Приближения двоякопериодическими функциями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Синцова Ксения Анатольевна

• Синцова Ксения Анатольевна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Синцова Ксения Анатольевна

Введение

Определения и формулировки

Построение приближающего полинома

Оценка приближения

Окончание доказательства теоремы

Глава 2. Обратная теорема приближения

Введение

Начальные построения

Оценка сверху для полиномов

Неравенство типа Бернштейна

Заключительная часть доказательства

Глава 3. Класс ОгА(Б)

Введение

Определения и формулировки

Начало доказательства теоремы

Окончание доказательства теоремы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближения двоякопериодическими функциями»

Введение

Вопросы, связанные с полиномиальным приближением на комплексной плоскости, стали изучатся с 1920-х годов. Принципиальным результатом 1950-х годов является теорема С. Н. Мергеляна [1]. Начиная с 1960-х годов, данной проблематикой занимались многие математики, упомянем для примера В. К. Дзядыка, Н. К. Лебедева, Н. А. Широкова, И. А. Шевчука, В. М. Миклюкова, В. . Белого, П. М. Тамразова, В. В. Андреевского, В. В. Маймескула, D. E. Saff, V. Totik, J. Muller, T. Ganelius [3-6], [8-9], [12-13], [16-24], [27-29], [31].

Важной темой, изучаемой в работах упомянутых математиков, являлась задача о конструктивном описании классов аналитических в области функций и входящих в какой-либо класс гладкости в замкнутой области в терминах скорости их приближения полиномами. Для иллюстрации проблемы рассмотрим ограниченную жорданову область D с границей Г.

Обозначим через Ha(D) класс функций f, аналитических в D и удовлетворяющих условию |f (z) — f (£)| < Cf |z — £|a,z,£ Е D, 0 < а < 1. Пусть функция £ = <^(z) отображает C \ D на C \ D, D - единичный круг, такая, что ф(то) = то, ф(то) > 0, z = Ф(£) - обратное отображение. Для h > 0 положим rh = Ф((1 + h)n), П = дD - единичная окружность.

Первые результаты о конструктивном описании класса Ha(D) для случая достаточно гладкой Г [2] или кривой Г с конечным числом углов [3], [6] формулировались следующим образом. Для z Е Г положим ph(z) = dist(z, Th).

Теорема А. Для того, чтобы f Е Ha(D), необходимо и достаточно, чтобы для любого n = 1, 2,... сущестовали полиномы Pn(z), degPn < n и некоторая постоянная Cf, не зависящая от z и n, такие, что выполняется соотношение

|f (z) — Pn(z)| < Cfpa (z),z Е Г. (a)

n

Последующие усилия математиков были направлены на ослабление условий на границу Г, при которых критерий (а) продолжал бы выполняться. Наиболее сильный результат был получен в работе [21], в которой кривая Г предполагалась квазиокружностью (квазиконформным образом окружности). Параллельно с этим оказалось [15], что наличие на границе внешних углов, равных нулю или 2п, может приводить к отсутствию конструктивного описания класса Ha(D) вида (а). При этом наличие внешних для D углов, равных 2п, на кривой Г в случае достаточной гладкости соприкасающихся в угловой точке дуг описание (а) сохраняло конструктивное описание [6].

Наряду с конструктивным описанием классов аналитических функций в гладких областях рассматривалось конструктивное описание голоморфных функций в областях Сп, при п > 2. [30]. Границы соответствующих областей предполагались С2 - гладкими.

Имеется промежуточная между С и Сп ситуация, именно, области на эллиптических кривых в С2, одномерные в комплексном смысле, погруженные в С2, требуют для конструктивного описания классов голоморфных в них функций полиномов от двух переменных.

Первые результаты такого рода были получены в работах [31], [32]. В этих работах предполагалось, что граница области удовлетворяет условию соизмеримости дуги и хорды, и изучался именно класс На(Б) с 0 < а < 1.

Построение требуемых полиномов происходило на плоскости С, полиномы строились от двояко-периодических функций Вейерштрасса и их производных. В настоящей диссертации конструктивно описываются классы Нг+ш (Б) для модулей непрерывности ш, удовлетворяющих условию Дини (в частности, для классов Нг+а(Б), г > 0,0 < а < 1) и для областей Б, которые могут иметь конечное число внешних по отношению к Б углов, равных 2п. Доказывается т. н. прямая теорема приближения для классов Сг(Б).

Положения, выносимые на защиту

1. Получена прямая теорема приближения функций из класса Нг+Ш (Б) полиномами от двояко-периодических функций Вейерштрасса для областей Б, которые могут иметь конечное число внешних по отношению к Б граничных углов, равных 2п.

2. Получена обратная теорема приближения для функций из класса Нг+Ш(Б) для упомянутых выше областей.

3. Получена прямая теорема приближения для классов Сг(Б).

