Краевые задачи в полупространстве для одного класса псевдодифференциальных уравнений с вырождением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Садчиков, Павел Валерьевич

• Садчиков, Павел Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Садчиков, Павел Валерьевич

ВВЕДЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ГЛАВА 1 .ВЕСОВЫЕ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА.

1.1 Формулы коммутации и вспомогательные оценки.

1.2 Композиция весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом из класса 5™(<у.

1.3 Теорема об ограниченности весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом из класса

1.4 Оценки коммутатора весового псевдодифференциального оператора с переменным символом из класса и операторов дифференцирования -^у.

1.5 Граничные значения весового псевдодифференциального оператора с переменным символом из класса

1.6 Сопряженный оператор и неравенство Гординга для весовых псевдодифференцильных операторов с переменным символом из класса %.

ГЛАВА 2. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ПРОИЗВОДНУЮ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПО ПЕРЕМЕННОЙ Т.

2.1 Вспомогательные утверждения.

2.2 Доказательство априорных оценок решений задачи Дирихле для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений с переменным по г символом.

ГЛАВА 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ПРОИЗВОДНУЮ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПО ПЕРЕМЕННОЙ Т.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи в полупространстве для одного класса псевдодифференциальных уравнений с вырождением»

Краевые задачи для вырождающихся уравнений относятся к «неклассическим» задачам математической физики. Основная трудность, возникающая в теории вырождающихся эллиптических уравнений, связана с влиянием младших (в смысле теории регулярных эллиптических операторов) членов уравнения на постановку граничных задач и их коэрцитивную разрешимость.

Вырождающиеся эллиптические уравнения второго порядка и граничные задачи для них достаточно хорошо изучены. Фундаментальные результаты в этом направлении принадлежат М. В. Келдышу [1]. Полученные им результаты затем развивались и обобщались О. А. Олейник [2]. Обобщенные решения вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка впервые были рассмотрены в работах С. Г. Михлина [3] и М. И. Вишика [4]. Вслед за этим появился ряд работ, в которых методами, близкими к методу М. И. Вишика, изучались вырождающиеся уравнения второго порядка. Достаточно полную библиографию этих работ можно найти в книгах М. М. Смирнова [5], О. А. Олейник, Е. В. Радкевича [6]. Фундаментальные результаты по изучению асимптотических свойств решений линейных и нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем были получены В. А. Кондратьевым [7], [8], В. А. Кондратьевым, Е. М. Ландисом [9], Ю. В. Егоровым, В. А. Кондратьевым, О. А. Олейник [10]. Метод "эллиптической регуляризации" был применен О. А. Олейник [11], а затем Дж. Коном и Л. Ниренбергом [12] для изучения эллиптико - параболических уравнений второго порядка. В работах В. П. Глушко [13], [14] была установлена коэрцитивная разрешимость общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка в специальных весовых пространствах типа пространств С. Л. Соболева с весом. Задача Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных данных в произвольной выпуклой области была исследована в работе В. А. Рукавишникова, А. Г. Ереклинцева [15], а с несогласованным вырождением - в работе В. А. Рукавишникова [16]. Задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с неоднородным анизотропным вырождением в области была рассмотрена в работе С. Н. Антонцева, С. И. Шмарева [17].

Исследование вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка (при "степенном" характере вырождения) было начато в работах М. И. Вишика и В. В. Грушина [18], [19]. Затем ряд результатов для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка был получен В. П. Глушко [20], [21], X. Леопольдом [22], С. 3. Левендорским [23], С. А. Исхоковым [24].

