Аналитические методы в теории объемов многогранников в неевклидовой геометрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Байгонакова, Галия Аманболдыновна

• Байгонакова, Галия Аманболдыновна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Байгонакова, Галия Аманболдыновна

Оглавление

Введение

1 Объем гиперболического идеального симметричного октаэдра

1.1 Постановка задачи

1.2 Об объеме идеального октаэдра

2 Объем гиперболического ^¿//¿т-симметричного октаэдра

2.1 Условия существования

2.2 Соотношения между длинами и углами

2.3 Формула объема гиперболического октаэдра с

тгшт?,-симметрией

2.4 Объем прямоугольного тетраэдра

3 Площади неевклидовых четырехугольников

3.1 Площадь трапеции в сферической геометрии

3.2 Формула Бретшпайдера для сферического четырехугольника

3.3 Формула Бретшпайдера для гиперболического четырехугольника

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические методы в теории объемов многогранников в неевклидовой геометрии»

Введение

Актуальность темы. Римановы поверхности и их геометрические инварианты играют важную роль в современном комплексном аиализе. Естественными трехмерными аналогами римановых поверхностей служат многообразия, моделируемые в неевклидовых геометриях. Важнейшим инвариантом указанных многообразий служит их объем. Для его нахождения каждое многообразие каноническим образом разбивается на многогранники. Вычисление объема многогранника - это классическая задача, известная со времен Евклида, не потерявшая актуальность в настоящее время.

Одним из актуальных направлений современного комплексного анализа является изучение пространства Тейхмюллера, образованного геометрическими структурами па заданной римановой поверхности. Это пространство зависит от конечного числа параметров и представляет собой многообразие1 с особенностями, которое в настоящее время принято называть коническим многообразием или орбифолдом. При этом, риманова поверхность разрезается на многоугольники с геодезической границей, длины сторон которых образуют в пространстве Тейхмюллера систему координат Фенхеля-Нильсена. Во многих случаях строение орбифолда описывается средствами элементарной евклидовой или неевклидовой геометрий, что и приводит к необходимости использования классических теорем в этой области, доказательства которых в современной литературе отсутствуют. Восполнению указанных пробелов в диссертации отводится особое внимание.

Диссертационная работа посвящена развитию новых аналитических методов для вычисления объемов неевклидовых многогранников.

Отмстим, что указанное; направление активно развивается новосибирской геометрической школой ([2|, [24|, [38j и т.д.). Изложенные ниже результаты могут быть также использованы и для вычисления объемов многогранников в пространствах постоянной кривизны (|2|, [38], [39]). Существенную роль в вычислении объемов евклидовых многогранников сыграли работы И. X. Сабитова [11] и А. А. Гайфуллина [18]. В 1996 году И. X. Сабитов [11] доказал, что объем трехмерного евклидова симплици-альпого многогранника есть корень алгебраического уравнения, коэффициентами которого являются многочлены, зависящие только от комбинаторного типа многогранника и длин его ребер. В 2011 г. четырехмерный аналог этой теоремы был получен в работе А. А. Гайфуллина [18].

В гиперболическом и сферическом случаях ситуация является более сложной, формула объема для бипрямоугольного тетраэдра была известна со времен Н. И. Лобачевского [22]. Объемы куба Ламберта и некоторых других неевклидовых многогранников вычислены Э. Б. Винбергом [3], Р. Келлерхальц [19|, Я. 3. Моханти [28], Д. А. Деревниным, А. Д. Медных [17]. А. 10. Весниным [24]. Дж. Паркером [25|. М. Г. Пашкевич [8] и другими авторами.

Объемы гиперболических многогранников, имеющих хотя бы одну вершину па бесконечности, найдены Э. Б. Винбергом [3|.

До последнего времени оставалась нерешенной классическая задача о вычислении объема произвольного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах. В 1999 году в работе Ю. Чо и X. Кима [16] была получена формула объема произвольного тетраэдра в виде суммы шестнадцати дилогарифмических функций. Позже в 2005 году Дж. Му-раками и У. Япо [29] также получили достаточно сложную формулу для вычисления объема произвольного тетраэдра. Более простое; доказатель-

ство этой формулы, которое включает также объемы усеченных тетраэдров, было найдено А. Ушиджимой [34] в 2006 году. Элементарную интегральную формулу объема гиперболического тетраэдра в 2004 году предложили Д. А. Деревпии, А. Д. Медных [7].

Известно, что если многогранник обладает симметрией, то формула его объема существенно упрощается. Впервые этот замечательный факт был установлен самим Лобачевским [22] для идеального гиперболического тетраэдра. Дж. Милнор [27] в 1982 году представил соответствующий результат в весьма простой форме. В общем случае объем симметричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах найден в работе Д. А. Деревнина, А. Д. Медных и М. Г. Пашкевич [8] в 2005 году. Объемы октаэдров, обладающих различными симметриями, и двойственных к ним гексаэдров в сферическом пространстве найдены Н. В. Абросимовым, М. Годой Молипой и А. Д. Медных [2].

Цель работы заключается в получении аналога формулы Милнора для случая идеального симметричного октаэдра в гиперболическом пространстве: вычислении объема гиперболического октаэдра, обладающего тптга-симметрией; нахождении площади трапеции в сферическом случае; получении аналогов формулы Бретшнайдера в гиперболическом и сферическом случаях.

Методы исследований. Полученные основные результаты опираются па идеи и методы вещественного, комплексного и функционального анализа.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и сослоят в следующем:

1) Доказан аналог формулы Милнора для идеального гиперболического октаэдра.

