О некоторых комбинаторных и арифметических задачах, связанных с разбиениями евклидовых пространств и торов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Шутов Антон Владимирович

• Шутов Антон Владимирович
• доктор наук
• 2023

Оглавление диссертации доктор наук Шутов Антон Владимирович

Бинкера

§2.4 Форма роста и координационные числа графа Пенроуза

§2.5 Топологические плотности

§2.6 Формы роста мультигрид разбиений

3 Перекладывающиеся разбиения тора 138 53.1 Понятие

53.2 А1 ножества ограниченного остнткй!

§3.3 Приложения к квазиренхеткам

§ 3.4 О бобщенны е н е^эетсл ауП^ьх ва)х(зхх11хтеся^ р а)3бхтехххтя^ то ^з а)

ч 3 • 5 1 'е о ]уг е1 г р и ч е с к и е и о^С'х^н овки

я3.6 Локальная структура обобщенных 11 брбКЛ.В^Ю1ЦЙХСЯ

биений

4 Обобщеннные перекладывающиеся разбиения тора в размерности один

§4.1 Конструкция разбиений

§4.2 Связь с разложением Островского

54.3 Локальные отклонения

54.4 Аналоги задач Голи Малера-Эминяна

§4.5 Обобщение 11'еореIV!ы о трех длинах

5 Обобщенные разбиения Рози

§5.1 Фрактал Рози и в

-разложения

§5.2 Разбиение Рози порядка

55.3 Система счисления

55.4 Разбиения Рози порядка п

515.5 Множества ограниченного 0ста1тхса1

55.6 Числа с заданным окончанием разло^кения по линейной ре-

куррентнои под) 1 е^ ^охзс^/х'е^) 1 ХрНОст'и

515. Т Аналог з адачи Малера-Эминяна

Заключение

Литература

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности

......1,1^1 с с е |) 1 г! 11^1 ^ 1 иосвягцбнЭ) ттто б тт е н[ тт тт Евклидовых пространств

и связанных с ними графов, а также изучению разбиении тора, связанных с его иррациональными сдвигами.

По всей видимости первая попытка математического изучения разбие-тттт евклидовых л л ^зост ^з а)ттств бьита) иродиринятй! в I ветсе И/И. . 1^егге1те^)0^м[ в его сочинении "Гармония мира". Однако , по настоящему активное изуче~ ние разбиений началось .в конт^е XIX века и во-многом было обусловлено потребностями кристаллографии.

Федоров [224], [225] и независимо Шенфлис [156] натттл и все ьс стга^т л о графические группы ^движении трбхм^брного евклидова пространства, то есть фактически все возмо^^кные группы симметрии трехмерных вполне пе~ риодических разбиении. Ш е н с]э л и с так^ке доказал, что всякая трехмерная к.ристН|ЛЛ0грЭ)(^)ичбскй|Я группа содор^ж^ит подгруппу конечного ттггд^етсса).

Гильберт [196] в XVIII проблеме сформулировал два вопроса о разбиениях:

обобщить теорему Шенфлиса на случай кристаллографических

групп дв и н и и евклидова пространства произвольной размерности ,

существует ли трехзугерныи зугногогранник, иоро^к^и^аюш^ии разбиение трехмерного пространства, но не îtbjxîtîoxxi^ttттся^ (^зунд^мент^льнон 06jxaiCTbï0 никакой трехмерной кристаллографической групп?

Первая из этих проблем была решена Бибербахом [40], [41]. Трехмер-ныи многогранник, отвечающий на вторую пасть вопроса Гильберта, был построен Реинхардтом Позднее ^Сеепх так^^ке построил много-

угольник, порождающий разбиение плоскости и не являю1цййся (фундаментальной областью никакой двумерной кристаллографической группы. Более того, среди разбиении плоскости на многоугольники, построенные Хеешем, не тт^меется^ лпт одного п^)а|Впльн[ого ^)а)Збттен[И[я^ •

Примерно в то^^ке время интерес к параллелоэдрам, то есть выпуклым многогранникам, поро^ж^даюгцпм нормальные решетчатые разбиения прост pâiHCTBâ), ВОЗНИК благодаря работам Г.Ф.Вороного по изучению геометрии положительно определенных квадратичных (JjopAi и Г.Минковского по геометрии чисел.

под влиянием работ Е.С.Федорова и Г.Ф.Вороного возникла русская школа в теории разбиении, пр едставленн Б.Н.Делоне, А.Д.Александрова, С. С. Рыжкова. Е.П.Барановского, Н.П.Долбилина, М.И.Штогрина и др•, и внесшая огромный вкл^д в тео^эию jljl|эа|Вильных^ разбиении етзkjлидл^отзых пространств > Также под влпнпем работ Шенфлпса, Гильберта и Минковского возникла немецкая лтхкола по изучению разбиений (Бибербах, еи н хriг, Одерберг, ^^.ееххл, Kiiин i ле и др.). Несколько позднее возникал ai ^мерик^нскня ттллсо л ai (Конвей, Грюнбаум, И Т е л л л л ai рд,

к настоящему времени теория разбиении превратилась в хорошо развитую область дискретнои геометрии, тесно связанную с другими областя-

ми математики, а также имеющую приложения в кристаллографии и ком-пьютернои грас|эике. Некоторое, хотя и неполное, ир^стс^лз^ленлл е о данной области можно составить по книгам [86], [2], [99], [140], [152] (содержание 1\о'х1 орых ллракгиее лс. лл лле и^рбс^к^бтся ^ >

Рйз^мббтся здесь ллевоз]\^о^клло ;л1а)Ть сколь-либо полный обзор известных проблем, результатов лл направлении исследовании в области разбиений евклидовых пространств. Тем не менее, ука^кем несколько направлений и результатов, предст^вляюш^ихся лла|А,л лльл]^ллл лл ллллте^зеслльлА'ллл•

1. Теория параллоэдров.

Многочисленные исследо вания в данной области во многом мотивированы знаменитой гипотезой Вороного о том, что кН|^кдылл параллелоэдр аффинно эквивалентен многограннику Дирихле~Вороного для некоторой решетки. Данная глл пот еза было доказана Вороным в размерности три и Делоне в ^за)3]\/ге^зллостлл ^~летьх ^зе [55]. Недавно Гарбер и Магазинов анонсировали ^ ^оказаг е^) л ЛзСг лзо дл^с^ллллолл глл л л от1 ез* л^л лз р^зм^срности пять [74]. В лл роцессе ^ ^оказагел ьствЭ) г лл л л о1 г е з* ЛзЛ Вороного были классифицированы ком-

б лл лл а)ТО ^з лл ьл е т лл лл ьл п^р^ллслоэдров в л л ^зост ^з а)лл ст ва)Х^, ^за)3]\^ге ^з ллост лл лле бо^тлее пяти. Таких типов два при d = 2 , пять при d = 3, 52 при d = 4 и 110244 при d = 5. Отметим

также установленный Венковым критерии парал-лелоэдра. d ■мерный выпуклый многогранник является параллелоэдром тогда лл только т огдт^а), когдй! о лл лл в се его (d 1) — ]\^те ^з лл ьл е г ^за)лл лл я^ в *гл я^ лот— ся центрально симметричными, а проекция многогранника вдоль ка^кдой (d 2) -мерной грани на дополнительную 2-плоскость является либо параллелограммом, либо центрально-симметричным шестиугольником.

2. Теория правильных разбиении.

Напомним,

что нормальное разбиение на выпуклые многогранники называется правильным, если группа симметрии действует на нем транзи-

тивно. На плоскости тсория соответствующих многоугольников ^hâ3bibâ емых планигонами), построена Б.Н.Делоне [199]. В случае произвольной размерности Делоне и Сандаковой [201] получена обш(а)я^ оценка гга* ^htitCiJto граней d- мерного стер ооэдр aj которой ^ тз ч aj с1 г н о с1 г и вытекает тс.огге^нг ность числа комбинаторных типов таких многогранников). Позднее з i ri о це н была несколько улучпхена Тарасовым [223]. Соответствуюгции результат имеет вид fmax < 2d(H — 1/2) — 2 , где H - максимальный по всем d

ляционнои подгруппы • Данные оценки т^к^ке обобхп(а)РОтся^ гга* cjx^y^HrajiT вы— пуклых многогранников, даюгцих ^^-эдральные разбиения. Тем не менее • следует отм^етить^ что д^^се .в d = 3 проблема описания комбпна-

торных типов всех стереоэдров крайне д^лек^ от С-воего решения • В случае стереоэдров jljl j) оиз*-во^jlьной р^зм^ерности cjjlе^ i^yei,' т^к^ясе отм^етить Teopeiviy о продолжении Долбилина [59], даюгцую некоторый эс|эс|эективныи критерии того, что выпуклый многогранник порождает правильное разбиение.

Другим аспектом теории правильных разбиении является локальная теория, описывающая условия правильности разбиении и^/или точечных систем Делоне в локальных терминах. Данная теория восходит к работе [200], в которой был получен локальный критерии правильности систем точек. В случае разбиений в [61] показано, что локально конечное

d мерного евклидова jljlJ3остj3ainства! на* вынуклые

ет натуральное k, для которого k -короны всех таилов разбиения попарно конгруэнтны, а группы симметрии k- и (k — 1) -корон любого таила со впадают. На плоскости а^о^ясно показать, что jljlaiBnльность разбиения вытекает у^^^ке ттз jljl о jljl ai J3 гготт конгруэнтности 1~корон всех^ tajitjtob.

С точки зрения локальной теории точечных (r, R) -систем Делоне, осо-

б^Ю В à) jÎ^K XT О СТ Ь XT J3 е;2Т1С'Та)В11ХЯ^ GT СО б О XX XT О XT .Я'TXT С J3 ayO^XTy^Caj рОГ^ЛЯрНОСТ XT p d OlipG J I^GJ ТЯ вМОГО HEXTMGHbllXGG p , J Т.Я, КОТОрОГО ИЗ КОН Г ^З^^ЭХТ'Х1 XT OCT1 XT ВСеХ К »'■ là-

стеров радиуса р в

(Г, Я) - системе J..........gjтохте вытекает ее правильность• Очевидно, что p = 2Я. Также известно значение p

4Я. Но d =

известньт только оценки [б0| ^ рз ^ . Отметим так^^ке недавнхохо оценку pd

> 2dR [25].

о разбиениях ПЛОСКОСТИ• Возможно, наиболее известной такой sayq^ai^ieit я^вля^ется^ за^п^ ai^iai о hit с ai ния всех выпуклых многоугольников, порождающих разбиение плоскости « Легко видеть, что л хо б ы е треугольник и четырехугольник поро^яед^ают раз биение ПЛОСКОСТИ• Также сравнительно легхсо док^Зс^ть, ^тто выхту^хслыхт n угольник при n > 7 хте ivio^cct разбивать плоскость« Полное описание разбивающих плоскость хпестиу го л ьнпков ^ 3 тппа^ было получено Х^еинхард^ том [146]. Задача о

разбиении плоскости на конгруэнтные пятиугольники оказалась хт ео^хсхт^/n^aiiriT о сло^ясхтохт, с неоднократными объявлениями о ее ре-пхении и последующими контрпримерами. В настоягцее время известно 15 типов пятиугольников, порождающих разбиения плоскости. В 20IT году М.Рао анонсировал [143] полноту этого списка.

