Квадратичные числа Пизо и одномерные квазипериодические разбиения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Мануйлов, Николай Николаевич

• Мануйлов, Николай Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мануйлов, Николай Николаевич

Введение

1. Ветвящийся В -процесс и разбиения.

§1. В -процесс и разбиения единичного полуинтервала.

§2. Цветные разбиения.

§3. Разбиения Фибоначчи порядка д.

§3.1. Длины полуинтервалов из разбиения Фибоначчи порядка д.

§3.2. Метод подстановок

§3.3. Рекуррентные формулы для разбиений Фибоначчи порядка д

§3.4. Количество полуинтервалов в разбиении Фибоначчи порядка д

§4. Глобальные координаты.

2. Производные и орбиты. Перенормировки.

§1. Определение производных и орбит.

§2. Производные на полуинтервалах разбиений Фибоначчи порядка д.

§3. Прямые перенормировки.

§4. Обратные перенормировки.

§5. Соотношения для целых частей числа.

§6. Распределение дробных долей.

3. Двухцветный сдвиг окружности

§1. Определение двухцветного сдвига.

§2. Аттракторы и спирали. Динамические графы.

§2.1. Определение динамических графов.

§2.2. Раскраска полуинтервалов.

§2.3. Динамические графы аттракторов и спиралей.

§2.4. Мера аттрактора.

§3. Частотное распределение точек орбит

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квадратичные числа Пизо и одномерные квазипериодические разбиения»

Диссертация посвящена исследованию одномерных квазипериодических разбиений и их приложений к теории чисел. Особое внимание уделено разбиениям Фибоначчи порядка д = 1,2,3,. для специального класса квадратичных чисел Пизо тд [49], [20], являющихся корнями уравнений х2 -дх- 1 = 0. (1)

Такие тд являются единицами кольца целых чисел Щтд] = Z + r3Z поля Q(t5). Отметим также, что числа тд имеют разложение в цепную дробь вида тд = [д\ (#)], где в круглых скобках записан период разложения в цепную дробь.

В диссертации получены следующие результаты.

1) Изучены обобщенные разбиения Фибоначчи и разбиения Фибоначчи порядка д.

2) Получено усиление теоремы Гекке о распределении дробных долей. Найдено бесконечное число полуинтервалов из разбиений Фибоначчи порядка д, для которых получены новые оценки остаточного члена в формуле распределения дробных долей {птд}, п = 0,1,2,.

3) Найдены явные формулы для вычисления номера г-того возвращения точки из последовательности {птд} в полуинтервалы разбиения

Фибоначчи порядка д.

4) Исследована орбита точки, полученная с помощью двухцветного поворота на окружности - IT -преобразования ранга два. Найдена частота попадания точек орбиты двухцветного поворота в полуинтервал [0, е), где £ € [0,1) - непрерывный параметр.

Первая глава посвящена изучению обобщенных разбиений Фибоначчи для произвольного иррационального а > 0.

Для изучения таких разбиений был использован метод В - процесса и метод подстановок.

Зададим на единичном полуинтервале Iq = [0,1) начальное разбиение та«(0) = [0, {а}) © [{а}, 1), (2) где ф - некоммутативная операция прикладывания полуинтервалов.

Определим В -процесс как откладывание от левых концов всех полуинтервалов из обобщенного разбиения Фибоначчи полуинтервала меньшей длины. Тогда разбиение Tila(m-{-1) получается из соотношения

Tila(m + 1) = B(Tila(m)), т е Z>0. (3)

В -процесс был введен В.Г. Журавлевым в работе [53] для изучения разбиений Фибоначчи TilTl(m), где Т\ =

Разбиение Tila(m) состоит из двух типов полуинтервалов: Lm(a) -длинных с длиной im(ot) и коротких Sm(ot) с длиной sm(a).

Метод подстановок близок к классическому методу преобразований инфляции и дефляции. Обобщенное разбиение Фибоначчи можно также определить с помощью начального разбиения (2) и подстановок для полуинтервалов Lm(a) и Sm(a)

Lm{a) -> Sm+1(c*) 0 Lm+l{a), Sm(a) -> Sm+1(a), (4) если £т(а) > 2sm(a),

Lm(a) -> Lm+1(a) 0 Sm+l(a), Sm(a) Lm+1(a),

5) если £m(a) < 2sm(a).

