Критерии равномерной приближаемости в классах гармонических и полианалитических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Мазалов, Максим Яковлевич

• Мазалов, Максим Яковлевич
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Мазалов, Максим Яковлевич

Содержание

Введение

Обзор результатов диссертации

Глава 1. Равномерные приближения полианалитическими функциями на произвольных компактах в С

1.1. Схема приближений А. Г. Витушкина (упрощенный вариант)

1.2. Теорема о приближении функции по частям

1.3. Равномерные приближения бианалитическими функциями на произвольных компактах в С

1.4. Обобщение: эллиптические уравнения в С с локально ограниченными фундаментальными решениями

1.5. Равномерное приближение бианалитическими функциями: группировка индексов

Глава 2. О граничных значениях полианалитических функций

2.1. Граничные значения полианалитических функций на Дини-глад-

ких кривых

—2

2.2. Пример д -регулярной липшицевой области: вспомогательные

функции

—2

2.3. Построение д -регулярной липшицевой области

Глава 3. Равномерные приближения гармоническими функциями на компактах вМ3

3.1. Емкость. Необходимое условие равномерной приближаемости.

Его недостаточность для уравнений порядка выше двух

3.2. Связь между критериями равномерной приближаемости

3.3. Применение теоремы о приближении функции по частям. Неко-

торые оценки

3.4. Конструкция: упрощенный вариант

3.5. Конструкция: общий случай

Глава 4. Приближение гармоническими функциями в пространствах Липшица

4.1. Пространства Липшица С7, 0 < 7 < 1. Формулировка результатов

4.2. Некоторые оценки и следствия теоремы Фростмана

4.3. Конструкция

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Критерии равномерной приближаемости в классах гармонических и полианалитических функций»

Введение

Актуальность темы.

В работе изучаются равномерные приближения в классах гармонических и полианалитических функций на компактах евклидова пространства 2. Начнем с постановки основных задач. Далее Ь — дифференциальный оператор в К6* с постоянными комплексными коэффициентами, символ которого — однородный эллиптический многочлен. Примеры таких операторов — Дп и д , где и 6 М, Д - оператор Лапласа в К1, д — оператор Коши-Римана. на комплексной плоскости С. Напомним (например, [1]), что полианалитическими функциями порядка п (кратко — п-аналитическими, при п = 2 — биа.налитическими) называются решения уравнения Ж/ = 0 на открытых подмножествах С.

Пусть X — компакт в Х° — множество всех внутренних точек X, С(Х) — пространство непрерывных функций на X с равномерной нормой; Н(Х,Ь) — класс функций / е С(Х), таких, что Ь/ = 0 в Х°; Н(Х,Ь) — замыкание в С(Х) множества функций .Р, каждая из которых удовлетворяет уравнению ЬЕ = 0 в (своей) окрестности X. Ясно (в силу эллиптичности оператора Ь), что Н(Х,Ь) С к(Х,Ь). Естественно возникают следующие две задачи (первая из них более общая).

Задача А1 (о приближении индивидуальных функций). Для заданных компакта X и оператора Ь найти все функции из Н(Х, Ь).

Задача А2 (о равенстве классов функций). Для заданного оператора. Ь найти все компакты X, такие, что Н(Х, Ь) = Н(Х, Ь).

Для аналитических функций (Ь = д) классические результаты о равномерных приближениях были получены М. А. Лаврентьевым [53], М. В. Келдышем [16], С. Н. Мергеляном [23] (см., например, обзор [22]), а полное решение задач А1 и А2 было получено в 60-е годы прошлого века А. Г. Витушкиным.

Без ограничения общности можем считать, что функция / 6 И(Х,д) непрерывна на всей плоскости С и финитна; пусть — модуль непрерывности функции / в С. А. Г. Витушкиным установлен следующий критерий ([4, гл. 4, §2, теорема 2]).

Теорема 1В. Условие / £ Н(Х,д) выполнено тогда и только тогда, когда существует постоянная А > 0, такая, что для любого открытого квадрата ф с границей д(5 и длиной стороны 6 выполнена оценка

/ОФЬ ^Аш^МСЭХХ), (0.1)

дЯ

где ск(-) — (непрерывная) аналитическая емкость.

Так как множество С^\Х открыто, в правой части (0.1) можно заменить а на аналитическую емкость 7 [4, гл. 1]. Вместо квадратов в теореме 1В можно, в частности, взять открытые круги — результат П. В. Парамонова [25, теорема 1.3].

Рассмотрим задачу А2. Имеет место следующий критерий А. Г. Витуш-кина [4, гл. 5, §3, теорема 1].

Теорема 2В. Равенство классов И(Х,д) = Н(Х:д) имеет место тогда и только тогда, когда для любого ограниченного открытого множества В выполнено равенство

а(П\Х°) = а(0\Х). (0.2)

Для решения задач А1 и А2 (в случае Ь = д) А. Г. Витушкин разработал конструктивную схему приближения, состоящую в разделении особенностей и приближении функции по частям [4, гл. 2]. Именно, приближаемая функция с помощью подходящего разбиения единицы представляется в виде конечной суммы локализаций — функций с локализованными особенностями, а затем

строятся приближающие функции, уравнивающие у локализаций необходимое число коэффициентов ряда Лорана.

В дальнейшем схема А. Г. Витушкина была усовершенствована. Так, Р. Харви и Дж. Полкинг [48] предложили удобную конструкцию разбиений единицы, А. Г. О'Фаррелл [44], Т. Багби [37], Дж. Вердера [63], Дж. Матеу и Дж. Оробич [56] и другие упростили концепцию рядов Лорана для решений эллиптических уравнений с помощью теории распределений, П. В. Парамонов [24, 25] предложил метод группировки индексов, при котором лорановский коэффициент уравнивается не у отдельных локализаций, а у специально построенных "групп локализаций". В частности, все это позволило установить критерии приближаемости в классах аналитических и гармонических функций в пространствах Липшица С7, 7 > 0 (кроме приближения индивидуальных гармонических функций при 7 < 1).

Отметим, что указанных усовершенствований схемы А. Г. Витушкина оказалось недостаточно для построения техники равномерных приближений в случае операторов Ь порядка выше первого, в частности, для гармонических и полианалитических функций (при п > 1). Основная причина в следующем: чем выше порядок оператора, тем больше лорановских коэффициентов локализаций приходится уравнивать (как по количеству, так и по порядку).

Задача, А2 для гармонических функций была решена в 40-е годы прошлого века независимо М. В. Келдышем и Дж. Дени методами классической теории потенциала. Имеет место следующий критерий Дж. Дени - М. В. Келдыша [43, теорема 5].

Теорема Д—К. Равенство 1г(Х, А) = Н(Х, Д) выполнено тогда и только тогда, когда дополнение к X и дополнение к Х° разрежены в одних и тех же граничных точках X.

