Статистические свойства полиэдров Клейна и локальных минимумов решеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Илларионов, Андрей Анатольевич

• Илларионов, Андрей Анатольевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Илларионов, Андрей Анатольевич

Оглавление

Предисловие

Обозначения и соглашения

Введение

§ 1. Актуальность темы

§ 2. Основные определения

§ 3. Основные результаты

Глава I. Оценки максимального количества локальных минимумов

§ 1. Вспомогательные оценки

§ 2. Оценки количества относительных минимумов

§ 3. Оценки количества локальных минимумов

Глава И. Асимптотическое распределение целочисленных матриц

§ 1. Формулировка основного результата

§ 2. Вспомогательные результаты

§ 3. Вычисление некоторых сумм

§ 4. Доказательство теоремы 1.1

Глава III. Среднее количество относительных минимумов

§ 1. Двумерный случай

§ 2. Трехмерный случай

§ 3. Случай произвольной размерности

§ 4. Оценки постоянной С (в)

Глава IV. Статистические свойства многогранников Клейна

§ 1. Оценки количества элементов многогранников Клейна

§ 2. Среднее количество граней фиксированного типа

§ 3. Среднее количество вершин

Глава V. Среднее количество цилиндрических минимумов и наилучших приближений линейных форм

§ 1. Базис Вороного и его свойства

§ 2. Среднее количество цилиндрических минимумов

§ 3. Среднее количество наилучших приближений линейных форм

Глава VI. Среднее количество локальных Ф-минимумов

§ 1. Дополнение локального минимума до базиса: частные случаи

§ 2. Дополнение локального минимума до базиса

§ 3. Среднее количество локальных минимумов

Приложения

§ 1. Приложение к главе V

§ 2. Приложение к главе VI

Литература

158

Предисловие

В конце 19 века были предложены два обобщения алгоритма непрерывных дробей на многомерный случай. Одно Ф. Клейном, а другое Г.Ф. Вороным и независимо от него Г. Минковским. Они основаны на рассмотрении полиэдров Клейна и, соответственно, локальных минимумов решеток. Ряд задач теории чисел (построение основных единиц числовых полей, нахождение наилучших приближений, оценки погрешности теоретико-числовых квадратурных формул и отклонений сеток от равномерного распределения) приводят к исследованию этих конструкций. Статистические свойства локальных минимумов и полиэдров Клейна двумерных решеток непосредственно вытекают из теории непрерывных дробей. Однако, несмотря на значительный интерес, практически отсутствуют результаты для решеток размерности три и выше. Восполнению этого пробела и посвящена настоящая работа.

В диссертации разработан метод исследования статистических свойств многомерных непрерывных дробей по Клейну и Вороному - Минковскому. Он позволил ответить па некоторые вопросы В.И. Арнольда о свойствах полиэдров Клейна и получить ряд асимптотических формул для средних характеристик локальных минимумов, которые можно рассматривать, как многомерные обобщения классических результатов о вероятностных свойствах цепных дробей. К основным можно отнести следующие результаты диссертации.

1. Доказаны правильные, с точностью до констант, зависящих от размерности, оценки для максимального количества относительных минимумов целочисленных неполных решеток и относительных минимумов неполных (нецелочисленных) решеток, лежащих в заданном кубе. Также получены двусторонние оценки для среднего количества вершин полиэдров Клейна целочисленных решеток с фиксированным определителем.

2. Впервые изучено поведение в среднем количества локальных минимумов многомерных целочисленных решеток. А именно, получена асимптотическая формула для среднего числа локальных минимумов целочисленных многомерных решеток с определителем из заданного отрезка. Также доказано многомерное обобщение классической теоремы Хейльбронна о средней длине конечной непрерывной дроби в терминах относительных минимумов.

3. Получены асимптотические формулы для среднего числа граней фиксированного типа и вершин полиэдров Клейна трехмерных целочисленных решеток фиксированного определителя.

4. Выведены асимптотические формулы для среднего числа наилучших приближений линейных форм с рациональными коэффициентами и математического ожидания количества наилучших приближений форм с вещественными коэффициентами.

ч

Обозначения и соглашения

Главы диссертации разделены на параграфы, нумерация которых начинается заново в каждой главе. Формулы га-го параграфа любой главы нумеруются (п.1), (п.2), (п.З) и т. д. (номер главы не указывается). Аналогичная нумерация используется для теорем, лемм, следствий и замечаний. При ссылке на формулу (теорему, лемму и т.д.) других глав указывается номер этой главы. Считаем, что введение — это глава с номером 0, а приложение — глава с номером А. Например, теорема У.1.1 — это теорема 1.1 из главы V, формула (0.1.1) — это формула (1.1) из введения, лемма А.2.1 — это лемма 2.1 из приложения.

На протяжении всей диссертации используются следующие обозначения: — количество элементов конечного множества 5; Z+ — множество неотрицательных целых чисел; К+ — множество положительных вещественных чисел; 811 и I/ — граница и замыкание множества и; если х = (хх,

нод (ni,...,ns) — наибольший общий делитель целых щ,...,п3.

MfjS(<2) — множество матриц размера t х s с элементами из числового множе-

М3(2; Аг) — множество матриц М Е М3(2) таких, что det М = ТУ; СЬДИ) — множество невырожденных матриц из МДМ); СЬз^) — множество унимодулярных матриц из М3(2);

если не указано противное, то элементы матрицы X обозначаем через х^ (г — номер строки, j — номер столбца);

шее — мера Лебега; /х(п) — функция Мебиуса; С(з) — дзета-функция Римана;

°"а(п) = ^^ (сумма по делителям с1 натурального га);

d\n

ства Q;

M,(Q) = Ms>â(Q);

если Хц Е К, х\п € К, г = 1, t, j = то

,0)

/ Хп

(х«

\ Хп ■■■

— матрицы из Мг)3(К).

Через обозначаем множество всех 5-мерных вещественных решеток ранга

^ < з). Любая решетка Г £ £4)3(М) имеет вид

Г = {ща(1) +

где

— множество целочисленных решеток из £г>ДМ); £,(С?) = £3,з(<2), где д = К или <2 =

А, (2; ДГ) — множество решеток Г € Са{Ъ) таких, что det Г = ЛГ;

[1, Л]) — множество решеток Г Е Са{Ъ) таких, что det Г € [1; Д];

означает, что существует такая абсолютная постоянная С > О, что для любого х Е X имеет место оценка |/(х)| < С • д(х). Если С зависит от параметра в, то пишем /(х) «С д(х) (либо /(х) = Оо(д(х))). Запись / х д означает что / <С д /.

9

Гиперповерхность Б С К5 называем кусочно-дифференцируемой, если она состоит из фиксированного числа гиперповерхностей класса С1.

Множество А" С К" называем конусом, если Ах Е К для всех А Е К+, х Е К.

Функция / : М™ М называется лучевой, если для всех х Е К™ \ {0}, А £ К

Запись

/(х) «С д(х) (либо /(х) = 0(д(х))) при х Е X

0 </(*); /(А • х) = |А| • /(х).