Обзор первой главы

В первой главе формулируется и доказывается прямая теорема приближения функции, заданной на эллиптической кривой при помощи полиномов Вейерштрасса. Пусть Q - параллелограмм на комплексной плоскости С с вершинами 0, 2ш1, 2ш2, 2ш3 == 2(ш1 + ш2),1т^ > 0,Р - классическая функция Вейерштрасса с периодами 2ш1, 2ш2 [2, Гл.1]. (( - внутренность Q, Б - жорданова область, на границу которой

3

ниже будут наложены некоторые условия, Б С О-

Пусть ш : {х € Я : х > 0} —^ {х € Я : х > 0} - строго возрастающая функция, ш(0) = 0, которую мы будем рассматривать в качестве модуля непрерывности. Через Нш(Б) обозначим множество функций, аналитических в Б, непрерывных в Б, для которых выполнено соотношение |/(^) — /(22)| < Cfш(^ — 22|), для любых 2а, ¿2 € Б.

Пусть Нш+Г (Б) - множество функций, аналитических в Б и таких, что /(г) € Нш(Б); НШ+°(Б) = Нш(Б).

Мы предполагаем, что модуль непрерывности ш(£) удовлетворяет неравенству:

+ х -у^ < сш(х),х> 0. ./0 ^ Ух ^

Предполагаем, что жорданова область Б обладает следующими свойствами:

1) имеется конечное число точек 21,...,2т € Г == дБ,т > 1, и их окрестностей П1,..., Пт, 2, € П,, таких, что Пд П П = 0, к = /;

2) дуги Г1,..., Гт лежат на Г, Г, С Г\ и ^ Пг, Г^ Гг = 0,к = ^Ц^ Г = Г\ и т=1 П и концы Г, - точки 2°,,^ и 2°,, причем 2, , 22?-1,22?-,2,+ следуют в порядке положительного обхода кривой Г, 2т+1 == 21. Предполагаем, что существует Ь > 0, где Г(£ь£2) - дуга с концами содержащаяся в дуге кривой Г, с концами 2°., и 20,-1, не содержащей точку 2,, выполнено соотношение

№,6)|< Ь|6 — б|. (Ь)

Далее условие Ь) мы будем называть условием соизмеримости длины дуги и хорды. Дуга Г с концами в точках 2°,-1 и 2°,-2, содержащая точку 2,, имеет касательную в каждой точке.

Дуги Г(2°,-1, 2,) С П,, Г(2,, 2°,-2) С П, обладают следующим свойством: если в(£) - угол наклона ориентированной касательной к Г в положительном направлении вещественной оси, то с некоторыми Ь1 > 0,а > 0 имеется соотношение

|©(Ы — ©(Ы1< Ь1|^2 — 6Г, (с)

в случае, когда Г(^,£2) С Г(2°,-1,2,) или Г(^,£2) С Г(2,,2°,-2). Внешний по отношению к Б угол п* между касательными к дугам Г(2°,-1, 2,) и Г(2,, 2°,-2) в точке 2, равен

П* = 2п, ] = 1...т.

Обозначим через ф(2) функцию, которая конформно отображает С\Б на внешность единичного круга О так, что ф(о^) = о, ф'(о) > 0,2 = Ф(£) - обратное

отображение. Для £ > 0 положим Г1+4 = {г € С : г = Ф(£), |£| = 1 + £}, для г € Г полагаем рДг) == вгз£(г, Г1+4). Основной результат:

Теорема 1.1. Пусть В удовлетворяет указанным выше условиям, модуль непрерывности ш удовлетворяет соотношению (1), и € Иш+Т(Б), г > 0. Тогда существует постоянная с = c(f) такая, что при п = 1,2... найдется полином РГ1(и,ь) от двух переменных, вegPn < п, такой, что справедливо соотношение:

^(г) - Рп(Р(г),р(г))| < ср\ (г)ш(рп(г)), г € Г.

п п

Доказательству теоремы 1.1 посвящена первая глава работы. Вспомогательные выводы и утверждения:

Лемма 1. Пусть Qt - параллелограмм с центром в точке ш3 и сторонами длины 21|ш1|, 21|ш2|, 0 < 1 < 1, для параллелограмма Qt == ш3+t(Q—ш3) выполнено условие Б С Qt. Пусть функция Б аналитична в Qt, принадлежит в Qt классу кроме того, Б (г) = Б (2ш3 — г) для произвольного г € Qt. Тогда для произвольного п можно указать полином Qn, degQn < п, такой, что

(г) — Qn(P(г))|< с ■ п-(а+1),

'(г) — ШР(г)))'| < с ■ п-а,г € ^

Следующая теорема в духе результатов Е. М. Дынькина [7], но у него она не встречается для областей, которые рассматриваются в данной работе. Теорема 1.3. Существует продолжение ^ функции f в С \ Б такое, что

1. и € С (С € С 1(С \ Б),^(г) = 0, при |г | > Дд.

2. МЬц(г)| < с ■ вг^Г-1(г, Г)ш(вгв*(г, Г), г € С \ Б.

