О регулярности граничной точки и внутренней гельдеровости решений квазилинейных эллиптических уравнений с нестандартным условием роста тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Крашенинникова, Ольга Витальевна

• Крашенинникова, Ольга Витальевна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Крашенинникова, Ольга Витальевна

Введение

1. Вспомогательные результаты

§1. Плотность гладких функций в классах W(D) и W0(D)

§2. Сведения о классах W(D) и Жо^).

§3. Неравенства для функций из класса W{D).

§4. Разрешимость задачи Дирихле в классах W(D) и H(D)

§5. Разрешимость обобщенной задачи Дирихле.

2. Непрерывность по Гельдеру

§1. Локальная ограниченность решений.

§2. Доказательство гельдеровости решений

3. Регулярность граничной точки

§1. Емкость и емкостный потенциал.

§2. Неравенство Харнака слабого типа.

§3. Достаточное условие регулярности граничной точки

§4. Необходимое условие регулярности граничной точки

§5. Геометрические условия регулярности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О регулярности граничной точки и внутренней гельдеровости решений квазилинейных эллиптических уравнений с нестандартным условием роста»

В настоящей диссертации изучаются качественные свойства решений уравнения вида

Предполагается, что показатель р(х) измерим в ограниченной области D С IR", п > 2, и удовлетворяет условию

Основной целью работы является доказательство гельдеровости решений и критерия Винера регулярности граничной точки при подходящих требованиях относительно показателя суммируемости р(х).

Уравнение вида (0.1) является естественным обобщением уравнения р-Лапласа, для которого р(х) = const. Квазилинейные эллиптические уравнения типа р-Лапласа детально изучены. В частности, гельдеровость решений доказана в работах О.А. Ладыженской и Н.Н. Уральцевой [1], [2], а неравенство Харнака - в работах Дж. Серрина [3] и Н.С. Трудингера [4].

Критерий регулярности граничной точки для уравнения Лапласа доказан Н. Винером [5]. В работе В.Литтмана, Г.Стампаккья, Х.Ф. Вейнбергера [6] установлено, что этот критерий справедлив и для линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида с измеримыми коэффициентами. Достаточное условие

0-1)

1 < Pi < Р(х) < Р2 <

0.2) регулярности граничной точки и оценка модуля непрерывности решения вблизи границы для уравнения ^-Лапласа получены В.Г. Мазьей в [7]. В работе Р. Гариепи и В.Р. Зимера [8] эти результаты распространены на более общие уравнения такого же типа. Необходимое условие регулярности граничной точки, совпадающее с достаточным прир = 2, установлено И.В. Скрыпником в [9]. Критерий регулярности граничной точки для уравненияр-Лапласа доказан в работе Т. Килпе-лейнена, Дж. Мали [10] (частный случай см. в работе П. Линдквиста и О. Мартио [11]), где показано, что необходимое условие совпадает с уже известным достаточным.

Интерес к уравнениям с переменным показателем р{х) первоначально возник в связи с исследованиями В.В. Жиковым вариационных задач с интегрантом вида Позже уравнения такого вида встретились при изучении различных задач математической физики: задача о термисторе, нелинейная система Стокса и др.

Для определения понятия решения уравнения (0.1) введем класс функций сте с обобщенными производными первого порядка.

Если и Е W(D) и существует последовательность функций Uj Е W(D) с компактным носителем в D, удовлетворяющая равенству будем говорить, что и(х) принадлежит классу W0(D).

Определение 1. Функция и Е W{D) называется W-решением уравнения (0.1), если интегральное тождество

0.3) d

0.4) d выполнено на пробных функциях ф £ Wq(D).

Известно, насколько важную роль играет вопрос о плотности гладких функций в пространстве решений. В связи с этим введем следующее понятие.

Определение 2. Будем говорить, что последовательность Uj £ W(D) сходится в W(D) к функции и £ W(D), если Uj —> и в Li(D) и выполнено равенство (0.3).

Для класса Wq(D) сходимость естественно определить следующим образом.

Определение 3. Будем говорить, что последовательность Uj £ Wq(D) сходится в Wq(D) к функции и £ Wq{D)} если выполнено равенство (0.3).

Из результатов работы Жикова [12] следует, что одного только предположения (0.2) недостаточно для плотности гладких функций в классах W(D) и W0(D).

