О некоторых арифметических задачах, связанных с героновыми треугольниками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Кожегельдинов, Сагдулла Шаяхметович

• Кожегельдинов, Сагдулла Шаяхметович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кожегельдинов, Сагдулла Шаяхметович

ОГЛАВЛЕНИЕ

\

0. Введение

1. Общие формулы основных ГТ и их эквивалентность

§1.1. Основные ГТ

§1.2. Отыскание основных ГТ

§1.3. Эквивалентность общих формул основных ГТ

§1.4. Следствия

2. Некоторые арифметические задачи, связанные с основными ГТ

§2.1. Диофантовы уравнения, связанные с общими формулами основных ГТ

§2.2. Решение диофантова уравнения Ьс1(ас2 — Ы2) =

2с(ас2 — Ьс?2, Ьд?{а + Ь))

§2.3. Наибольшая й наименьшая стороны основного ГТ____65

§2.4. О некоторых основных тиановых треугольниках

§2.5. Леммы о делимости на 3

§2.6. Бескончность множества основных ГТ, у которых

ни одна сторона не делится на 3

3. Некоторые арифметические задачи, связанные с общими формулами ГТ

§3.1. Общие формулы ГТ и их частные случаи

§3.2. Эквивалентные формулы, связанные с общими

формулами ГТ

§3.3. О задаче Курциуса

§3.4. О ГТ, площадь каждого из которых равна его

периметру

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых арифметических задачах, связанных с героновыми треугольниками»

Введение

Рассматриваются задача Герона и некоторые арифметические задачи, связанные с ней.

Задача Герона является классической. В ней требуется найти все треугольники, у каждого из которых стороны и площадь выражаются натуральными числами. Такие треугольники называются героновыми треугольниками (ГТ). ГТ (х, у, 5), где х,у,г - стороны, 5 - площадь, называется основным, если (х,у,г) — 1, т.е. если ж, у, г - взаимно простые числа.

Задача Герона является естественным обобщением задачи Пифагора и отличается от нее тем, что наличие прямого угла заменено требованием целочисленности площади.

Прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются натуральными числами, называется пифагоровым треугольником (ПТ). Отметим, что всякий ПТ является ГТ. Обратное утверждение неправильно: не каждый ГТ является ПТ.

Во о

дальнейшем, если нет специальной оговорки, то история вопроса излагается в соответствии с [12].

Еще Герону, который вывел хорошо известную формулу для площади треугольника, выраженную через длины его сторон, были известны ГТ со сторонами 13,14,15 и 5,12,13, площади которых соответственно равны 84 и 30.

Брахмагупта (род. в 598 г. н.э.) заметил, что для любых рациональных чисел а, 6 и с величины

являются длинами сторон косоугольного треугольника (высоты и площадь которого рациональны и который образован из двух прямоугольных треугольников с общей стороной а).

(0.1)

Отысканием рациональных треугольников (РТ) занимались С.Ж. Баше, Ф. Викг, Франс ван Шутен, Н. Генкеи, Дж. Канлифф, Дж. Дэви, С. Джилл,' А. Кук, Т. Бейкер, С. Холт, Дж. Андерсен, К.Л.А. Кунце и другие. Но наибольший интерес представляет работа Эйлера.

Л. Эйлер заметил, что в любом треугольнике с рациональными сторонами а, 6, с и рациональной площадью выполняется следующее соотношение:

а-Ъ-с = (Рв ± ЯГ)(РГ ^ Я**) . Р2 + Я2 . г2 + в2 рдгз щ г« '

при этом каждая пара сторон образует отношение двух чисел

а2 + /32 а/3

поскольку

. г2 + Б2 X2 + у2

а : о =-: -,

Г 5 Ху

если х = рэ ± дг, у = рг ^ откуда х2 + у2 = (р2 + #2)(г2 + з2).

Часть работы Эйлера, в которой содержится его вывод соотношения (0.2), утеряна. Вероятно, что Эйлер использовал метод Баше совмещения двух прямоугольных треугольников, используя треугольники со сторонами

р2 + д2 Р2 — Я2 _ г2 + б2 г2 — э2 рд ря гв гв

и получая соотношение (0.2) с верхним или нижним вариантом знаков в зависимости от того, накладываются друг на друга или нет компоненты этих треугольников. (Опубликовано в 1849 г.).