Как показано в диссертации (см. главу 1, стр. 20) можно определить полином Qm0(и) так, чтобы функция з(г) = Р'(г^то(Р(г)) была однолистной в параллелограмме Qt.

Лемма 2. Для г € Б справедливо соотношение

<( ) 1 Г ^) вА(Л и (г) = — "т^-тт вА(С),

где йА - двумерная мера Лебега.

Доказательство леммы 2 основано на использовании свойств функции и0, свойств модуля непрерывности, а также на применении формулы Коши. Положим О = 5(Б), функция Ф конформно отображает С\О на С\О так, что Ф(то) = то , Ф'(то) >0, ф - обратное к Ф отображение.

Для t е C \ G, в е [0; 2п], R > 1 положим

tR,e = те-г@т), tR = tR,o = tfí(t)

Для w Е G,t Е C \ G полагаем R = 1 + 1 и Kn(w,t, R, в) =f ^^ (.R'°-)——,

\ n nV ^ ¿í (tR,© - w)v '

sinив\ q sin в

ün(w,t) = Cnq —— )K(w,t, R, в) de,

Pn(P(z),P(z)) = -1 í f0-(t)s'(mn(s(z),s(0) dA(0.

n JQt\D

0-y

Далее существенно получить оценки для выражений (¿я,© — ¿) и (¿я,© — ш). В процессе доказательства теоремы 1.1 используются следующие результаты. Лемма 3. [3]. Существует абсолютная постоянная с > 1 такая, что для Я = 1 + п, п > 1, |0| < п при Ь Е С \ С, т Е С справедливы оценки

с-1(п|0| + 1)-% — т| < |Ья,© — т| < с(п|©| + 1)% — т|.

Лемма 4. [5, Гл. 9], [12, Гл. 2]. Пусть П С С - жорданова область г0 Е дП, / аналитична в П, непрерывна в П и удовлетворяет условию

|/(г)|< М Л + —

Р

при А > 0 и г Е дП. Тогда при г Е П, |г — г0| < р справедливо соотношение

|/(г)|< САМ, где С0 не зависит от области П,М и функции /.

Для окончания доказательства теоремы 1.1 нужна функция М(т), которая равна М(т) = |/0|(А(т)| ■ |А'(т)|,т Е Qt, где А(т) - обратное отображение к отображению

0 < М(т) < Cf|А(т)|<г^г-1(А(т),дБ))ш(<гвг(А(т),дБ))

< Ь20<гвГ-1(т,дС)ш(<гвг(т,дС)),т Е s(Qt \ Б). (<)

Благодаря ранее выясненным свойствам этой функции, а именно формуле (<), к ней можно применить известный в литературе результат, содержащийся в следующей лемме (лемма 5).

Применение леммы 5 заканчивает процедуру оценок приближения функции по-стоенными полиномами.

Лемма 5. Для любой функции М, заданной на множестве С \ С и удовлетворяющей условиям (й), при ¿0 Е дС и р0 > 0 справедлива оценка

Г М (т)

'Bp0(íS) |т - to| 6

dA(r) < CmрО^(ро).

Обзор второй главы

Во второй главе работы приведена формулировка и доказательство обратной теоремы приближения.

Определим эллиптическую кривую, пусть Е = {((, п) € С2 : п2 = 3 — — $3} С С2Ч. Указанная кривая (с добавленной точкой на бесконечности) биголоморфно параметризуется подходящим комплексным тором С \ (2ш^ + 2ш^) с помощью вектор-функции Т(2) = (Р(2), Р'(2)).

Зададим параллелограмм периодов функции Вейерштрасса, пусть Q = {2 € С : 2 = 2^1а1 + 2^2а2, а1, а2 € [0,1)} - параллелограмм периодов функции Р(2). Пусть область Б - жорданова область, определенная в главе 1. Зададим веса приближений доказываемых теорем. Пусть ф - конформное отображение множества С \ Б на С\ {|21 < 1}, где ф(о) = о, ф'(о) > 0, и пусть ф = ф-1 - обратное отображение. Обозначим Г1+4 = ф(121 = 1 + £), где £ > 0, и пусть

Рп(2) = ^£(2, Г1+1/п),2 € Г.

Тогда взаимнооднозначное отображение параллелограмма Q на Е будем определять следующим образом

Т(2) = (Р'(2), Р(2)) (е)

Обозначим

Рп (С,п) = Рп(Т-1(С,п)).

Положим С = Т(Б).

Пусть функция У(С,п) определена на области С. Будем говорить, что функция У(С,п) € Н(С), если функция У(Т(2)), определенная на множестве Б, принадлежит Н (Б). Основной результат:

Теорема 2.1. Пусть Б - односвязная область (определенная в пунктах (Ь) и (с) на стр. 4), Б С С С, и пусть С = Т(Б), С С Е С С2, где преобразование Т(2) определено в (е). Если некоторая голоморфная в С функция Я : С — С, может быть приближена последовательностью полиномов Рп((,п), < п,

двух переменных так, что для некоторой постоянной С (Я, С) при произвольном п € N выполняются неравенства

(С, п) — Рп(С, п) | < С (Я, С)РП(С, п)ш(Рп(С, п))

при (С,п) € дС, то Я € Нш+Г(С).