Другим важным направлением исследовании является классис|эикация различных классов плоских разбиении. Наиболее известным результатом в данном направлении я^в^тхя^ется^ xtojtхта)я^ тс.1тта)ссхтс^)хттс.а)хт1хтя^ всх^ хтзоэд^^за^тьхтьхх^ разбиении плоскости ^не обязательно на выпуклые многоугольники^ Классифицировано и множество других типов разбиений таких как m-одн о р одн ьт е хт ^^_ г о ]vi е о эдт^ ajjx ь хт ьт е р aj3 б хт е хт хтя^

m

и изотаксальные разбиения и т.д. . С классификацией

различных классов разбиении ^особенно

хт з о эд р ^л ь

ных) тесно связан хтохтск критериев^ хтри выxto*jтхтехтхтхт которых прохтз>тзОь)т

ная фигура порождает разбиение 1и Л ОСКОС Л'й • Наиболее из.вес1 л,1 ллыIV! являет ся критерии Конвея! плоская фигура порождает разбиение, когдЭ) ее грнни цу можно разбить на шесть частей точками у1,..., у6 , по крайней мере три из них различны, таким образом, что существуем л л ^Зс^*) и л е*) л Лз ны и пе^зеллос в4 для которого 54(^1) = У5 , §4(у2) = у4 , переводящий фрагмент границы у1у2 в фрагмент границы У5У4 , а фрагменты границы У2Уз , УзУ4 , У5Уб , у6у1 центрально-симметричны. Сам Конвей никогда не публиковал этот критерий, а формулировка, опубликованная Гарднером, содержит ошибку. Правильная формулировка лл ^ ^оказат^л Лзс глзо содер^кится .в работе [154]. На самом деле критерий Конвея фактически содержится в книге [97], в которой также мо^кно найти много других аналогичных критериев. В последние годы возник интерес к построению б ы с т р ы x алгоритмов, проверяющих выполнение подобных критериев. Наиболее сильным результатом в данном направлении является построенный в [112] алгоритм, позволяло-щий за время 0(п п) проверить, порождает ли полиомино площади пь изоэдральное ^зазбллелллле лллтослсостлл.

4. Теория апериодических и квазиперполитических разбиении и точечньлх множеств.

С поиском критерия существования разбиения тесно связана т^к^^ке задача о су^лп(еств0ва)лллллл а)лле^зллод^лл^нгеслсого лл ^зотота) лл »тл а), то есть с^зллг^у^зьл, порождающей только непериодические разбиения ПЛОСКОСТИ. Данная задача известна так^ке как елп Б^елп ргоЬ1еш . Отметим, что из сулцествования такого л л р о1 л,1 о1 л,1 лл ^ л вытекает отсутствие л г о р лл1 г IV! , л л оз> лзо^ л .я, ло лл^его .в ЛзЛ я с лл лл1 г Лз, порождает ли заданная (фигура разбиение лл л оскости [186], [150]. Кроме того, интересное, что любой л л е р лл одл^ лл ч е с к лл лл л л ^з от от<^ лл л л л оро^кд^ет' лл е с ч е1 г ный набор разбиений [58]. Первый набор апериодических прототаилов был постр ое лл Вонгом [186] лл содержал более 10 тысяч фигур. Позднее Робин-

сон [150] и Пенроуз [135] фактически довели число фигур до двух. Первый пример несвязного апериодического протот^ила* на! плоскости предъявили Соколар и Тейлор [179]. Недавно был получен [79] пример связного апе-р и оди ч е с ко г о протот^йлй! •

Разбиения, построенные Пенроузом, несмотря на отсутствие периодичности обладали некоторыми свойствами дальнего порядка, поэтому были названы квазипериодическими. нтерес к подобным разбиениям вырос по-с л е 1' о г о, КЭ)К .в 1984 году Д.IIIехтан открыл квазикристаллы вехцества с точечным дифракционным спектром, обладающим симметрией пятого порядка. Атомы .в тэ)кйх веп^ествЭ)Х р^сп о*) 1 о ^яке н ы н е 1 л е р хт о^ и ч е с к хт, но обладают дальним порядком. Данное открытие привело к большому интересу к изучению квазипериодических разбиении и точечных мно^^кеств, и, в ч а с' г н о с' г и, к появлению ^)олтэХпого ч и Сь) л aJ новых м^етодов их л л о с1 г р о е н и я. К наиболее известным и распространенным методам мо^кно отнести использование локальных правил [135], [100], подстановки ^ л л ^зеоб ^з а)30ва)Хт хтя^ инфляции-дефляции) [44], [150], мультигрид метод [42], [178], метод проекции и среза [101], [131] и использование покрытий [87]. Из всего даль-неишего ]\/гхтогооб ^за)3хтя^ ^за)бот, л л освя^хтдехт хтьхх^ хтзу^^техтхтхо кв^зипериодических разбиении упомянем здесь работы по установленихо связи ме^^кду различными описаниями квазипериодичности: в [73] мультигрид разбиения ин-терхлретированьх в те^з]\/гхттта)Х^ метода п ^з оехсх^хтхт хт с ^зеза), в |ТТ| пост^зоехтьх локальные п^^)а)Вххла) для болгьтххого се^хехтства) и0;л1ста)Х10В0^нгх1ьхх^ разбиений, а в [219] паидепы лгохсал ьхтьхе п^^)а)Вххла) для ^за)3бхтехтхтхт, пост^зоехтхтьхх^ методом проекции и среза.

5. Вполне периодические г^за)(^зьх.

Множество вершин и ребер каждого й периодическое ^за)3бхгехттге можно рассматривать как вполне периодическии граф, вло?кенныи в ^. Еще

один впол но н ср ^~гестс.и[ и гJ)aJcJ) н о^) г ся порсходо ^м^ к двои С'г венно разбиению. Таким образом, ТООрИЮ Вполне ПОрИОДИНОСКИХ ГрЭ)(^)ОВ можно рассматривать как некоторое ооо' бщение теории периодических разбиений. Вполне периодические грас|эы изучались преимущественно в размерностях 2 и 3 специалистами по геометрической кристаллографии [130], в связи с их приложениями к предоставлению реальных кристаллических структур. Среди рассматривавшихся проблем упомянем вопросы конечного описания таких графов, их факторграфы, вопросы вло^сения .в и сохране ния симметрии при таких вло^^кениях [123], а так^ке вопросы перечисления различных таких трастов, например трастов в которых все вершины имеют одинаковую степень, равную 3 или 4. Введение в проблему и дальнейшую библиографию

можно найти в работе [56].

В 1971 году Брюннер и Лавес ввели поня^ттте кхэотэдхи^н^ап.и^он^н^ои^ пос^лгедо вЭ)ТОльности бесконечного ^вполне порноди^нгестрого графа: п ционное число (х) вершины х грас|эа СС равно числу вершин грас|эа СС , находящихся от х на! расстоянии

d в естественной метрике графа. Это понятие также естественным образом переносится на разбиения, на которых задано некоторое понятие соседства т,aJИ[лo^в• Первые и сс^ 1едов aJHИ[я ко о р д и ~ íтaJl]IoИ[оннТзХ^с последовательностей были c^вяз>aJHí5Г

с их экспериментальным выпиСь) 1 ение^м^ ^д^ля о1 л'де^ 1 ьных гр^с^ов и поя^Вь) 1 енгге^м^ первых гипотез> о^) щих формулах для отдельных структур. Ссылки на

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых комбинаторных и арифметических задачах, связанных с разбиениями евклидовых пространств и торов»

работы этого пери о д ^

можно найти в [84]. О'Кифи [129] получил первые строгие результаты, кап

мерных аналогов структур алмаза и содалита. Далее Гросс-Кунстлеве, Брюннер

и Слоэн [84] на основе а|На|ЛИ[за1 многочисленных найденных 1С тому времени примеров сформулировали общую гипотезу о квазиполино-]у[й аль ности 1С. о о ^зд^лли^^п^ллон ных поел е д о в ^т е л 1зН остей .в по л не пе^) иод]^ич[ еских

Г р а с|э О В. Э Т а гипотеза , что существуют не л^^о и к

многочлены Р0(х),..., Рк-1 (х) степени й — 1 такие, что при всех п > п0 вы пол ня ется равенство

вп (х) — Р (п),

где % — п

mod К. Большое колич ест .во эксп ерим^ент^л Лзно лзы[ ч пелен ных конкретных координационных последовательностей было В КЛ^ 10 Ч О XX о в онлайн-энциклопедию целочисленных последовательностей ОЕБ. Отметим, что еще ранее Бенсон получил результат о рациональности

меистве групп, вклхочахохцем все крпсталлограс|эические г]

эуппы. Из эт ого

результата немедленно вытехса!ет гипотез а! хсва|Знхло л иххо зх^хха^тьххос'тхх в слу^-чае графов кристаллографических групп. Однако, этот результат остался неизвестным схл ех!^хт л хт стс^зух но ко о р д и хх<^х 1^хтохх ны ]У1 х л о с^) л е^ 1^0 лз Н11 х' е^) л лз хх о с1 лая. ]У1» Позднее Баакп

и Гримм [19] получили формулы для координационных ПО-следов^тельностеи xí.oxт'x,aJXí.'x,хххзх^с гр^с^зов решеток корнен > Практически од-повременно и независимо К^онвеи и Слоэн [52] доказали полиномиальность координационных последовательностей для контактных графов очень широкого класса решеток^ -вхс-лю^х^^юлп^его .все решетки лз р^зм^ерности^ ххе нре_ восходящей 4, все решетки корней и двойственные к ним решетки. Например, для любой 4-мерной решетки справедлива формула

/в2 е1 з 62 4в1

еп — (---)п3 — (---)п.

п v 6 3 ; v 6 3 ;

В качестве другого примера рассмотрим решетку Е8 , для координационной последовательности которой справедлива (формула

456 624

еп — — п7 — 120п6 + 312п5 — 120п4 — 48п3 + 240п2 — — п. 7 7

Далее в работах Эона [64], [65] и Гудман-Страуса Слоэна [78] были раз-работайы

мощные методы, л л оз>хзо^ л.я,юхт!^1т е н строго ^ ^охс-^^з^ы^-В^^т'х^

формулы для координационных последовательностей большого числа кон-крвтных структур. к со^кЭ)Лению^ эти IV!етоды не 1Х03*-В0л^я[ли[ доКЭ)3Э1Ть гллпо тезу КВЕЗИП0ЛИН0МИШ1БН0СТИ. Кроме того, определение границ примениМОСТИ ЭТИХ МбТОДОВ ЯВЛЯбТСЯ ОТКрЫТОИ И роб Л С N10 и, а сями методы Н6 Я В-

ляются автоматизируемыми. Гипотеза квазиполиномиальности была доказана совсе^г лледл1а|В лло в работе [125] на основе теории полугрупп. Еще одно доказательство, основа|НН0е на! тео^э лллл а|Вто^га|ТОв, было п р с^дл^ о^ке н о в [105]. К сожалению, оба эти докй|ЗЭ|ТбльствЭ) являются н е э с^з ф е к1 г и в н ы ми, то есть не позволяют полупить никаких оценок на по и К. Поэтому продолжает оставаться актуальной проблема эс|эс|эективного н ^хо^як д с ния формул для координационных последовательностей вполне периоди-ЧССКЙХ графов. В Ч С1 -А,1 Н О С1 -А,1 И, .В 2022 году в работе [83] был п р с^дл^ о^^сс н о ч о

плоских 1-однородных графов ^по сути графов двумерных кристаллогра-с^злл^нг еслс.лл~х^ групп). о о ^здл^ лл лл aJ лл^лл онн ы е лл ос^ л cдoвЭlTCJ л Ли лл ост1 лл кв^зи л л е лл одл^ лл е_ ских разбиении и трастов устроены значительно сло^^кнее и изучены значи-тельпо хуже, однако онлайн энциклопедия ОЕК содержит вычисленные экспер именталь лл о пе лз ЛзЛ е ^т л е лл ЛзЛ лс.оо ^здл^ лл лл ^^ лл^лл о лл лл поел едл^с) лзс^т1 е л Лз лл о с1 г е лл для многих конкретных кв^зиперо^ 1^лл^леслс-лл-?с разбиений (А103906, А103907, А302176, А302841, А302842, А303981, А304050, А304076, А304910).

В 1991 году О'Кифи [128] ввел понятие топологическиой плотности, описывающее усредненное поведение координационных чисел графов в

td(Gr) = 11т .