Б. Иейтс для отыскания треугольников с целочисленными сторонами, площади и периметры которых равны между собой, выбирал, в соответствии с соотношением (0.2), стороны треугольника равными

ря(г2 + в2) гэ(р2 + д2) (рв + цг)(рг — д«) п п п

Самая последняя величина, умноженная на pqrs/n, равна площади треугольника. Приравнивая площадь треугольника его периметру 2pr(ps + qr)/n, получим соотношение qs(pr — qs) = 2п. Целочисленные решения этого уравнения можно найти при п = 1,2,8. Многие исследователи пользовались сегментами /,т, п, на которые делятся стороны а, Ь, с треугольника в точках касания с вписанной окружностью радиуса г. Таким образом, / + га = a, I + п = b, т + п = с. Если s - полупериметр, то rs = 2s, откуда г = 2. Но r2s2 = slmn. Следовательно, 4(7 + га + ть) = 1тп. Наименьшая сторона превосходит по длине 2г = 4. Следовательно, можно взять / + га = 5,6,... и найти целочисленные решения. (Опубликовано в 1865 г.).

Ворпитски привел без доказательства формулу, эквивалентную соотношению (0.2). (Опубликовано в 1876 г.). Х.Ф. Блихфельдт вывел соотношение (0.2), пользуясь формулой Герона для площади. (Опубликовано в 1896-97 гг.). Д.Н. Лемер вывел соотношение (0.2) с помощью использования рациональности синусов и косинусов трех углов как необходимого и достаточного условия рациональности треугольника. (Опубликовано в 1875 г.).

X. Шуберт рассматривал ГТ с целочисленными сторонами а, Ь,с и площадью J. Если j ~ углы, то / = tan^, а, следовательно, также sino; и cosa должны быть рациональными (такой угол a называется углом Герона). Положим / == n/га, где пит- взаимно простые целые числа. Тогда

2 ran . . 2pq . 2 (rag + пр)(тр — nq) smа = ——sin(3 = sin 7 = / 2 . 2V 2 , '

тг + n¿ р + q ут + n¿)\jr -f q

поскольку tan7/2 = cot (a + /3)/2. При a = 2rsino; и т.д. имеем: 4г — (m2+n2)(p2+q2). Следовательно, а-= гап(р2+д2), Ь = pg(ra2+n2), с = (mq + пр)(тр — J = mnpqc. (Опубликовано в 1905 г.).

М. Риньо получил окончательные формулы Шуберта. (Опубликовано в 1917 г.).

С. Курциус сформулировал следующую задачу: три стрелка из лука Л, Б и С стоят на одинаковых расстояниях от попугая, при этом расстояние между стрелками В и С составляет 66 футов, расстояние между В и А - 50 футов, а расстояние между А и С - 104 фута; если попугай поднимется на 156 футов над землей, то на каком расстоянии должны стоять лучники для того, чтобы поразить попугая? Он заметил, что лучники стоят в вершинах треугольника, у которого радиус описанной окружности равен 65 футам, при этом попугай расположен в 156 футах над центром описанной окружности. Поскольку 652 + 1562 = 1692, то каждый стрелок располагается от попугая на расстоянии, равном 169 футов. Оказалось достаточно затруднительным объяснить, почему радиус

оказался целым числом. (Опубликовано в 1617 г.).

\

К.Ф. Гаусс, внимание которого к задаче Курциуса было привлечено Шумахером, сформулировал утверждение, что стороны любого такого треугольника, что каждая сторона и радиус г описанной окружности являются целыми числами, имеют вид:

Ш!д(а2 + Ь2), ± 4аЬ(/ + д)(а2/ - Ь2д), 4аЪ(а2/2 + Ь2д2), (0.3)

где а, Ь, /,д - положительные целые числа, а г = (а2 б2)(а2/2 + 62<?2). Значения, полученные Курциусом, можно получить, если в качестве а, 6, /, д взять а = д = 1, 6 = 2, / = 10 и всюду удалить общий множитель 8. (Опубликовано в 1863 г., письмо от 21 октября 1847 г.). Формула Гаусса была выведена многими авторами: Гретшель, Розенбергер, Фюрстенан, Шрадер и другие.

