Некоторые задачи, связанные с периодическими и условнопериодическими структурами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Коломейкина, Екатерина Викторовна

• Коломейкина, Екатерина Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коломейкина, Екатерина Викторовна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Локальные условия правильности разбиений евклидовой плоскости

§1. Разбиение, основные понятия

§2. Локальные теоремы

§3. Условия правильности разбиений плоскости: теорема

§4. Комбинаторная лемма о разбиениях евклидовой плоскости

§5. Доказательство теоремы

§6. О разбиении К.Берецки гиперболической плоскости

§7. Локальные условия правильности разбиений двумерной сферы

7.1. Условие правильности разбиений двумерной сферы: теорема

7.2. Вспомогательные утверждения

7.3. Доказательство теоремы

ГЛАВА 2. Локальные условия биправильности триангуляций евклидовой плоскости

§1. Критерий биправильных триангуляций: теорема

§2. Основные понятия .'.

§3. Доказательство теоремы

ГЛАВА 3. О невозвращаемости сумм в среднем вдоль последовательности Кронекера

§1. Задача о последовательности Кронекера: теорема 4.

§2. Доказательство того, что из условия В следует отрицание А

§3. Основная лемма.

§4. Доказательство того, что из невыполнения В следует условие А

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи, связанные с периодическими и условнопериодическими структурами»

В диссертации изучаются вопросы, относящиеся к геометрии чисел. Геометрия чисел была заложена в работах Лагранжа и Гаусса, а на рубеже XIX-XX веков, благодаря работам Г.Минковского и Г.Ф.Вороного, оформилась в самостоятельную дисциплину. В геометрии чисел теоретико-числовые задачи формулируются на языке геометрии, и при их решении используются геометрические методы решения. Так, теоретико-числовая задача о максимальном значении целочисленного минимума положительных квадратичных форм от п переменных с данным определителем может быть переформулирована в геометрических терминах как задача о плотнейшей решеточной упаковке евклидова пространства Еп равными шарами. Последняя задача является одной из основных задач геометрии чисел. Другая характерная задача геометрии чисел есть задача о редчайших решеточных покрытиях евклидова пространства равными шарами.

Для нас, в первую очередь, представляют интерес такие расположения тел в пространстве, которые удовлетворяют условиям упаковки и покрытия одновременно. Такие расположения тел называются разбиением пространства. Так, одним из центральных понятий геометрии чисел является понятие па-раллелоэдра. Согласно Е.С.Федорову [45], параллелоэдр — это многогранник, который допускает разбиение пространства параллельными копиями нормальным образом, то есть грань-в-грань. В силу нормальности, разбиение на параллелоэдры обладает трансляционной группой симметрий, транзитив-но действующей на множестве параллелоэдров. Другими словами, разбиение на параллелоэдры имеет решеточное строение.

Большой вклад в развитие теории параллелоэдров внесли Г.Минковский (характеристическая теорема о параллелоэдрах и точная верхняя оценка для числа гиперграней параллелоэдра [33]), Г.Ф.Вороной (метод непрерывных параметров изучения параллелоэдров Дирихле-Вороного, алгоритм для нахождения типов параллелоэдров Дирихле-Вороного [8]), Б.А.Венков (достаточные условия параллелоэдра [7]), Б.Н.Делоне (вывод всех 4-мерных параллелоэдров [17]; элементарный «метод пустого шара» [18], который оказался полезным для изучения разбиений Вороного и Делоне), С.С.Рышков и Е.П.Барановский (вывод всех 5-мерных примитивных параллелоэдров Вороного [39]). Достижения в теории параллелоэдров принадлежат также А.Д.Александрову, О.К.Житомирскому, П.Макмюллену, Р.Эрдалу, П.Энгелу и другим.

Обобщением понятия параллелоэдра является стереоэдр. Стереоэдр — это многогранник, допускающий такое разбиение пространства, группа симметрии которого действует транзитивно на множестве всех ячеек данного разбиения ([8], [13], [52]). Транзитивность действия группы движений означает, что произвольную ячейку разбиения можно перевести в любую другую ячейку этого разбиения посредством некоторой симметрии данного разбиения. Такое разбиение называется правильным.

Обобщением правильного разбиения является мулътиправилъное (или т—эдралъпое) разбиение, то есть разбиение, множество ячеек которого распадается в конечное число т орбит относительно группы симметрий данного разбиения. Такое разбиение называют так же кристаллографическим разбиением. Если число орбит т = 1, то разбиение является правильным, если т — 2, то разбиение называют биправильным. Правильные и мультиправиль-ные разбиения являются математической моделью кристалла.