2) Получены формулы объемов гиперболического октаэдра, обладающего ттт - с и м м ет р и е й.

3) Ыайдсиа формула площади сферической трапеции через длины ее сторон.

4) Получены сферический и гиперболический аналоги формулы Брет-ш пай дера площади четырехугольника.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Результаты диссертационного исследования носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами из области геометрии и комплексного анализа. Материалы диссертации могут быть применены при организации спецкурсов по дополнительным вопросам вещественного, комплексного и функционального анализа, предназначенных для магистрантов и аспирантов высших учебных заведений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях:

1. Летних школах по геометрическому анализу (г. Горно-Алтайск, 21 -28 августа 2009, 2 - 8 августа 2010 г., 13 19 августа 2011 г., 11 19 августа 2012 г.);

2. ХЫХ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 16 - 20 апреля 2011 г.);

3. Международной школе-конференции по геометрии и анализу (г. Кемерово, 19 26 июня 2011 г.);

4. X Международной Казанской летней научной школе-конференции (г. Казань, 1 7 июля 2011 г.);

5. X молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (г. Казань, 31 октября - 4 ноября 2011 г.);

0. Ь юбилейной Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 13 - 19 апреля 2012 г.);

7. Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске» (г. Новосибирск, 30 августа 1 сентября 2012 г.):

8. Международной школе-семинаре «Ломоносовские чтения на Алтае» (г. Барнаул, 20 - 23 ноября 2012 г.).

Результаты диссертации обсуждались на семинарах ведущих научно-исследовательских институтов и университетов: кафедры математического анализа Горно-Алтайского государственного университета под руководством д.ф.-м.н. А. В. Тетенова; отдела анализа и геометрии Института математики СО РАН под руководством академика К). Г. Решетпя-ка; «Геометрия и топология и их приложения» Института математики СО РАН под руководством академика И. А. Тайманова; «Инварианты трехмерных мпогоообразий» Института математики СО РАН под руководством чл.-корр. А. Ю. Веснина: «Геометрическая теория функций» Института математики СО РАН под руководством чл.-корр. А. Ю. Веснина, проф. А. Д. Медных и проф. В. В. Асеева; кафедры математического анализа Алтайского государственного университета под руководством проф. Е. Д. Родионова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях журналов перечня ВАК и 10 тезисах международных и российских научных конференций. Вклад авторов в совместные работы равноценный.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 52 источников. Общий объем диссертации 85 страниц.

Перейдем к краткому изложению содержания работы и точным формулировкам основных результатов. Будем использовать номера теорем, формул, определении и сдедствии, введенные в основном тексте данной работы.

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, дается обзор научной литературы по изучаемой проблеме, излагается краткое содержание работы, формулируются основные результаты.

Первая глава диссертации посвящена вычислению объема идеального симметричного октаэдра в гиперболическом пространстве.

В параграфе 1.1 изложена история данного вопроса из работы Дж. Мил-нора [27], цце доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1.1.1. Объем V идеального 'гиперболического тетраэдра Т = Т(А, В. С) с двугранными углам/и, А, В, С, (Л + В + С = тт) вычисляется по формуле:

V{T) = k(A) + h{B) + K(C),

где А(х) = — Jn' log |2sin£|<i£ - функция Лобачевского.

Сформулируем следствие из дайной теоремы.

Следствие 1.1.1. Максимальный объем V идеального гиперболиче-

1 7г

ского тетраэдра достигается при А = В = С = -- и равен:

3

V{T) =ЗЛ(!) и 1.01494... .

Целью первой главы является перенесение результатов работы [27] на случай идеального симметричного гиперболического октаэдра.

Пусть О идеальный симметричный октаэдр в пространстве Н3 с попарно равными двугранными углами при противоположных ребрах,

обозначим ого двугранные углы через А, В,С, Б, Е и Е, тогда объем октаэдра О определяется следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 1.2.1. Объем К гиперболического идеального симметричного октаэдра О с двугранными углами А, В,С, И, Е и Е равен

V (О) = 2 (Л(—---) + Л(---^ +

л .7г + А-В-Е. л ,7г- А + В- ЕЛ +2 (Л(---) + Л(---) 1 ,

где 0 < А, В, С, Б. Е,Е < тг.

Сформулируем полученное следствие из доказанной теоремы.

Следствие 1.2.1. Максимальный объем V идеального симметрич-

IX

ного октаэдра достигается при А = В = С = П = Е = Е = -~ и

равен:

У{0) — 4Л « 3.66386... .

Вторая глава диссертации посвящена вычислению объема октаэдра с тгант-симметрией в гиперболическом пространстве.

Рассмотрим гиперболический октаэдр О = 0(А, В, С), обладающий /штат-симметрией, то есть зеркальной симметрией относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих вдоль его реберных циклов, где А. В. С его двугранные углы. Обозначим через а,Ь,с соответствующие длины его ребер.

Отметим, что объем тгат-симметричного октаэдра в евклидовом и сферическом случаях был вычислен ранее. Далее приведем эти результаты. Так, в евклидовом случае известна следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2.2.1. (Р. В. Галиулин, С. Н. Михалев, И. X. Сабитов) [6|. Пусть V объем, евклидова октаэдра 0(/\, В, С), обладающего ттт-симметрией, с длинами ребер а, Ь, с, тогда величина. V может

быть найдена как полоо/сительный корень уравнения:

9V2 = 2(а2 + Ь2 - с2)(а2 + с2 - 62)(62 + с2 - а2).