Метод подстановок в близкой форме был использован P. Arnoux и другими [32] при изучении последовательности Штурма, введенной G. Hedlund и М. Morse в 1940 году [43].

Последовательность и называется последовательностью Штурма, если она имеет сложность ри(п) = n+ 1. Сложность последовательности -целозначная функция, ставящая в соответствие каждому целому п мощность множества подслов длины п, содержащихся в последовательности и.

Примером последовательности Штурма служит последовательность Фибоначчи и = 010010100., получаемая с помощью подстановок

Заметим, что если рассматривать обобщенные разбиения Фибоначчи, отождествляя длинные полуинтервалы с 0, а короткие с 1, то подстановки (6) являются частным случаем подстановок (4), (5) и определяют разбиения Фибоначчи для иррациональности Т\ = 1+2V^. Разбиение Фибоначчи также может быть получено с помощью проекции точек решетки Z2 на прамую у = [44].

В дополнение к разбиениям Tila(m) в диссертации введены разбиения Til+(m), получаемые с помощью подстановок (4), (5) из начального разбиения

0 01, 1 ь-* 0.

6) та+(0) = [0,{1-а})Ф[{1-а},1).

Для таких разбиений доказана формула (см. предложение 1.3)

Til+(m) = (Tt7e(m))<+\ (7) где (+) - отображение, меняющее местами два крайних правых полуинтервала из разбиения Tila(m).

В §2 вводятся «цветные» разбиения CTila(m) из полуинтервалов Gm(a) с длиной дт(а) и полуинтервалов Ет(а) с длиной ет(а). Разбиения CTila(m) строятся по следующему правилу: если два крайних правых полуинтервала в Tila(m) имеют вид Lm(a) ф Sm(a), то Lm(a) = Gm(a) и 5т(а:) = Ет(а), если же крайними полуинтервалами являются Sm(a) Ф Lm(a), то Sm(a) = Gm(a) и Lm(a) = Ет{а). Количества полуинтервалов Gm(a) и Ет(а) обозначим J}Gm(o:) и J}-Em(a;) соответственно. Рассмотрение разбиений CTila(m) обусловлено удобством их использования при изучении сдвигов на окружности единичной длины (главы 2 и 3).

Используя разложение в цепную дробь тд = [д; (<7)] (1), можно вычислить количества коротких }}5ш(о;) и длинных |\Lm{a) полуинтервалов в разбиении Фибоначчи TilTg{m) порядка д.

В §3 первой главы доказана теорема. Теорема 1.6 Для количеств полуинтервалов jjLm(rg) и №т(тд) в разбиениях TilTg (m), Til+g (тп) выполнены равенства т(тд) = №т(тд) = f[m/g]+1 для m = g — 1 mod g, m(Tg) = f[m/g]+1, §Sm(Tg) — f[*)g]+2 для m = i mod g, i = 0,. g — 2, где - числа Фибоначчи порядка g

2], вычисляемые по рекуррентным формулам fn+2 = 9/„\. + It /? = 1, й = к, к = 1,2,., д.

Некоммутативным обобщением рекуррентной формулы (8) служит Теорема 1.5 Для разбиений ТйТд(т) и Til+ (m) справедливы рекуррентные формулы 9

TilTg (тп + 2д) = г"1 0 TilTg (т + д)ф т~2Т?\lTg (т), (9) г=1 9

Til+(m + 2д) = г"1 0 TilTg{m + д) © г~2Тг7+(т), (10) г=1 где г"1, т~2 - коэффициенты сжатия полуинтервалов соответстую-щего разбиения.

Формулы (9), (10) позволяют строить разбиения Фибоначчи порядка g с помощью прикладывания одного разбиения к другому. Следует отметить, что только для чисел т9 в настоящее время известны рекуррентные соотношения типа (9) и (10).

§4 посвящен изучению глобальных свойств обобщенных разбиений Фибоначчи CTila(m) и их связи с иррациональным поворотом окружности.

В теореме 1.7 вычислены координаты полуинтервалов Gm(a) и Ет(а) из разбиения CTila(m). Каждому полуинтервалу присвоен свой номер -глобальная координата к : = [{(iJG"» - $Ет(а) - к)а}, {($Gm(а) - к)а}), ЯГМ = [ШОт(а) - к)а}, {-ка}). Полуинтервалы (11) связаны между собой формулами

G£+1(a) = G$(a) - ка mod 1, Е£+1(а) = Е?(а) - ка mod 1.