с

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистические свойства полиэдров Клейна и локальных минимумов решеток»

Введение

§ 1. Актуальность темы

Любое вещественное а единственным образом раскладывается в непрерывную (цепную) дробь:

Чх +

Я2 + • • • +

Чп + • • ■

где до = [<*] (целая часть) ид„ = ?«(«) € N (неполные частные). Она конечна только для рационального Р/С? = <71 > • • •, <7г] и в этом случае накладываем дополнительное условие: > 2. Несократимая дробь

7Г = [®>; 91.. (">0)

Чгп

называется п-й подходящей для а.

Алгоритм разложения вещественного числа в непрерывную дробь является одним из важнейших инструментов теории чисел, восходящим еще к античному алгоритму Евклида нахождения наибольшего общего делителя. Начало современной теории непрерывных дробей положил в 1613 г. П. Катальди и продолжил Д. Валлис, предложивший термин «непрерывная дробь». Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, X. Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колес своего планетария. Алгоритм цепных дробей занял видное место в теории чисел после трудов Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, которые применили его к решению уравнения Пелля, что привело к пониманию фундаментальной роли непрерывных дробей в теории квадратичных иррационалыюстей. Эйлер открыл, а Лаграпж доказал одно из важнейших свойств: «непрерывная дробь периодична только у квадратичных иррационалыюстей». Лагранж также доказал следующее основополагающее свойство рациональных приближениях вещественных чисел.

Напомним, что дробь Р/<3 (Р € 2, ф 6 М) называется наилучшим приближением (второго рода) вещественного а, если не существует дроби Р'/<5' (Р' 6 2, 6 М) такой, что

[Я'а-П < \Qa-Pl Я' < Я,

причем хотя бы одно из неравенств является строгим.

Теорема (Лагранж). Для любого а € [0,1)

а) любая подходящая дробь для а есть наилучшее приближение, за исключением случая а е (1/2,1), Р0/<2о = 0/1;

б) любое наилучшее приближение а есть подходящая дробь, за исключением случая а = 1/2, Р/(3 = 1/1.

Исследование иррационалыюстей степени три и выше, а также поиск многомерных наилучших приближений привели к необходимости обобщения цепных дробей па многомерный случай.

Первое формальное обобщение алгоритма непрерывных дробей было дано еще Эйлером [94], идеи которого развивали и дополняли К. Якоби, А. Пуанкаре, П. Бах-ман, О. Перрон и другие авторы. Следующий этап начал Л. Дирихле, а продолжили Л. Кронекер, Ш. Эрмит, Шарв, Е. Золотарев, которые пытались построить обобщение непрерывной дроби, имеющее для общей теории алгебраических чисел такое же значение, какое имеют цепные дроби для квадратичных числовых полей. Черту под этими исследованиями подвел Г.Ф. Вороной. В 1896 г. он защитил диссертацию «Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей», в которой дал метод нахождения основных единиц кубического числового поля как положительного, так и отрицательного дискриминанта. Алгоритм основан на рассмотрении взаимного расположения некоторых специальных узлов решеток. Эти узлы Вороной называл «относительными минимумами». Одновременно и независимо от Вороного минимумы трехмерных решеток изучал Г. Минковский [125, 126], который использовал термин «локальный минимум» (исследования Минковского относятся к случаю чисто вещественного расширения числового поля). Относительные (локальные) минимумы решеток представляют собой геометрическую интерпретацию многомерных наилучших приближений. Они являются естественным объектом с точки зрения целочисленного линейного программирования, а также возникают при изучении теоретико-числовых квадратурных формул [10, 11] и в теории равномерного распределения [15, 73].

Еще одно интересное геометрическое обобщение непрерывных дробей было дано Ф. Клейном [111] и основано на рассмотрении, так называемых, полиэдров (многогранников) Клейпа, которые определяются как выпуклая оболочка узлов решетки, лежащих в заданном симплициалыюм конусе. Исходно исследуя Л-градуированные алгебры [78], В.И. Арнольд столкнулся с полиэдрами Клейна. Начиная с 1989 г. он сформулировал множество задач о геометрических и статистических свойствах многомерных непрерывных дробей (см. [3, 4, 79, 80]), возобновляя тем самым интерес к этим вопросам.

В двумерном случае конструкции Клейна и Вороного - Минковского совпадают, и их статистические свойства непосредственно вытекают из теории непрерывных дробей. Однако, несмотря на значительный интерес, практически отсутствуют результаты для решеток размерности три и выше. Целью настоящей работы является исследование статистических свойств полиэдров Клейна и локальных минимумов многомерных решеток.

§ 2. Основные определения Локальные минимумы

Определение 2.1. Ненулевой узел 7 я-мерной решетки Г будем называть относительным минимумом, если не существует ненулевого узла 7' € Г такого, что

К|<ы, * = м,

причем хотя бы одно из неравенств является строгим.

Возьмем любую неотрицательную функцию / : Е*-1 -» [0, +оо).

Определение 2.2. Ненулевой узел 7 5-мерной решетки Г будем называть цилиндрическим /-минимумом, если не существует ненулевого узла У € Г такого, что

/(V, ■ ■ -Л-1) < /(7ь - • .,7,-1), IV,I < Ы-

причем хотя бы одно из неравенств является строгим.

С геометрической точки зрения, это означает, что цилиндр

{я 6 М* : Дхь... < /(7ь... ,7,-1), \х,\ < Ы}

не содержит ненулевых узлов Г, за исключением точек, лежащих па границах оснований цилиндра. В дальнейшем, мы ограничимся случаем, когда функция / является лучевой и кусочно-дифференцируемой.

Рассмотрим теперь более общую конструкцию, включающую в себя и относительные, и цилиндрические минимумы. Пусть Ф = (Фх,..., Фг) : Ма —> [0, +оо)г.

Определение 2.3. Ненулевой узел 7 ¿-мерной решетки Г будем называть локальным Ф -минимумом, если не существует ненулевого узла У € Г такого, что

ф,(у)<ф/(7), / = т7г,

причем хотя бы одно из неравенств строгое.

Далее всюду считаем, что функции Ф1 имеют следующий вид:

Фх(х) = ^1(аг1,...,х,1),...,Фг(ж) = фг(х3г_1+ь...,(2.1) т.е. Ф/(х) = Ф1 ..., хн), I = 1, г. Здесь яо,..., зг — такие целые, что

О = ¿о < < ... < = 5,

&4>1 : К4' —> К (¿/ = 5;—5г_1,1 = 1, г) —лучевые, непрерывные, кусочно-дифференцируемые функции.

Локальные Ф-минимумы совпадают с относительными, если

г = ФДх) = \х{\, г = М

и с цилиндрическими, если

т = 2, Ф1(ж) = /(ж1,...,хв_1), Фг(ж) = |х3|.

Локальные минимумы и единицы числовых полей. Пусть К — чисто вещественное расширение степени s поля рациональных чисел Q. Обозначим через ... — базис, состоящий из целых поля К. Пусть ..., wf* — сопряженные базисы (г = 2, s), а К' — порядок поля К с базисом ...,Для каждого

а = ¿а^« G К' i=1

определим геометрическое изображение 7(а) = (71 (а),..., 7s(a)) числа а по формуле

3

7i(«) = г =

3=1

Пусть решетка Г состоит из узлов 7(а), где а 6 К'. Для любого 7 6 Г число 71 •... - 7a является целым. Следовательно,

V7 6 Г \ {0} ITI - ■ - - • Т-1 > 1-

Поэтому, если узел 7 = 7(0;) € Г удовлетворяет условию I71 • ... • 7s| — 1 (т.е. а — единица поля К), то он является относительным минимумом решетки Г.