п^ж па

Изначально

топологическая лл лот лл ость ллзу^^тал а*сь кристаллографами как топологическая характеристика кристаллических структур, в первую очередь цеолитов. Позднее были обнару?кены

связи топологической плотлло

сти с рядом реальных физических свойствам кристаллов. В [84] был пред-ло]>кен некоторый алгоритм вычисления топологической плотности ^осно-ванныи на гипотезе о кв^зиполиноми^льности хсооj3^^xxxxai3j^xxoixixoix последз^о-B3LT6J1ЬН ОСТИ ). Этот алгоритм является очень трудоемким и потенциально мойсет приводить хс неверным результатам, однако с его jljlо]уютт1^ью были ВЫчислены толлOijлогннескне лл^лотности для большого ниc*iлaj конкрex1ххt^x^î rpâ~ фов, соответствующих реальным кристаллическим структурам. В [67] была ллредложена облп1а)Я^ (J)OpMynâ для вычисления то лл олгогхт ^нгесхсохт хл^тх отххо стхт произвол ьного .в л л Oej л не хл е одл^и^л еского графа, однако в [66] были постро ены контрпримеры к этой формуле. Выявление границ ее применимости остается открытой проблемой.

Рау и др. [221] рассмотрели координационные окру^ясения вполне периодических разбиепии ^с понятием соседт^ства^ eqn (xx), то есть зх^ххо^кес'тва) та)Хт_ лов, расположенных па расстоянии d ^в мтетрике, поро^^к^ценнои понятиемт соседства) от T^ajxxjxaj x • J. ¿сзс^/хедл^сзлза/х'е^ллзххсзе присоединение хс.оо^здл^ххxxajxji^xxохх_ н ых окружений рассматривалось ими в качестве простой геометрической модели роста кристаллов. При этом было обнаружено, что нормированные координационные окру^^кения имеют предельную скорму в виде выпуклого цептральпо-симметричпого многоугольника ^/многогранника, которая бы~ ла названа формой роста. В дальней: нлем были обнаружены связи форм роста с Определением структуры 1с^)иста|ЛЛ0в, дви^^кением частиц в кри~ сталлах, лл л от н остью состоя^ххихх операторов Шредингера на графах и др. физическими задачами. Формальное определение формы роста (в случае вполне периодических графов), j i^o казc^i1 х'ej л ьс1 глзо ее с^^хл^ест'-ВО-В^^хпх^я, и â»' л го ритм вычисления в размерности два были д< аны Журавлевым в работе [213]. В случае произвольной размерности данный результат был незави-спмо получен автором диссертации [220], Фритцем [71], а также Акиямой

и др. [9]. Кроме того, существование форм роста и их явный вид для 1\он 1\ре' 1 н ых нориодигр^с^зов лейс^т в оснолзе ]уге1 год^ вычисления ко~ ординационных последовательностей из [78]. На с^мом деле некюто^зые ре зультаты, эквивалентные су^го1ес'твова)Н[И[1С) и вы^нгггсленто (^зорм ^зоста* был гг известны еще до возникновения этого понятия. В частности, Конвей и Слоэн [52] фактически вычислили формы роста контактных трастов про~ извольных решеток.

Про формы роста непериодических разбиений известно очень мало. В [216] и [212] исследовался рост некоторого семейства случайных графов, зависящих от н а) ^за)]\^гет ^за* • 1з ы л и но л у^^нг ены ве ^зхн гге и н и^ж^ние оценки для форм роста, а также выдвинута гипотеза о форме роста графов из этого семейства. В [231] и [9] построены примеры графа и разбиения, для которых форма роста не существует. В [11] было показано, что формой роста разбиения Пенроуза является правильный десятиугольник ^ориентация и длина ребра де ся тиуг о л ь и те к^а* формально не были вычислены, хотя тод вполне п о з> 13 о л я л это сделать ^ > Кроме того, еще в 1996 году Радин и Садун [141] доказали, что формой роста квазипериодических разбиений, известных как р1плу!1ее1 1т11п^8 , является окру^^кность единичного радиуса. Проблемы нахо^^кдения с|эорм роста непериодических структур, а так^ке поиск условий существования форм роста и их полиэдральное!и продол-йс^ют пре; 1^ст 1Ятъ интерес•

Перейдем теперь к изучению разбиений тора, связанных с его и[^э^эа* циональными сдвигами, а! тнк^ж^е 1С ^зодз^ствеииы^г зау01ач[а|]\'1 • Изначально, такие разбиения возникли в символической динамике и комбинаторике слов, в частности, при и[зу^^теии[и[ слов Штурма [124]. Напомним, ЧТО СЛО-ВО и = (щ)Ж=0 наД алфавитом {0,1} называется с л ово^г Штурма, О (у л и дл я любого ч^ртсло его аз^гн^ых^ подбелов д^литны ^эавно п 1

[124], [153] что слвдуюлцие три условия эквивалентны! слово u является словом Штурма;

слово u кодирует некоторый иррациональный поворот окру]ж~ ности Ra : x ^ x + a mod 1 при помощи одного из разбиений T1 = [0; 1 — a) U [1 — a; 1) или T1 = (0; 1 — a] U (1 — a; 1] . Другими словами, существуют ^ ^ то^глса! xx та1лслле, что однозначно он^зедз^еля^-

ется попаданием RRa (x) в одт^ллн из иллтевалов ра)3б лл е лллля^, u

бых двух его подсловах одинаковой длины отличаются не более, чем на единицу.

Отметим. что в терминологии диссертации разбиение T1 = [0; 1 — a] U [1 — a; 1] является иерею в^юш^им^ся разбиением окружности.

Слова Штурма породили множество задач в комбинаторике слов и оказались тесно свя^за>лльл с л^ одл1ст,а|Л^ ово^т лло лл динамикой , сво лл ctbai]vi лл jljlово^эота* Ra , а также с цепными дробями и системой счисления Островского [14], [34]. J. ¿ослгедл^гг лле годы лз о з> н и ки л и т^к^ке интересные нр и^ л Ойсения к 1 л.1 е о р лл лл трансцендентных ^нгллселг [X *

В дальнейшем рассматривались многочисленные обоблцения слов Штурма, связанные с лле ^эелсл ау[11ьлва1лллля^]\'ллл от^эезлеов, лл j) ^)а1лл^лл0лла1ль лльл А'ллл сдвигами многомерных торов, несколькими сдвигами тора и т.д. Обзор возникающих здесь задач и результатов мо^^кно наити в [35]. Из результатов, лле свя^за* лл лл ьл х» со сд^в лл raj]vi лл то aj, OT]vieT лл ]vi здесь р а)бот^у [39], в лсото-рой получена связь ме^кду кодированием пары иррациональных поворотов окружности и квазипериодическими разбиениями плоскости, получаемыми методом проекции и среза. На самом деле, можно показать, что класс разбиении, возлл лллса)л0лп(ллх^ в этолл ^за)боте, л л j^e^j^CTajB jt я^ет собо лл п лгослслле регу~

лярные мультигрид разбиения, поро^кденны о тремя векторами •

Рози [145] построил фрактальное разбиение тора на три области, свя занное со сдвигом двумерного то^за* тна* вектор (в , в )) ^ ^де в едт^хххх-ственныи j и^ е ид с1 г ib хх1 г ej jl ь н ы ид хсо^зеххлз ^^^э<^хзххехххх.!Я[ ж x x -1 = 0 и подробно изучил свойства соответствуюгцеи кодирухо 111,eи последовательности > ' 1 гс~ ?ке им было показано, ^нгто мно^кествн!, ххз которых состоххт J3aj36xxexxxxe, я в-ляются MHOï^KecTBâiMH ограниченного ocTaiTicai отн о сите л ьно ^jn^aiH ного сдвига • Это разбиение TâK^Ke является перекл^дыв^юп^имся J3ai36xxexxxxe]vi то^за)•

Далее в 11бьит введен некоторы хх xcjxajcc cjx о в ххауо^ хсоххе^нг ххьх м ajjx(J)aj— витом, ооооптающих слова Штурма, слова Арно-Рози. Была высказана гипотеза>, что эти слова! допускают кодирование сдвигами тор^, обобщающее кодирование cjx о в Ш т у р м ai • В н^э о прессе хт оттекла) ;д1охс.а)за)'тел[ьс'тв ^~ла)стххьхх^ случаев этохх гхтххотезьх бьх jxo xxajxxjjj^exxo обобхлдеххххе конструкции (^зр^кт^лов Рози, связанное с произвольной унимодулярнои подстановкой Пизо над конечным алфавитом. Это обобгцение мо^^кет быть сс|эормулировано в тер~ минах проектирования диекретизованной прямой [46], либо при помощи так называемых reo]vieT^зхх^нгесхсххх^ подстановок 115J • -Eüxxx^e одно обобхлдеххххе фрактала Рози, связанное с алгебраическими числами Пизо, было предложено Терстоном [184] как основа для конструкции самоподобных квазипериодических разбиении плоскости, и в дальнеипхем изучалось А-Киямои

в

мер, было доказано I I ? ^хто для хлJ3онзволыхого ^гнела* в

в ~aj3 ^хо^хсеххххя^ всех^ чпсел ххз (в) хсоххе^хххьх тогдт^а) хх Tojxbxco тогдт^а), когд^ 0 является внутренней топкой соответствуюгцего cj)j)ajxí.rrajjxaj Jr^оз>хх>

Хотя в дальнеихпем бьхл построен хс.0хх1 грхлрххм^ер к гипотезе Арно-Рози [47], теория фракталов Рози быстро превратилась в активно развивахо-хцухося область, тесно связаннухо с комбинаторикои слов, эргодическои

теориеи (так называемая гипотеза Пизо), диофантовыми приближениями, системами счисления и другими разделами математики. Подробности и многочисленные ссылки можно найти в [138], [176], [51]. Отметим также недавнюю работу [38], в которой были постровны фракталы Рози для последовательностей п0;д1ста|Н0В01С, свя^за1нны^х с различными ]\/1ного^эны_ ми оОоОщениями цепных дробей. Построенные (^зр^кт^лы т^к^ке доп^скЭ) ют разбиения, н ерекл ады .в ^Ю1цй ес^я отн о с и, те л 1з по и[ рр ¿^п^и онс^л ьных с^д^-ви гов тора, и порождающие сбалансированные слова и мно^жества ограниченного остатка• спольз^я этот 11 одход в плоском сл^ч^е т^к^ке удалось

С Л О^К Н О СТI]) 2п + 1 , что можно рассматривать как правильный вариант гипотезы о словах Арно-Рози [139].

Отметим, что разбиения торЭ), свя^за)Ниые с фракталами Рози, не исчер п ы .в ю т .в с е многообразие разбиении тора, связанных с его иррациональными сдвигами. Егце один ва^^кныи пример перекладываюгцихся разбиении тора в произвольной ^)а)3^ме^зностгг ^но не для п^зоггзвольных^ сдвигов ) был построен .в работе [26], в которой было показано, ^нгто отобр^йсение не^зво го возвращения для сдвига торЭ) на) та)1тла)Х^ пост^зоенного ^)а)3б1тен1тя^ вновь является сдвигом торЭ)« Также Шевалле [49] построил пример разбиения двумерного тора, ^ ^¿^юш^его ко^ ^ировку п^)0И[3>-В0^ 11зиого с^ ^-Ви, я1.яютт

сбалансированным словом. Также пе^)е1с. л в^ютт ^гсес^я, разбиения тора изучались Журавлевым [208],[209], [207] и Абросимовой [194],[193] в связи с задачами о мно^кествах ограниченного остатка.