Теорема 1.8 Пусть CTila(m) и CTil^(m) - разбиения, порождаемые В -процессом, и пусть

S(x) = х-а mod 1 (12)

- отображение сдвига единичного полуинтервала I. Тогда указанные разбиения связаны формулой

CTil+(m) = S~(CTila(m)). (13)

Сравнивая (7) и (13), заключаем, что действие сдвига (12) на разбиение CTila(m) эквивалентно перекладыванию местами двух крайних правых полуинтервалов из разбиения. Этот факт является фундаментальным и будет использован в последующих главах при изучении иррационального сдвига окружности.

Во второй главе с помощью обобщенных разбиений Фибоначчи изучены перенормировки последовательностей дробных долей на единичном полуинтервале. Для полуинтервалов из разбиения Фибоначчи порядка g получены новые оценки для остаточного члена в формуле распределения дробных долей {птд}.

Зададим на единичном полуинтервале Iq градуировку из полуинтервалов

Grad = I0D hD ••• D IeD Ie+i !>•••. (14)

На множестве nap Uz = (U,Ii), где U = {а*}^ ~~ произвольная последовательность из полуинтервала It, определим производную dkUe по правилу dkUe = (U':Ii+k). (15)

Здесь U' = Unle+k• Производные dkOm{a) тесно связаны с отображением первого возвращения Пуанкаре [50].

Метод производных позволил связать геометрические свойства квазипериодических разбиений со свойствами иррациональных обмоток окружности.

Отождествим полуинтервал 1т С /0 с окружностью и рассмотрим последовательность Orb(ao,P,Im) - орбиту начальной точки ао G 1т относительно сдвига на (3 > 0 :

Orb(a0, /3, /+) : (ц |—► ai+i = а{+(3 mod |/+|, если 1т имеет вид /+ = [а, 6), a, b Е [0,1], и

Orb(ao,/3,1~[) : af i—► ai+1 = (ц - /3 mod если Im имеет вид 1~ = (а,Ь].

Рассмотрим полуинтервалы (16)

Назовем 1т(а) собственными полуинтервалами разбиения CTila(m). В диссертации рассмотрены последовательности

0±(а) = Orb(a,gm(a),I±(a)) = {a±(a>m,i)}g0, (17) если tfGm(a) > %Ет(а),

0±(а) = Orb(a,em(a),I±(a)) = {a±(a>m,0}£o. (18) если jJZ?m(a) > jJGfrn(o;). Начальную точку а определим как правый конец полуинтервала 1^{а) Для орбиты 0+(а:) и а = 1 для 0~(а).

Изучение производных поворота окружности было начато G. Rauzy [46] и впоследствии продолжено P. Arnoux, V. Berthe, S. Ferenczi, S. Ito,

A.Siegel [30]—[32] и другими математиками. В частности, эти авторы рассматривали первую производную на полуинтервале [а, 1) для отображения S~ : х I—> х — a mod 1. Заметим, что последовательность, кодирующая данный сдвиг, является последовательностью Штурма. Позднее С. Минчев [41] независимо получил аналогичные результаты для S~.

В теореме 2.1 доказано, что производная последовательности О^(а) снова есть последовательность, полученная с помощью преобразования сдвига: dmO±{a) = 0±(а), если $Gm(a) > dmO$(a) = О* (а), если < $Ет(Ы).

В §3 решена задача нахождения номера г-того возвращения точек последовательности Oq(t9) в собственные полуинтервалы 1^{тд) (16). Для произвольного полуинтервала, в случае иррациональности ri = задачу об г-том возвращении решил R. Twarock [50] с помошью известной теоремы о трех длинах [21].

В диссертации доказана Теорема 2.5 Для времени г-того возвращения точки из последовательности Oq(t9) в полуинтервал ) имеет место явная формула 1[т/9]+1^^(г9, 0), где 77i = a mod g, а = 0,. <7 — 1 и - числа Фибоначчи порядка g (8). Числа вычисляются с помощью равенств

Rm(T9>Q) = f[m*g}+ 2 " f[m/g]+1> ^rn(T9> 0) = 0) если dmO^{rg) = 0±(т5), и

Rm(T9ify ~ 0> ~ f[m}g)+2 ~~ f[m/g]+V

RmiTg^) — (f[m/g]+2 f[m/g]+1)

I tg-a если dmO±(r9) = ОЦтд).