В общем случае геометрическое изображение (определение см. в [29, с. 29]) единицы числового поля степени s — Si + 2s2 (s 1 — количество вещественных, а 2s2 — количество комплексных изоморфизмов К в С) является локальным Ф-минимумом некоторой s-мерной решетки, если положить

r = s\ + s2,

Ф1{х) = \х1\, i = l,sb

Г.Ф. Вороной [19, 20] построил алгоритм вычисления относительных и цилиндрических минимумов трехмерных решеток и с его помощью разработал метод нахождения единиц в кубических полях положительного и отрицательного дискриминанта соответственно. Одновременно и независимо от Вороного относительные минимумы трехмерных решеток изучал Г. Мипковский [124, 125] в связи с этими же вопросами. По поводу дальнейшего развития алгоритмов Вороного, Минков-ского и их обобщений па случай более высоких размерностей см., например, работы [82, 83, 84, 85, 86, 87, 90, 89, 131, 134] и ссылки там. Алгоритмы Вороного и Минковского нахождения единиц чисто вещественного расширения числового поля основаны на изучении взаимного расположения, так называемых, минимальных базисов решеток (составленных из относительных минимумов), при этом ряд важных свойств был сформулирован ими без доказательства. Доказательство, обсуждение, переизложение и дополнение оригинальных результатов Вороного и Минковского можно найти в [32, 95, 97, 130, 18].

Локальные минимумы и наилучшие приближения. Для любого вещественного а определим решетку

Ta = {(Q,Q-a-P): Q,Pe Z}.

(2.2)

Пусть 9Я(Га) — множество относительных минимумов этой решетки. По определению, ЗЛ(Га) состоит из ±(0,1) и точек вида ±(С},а(2 — Р), где РЩ — наилучшее приближение а. Поэтому согласно теореме Лагранжа,

9Л(Га) ¿ = -1,0,1,2,...} при а € [0,1/2), ЗЛ(Гв) ={±(0,1), ±(1,1/2), ±(1,-1/2), ±(2,0)} при а = 1/2, (2.3)

Ш{Га) г = -1,1,2,......} при а £ (1/2,1),

где Р-1 = 1, <5_ 1 = 0 и Рг/^ — г-я подходящая дробь для а при г = 0,1,2,____

Рассмотрим теперь многомерные обобщения понятия наилучшего приближения. Возьмем любую неотрицательную функцию / : Мп —> [0,+оо).

Определение 2.4. Ненулевой вектор (и, и) е Ъп х Ъ будем называть /-наилучшим приближением линейной формы Ь : К" —> М, если не существует ненулевого вектора (и', и') ЕЪп х Ъ такого, что

\Ьи' — у'\ < \Ьи — у\, /(и')</(и),

причем хотя бы одно из неравенств строгое.

Определение 2.5. Вектор (и, у) £ N х Ъп будем называть /-наилучшим совместным приближением вещественных а\,..., ап, если

= — г = 1,п,

и пе существует другого натурального и' такого, что

Л1Ко||) < ЯМ). и' < и,

причем хотя бы одно из неравенств строгое. Здесь ||иа|| = (||иах||,..., ||жхп||), ||х|| — расстояние от вещественного х до ближайшего целого.

Возьмем теперь две неотрицательные функции: / : Мт —» [0, +оо) и з : I" [0, +оо), а также набор линейных форм Ь = (Ьх,..., Ьт) : М" -» Мт.

Определение 2.6. Ненулевой вектор (и, у) 6 Ъпх.Ът будем называть (/,д)-наилучшим совместным приближением линейных форм Ь, если не существует ненулевого вектора (и', у') Ът такого, что

/(Iл! - у') < ДЬи - V), д(и') < д{и),

причем хотя бы одно из неравенств строгое.

Отметим, что вместо термина «наилучшее совместное приближение линейных форм Ь» часто используют «наилучшее приближение матрицы в», где г-я строка в составлена из коэффициентов линейной формы Ь^ (см., например, [61]).

Наилучшие приближения неявно использовались еще Г.Ф. Вороным [19, 20], В. Яр-ником [77, 100, 101, 102] и другими авторами. По-видимому, систематическое изучение многомерных наилучших приближений было начато Дж. Лагариасом [117, 118,

119, 120, 121]. Более подробный обзор можно найти в статьях Н. Шевалье [93] и Н.Г. Мощевитина [127, 61].

Согласно определениям задача о нахождении наилучших приближений эквивалентна задаче о вычислении локальных минимумов решеток специального вида. Возьмем, например, линейную форму Ь : К3-1 -) К и определим решетку Г, составленную из узлов вида 7(и, у) = (и,Ьи — у), где (и, у) € Ъ3~1 х Ъ. Тогда 7(и, у) является цилиндрическим /-минимумом, если и только если (и, у) есть /-наилучшее приближение линейной формы Ь.

В общем случае, возьмем две функции: / : Мт —> [0, +оо) и д : К" —> [0, +оо), а также набор линейных форм Ь = {Ь\,..., Ьт) : К" —> Кт. Определим (п+т)-мерную решетку Г, состоящую из узлов у (и, у) = (и, Ьи — у), где (и, у) 6 Ъп х Ът. Положим

г = 2, $\{х)= д(хи...,хп), Ф2(х) = /(хп+1,...,хп+т).

В этом случае 7(и, у) является локальным Ф-мипимумом решетки Г тогда и только тогда, когда (и, у) есть (/, д)-наилучшее совместное приближение линейных форм Ь.

Еще несколько ссылок. Конструкция локальных минимумов возникает и в других областях дискретной математики и анализа. Например, В.А. Быковский доказал, что погрешность теоретико-числовых квадратурных формул (см. [10, 11], [57, § 6.4]), а также отклонение сеток от равномерного распределения [15] определяется множеством относительных минимумах решеток специального вида. Он также разработал [12] алгоритм вычисления всех относительных минимумов решеток (алгоритм Вороного, в общем случае, находит только часть минимумов, которые нужны для построения основных единиц). Модификации этого алгоритма, реализации и приложению к вычислению параметра Бахвалова параллелепипедальных сеток Коробова посвящены работы С.В. Гассана [16, 17].

В ряде статей (см. [14, 21, 72] и ссылки там) рассматривался вопрос о двумерном обобщении теоремы Валена (о соседних подходящих дробях) в терминах относительных минимумов.

Полиэдры Клейна.

Возьмем любую «-мерную решетку Г и симплициальный конус СсК'с вершиной в начале координат 0.

Определение 2.7. Множество К — К (Г, <£), которое является выпуклой оболочкой непулевых узлов Г, содержащихся в С, называется полиэдром Клейна решетки Г для конуса С.

Пусть линейное отображение Ь : Ж* -» К* является невырожденным. Тогда ЬК является полиэдром Клейна решетки ЬТ для конуса ¿С. Подходящим образом выбирая Ь, можно прийти к случаю ЬТ = V (решетка фиксирована) либо к случаю Ь€ = [0, +оо)3 (конус фиксирован). В оригинальной конструкции Клейна рассматривался произвольный конус и фиксированная решетка Ъ*. Нам будет удобнее рассматривать случай, когда решетка является произвольной, а конус фиксированным. Будем придерживаться следующей терминологии.