Первые примеры обобго^еггных^ пере к. л Э) д ы в ^югцихся ^)а)3б1тен1ти[ торЭ) были построены в рамках теории геометрических подстановок [15] как вспо~ могательныи пта|Г п|эи пост^)0еии[и[ фракталов Рози. Журавлев [210] построил и изучил бесконечную последов^тельность одном^ерных обобщен-

ных тле^зехс.^хауП^ьхра)3бххехххх хх торЭ), связанную с отображением Ят, т 2 • В а)Стххостхх, было п0к.Э)Зс!|Н0, что ххххте^звалтьх построенных рс^з-биений являются множествами ограниченного остатка, а отобра^^кения первого возвращения для Ят на этих интер1Й1Х лзххолзлз ялз^ 1Яютглолзо ротами окружности. Так^^ке, ироитерировав исходнухо конструкцихо Рози [145], Журавлев [211] построил бесконечнухо серихо обобгценных перекла-дываюхцихся ра)3бххехххх хх ;д1ву^]\/1е ^з ххого то^за), свя^за)Хххху^хо со сдвигом хха) вехст о ^з (в-1, в-2) и показал, что тайлы этих разбиений являются множествами ограниченного остатка относительно рассматриваемого сдвига, причем по~ лученная оценка остатка не зависит от выбора таила и номера разбиения.

диссертации ^за)СС]\/га)Т ^зххва)ЛОтся^ ххе только х л е р е хс. л ауП^ьх в а) хо хлд хх е ся^ хх об об-хценные хл е л а^о^лих в^югциеся J)aJЗ>^)xxexxxx^x 1 х1 о р aJ, ххо хх их л л ^з хи л сз^х^ехххх .з?х к ряду задач. Остановимся хха) этих задачах ^нгу^ть подробнее.

1. Локальные отклонения для сдл^лзххголз 1 г о р ^ хх множества ог^з^^хххх^хеххххого остатка.

Пусть иррац] иональный сдвиг 1 -мерного тора

х е та и

N(а,х,п,Х) — { : 0 < к< п,Ба(к) е X}.

Из

теоремы Вейля о равномерном ра|Схл|зе^л^елехххххх вытехса)ет, ^хто в слу^ чае, вектор а хх^з^з^^л^ххсзххс^^хехх от но сххт1 е^ л Лзхх о ^зелтлет^хс-хх Ь, имеет место

асимптотическая формула

лт, уо1а (X)

N(а,х,п,Х) — п—т ^ + о(п).

Ее

остаточный ^хлехх

( ъм ат( ъм уо1а(Х)

г(а,х,п,Х ) — N(а,х,п,Х ) — п—т ^

обычно называхот локальным отклонением. Иногда так^^ке рассматривахот

гл о б tijijt ь н ы g отклонения

А(а, n) = sup sup \r(a,x,n,X )|.

X ж

В одномерном случае supX означает супремум по все интервалам X С [0; 1). В случае произвольной размерности супремум о б ы ч н о б g р g' г ся по прямоугольникам, стороны которых параллельны осям координат, либо же по всем выпуклым множествам.

В одномерном случае для г л о б ал ь н ы х отклонений А(а,п) полупены оценки, неулучшаемые по порядку в клaicce воз ^эа|Ст,а|ЛОлпдллх^ функций [136]. Например, еслтлл ^Я_г ^ ллеллолтлльле ^~ла)Ст лльле р^зло^кония а в лт^елл ллу^то дробь, Si ^^^ ^ соответствующие з> ллaj]Viеллa/re*jллл 11 ()/ с)/ ^м 11 к, ti х то

k k C\ У^ max(qi — C2, 0) < max А(а,г) < C3 ^^ Яг •

г=1 г=1

В случае произвольной размерности многочисленные оценки для глобального отклонения мо^жно наити в [182].

Задача об

изучении локальных о ikj л о лл е лл лл лл является с^^лл^ест' лзе лл лл о более сложной лл лле р еллл е лл hi полллостгл^ло д^йсс .в o^i i^h о ivi е р лл о ivi сл^^^лс^е. Наиболее изучена saijZi^ai^i ai о mho^kcctbSiX or ^эа1лл лл е лл лл о го ocTaiT лса>, то ест ь о ]vi лл o^KecTBaiX^ X для которых имеет место оценка r(a,x,n,X) = 0(1). В одномерном случае Гсккс [94] полс.а)Зал, ^~лто ллллте^зва)л[ьл I, ^t^jtлллла) лсото^зьлх^ у^т^ов^тле'тво^зя^е'т условию \I\ Е Z + aZ, являются множествами ограниченного остатка для поворота

Ra . Более того, в этом случае \r(a,x,n, I)\ < \h\ , где h - един-с 1. в о лл лл о о цел о О П ЛЛ л о, ^д^л я л^.о т о р о Л1 о \I\ — ha Е Z . Эрдеш [68] Л Л о л ожил, что интервалов ог^з^^лллл^леллллого ост^ткй! ^ о1 iu л лл ^л лл ы х от обнаруженных Гек~

кс ^ лле существует. J..........н лл ое пр едл^лл o*j л Oj^K^e лл лле б ы j л о до КЭ)3 о ISl е с1 л.1 е лл о ivi [ 10 4j,

который также вьлслса|3ал г лл л л отез^у о возмойсности су^ллдествеллллого у^сллле-ния оценки Гекке. В дальнейшем другие доказательства гипотезы Эрдеша

хл ^зедл^ ли Лесхс.а^ ^Рюрстонборг^ П бтсрссн и др. Орен [132] получил также описание всех одномерных мнойсеств ограниченного остнткй! , я в л я югцихся объединением конечного числй| ххххте |зва|Л о в • у^ дно ххз современных док^зй! тельств теорем К^естена и Орена мо^^кно наити в

В многомерном случае первый пример множеств ограниченного остатка привел Сюс [183]. Этот пример был обобщен Лиарде 15], который также доказал отсу^тствххе ххет,^зххвхха1«т1ь1хь1х^ прямоугольников ограниченного остатка. Кроме того, Лиарде показал, ^нгто не су^хлдеству^ет ^гхто^^кеств огр^ ниченного остатка для хл ос^)ле^ ^О-Вс^/ге^) 1 Лзххост'ей дробных долей многочленов степени выше первой. Другие примеры многомерных мно^кеств ограниченного остатка были С -В Я 3 IX ы с фракталами Рози и другими разбиениями тора. Эти примеры были упомянуты выше. При этом Рози [144] и Ференци [69| так^^ке обнару^^кили связь мно^^кеств ограниченного остатка с отображениями ххе^звого возв^за)1лдеххххя^ для с;д1в ххгов то^за). ТГ^к^ке гл ^з хх]\/ге ^зьх множеств ограниченного остатка в случае произвольной размерности по~ строили построили Хайнс и др. [91], [89] при изучении точечных множеств, БВ- эквивалентных рептетк^м^ > 1з Оь) л х^ ххх хх хх с1 х' лз о о б с у ^х^дл^ aJ лз пл хх с^х здесь л л ^з хх^хе ров (за исключением работ Журавлева и его учеников) хх е сохл ров о^к^ л ххс Лз получением эффективной оценки о статка. Грепст^д и Лев [81] получили хл о л хх ое описание всех^ хл о л хх эдр а! л ыхых^ мно^кеств о г ^за1хххх^~л еххххо го 0ста1тхса1. В частности, ими было доказано, ^хто в слу^^ха!е вхл о л хх е хх ^з ^за|Лл1ххохха|Лыхого а £ любой многогранник, все ве^зхлхххххы хсото^зого хл^зххххауП^те-<яса|Т мно жеству Ъл + аЪл , является множеством о г ^за|Нхх ^ленного 0ста1тхса1 отххоехх тельно сдвига 1-мерного тора на а. Ими были обнаружены связи

множеств ограниченного остатка с анализом Фурье, квазикристаллами, проблемой равносоставленности многогранников и рехпетчатыми мульти-разбиениями [82], [80], [114].

ЛокалЬНЫС otkj юн ения и о с л е д о в ^тельн ости {na} для множеств, отличных от множеств ограниченного остатка, изучались только в одномср-

I

. r(a,x,n, I) lim sup--- > 0.

п^ж ln П

К сожалению, указанный результат носит неэффективный характер и не позволяет ^^к^-с^з^с^/г 1з hit одз^ного интсрвэ)лэ|^ y^j i^objjlетворяюттдего д^нном^у условию. При этом если конкретный интервал I не является интсрв^лом^ ограниченного ocTaiTicai, то K^aiicii е' -либо О X 1^0 И Т^И для л О в п о г о о т кл^ о п о п и я r (а, xx, I) ^ ^^ ^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^виямеи оп^енок ^д^ля А\(а, n), до

настоящего времени ^yzi^aibaijiось jljloлy^^iiiть толысо в о^тень ^raic'tito]vi cji^y^raie \I\ Е Q . Первый результат такого типа получил Адамчевский [1], который смог вы^тиcj 1Ить значение предела

r(a, 0, n, (0; \)) lim sup---2—

п^<х> ln n

в случае, когдй! а ]ква|Д]1|эа|Т,]и^т HaiSt иj3j3ain1ii0]EiaiJTb]Ei0C'Tb • Дан н ы и результат был обобщен на птэоизвольну^ю итэтэапиональность в 11151 . В I29 . 130 в

^ ± г/ -L -L LJ L J ? L J

случае квадратичной иррациональности а и интервала I рациональной длины была Si ценг1 ьн^я п j^)е^ jlidH¿^.я, TeopeiviSi для распределения

значении локального отклонения r(a, 0, n, I) и было показано, как наити математическое о^ж^ид^ние и дисперсию данной велli^iiiны •

2. Геометрия распределения точек орбит поворота окру^кности и с^цвига тора.

Наиболее знаменитым результатом, описываюгцим геометрию распре-д^еления^ то^нгетс. орбит ново^зота* окру^ж^ности я^вля^ется^ згга)^м[ен[И[та)Я^ Teoj3e]viaj о

трех д^лиfi• J..........i,riнн^im Teoj3e]viaj утвер^кд^ет^ ^нгто для л тобого иррационально™

го а разбиение отрезка [0; 1] точками {ьа} , 1 < i < N содержит отрезки

либо двух, либо трех 1 ичных j î^tj 1 ин » Более того, если таких длин три, то одна из них является суммой двух других. Соответствующие длины могут быть вычислены явно для каждого N в терминах разло^кенпя а в цепную дробь. Данная теорема впервые была доказана 111о111 ^X8Xj. В дальнейшем было получено множество различных доказательств данного утверждения.

у щ е с ' jl.1 в у то ' jl.1 также ivi н о г о ч и c*j л е н н ы е обобтцения 11 е о р е ivi ы о трех j/j^j jl и h âx, связанные с наборами точ( ж вида {п1а1 + ... + ndad} , орбитами лл е р е кл ai j 1^ывЭ|Нии отрезков, вр^лцениям^и â д е л ь н ых торов ^ л л ^зонз^лз oj л лз н ы ivih глоследл^о-вательностями {aiа} , распределением алгебраических чисел, частотами кластеров в кв^зипериодических ^за)3бнення^х^ и т.д.

Разумеется, и з в естн ы р азл и ч н ы е о о о о лп^е н ия^ т е о р емы о т р ех^ дл и н н ai слунаи топек орбит иррациональных сдвигов многомерных торов. Например, Шевалле изучал разбиения Дирихле-Вороного [50] и Делоне [48], порождаемые топками орбит сдвигов иррационального тора и показал, нто число таилов в тйких ^за)3бнення^х^ ограничено константой, не за)Внся^лп1ен от числа точек орбиты. Хайнс, Марклов и Рамирез [92], [93] получили верхние оценки для чнсл^ ^)а|3ли^лиых^ ^)а|ССтоя^иилх ме^ж^ду ближайшими точками орбит сдвигов иррациональных торов ^цля различных ]угетрик. При этом по-j л у ч â е ivi ы е оценки ^осо^)енно лз j3aj3>]\^ej3ii()crrii, л лзпл en двух ^ л л j^e^j^CT'aj^Rïi л я то т1 ся достаточно далекими от отлтиA'XaiJiьиых^.