Если множество гладких функций не плотно в W(D), то можно определить классы

H(D) = {и : и £ W(D), 3uj £ C°°(D) П W{D), щ и в W(D)},

Hq(D) = {и-.ие W(D), 3Uj £ C0°°(D), щ и в W0{D)} и рассматривать другие решения уравнения (0.1).

Определение 4. Функция и £ H(D) называется Н-решением уравнения (0.1), если интегральное тождество (0.4) выполнено на пробных функциях гр £ Hq(D).

Введенные выше ^-решения и ^-уравнения (0.1) связаны с задачами Дирихле

Ьи = 0 в D, и £ W(D), h £ W(D)} (и - h) £ W0(D) (0.5) и

Lu = 0 в D, и G H(D), h G #(£>), {и - h) G H0(D) (0.6) соответственно.

Доказательство разрешимости задачи Дирихле (0.5) основано на исследовании вариационной задачи

Г lVdp(a) min F(w + h), F(u) = / ' Л dx, heW(D). (0.7) wewa(d) J p(x) d

Если измеримый в D показатель суммируемости удовлетворяет только условию (0.2), то возможна ситуация, когда min F(w + h) < inf F(w + h) w£w0(d) w£c™(d) даже в случае, когда область D совпадает с шаром, a h G C°°(D). Такого рода неравенства принято называть эффектом Лаврентьева, обнаружившим подобное свойство в работе [13] на примере одномерной вариационной задачи. Для рассматриваемых нами функционалов эффект Лаврентьева обнаружен и исследован в работах Жикова [12], [14], [15]. Если для решения вариационной задачи (0.7) не существует минимизирующей последовательности из C0°°(.D), то наряду с задачей (0.7) возникает задача inf F(w + h)= min F(w + h), h G H{D). (0.8) u>&c£°(d) w£ho(d)

Для областей с липшицевой границей однозначная разрешимость задач (0.7), (0.8) при выполнении одного только условия (0.2) относительно измеримого показателя суммируемости р(х) установлена в работах [14], [15]. Отметим, что если разрешимость задачи (0.7) следует из общих соображений выпуклого анализа, то с разрешимостью задачи (0.8) дело обстоит несколько иначе. Разрешимость этой задачи вытекает из теоремы 5.2 работы [14], но сама эта теорема неэлементарна, в частности, использует теорию двойственности. Нами в теореме 1.2 предложено элементарное исследование вариационных задач (0.7), (0.8) в произвольной ограниченной области D, основанное на доказательстве сходимости минимизирующих последовательностей в классах Wq(D) и Hq(D) соответственно.

Минимизант w(x) вариационной задачи (0.7) связан с решением и{х) задачи Дирихле (0.5) равенством w(x) = и{х) — h(x). Доказательство этого факта приводится в теореме 1.3 и основано на том (см. [14], [16]), что (0.1) есть уравнение Эйлера для вариационной задачи (0.7). Решение задачи Дирихле единственно.

Задача Дирихле (0.6) также однозначно разрешима (см. теорему 1.3): функция и(х) — ги(х) + h(x), где w(x) - минимизант вариационной задачи (0.8), служит решением задачи (0.6).

Введенные выше решения задач (0.5), (0.6) называются вариационными решениями. Уравнение (0.1) может иметь и слабые решения и{х) G W(D), для которых интегральное тождество выполнено на функциях <р(х) G H0(D).

В работе рассматривается и задача Дирихле для неоднородного уравнения

Lu = -dfi в D, и е Hq{D) (0.9) с мерой /и, удовлетворяющей условию:

Эг; G #(£>), ф dji

С J \\7у\р(х)-1\\7ф\(1х Уф G C0°°(D). (0.10) d d

Под решением понимается функция и G Hq(D), для которой

J |Vu|p^~2 Vw • Vip dx = Jlsdn V^G C£°{D). (0.1Г d d

Доказательство однозначной разрешимости задачи (0.9) приведено в теореме 1.4.