Теорема 2.1 получается из следующего результата.

Теорема 2.2. Пусть Б - ограниченная односвязная область (определенная в пунктах (Ь) и (с) на стр. 4), Б С (, Г = дБ. Пусть / : Б — С. Если найдется такая последовательность полиномов двух переменных Рп((, п), < п, что для некоторой постоянной С (Я, Б), независящей от п, выполняются неравенства

|/(2) — Р„(Р(2), Р'(2))| < С(Я,Б)рП(2)ш(рп(2)), (/)

при 2 € Г, то функция / принадлежит классу Нш+Г(Б).

Доказательство теоремы 2.2 требует установить вариант неравенства Бернштейна. Теорема 2.3. Пусть Б - описанная выше область, Б С Г = дБ. Для произвольного полинома двух переменных дп((, п), < п, для которого выполнено неравенство

ЫР(2), Р'(2))| < рП(2)ш(рп(2)), при 2 € Г, справедливо также неравенство

|«П(Р(2), Р'(2))| < С(Б)рП-1(2)ш(р„(2)),

при 2 € Г.

Рассмотрим сигма-функцию Вейерштрасса а (и), определяемую выражением

= - /' (/' Н — ?) ^ *<

Согласно [2, гл. 1], а(2) - целая функция, имеющая простые нули в вершинах сетки периодов (т.е. в точках 2^1п1 + 2ш2п2, где п1,п2 € для которой справедливо выражение д).

Выберем натуральное т и целые числа к0, к0 так, чтобы ш0 == 2к1 € б.

Рассмотрим функцию

а(2 — ш0)т 1(2) - а(2 ^ )

а(2)т-1а(2 + 2к0ш1 + 2к0ш2)' пусть величины п», г =1, 2 - параметры функции Вейерштрасса,

а(2 + 2ш») = — )а(2), г = 1, 2. (д)

Заметим, что 1(2) имеет нуль кратности т в точке Ш0 и полюс порядка т — 1 в точке 0. Также из следует, что

1(2 + Шг) = 1е2п'(тш1-2к1ш1-2к°1ш2) = 1(2), г =1, 2,

8

т.е. 1(г) - двоякопериодическая функция с периодами 2^1, 2^2. Пусть множество П = П(Б) получается из области Б преобразованиями г ^ г + 2ш1п1 + 2ш2п2 :

П = {г : г = 2ш1п1 + 2ш2п2 + го,го Е Б,п1 ,п2 Е Ъ].

Целью данного параграфа является построение гармонической в С \ П функции V(г), принимающей на дП значения, равные

ВД = —1ад\1(г )|.

Воспользуемся решением вспомогательной задачи Дирихле. При произвольном натуральном Ь рассмотрим параллелограмм

QL = {г : г = 2^1 + 2^2, ¿4,^2 Е М, N < Ь, |к21 < Ь].

Далее рассмотрим функцию wL(г), гармоническую в области QL\П и непрерывную вплоть до ее границы, удовлетворяющую следующим граничным условиям:

, , ,1, 2 Е дQL, WL(г) =

' о, 2 е дпп Ql.

Вспомогательные выводы и утверждения:

Лемма 6. В произвольной ограниченной области Й, Й С С \ П,

wL(г) ^ 0, Ь ^ то.

Пользуясь принципом максимального модуля, свойствами функции а (г), приходим

к доказательству леммы 6.

Положим

Vmin = тгпУз(г )^тах = тахЦ!(г). гедэ гедэ

Пусть V],(г),V- (г) - решения задачи Дирихле в области QL \ П со следующими

граничными условиями:

I Vmax,

2 Е дQL.

Ч(г) = [

[^з(г), г Е дП. _ , ч I Vmin,

2 Е дQL.

У- (г) = [

[^(г), г Е дП.

Из принципа максимума вытекает, что при Ь ^ то, V, (г) - убывающее, а У-(г) -возрастающее семейство функций.

И далее, применяя результаты леммы 6, приходим к выводу, что существуют пределы

lim VL+(z) = lim VL-(z) = V(z), и функция V(z) - гармоническая в C \ П.

Далее устанавливаются некоторые ограничения на рост полиномов от P, P', вблизи полюсов функций P, P'.

Пусть, pn(z) определено выше и функция w(z) : Г ^ R. Сформулируем условия на функцию w(z), которые приводятся в тексте диссертации (глава 2, стр. 41):

1. w(z) > Ain-A,Ai = Ai(D) > 0,A2 = A2(D) > 0;

2. Для точек z1,z2 G Г, где |z1 — z2| < pn(z1), справедливо соотношение w(z2) x w(z1), причем постоянные соизмеримости зависят только от области D, но не от точек z1, z2;

3. Для некоторых положительных постоянных k1 = fc1(D),C1 = C1(D) и постоянных точек z1, z2 G Г справедливо неравенство

w(z2) < C1w(z1^JZ2—^ + Л 1 .