Правильные разбиения и кристаллографические группы изучались в работах Е.С.Федорова, А.Шенфлиса, Л.Бибербаха, Б.Н.Делоне, Н.Н.Сандаковой,

A.Д.Александрова, М.И.Штогрина, Н.П.Долбилина, Р.В.Галиулина и других. Важные результаты по теории правильных разбиений пространства Лобачевского и их групп симметрий принадлежат Г.Кокстеру, Э.Б.Винбергу,

B.С.Макарову, В.В.Никулину, М.Н.Прохорову и другим.

Правильные разбиения являются обобщением разбиений на параллелоэд-ры в силу знаменитой теоремы Шенфлиса-Бибербаха [42], [4], [5], которая является ответом на вопрос, поставленный в XVIII проблеме Гильберта [10]. В силу этой теоремы, любая кристаллографическая группа G (дискретная группа с компактной фундаментальной областью), действующая в d—мерном евклидовом пространстве, обладает трансляционной подгруппой Т конечного индекса h = \GjT\. Группа симметрий правильного разбиения Т является кристаллографической группой. Поэтому множество стереоэдров (ячеек разбиения) распадается в h трансляционных орбит. Если в группе G индекс h = 1 (то есть G — чисто трансляционная группа), то разбиение, на котором G действует транзитивно, является разбиением на параллелоэдры. Таким образом, по теореме Шенфлиса-Бибербаха всякое правильное разбиение есть, объединение конечного числа решеточных упаковок евклидова пространства конгруэнтными многогранниками.

Заметим, что индекс h ограничен сверху для любой размерности d. В частности, для d = 1,3,5 и d > 10 индекс h ограничен сверху константой H(d), являющейся порядком полной группы d—мерного куба (см. [48], [49]):

H{d) = 2d-dl

Е.С.Федоров [46] и А.Шенфлис [42] нашли все кристаллографические группы движений трехмерного евклидова пространства.

Б.Н.Делоне и Н.Н.Сандакова нашли оценку сверху для числа гиперграней cf-мериого стереоэдра ^ 2(2d - 1) + (h - l)2d (см. [13], [14]). Эта теорема обобщает оценку Минковского fd-\ ^ 2(2d — 1) для числа гиперграней параллелоэдра (то есть при h = 1). Позднее она была слегка улучшена А.Тарасовым в работе [44]. В отличие от результата Минковского, более общая оценка Делоне-Сандаковой не является точной. Из этой оценки была выведена конечность числа комбинаторно неэквивалентных типов нормальных правильных разбиений пространства на выпуклые многогранники. Опираясь на этот результат, а также «метод пустого шара» [18], [12], Б.Н.Делоне и Н.Н.Сандакова построили общую теорию правильных разбиений Вороного евклидова пространства [13].

М.И.Штогриным были выведены все типы стереоэдров Вороного для II триклинной группы [52], то есть группы, содержащей непрерывные параметры. Отметим также важную работу А.Д.Александрова [1], который обобщил идею Пуанкаре на многомерный случай, показав, что условие разбиения вокруг любой отдельно взятой (d—2)—мерной грани полиэдрального комплекса есть достаточное условие того, что весь полиэдральный комплекс является разбиением односвязного пространства.

Атомы кристалла являются узлами решетки или мультирешетки. В идеальном бесконечном кристалле расположение атомов периодично: сколь угодно большой фрагмент повторяется бесконечное число раз. Положение ближних атомов обусловлено наличием и геометрией межатомных химических связей [47]. Атомы одного наименования в процессе кристаллизации стараются окружить себя идентичным образом. Так как взаимодействие между далекими атомами ничтожно, то с физической точки зрения подобная идентичность может быть объяснима лишь в окрестности каждого атома. Что касается глобального порядка, то он должен быть следствием локальной идентичности. Эти локальные условия точечных систем можно высказать в терминах разбиений на многогранники. Действительно, каждой точке точечного множества можно поставить в соответствие область Вороного, поэтому точечной системе пространства можно поставить в соответствие дуальное разбиение Вороного на многогранники.