В японской рукописи Матцунаго, относящейся к первой половине восемнадцатого столетия, исследование начинается с двух прямоугольных треугольников с целыми сторонами, затем каждая из величин сторон одного треугольника умножается на величину гипотенузы другого треугольника, а затем треугольники совмещаются. Стороны полученных в результате косоугольных треугольников,

не превосходящие 1000, были табулированы. Удаляя общие множители, автор получил таблицу примитивных треугольников. Из рукописи Курушима (ум. 1757 г.) автор заимствовал результат, который заключается в том, что если пз : с?з = (1\(12 — п\П2 : гцс?2 + то п!(п2с?з+ п3с?2), тг2(гг3с?1+ П1С?з), щ(щ(12 + являются длинами сторон треугольника с рациональной площадью.

В. Лиговски нашел треугольник, у которого рациональными являются стороны а,Ь, с, площадь Г и радиусы гид описанной и вписанной окружностей. Он предполагал, что 5 — а = дх, § — Ь — ду, 5 — с = дг, где 5'- полупериметр, и доказал, что стороны треугольника пропорциональны

а = х(у2 + 1), Ъ = у(х2 + 1), с = (х + у)(аг2/ - 1),

откуда д = ху - 1, г = (х2 + 1)(у2 + 1)/4, Р = + - 1). (Опубликовано в 1866 г.).

В. Шимерка привел несколько способов отыскания РТ и составил таблицу из 173 РТ, стороны которых не превосходят 100, в которой содержатся значения площади, тангенсов половинных углов и координаты вершин треугольников. Он доказал, что периметр всегда является четным. (Опубликовано в 1870 г.).

Ф.Р. Шеррер использовал теорию целочисленных комплексных чисел а + Ы для получения координат вершин примитивных ГТ, центров вписанной, описанной и внеописанной окружностей и окружностей Фейербаха, точки пересечения высот и т.п. (Опубликовано в 1916 г.).

Г. Рат использовал сегменты а,/3,7 сторон, определенные с помощью точек касания вписанной окружности. В этом случае величины сторон треугольника равны а + /3, а + 7, /3 + 7, а квадрат площади треугольника равен а/3у(а+{3+,у). Это выражение является рациональным полным квадратом только в том случае, если о; = ф'2,

/3 = 6В, 7 = 6С, где В и С - произвольные взаимно простые целые

числа, аналогичное условие имеет место для к и при этом й/б

является значение^ отношения

ВС(В + С) к2 - ВСр '

когда это отношение сокращается на общие множители. Каждое полученное в результате множество рациональных чисел от, /3, у определяет РТ с условием, что сумма величин любых двух сторон будет превосходить величину третьей стороны, удовлетворяющимся очевидным образом. В полученных Ратом таблицах приводятся взаимно-простые величины целочисленных сторон треугольников, площадь которых является величиной, кратной некоторой стороне, приведенной в таблице отдельно от остальных сторон [19]. (Опубликовано в 1874 г.).

Многими авторами доказано, что если стороны и площадь треугольника являются целочисленными, то величина площади делится на 6. Возьмем стороны треугольника равными произведениям соотношения (0.2) нардгз. Тогда площадь равна (Опубликовано в 1866 г.).

Д.С. Харт занимался совмещением двух прямоугольных треугольников с общей стороной, равной 2рг, и остальными сторонами, равными г(р2 — 1), р(г2 — 1), и получил величины сторон РТ: (р + г)(рг — 1), г(р2 +1), р(г2 +1), находящиеся друг к другу в отношении, обратном по отношению к выражению (0.2), рассматриваемому для случая верхних вариантов знаков и при д = § = 1. Последнее предположение не ограничивает степень общности полученного результата. (Опубликовано в 1875 г.).

О. Шлемильх получил те же самые результаты тем же самым методом, что и Харт. (Опубликовано в. 1893 г.).

А. Мартин занимался совмещением двух прямоугольных треугольников различными способами с целью получения РТ. Из

формулы Герона для площади Д треугольника со сторонами х,у тя.

г следует, что

V - - У2)2 = 1,2,2 _ ( РЯ^У)2 = ( 1 Я2*У V

16v 4 \P2 + q2J \2 p2+q2J '

Тогда

pL + qz \s J

определяет отношение x/y. Если x будет числителем полученной в результате дроби, то имеем:

х = (р2 + q2)(r2 - s2), у = 2rs(p2 + q2) ± 2s2(p2 - q2), z = (p2 + q2)(r2 + s2) ± 2rs(p2 - q2).