В сферическом случае известна следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2.2.2. (Н. В. Абросимов, А. Д. Медных и М. Годой Мо-лина) [2]. Пусть О — 0(А, В,С) сферический октаэдр, обладающий mmm-симметрией, тогда объем V = V(0) задается выражением:

2 / ( arctanh(A cos т) + arctanh(Y cosr)+

(ÍT

+ arctanh(Zcosr) + arctanh(cos r))

eos r

7г

где X = cos/i, Y = cos B, Z = eos С и 0 < в < — корень уравнения:

(1+А-)(1 + Г)(1 + 20 1 + X + Y + Z

В данной главе эти результаты распространяются на гиперболический случай.

В параграфе 2.1 доказывается утверждение существования гиперболического октаэдра 0(А, В, С), обладающего mmm-симметрией.

Утверждение 2.1.1. Пусть имеется набор чисел 0 < А, В, С < и. Тогда следую'ш;ие два утверждения эквивалентны:

(i) Существует компактный гиперболический октаэдр 0(А, В,С) с двугранными углами А, В, С, обладают/ий ттт-симметрией.

(И) Выполнены, неравенства:

1 + cos А + cos В + cos С > О Л + В > тг, А + С > тс, В + С > 7г

Для того, чтобы вычислить объем mmm-симметричного гиперболического октаэдра, нам нужны будут следующие тригонометрические соотношения, связывающие длины ребер и двугранные углы указанного многогранника В частности, это дает возможность выразить длины ребер через двугранные углы.

ТЕОРЕМА 2.2.3 (Правило синусов-тангенсов) Пусть 0{Л, В, С) гипербол ич< с л и ti октаэдр, обладающий т пгт-сим метриси, с двугранными углами А, В. С и соответствуют^ ми длинами ребер а,Ь,с, тогда выполняются следующие тригонометрические соотношения:

sin/1 sin В sin С tanho tanli b tanhc

где T положительный корень уравнения:

Т2 = (l+X)(l + Y)([ + Z) 1 + X + Y + Z

X = cos A, Y — соь В, Z — cos C.

Отметим. ч'Ю если гиперболический окхаэдр О существует, го имеет место неравенство:

(1 + Х)(1 + У)(1 + Z) 1 + Х + Y + Z

Основной результат данной главы приведен в параграфе 2.3 в виде следующей теоремы

ТЕОРЕМА 2.3.2. Пусть 0(А. В, С) гиперболический октаэдр, обдадающи и гптт-симметрией. Положим X = cos A, Y = соь В, Z = cos С и обозначим через Т положительный корень уравнения:

2___ (1 + X)(1 + Y)(1 + Z) l+X+y+Z

тогда объем V = V(O) находится по следующим формулам:

(i) Если О < Т < I, то объем V равен:

(1 — cosí)(eos Л — eos i)(eos В — cosí)(eos С — eosí)

V = - Г log Jo

(1 + cosí) (eos A + cosí) (eos B + cosí) (eos C + cosí)

dt,

7г

где величина r, 0 < r < —, находится из уравнения sin г = Т.

(ii) Если Т = 1, то при о, <Ь < с объем, V равен:

( С" х dx f1' х dx [' х dx \

V = 2

J о cosh .т ,/o cosh a; 70 cosh а: у где a, 6, с длины соответствующих ребер.

(iii) Если Т > 1, то объем V равен,:

ñ 1 X

V = 2 / (arelan(-) + arctan(-) +

Jo tan?/ tan '/7

, У . , Z drj

+ arct,an(-) + arctan(-

tai г// tan// cos 7]

1

cos 0

В качестве следствия ив данной теоремы получим следующий резуль-

при этом, 0, 0 < 0 < находится из уравнения: п = Т.

тат.

Рассмотрим прямоугольный тетраэдр Т, имеющий три прямых угла при вершине, с длинами существенных сторон a, b, с.

ТЕОРЕМА 2.4.2. Пусть существенные стороны прямоугольного тетраэдра Т связаны соотношением cosh г; = cosh а + cosh 6 — 1. Тогда объем, тетраэдра V(T) вычисляется по следуюа^сй формуле:

= I ( in —dx + Г,? —dx - г; -4- dx) . v ; 2 VJo cosh ж Jo cosh ж Jo cosh ж J

Третья глава посвящена вычислению площадей неевклидовых четырехугольников. В данной главе нами вычислена площадь сферической трапеции через длины ее сторон и получены сферическая и гиперболическая версии теоремы Бретшнайдера.

Из элементарной геометрии нам известна формула площади треугольника 5 через длины его сторон а, Ь и с, которая может быть представлена 15 следующем виде:

52 = {р - а)(р - Ь){р - с)р,

гдер = —полупериметр треугольника. Данная формула известна как формула Герона, названной так по имени Герона Александрийского, выдающегося древнегреческого математика, жившего в I в.н.э.

Формула Герона выражает площадь треугольника через длины его сторон, а для многоугольников с большим количеством сторон формулы такого типа не существует, так как площадь многоугольника может меняться при его изгибании с сохранением длин сторон.

Площадь четырёхугольника, вообще говоря, не определяется через длины его сторон. Однако, это справедливо в некоторых частных случаях, например, когда четырёхугольник является вписанным, либо когда он представляет собой трапецию. В первом случае нам известна теорема

Брахмагупты, а именно, площадь 5 вписанного в окружность четырёх-

а + Ъ + с + (I

угольника со сторонами а, о, с, а и полупериметром р = ---

равна:

52 = (р - а)(р - Ъ)(р - с)(р - (I).