3• -К^вазиллерподлип^~лесхс.не точечные iviHOj^Keci.1 x^aj ^квaj3>xx ^зелтлет1 ic.ii^ Интерес тс ттзу^^нгеттттто кв^зииериодических то^нге^нгттьхх^ ^хтхо^^кеств ^TâK ^^ке как и интерес к изучению квазипериодических разбиении^ во~многом был .В Ы 3 ЛЗ âi IX потребностями кристаллографии, в частности, отхс^)ытиеА,х хсва|3и кристаллов. В связи с этим особое внимание ^ул^е л я л ось sa^n^ai^re охл иса|Ния^ çi ç^p q ее о е о ее ею о е ** с|эра о

нып спектр. Здесь следует от]угстить^ что в непериодическом случае с^у^ллде ствует н[ е с тс.0 л Тэ тс.0 лле вполне э к в и в а^ л е н1 л.1 н ы х о л л ^зедл^е^ л ения дл^лл с^з aJЛí.лл^лл о лл лл ого спектра [110].

При этом рассматривались различные классы точечных мно^кеств! произвольные мно^кествй! Делоне, мно^^кества Мейера ( то есть множеств X , для которых X и X — X являются множествами Делоне^, ]у[ одел ь лл ы е множества [120] и их деформации и т.д. В частности, Шлотманн доказал [155] , что все модельные м^но^кеств^ ^лл, Сь) leдoвйlT,eJ л Ли лл о, все 1 г о п е п лл ы е ^ллло жества, получаемые методом проекции и среза) имеют чисто точечный дифракционный спектр« При этом был обнаружен ^^хядл^ связей р^ссм^т риваемои за,дачи с теорией д^ина^лических систем[, а так^ясе с неперио,ди— ческими аналогами формулы суммирования Пуассона. Задача описания других классов то^нг е^нг лл ьлх^ мно^кеств с ^нг лл сто то^нг е^нг лл ьл м д^лл с^) л^лл о лл лл ьл м спектром^ крайне д^лек^ от слзоего ^зелллелллл^я,» Упомянем здесь известный пример Бааки, Муди и Плезантса [24], пок^з^вших^ что ]у[нойсество точек решетки 12 со взаимно простыми координатами имеет точечный дифрак-1 тонны и спектр. В последние годы уделялось большое внимание изучению дифракционного спектра подстановочных точечных множеств и множеств с элементами случайности [17], [18]. Интересно отметить, что в случае подстановочных 1 г о ^т е ^т лл ЛзЛ х м^но^кеств возм^о^сен КЭ)К ^тллсто 1 г о ^т е ^т лл ЛзЛ лл, ТЭ)К лл смешанный дифракционный спектр (включающий в себя непрерывную и дй^ке сингулярную ко ]уг л л о лл е лл1 г у ^ > з> в е с1 г лл ы о1 гдл^ е^ л Ли лл ы е до сга/г о лл л^л е ^^слго-вия того, что дифракционный спектр будет чисто точечным, однако они достаточн о д а^ л е к лл от о ллт1 лл зХ'Ла^ л Ли лл ых > 13 ч aJ с1 г лл о с1 г лл, о с1 г aJ е1 г ся лл едл^о ^^и^ лл о лл знаменитая гипотеза о чисто точечном дифракционном спектре м^но^кеств, получаемых при помоллди подстановок Пизо. Отметим, что г лл л л От еза оказалась тесно связанной с изучением соответствуюллдих (фракталов Рози

в], [20].

13 лл ос^ о годы возник интерос тс ност1роентт то и изучению квазитле-риодических точечных множеств, ВЮ- ' эквивалентных ^эетттег тсс^зул • Множества и в называются ВЮЮ -эквивалентными, если сутцествует бнекцня / : Х1 ^ Х2 такая, что \ \/(х1) — х11| < то. Данное

понятие было введено в работе [90] в связи с более ранними примерами мн о^ке ст в Делоне, не являющимися билипшидево эквивалентными решеткам. В дальней: лнем было построено мно^^кество нетривиальных примеров модельных множеств, являтютцихся В^Ю -эквивалентными релиеткам [88], [91], [89] и т.д., однако к акой-либо общей гипотезы о структуре таких мио^кес1 глз лз Нс^ст'о.я,тт1^ее времся видим^о ие им^еется >

4. Числа с заданными своттства|]\'Ли рнзло^кении в отл^зедл^еленные системы счисления •

Пусть п = Ск ~ Разложен ие п по основанию д и

Зд(п) ^ ^ ^к_о Ск сумма цифр соответствующего разло^^кения. Гельс|эонд

[75] покакзал, что при условии (р,д — 1) = 1 имеет место асимптотическая формула

N

${п : 1 < п < N : зч(п) = а (шоа р)} = — + О(^),

р

Л < 1 результат тнк^ж^е был им получен в случае, когда

п прогрессию. Данная работа многократно

обобщалась, в ч^аеттгоеттг тгзу^ч^алтось ттове^цетгтге Зд, тсог^ца п тт^зобегает различные тл ос л едл^о ва|Те ль ноет и, а! т^к^ж^е ^эелтла^тись а|На|ЛОги тс^та|СС1д ^лестсттх^ теоретико-числовых за^цач^ в ч^тге^лтах^, у которых Зд(п) нрин^дле^кит за^цатг— ной арифметической прогрессии. Из всего многообразия работ на данную тему отметим работу [118] , в которой показано, нто сугцествует ^)естсотте^нгтто много простых р, у которых Зд (р) принадлежит заданной арис|эметиче-

ской прогрессии.

Эминян [240] TSiKj^KG HcLIIIGJT aiCTI ]VI JLJLT ОТИКИ В РГДЗ^с^

§{n : 1 < n < N : s2(n) = i (mod2),s2(n + 1) = j (mod 2)} = Cij N + О (log X). При этом Cij = 6 при i = j и Cij = 3 при i = j . На самом деле еще ранее Малер [117] изучал суммы вила Е- p(l)p(l + k), где p(l) = (n) и - корень q-ой степени из 1. При

q == 2 и k == 1 из результатов ЗХ^алера легко вывести результат Эминяна.

q

турального ^~тисл по последовательности {qk} Аналогиино q-ичным раз-

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Шутов Антон Владимирович, 2023 год

Литература

fl] Adamczewski B. Repartition des suites (ua)neN et substitutions // Acta Arithmetiea. 2004. Vol. 112. P. 1 22.

[2] Adams C. The Tiling Book: An Introduction to the Mathematical Theory of Tilings. AMS. 2022.

[3] Akiyama S. On the boundary of self-affine tilings generated by Pisot numbers // Journal of Math. Soc. Japan. 2002. Vol. 54, JYfi 2. P. 283308.

[4] Akiyama S. Pisot numbers and greedy algorithm // Number Theory, Diophantine, Computational and Algebraic Aspects, de Gruyter 1998. P. 9 21.

[5] Akiyama S. Pisot number system and its dual tiling // Physics and Theoretical Computer Science. IOS Press. 2007. P. 133 154.

[6] Akiyama S. Self affine tiling and Pisot numeration system // Number Theory and its Applications. Kanemitsu: Kluwer. 1999. P. 7 17.

[7] Akiyama S., Barat G., Berthe V., Siegel A. Boundary of central tiles associated with Pisot beta-numeration and purely periodic expansions // Monatshefte fur Mathematik. 2008. Vol. 155, № 3. P. 377-419.

[8] Akiyama S., Barge M., Berthe V., Lee J.-Y., Siegel A. On the Pisot substitution conjecture // Mathematics of Aperiodic Order. Springer, 2015. P. 33 72.

[9] Akiyama S., Caalim J., Imai K., Kaneko H. Corona limits of tilings: periodic case // Discrete Comput. Geom. 2019. Vol. 61. P. 626 652.

[10] Akiyama S., Gjini N. // Connectedness of number theoretic tilings // Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. 2005. Vol. 7, JYfi 1. P. 269 312.

[11] Akiyama, S., Imai, K. The corona limit of Penrose tilings is a regular decagon // Proc. 22nd International Workshop on cellular automata and discrete complex systems, AUTOMATA, LNCS 9664, Springer, 2016, P. 35-48.

[12] Allouehe J.-P. Nouveaux résultats de transcendance de réels 'a développement non aléatoire // Gaz. Math. 2000. Vol. 84. P. 19- 34.

[13] Amri M., Spiegelhofer L., Thuswaldner J. Répartition jointe dans les clâSSGS (1g rGSldllS (1g lâ somme des chiffres pour deux représentations d'Ostrowski // International Journal of Number Theory. 2022. Vol. 18, no. 05. P. 955-976

[14] Arnoux P., Ferenczi S., Hubert P. Trajectories of rotations // Acta Arith. 1999. Vol .87. P. 209 217.

[15] Arnoux P., Ito S. Pisot substitutions and Rauzy fractals // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. 2001. Vol. 8, no.2. P. 181-207.

[16] Arnoux P. , Rauzy G. Représentation géométrique de suites de complexité 2n + 1 // Bull. Soc. Math. France. Vol. 1991. Vol. 119. P. 199 215.

[17] Baake M., Gähler F., Huck Ch., Zeiner P. Spectral and arithmetic structures in aperiodic order // Spectral structures and topological methods in mathematics. EMS. 2019. P. 197 220.

[18] Baake M., Grimm U. Aperiodic Order, Vol. 1, A Mathematical Invitation. Cambridge University Press. 2013.

[19] Baake M., Grimm U. Coordination sequences for root lattices and related graphs // Zeit. f. Krist. 1997. Vol. 212. P. 253-256.

[20] Baake M., Grimm U. Fourier Transform of Rauzy Fractals and Point Spectrum of ID Pisot Inflation Tilings // Doc. Math. 2020. Vol. 25. P. 2303 2337.

[21] Baake M., Gritzmann P., Huck C., Lagfeld B., Lord K. Discrete Tomography of Mathematical Quasicrystals: A Primer // Electronic Notes in Discrete Mathematics. 2006. Vol. 20. P. 171 191.

[22] Baake M., Joseph D. Ideal and Defective Vertex Configurations in the Planar Octagonal Quasilattice // Physical Review B. 1990. Vol. 42. P. 8091-8102.

[23] Baake M., Kramer P., Schlottman M., Zeidler D. Planar patterns with fivefold symmetry as sections of periodic structures in 4-spaee // Int. J. Mod. Phys. 1990. V. B04. P. 2217 2268.

[24] Baake M., Moody R., Pleasants P.A.B. Diffraction from visible points and k-th power free integers // Disrete Math. 2000. Vol. 221. P. 3-42.

[25] Babiirin I. A., Bouniaev M., Dolbilin N. , Erokhovets N. Yu., Garber A., Krivovichev S. V., Sehulte E. On the origin of erystallinity: on a lower bound for the regularity radius of Delone sets // Acta Crystallogr. A74. 2018. no. 6. P. 616 629.

[26] Baladi V., Roekmore D., Tongring N., Tresser C. Renormalization on the n-dimensional torus // Nonlinearity. 1992 Vol.5. P. 1111 1136.

[27] Barge M., Kwapisz J. Geometric theory of unimodular Pisot substitutions // Amer. J. Math. 2006. Vol. 128, no. 5. P. 1219 1282.

[28] Beenker F.P.M. Algebraic theory of non periodic tilings of the plane by two simple building blocks: a square and a rhombus // TH Report. 82-WSK-04. - Eindhoven: Technische Hogeschool, 1982.

[29] Beck J. Randomness of the square root of 2 and the Giant Leap, Part 1 // Periodica Mathematica Hungarica. 2010. Vol. 60, no. 2. P. 137 242.

[30] Beck J. Randomness of the square root of 2 and the Giant Leap, Part 2 // Periodica Mathematica Hungarica. 2011. Vol. 62, no. 2. P. 127 246.

[31] Ben Abraham S., Gâhler F. Covering cluster description of octagonal MnSiAl quasicrystals // Physical Review B. 1999. Vol. 60. P. 860-864.

[32] Benson M. Growth series of finite extensions of Zn are rational // Inventiones mathematicae. 1983. Vol. 73. P. 251 269.

[33] Berthe V. Arithmetic discrete planes are quasicrystals // DGCI 09. LNCS 5810. 2009. P. 1 12.

[34] Berthe V. Autour du système de numération d'Ostrowski // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. 2001. Vol. 8. P. 209- 239.