V Pn(z1) )

Сформулируем следующую лемму.

Лемма 7. Пусть функция w(z) удовлетворяет условиям 1)-3). Тогда найдется некоторое число е0 > 0 такое, что для произвольного многочлена двух переменных qn(Z, n), degqn < n, удовлетворяющего неравенству

|qn(P(z),P'(z))| < w(z),

при z G Г будет справедливо неравенство:

|qn(P(z),P'(z))| < C2eC3n,

при z G Q£0, где Q£0 = C \ (П U |J {|z — 2wm1 — <г}),С2 = C2(D),Cs =

Cs(D).

Лемма 8. ([4], П. М. Тамразов) Пусть задана ограниченная область J С D. Тогда найдется постоянная C4 = C4 (J) такая, что для произвольных положительных постоянных k, a, b и для произвольной субгармонической в области J функции h(z), удовлетворяющей неравенству

h(Z) < k1og(a|Z — zo| + b), Z G dJ, zo G G,

справедливо неравенство

h(Z) < k[1og(a|Z — ^ + b) + C4],Z G J.

Лемма 9. Пусть функция '(г) удовлетворяет условиям 1 )-3), а многочлен дп((, п) удовлетворяет условиям леммы 2.2. Тогда существует постоянная С5 = С5(Б) такая, что для произвольной точки г0 Е Г справедливо неравенство

ЫР(С),Р(С))1< С5'(го),

если К — го| = Рп(го).

Теорема 2.3'. Пусть Б - область, определенная ранее, функция '(г) удовлетворяет условиям 1)-3). Для произвольного полинома двух переменных дп((, п), <вддп < п, для которых выполнено неравенство

ЫР(г),р(г))| < '(г), при г Е Г, справедливо также неравенство

|^(Р(г),Р'(г))|< Ск^,

рп(г)'

при г Е Г.

Для завершения доказательства теоремы 2.1 в соответствии с теоремой Тамразова [12] достаточно доказать следующее неравенство

|/(г)(г1) — /М(г2)|< С}ш(|г1 — г21),

для г1, г2 Е Г.

Обозначим для краткости Рп(г) = Рп(Р(г), Р'(г)), где Рп(Р, Р') взяты из формулы (/).

Доказательство проходит с использованием выводов теоремы 2.2 и теоремы 2.3'. Определенным образом выберем натуральное Ь и полагаем, что Дп(г) = PLr^+1 (г) — PLn(г). Проведя некоторые рассуждения, получаем, что функция

/ (г)(г) = Р*[\г) + £ ДМ(г),

п=1

непрерывна. Имеем

|/(г)(г1) — /(г)(г2)| < Рг)(г1) — Р^) +

^(Д^Ы — Д^Ы)

п=1

(Н)

Вввиду особенностей построения полинома Р^(г) выводим следующее соотношение:

|Р1Г)(21) — Р1Г)(22)| < С1з|21 — 221 < СИш(21 — 22)

Далее проводим оценку второго слагаемого из (Ь) и получаем следующее представление:

N1 N1 , ,

£ ^(21) — АПГ)(22 )| < С16|21 — 22 | £ .

п=1 п=0 (21)

Использую результаты теоремы 2.3', геометрические свойства рассматриваемых областей, а также определение модуля непрерывности ш(£), получаем

N1

5(АПГ)(21) — АПГ)(22))

п=0

где С16 = С16(Б). И далее

< С16 ш(р^° (21)) |21 — 22|< С16Ш(|21 — 22|),

(21)

£ (АПГ)(21) — Д^Ы)

га=^+1

оо

< С1^ ^ш(р^^1+1(21)) <

^Пв!

п=0

< С^Ш^^Ы) < С19Ш(|21 — 22|).

Полученные результаты при учете всех предыдущих рассуждений доказывают вывод теоремы 2.2.

Обзор третьей главы

В третьей главе мы рассматриваем приближение полиномами от двояко-периодических функций Вейерштрасса для функций, аналитических в области и непрерывных в ее замыкании. Эта задача тесно связана с приближением голоморфными полиномами от двух переменных функции, голоморфной в области на эллиптической кривой. Предпологаем, что у всей границы области Б на плоскости длина дуги соизмерима с длиной хорды (см. условие Ь) на стр. 4). Данное условие переносится и на область Т(Б) на эллиптической кривой. Возможность получения оценки приближения полиномами от функий Р(2), Р'(2), которая согласуется с т.н. обратной теоремой, т. е. с восстановлением гладкости функции по скорости приближения, была получена (в главе 1) для классов аналитических в области функций, у которых в замыкании области производная заданного порядка имеет модуль непрерывности гельдеровского типа, при этом порядка, меньшего единицы. Метод приближения, применяемый ранее, не давал возможности изучать классы аналитических

функций, у которых производная какого-то порядка ограничена. В настоящей главе мы используем другой метод аппроксимации для приближения полиномами от двояко-периодических функций Вейерштрасса функций, аналитических в области, у которых производная данного порядка ограничена.