В последние годы интерес к вырождающимся уравнениям возрос в связи с использованием таких уравнений для моделирования различных физических процессов, в которых граница области оказывает существенное влияние на процессы, происходящие вблизи границы. В этом случае на границе области может меняться как тип уравнений, так и их порядок. Такие уравнения используются при исследовании стационарных процессов конвекции — диффузии в неоднородных анизотропных средах, характерных тем, что при приближении к границе коэффициент диффузии стремится к нулю. В частности, к таким уравнениям приводит математическое моделирование процессов фильтрации идеального баротропного газа в неоднородной анизотропной пористой среде (см. [17]), процессов фильтрации двухфазных жидкостей (см. [25], [26]), в том числе, процессов вытеснения нефти водой из пористой среды [27]. Подобные уравнения возникают при моделировании процесса распространения примеси в жидкокристаллическом растворе, находящемся во внешнем электрическом поле (см. [28]), при исследовании . стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием (см. [29]), при расчете линейных стационарных магнитных осесимметричных полей в неоднородных анизотропных средах (см. [30]). Такие уравнения являются также обобщением сингулярно возмущенных уравнений конвекции - диффузии (см. [31]). Кроме того, известно, что нахождение решения краевой задачи для эллиптического уравнения эквивалентно минимизации некоторого функционала. В теории управления задача о минимуме некоторого функционала соответствует задаче об оптимальном управлении. Вырождающимся эллиптическим уравнениям соответствуют вырожденные или особые оптимальные управления (см. [32] - [33]).

Настоящая диссертационная работа посвящена доказательству коэрцитивных априорных оценок и теорем разрешимости краевых задач в полупространстве для одного класса вырождающихся псевдодифференциальных уравнений.

В работе систематически используется специальное интегральное преобразование введенное в [20]. Преобразование ¥а позволяет ввести в рассмотрение специальный класс весовых псевдодифференциальных операторов. Весовые псевдодифференциальные операторы с постоянным по / символом были изучены в [34], в работе [35] были исследованы некоторые классы весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом.

В первой главе вводятся и исследуются весовые псевдодифференциальные операторы с переменным по / символом из класса 8 <е[0;1). Доказываются теоремы о композиции и ограниченности таких операторов в специальных весовых пространствах типа пространств С. Л. Соболева. Устанавливаются формулы и оценки коммутатора весового д1 псевдодифференциального оператора с производными —т (/ = 1,2,.) и дt теоремы о предельных при ^ -» +0 и / —»+со значениях весового псевдодифференциального оператора с переменным по г символом. В этой * главе устанавливается связь весового псевдодифференциального оператора с некоторым интегральным оператором, строится сопряженный оператор к весовому псевдодифференциальному оператору и доказывается аналог неравенства Гординга для весовых псевдодифференциальных операторов. Весовые псевдодифференциальные операторы с символом из класса при т = 0 были изучены в [35]. Эти свойства весовых псевдодифференциальных операторов позволяют в дальнейшем изучить более широкие классы вырождающихся уравнений высокого порядка.

Во второй главе диссертационной работы доказываются коэрцитивные априорные оценки в весовых пространствах типа пространств С. Л. Соболева решений краевых задач типа задач Дирихле в полупространстве Я" для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой псевдодифференциальный оператор и только одну производную —.

В третьей главе исследуется разрешимость в весовых пространствах С. Л. Соболева краевых задач, рассмотренных в главе 2. Построен регуляризатор для этих краевых задач. В этой главе доказаны также теоремы о существовании и единственности решения краевых задач для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений, содержащих параметр.

Перейдем к более детальному описанию результатов диссертационной работы.

В первой главе диссертационной работы изучаются свойства весовых псевдодифференциальных операторов. Рассмотрим функцию а((), ? для которой выполняются условия: а(+0) = а'(+0) = 0, а(()>0 при / > 0, а(0=соп81 для (>с1 при некотором с1 >0.

Рассмотрим интегральное преобразование оо А 1 т, которое определено первоначально на функциях и(() е . Здесь пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций, носитель которых принадлежит Преобразование (1) и преобразование Фурье

00

Рт-*Ли]= |м(г)ехР

-00 связаны следующим соотношением (2) где иа(т) = л]а(1)и^) , г = (р'\т) - функция, обратная к функции

-■ (г)

1р а а(р)

Для преобразования справедлив аналог равенства Парсеваля

Равенство (3) даёт возможность расширить преобразование (1) до непрерывного преобразования, осуществляющего гомеоморфизм пространств Ь2{В}) и Ь2(Я[+), а также рассмотреть преобразование на некоторых классах обобщенных функций. Для расширенного таким образом преобразования Ра сохраним старое обозначение. Обозначим через Р~1 обратное к преобразование. Это преобразование можно записать в виде

КЫШ)=-^К-ХЛНФ]

Можно показать, что для функции е С0°°(Д^) справедливы равенства т=<р( о

РМ^Ш^Л^аШл), У=1,2,., где £> д, =|-. г дt

Определим пространства Н5а(Я"); Нза д{К") следующим образом.