[35] Berthe V., Ferenezi S., Zamboni L.Q. Interactions between Dynamics, Arithmetics and Combinatorics: the Good, the Bad, and the Ugly // Algebraic and Topological Dynamics. Contemporary Mathematics. Vol. 385. 2004. AMS. P. 333 364.

[36] Berthe V., Siegel A. Tilings associated with beta-numeration and substitution // Integers: Electronic journal of combinatorial number theory. 2005. Vol. 5, № 3. ft A02.

[37] Berthe V., Siegel A., Thuswaldner J. Substitutions, Rauzy fractals, and tilings // Combinatorics, Automata and Number Theory. Cambridge University Press, 2010. P. 248-323.

[38] Berthe V., Steiner V., Thuswaldner J.M. Multidimensional continued fractions and symbolic coding of toral translations. arXiv preprint. 2020. htt ps: / / arxiv. org / abs /2005.13038.

[39] Berthe V., Vuillon L. Tilings and rotations on the torus: a two-dimensional generalization of Sturmian sequences // Discrete Mathematics. 2000. Vol. 223, no. 13. P. 27 53.

[40] Bieberbach L.Uber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume I // Mathematische Annalen. 1911. Vol. 70, no. 3. P. 297- 336.

[41] Bieberbach L.Uber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume II // Mathematische Annalen. 1912. Vol. 72, no. 3. P. 400- 412.

[42] de Brujin N.G. Algebraic theory of Penrose's non-periodic tilings of the plane // Ned. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 1981. Vol. 84. P. 39-66.

[43] de Brujin N.G. Dualization of multigrids // Journal de Physique Colloques. 1986. Vol. 47 (C3). P. C3-9-C3-18.

[44] de Brujin N.G. Updown generation of Penrose patterns // Indagationes mathematieae. 1990. Vol,l, no. 2. P. 201 220.

[45] Brunner G. O., Laves F. Zum Problem der Koordinationszahl // Wiss. 7.. Teehn. Univers. Dresden. 1971. Vol. 20. P. 387 390.

[46] Canterini V., Siegel A. Geometric Representation of Substitutions of Pisot Type // Transactions of American Mathematical Society. 2001. Vol. 353, no. 12. P. 5121 5144.

[47] Cassaigne J., Ferenczi S., Zamboni L. Q. Imbalances in Arnoux-Rauzy sequences // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 2000. Vol. 50. P. 1265—1276.

[48] Chevallier N. Cyclic groups and the three distance theorem // Canad. J. Math. 2007. Vol. 59. P. 503 552.

[49] Chevallier N. Coding a translation of the two-dimensional torus // Monatshefte für Mathematik. 2009. Vol. 157. P. 101-130.

[50] Chevallier N. Geometrie des suites de Kronecker // Manuscripta Math. 1997. Vol. 94. P. 231 241.

[51] Combinatorics, automata and number theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 135. Cambridge University Press. 2010.

[52] Conway J. II.. Sloane N. J. A. Low-Dimensional Lattices VII: Coordination Sequences // Proc. Royal Soc. London, Series A. 1997. Vol. 453. P. 2369- 2389.

[53] Coven E.M., Hedlund G.A. Sequences with minimal block growth // Math. Systems Theory. 1972. Vol. 7. P. 138-153.

[54] Davlet'yarova, E.P., Zhukova, A.A., Shutov, A.V. Geometrization of the Fibonacci numeration system, with applications to number theory // St. Petersburg Mathematical Journal. 2014. Vol. 25, no. 6. P. 893 907.

[55] Delaunay B. Sur la partition régulière de l'espace à 4 dimensions. Deuxième partie // Известия Академии наук СССР. VII серия. От-дблбниб ci* ' jl1сзci* ' jl1ич6ских и 6ст6ств6нных н^ук • 1934. Т. 6. С. 793- 800.

[56] Delgado-Friedriehs О., Foster M.D., O'Keeffe M., Proserpio D.M., Treacy M.M.J., Yaghi O.M. What do we know about three-periodic nets? // Journal of Solid State Chemistry. 2005. Vol. 178. P. 2533-2554.

[57] Demski D., Hilgers P., Shutov A. Growth forms of grid tilings // Acta Cryst. 2022. Vol. A78. P. 309-318.

[58] Dolbilin N.P. The countability of a tiling family and the peridicity of tiling // Discr. and Comput. Geometry. 1995. Vol. 13. P. 405 414.

[59] Dolbilin N.P. The Extension Theorem // Discrete Mathematics. 2000. Vol. 221, no. 13. P. 43 60.

[60] Dolbilin N.P., Garber A., Leopold U., Schulte E., Senechal M. On the regularity radius of Delone sets in R3 // Discrete Comput. Geom. 2021. Vol. 66. P. 996 1024.

[61] Dolbilin N.P., Schattschneider D. The Local Theorem for Tilings // Quasicrystals and Discrete Geometry (J.Patera, ed.), Fields Institute Monographs, Vol.10, Amer. Math. Soc. 1998. P. 193- 199.

[62] Drmota M., Gajdosik J. The Parity of the Sum-of-Digits-Function of Generalized Zeckendorf Representations // Fibonacci Quarterly. 1998. Vol. 36, no. 1. P. 3 19.

[63] Drmota M., Skalba M. The parity of the Zeekendorf sum-of-digits function // Manuscripta Math. 2000. Vol. 101, no. 3. P. 361 383.

[64] Eon J.-G. Algebraic determination of generating functions for coordination sequences in crystal structures // Acta Cryst. A58. 2002. P. 47- 53.

[65] Eon J.-G. From symmetry-labeled quotient graphs of crystal nets to coordination sequences II Struct. Chem. 2012. Vol. 23. P. 987-996.

[66] Eon J.-G. Topological density of lattice nets // Acta Cryst. A69. 2012, P. 119 121.

[67] Eon J.-G. Topological density of nets: a direct calculation // Acta Cryst. A60. 2004. P. 7 18.

[68] Erdos P. Problems and results in diophantine approximation // Сотр. Math. 1964. Vol. 16. P. 52 65.

[69] Ferenczi S. Bounded remainder sets // Acta Arithmetica. 1992. V. 61. P. 319-326.

[70] Frettloh D., Garber A. Pisot substitution sequences, one dimensional eut-and-project sets and bounded remainder sets with fractal boundary // Indagationes Mathematicae. 2018. Vol. 29, no. 3. P. 1114 1130.

[71] Fritz T. Velocity polytopes of periodic graphs and a no-go theorem for digital physics // Discrete Math. 2013. Vol. 313. P. 1289 1301.

[72] Frougny C., Solomyak B. Finite beta-expansions // Ergod. Th. and Dynam. Sys. 1992. Vol. 12, № 4. P. 713- 723.

[73] Gähler F., Rhyner J. Equivalence of the generalised grid and projection methods for the construction of quasiperiodic tilings //J. Phys. A.: Math. Gen. 1986. Vol. 19. P. 267 277.

[74] Garber A., Magazinov A. Voronoi conjecture for five-dimensional parallelohedra. arXiv preprint. 2019. https://arxiv.org/abs/1906.05193.

[75] Gelfond A. O. Sur les nombres qui ont des propriétés additives et multiplicatives données // Acta Aithmetica. 1968. Vol. 13. P. 259-265.

[76] Götz M. Discrepancy and error in integration // Monatsh. Math. 2002. Vol. 136. P. 99 121.

[77] Goodman-Strauss C. Matching rules and substitution tilings // Ann. of Math. (2). 1998. Vol. 147, no. 1. P. 181-223.

[78] Goodman-Strauss C., Sloane N.J.A. A coloring-book approach to finding coordination sequences // Acta Cryst. A75. 2019. P. 121 134.

[79] Gradit P., Van Dongen V. A self-ruling monotile for aperiodic tiling // Proceedings of Bridges 2022: Mathematics, Art, Music, Architecture, Culture. 2022. Phoenix: Tessellation publishing. P. 261-268.

[80] Grepstad S., Lev N. Riesz bases, Meyer's quasicrystals, and bounded remainder sets // Transactions of the American Mathematical Society. 2018. Vol. 370, no. 6. P. 4273-4298.

[81] Grepstad S., Lev N. Sets of bounded discrepancy for multi-dimensional irrational rotation // Geom. Funct. Anal. 2015. Vol. 25, no. 1. P. 87- 133.

[82] Grepstad S., Lev N. Universal sampling, quasierystals and bounded remainder sets // Comptes Rendus Mathématique. 2014. Vol. 352, no. 7-8. P. 633-638.

[83] Grigorehuk R., Kravaris C. On the growth of the wallpaper groups // Acta Cryst. A78. 2022. P. 371 383.

[84] Grosse-Kunstleve R. W., Brunner G. O., Sloane N.J.A. Algebraic Description of Coordination Sequences and Exact Topological Densities for Zeolites // Acta Cryst. A52. 1996. P. 879-889.

[85] Grunbaum B., Shephard G. C. The 81 Types of Isohedral Tilings of the Plane // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1977. Vol. 82. P. 177 196.

[86] Grunbaum B., Shephard G. C. Tilings and patterns. New York: W. H. Freeman and Company. 1987.

[87] Gummelt P. Penrose tilings as coverings of congruent decagons // Geometriae Dedicata. 1996. Vol. 62, no. 1. P. 1 17.

[88] Haynes A. Equivalence classes of codimension one cut-and-project nets // Ergodic Theory and Dynamical Systems. 2016. Vol. 36, no. 3. P. 816 831.

[89] Haynes A., Kelly M., Koivusalo H. Constructing bounded remainder sets and cut-and-project sets which are bounded distance to lattices II // Indagationes Mathematicae. 2017. Vol. 28, no. 1. P. 138 144.

[90] Haynes A., Kelly M., Weiss B. Equivalence relations on separated nets arising from linear toral flows // Proceedings of the London Mathematical Society. 2014. Vol. 109, no. 5. P. 1203 1228.

[91] Haynes A., Koivusalo H. Constructing bounded remainder sets and eut-and-projeet sets which are bounded distance to lattices // Israel J. Math. 2016. Vol.212, no. 1. P. 189 201.

[92] Haynes A., Marklof J. A Five Distance Theorem for Kronecker Sequences // International Mathematics Research Notices. 2021. rnab205. P. 1-43.

[93] Haynes A., Ramirez J.J. Higher-dimensional gap theorems for the maximum metric // International Journal of Number Theory. 2021. Vol. 17, no. 7. P. 1665-1670.

[94] Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins // Math.Sem.Hamburg Univ. 1921. Vol. 5. P. 54-76.

[95] Heesch H. Aufbau der Ebene aus kongruenten Bereichen // Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, New Ser. 1935. P. 115-117.

[96] Heesch H. Reguläres Parkettierungsproblem. Springer. 1968.

[97] Heesch H., Kienzle O. Flächenschluß. Springer. 1963.

[98] Ito S., Rao H. Atomic surfaces, tilings and coincidences I. Irreducible case // Israel J. Math. 2006. Vol. 153, no 1. P. 129 156.

[99] Kaplan C.S. Introductory Tiling Theory for Computer Graphics. Morgan and Claypool Publishers. 2009.

[100] Katz A. Beyond quasicrystals // Matching rules and quasiperiodicity: the octagonal tilings. Berlin, Heidelberg: Springer, 1994. T. 3. (Centre de Physique des Houches). P. 141-189.

[101] Katz A., Duneau M. Quasiperiodic patterns and icosahedral symmetry // Phys. Rev. Letters. 1986. Vol. 47. P. 181-196.

[102] Keane M. S. Interval exchange transformations // Math. Z. 1975. Vol. 141. P. 25 31.

[103] Kelly M., Sadun L. Pattern Equivariant Cohomology and Theorems of Kesten and Oren // Bulletin of the London Mathematical Society. 2014. Vol. 47, no. 1. P. 13 20.

[104] Kesten H. On a conjecture of Erdos and Sziisz related to uniform distribution mod 1 // Acta Arithmetica. 1966. Vol. 12. P. 193-212.