В силу критерия Н. Винера (например, [19, теоремы 5.2, 5.10]), условие

разреженности означает следующее (для простоты ограничимся случаем пространства R3). Пусть х — граничная точка X, п G N, Сарп — гармоническая емкость множества точек дополнения к X, расстояния от которых до х находятся в пределах [2-n+1,2~п], тогда разреженность дополнения к X в точке х равносильна сходимости ряда 2пСарп. Точки разреженности допол-

нения к Х° определяются аналогично.

В случае, когда X — замкнутая область, утверждение, равносильное критерию Д—К, установил М. В. Келдыш в терминах разрешимости и устойчивости задачи Дирихле [14, теоремы 12, 13], [15, теорема 19].

Заметим, что из критерия Д—К следует (например, [51, 52]) критерий равенства классов /г(Х, A) — Н(Х,А), аналогичный критерию А. Г. Витуш-кина (0.2):

h{X, А) = Н{Х, A) <i=> Cap(L> \ Х°) = Cap(D \ X), (0.3)

где D — произвольное ограниченное открытое множество, Сар(-) — гармоническая емкость.

Задача А1 для гармонических функций оказалась сложнее, чем для аналитических. Напомним следующий результат А. Дебьярда. и Б. Гаво [42]:

функция f принадлежит классу Н(Х, А) тогда и только тогда, когда она непрерывна на компакте X и является тонко гармонической (finely harmonic) в тонкой внутренности (fine interior) X.

Заметим (например, [19, теорема 5.11]), что тонкая внутренность X есть объединение Х° и множества точек границы X, в которых дополнение к X разреженно (о тонко гармонических функциях см., например, [46]). Важно отметить, что условие тонкой гармоничности существенно сложнее для проверки, чем (0.1), так как является качественным, причем нужно проверять, совпадает ли функция / со своим интегральным представлением по гармонической мере.

Отправной точкой настоящего исследования послужили следующие проблемы, отмеченные, например, Дж. Вердерой в [65, гл. 5, §1]. 1

1. Отсутствие полных результатов в задачах равномерного приближения для операторов, отличных от д и А.

2. Отсутствие единого подхода к доказательствам критериев (0.2) и (0.3) в общем случае, несмотря на родственные формулировки.2

Отсюда, в частности, вытекают следующие задачи:

1. Для гармонических функций получить естественный аналог критерия

(0.1), по крайней мере, при d = 3 (А. Г. О'Фаррелл, [54], задача 12.15).

—2 —2

2. Установить, верно ли равенство h(X, д ) = Н(X, д ) для произвольного компакта X С С (Дж. Вердера, [54], задача 12.16; в [65, гл. 5, §1] задача была охарактеризована как "particulaxy intriguing").

Предположение об отсутствии каких-либо ограничений на компакт объясняется тем, что Loo-емкость точки (см. [49, §1]) положительна в силу (ло-

2 _2

кальной) ограниченности фундаментального решения 7г-1- оператора д ; тем

-2 -2 * самым равенство h(X, д ) = Н{Х, д ) для произвольного компакта X представляет собой естественный аналог (0.2) и (0.3).

_2 —2

Заметим, что в следующих работах равенство h(X, д ) = Н(Х, д ) было установлено при дополнительных ограничениях.

Т. Трент и Дж. Ванг [61] — компакт X нигде не плотен.

Дж. Кармона [39] — внутренняя граница X пуста.

Дж. Ванг [66] — внутренняя граница X не более чем счетна.

Дж. Вердера [64] — компакт X произволен, но модуль непрерывности

1 Указанными проблемами тематика равномерных приближений аналитическими, гармоническими, полианалитическими функциями, естественно, не исчерпывается; см., например, работы X. Толсы [60], С. К. Смирнова и В. П. Хавина [29], Дж. Вердеры, М. С. Мельникова и П. В. Парамонова [3], К. Ю. Федоровского [33].

2 В случае Х° = 0 критерий равенства Н(Х, А) = С(Х) конструктивно получил А. А. Гончар [8, теорема В].

приближаемой функции удовлетворяет условию Дини.

В развитие сформулированной выше задачи Дж. Вердеры естественно возникает следующая задача.

Задача АЗ. Найти операторы Ь (однородные, эллиптические, с постоянными комплексными коэффициентами), такие, что для произвольного компакта X имеет место равенство Н(Х, Ь) = Ь).

Отметим два естественных необходимых условия (I) и (II).

(I) Фундаментальное решение оператора Ь должно быть локально ограничено (в противном случае Ъоо-емкость точки равна нулю, и пример отсутствия равномерного приближения строится аналогично известному примеру Е. П. Долженко [9] для аналитических функций).

(II) Размерность а? пространства должна быть равна двум (при 6 ^ 3 для любого оператора Ь существует компакт X, такой, что Н(Х,Ь) к{Х,Ь)\ например, [47, теорема 8.2], [55, §4]).

Таким образом, задача АЗ по существу сводится к следующей.

Задача АЗ'. Установить, верно ли, что при выполнении условий (I) и (II) для любого компакта X имеет место равенство Н(Х, Ь) = И(Х, Ь).

Цели исследования вытекают из поставленных выше задач.

1. Провести дальнейшее усовершенствование конструктивной схемы приближений А. Г. Витушкина так, чтобы ее можно было применить к задачам равномерного приближения, по крайней мере, для гармонических функций и полианалитических функций порядка п > 1.

2. Применить полученные результаты к задачам А. Г. О'Фаррелла и Дж. Вердеры, сформулированным выше, а также к задаче АЗ'.

3. Рассмотреть задачу о приближении индивидуальных гармонических функций в пространствах Липшица С7, 0 < 7 < 1.

4. Рассмотреть вопрос о разрешимости задачи Дирихле для полианалитических функций (в классической постановке).

Научная новизна. Результаты, выносимые на защиту.

Все результаты 1-5, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором лично.

1. Доказано, что локальная ограниченность фундаментального решения оператора Ь (однородного, эллиптического, с постоянными коэффициентами) достаточна для равенства Н(Х, Ь) = И(Х, Ь) в случае произвольного компакта X £ М2. 3

—2 —2

В частности, решена задача Дж. Вердеры о равенстве Н(X, д ) — И(Х, д ) для произвольного компакта X. 4

2. Получена теорема о приближении функции по частям для произвольных Ь, снижающая на порядок требование к асимптотике разности между локализациями и функциями, уравнивающими у них лорановские коэффициенты, по сравнению со стандартной схемой А. Г. Витушкина.. 5

3. Получен следующий критерий равномерной приближаемости функции, непрерывной на компакте 1сМ3и гармонической внутри X, функциями, гармоническими в окрестностях X.