Пусть Р(г) - двояко-периодическая функция Вейерштрасса с периодами 2ш1, 2ш2, Q = {г Е С : г = 2Ь1ш1 + 2Ь2ш2,0 < Ь1 < 1, 0 <Ь2 < 1] - параллелограмм периодов функции Р(г). Область Б - односвязная область. Для Qt = ш1 + ш2 +— ш1 — ш2), но 0 < 1 < 1, 1 выберем так, чтобы Б С Qt, Г = дБ.

Предполагаем, что Г удовлетворяет следующему условию: существует Ь > 0, не зависящее от г1, г2 Е Г, такая, что, по крайней мере, для одной из дуг Г с концами г1 и г2, которую мы обозначим Г(г1, г2), ее длина не превосходит ведичин Ь■ |г2 — г1|. Далее длину дуги а будем обозначать |а|.

Пусть г - натуральное. Обозначим через СГА (Б) следующий функциональный класс: С\(Б) = {/ : / аналитична в В и существует постоянная Cf такая, что |/(г)(г)| < Cf ,г Е Б]. Известно [28, гл. 7], что для / Е С\(Б) для почти всех г0 Е Г относительно длины кривой Г существуют некасательные пределы у функции /(г)(г) и они ограничены величиной Cf. Основной результат:

Теорема 3.1. Пусть / Е СТА(Б). Тогда существует постоянная с^, не зависящая от п и г, и для любого п = 1, 2,... существует полином Рп(и,у) от двух переменных, (1вдРп < п, такие, что справедливо соотношение

/(г) — Рп(Р(г),р(г))| < с}р\ (г),г Е дБ.

п

Замечание: Клас функций СА (Б) можно трактовать, как класс функций /, аналитичных в Б, у которых /(г-1) имеет в Б модуль непрерывности ш(8) = с■ 8. Доказательство прямой теоремы в главе 1 для такого модуля непрерывности не проходит, в настоящей главе мы применяем другой метод приближения. Научная новизна: все выносимые на защиту результаты являются новыми. Практическая значимость: работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при дальнейших исследованиях полиномиальной аппроксимации на подмножествах эллиптических кривых. Основные положения, выносимые на защиту:

1. Получена прямая теорема приближения функций из класса Иг+Ш (Б) полиномами от двояко-периодических функций Вейерштрасса для областей Б, которые могут иметь конечное число внешних по отношению к Б граничных углов, равных

2п 13

2. Получена обратная теорема приближения для функций из класса Hr+W(D) для упомянутых выше областей.

3. Получена прямая теорема приближения для классов Cr(D). Достоверность результатов: достоверность полученных результатов обеспечивается строгими математическими доказательствами.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре по теории функций и операторов ПОМИ РАН и на международной конференции "Герценов-ские чтения"в РГПУ им. А. И. Герцена в апреле 2024 года.

Личный вклад. Все результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно.

Публикации. Результаты диссертации изложены в трех статьях [33], [34], [35] в резенцируемых научных журналах. Статьи [33] и [35] входят в реферативные базы Scopus и Web of Science. Статья [34] входит в список D списка журналов, рекомендованных в НИУ ВШЭ.

Благодарности. Автор искренне благодарит своего научного руководителя, Широкова Николая Алексеевича, за руководство работой, полезные обсуждения и ценные советы.

Объем и структура раоботы. Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения.

Полный объем диссертации составляет 61 страницу. Список литературы содержит 35 наименования.

Глава 1. Прямая теорема приближения Введение

Определим E = {(u,v) G C2 : u2 = 4v3 — g2v — $3} - эллиптическая кривая в C2 [2], Л С E - континуум с непустой внутренностью /niA., На(Л), 0 < а < 1 -класс функций, голоморфных в /niЛ и удовлетворяющих в Л а - условию Гельдера относительно метрики в C2 порядка а:

|f(n) — /(z)| < c|n — z|а,п = (u,v),z = (p,q),n,z G Л.

Ранее в [32] было показано, что любая функция F G На(Л) может быть приближена на границе дЛ полиномами Pn(u, v), degPn < n, с такой оценкой остатка, которая позволяет установить т.н. обратную теорему приближения при условии,

что длина дуги на дЛ соизмерима с длиной хорды, соединяющей концы дуги.