Формула Брахмагупты является обобщением формулы Герона. Формулировку и доказательство данной теоремы можно найти в книге ([10], с. 90).

Немецкий математик Карл Брстшнайдер в 1842 году нашел площадь произвольного евклидова четырехугольника.

Классическая теорема Бретшнайдсра [15] утверждает, что площадь 5 евклидова четырехугольника со сторонами а, Ь, с, с1 и' противолежащими

углами А и С находится по формуле:

S2 = (р - а)(р - b) (р - с)(р — d) — abed cos2

a + b + с + d где p =---

полупериметр четырехугольника ([10], с. 89).

Отметим, что для сферического четырёхугольника формула площади через длины его сторон и диагонали была получена в монографии W. J. M'Clelland, Т. Preston 1886 г. ([30], с. 165). В гиперболическом случае варианты формулы Брахмагупты для вписанного четырехугольника найдены в работе А. Д. Медных [23]. Формула площади трапеции па гиперболической плоскости через длины её сторон получена в работе Д. Ю. Соколовой [12].

Целью параграфа 3.1 является перенос результата работы [12] на сферический случай.

Определение 3.1.1. Выпуклый четырёхугольник ABCD называется трапецией, если для его внутренних углов справедливо соотношение:

В этом случае стороны АО и ВС называются основаниями трапеции АВСО, а АВ и СО её боковыми сторонами, а, Ь, с, д, соответствующие длины сторон трапеции, е и / длины диагоналей АС и ВО. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что Ь ф d.

Сформулируем основную теорему данного параграфа.

ТЕОРЕМА 3.1.2. Площадь Б сферической трапеции АВСО со сторонами а.Ь,с,с1 находится из соотношения:

ZA + ZB = Z.C + Z.D.

b + d . a + b — c — d . a + b + c — d,

sin

sin

4

4

sin -

2

2b~d

a — b — с — d

a — b + с — d

cos

cos

4

4

—а + b + с — d . а — b + с + el

sin---sin---

_4_4

a + b — с + d a + b + с + d

cos---cos---

4 4

Замечание 3.1.2. Площадь Se евклидовой трапеции со сторонами а, 6, с, d вычисляется по формуле:

2 _ (b + d)2(ci + b-с -d)(a + b + c- d)(-a + b + с - d)(a - b + с + d) E 16(6 - d)2 '

S Sp

Отметим, что tan2 — ~ при достаточно малых величинах a,b,c,d.

В параграфе 3.2 получен аналог теоремы Бретшнайдсра в сферической геометрии. Сформулируем основной результат.

ТЕОРЕМА 3.2.1. Площадь S сферического четырехугольника со

ti i и п тл a + b + c + d сторонами а, и, г, с/, углам,и А, В, С, V 'и. полупериметром р =---

находится по формуле:

р — а . р — 6 р — с р — d

. 2S sm о SU1 2 Sin 2 Sni 2 a b с d 2K

sin — =-----^-¡-^--tan - tan - tan - tan - sin —,

4 a b с d 22224

eos - eos - eos - eos — 2 2 2 2

где K = A — B + C — D.

Имеют место представленные ниже следствия из доказанной теоремы. Напомним, что сферический четырёхугольник с углами А, В, С и D является вписанным в окружность тогда и только тогда, когда выполнено равенство: А + С = В + D [211.

Следствие 3.2.1. Площадь S вписанного сферического четырехугольника со сторонам,и а, 6, с, d находится по формуле:

р — а, р — 6 р — с . р — d

sin2 ® = ~~ 2 " 2....... 2 "" 2 ,

4 abed

cos -cos -cos -cos -2 2 2 2

sin —-—sin —-—sm —-—sm

^ а + b + с + d где р =-.

2

Замечание 3.2.1. Данный результат является сферическим аналогом формулы Брахмагупты, полученным в монографии ([30], с. 164).

Следствие 3.2.2. Если сферический четырёхугольник со сторонами а,Ь,с и d вписан в одну окруэ/спостъ и описан около другой, то его площадь S находится по формуле:

2 S abed sin — = tan - tan - tan - tan —.

4 2 2 2 2

Следствие 3.2.3. Сферический четырёхугольник со сторонами а, Ъ, с и d имеет максимальную площадь S тогда и только тогда, когда он вписан в окружность.

Замечание 3.2.2. Данный результат известен из работы [21].

Аналог теоремы Бретпгнайдера в гиперболической геометрии со следствиями получены в параграфе 3.3. Сформулируем полученный результат.

ТЕОРЕМА 3.3.1. Площадь S гиперболического четырехугольники со сторонами a,b,c,d, углами A,B,C,D находится по формуле:

■ , Р~а . р-Ь . р-с . р — d с smh —-sinn-smh-smh--

■ 2 ь 2 2 2 2 sin — =-—

cosh -cosh -cosh -cosh -2 2 2 2

, a b (i , d . о A' -tanh -tanh -tanh -tanh - sin —, 2 2 2 2 4

г - л n ^ r^ a+ b + c + d

где К = А — В + С — JJ и р =--- полупериметр.

Следствие 3.3.1. Площадь S вписанного гиперболического четырехугольника со сторонами а, Ь, с, d находится по формуле:

р-а р - 6 р-с p-d

о smh-sinn-smh-smh-

• 2 ^ 2 2 2 2

sin - =-z z z

cosh - cosh - cosh - cosli -2 2 2 2

Замечание 3.3.1. Данный результат является гиперболическим аналогом формулы Брахмагупты, полученным в работе [23].