Теорема. 6 Пусть существуют постоянная к ^ 1 и функция е(£) \ 0 при

0, такие, что для любого открытого шара В радиуса г с границей дВ имеет место оценка

сг(дВ)

т(В)

^ е(г)г~1Сар(кВ \ X),

/(х)с1т:1

дв в

где х € К3; кВ — шар радиуса кг, концентричный В, Сар(-) — винеровская гармоническая емкость. Тогда / Е Н(Х, А). 7

3 Этот основной результат статьи [70] завершает решение задачи АЗ.

4 Это основной результат статьи [69].

5 [70, теорема 2].

е Результат статьи [75], фактически дающий решение задачи А. Г. О'Фаррелла [54, задача 12.15); в диссертации — теорема 3.1.

7 Верно и обратное утверждение с к = 1 и е = Аш/, где А > 0 — абсолютная постоянная.

4. Получен критерий приближаемости индивидуальных гармонических функций в пространстве Липшица С7(Х), 0 < 7 < 1, в терминах обхвата по Хаусдорфу порядка 1 + 7. 8

5. Доказано, что для любой жордановой области С с границей Дини-Ляпунова множество граничных значений полианалитических функций класса С(С) имеет первую категорию в С(дС). Показано, что для областей с лип-шицевой границей это в общем случае неверно: построена жорданова область с липшицевой границей, для которой задача Дирихле в классе бианалитиче-ских функций разрешима при любой граничной функции / Е С(<9(2). 9

Методы исследования.

В работе применяются методы функционального анализа, классической теории потенциала, теории сингулярных интегралов, теории приближений аналитическими функциями. Разработаны новые геометрические конструкции для оценки лорановских коэффициентов локализаций.

Практическая значимость.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в задачах приближения функций решениями эллиптических уравнений в различных функциональных пространствах. Так как метод приближения в целом конструктивен, результаты могут быть использованы в задачах моделирования соответствующих векторных полей (в теории упругости, электростатике, геодезии).

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались:

на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова — на семинаре по теории функций действительного переменного под руковод-

8 Это основной результат статьи (74]. В совокупности с результатами П. В. Парамонова [24], А. Г. О'Фаррелла [45], Дж. Вердеры [63] получено решение задачи о гармонических приближениях в С7(Х) при всех 7^0.

9 Это основной результат статьи [71] (см. теорему 1 и пример 2).

ством академика РАН Б. С. Кашина, члена-корреспондента РАН С. В. Коня-гина, профессоров Б. И. Голубова и М. И. Дьяченко, на семинаре по многомерному комплексному анализу под руководством академика РАН А. Г. Ви-тушкина (2002 г.), в дальнейшем — под руководством члена-корреспондента РАН Е. М. Чирки, члена-корреспондента РАН С. Ю. Немировского, профессоров В. К. Белошапки и А. Г. Сергеева, на семинаре по теории приближений и граничным свойствам функций под руководством профессора Е. П. Дол-женко, на семинаре по теории приближений под руководством профессора П. В. Парамонова;

в Математическом институте им. В. А. Стеклова — на семинаре по комплексному анализу под руководством академика РАН А. А. Гончара, члена-корреспондента РАН Е. М. Чирки и профессора А. И. Аптекарева;

в ПОМИ РАН им. В. А. Стеклова — на Санкт-Петербургском семинаре по теории операторов и теории функций под руководством члена-корреспондента РАН С. В. Кислякова и профессора В. П. Хавина;

на международной конференции (Москва, 2001 г.), посвященной 70-летию академика А. Г. Витушкина, на 19-й летней международной конференции по математическому анализу (Санкт-Петербург, ММИ им. Л. Эйлера, 2010 г.);

в Автономном университете Барселоны (Испания) в виде цикла лекций (октябрь-ноябрь 2005 г.).

Публикации. Результаты диссертации с подробными доказательствами опубликованы в 9 статьях автора [67]—[75] (без соавторов) в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ и входящих в ведущие международные базы цитирования. В обзоре УМН [76] автору принадлежат теоремы 1.7, 1.8, 1.17 (случай т Е (0,1)), 2.1 и 2.10, что отмечено ссылками.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения и четырех глав. Общий объем диссертации составляет 216 страниц. Список литературы включает (вместе с публикациями автора) 76 наименований.

Обзор результатов диссертации

Во введении обосновывается актуальность исследования, рассматривается история изучаемых вопросов, обсуждаются структура и основные результаты диссертации.

В главе 1 установлен следующий результат о равномерных приближениях полианалитическими функциями порядка п ^ 2.

Теорема 1.1. При п ^ 2 для произвольного компакта X С С имеет место равенство Н(Х,Ж') = Н{Х,Ж).

Напомним, что в случае п — 1 примеры компактов X С С, таких, что Н(Х, д) ф д), хорошо известны (С. Н. Мергелян [23, гл. 1, §4], Е. П. Дол-женко [9]). Критерии равномерной приближаемости в классе аналитических функций (0.1)—(0.2) установлены А. Г. Витушкиным [4].

Так как фундаментальное решение оператора Ь = Ж имеет вид

Е(г) =

¿п-1

7Г2

теорема 1.1 получается как следствие более общего утверждения, установленного в §1.4.

Теорема 1.3. Пусть ХсМ2- произвольный компакт, и фундаментальное решение оператора Ь локально ограничено. Тогда имеет место равенство Н{Х1Ь) = к(Х1Ь).

В §1.1 рассматривается схема приближения, предложенная А. Г. Витушкиным [4, гл. 2] и усовершенствованная Р. Харви и Дж. Полкингом [48], А. Г. О'Фарреллом [44], Дж. Вердерой [63], П. В. Парамоновым [24, 25], Н. Н. Тархановым [31] и другими. Мы рассматриваем упрощенный вариант схемы, не использующий емкостей (он будет применен в случае операторов Ь с локально ограниченным фундаментальным решением).

В §1.2 доказывается теорема 1.4 о приближении функции по частям для произвольных операторов Ь в (1^2 (однородных, эллиптических, с постоянными коэффициентами).

Пусть X — компакт в напомним, что классы функций 1г(Х, Ь) и Н(Х, Ь) были введены выше, на с. 4. Пусть Е — фундаментальное решение оператора Ь, / Е Н(Х, Ь) — непрерывная финитная функция в М^.

Рассмотрим всевозможные покрытия {С}^ компакта БрЬ(Ь/) конечными семействами раздельных двоичных кубов с длинами сторон Sj ^ 1. Каждому покрытию подчинено — разбиение единицы на {(^} из леммы 1.1 (Р. Харви и Дж. Полкинга). При этом / = ^. /¿, где ^ =

Теорема 1.4. Пусть существует функция е(г), г € (0,1], е \ 0 при г \ О, такая, что имеет место следующее. Для любого покрытия и любой соответствующей функции существует функция непрерывная в со следующими свойствами:

(1) SptLFj с {\QQj\X);

(Ю 1Ь1кос ^ ф^, где г3 = -

(3) Итя_юо \х\й~\{х) - 0.

Тогда / е Н(Х,Ь).