Он подробно рассматривал PT, у которых величины двух сторон отличаются на заданное целое число, при этом используя уравнение Пелля gq2 — р2 = ±1. (Опубликовано в 1898 г.). А. Мартин доказал, что в любом примитивном РТ две стороны являются нечетными, длина меньшей стороны превосходит 2, разность между суммой двух меньших сторон и наибольшей стороной не равна единице, а площадь кратна 6. Каждое целое число, большее 2, является наименьшей стороной бесконечного множества примитивных РТ. (Опубликовано в 1913 г.).

Н. Генниматас доказал, что любой РТ подобен треугольнику со сторонами х2 + у2, (1 + у2)х, с = (1 + х)(у2 — х). Обратно, если величины х, у, у2 — х положительны, то указанные числа являются сторонами треугольника с площадью равной сху. (Опубликовано в

1914 г.).

Отысканием РТ занимались также Э.В. Гребе, С. Тиби, Дж. Волстенхолм, A.B. Эванс, Х.С. Монк, Дж.Л. Маккензи, Р. Хоп-пе, У.А. Уитворт, Г. Хеппель, Р. Мюллер, Т. Пепин, С.А. Роберте,

С. Робине, Т.Х. Саффорд, Д. Биддл, Дж. Сакс, Т. Хармут, Э.Н. Ба-ризьен, А. Жерардин, Л. Обри, Б. Хехт, X. Бетхер, Э. Тюльер, Э.Т. Белл, У. Гувер и другие.

Теперь перейдем к изложению истории вопроса в соответствии с работами, приведенными в библиографии.

П. Бахманн [7] дает следующий способ получения РТ. Для получения всех РТ нужно составить, с одной стороны, для двух произвольных положительных взаимно простых чисел /3,7, а с другой стороны - для двух произвольных положительных взаимно простых к, г приведенное значение дроби

+ 7), к2 — /?7г2 '

если это значение дроби равно (1/6, то из формул а = сИ2, Ь = <5/3, с = 6у получаются отрезки сторон каждого из искомых треугольников. Формулы И.И. Чистякова [5] для сторон а,Ь,с РТ таковы:

у(г2 + г2) . г(г2 + у2) а = у + г, Ь=—-с — -г-Ч

у2 _ гг у2 _ гг

Вместо найденных значений можно взять числа им пропорциональные

„ = *(„ + *), Ь = с

у г — гг уг — гг

Полагая к = у г — г2, получаем выражения, которые дают стороны треугольника в целых числах: а = (у + г) (у г — г2), Ь = у (г2 + г2),

с = г(г2 + г/).

В. Литцманн {15] получает ГТ с помощью ПТ. При этом получает не стороны ГТ, а их отношения.

Р.Д. Кармайкл [11] для ГТ получил формулы х = п(т2 + /г2), у — т(п2 + /г2), г — (га + п)(тп — к2), 5^= Нтп(т + п)(тп — /г2).

В. Серпинский [4] доказал, что любой РТ может быть получен путем соединения двух прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, кроме того, показал, что не каждый ГТ получается

соединением двух ПТ. Он также нашел ГТ, длины сторон каждого из которых выражаются тремя последовательными натуральными числами.

О. Ope [1] утверждает, что хотя известно значительное число ГТ, не существует общей формулы, описывающей все эти треугольники.

A. Баттаглия [8] для ГТ получил следующие формулы

* =(А2 + fi2)(a2 + ß2) + 2Xfj,(a2 - ß% У =202 - ß2)fj,2 + 2Х/л(а2 + ß2), z =(X2 - ß2)(a2 + ß2),

S =(X2 - f)[{a2 - ß2)ß2 + A/i(a2 + ß2)]2aß.

B.M. Брадис, А.Ф. Сычиков [9] утверждают, что задача Герона далека от полного разрешения, и делают попытку в некоторой степени продвинуться в решении задачи Герона, и в частности, связать ее с задачей треугольников решетки, т.е. треугольников, вершины которых имеют координатами целые числа относительно двух прямоугольных осей. Ставится и решается задача составления таблицы треугольников, стороны и площадь которых выражаются натуральными числами, с тем существенным ограничением, что длины сторон не превышают значения 100.