Определение 1. Пространство Нза(я - действительное число) состоит из всех функций, для которых конечна норма

1С = /с+И2+772 ^Г ^. (4)

Я"

Определение 2. Пространство Н (Я") (я>0, д>1) состоит из всех функций е Нз а(Я"), для которых конечна норма s,а,а ( 0 s, s-ql

F] Я

2 1

2. (5)

Здесь [—] - целая часть числа —. q q

Пусть выполнено следующее условие.

Условие 1. Существует число ке(0,1] такое, что a\t)av{t) <с<оо при всех t е [0,+оо). Кроме того, a(t) е CSl [0,+оо) для некоторого sl > 2N - |<т|, где 3 j

N > шах{2р, +-—+ 1, <7 + 1, сг + —}, 1 = 1, 2., сг - некоторое о ¿д</ |/ 2 действительное число.

Можно показать, что указанное - выше число v существует, если а(+0) = а'(+0) = 0.

С помощью преобразования (1) и преобразования Фурье = FXi>çFXi>^.FXn^ t определим весовой псевдодифференциальный оператор по формуле К{а)(t,Dx,Da t)v(x,t) = F?F^W,Ç,ri)F^e[v{x9m ■ (6)

Определение 3. Будем говорить, что символ Mt,Ç,rf) весового псевдодифференциального оператора K{a)(t,Dx,Dai) принадлежит классу символов (Q), где Q ci cre R',0<£<1, если функция является бесконечно дифференцируемой функцией по переменной t е Q и по переменной 77 eRl . Причем, при всех j = 0,1,2,., / = 0,1,2,. справедливы оценки (атУ^ЛЫл) |< с,( 1 ++ ДОГ7** (7) с константами > 0, не зависящими от ¿;еЯп~\ г} еЯ1, I еК, где К(иС1 произвольный отрезок.

Доказаны следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть .£>,,£>) и ,) — весовые псевдодифференциальные операторы с символами Т]), принадлежащими классам (тх,т2- действительные числа),

0<8< 1. Тогда для любого N>0 существует ТУ, > 0 и такой символ Тщ ¿г,;/) е ^ (О), что справедливо равенство

ЕЧ ('»-Ам) = ^ ), (8) где — весовой псевдодифференциальный оператор с символом

Ты (¿,£,77), а - весовой псевдодифференциальный оператор с символом г, (Г,#,77) =• (<*(03,У • (9) у!

Теорема 2. Пусть еЗ^ДО), т - действительное число, е[0,1). Тогда весовой псевдодифференциальный оператор Р(1,Ох,Оа1) для любого действительного 5 есть ограниченный оператор из Н (Я") в

Теорема 3. Пусть символ Я^,^,?]) весового псевдодифференциального оператора К{сТ)^,Ох,Оа1) принадлежит классу ^(П), ПаЩ, аеЯ1,5е[0,1). Пусть у^ОбЯ^^1), е Н1 = 1,2,. Пусть выполнено условие 1 (с заменой сг на 5 + сг). Тогда для оператора

Ю) справедлива оценка кии ^¿ни«(»> у=0 7=0 с константой с > 0, не зависящей от V. Теорема 4. Пусть #>1, я > 0 - действительные числа, у(х,0 Пусть символ весового псевдодифференциального оператора1 ^(<т)(/,1)х,1)а/) принадлежит классу

2), ОсЛ^ е[0,1). Пусть выполнено условие 1 при сг = з + д. Тогда для оператора М1д, определенного в (10) при <т = д, справедлива оценка

Mrv < с v , , (12) с постоянной с > 0, не зависящей от v.

Теорема 5. Пусть q> 1, er - действительные числа, v(x,t) е Hs+a а q (R"). Пусть символ Z{t^,rj) весового псевдодифференциального оператора принадлежит классу (Q), Q с= Rl+, cf<eR\Ö е[0,1). Тогда при выполнении условия 1 справедливо равенство lim К{ет) (t, Dx,Dat )v(jc, t) = lim K(a\0,Dx, 0)v(x, t) =

->+0 ' <->+0 П-2Ч

Теорема 6. Пусть выполнено условие 1 и символ Ä(t,g,r/) весового псевдодифференциального оператора K{tT){t,Dx,Dal) принадлежит классу S°s(Q.), QczRj, <jeR\S е [0,1). Пусть функция v(x, t) такова, что функция D^,v(x,t) при всех х е Rn l принадлежит, как функция переменной t пространству L2(R\) при некотором N е [тах{сг +1,1}; ^ ], где определено в условии 1. Пусть lim£^,v(x,i) = 0 при всех xeRn~l, j = 0,l,2,.,iV-l. Тогда при всех х е R"'1 справедливо равенство limК{а)(t,Dx,Dat)v(x,t) = 0.

