Некоторые классы положительно определённых функций и связанные с ними задачи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Манов Анатолий Дмитриевич

• Манов Анатолий Дмитриевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Манов Анатолий Дмитриевич

2.1.5 Примеры

2.1.6 Доказательство теоремы

2.1.7 Точные неравенства для тригонометрических полиномов

2.2 Положительная определённость комплексной кусочно-линейной функции

2.2.1 Формулировка результатов

2.2.2 Доказательство теоремы

2.2.3 Доказательство теоремы

2.2.4 Доказательство теоремы 2.2.3 и следствия

2.3 Положительная определённость кусочно-линейных функций с

равномерными узлами

2.3.1 Свойства множества Рп и его связь с задачей 5. Достаточные условия принадлежности Рп

2.3.2 Задача СпвШ^ и связанные с ней положительно опреде-

лённые функции

2.4 Задача о единственности продолжения положительно определённых функций с компактным носителем

2.4.1 Постановка задачи

2.4.2 Вспомогательные факты и утверждения

2.4.3 Доказательство предложения

2.4.4 Доказательство теоремы

2.4.5 Доказательство примера

2.4.6 Доказательство теоремы

2.5 Задача о линейной комбинации положительно определённых функций

2.5.1 Вспомогательные утверждения

2.5.2 Доказательство теоремы

2.5.3 Доказательство теорем 2.5.2 и

2.5.4 Примеры

2.5.5 Пример положительно определённой функции с компактным носителем, для которой С

ГЛАВА 3 Новое доказательство теоремы о структуре параметров в проблеме Куттнера-Голубова

3.1 Формулировка результатов

3.2 Функции Бернштейна и Пика

3.3 Вспомогательные утверждения

3.4 Доказательство теоремы

ГЛАВА 4 Принцип максимума для решений одной задачи Коши

и его связь с проблемой Шёнберга

4.1 Ведение. Формулировка результата

4.2 Вспомогательные факты и утверждения

4.3 Доказательство теоремы

Заключение

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые классы положительно определённых функций и связанные с ними задачи»

Введение

Актуальность темы. Понятие положительно определённых функций впервые появилось в работах Каратеодори, Тёплица, Герглотца, Ф. Рисса, Mathias. С тех пор класс положительно определённых функций нашёл широкое применение в различных областях математики. Из областей применения, прежде всего стоит отметить следующие: 1) гармонический анализ, где положительно определённые функции играют фундаментальную роль в построении анализа Фурье на локально компактных абелевых группах (см., например, [89, 95]); 2) теорию вероятностей, где положительно определённые функции встречаются, как характеристические функции случайных величин, корреляционные функции стационарных случайных процессов (см. [29, 44, 46, 73, 93]). Отметим также, что положительно определённые функции естественно возникают в теории функций, теории моментов, теории операторов, теории изометрических вложений (см. [102]), а экстремальные задачи (Турана, Дельсарта) для положительно определённых функций имеют приложения в теории чисел и комбинаторной геометрии (см. [11, 88]).

В данной диссертационной работе изучаются различные классы положительно определённых функций, которые находят свое применение, например, в теории аппроксимации: неотрицательные методы суммирования рядов и интегралов Фурье, точные неравенства типа Бернштейна для тригонометрических полиномов, задачи интерполяции.

Также в работе рассматривается задача Куттнера-Голубова, которая связана с обобщенными средними Рисса рядов и интегралов Фурье.

Кроме того, в диссертационной работе изучаются положительно определённые функции, связанные с проблемой Шёнберга и имеющие приложения в теории уравнений в частных производных.

Связь работы с научными планами, программами. Работа выполнялась согласно планам научных тем "Гармонический анализ, интегральная геометрия, уравнения свертки и дифференциальные уравнения" (15-1вв/19),

"Актуальные проблемы гармонического анализа, интегральной геометрии и теории уравнений обобщенной свертки" (18-1вв/19), научной работы №111-2-17 "Актуальные проблемы теории функций и гармонического анализа" Государственный регистрационный №01170000127.