Теорема 2.5 обобщает результаты В.Г. Журавлева [53] для случая

Т 1+у/5 ' ~ 2 '

§5 посвящен изучению распределения дробных долей {птд}. Исследование распределения последовательностей по модулю 1 начал Г.Вейль [52], получивший следующий критерий равномерного распределения. Последовательность Х\,Х2,. • •, 0 < хп < 1, равномерно распределена на отрезке [0,1], если для любой функции /, непрерывной на [0,1], выполнено соотношение

1 п Г1 lirn - У2 f(xk) = / f(x)dx. n+0° 71 JO

Аналогично определяется равномерное распределение на любом отрезке [а, 6], а < Ь.

Пусть X = - бесконечная последовательность точек из полуинтервала [0,1). Обозначим через Хм конечную подпоследовательность (хп)п=1 и определим на полуинтервале / С [0,1) отклонение где Z(Xn,I) - количество точек из Хдг, попавших в полуинтервал I. Пусть

DN(X)=sup\AN(X,I)\. (20) I

Если Dn{X) —► 0 при N —» оо, то последовательность равномерно распределена на полуинтервале [0,1).

P. Erdos и P. Turan [29] доказали, что существуют константы с\ и С2, такие, что к=1 N

2nikxn п=1 для некоторых положительных N и К. Константы с\ и С2 вычислены в работах [39], [22], [42].

Многочисленные общие результаты о распределении последовательностей по модулю 1 получены в работах Н.М. Коробова [7], А.А. Карацубы, Г.И. Архипова и В.Н. Чубарикова [4]-[6], А.И. Павлова [19].

Для иррациональности а Г. Вейлем была доказана асимптотическая формула распределения дробных долей X^ = ({па})^=0 с остаточным членом r/v([a, b)) = o(N), где

Известно, что в общем случае остаточный член улучшить нельзя. Для квадратичных иррациональностей А. Островским [45] было получено неравенство Гдг([а, 6)) < c(a)logAf. С другой стороны, Э. Гекке [33] (1921) ввел класс интервалов ограниченного остатка, на которых существует асимптотическая формула с остаточным членом 0(1). Согласно ему, если |/| = b — a G olL + Z, то где h такое, что \1\ — ha Е Z. В дальнейшем X. Кестен [36], [36] доказал необходимость этого условия.

Обобщением интервалов ограниченного остатка являюся множества ограниченного остатка [30]. Пусть А - подмножество множества X. Будем называть А множеством ограниченного остатка, если существуют вещественные числа а и С такие, что для любого натурального п выполнено rN([a, 6)) = Z{XN, [a, b)) - N(b - а).

21)

ММ))|<|Л|,

22) п

Ьа{Трх) -па < С, х £ X, p=i где Ал - характеристическая функция множества А и Т - преобразование на X. Пусть а = (ai,., а^). Причем ai,., линейно независимы над полем рациональных чисел. В работе [40] П. Лиарде показал, что на d-мерном торе Td множество Р = /1 х ••• х для последовательности {па} является множеством ограниченного остатка, тогда и только тогда, когда существует индекс к, такой, что £ Z + a^Z и для других где j ф к выполнено \Ij\ = 1.

Оценка Э. Гекке (22) не учитывает структуру полуинтервала и арифметику угла поворота а. В частности, константа в оценке Гекке стремится к бесконечности при уменьшении длины полуинтервала. Полученные в диссертации оценки для собственных полуинтервалов (16) учитывают как арифметику а , так и структуру самого интервала.

Теорема 2.7 Пусть тд - квадратичное число Пизо (1) и 1т(тд) ~ собственный полуинтервал(16). Тогда для остаточного члена г^(/ш(г5)) из формулы (21) справедливы следующие неравенства:

-g < rN(Im(rg)) < 3, если т = 0,. д — 1 mod 2д,

-д < rN(Im(rg)) <д + 3, если т = <7,. 2д — 1 mod 2д.

Особенность этих оценок состоит в том, что границы для остатка не стремятся к бесконечности при уменьшении длины интервала. Отметим, что на языке разбиений изучение распределения дробных долей {тд} на произвольном интервале ограниченного остатка сводится к изучению их распределения на составляющих его интервалах разбиений Фибоначчи порядка д.