Определение 4. Пусть QcÄ^ - открытое множество. Будем говорить, что функция a(t,y,^,T]) принадлежит классу Sm,a's(Q), meR\öe[0,1), если a(t,y,^,rj) является бесконечно дифференцируемой по переменным teQ, yeQ, ^eR1 и на компактных подмножествах множества QxQ имеет место при всех j,k,l = 0,1,2,. оценка {a(t)dtY {a{y)dy)kdl11a{tiy^i1) |< cjkl{ 1 + Щ + с константами с а > 0, не зависящими от t, у, rj и £ е R"'1.

Рассмотрим оператор вида

Аи(х, 0 = F^F^F^M^^^M^lh (14) где ) - прямое (обратное) весовое преобразование, переводящее у в

7/(т/ в О

Доказана следующая теорема.

Теорема 7. Пусть А - оператор вида (14), причем a(t, у, g, rj) е S"!'a,s (Q), mei?1,^ е[0Д). Тогда найдется такой символ p(t,^,rj)eS^s{ß), что

A- P(t,Dx,Dai), где P(t,Dx,Dal) - весовой псевдодифференциальный d , оператор с символом pit,Ç,rj). Причем pit, Ç, rj) = Ja(t) ехрО'77 Г——)•

Г а(Р)

-7=г ехр(-//7 f-^-)) •

При этом справедливо соотношение

Р^ш - £'Щ-(сс{у)дуУ € S:/(Q) j=1 J' при любых N = 1,2,.

Теорема 7 даёт возможность построить сопряженный оператор к весовому псевдодифференциальному оператору.

Определение 5. Сопряженным оператором к весовому псевдодифференциальному оператору P(t,Dx,Dat) назовем оператор

P\t,Dx,Dat), удовлетворяющий равенству для всех v(x,t) е L2(R"), u(x,t) е таких, что P(t,Dx,Da t)u(x,t) е I2(i?").

Здесь (•,•) - скалярное произведение в L2(R") . Доказана следующая теорема.

Теорема 8. Пусть p(t,£77)еS^(Q), ПсЩ, meR\Se[0,1). Тогда оператор P*{t,Dx,Dat), сопряженный к весовому псевдодифференциальному оператору P(t,Dx,Dat) с символом p{t,^,rj), является весовым псевдодифференциальным оператором с символом р* it,%,rj) е S™$(Q). Причём справедливо соотношение p\t&i7) - Yj^riaiy)d Уу dfat&ri) 6 7=1 Jдля любых iV = l,2,.

С использованием теорем 7 и 8 доказывается неравенство, являющееся аналогом неравенства Гординга для весовых псевдодифференциальных операторов.

Теорема 9. Пусть P(t,Dx,Dai) - весовой псевдодифференциальный оператор с символом p{t,£,,rf) <еS'£s(Q), meRl,Se[0,Y)- Пусть

Rep(t,£,77)>c(l ++ для всех £eRn~x^eR'^eKcQ,, где К произвольное компактное множество. Тогда для любого seR1 и любой функции u(x,t) е СДЯ"-1 х ^Г) справедливо неравенство

ReOPfc Dx, £>а, t), u(x, t)) > c0 ||w||m - cx ||и|£ a

2' с некоторыми константами c0 > 0 и с{ > 0.

Во второй главе работы устанавливаются коэрцитивные априорные оценки решений краевых задач в R" для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений специального вида, содержащих весовой псевдодифференциальный оператор с переменным символом из класса и первую производную dt. Априорные оценки решений этих краевых задач доказаны в специальных весовых пространствах типа пространств С. Л. Соболева.