Цели и задачи работы. Целями данного диссертационного исследования являются изучение различных семейств положительно определённых функций, нахождение нового доказательства теоремы В. П. Заставного о взаимосвязи параметров в задаче Куттнера-Голубова при более слабых условиях, а также нахождение принципа максимума для задачи Коши, которая является обобщением задачи Коши для уравнения теплопроводности с оператором Лапласа дробной степени.

Для достижения поставленных выше целей необходимо решить следующие задачи: разработать новые методы исследования на положительную определённость функций специального вида, разработать новый метод доказательства теоремы Заставного о взаимосвязи параметров в задаче Куттнера-Голубова.

Объектом исследования являются семейства положительно определённых функций, семейства вполне монотонных функций.

Предметом исследования являются необходимые и достаточные условия положительной определенности, достаточные условия положительной определенности, принцип максимума задачи Коши.

Методы исследования. В работе используются методы гармонического анализа, интегральных преобразований, теории функций.

Научная новизна полученных результатов. Все результаты выносимые на защиту являются новыми.

В частности, отметим, что полученное новое доказательство теоремы В. П. Заставного о взаимосвязи параметров в задаче Куттнера-Голубова существенно отличается от оригинального доказательства В. П. Заставного. В новом доказательстве не используются результаты Куттнера о неотрицательности некоторых интегральных операторов. Упомянутые результаты Куттне-

ра не были сформулированы в его работах явно. Приведённое в диссертации доказательство опирается на результаты Bhatia и Jain, полученные недавно.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы относятся к области фундаментальных исследований. Они носят теоретический характер и могут быть использованы при решении различных задач, которые связаны с положительно определёнными ядрами.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Полное описание двух специальных классов финитных кусочно-линейных положительно определённых функций, а также связанных с ними вполне монотонных функций.

2. Новые достаточные условия положительной определённости.

3. Новые точные неравенства типа Бернштейна для тригонометрических многочленов.

4. Необходимые и достаточные условия единственности продолжения функции 1 — |ж|, |ж| ^ а, а £ (0,1) до положительно определённой с носителем в [—1,1].

5. Новое доказательство теоремы Заставного о структуре параметров в проблеме Куттнера-Голубова.

6. Принцип максимума для решений задачи Коши, которая является обобщением задачи Коши для уравнения теплопроводности с дробным оператором Лапласа.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты диссертационного исследования докладывались на следующих конференциях: международная научная конференция "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения VII" (Ростов-на-Дону, 2017), международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2018" (Москва, 2018), международная научная конференция "Донецкие чтения 2018: образование, наука, инновации, культура и вызовы современности" (Донецк, 2018), международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2019" (Москва, 2019).

Также результаты диссертационной работы докладывались на научном семинаре "Гармонический анализ и теория приближений функций" в Донецком национальном университете (руководитель профессор В. П. Заставный) в 2015-2019 годах, на научном семинаре по функциональным пространствам в Российском университете дружбы народов (руководители профессор В. И. Бу-ренков, профессор М. Л. Гольдман) в 2019 году, на научном семинаре по спектральной теории в Российском университете дружбы народов (руководитель профессор М. М. Маламуд) в 2019 году.

Публикации и личный вклад автора. Основные результаты работы опубликованы в 9 статьях [18], [19], [30], [31], [32], [33], [34], [80], [81] и 7 тезисах конференций [20], [35]-[40].

5 научных статей [18], [19], [34], [80] и [81] опубликованы в журналах, которые входят в международную наукометрическую базу данных Scopus.

2 научные статьи [30], [32] индексированы в РИНЦ.

2 научных статьи [31] и [33] опубликованы в журнале, рекомендованном ВАК ДНР.

Работы [18], [19], [80] опубликованы в соавторстве.

В работе [18] автору диссертации принадлежат Лемма 4 и Лемма 6. Из работы [18] в диссертационную работу включены только те результаты, которые получены лично автором диссертации.

