоремы 0.3 следует, что Рь{Х) = Аь{Х). Таким образом, в случае произвольного сильно эллиптического оператора вида (0.1) условие связности множества К.2\Х не является необходимым для совпадения пространств Рь{Х) и Al(X).

Примененный в работе [8] локализационный метод А. Г. Витушкина [9] является весьма универсальным и широко используется в задачах аппроксимации функций решениями общих эллиптических уравнений в метриках различных функциональных пространств.

В 1996 году К. Ю. Федоровский [11] установил критерий аппроксимации полианалитическими многочленами на спрямляемых контурах в R2. В [11] существенным является понятие неванлинновского контура. Спрямляемый жорданов контур Г называется неванлинновским, если существуют функции f{z) и g(z) (g ф 0), ограниченные и голоморфные внутри Г, такие, что почти всюду на Г имеет место равенство С = ^j^y в смысле угловых граничных значений. Примером неванлинновского контура является окружность. Напротив, любой эллипс, не являющийся окружностью, не является неванлинновским контуром. Также не является неванлинновским контуром любой спрямляемый контур, содержащий две аналитически независимые аналитические дуги ([11, предложение 2]). Основным результатом работы [11] является следующий (см. [11, теорема 1]):

Теорема 0.6. Пусть Г — спрямляемый контур в R2, п > 2. Тогда РП(Г) = С(Г) тогда и только тогда, когда Г не является неванлин-новским контуром.

Отсюда, в частности, вытекает отсутствие каких-либо топологических критериев выполнения равенства Рп{Х) = Ап(Х).

В 2002 г. П. В. Парамонов, К. Ю. Федоровский и X. Кармона [12] существенно обобщили результат [11, теорема 1]. В работе [12] были даны определения неванлинновской и локально неванлинновской областей. Ограниченная односвязная область D называется неванлинновской (соответственно локально неванлинновской), если существуют функции / и g (g ф. 0), голоморфные и ограниченные в D (соответственно голоморфные и ограниченные в D\Kq, где Kq — некоторый компакт, лежащий в D), такие, что почти всюду на единичной окружности имеет место равенство (в смысле угловых граничных значений) гДе и{') — некоторое конформное отображение единичного круга В на область D. Имеет место следующая теорема ([12, теорема 2.2]):

Теорема 0.7. Пусть X — компакт Каратеодори e R2 с несвязным дополнением, п> 2. Тогда Рп(Х) = Ап(Х) тогда и только тогда, когда каждая ограниченная связная компонента G множества М2 \ X не является неванлинновской областью (что, в свою очередь, эквивалентно условию Rn(dG,G) = C(dG)).

П. В. Парамонов и К. Ю. Федоровский сформулировали следующую гипотезу (см. [8, гипотеза 4.1 (2)]):

Гипотеза 0.1. Пусть L — сильно эллиптический оператор. Тогда для выполнения условия Pl{X) = Ai{X) необходимо и достаточно, чтобы X был компактом Каратеодори. 2

Для случая L = д гипотеза, аналогичная гипотезе 0.1, не верна как в части достаточных (см. выше), так и в части необходимых условий. В частности, имеет место следующая теорема (см. [12, теорема 4.3]):

Теорема 0.8. Пусть жорданова область D со спрямляемой границей не является локально неванлинновской, К — компакт, лежащий в D, п > 2. Предположим, что Рп(К) = Ап(К). Тогда Рп(К U 3D) = An(KUdD).

Примером области, не являющейся локально неванлинновской, служит любая жорданова область, у которой граница содержит две аналитически независимые аналитические дуги.

Перейдем к изложению результатов диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зайцев, Александр Борисович, 2003 год

1. Парамонов П. В. С"*-приближения гармоническими полиномами на компактных множествах в R". Матем. сб. 1993. т.184. No 2, 105-128. [5; Мергелян Н. Равномерные приближения функций комплексного переменного. УМН. 1952. т.7. No 2, 31-122. [

2. Verchota G. С Vogel А. L. Nonsymmetric sistems on nonsmooth planar domains. Trans. Amer. Math. Soc. 1997. v.349. No 11, 45014535. [Г Browder F. E. Approximation by solutions of partial differential equations. Amer. Math. J. 1962. v.84. No 1, 134-160. 18 Парамонов П. В., Федоровский К. Ю. О равномерной и Сприближаемости функций на компактах в М решениями эллиптических уравнений второго порядка. Матем. сб. 1999. т.190. No 2, 123-

3. Витушкин А. Г. Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений. УМН. 1967. т.22. No 6, 141-199. [ю; Carmona J. J. Mergelyan approximation theorem for rational modules. J. Approx.Theory. 1985. v.44, 113-126. [И Федоровский К. Ю. О равномерных приближениях функций паналитическими полиномами на спрямляемых контурах в Матем. зам. 1996. Т.59. No 4, 604-610. 48