Рассмотрим в i?" следующие задачи:

Dx,Dat)v{^t) - dtv(x,t) = F{x,t) v(x, 0! n = G(x), lim v(x,0 = 0, ^1

-U /->+00

K^\t,Dx,Dat)v{x,t) - dtv{x,t) = F(x,t) lim v(x,t) = 0.

->+00

Наряду с задачами (15), (16) рассмотрим задачи, зависящие от параметра г > 0.

К[9) (t, Dx ,Dat) v(x, t) - dtv(x,t) - rv{x,t) = F(x,t)

I (17) v(x,t) = G(x), lim v(*,0 = 0,

I/-U /->+00

K[q\t,Dx,Dat)v(x,t) - dtv{x,t) + rv(x,t) = F(x,t) lim v(x, t) = 0.

->+00

Здесь - весовые псевдодифференциальные операторы с символами . Предположим, что символы удовлетворяют условию.

Условие 2. Функции принадлежат классу 8ча5{0),ц> 1 действительное число, йс^, 8 е [ОД). Причём с некоторой константой с> О, не зависящей от * е О, £ е Г} еЯ1 справедливы оценки при всех (еС2, £ е Я"1 ,7] е. Я1.

Пусть выполнено следующее условие.

Условие Г. Выполнено условие 1 при = 5 + / = 1,2,.,[—], где q>\, Ч

5 > 0 - действительные числа. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 10. Пусть 5 > 0, д > 1 - действительные числа, выполнено условие Г. Пусть функция удовлетворяет условию 2. Тогда для любого решения у(х,() е Н {Щ) задачи (15) справедлива априорная оценка с постоянной с > 0, не зависящей от v, (7.

Теорема 11. Пусть 5>0, #>1 - действительные числа, выполнено условие Г. Пусть функция АД/,£,77) удовлетворяет условию 2. Тогда для любого решения у(л:,/) е а задачи (16) справедлива априорная оценка с постоянной с > 0, не зависящей от v, .Р.

Теорема 12. Пусть выполнены условия теоремы 10, г>гх. Тогда при достаточно большом гх > 0 для любого решения е Н (Щ) задачи (17) справедлива априорная оценка с постоянной с > 0, не зависящей от у, С?.

Теорема 13. Пусть выполнены условия теоремы 11. Тогда при г>гх, где > 0 - достаточно. большое число, для любого решения задачи (18) справедлива априорная оценка

1М1 МН1 с постоянной с > 0, не зависящей от v,F.

В третьей главе диссертационной работы исследуется разрешимость краевых задач (15)-(18). Для задач (15), (16) доказано существование регуляризатора, а для задач (17), (18) доказаны теоремы о существовании и единственности решений.

А именно, доказаны следующие утверждения.

Теорема 14. При выполнении условий теоремы 10 существует правый регуляризатор задачи (15), то есть такой оператор

А: я,*, да* я ,

5+2*

АЛ Л что А{ЯХ (7) = (Т7, (7) + 7] (7), где Д - оператор, порождённый задачей (15)

Л . то есть Ду = ^,(7)), а Тх - ограниченный оператор из Нза (Я")хН 1 (Я ) вя^дахя , иг1).

Как известно (см. [24]) при выполнении априорной оценки (19) правый регуляризатор является одновременно и левым регуляризатором.

Теорема 15. При выполнении условий теоремы 11 существует правый регуляризатор задачи (16), то есть такой оператор что А2кгР = Р + Т2Р , где \ - оператор, порожденный задачей (16), а Т2 - ограниченный оператор из {Щ) в

На,С} (Ю

Так же как и выше замечаем, что правый регуляризатор является одновременно и левым регуляризатором.

Теорема 16. Пусть выполнены условия теоремы 10. Пусть

Р(х^)еН5а (Я"), (7(х) е Н 1 (Я"'1). Тогда при г > , где ^ > 0 - достаточно

2Ч большое число существует единственное решение задачи (17), принадлежащее пространству Н^^{Щ).

Теорема 17. Пусть выполнены условия теоремы 11. Пусть еНха1](Я"). Тогда при г > г\, где г\ > 0 - достаточно большое число существует единственное решение задачи (18), принадлежащее пространству Нз+ч,а,Я (Ю '

Полученные в диссертации результаты докладывались на 3-й международной научной конференции по современным проблемам прикладной математики и математического моделирования (г. Воронеж, 2009 г.), на международных конференциях «Понтрягинские чтения» (г. Воронеж, 2009 -2010 гг.), на международной конференции по актуальным проблемам прикладной математики и механики (г. Воронеж, 2009 г.), на международной конференции Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна (г. Воронеж, 2010 г.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Садчиков, Павел Валерьевич, 2010 год

1. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М.В. Келдыш // Докл. Академии наук. - 1951. -Т. 77, №2.-С. 181-183.

2. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области / O.A. Олейник // Докл. Академии наук. 1952. -Т. 87, № 6. -С. 885-887.

3. Михлин С.Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения / С.Г. Михлин // Вестн. Ленинградского гос. ун-та. 1954. - № 8. - С. 19-48.

4. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области / М.И. Вишик // Математический сб. — 1954. Т. 35 (77), вып. 33. - С. 513-568.

5. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1966. - 292 с.

6. Олейник O.A. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой / О.А.Олейник, Е.В. Радкевич // Итоги науки и техники / ВИНИТИ. М., 1971. - Вып. Математический анализ. - С. 5-93.

7. Кондратьев В.А. Об асимптотических свойствах решений нелинейного уравнения теплопроводности / В.А. Кондратьев // Дифференциальные уравнения. 1998. - Т. 34, № 2. - С. 246-255.

8. Кондратьев В.А. Об асимптотических свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях / В.А. Кондратьев // Труды конференции им. И.Г. Петровского. М., 2006. - Вып. 25. -С. 98-111.

9. Кондратьев В.А. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка / В.А. Кондратьев, Е.М. Ландис // Математический сб. 1988. - Т. 135 (177), № 3. - С. 346-360.

10. Егоров Ю.В. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях / Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев, O.A. Олейник // Математический сб. 1998. - Т. 189, № 3. - С. 45-68.

11. Олейник O.A. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической формой / O.A. Олейник // Математический сб. 1966. - Т. 69 (111), вып. 1.-С. 111-140.

12. Кон Д. Некоэрцитивные краевые задачи / Д. Кон, JI. Ниренберг // Пседодифференциальные операторы : сб. науч. тр. М., 1967. - С. 88-165.

13. Глушко В.П. Коэрцитивность в Ь2 общих граничных задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка / В.П. Глушко // Функциональный анализ и его приложения. 1968. - Т. 2, вып. 3. - С. 87-88.

14. Глушко В.П. Оценки в Ь2 и разрешимость общих граничных задач длявырождающихся эллиптических уравнений второго порядка / В.П. Глушко // Труды Московского математического общества. 1970. - Т. 23. - С. 113-178.

15. Рукавишников В.А. О коэрцитивности Rv обобщенного решения первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных / В.А. Рукавишников, А.Г. Ереклинцев // Дифференциальные уравнения. - 2005. - Т. 41, №12.-С. 1680-1689.

16. Рукавишников В.А. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных / В.А. Рукавишников // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32, № 3. - С. 402408.

17. Антонцев С.Н. О локализации решений эллиптических уравнений с неоднородным анизотропным вырождением / С.Н. Антонцев, С.И. Шмарев // Сибирский математический журн. 2005. - Т. 46, № 5. - С. 963-984.

18. Глушко?В.П. Априорные оценки решений краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / В.П. Глушко; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1979. - 47 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.03.79, № 1048 -79. ^

19. Леопольд Х.Г. Априорные оценки для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка с невырождающейся второй производной / Х.Г. Леопольд. Новосибирск, 1981. - 33 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.08.81, № 4269 -81.

20. Левендорский С.З. Краевые задачи в полупространстве для квазиэллиптических псевдодифференциальных операторов, вырождающихся на границе / С.З. Левендорский // Математический сб. 1980. - Т. 111 (153), вып. 4.-С. 483-501.

21. Исхоков С.А. О Гладкости решения эллиптического уравнения с нестепенным вырождением / С.А. Исхоков // Докл. Академии наук. 2001. - Т. 378, № 3.-С. 306-309.

22. Бочаров О.Б. Численное исследование гидрофизических процессов прш сохранении различных неизотермических моделей фильтрации двухфазнойжидкости / О.Б. Бочаров, И.Г. Телегин // Теплофизика и аэромеханика. — 2005. -Т. ,12, № 4'. С. 457-467.