Вопрос об условии на показатель £>(ж), при выполнении которого множество гладких функций плотно в классах W(D) и Wq(D), долгое время оставался открытым. Исследования В.В. Жикова [12] в этом направлении привели к ограничению const р{х) - р(у) I < --— при х,у £ D, \х-у\< 1/2. (0.12) m т—1—т

F-2/I

Им показано [14], что при условиях (0.2) и (0.12), выполненных в липшио цевой области D, множество C£°(D) плотно в классе W(D)CI W^ (D): о для любой функции и е W(D)n W^ (D) существует последовательность Uj е Cq°(D), сходящаяся к и(х) в Wq(D), и условие (0.12) является точным для справедливости этого свойства. Для произвольной ограниченной области плотность множества C°°(D) П W(D) в W(D) установлена в лемме 1.2 настоящей работы. При этом для функций класса Wq(D) аппроксимирующая последовательность состоит из финитных бесконечно дифференцируемых в D функций и в интегральном тождестве (0.4) можно ограничиться пробными функциями ф £ C£°(D).

Работа В.В. Жикова [14], в которой было введено условие (0.12), стимулировала изучение качественных свойств решений уравнения (0.1). Фань Сяньлинь [17] и Ю.А. Алхутов [18] установили, что при условии (0.12) решения уравнения из класса

Wl0C(D) = {и : ME Wll0C(D), Е L1>loc(D)} , (0.13) понимаемые в смысле интегрального тождества (0.4) на пробных функциях ф Е W}oc{D) с компактным носителем в D, принадлежат пространству Ca(D) гельдеровых в D функций с показателем Гельдера а Е (0,1). Ранее аналогичный результат для гельдерова показателя р{х) был установлен в [19]. Точность условия (0.12) для справедливости этого факта вытекает из контрпримера, построенного в [14].

Гельдеровость решений изучена [18] и для кусочно непрерывного показателя р(х) в предположении, что область D разделена гиперплоскостью Е на две части, в каждой из которых р(х) удовлетворяет условию (0.12) и скачок р(х) при переходе через Е не обращается в нуль.

Отметим, что в этом случае гладкие функции также плотны в W(D) и Wq(D). Полученные в [18] результаты обобщают работу Ачерби и Фуско [20], где рассмотрено уравнение с кусочно постоянным показателем р(х).

В диссертации гельдеровость решений уравнения (0.1) изучается в фиксированной точке х0 £ D, в предположении, что в окрестности этой точки показатель р(х) удовлетворяет условию const 1 р(х)-р(х0)\ < ^ при \х~хо\<2' (°-14)

Поскольку на характер разрыва функции р(х) при х ф ж0 не накладывается никаких ограничений, то, вообще говоря, H(D') ф W(D') для любой подобласти D' СС D. В этой части работы рассматриваются решения из классов W\oc{D) (см. (0.13)) и Hi0C(D): функция и(х) принадлежит классу Hioc(D), если существует последовательность Uj(x) £ C°°(D), сходящаяся к и(х) в W(D') для любой подобласти D' области D. Такие решения, которые также будем называть W-решениями и Н-решениями, понимаются в смысле интегрального тождества (0.4) на соответствующих пробных функциях ф £ Wq(D) и ф £ Hq(D) с компактным носителем в D.

Теорема 1. Если р{х) удовлетворяет в фиксированной точке х0 £ D условию (O.lJf.), то оба решения (Н-решение и W-решение) уравнения (0.1) непрерывны по Гелъдеру в х0.

В работе изучаются и граничные свойства решения задачи Дирихле

Luf = 0BD, uf\dD = f (0.15) с непрерывной на dD функцией f(x) в предположении, что показатель суммируемости р(х) удовлетворяет условиям (0.2) и (0.12). Решение данной задачи, следуя [21], определим следующим образом. Продолжим граничную функцию / £ С (dD) по непрерывности на D, сохранив за продолжением то же обозначение, и возьмем последовательность бесконечно дифференцируемых в IRn функций fk{x), которые равномерно на D сходятся к f(x). Решим задачи Дирихле

В теореме 1.5 показано, что последовательность {ик} сходится равномерно на компактных подмножествах D к функции Uf Е Ca(D), которая принадлежит классу W[0C(D) и удовлетворяет уравнению (0.1). Предельная функция и/(х) не зависит от способа продолжения и аппроксимации граничной функции f(x) и называется обобщенным решением задачи Дирихле (0.15). При выводе существования и единственности обобщенного решения используется принцип максимума, формулировка и доказательство которого содержатся в §5 главы 1. Доказательство того, что функция uj(x) принадлежит классу W/oc(D) и удовлетворяет уравнению (0.1) основано на свойстве повышенной суммируемости градиента решения (см. [15], [16]). Локальное обобщение этого свойства установлено в лемме 1.11.

Определение 5. Граничная точка х0 Е dD называется регулярной, если для любой непрерывной на dD функции /.