В работе [19] автору диссертации принадлежат Теорема 2 и Теорема 3. Из работы [19] в диссертационную работу помимо результатов автора диссертации также включены Теорема 4 и Следствие 1, которые являются следствием Теорем 2 и 3.

Из работы работы [80] в диссертационную работу включены только те результаты, которые получены лично автором диссертации, а именно Лемма 1.

Постановка задач и указание методов исследования принадлежат В. П. Заставному.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, перечная условных сокращений и списка

цитированной литературы.

В первой главе содержится обзор литературы по теме диссертации. В начале данной главы приведены основные определения и вспомогательные утверждения, используемые на протяжении всей диссертационной работы, а также необходимые для дальнейшего обзора литературы.

Вторая глава состоит из 5 разделов. В разделах 2.1, 2.2, 2.5 рассматриваются обобщения задачи Р. М. Тригуба о положительной определённости кусочно-линейной функции (точную формулировку см. ниже). В разделе 2.3 рассматриваются положительно определённые кусочно-линейные функции с равномерными узлами. В разделе 2.4 рассматривается задача о единственности продолжения одной функции до положительно определённой.

В третьей главе рассматривается проблема Куттнера-Голубова.

В четвёртой главе рассматривается задача Коши, которая является обобщением задачи Коши для уравнения теплопроводности с оператором Лапласа дробной степени.

Объем работы составляет 130 страниц, библиография - 107 источников.

ГЛАВА 1

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Положительно определённым функциям посвящено много литературы. Приведём основную. Из монографий отметим следующие: Bisgaard, Sasvari [54], Sasvari [95], [93], Berg, Christensen, Ressel [51], Лукач [29], Рамачандран [44], Kawata [73], Ushakov [101]. Отметим также обзоры Е. А. Горина [12] и Stewart [98].

Определение 1.0.1. Пусть G абелева группа. Комплекснозначная функция f : G ^ C называется положительно определенной на группе G (f £ Ф(С)), если для любого натурального числа п £ N, и для любых элементов С

G, а также для любого набора комплексных чисел {q}^=1 С C имеет место неравенство

п

^ c^f (хг — х3) ^ 0. (1.0.1)

«j=1

Замечание 1.0.1. Из определения положительно определённых функций следует, что положительная определённость функции f : G ^ C равносильна положительной определённости матрицы {f(xi — Xj )}7ij=1 для любого п £ N и любого набора точек {xi}'4=1 С G.

Приведём некоторые свойства функций из Ф(С). Пусть f, fn £ Ф(С). Тогда:

1) А1/1 + Л2/2, /, Re f, /1 /2 £ Ф(С), где Хк > 0;

2) Ц(x)l ^ f (0), Т(—х) = f (х), х £ G;

3) |/(х) — f (у)2 ^ 2/(0) Re(f (0) — f (х — у)), х,у £ G; (неравенство Крейна)

4) U(0)f(х + у) — f(x)f(y)l2 ^ (f(0)2 — Ц(x)l2)(f(0)2 — lf(y)l2), x,y £ G. (неравенство А. Вейля)

Доказательство утверждений 1) - 4) можно найти, например, в [95, 93, 54].

Замечание 1.0.2. Пусть f £ Ф(С). Из неравенства А. Вейля вытекает, что если |/(жо)| = f (0) для некоторой точки х0 £ G, то выполняется равенство:

f (0)f (х + Жо) = f (x)f (хо), X £ G.

Это утверждение также вытекает из теореме Бохнера (см., например, [12]). Пусть С локально компактная абелева группа. Символом С обозна-

Т := {г £ С : | = 1}. Группа С называется двойственной к С. Группа С вместе с топологией равномерной сходимости на компактах является локально компактной. Положим также (х,^) := 7(х), х £ С, 7 £ С.

Следующая теорема является обобщением теоремы Бохнера-Хинчина и была доказана Повзнером, А. Вейлем и Райковым в 1940 году, независимо.