Приведенное выше определение правильности разбиения использует понятие группы явным образом. Д.Гильберт и С.Кон-Фоссен в работе [11] требование правильности переформулировали менее формально, а именно: разбиение правильное, если каждая его ячейка окружена до бесконечности так же, как и любая другая. На первый взгляд, в нем не используется понятие группы. Но это определение носит глобальный характер. Ведь уточнение того, что все ячейки разбиения окружены другими ячейками до бесконечности идентично, и состоит в том, что каждую ячейку можно перевести в любую другую ячейку движением, совмещающим все разбиение с собой. Но это и есть условие транзитивности группы симметрий разбиения на множестве его ячеек. Таким образом, определение правильности Гильберта и Кон-Фоссена опирается на понятие группы, и эти два определения эквивалентны.

В 1974 году Б.Н.Делоне и Р.В.Галиулипым была инициирована задача: вывести правильность разбиения (или правильность системы точек) из локальной идентичности данного разбиения лишь в некоторой окрестности каждой его ячейки (точки). Была доказана локальная теорема, отвечающая на этот вопрос, одновременно для разбиений и для точечных систем (Б.Н.Делоне, Н.П.Долбилин, М.И.Штогрин, Р.В.Галиулин, см. [15], [22], а также главу 1).

Из локальной теоремы, а также оценки Делоне-Сандаковой, вытекает, что для любой размерности d существует такая константа к = k(d), что разбиение Т евклидова пространства на конгруэнтные ячейки является правильным тогда и только тогда, когда число fa-1 гиперграней ячейки ограничено сверху и короны радиуса к попарно конгруэнтны: fd-x < 2(2d - 1) + 2d(k - 1) и Ск(Р) = Ск(р') для любых Р, Р' G Т.

В дальнейшем с опорой на локальную теорему предпринимались усилия найти наименьший радиус конгруэнтности корон, обеспечивающий правильность разбиения пространства. В работе [41] было показано, что для обеспечения правильности разбиения евклидовой плоскости достаточно условия попарной конгруэнтности полных корон радиуса 1 или, что то же самое, достаточно существования в данном разбиении ровно одного класса эквивалентности полных корон радиуса 1.

В первой главе диссертации показывается, что на самом деле для обеспечения правильности разбиения евклидовой плоскости на выпуклые многоугольники достаточно условия попарной конгруэнтности неполных корон радиуса 1 или, что то же самое, существования в данном разбиении ровно одного класса эквивалентных неполных корон радиуса 1 (теорема 1, [56]).

Отметим, что для плоскости Лобачевского это утверждение не верно. В разбиении, построенном Boroczky К. [6], все полные короны радиуса 1 попарно конгруэнтны, однако, как заметил М.И.Штогрин, данное разбиение не только не правильно, но даже не кристаллографично, то есть объем (в данном случае площадь) фундаментальной области группы симметрии разбиения бесконечен (см. также Макаров [32], Dolbilin, Frettloh [24]).

Отметим также, что попарной конгруэнтности полных корон радиуса 1 не достаточно для обеспечения правильности разбиений трехмерного евклидова пространства Е3. В работе [26] приведен пример разбиения, в котором все полные короны радиуса 1 конгруэнтны, но разбиение правильным не является.

В главе 1 также исследуется вопрос о локальных условиях правильности разбиений двумерной сферы. Разбиение сферы на сферические многогранники называется правильным, если, как и в случае евклидова пространства, его группа симметрий действует транзитивно на множестве ячеек разбиения. Группа симметрий правильного разбиения сферы есть конечная группа поворотов пространства Жа вокруг центра этой сферы. Среди правильных разбиений (d— 1)-мерной сферы Sd~1 можно выделить разбиения Вороного, которые непосредственно связаны с d-мерными изоэдрами. Отметим, что при d — 3 изоэдры играют важную роль в кристаллографии. Изоэдром называется выпуклый многогранник, группа симметрий которого транзитивно действует на множестве его гиперграней. Связь между изоэдром и правильным разбиением Вороного сферы такова. Симметрии группы изоэдра обладают хотя бы одной общей неподвижной точкой. Если изоэдр является ограниченным многогранником, то неподвижная точка единственна, а сам изоэдр является многогранником, описанным вокруг сферы с центром в этой неподвижной точке. Если спроецировать поверхность изоэдра на эту сферу из ее центра, то получится разбиение Вороного сферы относительно множества точек касания граней. В силу транзитивности группы, это множество точек является правильным.

В диссертации доказывается аналог Теоремы 1 для двумерной сферы, а именно: нормальное разбиение двумерной сферы на выпуклые многоугольники является правильным тогда и только тогда, когда все неполные короны радиуса 1 попарно конгруэнтны, то есть в данном разбиении сферы существует ровно один класс эквивалентности Ni = 1 неполных корон радиуса 1 (Теорема 2, см. также [57]). Поскольку имеется много неправильных разбиений двумерной сферы с No — 1, то результат теоремы 2 является неулучшаемым.