Следующее следствие выражает площадь описанного четырехугольника через стороны и сумму противолежащих углов. В этом случае выполняется равенство а + с = b + d.

Следствие 3.3.2. Площадь S описанного гиперболического четырехугольника со сторонами а, Ь, с, d и углам,и А, В, С, D находится по формуле:

2 S (1 b с: d с, А — В + С — D sin — = tanh - Lamí - tanli - tanh - cos"-.

4 2 2 2 2 4

Следствие 3.3.3. Если гиперболический четырёхугольник со сторонами а,Ь,с и d вписан в одну окруэ/сность и описан около другой, то его плоищдь S находится по формуле:

.о S a b с d

sin — = tann - tann - tanh - tann -.

4 2 2 2 2

Следствие 3.3.4. Гиперболический четырёхугольник со сторонами а, Ь, с и d им,ест максимальную площадь S тогда и только тогда, когда, он вписан, в окружность, орицикл или в одну ветвь эквидистатпы.

Замечание 3.3.2. Данный результат хорошо известен из многих работ ([13], [21], [37]), однако в цитируемых работах он доказывается либо через изопериметрические неравенства, либо с помощью исследования функций от нескольких переменных на экстремум. В диссертации приводится его элементарное доказательство.

Глава 1

Объем гиперболического идеального

симметричного

октаэдра

Первая глава диссертации посвящена вычислению объема идеального симметричного октаэдра в гиперболическом пространстве. В параграфе 1.1 изложена история данного вопроса из работы Дж. Милпора [27]. Основной результат сформулирован в параграфе 1.2.

1.1 Постановка задачи

Объемы тетраэдров и некоторых многогранников как функции двугранных углов р, гиперболическом пространстве Н3 выражаются через функцию Лобачевского (см. рис. 1.1). См. работы ([3], [7], [8]. [16], [19], [29], [34]).

Определение 1.1.1. Функцией Лобачевского называется функция А вида:

А (ж) = — /у к^ |2 эт

Функция Лобачевского нечетная, периодическая с периодом равной 7г, дифференцируемая всюду кроме точек птг, где п = 0,±1,±2,... .

Максимальное значение функции достигается в точке 9 — — и равно А (1) = 0.5247....

Рис. 1.1: Функция Лобачевского

Рассмотрим идеальный тетраэдр в гиперболическом пространстве Я3. все вершины которого лежат па бесконечности. Хорошо известно из работы [331, что двугранные углы такого тетраэдра при скрещивающихся ребрах попарно равны, а сумма углов при каждой вершине равна 7Г (см. рис. 1.2).

Следующая теорема была доказана Дж. Милнором [27].

ТЕОРЕМА 1.1.1. Объем V идеального гиперболического тетраэдра Т = Т(Л, В, С) с двугранными углами А, В, С, (А + В + С = -к) вычисляется по формуле:

V{T) = А(Л) + Л(Я) + А(С),

где Л(х') = — JJ log |2sin£|ri£ - функция Лобачевского.

Сформулируем следствие из данной теоремы.

Следствие 1.1.1. Максимальный объем, V идеального гиперболиче-

7г

ского тетраэдра достигается при А = В = С = — и равен:

к.)

У{Т) ■= ЗА « 1.01494... .

1.2 Об объеме идеального октаэдра

Целью первой главы является перенесение результатов работы [27] па случай идеального симметричного гиперболического октаэдра.

Пусть О идеальный симметричный октаэдр 15 пространстве Н3 с попарно равными двугранными углами при противоположных ребрах. Обозначим его двугранные углы через А, В, С, В, Е и Е так, как указано на рисунке 1.3

Учитывая, что орисфера каждой вершины обладает евклидовой геометрией имеем следующие равенства:

Л + В + С + В = 2тг, /1 + С + Е + F = 2тг,

В + й + Е+Р = 2п.

Откуда

С = тг - Л, £> -= тг - Я, F = тг - Я. 20

Рис. 1.3: Идеальный симметричный октаэдр Из последних равенств, в частности, заключаем, что

А, В, С, Д Е, Ее (0, тг).

Объем октаэдра О определяется следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 1.2.1. Объем V гиперболического идеального симметричного октаэдра О с двугранным,и углами Л, Д С, Д Е и Е равен:

у{0) = 2 (АС + А+2В + Е) + +

где 0 < /4, В, С, D,£;,F < 7г. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Соединим верхнюю и нижнюю вершины октаэдра О, изображенного на рисунке 1.3 бесконечной геодезической прямой,тогда октаэдр О разделяется на четыре идеальных тетраэдра с общим ребром.

Рис, 1.4: Идеальные тетраэдры с общим ребром

Следуя [28], рассмотрим проекцию полученных тетраэдров наорисфе-ру с центром в вершине октаэдра (см. рис. 1.4). Тогда общее ребро этих тетраэдров будут проектироваться в точку О, а ребра с диэдральными углами А,В,С, D, в точки А, В, С, Т>. соответственно.

Поскольку диэдральные углы при противоположных ребрах идеального тетраэдра О равны, мы знаем значения углов Е, F, Е, F в евклидовом четырехугольнике А, В, С, V. Обозначим углы в четырехугольнике так, как показано на рисунке 1.5.