В третьей главе изучено действие двухцветного сдвига на единичном полуинтервале.

Пусть /о = [0,1). Зафиксируем

Ро = 0 < Рх < • • • < Pr = 1 (23) и обозначим Ai = [Pi-i, Pi). Определим отображение

Т(х) = х + 7i если х 6 Д*, (24) где тi - фиксированные числа, такие, что Т - это отображение /о в себя. При этом отождествляем левый и правый концы полуинтервала Iq. Отображение (24) получило название IT-преобразования (interval translation mapping). Число г из (23) - ранг 1Т-преобразования [48]. Определим Aq = Iq и Ап = T(Ani). Множество

A = f]An (25) п называется аттрактором 1Т-преобразования.

IT-преобразования впервые расмотрели М. Boshernitzan и И.П. Корн-фельд [24]. Они выделили два класса IT-преобразований: конечного и бесконечного типа. Преобразование Т - IT-преобразование конечного типа, если аттрактор А (25) представляет собой конечное объединение полуинтервалов и действие Т на аттрактор сводится к перекладыванию его полуинтервалов. Аттрактор бесконечного IT-преобразования, как показали Дж. Шмелинг и С. Трубецкой [48], является канторовым множеством.

В диссертации рассматривается орбита Orb£(x) — {££(а;)}£10, порожденная начальной точкой х и двухцветным сдвигом S£ = S£(g, 1) для иррациональностей т9 = g+v^g +4, где g = 2,3,. Двухцветный сдвиг Se определен на единичном полуинтервале следующим образом (см. глава 3, x i—> x -f дта mod 1, если x G It, y (26) x i—► x + rg mod 1, если x 6 I~, где If и I~ - полуинтервалы из подразбиения единичного полуинтервала

IQ = /+ ф 1~.

При этом If = [0, £:) и 1~ = [е, 1), где е - непрерывный параметр, принимающий произвольное значение из единичного полуинтервала Iq .

Заметим, что двухцветный сдвиг является IT-преобразованием ранга два. И.П. Корнфельд [24] показал, что всякое IT-преобразование ранга 2 имеет конечный тип.

Изучение двухцветного сдвига S£ опирается на следующее разбиение: = с? ® с2° е • • • е с° ф • • • ф сг е • • • е с™ ф • • •, (27) где m = 0 mod 2д и С™ - открытые справа полуинтервалы, имеющие

-(m/o+l) длину Тд к

В §2 вводится понятие динамического графа. Динамический граф D - это ориентированный граф, вершины V которого находятся во взаимно-однозначном соответствии с полуинтервалами G™+9~1( 1 — тд) и - тд) из разбиения Фибоначчи порядка д CTilf (т + д - 1). Впервые динамические графы были введены В.Г. Журавлевым в работе [53].

С помощью динамических графов в §2 показано, что аттрактор Л£ -инвариантное относительно действия двухцветного сдвига S£ (26) множество, представляет собой конечное объединение полуинтервалов из разбиения Фибоначчи порядка д. В предложении 3.1 найдены явные формулы для длины аттрактора = i(l + (g-l)r;('+2)), (28) если е принадлежит С™ (27), где г G {2,.,д}, и л.\ = - (l + (9 - 1)г;(?+2>) + (д - 1)(т;(»+1) - (е - ет(т,))), (29) ъ/ если е принадлежит полуинтервалу С™ (27). Значение £fc(r5) вычисляется по формуле к(тд) = 1 - т-«*М+1>(т* - № mod <?)), /с = 0,1,2,.

В теореме 3.2 приведено доказательство равномерной распределенности последовательности Orb£(x) = {^(я)}^ на аттракторе Дг. Равномерная распределенность Orb£(x) является следствием равномерной распределенности ее производной, т.е. ограничения Orb£(x) на собственный полуинтервал G™+9~1( 1 — тд) ф E^i+9~1( 1 — тд) разбиения Фибоначчи порядка д.