Заметим, что (в частном случае Ь — д) критерий А. Г. Витушкина (0.1)—(0.2) является несложным следствием теоремы 1.4.

Теорема 1.4 вытекает из леммы 1.5 об отделимости выпуклых множеств и леммы 1.6.

Лемма 1.5. Пусть П — куб в Ж ; ф\, 1р2>- Фр ~~ конечное множество неотрицательных функций, непрерывных наТ); Ъ > 0 — постоянная.

Пусть для любой неотрицательной функции и Е Ъ\(Г),(1т), такой, что у{х)вшх ^ 0, найдется номер к = к{у), при котором выполнено нера-т>

венство

фк(х)и(х)с1тх ^ Ъ

Б

Тогда для некоторой (конечной) выпуклой комбинации ф = ^ХкФк (то

к

есть, Хк^0и^Хк = 1) будет выполнена оценка тахф(х) ^ Ь. к жеЕ)

Лемма 1.6. Пусть щ Е М, причем <5 = 2~п° столь мало, что е(5) < 1; И — куб, такой, что X С С (1/4)0.

Тогда для любой неотрицательной функции у Е Ь^О), такой, что 1>(х)йтх = 1, существует покрытие {С^} компакта Эр 1^(1//), для которо-Б

го выполнены следующие условия:

(1) 5 ^ ^ е(6) < 1;

(2) пусть ^ и гз = — ^ — функции из теоремы 1.4; тогда имеет место оценка

Б

и{х)йтх < Е\, где £1 = £\(£, 6) и Нт£1 = 0.

<5—>-0

Используемый здесь подход по существу опирается на следующую теорему С. Мазура [11, гл. 5, §1, теорема 2]:

если последовательность фк элементов нормированного пространства слабо сходится к элементу Ф, то некоторая последовательность их выпуклых комбинаций сходится к Ф сильно.

Этот подход оказывается полезным и в других ситуациях (см., например, работу С. В. Колесникова [17]).

Идея доказательства леммы 1.6 состоит в следующем. Если и(х) ^ при всех а;, то в качестве требуемого покрытия возьмем совокупность кубов координатной сетки с длиной стороны <5. Там, где значения функции и достаточно велики, кубы покрытия увеличим, используя стандартную процедуру Кальдерона-Зигмунда. При этом с применением теории сингулярных инте-

градов получается следующая оценка (где А = А(Ь))

V

у{х)(1тх < А

правая часть которой и представляет собой £1(5,5).

В §1.3 техника, развитая в §1.2, применяется к доказательству следующего частного случая теоремы 1.1 при п = 2.

Теорема 1.2. Для произвольного компакта X С С имеет место равенство Н{Х,д2) = к{Х,д2).

Напомним, что соответствующая задача была поставлена Дж. Вердерой, [54, задача 12.16].

Доказательство теоремы 1.2 опирается на теорему 1.4 и использует геометрическую конструкцию для оценки лорановских коэффициентов локализаций при первых производных фундаментального решения (см. лемму 1.12). В доказательстве также применяются оценки сингулярных интегралов на липшицевой кривой и техника Кальдерона-Зигмунда.

В §1.4 доказывается теорема 1.3. Напомним [35, теорема 7.1.20]), что дифференциальный оператор Ь порядка п в символ которого — однородный эллиптический многочлен, имеет фундаментальное решение вида

Е{х) = Е0{х) - Е^х) 1о§|х|,

где Ео — вещественно аналитическая функция в Мсг\{0}, однородная степени п — (I, Е\ — однородный многочлен степени п — (I (если п < то Е\ = 0).

Заметим, что при (I ^ 3 для любого оператора Ь (в том числе и с локально ограниченным фундаментальным решением) существует компакт X, такой, что Н(Х,Ь) ± Н(Х,Ь) (например, [47, теорема 8.2], [55, §4]); построение таких примеров использует идею Л. Хедберга из статьи [50].

Если фундаментальное решение Ь не ограничено при х —> 0, то имеет место аналог примера Е. П. Долженко [9] (см., например, [31, §15, п.10]).

Таким образом, два условия: (1 < 3 и локальная ограниченность фундаментального решения Ь в теореме 1.3 не только достаточны, но и необходимы.

В случае Е\ = 0 теорема 1.3 доказывается по существу так же, как и теорема 1.2; случай Е\ ф 0 (при этом, очевидно, п ^ 3) нетривиален и требует отдельного рассмотрения: для построения приближающих функций нужно подбирать ограниченные линейные комбинации частных производных Е порядка п — 2. Особую роль здесь играют (геометрические) леммы 1.17 и 1.19 о двух точках и о четырех точках соответственно.

В §1.5 показывается (результат установлен в [68]), что для доказательства теоремы 1.2 вместо применения теоремы 1.4 можно адаптировать метод П. В. Парамонова группировки индексов [24, 25].

Напомним, что в соответствии с этим методом нужное количество лора-новских коэффициентов уравнивается не у отдельных локализаций, а у специально построенных групп локализаций. Главное достоинство метода — его полная конструктивность, однако по мере увеличения числа лорановских коэффициентов, требующих уравнивания, строение групп усложняется (в [24], [25] и [68] группы имеют существенно различное строение), что затрудняет применение метода для произвольных Ь.

В главе 2 исследуется вопрос о "массивности" множества граничных значений полианалитических функций в случае жордановых областей С с липшицевой границей Эти исследования во многом мотивированы работами [32] и [13] о равномерном приближении функций полианалитическими многочленами.

Пусть С(дС) — банахово пространство функций, непрерывных на с равномерной нормой; 5П = ¿'„.(ЭС, (?) — подпространство С(<9(?), элементами которого являются граничные значения функций, п-аналитических в С и

непрерывных в замкнутой области С; 5 = Основным результатом

§2.1 является теорема 2.1, установленная в [71].

Напомним [58, §10.1], что (гладкая) кривая называется Дини-гладкой, если угол наклона ее касательной /3(в) к вещественной оси как функция длины дуги б удовлетворяет условию |/3($2) — /2(51)1 < — $1|)> где Для функ-

ции ш выполнено условие Дини Ляпунова является Дини-гладкой.

-<¿(5 < оо. В частности, каждая кривая

Теорема 2.1. Пусть <9(2 — Дини-гладкая кривая. Тогда 5 имеет первую категорию в С(<9С).

Так как С(<ЭС) — полное метрическое пространство, то по теореме Бэра о категории (например, [28, теорема 2.2]) для Дини-гладких кривых имеем неравенство <5 ф- С(сК7).

Теорема 2.1 является следствием леммы 2.1 и леммы 2.3.

Лемма 2.1. Пусть Н — функция, аналитическая в круге К : |ги| < 1 и однолистно отображающая К на жорданову область (2 со спрямляемой границей дС, причем в К выполнено неравенство \Н'(и>)\ > со > 0. Если выполнено условие

л л

\Н"(<ш)\Ыг(1р < оо (2.1.1)

к

(где и) = гег<р), то Б имеет первую категорию в С(дС).