Важную роль в граничных свойствах решений играет понятие емкости компакта. Прежде чем его ввести, предварительно продолжим р(х) на все lRn с сохранением свойств (0.2), (0.12) и обозначим через BR открытый шар радиуса R.

Определение 6. Пусть К С Br - компакт. Число

Luk = 0 в D, uk е W(D), (щ - fk) € Wo (D) ■

0.16) lim иf{x) = f(xо)

0.17) где нижняя грань берется по множеству функций р Е таких, что (р > 1 на К, называетсяр - емкостью К относительно шара BR.

В теореме 3.1 показано, что точная нижняя грань в (0.17) достигается на функции из класса H0(BR)1 которая называется емкостным потенциалом компакта К. Свойства емкостного потенциала приводятся в §1 главы 3.

Сформулируем полученные результаты, положив для х0 Е dD

Ро = р(*о), 7(t) = Cp{Bxt0\n,B%)t?°-n, (0.18) где В*° - шар с центром в х0.

Теорема 2. Для регулярности граничной точки xG Е dD необходимо и достаточно расходимости в нуле интеграла

J (7(t))1/(po~1)r1eft = оо. (0.19) о

Если^о > п, то емкость точки ж0 относительно шара удовлетворяет неравенству Ср({жо},В^) > C(n,p)tn~P0 и граничная точка х0 всегда регулярна.

В следующей теореме дается оценка модуля непрерывности решения в регулярной граничной точке. Ниже М — max f(x). x£dD

Теорема 3. Существуют положительные постоянные в и С, зависящие только от п, р и М, такие, что при р < ро{п,р) и г < /?/4 справедливо неравенство sup \uf(x) - f(x0)\ < С[ osc f + p + Dr\Br° \двпвхр° osc few (-9 J Г1 dt)^

0.20) если Pq < n, и неравенство sup |и fix)-fixo)|< osc f + C oscfir/p)1-^, (0.21) dnb. если po > n. xo dDnBp0 dD

Сформулируем достаточное условие гельдеровости решения в граничной точке.

Теорема 4. Если граничная функция /(х) удовлетворяет условию Гель-дера в точке Xq £ dD и внешность области D в окрестности xq содержит конус с вершиной в Xq, то решение Uf(x) непрерывно по Гельдеру в Xq.

Приведем геометрические условия регулярности граничной точки, которую будем считать совпадающей с началом координат О. Предположим, что внутренность дополнения области D в окрестности О совпадает с областью вида где g(t) - непрерывная, неубывающая функция, удовлетворяющая условию: существуют постоянные а > 1 и /3 > 0, такие, что при t £ [0, а] выполнены неравенства ta < g{t) < t, если р0 < п — 1, и неравенства ехр(—(3t~l) < g(t) < t, если р0 = п — 1.

Теорема 5. Для регулярности граничной точки О необходимо и достаточно расходимости в нуле интеграла если р^ = п — 1. Если п — 1 < < п, то граничная точка О регулярна.

0.22) гс-1-PQ 0 если ро < п — 1, и расходимости в нуле интеграла о

Отметим, что если g(t) > Ct) то область удовлетворяет условию внешнего конуса Пуанкаре и условие (0.19) выполнено при любом значении ро

Полученные результаты остается в силе и для решений уравнения г,] = 1 1 4 3/ с измеримой, симметрической и равномерно положительно определенной матрицей ||а^-(ж)||.

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2000), на конференции молодых ученых в МГУ (1999), на Международной школе по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2001), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава во Владимирском государственном педагогическом университете (1999-2003).

Многие вопросы, затрагиваемые в диссертации неоднократно обсуждались на научном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора В.В. Жикова во Владимирском государственном педагогическом университете.

В заключение автор выражает глубокую и искреннюю благодарность научному руководителю, профессору Юрию Александровичу Алхутову за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе и профессору Василию Васильевичу Жикову за обсуждение результатов и ценные советы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Крашенинникова, Ольга Витальевна, 2003 год

1. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Квазилинейные эллиптические уравнения и вариационные задачи со многими независимыми переменными // Успехи матем. наук. - 1961. - Т. 16, No 1. - С. 19-90.

2. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

3. Serrin J.B. Local behavior of solutions of quasilinear elliptic equations // Acta Math. 1964. - Vol. 111. - P. 247-302.