Определение 2.8. Пусть в = {в\,...,в3), где в, = ±1. Множество Кв{Г), которое является выпуклой оболочкой ненулевых узлов Г, лежащих в угле

{х е М* : в^ > 0, * = м}, будем называть полиэдром Клейна решетки Г.

Замечание 2.1. Каждая ¿-мерная решетка имеет 2я полиэдров Клейна. В общем случае полиэдр Клейна не является обобщенным многогранником. Более того, он может быть не замкнутым множеством (см. [128]). Если, например, решетка Г является целочисленной либо не имеет непулевых узлов на координатных плоскостях (решетка общего положения), то полиэдры Клейна являются обобщенными многогранниками1. В этом случае будем ссылаться на полиэдры Клейна, как на многогранники Клейна.

В двумерном случае конструкция Клейна дает следующую геометрическую интерпретацию непрерывной дроби. Если а 6 [0,1) \ {1/2}, то множество вершин полиэдров Клейна решетки Га, определяемой формулой (2.2), совпадает с множеством относительных минимумов, которое равно (2.3). Кроме того, если

а = (<2«-ъ а<2»-1 - Р%-1) и Ъ = (<21Ч.1, аС^н-! -

— две соседние вершины полиэдра Клейна, то

?ш(а) = #(ГП (а, 6]), (2.4)

то есть количество точек решетки на полуинтервале (а, Ь] («целочисленная» длина [а, Ь]) равно соответствующему неполному частному.

Отметим, что множество относительных минимумов любой двумерной решетки Г совпадает с множеством вершин полиэдров Клейна /Се(Г), за исключением решеток с базисом вида (и, у), (и, —у), для которых вершинами являются узлы ±(2и, 0), ±(0,2у), а минимумами

±(2и,0), ±(0,2у), ±(и,у), ±(и,-у).

Начиная с размерности 3 конструкции Клейна и Вороного - Минковского становятся различными. В частности, существуют четырехмерные решетки, имеющие относительные минимумы, лежащие внутри полиэдров Клейна, причем множество таких решеток имеет «положительную меру» (см. [24]). Однако, как доказано В.А. Быковским [13], любая вершина полиэдра Клейна является относительным минимумом.

Не претендуя на полноту изложения, приведем краткий обзор некоторых известных результатов, связанных с полиэдра Клейна. Более полный обзор можно найти в монографии [106].

В 1983 г. X. Цутихаси [133] установил соответствие между периодическими полиэдрами Клейпа и многомерными касповыми особенностями, которое обобщает известное ранее соответствие между периодическими непрерывными дробями и двумерными касповыми особенностями.

Б.Ф. Скубенко [65, 66] обнаружил связь между минимумами произведений линейных форм и многогранниками Клейна.

1т.е. их пересечения с любым многогранником также являются многогранниками.

Исходно исследуя Л-градуированные алгебры [78], В.И. Арнольд столкнулся с полиэдрами Клейна. Начиная с 1989 г. он сформулировал множество задач о геометрических и статистических свойствах многомерных непрерывных дробей (см. [3, 4, 79, 80]), возобновляя тем самым интерес к этим вопросам.

Примеры некоторых «простейших» полиэдров Клейпа для алгебраических трехмерных решеток, а также их свойства рассматривались в работах Е.И. Коркиной [109, 56, 110], Ж. Лашо [114], О.Н. Карпенкова [48, 49, 103, 105], Ж. Муссафир [129], А.Д. Брюно и В.И. Парусникова [7, 62, 63].

Связь между полиэдрами Клейпа и базисами Гильберта изучали Ж.О. Муссафир [58] и О.Н. Герман [22], который также вывел эквивалентные формулировки известных гипотез Литтлвуда и Оппепгейма в терминах полиэдров Клейна [23, 96] (см. также [25]).

В ряде работ изучались многомерные аналоги теоремы Лаграпжа о периодичности непрерывных дробей у квадратичных иррациопальностей в терминах полиэдров Клейна. Комбинаторно-топологический аналог предложен (без доказательства) Е.И. Коркиной [109], а алгебраический — Лашо [114,115,116]. Уточнение и полное доказательство результата Коркиной опубликовано в [25]. Еще один вариант многомерного обобщения теоремы Лагранжа см. в [8, 9].

О.Н. Карпенков [104] получил полное описание целочисленно-линейных типов двумерных граней полиэдров Клейна, которые лежат на расстоянии, большем единицы от начала координат.

Ряд публикаций (см. [129, 48, 105] и ссылки там) посвящены разработке алгоритмов построения многогранников Клейна алгебраических решеток, которые тесно связаны с фундаментальными областями чисто вещественных расширений числового поля.

Несмотря на значительный интерес, почти не исследованными являются поставленные Арнольдом задачи о статистических свойствах многомерных аналогов непрерывных дробей. В известной работе М.Л. Концевича и Ю.М. Сухова [108] аннонси-рованы некоторые результаты о существовании статистик для полиэдров Клейна и предложена схема их доказательства. В диссертации Ж. Муссафир [129] некоторые из этих статистик вычислены приближенно. В статье О.Н. Карпенкова [51] сформулированы гипотезы о частоте появления многогранника заданного целочисленно-линейного типа в качестве грани полиэдра Клейпа.

§ 3. Основные результаты

Оценки максимального количества локальных минимумов. Хорошо известен следующий результат о скорости роста знаменателей подходящих дробей: если Qk — Qk{a) — знаменатель к-й подходящей дроби для а 6 К, то [76, теорема 12]

Qk > 2W2.

Следовательно, для любого Р >2

#{к : Qk(a) < Р} = 0(log2 Р). (3.1)

Аналогичные оценки справедливы и для многомерных наилучших приближений [91, 93, 118, 120]. Неравенство (3.1) можно переписать в следующем виде: для любой

двумерной решетки Га вида (2.2)

#{7 € 2Л(Га) : Ысо < р} « 1об2 Р.

Здесь и далее ЯЯ(Г) — множество относительных минимумов решетки Г. В главе I мы распространяем этот результат на случай решеток произвольной размерности и ранга.

Назовем решетки Гх и из /^ДК) подобными, если существует такой набор ненулевых вещественных чисел (ах,..., ав), что

г2 = {(«171» • • •, <*»ъ) ■■ (7ь • • • ,ъ) 6 г1>-

Множество относительных минимумов 9Я(Г) конечно тогда и только тогда, когда решетка Г подобна целочисленной (см. [27]).

Для полных целочисленных решеток известны следующие оценки максимального количества относительных минимумов:

вир #ЯЯ(Г) 1п5-1 N + 1. (3.2)

ге 3

Верхняя доказана в [10, 11], а нижняя в [1]. Ряд публикаций был посвящен уточнению соответствующих констант (см. [57, 28, 2] и ссылки там). Наилучший результат получен в [2] и имеет вид

< С(в) < -.——ттт, (3.3)

(в-^МОО-^-Ч^) - 4 у — X« — 1)!'