В лемме 2.3 доказывается, что, если дС — Дини-гладкая кривая, то выполнены условия леммы 2.1; этот факт по существу вытекает из теоремы С. Е. Варшавского [58, теорема 10.2].

Теорему 2.1 интересно сопоставить с результатом К. Ю. Федоровского [32, теорема 1]: для "большинства" областей С, в том числе и с аналитической границей (кроме весьма специальных областей, так называемых неван-линновских) 62 (дС, О) является всюду плотным подпространством С(<9(2); о

построении неванлинновских областей с различными свойствами см. [2].

Возникает естественный вопрос (см. [13, §4]), можно ли в теореме 2.1 избавиться от ограничений на dG. В §§2.2-2.3 на него дается ответ (соответствующий пример был построен в [71]).

Пример 2.1. Существует жорданова область G с липшицевой границей, такая, что S2(dG,G) = C(dG).

Заметим, что в построении примера 2.1 существенно используются лаку-нарные ряды, теорема У. Рудина - JI. Карлесона [59], [38] об интерполяционных множествах пика для непрерывных аналитических функций и методы функционального анализа.

В главе 3 техника равномерных приближений, развитая в §§1.2-1.3, применяется для получения критерия равномерной приближаемости функции, непрерывной на компакте 1с13и гармонической внутри X, функциями, гармоническими в окрестностях X, в терминах гармонической емкости Винера. Напомним, что в теории потенциала принято следующее определение гармонической емкости: для компакта К С R3

CapW ^supjlHI:

где ||— полная масса ¡л — неотрицательной меры Радона, распределенной на К. Емкость ограниченного множества — точная верхняя грань емкостей его компактных подмножеств.

При изучении устранимых особенностей непрерывных решений уравнения Lf = О Р. Харви и Дж. Полкинг ввели емкости, естественно обобщающие аналитическую и гармоническую емкости. Рассмотрим случай п < d. В силу [49, определение 1.1], емкостью компакта К называется величина

sup{|(Lp|l)| : \\g\\Loo < 1 ,g€ С( Rd), lim g(x) = 0, Spt (Lg) С К},

1

Ы

^ l

которую будем обозначать Саръ(К) (здесь и далее || • Ць^ = || • ||ь0 Запись (Ф|</?), означает действие распределения Ф с компактным носителем на функцию с/? Е Со°(М^), Spt(•) — замыкание носителя распределения.

Для гармонических функций два указанных определения емкости равносильны (например, [49, теорема 3.1]).

Гармоническая емкость полуаддитивна (например, [15, гл. 2, п. 1]): если и = их и и2, то Сар (С/) ^ Сар(ОД + Сар (ОД. Вопрос о полуаддитивности емкости Сар^(-), по-видимому, в общем случае открыт; полуаддитивность аналитической емкости — весьма тонкий факт, который сравнительно недавно доказал X. Толса [60]. Полуаддитивность гармонической емкости ниже в доказательствах нигде не используется.

Введем упрощенные обозначения Н(Х) = И(Х,А) и Н(Х) = Н{Х, А), где X С М3 — компакт, Д — оператор Лапласа в М3. Продолжив произвольную функцию / Е Н{Х) по теореме Л. Брауэра-П. С. Урысона (например, [34, §25. 3]), будем считать ее непрерывной на всем пространстве М3 и финитной.

Теорема 3.1. Пусть существуют постоянная к ^ 1 и функция б(£) \ 0 при £ \ 0, такие, что для любого открытого шара В радиуса г с границей дВ имеет место оценка

а{дВ) Л

/(х)(Ьх -

т(В)}

дВ В

/(х)(1та

< е(г)г_1Сар(А;Я \ X), (3.1.1)

где х Е Е3, <Т(.) — поверхностная мера на дВ, т^ — мера Лебега в М3, кВ — шар радиуса кг, концентричный В. Тогда / Е Н{Х).

Обратно, если / Е Н(Х), то оценка (3.1.1) выполнена для к = 1, о в качестве функции е достаточно взять Аш/, где А > 0 — подходящая абсолютная постоянная, ш/ — модуль непрерывности / б К3.

Теорема 3.1 представляет собой естественный аналог теоремы А. Г. Ви-тушкина о равномерном приближении аналитическими функциями на ком-

пактах в С [4, гл. 4, §2, теорема 2] в формулировке П. В. Парамонова [25, теорема 1.3]. Теорему 3.1 в качестве гипотезы формулировал П. В. Парамонов, им было предложено естественное условие (3.1.1) по аналогии с условием (¡у) [3, теорема 1.1].

Доказательство теоремы 3.1 опирается на следующее утверждение — естественный аналог леммы А. Г. Витушкина [4, гл. 4, §2, лемма 1].

Лемма 3.1. Если выполнена оценка

/(х)А(р(х)с1та

в

^е(г)|^11ьтог2Сар(/с£\*) (3.1.2)

(где В, к и е — те же, что и в теореме 3.1, — произвольная функция из С1(В)), то / Е Н{Х). Обратно, если / £ Н{Х), то оценка (3.1.2) выполнена с к = 1 и е = Аш$.

Необходимость каждой из оценок (3.1.1) и (3.1.2) для выполнения условия / Е Н(Х) доказывается стандартно: так же как для равномерных приближений аналитическими функциями [4] или гармонических приближений в С^-норме [24]. Вопрос о достаточности указанных оценок значительно сложнее, чем в случае аналитических функций. Гипотезу о достаточности оценки вида (3.1.2) для / Е Н{Х) формулировал А. Г. О'Фаррелл [54, задача 12.15]. Доказательство достаточности оценки (3.1.2) проводится по той же схеме, по которой в главе 1 доказывается теорема 1.2. Именно, применяется теорема 1.4, а геометрическая конструкция обобщает проводимую в §1.3.

Заметим, что теорема 3.1 переносится (с несущественным изменением доказательства) на гармонические функции в М^, с1 > 3, при этом (так к&к в условии (¡у) из теоремы 1.1 [3]) правая часть неравенства (3.1.1) изменяется на е(г)г2~с1Сар(кВ \ X). Лемма 3.1 на М^, (1 > 3 переносится без изменений.

Задача о равенстве классов Н(Х) и к(Х) изучена значительно лучше более общей задачи описания функций / Е Н(Х). Имеет место следующий

критерий Дж. Дени - М. В. Келдыша [43, теорема 5], [14, теоремы 12, 13], [15, теорема 19].

(Д—К): равенство Н(Х) = И(Х) выполнено тогда и только тогда, когда дополнения к X и к Х° разрежены в одних и тех же точках дХ.