Теорема 1.0.1. Пусть С - локально компактная абелева группа. Тогда функция / £ Ф(С) П С (С) тогда и только тогда, когда существует конечная неотрицательная регулярная борелевская мера V на С такая, что

Доказательство теоремы 1.0.1 можно посмотреть в [89, 48, 95, 93]. Из теоремы 1.0.1 можно получить следующие необходимые и достаточные условия положительной определенности для непрерывных, интегрируемых функций (см. [95, Theorem 1.9.8, Theorem 1.9.12], [93]).

Следствие 1.0.1. Если f £ С(G) П Ll(G), то f £ Ф(С) ^ /(7) ^ 0, 7 £ G, где

В случае С = теорема была доказана независимо Бохнером и Хинчином (при п = 1) в 1932 году.

Теорема 1.0.2 (Бохнер-Хинчин). / £ Ф(КП) П С(Кп) тогда и только тогда, когда существует конечная неотрицательная борелевская мера V на такая, что

чим группу всех непрерывных гомоморфизмов 7 : G ^ T, где

f (х) = J (х^)dv(7), ж £ G.

G

G

Следствие 1.0.2. Если f е С(Мп) П L1(Rn), то f е Ф(МП) тогда и только тогда, когда

f(t) := у e-l(t,x)f (x)dx ^ 0, t е Мп. (1.0.2)

м™

В этом случае f е L1(Mn).

Часто возникает вопрос о том, является ли та или иная функция положительно определённой. Теорема Бохнера даёт критерий положительной определённости. Однако, воспользоваться теоремой Бохнера или её следствием для решения этого вопроса не всегда представляется возможным. Поэтому представляют интерес различные достаточные условия положительной определённости. Приведём наиболее известную теорему такого рода.

Теорема 1.0.3 (Пойа). Пусть f : М ^ М непрерывная чётная функция. Кроме того, пусть f выпукла при х > 0 и lim f (х) = 0. Тогда f е Ф(М) и справедливо интегральное представление

f (х) = j (1 -\xy\)+du(у), X е М, 0

где v неотрицательная, конечная, борелевская мера на [0, +ж).

Доказательство можно найти, например, в [29, Теорема 4.3.1], [93, Theorem 3.9.11].

С классом положительно определённых функций тесно связан класс вполне монотонных функций на (0, +ж).

Определение 1.0.2. Функция f : (0, +ж) ^ М называется вполне монотонной на (0, +ж) (f е СМ), если f е Сж(0, +ж) и для всех п е Z+ и всех х > 0 имеет место неравенство

(-1)nf (п)(х) ^ 0. (1.0.3)

Основные сведения о вполне монотонных функциях можно найти в монографиях Уиддер [103], R. L. Shilling, R. Song, Z. Vondracek [91] и Феллер [46]. Отметим также обзорные статьи [74],[82],[83] и [53].

Следующая теорема показывает, что по существу, вполне монотонные функции являются преобразованиями Лапласа неотрицательных мер. Доказательство можно найти в перечисленных выше монографиях (см. также статью

Теорема 1.0.4 (Хаусдорф-Бернштейн-Уиддер). Функция / £ СМ тогда и только тогда, когда / является преобразованием Лапласа неотрицательной борелевской меры V на [0, +ж), то есть

где неотрицательная борелевская мера V такая, что интеграл (1.0.4) сходится при всех х > 0. При этом мера V является конечной тогда и только тогда, когда /(+0) < причем V([0, = /(+0).

Из теоремы 1.0.4 следует, что любая функция / £ СМ имеет аналитическое продолжение в полуплоскость {г £ С : Ие ^ > 0}.

1.1 Обзор литературы к главе 2

Одной из задач теории положительно определённых функций является описание различных классов положительно определённых функций. В данной диссертационной работе рассматриваются семейства положительно определённых функций, связанные с развитием задачи Р. М. Тригуба, которая формулируется следующим образом: для заданных а £ (0,1) и К £ К определим чётную функцию следующим образом: /а,и(х) = 0 при х £ [1, +ж), а на отрезках [0,а] и [а, 1] функция /а,и(х) является линейной и /а,н(0) = 1, /«^(а) = К, /«,^(1) = 0. Для каждого а £ (0,1) требуется найти множество всех К £ К, при которых функция является положительно определённой на К.