где

С (я) = Ит вир

N-¥+00

( вир ФЩТУ

Г€£.(2,ЛГ)

\

Ь5"1 N

Возьмем теперь произвольную решетку Г 6 £(,3(Е). Для любого Р € К+ положим

2Л(Г,Р) = {76 9Л(Г): |7и <Р). В главе I диссертации мы докажем оценку

#9Я(Г, Р) < 1п4_1(Р/Л) при Р > А, (3.4)

где

Отметим, что для алгебраической решетки Г € А(К)

VР 6 (1, +оо) #9Я(Г, Р) » Ы4"1 Р. (3.5)

Отсюда вытекает, что оценка (3.4) является правильной с точностью до константы, зависящей от £ и я.

Используя (3.4), мы получим следующее неравенство для количества всех относительных минимумов неполной целочисленной решетки Г € С^3(Ъ)

#ЯЯ(Г) « In4"1 D + 1, (З.б)

s,t

где D = D(T) — максимум из модулей миноров £-го порядка базисной матрицы решетки Г (D(T) не зависит от выбора базисной матрицы). Из (3.2) вытекает, что оценка (3.6) является правильной с точностью до константы, зависящей от s и t.

В последнем параграфе главы I доказывается следующая оценка для максимального количества локальных Ф-минимумов:

VT е £S(Z; N) #2Яф(Г) < lnr~1 N + 1. (3.7)

ф

Асимптотическое распределение целочисленных матриц. Исследование статистических свойств конечных непрерывных дробей приводит к задачам об асимптотическом распределении целочисленных матриц размера 2x2, лежащих в заданной области. Пусть, например, I = l(P/N) — длина разложения рационального P/N = [0; <7i,..., q{\ в непрерывную дробь. Вычисление величины

Е

1<P<N

(средняя длина непрерывной дроби для рациональных чисел фиксированного знаменателя N) сводится к нахождению количества матриц М € M2(Z; N) следующего "вида [98, 132]

М = ( 01 М , 0 < 6i < аь 0 < a2 < b2. \ — a2 o2 J

Аналогичным образом при исследовании статистических свойств многомерных аналогов непрерывных дробей возникает задача: найти величину #(f1П MS(Z, N)), где П — заданное подмножество GLS(R). Известен следующий результат. Если

Q = {t-X: Хеп', t € R+}, (3.8)

где Q' — измеримое по Жордапу множество из SL+(R) = {X € GLS(R) : detX = 1}, то

TZ (N)

#(П П MS(Z, N)) ~ * / • ря(П') при N +oo. (3.9)

Здесь цн — мера Хаара на группе SL*(R), а TZS{N) = фС3{Z; N) — количество цело-числеш1ых s-мерпых решеток определителя N. Величина 7ZS(N) конечная, причем

Tl3(N) = # (M,(Z; JV)/GL.(Z)) ,

т.к. множество базисных матриц любой фиксированной решетки инвариантно относительно правого действия группы GLS(Z). Явные формулы для 1Z3(N) приводятся в § II.2.

Формула (3.9) доказана Ю.В. Линником и Б.Ф. Скубенко в [60] при в = 2,3 (см. также [59]) и в [64] при любом 5 > 2 (другое доказательство см. в [81]). Оценка остаточного члена соотношения (3.9) получена в [47].

Однако множества, возникающие в настоящей работе, не удовлетворяют условию (3.8). В главе II диссертации рассматривается случай, когда И С СЬ5(М) обладает следующими свойствами:

А) С1 — {((ху)): (хц,..., Х{3) е Ц, г = 1, в}, где V* — конусы в К3 с липшицевыми границами;

Б) существует такая постоянная С > 0, что для любой X е справедлива оценка

3

ТТ тах |а:у| < С • с1е1 X. 1=1

Подчеркнем, что если выполняются условия А), Б), то нельзя представить в виде объединения конечного набора множеств, каждое из которых удовлетворяет (3.8). Основной результат главы II заключается в доказательстве соотношения

# (П П АО) = ^(Ю ■ (с(П) ■ 1Н8"1 N + €>[1 (Х(Ю • 1п*"2 Л)) , (3.10)

где постоянная С(С1) > 0 зависит только от О, (явную формулу см. в § П.1), а

1п р

р\ N Р

Здесь р — простые делители натурального N. Отметим, что при N > 3

X(N) «С 1 + ]nu(N) < In In N, где w(N) — количество простых делителей N.

Среднее количество относительных минимумов. В 1968 г. Г. Хейльбронн [98] получил асимптотическую формулу для средней длины конечной цепной дроби:

Здесь I = l(c/d) — длина разложения c/d= [0; q\,..., qi\ в непрерывную дробь; множество Ф(d) состоит из целых с € [1 ,d\, которые взаимно просты с d, а £(d) = О (trii(d). Портер [132] уточнил формулу для остатка:

ve > 0 = С + Ot(d~1/6+c),

где С — некоторая положительная константа, впоследствии найденная Ренчем [107].

В главе III мы доказываем многомерное обобщение теоремы Хейльбронна в терминах относительных минимумов. А именно, определим среднее количество относительных минимумов полных s-мерных целочисленных решеток определителя N:

П > re£»(Z;N)

Учитывая связь между относительными минимумами двумерных решеток и непрерывными дробями (см. (2.3)), соотношение (3.11) можно переписать так

E(N, 2) ~ 'lniV при N

Основной результат главы III заключается в доказательстве соотношения

E(N, s) = C{s) • In*"1 N + Os (X(N) ■ ln°~2 N + l) (3.12)

для любой размерности s > 2. Здесь C(s) — положительная постоянная, зависящая только от s. К сожалению, константу C(s) при s > 3 даже приближенно вычислить удается только в трехмерном случае. В последнем параграфе главы III доказываются двусторонние оценки:

(rh5TSCWsÄ

Из них, в частности, вытекает следующее уточнение первого неравенства из (3.3):

---г- < Cls).

(s — 1)! • logj е ~ К}

Доказательство (3.12) основано на построении алгоритма, который позволяет единственным образом дополнить относительный минимум до базиса (решетки) специального вида. В результате, вычисление суммы

Е «г) -

Ге£.(2;ЛГ)

сводится к нахождению количества всех базисов этого специального вида, то есть к вычислению количества матриц из MS(Z; N), лежащих в некоторой области; Для этого применяется формула (3.10).

Статистические свойства полиэдров Клейна. В статье Хейльбронпа [98] также доказана асимптотическая формула для среднего количества неполных частных, равных заданному натуральному к:

# in■qMd) -- т■ь i1+ щтч) ш+Md}' <злз)

где Rk(d, N) = Ofc(ci1(d)). A.B. Устинов [70], используя метод Портера [132], уточнил остаток:

Rk(d) = C(k) + OkiC(d~1/6+t),

где постоянная С (к) зависит только от к.

В главе IV доказывается обобщение результатов Хейльбронпа (3.11), (3.13) в терминах полиэдров Клейна.

Пусть Fi и F2 многогранники из R3 с вершинами в Zs. Напомним, что Fi и F2 принадлежат одному целочисленпо-линейному типу, если существует такое отображение L е GL,(Z), что LFi = F2.

Возьмем любую компактную гипергрань Е полиэдра Клейна решетки Г € £а(1&). Пусть Ь : К® —К® такое линейное преобразование, что

ЬТ = ЖЯ. (3.14)

Очевидно, что целочислепно-линейный тип многогранника ЬЕ не зависит от выбора Ь. Это позволяет следующим образом классифицировать грани полиэдров Клейна. Пусть Т — целочисленно-линейный тип (я — 1)-мерных многогранников из К3.