14

В доказательстве использовалось взаимно однозначное соответствие г о (Р'(г), Р(г)) между параллелограммом периодов функции Вейерштрасса Р(г) и эллиптической кривой Е. Задача таким образом переформулируется в вопрос о приближении функции /, аналитической во внутренности Е) области Б, связанной с контунуумом Л с помощью указанного выше отображения. Граница области Б также удовлетворяет условию соизмеримости длины дуги и стягивающей ее хорды. Для функций / и Б определим соотношение /(г) = Б(Р'(г),Р(г)), функцию /(г) нужно приближать функциями Рп(Р'(г),Р(г)). Требование соизмеримости длины дуги и стягивающей хорды на границе области существенно для проблем полиномиального приближения функций, аналитических в этой области и непрерывных в ее замыкании. Нарушение указанного условия для некоторых областей приводит к несовпадению т.н. прямых и обратных теорем приближения в ряде классов функций и, тем самым, к отсутствию конструктивного приближения. Конструктивное описание классов Гельдера в терминах полиномиальных приближений в областях, имеющих на границе внешние углы, равные 2п, сохраняется, если сходящиеся в таких точках дуги достаточно гладкие, например, если граница состоит из двух дуг, касающихся окружностей, соединенных затем кривой, длина дуги которой соизмерима с длиной стягивающей хорды.

В настоящей главе установлено, что для приближения выражениями вида Рп(Р'(г), Р(г)) с получением оценок разности, позволяющей доказывать обратные теоремы приближения для функций, аналитических в областях Б и принадлежащих в Б классам, аналогичным гельдеровским, достаточно требовать от обсуждаемых дуг гладкости порядка С1+ст.

Данная глава продолжает исследования, начатые в [32], и допускает у границы области дБ внешние по отношению к Б углы, равные 2п. В ней рассматривается приближение функций из классов Иг+Ш (см. определение в п. 2), частным случаем которых является а - гельдеровский класс при г = 0,ш(Ь) = , 0 < а < 1. Глава построена следующим образом: в п. "Определения и формулировки"приведены определения рассматриваемых областей и классов функции, сформулирована основная теорема 1.1. В п. "Построение приближающего полинома"строится приближающий полином Рп(Р'(г),Р(г)), для чего применяется псевдопродолжение функции / вне Б, дается представление функции / с помощью этого псевдопродолжения, а также приводится метод постоения приближающего полинома. В п. "Оценка приближения"проверяется, что оценки величин р1/п(г) в окрестностях точек заострения имеют вид, позволяющий провести последующие оценки - формула (36), для чего с помощью последовательных отображений га,в "распрямляют-

15

ся"точки заострения, а затем применяется теорема Келлога в локальном варианте. В п. "Окончание доказательства теоремы 1.1"доказательство завершается, причем сначала оценка приближения получается в других терминах, которые переводятся в требуемые в теореме 1 с помощью леммы из [32].

Определения и формулировки

Пусть Q - параллелограмм на комплексной плоскости С с вершинами 0, 2ш2, 2ш3 == 2(ш1 + ш2),Тш^ > 0,Р - классическая функция Вейерштрасса с периодами 2ш1, 2ш2 [2, Гл.1]. (( - внутренность Q, О - жорданова область, на границу которой ниже будут наложены некоторые условия, О С (.

Пусть ш : {х € Я : х > 0} —^ {х € Я : х > 0} - строго возрастающая функция, ш(0) = 0, которую мы будем рассматривать в качестве модуля непрерывности. Через Нш(О) обозначим множество функций, аналитических в О, непрерывных в О, для которых выполнено соотношение |/(г1) — /(г2)| < С/ш(|г1 — г2|), для любых ¿1, 22 € О.

Пусть Нш+Г (О) - множество функций, аналитических в О и таких, что /(г) € Нш(О); НШ+0(О) = Нш(О).

Мы предполагаем, что модуль непрерывности ш(£) удовлетворяет неравенству:

+ х -у^ < сш(х),х> 0. (1)

./0 £ Уж £

Предполагаем, что жорданова область О обладает следующими свойствами:

1) имеется конечное число точек г1,...,гт € Г == дО,т > 1, и их окрестностей П1,..., Пт, г, € П,, таких, что П П П = 0, к = /;

2) дуги Г1,..., Гт лежат на Г, Г, С Г\ и ^ Пг, Г^ Гг = 0,к = ^Ц^ Г = Г\ и т=1 П и концы Г, - точки и , причем г,, 1, , следуют в порядке положительного обхода кривой Г, 2т+1 == 21. Предполагаем, что существует Ь > 0, где Г(£ь£2) - дуга с концами содержащаяся в дуге кривой Г, с концами и го,--!, не содержащей точку г,, выполнено соотношение

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Синцова Ксения Анатольевна, 2024 год

Список литературы

[1] Мергелян С. Н., Некоторые вопросы конструктивной теории функций, Труды МИАН СССР, 37, 1-92, 1951.

[2] Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, Москва, «Наука», 1970.

[3] Белый В. И., Конформные отображения и приближение аналитических функций в областях с квазиконформной границей, Математический сборник, (102144), № 3, 341-361, 1977.

[4] Белый В. И., Миклюков В. М., Некоторые свойства конформных и квазиконформных отображений и прямые теоремы конструктивной теории функций, Известия АН СССР, серия математическая, 38, 1343-1361, 1974.

[5] Дзядык В.К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, Москва, «Наука», 1977.