Вслед за локальными теоремами были установлены аналогичные условия мультиправильности разбиения (а также точечного множества Делоне) с заданным числом т орбит (Н.П.Долбилин, М.И.Штогрин [20], N.P.Dolbilin

21]). Эта теорема получила название обобщенной локальной теоремы. Отметим интересное следствие обобщенной локальной теоремы: если все ячейки разбиения асимметричны и No — N1, то разбиение является мультиправиль-ным, содержащим ровно Nq орбит ячеек.

Развитием работы [13] явилась работа [23] (N.P. Dolbilin, A.W.M. Dress and D.H. Huson), в которой была дана верхняя оценка i^-i для числа гиперграней любой ячейки в га—эдральном разбиении пространства Ed. Из этой работы, а также обобщенной локальной теоремы, следует существование такого целого числа к = k(d, га), что если все ячейки разбиения имеют не более Fd-i гиперграней и все короны радиуса к данного разбиения Т распадаются в m классов, то разбиение Т является мультиправильным, состоящим из m орбит. Так как оценка k(d,m) очень завышена, имеет значение нахождение более тонких оценок величины k(d, m). Однако в случае, когда ячейки имеют нетривиальные симметрии, оценка радиуса регулярности является трудной задачей. Основной результат второй главы — это получение неулучшаемой оценки k(d: m) для d = 2nm — 2в случае, когда все ячейки разбиения являются треугольниками. По определению, в га—эдральном разбиении число классов корон N& = т радиуса к для всех к ^ ко. Локальные условия даются в терминах где^А^ — число классов полных корон радиуса к (см. определение полных корон на стр. 15). Для биправильных разбиений (не только триангуляций) Щ = 2 для всех к ^ ко.

Теорема 3 утверждает: нормальная триангуляция евклидовой плоскости является биправильной тогда pi только тогда, когда число классов полных корон iVj = 2. Доказательство этой теоремы опирается на доказанную в диссертации Теорему 1 (теорему о локальных условиях правильных разбиений) и обобщенную локальную теорему для га—эдральных разбиений.

Данный результат неулучшаем. В главе 2 нами приведен пример триангуляции плоскости с двумя классами неполных корон ячеек (Ni = 2), в которой число классов полных корон Щ = 3. Это означает, что число орбит ячеек данного разбиения как минимум равно 3, и разбиение биправильным уже быть не может.

Третья глава посвящена применению методов геометрической теории дио-фантовых приближений в одной задаче о распределении последовательности Кронекера. Пусть числа а\б М, s ^ 1, линейно независимы вместе с 1 над Z. Последовательностью Кронекера называется последовательность точек

6 = ({«1^}, к = 0,1, 2, 3, в единичном кубе [0; l)s. Согласно теореме Кронекера, эта последовательность всюду плотна в [0; l)s. Г.Вейль доказал, что эта последовательность равномерно распределена (см. [53]), то есть, если обозначить через Ар(7ъ 7s) количество попаданий первых р членов последовательности Кронекера в параллелепипед [0,71] х . х [0,7S], 7; 6 (0,1), i = 1 то для величины

Dp = sup |iVp(7i, 7s) - 7i-7sP|

7!,.,7.6(0,1] будет выполнено

Dp = d(p), p-+ 00. (1)

В общем случае более сильную оценку, чем (1), получить нельзя. Это связано с существованием чисел ai,., as, допускающих аномально хорошие дио-фантовые приближения в смысле линейной формы — сингулярных систем А.Я.Хипчина (см. [51], [27]).

Напомним определение ^—сингулярных систем Хиичина. Пусть функция У) — °{y~s)i У убывает к нулю. Набор чисел ai,.,as называется х—сингулярной по Хинчину системой (в смысле линейной формы), если для любого Т > 1 имеется решение системы неравенств miq:i + . + msas|| < /х(Т), 0 < max |mj| ^ Т в целых числах mi,ms.

В главе 3 при s ^ 2 будут построены сингулярные системы Хинчина специального вида, с помощью которых получены новые результаты о распределении последовательности aik + <pi},{ask + <ра], к = 0,1, 2,3,. в среднем по начальным фазам ipi,., <ps. Обзор близких задач о геометрических свойствах диофантовых приближений имеется в работе [38]. Перейдем непосредственно к постановке задачи и формулировке наших результатов.