Из (Д—К) следует [51, 52] критерий равенства классов Н(Х) = И(Х), аналогичный критерию А. Г. Витушкина [4, гл. 5, §3, теорема 1]:

Н{Х) = Н{Х) ^ Сар(Г> \ Х°) = Сар(£) \ X), (3.1.3)

где И — произвольное ограниченное открытое множество. Аналогично случаю аналитических функций (см. [4, гл. 5, §3]), критерий (3.1.3) является несложным следствием леммы 3.1, так как равенство емкостей влечет выполнение оценки (3.1.2) для всех функций / Е Ь{Х) и всех соответствующих (см. лемму 3.5).

Заметим, что теорема 3.1 и лемма 3.1 ранее были установлены автором при следующих дополнительных ограничениях:

1) существует постоянная ко ^ 1, такая, что для любой точки х Е М3\Х° и для всех г > О имеет место оценка [73]

Сар (В(х, 2 г) \ коС&р(В(х, г)\Х);

2) модуль непрерывности функции / удовлетворяет условию Дини [72].

Анализ формулировок теоремы 1.3 и теоремы 3.1 дает следующее.

1. Особая роль размерности <1 = 2.

В случае локальной ограниченности фундаментального решения эллиптического оператора Ь равенство Н(Х, Ь) = V) имеет место для любого компакта X С К2; вместе с тем, как отмечалось выше, при с1 > 2 для любого оператора Ь (в том числе, и с локально ограниченным фундаментальным решением) существует компакт X, такой, что Н(Х, Ь) ф Ь) [47, теорема 8.2], [55, §4].

2. Значение порядка оператора п ^ 2 при ^ > 2.

В случае 2 < п < с1 не имеет место аналога (3.1.3) (или аналога критерия А. Г. Витушкина [4, гл. 5, §3, теорема 1]) в терминах соответствующей емкости Р. Харви и Дж. Полкинга [49] Сарь(-), характеризующей устранимые особенности непрерывных решений уравнения I// = 0 (см. пример 3.1 в §3.1).

Пример 3.1. Пусть 2 < п < (1 (где <1 — размерность пространства, п — порядок оператора Ь). Тогда существуют компакт X, такой, что для любого куба (5 выполнена оценка Сар^((^\Х0) ^ АС&рь(2(д\Х), и функция f Е Н(Х, Ь), такая, что / ^ Н{Х, Ь).

Заметим, что вопрос о (естественном) критерии равенства Н(Х, Ь) = Н(Х, Ь) в случае в, > 2, п > 2 и компактов X с непустой внутренностью остается открытым.

В §3.1 получим ряд оценок, в частности, докажем лемму 3.2 об аддитивности гармонической емкости при специальных разбиениях множеств.

Лемма 3.2. Пусть К — компакт, 5 = Сар (К) > О, — семейство раздельных замкнутых кубов с з(^) = б, покрывающих К, = C&p(2Dj(>\K). Тогда выполнена оценка ^

Затем докажем необходимость оценки (3.1.2) в лемме 3.1 (это будет лемма 3.4) и докажем лемму 3.5, связывающую оценку (3.1.2) и равенство (3.1.3). В конце §3.1 построим пример 3.1.

В §3.2 рассмотрим связь между критериями (3.1.1) и (3.1.2). Оценка (3.1.1) фактически представляет собой частный случай (3.1.2) для функций ср простой "радиальной" структуры. Из оценки (3.1.1) выводится оценка (3.1.2) для "достаточно хороших" функций (/? (см. леммы 3.9 и 3.12), которые в дальнейшем применяются для построения разбиений единицы. В доказательстве используются некоторые идеи работы П. В. Парамонова [25]. Таким образом,

теорема 3.1 сводится к лемме 3.12.

Лемма 3.12 Пусть для фиксированного к ^ 1, произвольного шара В и всех соответствующих функций ц> 6 С$(В) имеет место оценка

/(х)А(р(х )(1та

в

^ ЛА:3е(г)||У3^||ь00г3Сар((А; + 3)В \ X). (3.3.5)

Тогда / € Н(Х).

В §3.3 применим теорему 1.4 о приближении функции по частям, что позволит свести лемму 3.12 к основной лемме 3.18, по формулировке близкой к лемме 1.11 из §1.3. С помощью теоремы об отделимости выпуклых множеств (так же, как в главе 1), лемма 3.18 сводится к лемме 3.19. В §3.3 также доказывается лемма 3.21 об оценке гармонической емкости при специальных разбиениях кубов.

В следующих двух параграфах проводится геометрическая конструкция, требования к которой указаны в лемме 3.23. Заметим, что лемма 3.23 по формулировке близка к лемме 1.12 из §1.3. Однако здесь ситуация значительно сложнее, так как нужно оценивать гармоническую емкость дополнения.

Так как геометрическая конструкция достаточно сложна, сначала, в §3.4 проведем упрощенный вариант, в котором, в отличие от утверждения (4) леммы 3.23, не требуем контролируемой кратности пересечений увеличенных кубов (129/128)07- Результатом будет лемма 3.27.

В §3.5 конструкция будет усовершенствована с целью добиться контроля над кратностью пересечений указанных кубов. Ключевой элемент конструкции — так называемые согласованные пары кубов 4 типа, которые возникают, если емкость дополнения к X распределена "слишком неравномерно".

После окончания доказательства леммы 3.23, доказательство леммы 3.19 завершается аналогично тому, как в §1.3 было завершено доказательство теоремы 1.2. Тем самым завершается доказательство теоремы 3.1. Напомним,

что подробное доказательство теоремы 3.1 дано в [75].

В главе 4 рассматривается вопрос о приближении гармоническими функциями на компактах в R3 в пространствах Липшица С7, где 0 < 7 < 1.

Пусть 0 < 7 < 1, I СМ3 - компакт; напомним (например, [65, гл. 3, §1]), что пространство Липшица Lip7(X) состоит из функций / : X —> R, таких, что для всех х, у G X выполнено неравенство

где с = с(/, X, 7) < оо. Точная нижняя грань значений с задает полунорму ||/||7,х- Пространство CJ(X) — подпространство Lip7(X), состоящее из функций /, таких, что \f(x) - f(y)\ =о(\х- у|7) при \х - у\ 0.

Пространство Lip7(M3) с полунормой ||/||7 = ||/||7дз и пространство C7(R3) определяется аналогично. По теореме X. Уитни (например, [30, гл. 6, теорема 3]) продолжим функцию / £ Lip7(X) до функции из Lip7(M3), имеющей компактный носитель и принадлежащей классу С°° вне X, так, что ||/||7 ^ А||/||7!х и А ^ 1 — абсолютная постоянная (при этом / G С7(Х) продолжается до функции из С7(М3)).

Пусть hy(X) = С7(Х) П {f\x : А/ = 0 в X0}, Щ(Х) - замыкание в С7(Х) множества функций, гармонических в окрестностях X.