3. Трау [26, 27] утверждает, что положительные рациональные решения уравнения (х -f- у + z){x + у — z)(z + x — y)(y + z — х) — 16s2 = 0 даются формулами х = m2 + n2q2, у = (m2 — q2)(n2 + 1 ), z — m2n2 + q2, s — mnq(m2 — q2)(n2 + 1), a целые положительные решения -формулами х = k(m2+n2q2), у = k(m2—q2)(n2+1), z = fc(m2n2+g2), s = k2mnq(m2—q2)(n2 +1). Общее решение уравнения uvw(u+v+w) — s2 — 0 в целых положительных числах дается формулами и = kq2(n2 + 1), V = к(т2 — q2), w = кп2(т2 — q2), s = k2mnq(n2 + 1 )(n2 — g2). При этом и + V = X, V + w = у, w -{- и — Z.

К.П. Попович [18] доказывает, что если d, f,t,u,v, z,0,£,r¡,x ~ натуральные числа, такие, что uv02 — tzif - положительно, a / -общий наибольший делитель целых чисел uzx2 + tve2 и uv02 — tzr¡2, то натуральные числа а, Ь, с, данные соотношениями

а = ((t£V)2 + (u0X)2)vzd : /,

Ь = {uv62 - tzr]2){uzx2 + tve2)d : /, (0.4)

С = (izrix)2 + (vd£)2)utd : /,

являются сторонами ГТ и наоборот, если а, Ь, с являются сторонами ГТ, то можно найти натуральные числа d, /, t, w, г>, z, в, s, г/, х, для которых иув2 — tzr¡2 > 0, / = (uzx2 + tve2, uvd2 — izrç2) так, чтобы были удовлетворены соотношения (0.4).

Дж.Р. Карлсон [10] делает обзор, являющийся предметом обсуждения письма Паргетера [17], а именно, что если стороны ГТ имеют общий делитель, то при делении сторон на этот делитель получается также ГТ. ГТ он получает с помощью ПТ.

Д. Сингмастер [22, 23] утверждает,, что треугольник является ГТ, если и только если его стороны могут быть представлены как

а(и2 + у2), b(r2 + s2), а(и2 - v2) + b(r2 - s2), где auv = brs, (0.5) или получены путем деления на общий делитель

(0.6)

сторон треугольника, заданного формулой (0.5). Вследствие (0.6), можно умножить (0.5) на uvrs, а затем сократить на auv = brs. Это приведет к получению формулы Эйлера (0.2). Формула Эйлера эквивалентна формулам, полученным Брахмагуп-той (0.1), Шубертом, Тэггом, а также Стрэнджем [12, 24, 25].

К.Р.С. Сэстри [21] доказал, что если p,q,r,s являются любыми числами, а к - положительное целое, то формула а = 4к(р2 +q2)(r2 + в2), 6 - к[(р + г)2 + (q + s)2}[(p - г)2 + (g - s)2], с = к[(р + s)2 + (q -r)2][(P ~ s)2 + (Я + r)2] дает ГТ со сторонами а, 6, с.

А.Р. Паргетер [16, 17] для ГТ получил формулу

О + у)\ху - х(у2 + г2), у(г2 + ж2), хуг{х + у)\ху - г2\.

Д. Тэгг [25] для ГТ приводит формулу ря(г2 + з2), гз(р2+д2), (дв - рг)(ря + дг), рдгз(д$ - рг){рв + дг).

А.Д. Сэндс [20] показывает, что получить результаты Эйлера очень легко, так что почти нет сомнения в том, что сам Эйлер

сделал то же самое.

Д. Стрэндж [24] для ГТ со сторонами а, 6, с и площадью А получил формулу

_ тп(р2 + д2)а рд(т2 + п2)а

(щ — тр)(тд + пр)' (пд — тр)(тд 4- гор)'

Д(т2 + п2) = тпса, Д(р2 + д2) = рдаб,

где (т,п) = (р, д) = 1, и показал, что существуют ГТ, которые не могут быть получены методом Сэстри. Далее он пишет, что Тэгг и Паргетер предлагают методы получения ГТ, основной принцип которых заключается в совмещении одной из сторон двух прямоугольных треугольников. Во всех формулах, полученных в соответствии с таким методом, присутствуют общая высота (общая сторона прямоугольных треугольников). Но таким методом нельзя получить все ГТ.