Определение 3.1. Будем говорить, что грань F принадлежит типу Т, если ЬЕ принадлежит целочисленно-линейному типу Т для любого линейного преобразования Ь : Е® -> К" удовлетворяющего (3.14).

Пусть ^"(Г; Т) — множество граней типа Т, а У(Г) — множество вершин полиэдров Клейна решетки Г. Для любого натурального N определим среднее количество граней типа Т:

тг3ш)

и среднее количество вершин:

многогранников Клейна целочисленных полных ¿-мерных решеток определителя N.

Пусть й = 2. Тогда гиперграпи являются отрезками, и их тип однозначно определяется количеством точек решетки, которые лежат па грани. Поэтому, согласно (2.4), вопрос о среднем числе граней фиксированного типа сводится к задаче о частоте появления заданного натурального в качестве неполного частного. Соотношение (3.13) в терминах многоугольников Клейна можно записать так

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Илларионов, Андрей Анатольевич, 2014 год

Литература

М. О. Авдеева, "О нижних оценках количества локальных минимумов целочисленных решеток", Фундамент, и прикл. матпем., 11:6 (2005), 9-14.

М. О. Авдеева, В. А. Быковский, "Верхние и нижние оценки константы Вороного-Минковского", Машем, заметки, 87:4 (2010), 483-491.

В. И. Арнольд, Задачи Арнольда, М.: Фазис, 2000.

В. И. Арнольд, Цепные дроби, М.: МЦНМО, 2001.

3. И. Боревич, И. Р. Шафаревич, Теория чисел, М.: Наука, 1972. 496 с.

А. Брёнстед, Введение в теорию выпуклых многогранников, М.: Мир, 1988. 240 с.

А. Д. Брюно, В. И. Парусников, "Многогранники Клейна для двух кубических форм Давенпорта", Матем. заметки, 56:4 (1994), 9-27.

А. В. Быковская, "О многомерном обобщении теоремы Лагранжа о цепных дробях", Матем. заметки, 92:3 (2012), 343-360.

A. В. Быковская, "Критерий целочисленной эквивалентности двух обобщенных выпуклых целочисленных многогранников", Матем. заметки, 94:5 (2013), 648-660.

B. А. Быковский, "О погрешности теоретико-числовых квадратурных формул", ДАН, 382:2 (2003), 154-155.

В. А. Быковский, "О погрешности теоретико-числовых квадратурных формул", Чебы-шевский сб., Тула, 3:2 (2002), 27-33.

В. А. Быковский, "Алгоритм вычисления локальных минимумов решеток", ДАН, 399:5 (2004), 587-589.

В. А. Быковский, "Относительные минимумы решеток и вершииы многогранников Клейна", Функц. анализ и его прил., 40:1 (2006), 69-71.

В. А. Быковский, "Теорема Валена для двумерных подходящих дробей", Матем. заметки, 66:1 (1999), 30-37.

В. А. Быковский, "Отклонения сеток Коробова", Изв. РАН. Сер. матем., 76:3 (2012), 19-38.

В. А. Быковский, С. В. Гассан, "О параметре оптимальности параллелепипедальных сеток Коробова для квадратурных формул", Журн. выч. матем. и матем. физ., 51:8 (2011), 1363-1369.

В. А. Быковский, С. В. Гассан, "Алгоритм вычисления локальных минимумов решеток и его приложения", Вестник Тихоокеанского государственного университета, 1 (2011), 39-48.

В. А. Быковский, О. А. Горкуша, "Минимальные базисы трехмерных полных решеток", Матем. сб., 192:2 (2001), 57-66.

[19] Г. Ф. Вороной, Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей. Типография Варшавского Учебного Округа, Варшава, 1896.

[20] Г. Ф. Вороной, Собрание сочинений в 3-х томах. Т. 1. Киев: Изд-во АН УССР, 1952.

[21] С. В. Гассан, "Структура областей Валена для трехмерных решеток", Чебышевский сб., 6:3 (2005), 51-84.

[22] О. Н. Герман, "Паруса и базисы Гильберта", Тр. МИ АН, 239 (2002), 98-105.

[23] О. Н. Герман, "Паруса и норменные минимумы решеток", Матем. сб., 196:3 (2005), 31-60.

[24] О. Н. Герман, "Полиэдры Клейна и относительные минимумы решеток", Матем. заметки., 79:4 (2006), 546-552.

[25] О. Н. Герман, Е. Л. Лакштанов, "О многомерном обобщении теоремы Лагранжа для цепных дробей", Изв. РАН. Сер. матем., 72:1 (2008), 51-66.

[26] О. А. Горкуша, "Минимальные базисы трехмерных полных решеток", Матем. заметки, 69:3 (2001), 353-362.

[27] О. А. Горкуша, "Критерий конечности множества локальных минимумов решетки", Чебышевский сб., 5:3 (2004), 15-17.

[28] О. А. Горкуша, Н. М. Добровольский, "Об оценках гиперболической дзета-функции решеток", Чебышевский сб., 6:2 (2005).

[29] П. М. Грубер, К. Г. Леккеркеркер, Геометрия чисел, М.: Наука, 2008, 727 с.

[30] Л. Даунер, Б. Грюнбаум, В. Кли, Теорема Хелли, М.: Мир, 1968, 160 с.

[31] Б. Н. Делоне, Петербургская школа теории чисел, Изд-во АН СССР, М.-Л., 1947.

[32] Б. Н. Делоне, Д. К. Фаддеев, Теория иррациональностей третьей степени, Тр. МИ-АН, 11 (1940), Изд-во АН СССР, М.-Л., 3-340.

[33] Г. Дэвенпорт, Высшая арифметика. Введение в теорию чисел, М.: Наука, 1968, 176 с.

[34] А. А. Илларионов, "Оценка количества относительных минимумов неполных целочисленных решеток", Чебышевский сб., 7:4 (2006), 92-98.

[35] А. А. Илларионов, "Оценка количества относительных минимумов неполных целочисленных решеток произвольного ранга", ДАН, 418:2 (2008), 155-158.

[36] А. А. Илларионов, "Оценки количества относительных минимумов решеток", Матем. заметки, 89:2 (2011), 249-259.

[37] А. А. Илларионов, "Среднее количество относительных минимумов трехмерных целочисленных решеток", Алгебра и анализ, 23:3 (2011), 189-215.

[38] А. А. Илларионов, "О цилиндрических минимумах трехмерных решеток", Дальне-вост. матем. оюурн., 11:1 (2011), 37-47.

[39] А. А. Илларионов, Д. А. Слинкин, "О количестве вершин многогранников Клейна целочисленных решеток в среднем", Далъневост. матем. журн., 11:1 (2011), 48-55.

[40] А. А. Илларионов, Ю. А. Сойка, "О количестве относительных минимумов целочисленных решеток", Далъневост. матем. журн., 11:2 (2011), 149-154.

[41] А. А. Илларионов, "О цилиндрических минимумах целочисленных решеток", Алгебра и анализ, 24:2 (2012), 154-170.

[42] А. А. Илларионов, "Среднее количество относительных минимумов трехмерных целочисленных решеток фиксированного определителя", Изв. РАН. Сер. матем., 76:3 (2012), 111-138.