По теореме синусов мы имеем:

sin .г _ OV sin у _ О А sinI' ~~ ~ОХ sin х' ~~ ОВ'

А

Рис. 1.5: Евклидов четырехугольник Л, В, С, Т>

sin z _ OB sin t _ ОС sin у' ~ ОС' sin _ ÖV'

Перемножая уравнения мы получим:

sin ж sin у sin 2 sin ¿ ^

siní' sin ж' sin y' sin z'

_OV OA OB ОС _ — ОЛ ~OB ~oc ÖV ~~ '

Из четырех треугольников па рие. 1.5 мы имеем: ж + £' + F = тг, у + X + Е = тг, 2 + у' + F = 7г, t + z! + Е = тг, и

х + x = Л, у + у' = В, z + z' = C, t + t' = D.

Предположим, что ж известен, тогда найдем все остальные неизвестные углы через ж п диэдральные углы октаэдра О.

Учитывая, что С = тг — A, D = тг — В и F = тг — Е, имеем

ж = х, х! = Л — ж, у — тг — ж' — Е = 7т + ж — Л — Е,

у = В - у = -ir - х + А + В + Е, z = тг + ж - А- В, z = —х + В,

t = 7Г + X - В - Е, i! = -Х- + Е.

Из основного уравнения (1) для х = —и мы получим:

sin и sin(i4 + В + и) sin(/l + Е + и) sin (В + Е + и) sin(yl + и) sin (Б + u) sin(£ + и) s\n(A + В + Е + и) ~

Последнее уравнение эквивалентно следующему:

(cos(t4 + В) - cos(/l + В + 2 ц)) (eos (Л - В) - eos (А + В + 2Е + 2ц)) _ (со s(A - В) -"cos(i4 + В + 2u))(cos(/i + В) - eos {А + В + 2Е -f 2 и)) ~

из которого непосредственно получим, что

eos(.4 + В + 2и) - cos(/l + В + 2Е + 2и) = О,

или

2 sin Е sin (Л + В + Е + 2и) — 0. Поскольку sin i? ф 0, возвращаясь к переменной х, мы имеем:

sm{A + В + Е - 2х) = 0.

Следовательно.

2х = А + В + Е + кп,

7Г

где к некоторое целое число. Заметим, что для А = В — Е = — мы имеем х = —. Это случай правильного идеального октаэдра. Следовательно, к = — 1 и

А + В + Е - тг

ж =-.

2

Октаэдр состоит из двух конгруэнтных идеальных тетраэдров со следующими углами:

А+В + Е- тг , -А-В + Е- тг ^ ж =---, t =---, F = тг - Е,

и двух конгруэнтных идеальных тетраэдров со следующими углами:

, А-В-Е + тг -А + В - Е + 1т „ х =---, у =--- и Е.

Результат следует из теоремы 1.1.1 и равенства Л(7г — Е) + А{Е) = 0.

7г

D = Е — F = — и 2

Сформулируем полученное следствие из доказанной теоремы.

Следствие 1.2.1. Максимальный объем V идеального симметричного октаэдра достигается при А = В = С равен:

У (О) = 4А « 3.66386 ....

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Найдем объем V — У (О) по теореме 1.2.1. Вычисляя производную функции У по А, имеем:

Yi =

log log

log

2 sin

7г + a + в + e

2 sin

7г

A-B-E

?

+ bg

+ log

2 sin

7Г- A- B + E

2 sin

7г

-A + B-E

TT-A-B + E 7г -A + B-E 2 sin-sin---

= log

ТГ + А + B + E 7г + A - В - E

2 sin-sin-

2 2

cos {-B + E) — cos(tt — A) cos (В + E) - cos(tt + A) cos (В - E) + cos Л

cos (B + E) + cos/1

Из равенства У'А = log

cos (В — E) + cos Л

0 следует, что либо

cos (Б + Е)+ cos Л cos {В - Е) =cos (В + Е), либо cos(5 — JS) + cos(Z? + Е) + 2 cos Л = 0.

В первом случае мы имеем sin В sin Е = 0. что невозможно, поскольку

Л, В е (0,тг).

Во втором случае приходим к равенству cos В cos Е + cos Л = 0. Аналогично, из уравнений У'в — 0 имеем равенство cos Л cos Е + cos В = 0 и Уд = cos Л cos В + cos Е1 = 0.

Полагая х — cos Л, у = cos В и z = cos Е, получим следующую систе-

му уравнений:

х = -у z, у = -х z, z — -ху. Поскольку г = —ху, имеем:

cos В cos Е + cos А = yz + х = -ху2 + х = ,г(1 - у2) = О

и

cos A cos Е + cos В — xz + у = —х2у + у = у(1 — х2) = 0.

Так как 1 - х2 = 1 - cos2 А = sin2 Л ф 0, 1 - у1 = 1 - cos2 В = sin2 В ф 0, то х = 0 и у = 0. Следовательно, и z = —ху = 0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Байгонакова, Галия Аманболдыновна, 2013 год

Литература

|1] Абросимов, Н. В. Вычисление объемов сферического октаэдра / Н. В. Абросимов // Сибирские электронные математические известия. - 2009. Т. 6. С. 211-218.

[2| Абросимов. Н. В. Об объеме; сферического октаэдра с симметрия-ми / Н. В. Абросимов, М. Годой Молипа, А. Д. Медных // Соврем, мат. и ее прил. 2008. Т. 00. С. 3-12.

[3] Випберг, Э. Б. Геометрия 2. Современные проблемы математики / Э. Б. Випберг - М.: ВИНИТИ (Итоги пауки и техники), 1988. Т. 29. С. 1-146.