А.Д. Грэнвиль [14] показал, что формулу Паргетера можно легко получить с помощью двух ПТ. ^

О.Н. Осипян [2, 3] пишет: в заключение отметим, что все множество основных ГТ нельзя описать с помощью какой-либо серии полученных формул, кроме того вопрос о том, совокупность

полученных формул

х=(т+п)(г2-тп), у=т(г2+п2), г=п(г2+т2), в^тпгх, г2—тп> 0, га, п,г(Е N5

х=р+п, у=р(п2+'(рд+1)2), z=n{p2+(pq+1)2), 2),

£=(а2-Ь&2)(гг2—га2), у=2п(а2(т+п)-Ь2(п-т)),

г=(а(т+п))2+(Ь(п—т))2,

3=аЬ(п2—т2)у, (п,т)—1, п>га, а^б; а, 6, т,

х=(пщ+пр)(тр-щ): у=рц(т2+п2), г=тп(р2+?2),

Б=тпрдх, тр>щ, га,

я=(тр+пд)2-(тд-пр)2, у=(га2+п2)(р2-д2), 2=2гагг(р2+д2),

5=тп(р2—п(р+-д)>га(д-р)

доставляет ли все Множество ГТ, остается открытым. Он также рассматривает основные ГТ, длины сторон каждого из которых составляют арифметическую прогрессию. Пусть Ь — га, Ь, Ь + ш -длины сторон, а 5 - площадь ГТ, 6, га, з 6 IV, (6 — т, 6, Ь + т) = 1, (6 — т, 6, 6 4- т; 5) - соответствующий основной ГТ. Доказывается, что множество таких основных ГТ бесконечно и все они могут быть найдены при помощи реккурентных формул для 6 и 5, и что га - не любое натуральное число.

И. Видав [28] описывает два способа нахождения ГТ, стороны которых не имеют общих множителей, а площадь равна полному квадрату.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации, состоящей из введения и трех глав. Каждая из глав I и III диссертации разбита на четыре параграфа, а глава II - на шесть. Дадим одно

Определение. Основной ГТ, у которого площадь выражается квадратом натурального числа, назовем основным тиановым тре-

■угольником (ТТ). Площадь такого треугольника будем обозначать через А2.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кожегельдинов, Сагдулла Шаяхметович, 1998 год

Литература

1. Ope О. Приглашение в теорию чисел. М., 1980. 128 с.

2. Осипян О.Н. О героновых треугольниках /Краснодар, 1984. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 6.07.84, № 4761-84.

3. Осипян О.Н. Об основных героновых треугольниках, длины сторон каждого из которых составляют арифметическую прогрессию /Краснодар, 1984. 17 с. Деп. в ВИНИТИ 25.07.84,

\

№ 5411-84.

4. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М., 1959. 112 с.

5. Чистяков И.И. О рациональных треугольниках //Изв. Тверского пед. института. 1926.1. С. 52-58.

6. Эдварде Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. М.: Мир. 1980. 488 с.

7. Bachmann P. Niedere Zahlentheorie. 1910. Th. 2. S. 440-442.

8. Battaglia A. Formule parametriche per triangoli eroniani // Archi-mede. 1959. A. 11, №3. S. 163-167.

9. Bradis V.M., Sicicov A.F. Despre triunghiurile heronice // Gazeta matematica, §i fizica. 1959. Ser. A. V. 11(64), №6. S. 325-334.

10. Carlson J.R. Determination of Heronian Triangles // Fibonacci Quarterly. 1970. V. 8, №5. P. 499-506 and 551.

11. Carmichael R.D. Diophantie analysis. N.Y., 1959. S. 11-13.

12. Dickson L.E. History of the Theory of Numbers. N.Y., 1934. V. 2. P. 191-201.

13. Elkies N.D. On A4 + B4 + C4 = D4 // Math. Сотр. 1988. V. 51, №84. P. 825-835.

14. Granville A.J. Heronian triangles // Math. Spectrum. 1978. V. 11, №3. P. 96-97.

15. Lietzmann W. Der Pythagoreische Lehrsatz. Leipzig: Teubner B.G., 1951. 118 s.

16. Pargeter A.R. A formula for Heronian triangles // Math. Spectrum. 1976. V. 9, Ж2. P. 58-59.

17. Paxgeter A.R. Heronian triangles // Math. Spectrum. 1977. V. 10, №3. P. 96-97.

18. Popovic C.P. Heronian triangles // Rev. Math. Pures Appl. 1962. №7. S. 439-457.

19. Rath H. Die rationalen Dreicke // Archiv der Mathematik und Physic, 1874. Th. 56. S. 188-224.

20. Sands A.D. Euler's formulae for rational Heronian triangles // Math. Spectrum. 1977. V. 10, №1. P. 30-31.

21. Sastry K.R.S. Heronian triangles // Math. Spectrum. 1976. V. 8, №3. P. 77-80.

22. Singmaster D. Some Corrections to Carlson's "Determination of Heronian Triangles" // Fibonacci Quarterly. 1973. V. 11, №2. P. 157-158.