[43] А. А. Илларионов, "О статистических свойствах локальных минимумов целочисленных решеток", Далъневосгп. машем, эюурн., 12:2 (2012), 201-230.

[44] А. А. Илларионов, "О статистических свойствах многогранников Клейна трехмерных целочисленных решеток", Машем, сб., 204:6 (2013), 23-46.

[45] А. А. Илларионов, "Многомерное обобщение теоремы Хейльбронна о средней длине конечной непрерывной дроби", Машем, сб., 205:3 (2014)

[46] А. А. Илларионов, "О среднем количестве наилучших приближений линейных форм", Изв. РАН. Сер. машем., 78:2 (2014), 61-86

[47] А. М. Истамов, "Асимптотическое распределение целочисленных матриц п-го порядка, принадлежащих заданному классу вычетов", Аналитическая теория чисел и теория функций. 4, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 112 (1981), 85-11

[48] О. Н. Карпенков, "О триангуляциях торов, связанных с двумерными цепными дробями кубических иррационалыюстей", Функц. анализ и его прил., 38:2 (2004), 28—37.

[49] О. Н. Карпенков, "О двумерных цепных дробях целочисленных гиперболических матриц с небольшой нормой", УМН, 59:5 (2004), 149-150

[50] О. Н. Карпенков, "Классификация трехмерных многоэтажных вполне пустых выпуклых отмеченных пирамид", УМН, 60:1 (2005), 169-170

[51] О. Н. Карпенков, "Об инвариантной мере Мебиуса и распределении граней Гаусса-Кузьмина", Тр. МИ АН, 258 (2007), 79-92.

[52] Дж. В. Касселс, Введение в теорию диофантовых приближений, М.: ИЛ, 1961, 213 с.

[53] Дж. В. Касселс, Рациональные квадратичные формы, М.: Мир, 1982. 440 с.

[54] Дж. В. Касселс, Введение в геометрию чисел, М.: Мир, 1995.

[55] Д. Е. Кнут, Искусство программирования. Т.2, М.: Изд. дом «Вильяме», 2001.

[56] Е. И. Коркина, "Двумерные цепные дроби. Самые простые примеры", Тр. МИАН, 209 (1995), 143-166.

[57] Н. М. Коробов, Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, М.: МЦНМО, 2004.

[58] Ж.-О. Муссафир, "Паруса и базисы Гильберта", Функц. анализ и его прил., 34:2 (2000), 43-49.

[59] Ю. В. Линник, Эргодические свойства алгебраических полей, Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1967. 208 с.

[60] Ю. В. Линник, Б. Ф. Скубенко, "Асимптотическое распределение целочисленных матриц третьего порядка", Вестник ЛГУ, № 13 (1964), 25-36.

[61] Н. Г. Мощевитин, "Сингулярные диофантовы системы А. Я. Хинчина и их применение", УМН, 65:3 (2010), 43-126.

[62] В. И. Парусников, "Многогранники Клейна для четвертой экстремальной кубической формы", Матем. заметки, 67:1 (2000), 110-128.

[63] В. И. Парусников, "Многогранники Клейна для трех экстремальных кубических форм", Матем. заметки, 77:4 (2005), 566-583.

[64] Б. Ф. Скубенко, "К распределению целочисленных матриц и вычислению объема фундаментальной области унимодулярной группы матриц", Тр. МИАН СССР, 80 (1965), 129-144.

В. Ф. Скубенко, "Минимумы разложимой кубической формы от трех переменных", Аналитическая теория чисел и теория функций. 9, Записки научн. сем. ЛОМИ, 168 (1988), 125-139.

Б. Ф. Скубенко , "Минимумы разложимых форм степени п от п переменных при п > 3", Модулярные функции и квадратичные формы. 1, Записки научн. сем. ЛОМИ, 183 (1990), 142-154.

В. Г. Спринджук, Метрическая теория диофантовых приближений, М.: Наука, 1977.

В. А. Тиморин, Комбинаторика выпуклых многогранников, М.: МЦНМО, 2002. 16 с.

А. В. Устинов, "Вычисление дисперсии в одной задаче из теории цепных дробей", Матем. сб., 198:6 (2007), 139-158

А. В. Устинов,"О числе решений сравнения ху = I (mod q) под графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции", Алгебра и анализ, 20:5 (2008), 186-216.

А. В. Устинов, "К теореме Вороного о цилиндрических минимумах трехмерных решеток", Далъневост. матем. журн., 11:2 (2011), 213-221.

А. В. Устинов, "Минимальные системы векторов в трехмерных решетках и аналог теоремы Валена для трехмерных цепных дробей Минковского", Математика и информатика, 1, К 75-летию со дня рождения Анатолия Алексеевича Карацубы, Совр. пробл. матем., 16, МИАН, М., 2012, 103-128.

Д. М. Ушанов, "Теорема Быковского и обобщение теоремы Ларчера", Матем. заметки, 91:5 (2012), 795-798

Д. А. Фроленков, "Асимптотическое поведение первого момента для числа шагов в алгоритме Евклида по избытку и недостатку", Матем. сб., 203:2 (2012), 143-160.

Г. Хассе, Лекции по теории чисел, М.: Издательство иностранной литературы, 1953, 527 с.

A. Я. Хинчин, Цепные дроби, М.: ГИФИЗМАТЛИТ, 1961.

B. Ярник, "К теории однородных линейных диофантовых приближений", Чехослов. матем. журн., 4 (1954), 330-353

V. I. Arnold, "Л-Graded Algebras and continued fractions", Commun. Pure Appl. Math., 142 (1989), 993-1000.

V. I. Arnold, "Higher dimensional continued fractions", Регулярная и хаотическая динамика, 3:3 (1998), 10-17.

V. I. Arnold, "Preface", Amer. Math. Soc. Transl., 197:2 (1999), ix-xii.

L. Clozel, H. Oh, E. Ullmo, "Hecke operators and equidistribution of Hecke points", Invent, math., 144:2 (2001), 327-351.

A. J. Brentjes, Multidimensional continued fraction algorithms, Mathematical Centre Tracts, 145. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1981, 183 pp.

J. Buchmann, "A generalization of Voronoi's unit algorithm. I", J. Number Theory, 20:2 (1985), 177-191.

J. Buchmann, "A generalization of Voronoi's unit algorithm. II", J. Number Theory, 20:2 (1985), 192-209.

J. Buchmann, 'The generalized Voronoi-algorithm in totally real algebraic number fields", EUROCAL'85, 2 (Linz, 1985), 479-486, Lecture Notes in Comput. Sci., 204, Springer, Berlin, 1985.

J. Buchmann, "The computation of the Fundamental Unit of Totally Complex Quartic Orders", Math. Сотр., 48:177 (1987), 39-54.

J. Buchmann, "On the computation of unit and class number by a generalization og Lagrange's algorithm", J. Number Theory, 26:1 (1987), 8-30.

J. Buchmann, "On the period length of the generalized Lagrange algoritm", J. Number Theory, 26:1 (1987), 31-38.

J. Buchmann, "On generalized continued fraction expansions of short period length", Publ.Math. Debrecen, 37:1-2 (1990), 109-114.

J. Buchmann, M. Pohst, J. v. Schmettow, "On the computation of unit group and class groups of totally real quartic fields", Math. Сотр., 53:187 (1989), 387-397.