[4] Бердон, А. Геометрия дискретных групп / А. Бердон М.: Наука, 1980. - С. 302.

[5] Гайфуллин, А. А. Вычисление характеристических классов многообразия по его триангуляции /' А. А. Гайфуллин // УМЫ. - 2005. -Т. 04, № 4. С. 37-66.

[6] Галиулип, Р. В. Некоторые приложения формулы для объема октаэдра / Р. В. Галиулин, С. Н. Михалев. И. X. Сабитов // Мат. заметки. 2004. Т. 76, № 1. - С. 27-43.

[7] Деревнин, Д. А. О формуле объема гиперболического тетраэдра / Д. А. Деревнин, А. Д. Медных // Успехи мат. наук. 2005. - Т. 60, № 2. - С. 159-160.

[8| Деревнип, Д. А. Объем симметричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах / Д. А. Деревпин, А. Д. Медных, М. Г. Пашкевич // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 5. -С. 1022-1031.

[9] Петров, Ф. В. Вписанные четырехугольники и трапеции в абсолютной геометрии / Ф. А. Петров // Матеметическое просвещение. Третья серия. Вып. 13. 2009. С. 149-154.

¡10] Понарпи, Я. П. Элементарная геометрия. Т.1. Планиметрия / Я. П. Попарна. М.: МЦНМО. 2004. С. 312.

[11] Сабитов, И. X. Объем многогранника как функция длин его ребер / И. X. Сабитов // Фундамент, и прикл. мат. 1996. Т. 2, № 4. -С. 305-307.

[12] Соколова, Д. Ю. О площади трапеции на плоскости Лобачевского / Д. 10. Соколова /, Сиб. электрон, матем. изв. 2012. Т. 9. С. 25G-2G0.

[13| Bezdek, К. Ein elementarer Beweis für die isoperimetrische Ungleichung in der euklidischen und hyperbolischen Ebene / K. Bezdek // Ann. Univ. Sei. Buclap. Rolando Eötvös, Sect. Math. 1084. - V. 27 P. 107112.

[14] Bilinski, S. Zur Begründung der elementaren Inhaltslehre in der hyperbolischen Ebene / S. Bilinski // Math. Ann. 1969. - P. 256268.

[15] Bretschneider, С. A. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes / С. A. Bretschneider / / Arch. Math. -1842. Bd. 2. S. 225-261.

[16] Cho, Yu. On the volume formula for hyperbolic tetrahedra / Yu. Clio, Ii. Kim // Disc, and Comp. Geometry. - 1999. V. 22. P. 347-366.

[17] Derevnin, D. A. On the volume of spherical Lambert cube / D. A. Derevnin, A. D. Mednykh // Mat. Zametki. 2009. - V. 86, № 2. P. 190-201.

[18] Gaifullin, A. A. Sabitov polinomials for polyhedra in four dimensions / A. A. Gaifullin // arXiv: 1108.G014vl [math.MG]. 2011.

[19| Kellerhals, R. On the volume of hyperbolic polyhedra / R. Kellerhals // Math. Ann. 1989. V. 285. P. 541-569.

[20] Kneser, H. Der Simplexinhalt in der nichteuklidischen Geometrie / H. Kneser // Deutsche Math. 1936. - V. 1. - P. 337-340.

[21| Lienhard. W. Cyclic polygons in non-Euclidean geometry / W. Lienhard // Elem. math. 2011. V. 66, №. 2. - P. 74-82.

[22j Lobachevsky, N. I. Imaginäre Geometrie und ihre Anwendung auf einige Integrale / N. I. Lobachevsky // Deutsche Ubersetzung von H. Liebmarm. Leipzig: Teubner. 1904.

[23] Mednykh, A. D. Brahmahupta formula for cyclic quadrilaterals in the hyperbolic plane / A. D. Mednykh // Sib. Electron. Math. Reports. 2012. - V. 9. P. 247-255.

[24] Mednykh, A. D. On the volume of hyperbolic Whitehead link cone-manifolds y A. D. Mednykh, A. Ya. Vesnin 7 SCIENTIA, Series A: Mathematical Sciences. 2002. V. 8. - P. 1-11.

[25| Mednykh, A. D. On hyperbolic polyhedra arising as convex cores of quasi-Fuchsian punctured torus groups / A. D. Mednykh, J. Parker,

A. Yu. Vesnin // Bol. Soc. Mat. Mexicana. 2004. V. 10, № 3. P. 357-381.

[26] Milnor, J. W. How to compute volume in hyperbolic space / ,1. W. Milnor // In: Collected Papers. V. 1. Geometry (Publish or Perish). 1994. P. 189-212.

[27] Milnor, J. W. Hyperbolic geometry: the first 150 years / J. W. Milnor // Bull. Amor. Math. Soc. 1982. V. G, № 1. P. 9-24.

[28] Mohanty. Ya. Z. Hyperbolic polyhcdra: volume and scissors congruence Ph. D. in Mathematics, UCSD. 2002. P. 123.

]29] Murakami, J. On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron / J. Murakami, M. Yano // Comm. Anal. Gcom. 2005. V. 13. P. 379200.

|30] M'Clelland, W. J. A treatise on spherical trigonometry with application to spherical geometry and numerous examples. P. II / W. J. M'Clelland, T. A. Preston // London: Macmillian and Co. 1886. P. 400.