4. Trudinger N.S. On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1967. - Vol. 20. - P. 721-747.

5. Wiener N. Certain notions in potential theory // J. Math. Phys. 1924.- Vol. 3. P. 24-51.

6. Littman W., Stampacchia G., Weinberger H. F. Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa.- 1963. Vol. 17, No. 3. - P. 43-77.

7. Мазъя В. Г. О непрерывности в граничной точке решений квазилинейных эллиптических уравнений // Вестник Ленинградского Университета, сер. матем. 1970. - Т. 25, No 13. - С. 42-55.

8. Gariepy R., Ziemer W. P. A regularity condition at the boundary for solutions of quasilinear elliptic equations // Arch. Rational Mech. Anal. 1977. - V. 67. - R 25-39.

9. Скрыпник И. В. Критерий регулярности граничной точки для квазилинейных эллиптических уравнений // ДАН СССР. 1984. - Т. 274, No 5. - С. 1040-1050.

10. Kilpelainen Т., Maly J. The Wiener test and potential estimates for quasilinear elliptic equations // Acta Math. 1994. - V. 172. - P. 137-161.

11. Lindkvist P., Martio O. Two theorems of N. Wiener for solutions of quasilinear elliptic equations // Acta Math. 1985. - V. 155. - P. 153-171.

12. Жиков В. В. Усреднение функционалов вариационного исчисления и теории упругости // Изв. АН СССР, сер. матем. 1986. -Т. 50, No 4. - С. 675-711.

13. Lavrentieff М. Sur quelques problemes du calcul des variations j j Ann. Mat. Рига Appl. 1926. - V. 4. - P. 7-28.

14. Zhikov V. V. On Lavrentiev's Phenomenon // Russian Journal of Math. Physics. 1994. - V. 3, No 2. - P. 249-269.

15. Zhikov V. V. On some variational problems // Russian Journal of Math. Physics. 1996. - V. 5, No 1. - P. 105-116.

16. Zhikov V. V. Meyers type estimates for the solution of a nonlinear Stokes system // Diff. Eq. 1997. - V. 33, No 1. - P. 108-115.

17. Fan Xianling. A Class of De Giorgi Type and Holder Continuity of Minimizers of Variational with m(x)-Growth Condition // Lanzhou University, China. 1995.

18. Алхутов Ю.А. Неравенство Харнака и гельдеровость решений нелинейных эллиптических уравнений с нестандартным условием роста // Дифф. уравнения. 1997. - Т. 33, No 12. - С. 1651-1660.

19. Chiado Piat V., Coscia A. Holder continuity of minimiizers of functional with variable growth exponent. Manuscripta Math. 1997. - V. 93. - P. 283-299.

20. Acerbi E., Fusco N. A transmission problem in the calculus of variation // С ale. Var. 1994. - P. 1-16.

21. Кондратьев В.А., Ландис E.M. Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка // Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. 1988. - Т. 32. - С. 99 - 215.

22. Stampacchia G. Le probleme de Dirichlet pour les equations elliptiques du second ordre a coefficients discontinuous // Ann. Inst. Fourier. 1965. - V. 15. - P. 189-258.

23. Lindkvist P. On the equation div(\\7u\p~2 Vu) + X\u\p~2u = 0 // Proc. Amer. Math. Soc. 1990. - V. 109. - P. 157-164.

24. Gehring F. W. The LP integrability of the partial derivatives of a quasiconformal mapping // Acta Math. - 1973. - V. 130. - P. 265-277.

25. Giaquinta M., Modica G. Regularity results for some classes of higher order nonlinear elliptic systems // Journ. fur die reine und angewandte Math. 1979. - V. 311-312. P. - 145-169.

26. Schwartz L. Theorie des Distributions: Paris. 1950. - V. 1.

27. Heinonen J., Kilpelainen Т., Martio O. Nonlinear Potential Theory of Degenerate Elliptic Equations. Clarendon Press, 1993.

28. Мазья В.Г. Пространства Соболева. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

29. Кондратьев В.А. О разрешимости первой краевой задачи для сильно эллиптических уравнений // Труды Моск. мат. о-ва. 1967.- Т. 16. С. 209-292.Публикации автора по теме диссертации

30. Крашенинникова О.В. О непрерывности в точке решений эллиптических уравнений с нестандартным условием роста // Дифференциальные уравнения и динамические системы. Труды математического института им. В.А. Стеклова РАН. 2002. - Т. 236. - С. 204-212.