В §3 показано, что для любых начальных точек х и любого £ из /о существует предел v+{£, х) = Иш -%{£ : 0 < Se£(x) < е, £ = О,1,., п - 1}, п—>оо л равный частоте попадания точек орбиты Orbe(x) в полуинтервал = [0, £) при действии на х двухцветным сдвигом S£. В теореме 3.3 доказана точная формула для частоты и+(£,х) :

-*<" - ^т (ш - 0' где длина аттрактора \Ае\ вычисляется по формулам (28), (29).

Из теоремы 3.3 вытекают два следствия. Следствие 1. Для орбиты ОгЪ£(х) двухцветного сдвига отсутствует равномерное распределение по mod 1.

Следствие 2. Для параметра £ существуют полуинтервалы С™, i G {2,. ,д}, на которых частота принимает постоянное значение.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10] - [18]. Они докладывались на V и VI международных конференциях «Алгебра и теория чисел. Современные проблемы и приложения.» (Тула, 2003; Саратов, 2004); на XXV конференции молодых учёных (МГУ, 2003); на V Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Молодежь. Образование. Экономика.» (Ярославль, 2004); на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВГПУ (2002 - 2005 г. г., секция «Алгебра и теория чисел»), а также неоднократно обсуждались на научном семинаре по «Теории чисел» ВГПУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Г. Журавлева (2002 - 2005 г.г.).

Автор глубоко благодарен научному руководителю В.Г. Журавлеву за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мануйлов, Николай Николаевич, 2005 год

1. Вейль Г. О равномерном распределении чисел по mod 1 // Вейль Г. -Избранные труды. -М.: Наука. - 1984. -С. 58-93.

2. Газале М. Гномон. -М.: Институт компьютерных исследований. -2002. 271 с.

3. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. -М.: Наука. -1967. -375 с.

4. Карацуба А.А. Дробные доли специального вида функций // Изв. РАН, сер. матем. -1995. -Т. 59. -С. 61-88.

5. Карацуба А.А. О дробных долях быстрорастущих функций // Изв. РАН, сер. матем. -2001. -Т. 65. -С. 89-110.

6. Карацуба А.А., Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Распределение дробных долей многочленов от нескольких переменных // Мат. заметки. -1975. -Т. 25. -С. 3-14.

7. Коробов Н.М.Введение в теорию тригонометрических сумм. -М.: Наука. -1989. -240 с.

8. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. -М.: Наука. -1980. -382 с.

9. Хинчин А.Я. Цепные дроби. М.: Физматлит. -1961. -112 с.

10. Мануйлов Н.Н. Основные свойства серебряного сечения 1 + V2 и некоторые числовые последовательности ему соответствующие // Вестник ВГПУ. -Владимир: Изд. ВГПУ. -2003. -Вып. 3. -С. 168-174.

11. Мануйлов Н.Н. Самоподобие некоторых последовательностей точек на окружности // Зап. науч. сем. ПОМИ. -2003. Т. 302. -С. 81-95.

12. Мануйлов Н.Н. Перенормировки на одномерном торе // Зап. науч. сем. ПОМИ. -2004. Т. 314. -С. 142-154.

13. Мануйлов Н.Н. Рекуррентные самоподобные разбиения j j Чебышев-ский сборник. -Тула: Изд. ТГПУ. -2003. -Т. 4, Вып. 2. -С. 87-91.

14. Мануйлов Н.Н. Число попаданий точек последовательности {irg} в полуинтервал // Чебышевский сборник. -Тула: Изд. ТГПУ. -2004. -Т. 5, Вып. 4. -С. 72-82.

15. Мануйлов Н.Н. О числе точек {птд} , попадающих в полуинтервал // Тезисы докладов VI Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», Саратов, 13-17 сентября 2004 г. -Саратов: Изд. СГУ. -2004. -С. 79-80.

16. Мануйлов Н.Н. Рекуррентные самоподобные разбиения // Тезисы докладов V Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», Тула, 19-20 мая 2003 г. -Тула: Изд. ТГПУ. -2003. -С. 152-153.

17. Павлов А.И. Мероморфное продолжение рядов Дирихле, связанное с распределением чисел по модулю 1 // Труды мат. инстиута им. В.А. Стеклова. -1997. -Т. 218. -С. 343-353.

18. Akiyama S. Pisot numbers and greedy algorithm // Number Theory, Diophantine, Cumputational and Algebraic Aspects. -Berlin, New York. -1998. -P. 9-21.

19. Alessandri P., Berthd V. Three diastance theorem and combinatorics on words // PEnseignement Mathematique. -1998. -V. 44. -P. 103-132.