[31] Schläfli, L. On the multiple integral J J ... f dxdy...dz whose limits are Pi = ci]X+biy+...+hiz > 0,p2 > 0, ...,pn > 0 and x2+y2 + ...+z2 < 1 / L. Schläfli 11 Quart. J. Math. 1858. V. 2. C. 269- 300; 1860. V. 3. C. 54 68; 97-108.

[32] Schläfli, L. Theorie der vielfachen Kontinuität / L. Schläfli // Gesammelte mathemafishe Abhandlungen. Basel: Birkhäuser. 1950.

133] Thurston, W. P. The Geometry and Topology of three-manifolds / W. P. Thurston // Mathem. Seien. Research Institute. 2002. - P. 379.

[34] Ushijima, A. Volume formula for generalized hyperbolic tctrahedra / A. Ushijima // In: Non-Euclidean Geometries. Math, and Its Appl. -2006. - V. 581. - P. 249-265.

[351 Valentine, J. E. An Analogue of Ptolemy's Theorem in Spherical Geometry / J. E. Valentine // Amer. Math. Monthly. - 1970. V. 77, № 1. P. 47-51.

[36] Vinbcrg, E. 13. Geometry II / E. B. Vinberg // New York: SpringerVerl. 1993.

[37] Walter, R. Polygons in hyperbolic geometry 2: Maximality of area / R. Walter // arXiv:1008.3821vl [math.MG]. 2010.

[38] Байгонакова, Г. А. О формуле Милнора для объема гиперболического октаэдра / Г. А. Байгонакова, А. Д. Медных // Мит. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, № 2. С. 3-9.

[39] Байгонакова, Г. А. О геометрических свойствах гиперболического октаэдра, обладающего mmm-симметрией / Г. А. Байгонакова, А. Д. Медных, М. Годой Молипа // Вестник КемГУ. 2011. - Т. 47, № 3/1 - С. 9-14.

[40| Байгонакова. Г. А. О формуле Бретшнайдера для сферического четырехугольника / Г. А. Байгонакова, А. Д. Медных // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, № 2. - С. 3-12.

[41) Байгонакова. Г. А. О формуле Бретшнайдера для гиперболического четырехугольника / Г. А. Байгонакова, А. Д. Медных // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, № 2. С. 12-20.

[42| Байгопакова, Г. А. Гиперболический октаэдр с ттт -симметрией / Г. А. Байгонакова, Н. В. Абросимов // Сибирские электронные математические известия. 2013. - Т.10. С. 123-140.

[43| Байгонакова, Г. А. Объем гиперболического тетраэдра с прямыми углами при вершине / Г. А. Байгонакова // Материалы школы конф. по геометрическому анализу (Горно-Алтайск, 19 25 августа 2010 г.). Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2010. С. 5-6.

[44] Байгопакова, Г. А. Об объеме; гиперболического тетраэдра с прямыми углами при вершине / Г. А. Байгонакова // Сборник научных трудов кафедры математического анализа № 2. Горно-Алтайск: РИО ГАГУ. 2010. - С. 12-17.

[45] Байгонакова. Г. А. Об объеме идеального симметрического октаэдра / Г. А. Байгонакова, А. Д. Медных // Сборник трудов кафедры математического анализа № 3. Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2010. -С. 57-62.

[46] Байгонакова, Г. А. Вычисление объема идеального симметричного октаэдра / Г. А. Байгопакова // Материалы ХЫХ межд. науч. студ. конф.: Математика (Новосибирск. 16 20 апреля 2011 г.). Новосибирск: изд. Новосиб. гос. ун-та, 2011. С. 73.

[47] Байгонакова, Г. А. Вычисление объема тшшм-симметричного октаэдра в гиперболическом пространстве / Г. А. Байгонакова, А. Д. Медных, М. Годой Молина // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского / Казанское математическое общество. Теория функции, ее приложения и смежные вопросы // Материалы Десятой межд. Казанской летней науч. школы-конф. (Казань, 1 - 7 июля 2011 г.). - Казань: изд. Казанского математического

общества, изд. Казанского государственного университета, 2011. Т. 43. С. 29-31.

[48] Байгонакова, Г. А. Объем симметричного октаэдра в Я3 / Г. А. Байгонакова // Материалы школы конф. по геометрическому анализу (13 19 август, 2011 г.). - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2011. - С. 1213.

[49] Байгонакова, Г. А. Объем идеального октаэдра в гиперборлическом пространстве / Г. А. Байгонакова // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского / Материалы десятой молодежной науч. школы-конф. «Лобачевские чтения» — 2011 (Казань, 31 октября - 4 ноября 2011 г.). Казань: изд. Казанского математического общества, 2011. Т.44. - С. 86-87.

|50] Байгонакова, Г. А. Вычисление объема ттт - симметричного октаэдра в простейшей геометрической ситуации / Г. А. Байгонакова // 50-я юбилейная Межд. науч. студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 13 - 19 апреля 2012 г.). - Новосибирск: изд. Новосиб. гос. ун-та, 2012. С. 73-75.

[51| Байгонакова, Г. А. Площадь трапеции в сферической геометрии / Г. А. Байгонакова, Д. Ю. Соколова // Материалы школы конф. по геометрическому анализу (Горно-Алтайск, 11 - 19 августа, 2012 г.). Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2012. С. 12-13.

[52] Байгонакова, Г. А. О формуле Бретшнайдера в гиперболическом и сферическом случаях / Г. А. Байгонакова /'/ Сборник научных статей международной школы-семинара «Ломоносовские чтения на Алтае» (Барнаул, 20 23 ноября, 2012 г.). - Барнаул: АлтГПА, 2012. 4.1. С. 248-252.