Пусть s = 1 и F{x\) — абсолютно непрерывная вещественнозначная функция, периодичная по вещественной переменной х\ с периодом единица и нуле1 вым средним значением f F{xi)dx\ = 0. Е.А.Сидоровым в [40] было доказано, о что если а\ иррационально, то

Несколько ранее В.В.Козловым [28], [29] подобный результат был получен в предположении дважды дифференцируемости F. Отметим, что, согласно Г.Вейлю, при всяком s для гладкой функции F(xi, .,xs), периодичной (с периодом 1) по каждому из аргументов и со средним значением равным нулю в случае, когда числа ai,as линейно независимы вместе с 1 над полем Q, выполняется

Н.Г.Мощевитиным в [36], [37] было доказано, что при всяком s для гладкой функции F{x 1, периодичной по каждому из аргументов и со средним значением равным нулю в случае, когда числа ai,.,as линейно независимы вместе с 1 над полем Q, для каждой фиксированной начальной фазы (<£>1,., cps) выполняется

На самом деле, конструкция доказательства из работ Н.Г.Мощевитина [36], [37] позволяет иметь этот результат при F 6 Cm(Ts),m = e7slns.

С другой стороны, в работе Н.Г.Мощевитина [35] доказано, что для произвольной функции F(xi, .,xs), s > 2, у которой все коэффициенты Фурье Fmi,.,msi кроме коэффициента i^O.-.O, отличны от нуля и для любой поло-жительнозначной функции А (у) = у +оо, найдется набор чисел ai,.,o;s, линейно независимых вместе с единицей над полем рациональных чисел, такой, что при всех достаточно больших д.

Глава 3 настоящей работы посвящена уточнению этого последнего результата. Пусть F{x 1,.,xs) представима рядом Фурье sup

Vi ,-,<Ps sup ц>1 ,.,(ps mezs

В главе 3 формулируется и доказывается теорема о необходимых и достаточных условиях на множество

Spec F — {(mi,ms) G Zs : F}

7^0} называемое спектром функции F, которые бы обеспечивали отсутствие равномерной возвращаемости по начальной фазе (ipi, .,</?s) суммы q-1

Теорема 4. Пусть периодическая функция F с периодом 1 принадлежит

Рассмотрим следующие два условия:

А) для любой полоэюительнозначной функции А (у) = о(у), у —> +оо, найдется такой набор чисел линейно независимых вместе с единицей над полем рациональных чисел, что при всех достаточно больших q;

В) найдется положительное R и ненулевая целая точка (pi,.,ps) G такие, что Spec F С B(R) U C(p), где B(R) обозначает шар с центром в нуле и радиусом R, а £(р) обозначает прямую, проходящую через начало координат и точку р.

Тогда условие А) эквивалентно отрицанию условия В).

Ранее похожая теорема была получена автором для случая s = 2 в [54]. В этой работе давалось достаточное условие на Spec F для того, чтобы выполнялось условие А. Сформулируем эту теорему.

Теорема 5. Пусть / : Т2 R такая функция, Spec / которой имеет две предельные прямые. Тогда для любой функции А = Л {у) такой, что Х(у) = о(у) и монотонно убывает к нулю при у оо; найдутся числа классу С1 и ol\ и 0L2, линейно независимые вместе с 1 над Ъ, что для всех достаточно больших q выполняется: max уъу2е[о,1] q-l

2f{aik + yi,QL2k + y2) »A(g).

Фактически все конструкции, как из работ Н.Г.Мощевитина, так и наши, основаны на построении сингулярных систем Хинчина специального вида [51]. Числа «1,., as, обладающие свойствами, необходимыми для доказательства теоремы 4, строятся с помощью методов геометрии чисел в основном вспомогательном утверждении — лемме на стр. 75.

Отметим, что рассматриваемые величины можно интерпретировать как гладкие аналоги локального отклонения iVp(7i,., 7S) — ji-.-ЪР и глобального отклонения Dp = sup7ij 7s [iVp(7i, .,7S) — 7i-.7sP| соответственно.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Н.П.Долбилину за постановку задач и постоянное внимание к работе. р-1 и sup

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коломейкина, Екатерина Викторовна, 2008 год

1. Александров А.Д., О заполнении пространства многогранниками. Вестник Ленинградского Университета, сер. матем., физ., хим., (1954), 9, 33 - 43.