Критерий принадлежности функций из hy(X) классу Щ(Х) (теорема 4.1, установленная в [74]) близок по форме критерию равномерной приближаемо-сти (теореме 3.1) с единственным отличием: вместо гармонической емкости используется М1+7(-) — обхват по Хаусдорфу порядка I + 7. По определению (например, [12, гл. 2]), для ограниченного множества U С М3 и t > 0 имеем:

М\и) = Ы^{тк)\ к

где точная нижняя грань берется по всем покрытиям U не более, чем счетными наборами шаров В^ радиусов г к- Следующее утверждение вытекает из

теоремы 4.1.

Пусть существуют постоянная к ^ 1 и функция е(г) \ 0 при г \ О, такие, что для любого открытого шара В = В(а,г) с границей дВ выполнена оценка

|/ср{дВ) - /ср(В) | < еМг-^+ЧЛЯ \ X) (4.1.4)

(где средние значения функции / из левой части (3.1.1) обозначены как fср(дВ) и /ср(В)), тогда / Е Н7(Х). Обратно, если / Е Н^(Х), то оценка (4-1-4) выполнена при к = 1.

В доказательстве теоремы 4.1 применяются схема А. Г. Витушкина, теорема Фростмана [12, гл. 2, теорема 1] и геометрическая конструкция (см. §4.3) для оценки лорановских коэффициентов при первых производных фундаментального решения у локализаций /. Теорема 4.1 близка по формулировке к теореме А. Г. О'Фаррелла о приближениях аналитическими функциями в С7 при 0 < 7 < 1 [65, гл. 3, теорема 1.1], однако, в отличие от указанной теоремы, не является непосредственным следствием теоремы Фростмана.

Хотя формулировки теорем 4.1 и 3.1 близки, а схемы доказательств в ряде деталей совпадают, теорема 4.1 доказывается значительно проще и полностью конструктивно.

Напомним, что описание компактов X, таких, что /г7(Х) = Н7(Х), получено в [56] (Дж. Матеу и Дж. Оробич); по существу, это частный случай теоремы 4.1 (см. также [55, теорема 1] — обобщение результата [56] на эллиптические операторы произвольного порядка). В указанных работах (в отличие от доказательства теоремы 4.1) используются двойственные аргументы, опирающиеся на спектральный синтез в пространствах Лизоркина-Трибеля.

Теоремы 3.1 и 4.1, в сочетании с результатами работ П. В. Парамонова [24], Дж. Вердеры [63] и А. Г. О'Фаррелла [45] дают решение задачи о приближении индивидуальных гармонических функций в пространствах Липшица

С1 при всех 7^0. Случай 7=1 изучен П. В. Парамоновым [24, теорема 1] в терминах гармонической С1-емкости, случаи С1 при 1 < 7 < 2 и целых 7^2 — Дж. Вердерой [63]; при остальных 7 — А. Г. О'Фарреллом [45].

Автор искренне благодарен П. В. Парамонову за постановку задач, внимание к результатам и многочисленные рекомендации по улучшению работ, М. Б. Балку, Е. П. Долженко, М. С. Мельникову, В. П. Хавину, К. Ю. Федоровскому и всем коллегам из Автономного университета Барселоны — за многолетнее плодотворное сотрудничество.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Мазалов, Максим Яковлевич, 2012 год

Список литературы

1. Балк М.Б. Полианалитические функции и их обобщения. Итоги науки и техники. Совр. проб, матем. Фунд. напр. 1991. Т. 85, С. 187-246.

2. Баранов А.Д., Федоровский К.Ю. Регулярность границ неванлиннов-ских областей и однолистные функции в модельных подпространствах // Матем. сборник. 2011. Т. 202. No. 12, С. 3-22.

3. Вердера Дж., Мельников М.С., Парамонов П.В. С1-аппроксиамция и продолжение субгармонических функций // Матем. сборник. 2001. Т. 192. No. 4, С. 37-58.

4. Витушкин А.Г. Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений // УМН. 1967. Т. 22. No. 6, С. 141-199.

5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.

6. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

7. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексной переменой. М.: Наука, 1966.

8. Гончар A.A. О равномерном приближении непрерывных функций гармоническими // Изв. АН СССР (Сер. матем.). 1963. No. 27, С. 1239-1250.

9. Долженко Е.П. О приближении на замкнутых областях и о нуль-множествах // ДАН. 1962. Т. 143. No 4, С. 771-774.

10. Долженко Е.П. О граничном поведении компонент полианалитической функции // Матем. заметки. 1998. Т. 63. No. 6, С. 821-834.

11. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

12. Карлесон Л. Избранные проблемы теории исключительных множеств. М.: Мир, 1971.

13. Кармона Х.Х., Парамонов П.В., Федоровский К.Ю. О равномерной аппроксимации полианалитическими многочленами и задаче Дирихле для бианалитических функций // Матем. сборник. 2002. Т. 193. No. 10, С. 75-98.

14. Келдыш М.В. О разрешимости и устойчивости задали Дирихле // ДАН. 1938. Т. 18. No. 6, С. 315-318.

15. Келдыш М.В. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле // УМН. 1941. No. 8, С. 171-231.

16. Келдыш М.В. О представлении функций комплексного переменного рядами полиномов в замкнутых областях // Матем. сборник. 1945. Т. 16 (58). No. 3, С. 249-257.

17. Колесников C.B. Об одной теореме М.В. Келдыша, касающейся поточечной сходимости последовательностей полиномов // Матем. сборник. 1984. Т. 124 (166). No. 4 (8), С. 568-570.

18. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр. М.: Мир, 1984.

19. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966.

20. Лысенко Ю.А., Писаревский Б.М. Неустойчивость гармонической емкости // Матем. сборник. 1968. Т. 76 (118). No. 1, С. 52-71.

21. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 2. М.: Наука, 1968.

22. М.С. Мельников, С.О. Синанян. Вопросы теории приближений функций одного комплексного переменного // М.: ВИНИТИ. 1975. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Т. 4. С. 143-250.

23. Мергелян С.Н. Равномерные приближения функций комплексного переменного // УМН. 1952. Т. 7, No. 2, С. 31-122.

24. Парамонов П.В. О гармонических приближениях в С1-норме // Матем. сборник. 1990. Т. 181. No. 10, С. 1341-1365.

25. Парамонов П.В. Некоторые новые критерии равномерной приближаемо-сти функций рациональными дробями // Матем. сборник. 1995. Т. 186. No. 9, С. 97-112.

26. Парамонов П.В., Федоровский К.Ю. О равномерной и С^приближаемости функций на компактах в М2 решениями эллиптических уравнений второго порядка // Матем. сборник. 1999. Т. 190. No. 2, С. 123-144.

27. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. M.-JL, 1950.

28. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

29. Смирнов С.К., Хавин В.П. Задачи приближения и продолжения для некоторых классов векторных полей // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10. No. 3, С. 133-162.

30. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

31. Тарханов H.H. Ряд Лорана для решений эллиптических систем. Новосибирск: Наука, 1991.