Решение данной задачи получено Заставным и автором диссертации в [80]. В [80] доказано, что функция является положительно определённой на К ^^ т(а) ^ К ^ 1 — а, где т(а) = 0, если 1/а £ М, и т(а) = —а, если

[24]).

ОО

(1.0.4)

о

1/а £ N.

Функция fa,h представляет из себя сплайн, который на отрезке [0,1] "склеен" из двух многочленов первой степени. Финитные положительно определённые функции являющиеся вещественными алгебраическими многочленами на отрезке [0,1] были изучены В. П. Заставным и Р. М. Тригубом в [14] (см. также [17]).

Положительно определённые функции подобного вида можно использовать для получения различных достаточных условий положительной определённости (см., например, [65]).

Кроме того, хорошо известна связь между положительно определёнными функциями и точными неравенствами для тригонометрических полиномов и целых функций. Например, классическое неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов связано с положительной определенностью функции (1 — |ж|)+, х G R. Данной теме посвящены работы [27, 13, 107], [56, Chapter 11] и другие.

Близким к вышеуказанным классам функций является класс кусочно-линейных функций с равномерно расположенными узлами, для которого имеет место следующая теорема (см. [46, Задача 15, Гл. XIX], [95, Exercise 1.10.25], [68]). Пусть f кусочно-линейная функция с узлами в целых точках. Тогда f G Ф(К) ^^ f G Ф(Ж). Подобного рода теоремы имеют различные применения (см., например, [4]). В частности, они позволяют переносить некоторые свойства функций класса Ф(Ж) на функции класса Ф(К) (см. [90, Theorem 2.3]).

Другой задачей теории положительно определённых функций является задача о продолжении функции до положительно определённой. В 1940 году М. Г. Крейн в статье [25] доказал, что функция f G С (—а, а), а > 0 имеет положительно определённое продолжение на всю числовую ось R тогда и только тогда, когда f положительно определена на интервале (—а, а), то есть неравенство (1.0.1) выполняется для любых х\,... ,хп G (—а/2,а/2). Кроме того, в [25] М. Г. Крейном нашёл необходимые и достаточные условия единственности такого продолжения, в случае его существования. В частности, он доказал,

что функция 1 — |ж|, 1x1 < а имеет положительно определённое продолжение на всю числовую ось тогда и только тогда, когда 0 < а ^ 2 и продолжение единственно лишь в случае а = 2.

Отметим, что первый пример двух различных функций /, д £ Ф(К) П С (К), совпадающих в окрестности нуля был указан Б. В. Гнеденко ещё в 1937 году в [9].

Пример 1.1.1 (Гнеденко).

„ \ /1 — 3Ы +2|Ж|3, Ж £ [—1, 1], д(Х)= /(Ж), Ж £ [ —1, 1]

/ (Х) = \

[0, 1x1 > 1, 9(х + 2) = 9(x), X £ М.

Достаточные условия для продолжения функции заданной вне интервала (—а, а) до положительно определённой на всей числовой оси К были получены В. П. Заставным и Р. М. Тригубом в работе [14] (см. также [106]). Кроме того, отметим статьи Ког^аэ [86, 85] в которых рассматривается задача о единственности продолжения положительно определённых функций с внешности интервала (—а, а), при фиксированном значении в нуле. Смежные вопросы также были рассмотрены СпеШп§ в статье [67]. Более подробную информацию о задачах, связанных с продолжением положительно определённых функций можно найти в обзорной статье Бавуап [94].