[105] Kopezyriski E. Coordination sequences of periodic structures are rational via automata theory // Acta Cryst. 2022. Vol. A78, 155-157.

[106] Kramer P. On the Theory of a Non-Periodic Quasilattice Associated with the Icosahedral Group // Z. Naturforsch. 1985. Vol. 40a. P. 775-788.

[107] Krasil'shchikov, V.V., Shutov, A.V. Distribution of points of one-dimensional quasilattices with respect to a variable module // Russian Mathematics. 2012. Vol. 56, no. 3. P. 17 23.

[108] Krasil'shchikov, V. V., Shutov, A. V., Zhuravlev, V. G. One-Dimensional Quasiperiodic Tilings Admitting Progressions Enclosure // Russian Mathematics. 2009. Vol. 53, no. 7. P. 16.

[109] Kuznetsova, D.V., Shutov, A.V. Exchanged toric tilings, Rauzy substitution, and bounded remainder sets // Mathematical Notes. 2015. Vol. 98, no. 5-6. P. 932-948.

[110] Lagarias J.C. Mathematical Quasicrystals and Problem of Diffraction // Directions in Mathematical Quasicrystals. Eds. Baake M, and Moody R. Providence. AMS. 2000. P. 61 93.

fill] Lamberger M., Thuswaldner J. W. Distribution properties of digital expansions arising from linear recurrences // Mathematiea Slovaca. 2003. Vol. 53, no. 1. P. 1 20.

[112] Lanngerman S., Winslow A. A Quasilinear-Time Algorithm for Tiling the Plane Isohedrally with a Polyomino // Proc. of 32nd International Symposium on Computational Geometry (SoCG 2016). 2016. P.50:l 50:15.

[113] Latapy M. Integer partitions, tilings of 2D-gons and lattices // Informatique Theorique et Applications. 2002. Vol. 36, no. 4. P. 389 399.

[114] Lev N., Liu B. Multi-tiling and equidecomposability of polytopes by lattice translates // Bulletin of the London Mathematical Society. 2019. Vol. 51, no. 6. P. 1079-1098.

[115] Liardet P. Regularities of distribution // Compositio Math. 1987. Vol. 61. P. 267 293.

[116] Macbeath A. M., On measure of sum sets II: the sum theorem for the torus // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1953. Vol. 49, no. 1. P. 40 43.

[117] Mahler K. The Spectrum of an Array and its Application to the Study of the Translation Properties of a Simple Class of Arithmetical Functions: Part Two On the Translation Properties of a Simple Class of Arithmetical Functions //J. Math, and Physics. 1927. Vol. 6. P. 158- 163.

[118] Mauduit C., Rivat J. Sur un problème de Gelfond: la somme des chiffres des nombres premiers // Annals of Mathematics» 2010. Vol. 171, no. 3. P. 1591 1646.

[119] McColm G.L. Cut-and-project graphs and other complexes // Theoretical Computer Science. 2021. Vol. 894. P. 172-189.

[120] Meyer Y. Algebraic numbers and harmonic analysis. North-Holland, Amsterdam. 1972.

[121] Mintchev S. Continued fraction expansions and self-similarity of rotation on the circle //J. Phys. A. Math. Gen. 2002. Vol. 36. P. 1 14.

[122] Moody R. Model sets: a survey // From Quasicrystals to More Complex Systems. Eds. F.Axel, F.Denoyer and J.-P.Gazeau. Springer, Berlin, 2000. P. 145 166.

[123] Moreira de Oliveira Jr M., Eon J.-G. Non-erystallographie nets: characterization and first steps towards a classification // Acta Cryst. 2014. Vol. A70, 217-228.

[124] Morse M., Hedlund C.A. Symbolic Dynamics II: Sturmian trajectories // Amor..J.Matli. 1940. Vol. 62. P. 1-42.

[125] Nakamura Y., Sakamoto R., Mase T., Nakagawa J. Coordination sequences of crystals are of quasi-polynomial type // Acta Cryst. 2021. Vol. A77, 138-148.

[126] Niederreiter H. Random number generation and Quasi-Monte Carlo methods, SIAM, 1992.

[127] Niederreiter H., Wile M. Diskrepanz und Distanz von Maßlen bezüglich konvezer und Jordanscher Mengen // Math. Z. 1975. Vol. 144. P. 125-134.

[128] O'Keeffe M. Dense and rare four-connected nets // Z. Kristallogr. 1991. Vol. 196, 21 37.

[129] O'Keefe, M. ^-Dimensional Diamond, Sodalite and Rare Sphere Packings // Acta Cryst. A47. 1991. P. 748-753.

[130] O'Keefe, M., Hyde B.G. Crystal structures I. Patterns and symmetry. MSA, Chelsea, 1996.

[131] Oguey C., Duneau M., Katz A. A geometrical approach of quasiperiodic tilings // Communications in Mathematical Physics. 1988. Vol. 118. P. 99 118.

[132] Oren I. Admissible functions with multiplie discontinioutes // Israel J.Math. 1982. Vol. 42. P. 353-360.

[133] Ostrowsky A. Bemerkungen zur Theorie der diophantischen Approximationen // Hamb. Abh. 1921. Vol. 1. P. 77—98.

[134] Parry W. On the ^-expansions of real numbers // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1960. Vol. 11, № 3. P. 401 416.

[135] Penrose R. The role of aesthetics in pure and applied mathematical research // Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications. 1974. Vol.10. P.266 271.

[136] Pinner C. On sums of fractional parts {na + y} //J. Number Theory. 1987. Vol. 65. P. 48-73.

[137] Pleasants P.A.B. Designer Quasicrystals: Cut-and-Project Sets with Pre-Assigned Properties // Directions in Mathematical Quasicrystals. Eds. Baake M, and Moody R. Providence. AMS. 2000. P. 95 142.

[138] Pytheas Fogg N. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. Springer, 2001.

[139] Pytheas Fogg N., Noüs C. Symbolic coding of linear complexity for generic translations of the torus, using continued fractions. arXiv preprint. 2020. https://arxiv.org/abs/2005.12229.

[140] Radin Ch. Miles of tiles. AMS. 1999.

[141] Radin Ch., Sadun L. The Isoperimetric Problem for Pinwheel Tilings // Commun.Math.Phys. 1996. Vol. 177. P. 255 263.

[142] Ramirez Alfonsin J. L. The Diophantine Frobenius Problem. Oxford University Press, Oxford, 2005.

[143] Rao M. Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane arXiv preprint. 2017. https://arxiv.org/abs/1708.00274.

[144] Rauzy G. Ensembles a restes bornes // Seminaire de theorie des nombres de Bordeaux 1983/1984. Bordo. 1984. Expose 24.

[145] Rauzy G. Nombres algebriques et substitutions // Bull.Soc.Math.France. 1982. Vol. 110. P. 147-148.

[146] Reinhardt K. Uber Abbildungen durch analytische Funktionen zweier Veränderlicher. Goethe University Frankfurt. 1918.

[147] Reinhardt K. Zum Zerlengung der euklidischen Räume in kongruente Polytope // Sitzungsberichte der Preuss. Akademie der Wissenchaften Berlin. 1928. P. 150 155.

[148] Renyi A. Representations for real numbers and their ergodic properties // Acta. Math. Acad. Sei. Hungar. 1957. Vol. 8, № 3. P. 477-493.

[149] Reticular Chemistry Structure Resource (RCSR), http://rcsr.net

[150] Robinson R.M. Undecidibility and nonperiodicity of tilings of the plane // Inventiones Math. 1971. Vol. 12. P. 177-209.

[151] Rogadas L., SehoiBengeier J. On the local discrepancy of (na) -sequences 11 J.Number Theory. 2011. Vol. 131, no. 8 P. 1492 1497.

[152] Sadun L. Topology of tiling spaces. AMS. 2008.

[153] Sano Sh., Miyoshi N., Kataoka R. m -Balanced words: A generalization of balanced words // Theoretical computer science. 2004. Vol. 314. P. 97 120.

[154] Schattschneider D. Will it tile? try the Conway criterion! // Mathematics Monthly 1980. Vol. 53, no. 4. P. 224 233.

[155] Schlottman M. Cut-and-project sets in locally compact Abelian groups // Quasicrystals and Discrete Geometry. AMS. 1998.

[156] Sehonflies A. Kristallsysteme und Kristallstruktur. Leiptzig. 1981.

[157] Shallit J. Subword complexity of the Fibonaeei-Thue-Morse sequence: the proof of Dekking's conjecture // Indag. Math. 2021. Vol. 32., no. 3. P. 729 735.

[158] Shutov A.V. Derivatives of circle rotations and the similarity of orbits // Journal of Mathematical Sciences. 2006. Vol. 133, no. 6. P. 1765 1771.

[159] Shutov A.V. On the sum of digits of the Zeckendorf representations of two consecutive numbers // Fibonacci Quarterly. 2020. Vol. 58. no. 3. P. 203 207.

[160] Shutov A.V. Rauzy Fractals and their Number-Theoretic Applications // Journal of Mathematical Sciences. 2022. Vol. 260, no. 2. P. 265-274.

[161] Shutov A.V. The number of words of a given length in the planar erystallographie groups // Journal of Mathematical Sciences. 2005. Vol. 129, no. 3. P. 188-197.

[162] Shutov A.V. Trigonometric sums over one-dimensional quasilattices of arbitrary codimension // Mathematical Notes. 2015. Vol. 97, no. 5-6. P. 791-802.

[163] Shutov A.V., Maleev A.V. Coordination numbers of the vertex graph of a Penrose tiling // Acta Cryst. 2018. Vol. A74. P. 112—122.

[164] Shutov A.V., Maleev A.V. Coordination sequences and layer-by-layer growth of periodic structures // Z. Kristallogr. 2019. Vol. 234, no. 5. P. 291- 299.

[165] Shutov A.V., Maleev A.V. Coordination sequences of 2-uniform graphs // Z. Kristallogr. 2020. Vol. 235, no. 3-5. P. 157—166.

[166] Shutov A.V., Maleev A.V. Coordination shells and coordination numbers of the vertex graph of the Ammann-Beenker tiling // Acta Cryst. 2019. Vol. A75. P. 746—757.

[167] Shutov A.V., Maleev A.V. Inverse problem in the layer-by-layer growth model // Crystallography Reports. 2014. Vol. 59, no. 6. P. 855-861.ShMalStepped Shutov A.V., Maleev A.V. Quasiperiodic plane tilings based on stepped surfaces // Acta Cryst. 2008. Vol. A64. P. 376-382.

[168] Shutov A.V., Maleev A.V. Layer-by-Layer Growth of Ammann-Beenker Graph // Crystallography Reports. 2019. Vol. 64, no. 6. P. 851-856.

[169] Shutov A.V., Maleev A.V. Layer-by-layer growth of vertex graph of Penrose tiling // Crystallography Reports. 2017. Vol. 62, no. 5. P. 683-691.

[170] Shutov A.V., Maleev A.V. Quasiperiodie plane tilings based on stepped surfaces // Acta Cryst. 2008. Vol. A64. P. 376—382.

[171] Shutov A.V., Maleev A.V. Penrose tilings as model sets // Crystallography Reports, 2015, Vol. 60, No. 6. P. 797—804.

[172] Shutov A.V., Maleev A.V. Strong parameterization and coordination encirclements of graph of Penrose tiling vertices // Crystallography Reports. 2017. Vol. 62, no. 4. 535-542.

[173] Shutov A.V., Maleev A.V. Study of Penrose Tiling Using Parameterization Method // Crystallography Reports. 2019. Vol. 64, no. 3. P. 376 385.

[174] Shutov A.V., Maleev A.V. Topological densities of periodic graphs // Z. Kristallogr. 2019. Vol. 235, no. 12. P. 609—617.

[175] Shutov A.V., Maleev A.V., Zhuravlev V.G. Complex quasiperiodie self-similar tilings: their parameterization, boundaries, complexity, growth and symmetry // Acta Cryst. 2010. Vol. A66. P. 427—437.