32. Федоровский К.Ю. О равномерных приближениях функций n-аналитическими полиномами на спрямляемых контурах в С // Матем. заметки. 1996. Т. 59. No. 4, С. 604-610.

33. Федоровский К.Ю. Аппроксимация и граничные свойства полианалитических функций // Труды МИАН им. В. А. Стеклова. 2001. Т. 235. С. 262-271.

34. Хаусдорф Ф. Теория множеств. M.-JL: ОНТИ, 1937.

35. Хёрмандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 1. Теория распределений и анализ Фурье. М.: Мир, 1986.

36. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965.

37. Bagby Т. Approximation in the mean by solutions of elliptic equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1984. V. 281, P. 761-784.

38. Carleson L. Representation of continuous functions // Math. Zeit. 1957. V. 66, P. 447-451.

39. Carmona J.J. Mergelyan approximation theorem for rational modules // J. Approx. Theory. 1985. V. 44, P. 113-126.

40. David G. Wavelets and singular integrals on curves and surfaces. New York: Springer-Verlag, 1991.(Lecture notes in math. V. 1465.)

41. Davis P. The Schwartz function and its applications. Washington, 1974.

42. Debiard A., Gaveau B. Potentiel fin et algèbre de fonctions analytiques // J. Funct. Anal. 1974. V. 16, P. 289-304.

43. Deny J. Systèmes totaux de functions harmoniques // Ann. Inst. Fourier. 1949. V. 1, P. 103-113.

44. O'Farrell A.G. Metaharmonic approximation in Lipschitz norms // Proc. Roy. Irish Acad. 1975. V. 75A, P. 317-330.

45. O'Farrell A.G. Rational approximation in Lipschitz norms // Proc. Roy. Irish Acad. 1979. V. 79A, P. 103-114.

46. Fuglede B. Finely Harmonic Functions. Springer-Verlag, 1972 (Lecture Notes in Mathematics. V. 289).

47. Gauthier P., Tarkhanov N.N. Degenerate cases of uniform approximation by systems with surjective symbols // Canadian Journ. Math. 1993. V. 45. No. 4., P. 740-757.

48. Harvey R., Polking J. Removable singularities of solutions of linear partial differential equations // Acta. Math. 1970. V. 125, P. 39-56.

49. Harvey R., Polking J. A notion of capacity which characterizes removable singularities // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 169, P. 183-195.

50. Hedberg. L.I. Two approximation problems in function spaces // Ark. Mat. 1978. V. 16, P. 51-81.

51. Hedberg L. I. Non-linear potentials and approximation in the mean by analytic functions // Math. Z. 1972. V. 129, P. 299-319.

52. Labrèche M. De L'approximation harmonique uniforme. Thèse. 1982. Université de Montréal.

53. Lavrentieff M. Sur les fonctions d'une variable complexe, representables par des series de polynomes // Actualités Sci. et Ind. 1936. No. 441, Paris.

54. Lecture notes in mathematics. V. 1574. Problem book 3. Part 2. Ed. by V. P. Havin and N. K. Nikol'skiy. Springer-Verlag, 1994.

55. Mateu J., Netrusov Y., Orobit.g J., Verdera. J. BMO and Lipschitz approximation by solutions of elliptic equations // Ann. Inst. Fourier. 1996. V. 46. No. 4, P. 1057-1081.

56. Mateu J., Orobitg J. Lipshitz approximation by harmonic functions and some applications to spectral sinthesis // Indiana Univ. Math. Journ. 1990. V. 39, P. 703-736.

57. Mateu J., Verdera J. BMO harmonic approximation in the plane and spectral synthesis for Hardy-Sobolev spaces // Revista Matem. Iberoamericana, 1988. V. 4, P. 291-318.

58. Pommerenke Ch. Univalent functions. Gottingen. Studia Math, 1975.

59. Rudin W. Boundary values of continuous analytic functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1956. No. 7, P. 808-811.

60. Tolsa X. The semiadditivity of continuous analytic capacity and the inner boundary conjecture // Amer. Journ. of Math. 2004. V. 126, P. 523-567.

61. Trent T., Wang J.L. Uniform approximation by rational modules on nowhere dense sets // Proc. Amer. Math. Soc. 1981. V. 81, P. 62-64.

62. Uy N.X. An extremal problem on singular integrals // Amer. J. of Math. 1980. V. 102, P. 279-290.

63. Verdera J. Cm approximation by solutions of elliptic equations, and Calderon-Zygmund operators // Duke Math. J. 1987. V. 55, P. 157-187.

64. Verdera J. On the uniform approximation problem for the square of the Cauchy-Riemann operator // Pacific J. of Math. 1993. V. 159. P. 379-396.

65. Verdera J. Removability, capacity and approximation // NATO Adv. Sci. Int. Ser. C Math. Phys. Sci., 439 Kluwer. Dordrecht. 1994, P. 419-473.

66. Wang J.L. A localization operator for rational modules // Rocky Mountain J. of Math. 1989. V. 19. No. 4, P. 999-1002.

Публикации автора по теме диссертации

67. Мазалов М.Я. Пример непостоянной бианалитической функции, обращающейся в нуль всюду на нигде не аналитической границе // Матем. заметки. 1997. Т. 62. No. 4, С. 629-632.

68. Мазалов М.Я. Равномерное приближение функций, непрерывных на произвольном компакте в С и аналитических внутри компакта, функциями, бианалитическими в его окрестности // Матем. заметки. 2001. Т. 69. No. 2, С. 245-261.

69. Мазалов М.Я. О равномерных приближениях бианалитическими функциями на произвольных компактах в С // Матем. сборник. 2004. Т. 195. No. 5, С. 79-102.

70. Мазалов М.Я. Критерий равномерной приближаемое™ на произвольных компактах для решений эллиптических уравнений // Матем. сборник. 2008. Т. 199. No. 1, С. 15-46.

71. Мазалов М.Я. О задаче Дирихле для полианалитических функций // Матем. сборник. 2009. Т. 200. No. 10, С. 59-80.

72. Мазалов М.Я. О равномерном приближении гармоническими функциями на компактах в К3 // Записки научных семинаров ПОМИ. 2011. Т. 389, С. 162-190.

73. Мазалов М.Я. О задаче равномерного приближения гармонических функций // Алгебра и анализ. 2011. Т. 23. No. 4, С. 136-178.

74. Мазалов М.Я. Критерий приближаемости гармоническими функциями в пространствах Липшица // Записки научных семинаров ПОМИ. 2012. Т. 401, С. 144-171.

75. Мазалов М.Я. Критерий равномерной приближаемости гармоническими функциями на компактах в К3 // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. 2012. Т. 279, С. 120-165.

76. Мазалов М.Я., Парамонов П.В., Федоровский К.Ю. Условия Ст-приближаемости функций решениями эллиптических уравнений // Успехи математических наук. 2012. Т. 67. Вып. 6 (408), С. 53-100.