[6] Дзядык В. К., О конструктивной характеристике функций классов Гельдера на замкнутых множествах с кусочно-гладкой границей,допускающей нулевые углы, УМЖ, 20, № 5, 603-619, 1968.

[7] Дынькин Е. М., Оценки аналитических функций в жордановых областях, Записки научных семинаров ЛОМИ, 73, 70-90, 1977.

[8] Лебедев Н. А., Тамразов П. М., Обратные теоремы приближения на регулярных компактах комплексной плоскости, Известия АН СССР, серия матем., 34, №6, 1340-1390, 1970.

[9] Лебедев Н. А., Широков Н. А., О равномерном приближении функций на замкнутых множествах, имеющих конечное число угловых точек с ненулевыми внешними углами, Известия АН Арм. ССР, 8, №4, 311 - 341, 1971.

[10] Стейн И., Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, "Мир 1973.

[11] Смирнов В. И., Н. А. Лебедев, Конструктивная теория функций комплексного переменного, «Наука», 1964.

[12] Тамразов П. М., Гладкости и полиномиальные приближения, Киев, «Наукова думка», 1975.

[13] Тамразов П. М., Экстремальные конформные отображения и полюсы квадратичных дифференциалов, Известия АН СССР, серия математическая, 32, №5, 1033-1043, 1968.

[14] Шевчук И. А., О конструктивной характеристике функций классов

на замкнутых множествах с кусочно-гладкой границей, Украинский математический журнал, 25, №1, 81-90, 1973.

[15] Широков Н. А., Конструктивные описания классов функций полиномаиль-ными приближениями, 1, 2, Записки научных семинаров ПОМИ, 254, 207-234, 1998.

[16] Широков Н. А., О равномерном приближении функций на замкнутых множествах, имеющих конечное число угловых точек с ненулевыми внешними углами, ДАН СССР, 205, № 4, 798-800, 1972.

[17] Andrievskii V. V., Geometric properties of Dzjadyk domains, Ukr. Math. J. 33 (1982) 543-547.

[18] Andrievskii V. V., The geometric structure of regions, and direct theorems of the constructive theory of functions, Math. USSR Sb. 54 (1986) 39-56.

[19] Andrievskii V. V., Belyi V. I., Dzjadyk V. K., Conformal Invariants in Constructive Theory of Functions of Complex Variable, Word Federation Publisher, Atlanta, GA, 1995.

[20] Andrievskii V. V., Pritsker I. E., Varga R. S., Simultaneous approximation and interpolation of functions on continua in the complex plane, J. Math. Pures Appl. 80, 4 (2001) 373-388.

[21] Belyi V. I., Conformal mappings and the approximation of analytic functions in domains with a quasiconformal boundary, Math. USSR Sb. 31 (1997) 289-317.

[22] Belyi V. I., Tamrazov P. M., Polynomial approximations and smoothness moduli of functions in regions with quasiconformal boundary, Siberian Math. J. 21 (1981) 434-445.

[23] Dynkin E. M., The pseudoanalytic extension, Journal d' analyse mathematique, 60, 45-70, 1993.

[24] Dynkin E. M., The rate of polynomial approximation in the complex domain, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag, 864, 90-142, 1981.

[25] Maimeskul V. V., Approximation of analytic function by «near-best» polynomial approximants, Ukr. Math J., (1992) 44: 208-214 (in Russian).

[26] Maimeskul V. V., Degree of approximation of analytic functions by «near-best» polynomial approximants, Constr. Approx. 11 (1995), 1-21.

[27] Muller J., An Extended Faber Operator, Constr, Approx. 19 (2003): 399-410.

[28] Pommerenke Ch., Boundary Behavior of Conformal Maps, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 299, 1992.

[29] Saff E. B., Lulinsky D. S., Story Asymptotics for Extremal Polynomials Associated with Weights on R, Lecture Notes in Mathematics, 1305, Springer-Verlag„ 1988.

[30] Shirokov N. A., Jackson-Bernstein theorem in strictly pseudoconvex domain in Cn, Constructive Approximation, №4, 455-461, 1989.

[31] Хаустов А. В.., Широков Н. А., Обратная теорема приближения на подмножествах эллиптических кривых, Записки научных семинаров ПОМИ, 314, 257271, 2004.

[32] Хаустов. А. В.., Широков Н. А., Полиномиальные приближения на замкнутых подмножествах эллиптических кривых, Записки научных семинаров ПОМИ, 302, 178-187, 2003.

[33] Sintsova K. A., Shirokov N. A., Approximation by Polynomials Composed of Weierstrass Doubly Periodic Functions, Vestnik St. Petersburg University, Mathematics, 56, pages 46-56, 2023.

[34] Синцова К. А., Обратная теорема приближения на подмножествах областей с заострениями, Записки научных семинаров ПОМИ, 527, 204-220, 2023.

[35] Sintsova K. A., Shirokov N. A., Approximation by doubly periodic functions in the classes CA, Vestnik St. Petersburg University, Mathematics, 57, pages 345-352, 2024. DOI: 10.1134/S1063454124700195