Y. Bugeaud, M. Laurent, "On exponents of homogeneous and inhomogeneous Diophantine approximation", Mose. Math. J., 5:4 (2005), 747-766.

N. Chevallier, "Meilleures approximations diophantiennes simultanées et théoréme de Lévy", Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 55:5 (2005), 1635-1657.

N. Chevallier, "Best simultaneous Diophantine approximations and multidimensional continued fraction expansions", Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory, 3:1 (2013), 3-56

L. Euler, De relatione inter ternas pluresve quantitates instituenda, Leonhardi Euleri Com-mentationes arithmeticae collectae, т. И, С.-Петербург, 1849, с. 99

Ph. Furtwängler, M. Zeisel, "Zur Minkowskischen Parallelepiped approximation", Motatsh. f. Math., 30 (1920), 177-198.

O. N. German, "Klein polyhedra and lattices with positive norm minima", J. Theor. Nombres Bordeaux, 19:1 (2007), 175-190.

H. Hancock, Development of the Minkowski geometry of numbers. Vol. 1-2, Dover Publications Inc., 1964.

H. Heilbronn, "On the average length of a class of finite continued fractions", Abhandlungen aus Zahlentheorie und Analysis, Berlin, VEB (1968), 89-96.

A. A. Illarionov, "On the Asymptotic Distribution of Integer Matrices", Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory, 1:4 (2011), 301-345.

V. Jarnik, "Zum Khintchineschen 'Ubertragungssatz", Acad. Sei. URSS, 3, Trav. Inst, math, Tbilissi, 1938, 193-216

V. Jarnik, "On linear inhomogeneous Diophintine approximations", Rozpravy II. Tridy Ceske Akad., 51:29 (1941)

V. Jarnik, "Eine Bemerkung über diophantische Approximationen", Math. Z., 72:1 (1959), 187-191

О. N. Karpenkov, "Three exapmles of three-dimensional continued fractions in the sense of Klein", C. R. Acad. Sei. Paris. 343:1 (2006), 5-7.

O. N. Karpenkov, "Completely empty pyramids on integer lattices and two-dimensional faces of multidimensional continued fractions", Monatsh. Math., 152:3 (2007), 217-249.

O. N. Karpenkov, "Constructing multidimensional periodic continued fractions in the sense of Klein", Math. Сотр. 78:267 (2009), 1687-1711.

О. N. Karpenkov, Geometry of Continued Fractions, Algorithms and Computation in Mathematics, 26, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2013, 405 p.

[107] D. E. Knuth, "Evalution of Porter's Constant", Comp, and Math, with Appl., 2 (1976), 137-139.

[108] M. L. Kontsevich, Yu. M. Suhov, "Statistics of Klein polyhedra and multidimensional continued fractions", Amer. Math. Soc. Trasl., 197:2 (1999), 9-27.

[109] E. I. Korkina, "La périodicité des fractions continues multidimensionnelles", C. R. Acad. Sei. Paris Ser. I Math., 319:8 (1994), 777-780.

[110] E. I. Korkina, "The simplest 2-dimensional continued fraction", J. Math. Sei., 82:5 (1996), 3680-3685.

[111] F. Klein, "Ueber die geometrische Auffassung der gewohlichen Kettenbruchentwichlung", Nachr. Ges. Wiss. Göttingem, № 3 (1895), 357-359.

[112] F. Klein, "Sur une representation geometrique de development en fraction continue ordinaire", Nouv. Ann. Math., JY» 3 (1896), 327-331.

[113] F. Klein, Ausgewählte Kapitel der Zahlentheorie. Bd I. Einleitung. Vorlesungen 1895/1896 herausgegeben von A. Sommerfeld. Göttingen, 1896.

[114] G. Lachaud, "Polyèdre d'Arnol'd et voile d'un cône simplicial: analogues du théorème de Lagrange [The Arnold polyhedron and the sail of a simplicial cone: analogues of the Lagrange theorem]", C. R. Acad. Sei. Paris Ser. I Math., 317:8 (1993), 711-716.

[115] G. Lachaud, "Sails and Klein polyhedra", Number theory, Proceedings of the international conference on discrete mathematics and number theory (Tiruchirapalli, 1996), Contemp. Math., ed. V. K. Murty, 210 (1998), 373-385.

[116] G. Lachaud, Voiles et Polyèdres de Klein, Act. Sei. Ind., Hermann, Paris, 2002.

[117] J. C. Lagarias, "Some new results in simultaneous Diophantine approximation", Proc. Queens's University Number Theory Conference 1979, (P. Ribenboim, Ed.), Queen's Papers in Pure and Applied Math. No. 54, Queen's University, 1980, 453-474

[118] J. C. Lagarias, "Best simultaneous Diophantine approximations. I. Growth rates of best approximation denominators", Trans. Amer. Math. Soc., 272:2 (1982), 545—554

[119] J. C. Lagarias, "Best simultaneous Diophantine approximations. II. Behavior of consecutive best approximations", Pacific J. Math., 102:1 (1982), 61-88

[120] J. C. Lagarias, "Best Diophantine approximations to a set of linear forms", J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 34:1 (1983), 114-122.

[121] J. C. Lagarias, "The computational complexity of simultaneous Diophantine approximation problems", SIAM J. Comput., 14:1 (1985), 196-209

[122] G. Lochs, "Statistik der Teilnenner der zu den echten Brüchen gehörigen regelmässigen Kettenbrüche", Monatsh. Math., 65 (1961), 27-52.

[123] P. McMullen, 'The maximum numbers of faces of a convex polytope", Mathematika, 1970, № 6, 179-184.

[124] H. Minkowski, "Zur Theorie der Kettenbruche", Annales de l'Ecole Normale Supérieure, 13:3 (1894).

[125] H. Minkowski, "Generalisation de la theorie des fraction continues", Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. Ser. 3. 13:2 (1896), 41-60.

[126] H. Minkowski, Zur Theorie der Kettenbrüche, Gesammelte Abhandlungen, Leipzig, 1911, 278-292.

[127] N. Moshchevitin, On some open problems in Diophantine approximation, arXiv: 1202.4539.

[128] J.-O. Moussafir, "Convex hulls of integral points", Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы. V, Зап. научн. сем. ПОМИ, 266, ПОМИ, СПб., 2000, 188-217

[129] J.-O. Moussafir, Voiles et polyèdres de Klein: Géométrie, algorithmes et statistiques, Doc. Sei. Thèse, Univ. Paris IX-Dauphine, 2000.

[130] P.M. Pepper, "Une application de la géométrie des nombres â une généralisation d'une fractiion continue", Annales scientifiques de l'E.N.S., 3 séries, 56 (1939), 1-70.

[131] M.E. Pohst, "Three principal tasks of computational algebraic number theory", Number theory and applications (Banff, AB, 1988), 123-133, NATO Adv. Sei. Inst. Ser. С Math. Phys. Sei., 265, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1989

[132] J. W. Porter, "On a theorem of Heilbronn", Mathematika, 22: 1 (1975), 20-28.

[133] H. Tsuchihashi, "Higher dimensional analogues of periodic continued fractions and cusp singularities", Tohoku Math. J., 35 (1983), 176-193.

[134] L. Ya. Vulakh, "Units in some families of algebraic number fields", Trans. Amer. Math. Soc. 356:4 (2004), 2325-2348.