23. Баев А.Д. Вырождающиеся, эллиптические уравнения высокого порядка и связанные с ними псевдодифференциальные операторы / А.Д: Баев;// Докл. Академии наук.-1982: Т.265, №5; - С. 1044-1046.

24. Баев А.Д. Об общих краевых задачах в полупространстве; для; вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А.Д. Баев // Докл. Академии наук. 2008. - Т.422, №6. - С. 727-728:

25. Лионе Ж. Неоднородные граничные задачи и. их приложения / Ж. Лионе, Э. Мадженес. -М.: Мир, 1971. 371с.

26. Владимиров B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров.1 4 е изд. -Mi : Наука, 1981. - 512 с.

27. Глушко В.П. Об одном критерии существования^ свертки- обобщенных функций^/ В.П. Глушко; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж', 1982. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.11.82, № 5721 -82.

28. Кон Д. Алгебра псевдодифференциальных операторов / Д. Кон, Л. Ниренберг // Пседодифференциальные операторы : сб. науч. тр. М., 1967. - С. 88-165.

29. Глушко В.П. Пространства типа С.Л. Соболева дробного порядка с весом и их свойства / В.П. Глушко, М.И. Богатов; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1979. -38 с.- Деп. в ВИНИТИ 10.09.79, № 3239-79.

30. Грушин В.В. Псевдодифференциальные операторы / В.В. Грушин. М. : Моск. ин-т электронного машиностроения, 1975. - 107 с.

31. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы / М. Тейлор. М. : Мир, 1985.-469 с.

32. Глушанкова Л.Я. Об одном псевдодифференциальном уравнении, порожденном граничной задачей переменного порядка / Л.Я. Глушанкова, В.П. Глушко; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1980. -61 е.- Деп. в ВИНИТИ 4.11.80, № 4684-80.

33. Волевич Л.Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем / Л.Р. Волевич // Математическийхб. 1965. — Т. 68, вып. 3. - С. 373-416:

34. Волевич Л.Р. Энергетические оценки в смешанной' задаче для (2Ь+1) -гиперболических уравнений / Л.Р. Волевич, С.Г. Гиндикин; ин-т прикл. математики АН СССР. Препринт №> 137. - М., 1978. - 63 с.

35. Глушко В.П. Линейные вырождающиеся дифференциальные уравнения / В.П. Глушко. — Воронеж : Воронеж, гос. ун-т, 1972. — 193 с.

36. Глушко В.П. Об одном неравенстве между нормами производных функций с весом / В.П. Глушко, Л.Я. Глушанкова; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1981. -27 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.10.81, № 4983-81.

37. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. М.: Наука, 1977. - 736 с.Работы автора Статьи в изданиях, входящих в перечень ВАК РФ

38. Садчиков П.В. Корректность некоторых краевых задач, моделирующих процессы с вырождением / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки 2009, №4(88). - С. 5056.

39. Садчиков П.В. Априорные оценки и существование решений краевых задач в полупространстве для одного класса вырождающихся псевдодифференциальных уравнений / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика 2010, №1. - С. 162-168.

40. Садчиков П.В. Существование и единственность решения задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических псевдодифференциальных уравнений специального вида / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Актуальные проблемы математики и информатики. — 2009, №3. С. 43-50.

41. Садчиков П.В. Об4 ограниченности одного класса весовых псевдодифференциальных операторов в пространстве* С.Л. Соболева / П.В. Садчиков // Актуальные проблемы математики и информатики. 2010, №1. -С. 95-103.

42. Садчиков П.В. Сопряженный оператор для весового псевдодифференциального оператора специального вида / П.В. Садчиков // Актуальные проблемы математики и информатики. 2010, №1. - С. 104-113.

43. Садчиков П.В. Композиция и ограниченность весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом из классаП.В. Садчиков; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2010. - 14 с. - Деп. вВИНИТИ 29.10.2010, № 555-В2010.

44. Садчиков П.В. Об'оценке коммутатора весового псевдодифференциального оператора из класса и оператора дифференцирования / П.В. Садчиков;Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2010. - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.10.2010, № 556-В2010.

45. Садчиков П.В. О граничных значениях весового псевдодифференциального оператора с переменным символом из класса / П.В. Садчиков; Воронеж.гос. ун-т. Воронеж, 2010. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.10.2010, № 557-В2010.