20. Baker R. C. Diophantine Inequalities. Oxford Univ, Press. -1986.

21. Berstel J., Vuillon L. Coding rotations on intervals // Theor. Computer Sci. -2002. -V. 281. -P. 99-107.

22. Boshernitzan M., Kornfeld I. Interval translation mappings // Erg. Th. Dyn. Sys. -1995. -P. 821-831.

23. Bruin H.} Troubetzkoy S. The Gauss map on a class of interval translation mappings 11 Israel J. Math. -2003. -V. 137. -P. 125-148.

24. Erdds P., Turan P. On a problem in the theory of uniform distribution. II // Proc. Konink. Nederl. Akad. Wetensch. Sci. Sect. -1948. -V. 51. -P. 1262-1269.

25. Ferenczi S. Bounded remainder sets // Acta Arith. -1992. -V. 61. -P. 319326.

26. Ferenczi S., Holton Ch., Zamboni L. Structure of 3-interval exchange I: an arithmetic study // Preprints of Marcelle University. -2001. -24 p.

27. Fogg N.P. Substitutions in Dinamics, Arithmetics and Combinatorics. -Springer. -2002. -402 p.

28. Hecke E. Eber analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod Eins I j Math. Sem. Hamburg Univ. -1921. -V. 1. -P. 54-76.

29. Hermisson J., Grimm U., Baake M. Aperiodic Ising quantum chains // J. Phys. A: Math Gen. -1997. -V. 30. -P. 7315-7335.

30. Jeong H-G., Kim E., Lee C-Y. Noncommutative torus from Fibonacci chains via foliation I j J. Phys. A: Math Gen. -2001. -V. 34. -P. 1-19.

31. Kesten H. On a conjecture of Erdos and Szusz related to uniform distribution mod 1 // Acta Arith. -1966. -V. 12. -P. 193-212.

32. Kesten H. Uniform distribution mod 1 // Acta Arith. -1962. -V. 7. -P. 354-380.

33. Korobov N. Exponential Sums and their Applications -Kluwer Academic. -1989.

34. Kuipers L. Niederreiter H. Uniform Distribution of Sequences -Wiley. -1974.

35. Liardet P. Regularities of distribution // Compositio Math. -1987. -V. 61. -P. 267-293.

36. Mintchev S. Continued fraction expansions and self-similarity of rotation on the circle // J. Phys. A: Math Gen. -2002. -V. 36. -P. 1-14.

37. Montgomery H. L. Ten Lectures on the Interface between Analytic Number Theory and Harmonic Analysis j/ Amer. Math. Soc. -1994.

38. Morse M., Hedlund G. Symbol Dynamics II, Sturmian sequences j j Amer. J. Math. -1940. -V. 62. -P. 1-42.

39. Oguey C., Duneau M., Katz A. A geometrical approach of quasiperiodic tilings // Commun. Math. Phys. -1988. -V. 118. -P. 99-118.

40. Ostrowski A. Bermerkungen zur theorie der diophantischen approximationen // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. -1922. -V. 1. -P. 77-98.

41. Rauzy G. Ensembles a restes bornes Seminare de theorie des numbers // de Bordeaux. -1984. -V. 24.

42. Shmidt W.T. Irregularities of distribution VII // Acta Arith. -1972. -V. 21. -P. 45-50.

43. Schmeling J., Troubetzkoy S. Interval translation mappings // Dyn. Sys. World Scientific. -Singapore. -2000. -P. 291-302.

44. Schmidt K. On periodic expansions of Pisot numbers and Salem numbers // Bull. London. Math. Soc. -1980. -V. 12. -P. 269-278.

45. Twarock R. Recurrence times in dynamical systems via a quasicrystal approach // Физика элементарных частиц и атомного ядра. -2002. -Т. 33, Вып. 7. -С. 217-224.

46. Wall D. Fibonacci series modulo m // Amer. Math. Monthly. -1960. -V. 67. -P. 525-532.

47. Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod Eins // Math. Ann. -1916. -V. 77. -P. 313-352.

48. Zhuravlev V.G. One-dimensional Fibonacci tilings and derivatives of two-colour rotation of a circle // Max-Planck-Institut fur Mathematik. -Preprint Series. -2004. -V 59. -16 p.