23. Singmaster D. Heronian triangles // Math. Spectrum. 1978. V. 11, №2. P. 58-59.

24. Strange J. More of Heronian triangles // Math. Spectrum. 1977. V. 10, №1. P. 15-24.

25. Tagg D. Heronian triangles // Math. Spectrum. 1976. V. 9, Ш. P. 58.

26. Trau Z. Un algoritm pentru obtinerea triunghiurilor heronice // Gazeta matematicä, §i fizicä. 1961. Ser. A. V. 13 (66), №1. S. 585-591.

27. Trau Z. Asupra ecuatiei diofantice uvw(u + v + w) — s2 = 0 // Gazeta matematicä, §i ßzicä. 1962. Ser. A. V. 14 (67), №2. S. 74-75.

28. Vidav J. Heronovi .trikotnici in diofantske enacbë // Obzornik mat. fiz. Ljubljana, 1991. L. 38, №1. S. 1-7.

29. Кожегельдинов С.HI., Абденов А.Ж. Задача Герона / Семипалатинск, 1987. 15 с. Деп. в КазНИИНТИ 17.09.87, №1820-Ка 87.

30. Абденов А.Ж., Кожегельдинов С.Ш. К решению задачи Герона / Семипалатинск, 1988. 21 с. Деп. в КазНИИНТИ 7.06.88, №2150-Ка 88.

31. Абденов А.Ж., Кожегельдинов С.Ш. К вопросу решения задачи Герона // Проблемы вычислительной математики и автоматизации научных исследований: Тез. докл. респ. конф. по проблемам ВМ и АНИ.- Алма-Ата, 1988. Т. 4. С. 5.

32. Кожегельдинов С.Ш., Абденов А.Ж. Некоторые свойства ге-роновых треугольников/ Семипалатинск, 1989. 22 с. Деп. в КазНИИНТИ 23.06.89, №2734-Ка 89.

33. Кожегельдинов С.Ш., Абденов А.Ж. Общие формулы героно-вых треугольников и их частные случаи. Ч. 1 / Семипалатинск, 1989. 9 с. Деп. в КазНИИНТИ 23.06.89, №2735-Ка 89.

34. Кожегельдинов С.Ш. К вопросу о героновых треугольниках // Всесоюз. школа "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел", Минск, 10-16 сент. 1989 г.: Тез. докл. - Минск, 1989. - С. 74.

35. Кожегельдинов С.Ш. Проблема 20 // Всесоюз. школа "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел", Минск, 1016 сент. 1989 г.: Нерешенные задачи теории чисел /Сост. В.И. Берник, Э.И. Ковалевская. - Минск, 1990. - 40 с. -(Препринт /АН БССР. Ин-т математики; №35 (435)) - С. 12.

36. Кожегельдинов С.Ш. Общие формулы героновых треугольников и их частные случаи Ч. II. М., 1990. 16 с. Деп. в ВИНИТИ 2.01.90. №8-В90.

37. Кожегельдинов С.Ш. Общие формулы героновых треугольников и их частные случаи Ч. III. М., 1990. 39 с. Деп. в ВИНИТИ 13.06.90. №3385-В90.

38. Кожегельдинов С.Ш. О тиановых треугольниках // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. Респ. научн.-теоретич. конф. 26-28 сент. 1990 г. Ташкент, 1990. - С. 62.

39. Кожегельдинов С.Ш. Отыскание основных героновых треуголь-

\

ников // М., 1990.. 74 с. Деп. в ВИНИТИ 14.08.90. №4613-В90.

40. Кожегельдинов С.Ш. Отыскание основных героновых треугольников (ГТ) // Изв. АН Республ. Казахстан. Серия физ.-матем., 1992. №3. С. 48-51.

41. Кожегельдинов С.Ш. К вопросу о тиановых треугольниках // Матем. заметки. 1993. Том 53, вып. 5. С. 155-157.