2. Алексенцева С.А., Классификация разбиений сферы на конгруэнтные треугольники. МГУ, М. 2004, 31 е., рукопись деп. в ВИНИТИ 05.10.2004 № 1559 В2004.

3. Bieberbach L., Ueber die Bewegungsgruppen des n-dimensionalen Euk-lidischen Raumes mit einem endlichen Fundamentalbereich, Gott. Nachr., (1910) 75 84.

4. Bieberbach L., Ueber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I, Math. Ann. bf 70, (1911) 207 336.

5. Bieberbach L., Ueber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume //, Math. Ann. bf 72, (1912) 400 412.

6. Boroczky K., Gombkitol tesek all ando gorbuletu terekben. Mat. Lapok. (1974), V. 25, p. 265 306; (1975), V. 26, p. 67 - 90.

7. Венков Б.А., О некотором классе эвклидовых многогранников. Вестник Ленинградского Университета, сер. матем., физ., хим., (1954), 9, 11 -31.

8. Вороной Г.Ф., Исследование о примитивных параллелоэдрах. Собрание сочинений, 2, Киев, 1952.

9. Галиулин Р.В., Кристаллографическая геометрия. «Наука», Москва, 1984, 135 е.

10. Гильберт Д., Проблемы Гильберта, ред. П.С.Александров, «Наука», Москва 1969, 238 е.

11. Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия. Пер. с немецкого. УРСС, 2004, 344 с.

12. Делоне Б.Н., Геометрия положительных квадратичных форм. Успехи матем. наук, Вып.З (1937), Вып.4 (1938).

13. Рышков С.С., Барановский Е.П., С~типы n-мерных решеток и пятимерные параллелоэдры (с приложениель к теории покрытий). Труды МИАН им. В.А.Стеклова, 137, (1976).

14. Сидоров Е.А., Об условиях равномерной устойчивости по Пуассону цилиндрических систем, УМН., (1979), Т. 34, В. 6, 184 188.

15. Schattschneider D., Dolbilin N.P., One Corona is enough for the Euclidean Plane, In: Fields Institute Monographs Quasi Crystals and Discrete Geometry, Ad. G.Patera, A.M.S., Rod Island, (1998), 207 246.

16. Schonfliess A., Kristallsysteme und Kristallstruktur. Leiptzig, (1891).

17. Senechal M., Quasicrystals and geometry, Cambridge Univ. Press (1995), 286 p.

18. Тарасов А.С., Сложность выпуклых стереоэдров. Матем. заметки, (1998), Т. 61, В. 5, 797 800.

19. Федоров Е.С., Начала учения о фигурах. С.-Пб., (1885); М., (1953), 411 е.

20. Федоров Е.С., Симметрия правильных систем фигур. С.-Пб., (1890).

21. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике, 7. Москва, «Мир», 1966, 290 с.

22. Feit W., The orders of finite linear groups. Preprint, (1995).

23. Friedland S., The maximal orders of finite subgroups in GLn(Q), Proc. Amer. Math. Soc., 125(12), (1997), 3519 3526.

24. Хинчин А.Я., Избранные труды no теории чисел. Москва, (2006).

25. Khintchine A., Uber eine klasse linearer Diophantisher approximationen. Rendiconti Circolo Matematico di Palermo. 50 (1926), p. 170 195.

26. Штогрин М.И., Правильные разбиения Дирихле-Вороного для второй триклинной группы. Труды МИАН им. В.А.Стеклова 123, (1973).

27. Weyl Н., Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. Math. Ann. (1916), Bd. 77, 313 352.

28. Коломейкина E.B., Асимптотическое поведение временных средних. Ill Международная конференция «Современные проблемы теории чисел и приложения», Тула, (1996), с. 80.

29. Коломейкина Е.В., Мощевитин Н.Г., О ?1евозвращаемости в среднем сумм вдоль последовательности Кронекера. Матем. заметки.— (2003), т. 73 вып. 1, с. 140 143.

30. Коломейкина Е.В., Локальные условия правильности разбиения евклидовой плоскости. Чебышевский сборник (2004), Т. 5 вып. 3(11), с. 31 -51.

31. Коломейкина Е.В., Локальные условия правильности разбиения евклидовой сферы. Чебышевский сборник (2005), Т. 6 вып. 2(14), с. 184 195.

32. Коломейкина Е.В., О локальных условиях биправильных триангуля-ций евклидовой плоскости. Материалы IX Международного семинара «Дискретная математика и ее приложения», посвященного 75-летию со дня рождения академика О.Б.Лупанова, (2007), с. 384 386.