[176] Siegel A., Thuswaldner J.M. Topological properties of Rauzy fractals, Mémories de la société mathématique de France. Vol. 118. 2009.

[177] Slater N.B. The distribution of untehers N for which {ON} < Ф // Proc. Cambridge Phyl. Soc. 1950. Vol. 46. P. 525 534.

[178] Socolar J.E.S., Steinhardt P.J., Levine D. Quasierystals with arbitrary orientational symmetry // Phys. review B. 1985. Vol. 32, no. 8. P.5547-5550.

[179] Soeolar J.E.S., Taylor J.M. An Aperiodic Hexagonal Tile // Journal of Combinatorial Theory, Series A. 2011. Vol. 118, no. 8. P. 2207 2231.

[180] Sos V.T. On the distribution mod 1 of the sequence na // Ann. Univ. Sei. Budapest, Höt vös Sect. Math. 1958. Vol. 1. P. 127- 134.

[181] Sos V.T. On the theory of diophantine approximation. I. Acta Math. Acad. Sei. Hung. 1957. Vol. 8. P. 461 472.

[182] Strauch О., Porubsky S. Distribution of Sequences: A Sampler. Peter Lang, 2005.

[183] Szüsz R. Uber die Verteilung der Vielfachen einer Komplexen Zahl nach dem Modul des Einheitsquadrats // Acta Math.Acad.Sei.Hungar. 1954. Vol. 5. P. 35 39.

[184] Thurston W. P. Groups, Tilings, and Finite State Automata. (Am. Math. Soe., Colloq. Leet.). Providence, RI: Am. Math. Soc. 1989.

[185] Vinogradow I. M. Some theorems concerning the theory of primes // Математический сборник. 1937. Т. 44, JYfi 2. С. 179—195.

[186] Wang H. Proving theorems by pattern recognition II // Bell Systems Techn. Journal. 1961. Vol. 40. P. 1 42.

[187] Washington L.C. Introduction to cyclotomic fields. Springer, 1982.

[188] Weiß С. Interval Exchange Transformations and Low-Discrepancy // Ann. Mat. Рига Appl. 2019. Vol. 198. P. 399 410.

[189] Weyl H. Üeber die Gleiehverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann. 1916. Vol. 7, no 3. P. 313- 352.

[190] Widom M., Destainville N. , Mosseri R., Bailly F. Two-dimensional random tilings of large eodimension // Proe. 6th Int. Conf. on Quasierystals, eds. S. Takeuehi and T. Fujiwara. 1998. World Scientific. P. 83 90

[191] Zhukova, A.A., Shutov, A.V. Additive Problem with к Numbers of a Special Form // Journal of Mathematical Sciences. 2022. Vol. 260, no. 2. P. 163 174.

[192] Zhuravlev V.G. On additivity property of the complexity function related to Rauzy tiling // Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory. Edited by A.Laurincikas and E.Manstavicius. Vilnus. TEV. 2007. P. 240 254.

[193] Абросимова A.A. BR-множеетва // "Чебвппевскии сборник. 2015. Т. 16. Вып. 2. С. 8 22.

[194] Абросимова A.A. Множества ограниченного остатка на двумерном торе // Чебышевекий сборник. 2011. Т. 12. Вып. 4. С. 15 23.

[195] Венков Б.А. О некотором классе эвклидоввгх многогранников / / Вестник Ленинградского ^^н^ттве^зстттета. Сер. матем. физ. хим. 1954. Т. 9. С. 11-31.

[196] Гильберт Д. Проблемы Гильберта. Ред. П.С.Александрова. М.: Наука, 1969.

[197] Гриценко С.А., Мотькина Н.А. Тернарная проблема Гольдбаха е простыми числами специального вида // Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. JYfi 5. Вып. 38. С. 71 82.

[198] Давлетярова Е.П., Жукова А.А., Шутов А.В. Геометризация обоб-тц с н н ы x с и с1г с1vi счйсл 6нйя Фибоначчи и ее приложения к теории чисел // Чебышевекий сборник. 2016. Т. 17. Вып. 2. С. 88—112.

[199] Делоне Б.Н. Теория пл анигонов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т. 23, Вып. 3. С. 365—386.

[200] Делоне Б.Н., Долбилин И.П., Штогрин М.И., Галиулин Р.В. Локаль-ныи критерии правилвности системвг топек jj Докладвх Alrl COOP. 1976. Т. 227. Вып. 1. С. 19 21.

[201] Делоне Б.Н., Сандакова Н. Н. Теория с1 г е р боэдр О-В // Тр. МИАН СССР 1961. Т. 64. С. 28- 51.

[202] Жукова А.А., Шутов А. В. n -короны в разбиениях тора на мио-жества о г j^aixxix^'xefifioro ocTaiTicai // Чебышевекий сборник. 2019. Т. 20. Вып. 3. С. 246- 260.

[203] Жукова А.А., Шутов А. В. Геометризация систем счисления // Чебышевекий сборник. 2017. Т. 18. Вып. 4. С. 222—245.

[204] Жукова А.А., Шутов А. В. О функции р SiCup еделен о с1 jl1 <UiT о ч н[ ого члена на ]\хв[Ол^кесггва)Х^ о г ^за)Хтхт^~гехтхтого остатки! j j ебвххххевск^хтхт сбор™ ник. 2016. Т. 17. Вып. 1. С. 90 107.

[205] Жукова А.А., Шутов А. В. Об аналоге зауП^а^гхт Г^е^хве^зохтд^а) ^ для обоб-щенньхх разложении 1Деккендорс|эа j j Ч^ебвххпевскии сборник. 2021. Т. 22. Вып. 2. С. 104- 120.

[206] Жукова A.A., Шутов А. В. Подстановка Розн и локальная структура разбиений тора // Чебышевекий сборник. 2019. Т. 20. Вып. 4. С. 137-157.

[207] Журавлев В.Г. Модули торических разбиении на мно^^кества ограни-чбнного остатка Et сбалансированнвхе слова // Алгебра и анализ, 2012. Т. 24. Вып. 4. С. 97 136.

[208] Журавлев В.Г. Многомерная теорема Гбккб о раса pG^u^Gj л егг и и дробных долей// Алгебра и анализ. 2012. Т. 24. Вып. 1. С. 1 33.

[209] Журавлев В.Г. Многогранники ограниченного остатка // Труды математического института имени В.А-.Стеклова, Современнвхе пробле~ мы математики. 2012. Вып. 16. С. 82-102.

[210] Журавлев В.Г. Одномерные разбиения Фибоначчи // Изв. РАН. Сер. матем. 2007. Т. 71, Вып. 2. С. 89- 122.

[211] Журавлев В.Г. Разбиения Рози и множества ограниченного остатка на торе // Зап. научи, сем. ПОМП. 2005. Т. 322. С. 83- 106.

[212] Журавлев В.Г. Рост случайных замощений и графов: между кристаллом и хаосом / / Алгебра и анализ. 2002. Т. 14, Вып. 6. С. 129 168.

[213] Журавлев В. Г. Самоподобный рост периодических разбиений и графов / / Алгебра и анализ. 2002. Т. 13. Вып. 2. С. 69 92.

[214] Журавлев В. Г. Четно-фибоначчевы числа: бинарная аддитивная за~

cii^ распрлени[е по прогрессиями ii спсктр // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20. Вып. 3. С. 18 46.

[215] Журавлев В. Г., Малеев A.B. Функция СЛОЖНОСТИ и форсинг в двумерном квазипериодическом разбиении Рози // Кристаллогафия. 2007. Т. 52. Вып. 4. С. 612 618.

[216] Журавлев В.Г., Малеев A.B., Pay В.Г., Шутов A.B. Рост СЛуЧЕИНВГХ графов и упаковок. // Кристаллография. 2002. Т. 47. С. 976 981.

[217] Кбипврс Л»j Нидеррбитбр Г. Равномерное распределение хтос^лге^д^ова-тельностей. М.:Мир, 1985.

[218] Красильщиков В.В. Спектр одн ом^ерных 1С. .в и[ j) ешеток / / Сибирский математический журнал. 2010. Т. 51. Вып. 1. С. 68 73.

[219] Ле Тханг Ты Куок, Пиунихин С. А., Садов В. А. Геометрия квазикристаллов // УМН. 1993. Т. 48, Вып. 1. С. 41-102.

[220] Малеев A.B., Шутов A.B. Модель послойного роста разбиений, упаковок и графов. Владимир, 2011.

[221] Pay В.Г., Журавлев В.Г., Pay Т.Ф., Малеев A.B. Морфогенезис кристаллических структур в зх/гетод^е д^искретного зх/год^ел ирования упако_ вок. // Кристаллография. 2002. Т. 47. С. 793-796.

[222] Степанов С.А. Арифметика алгебраических кривых. М.:Наука, 1993.

[223] Тарасов А..С. Оло^^кноств ввхпуклвхх стереоэдров jj ]\1атематические заметки. 1998. Т. 61. Вып. 5. С. 797 800.

[224] Федоров Е.С. Начало учения о фигурах. Спб.: 1885.

[225] Федоров Е.С. Симметрия правильных систем фигур. Спб.: 1890.

[226] Шутов A.B. Арифметика и г 6 01VI61Г р и Я Oji I^H 01VI6 р Н ы X КВаЗИ ^ЭеТТТеТ'OKi j j Чебышевекий сборник. 2010. Т. 11. Вып. 1. С. 255 262.

[227] Шутов A.B. Двумерная проблема Гекке Кеетена // Чебышевекий сборник. 2011. Т. 12. Вып. 2. С. 151-162.

[228] Шутов A.B. Многомерные обобщения сумм дробных долей и их 1 г б о р б1 г и ко- ч исло вы б пр ЙЛО^КбНИЯ Чебышевекии сборник. 2013. Т. 14. Вып. 1. С. 104 118.

[229] Шутов А-.В. Неоднородные диос|эантовв1 приближения и распределение дробных долей // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16. Вып. 6. С. 576 585.

[230] Шутов A.B. Обобщённые разбиения Рози и множества ограниненно-го остатка // Чебышевекий сборник. 2019. Т. 20. Вып. 3. С. 372- 389.

[231] Шутов A.B. Рост 1-периодичееких графов // Зап. научи, сем. ПО-МИ. 2002. Т. 286. С. 215 226.

[232] Шутов A.B. Рост 1 -периодипеских трастов j j Ч^ебвппевскии сборник. 2003. Т. 4, Вып. 2. С. 109-122.

[233] Шутов A.B. Об одной сумме, связанной с системой счисления Фибоначчи // Далвневост. матем. журн. 2020. Т. 20. Вып. 2. С. 271-275.

[234] Шутов А-.В. Об одном семействе двумернвгх мно^ж^еств огранипенного остатка // Чебышевекий сборник. 2011. Т. 12. Вып. 4. С. 264—271.

[235] Шутов А-.В. Обобщенные разбиен ия Фибоначчи и их приложения к теории писел. ^Д^иссбрт^ция Bia* соттск^.а)В[И[е у^^нгев[ОИ[ стеллев[тт K^aiBi^j^TT^j^ajiTaj

физико-математических наук по специальности 01.01.06 Математическая логика, алгебра и теория чисел. Владимир, 2005.

[236] Шутов А-.В. Обобщенные разбиения Рози и линеинвге рекуррентнвге нос л едоват e«j 1 ь н о сти // Чебышевекий сборник. 2021. Т. 22. Вып. 2. С. 313 333•

[237] Шутов A.B. Подстановки и множества ограниченного остатка / / Чебышевекий сборник. 2018. Т. 19. Вып.2. С. 501- 522.

[238] Шутов A.B. Тригонометрические суммв1 над квазирешетками / / Чебышевекий сборник. 2012. Т. 13. Вып. 2. С. 136 148.

[239] Хонсбергер Р. Математические изюминки. М.:Наука. 1992.

[240] Эминян K.M. Об одной бинарнои // Математические заметки. 1996. Т. 60. Вып. 4. С. 478 481.