1.2 Обзор литературы к главе 3

Пусть Е - линейное пространство над К и р однородная функция на Е такая что, р(х) ^ 0, х £ Е и р(х) ф 0. Проблема Куттнера-Голубова заключается в следующем: требуется найти все такие Х,5 > 0, что функция (1 — р(х)х)+ £ Ф(Е).

Качественное решение данной задачи для Е = и евклидовой нормы р(х) = ||ж||2 в одномерном случае получено Куттнером [77], а в многомерном Голубовым [69]. В этих работах доказано, что

вир{А > 0 : (1 — ||ж||^)+ £ Ф(КП) для некоторого 5> 0} = 2.

Качественное решение для р Е С(Мп) было получено В. П. Заставным [105].

Стоит отметить, что в работах [69] и [105] существенную роль играют результаты Куттнера, связанные с неотрицательностью интегральных преобразований специального вида (см. [76, 78]).

Проблема Куттнера-Голубова также рассматривалась в работах Gneiting [64, 65, 66].

1.3 Обзор литературы к главе 4

Рассмотрим следующую задачу Коши для уравнения теплопроводности:

ди 0 А _

— = а2Аи, t> 0, ж Е Мп; dt ' (1.3.I)

и(х, 0) = и0(х), х Е Мп.

Если и0 Е Cb(Rn), то хорошо известно, что следующая функция является решением (1.3.1):

u(x,t) = J Г(х - y,t)uo(y)dy, (1.3.2)

м™

где

мп

Кроме того, если дополнительно потребовать от решения задачи (1.3.1) непрерывности и ограниченности, то других решений нет (см., например, [49, Теорема 6.7]). Отметим, что T(x,t) является образом положительно определённой функции при преобразовании Фурье.

Если и0 вещественнозначная функция, то для решений вида (1.3.2) справедливы неравенства (принцип максимума):

inf и0(х) ^ u(x,t) ^ sup щ(х), t > 0.

жеМ" жЕМ™

Если при некотором t > 0 и некотором х Е Мп одно из неравенств достигается, то функция и является тождественной константой.

Естественным обобщением задачи (1.3.1) является следующая задача Ко-ши:

ди

— + (—АУи = 0, г > 0, ж £

(1.3.3)

и(х, 0) = и0(х), х £

где (—А)в - оператор Лапласа дробной степени, который при й £ (0,1) на 5(Кп) (пространство Шварца) задаётся равенством:

(—А)7^) = |£|2^), и £ 5(Кп), ) := / и(х)е—г(х^д,х.

Jмn

Первое уравнение в (1.3.3) является нелокальным уравнением теплопроводности.

Принцип максимума задачи (1.3.3) в различных формах изучался, например, в работах [50, 72, 59].

ГЛАВА 2

ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЁННЫЕ ФУНКЦИИ С КОМПАКТНЫМ НОСИТЕЛЕМ

2.1 Задача Р. М. Тригуба и одно её обобщение 2.1.1 Формулировка результатов

Задача Р. М. Тригуба формулируется следующим образом.

Задача 1. Для заданных а £ (0,1) и К £ К функцию : К ^ К определим следующим образом: 1) является чётной; 2) (0) = 1, /а,ь,(&) = К, /а,н(1) = 0; 3) /а,к(х) = 0 при х £ [1, +ж), а на отрезках [0,а] и [а, 1] функция /а,к(х) является линейной. Для каждого фиксированного а £ (0,1) требуется найти множество всех К £ К таких, что /а,н является положительно определённой на К.

Данная задача была рассмотрена и решена В. П. Заставным и автором диссертации в [80]. В этом случае, справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1.1 ([80]). Пусть а £ (0,1), К £ К. Тогда функция /а,н £ Ф(К) ^^ т(а) < К < 1 — а, где т(а) = 0, если 1/а £ М, и т(а) = —а, если 1/а £ N.

Рассмотрим следующую более общую задачу.

Задача 2. Для заданных £ (0,1), 0 < а ^ [5 < 1 и в £ К функцию : К ^ К определим следующим образом: 1) является чётной; 2)

™а,Р,з(Х) = 0 при X > 1, 'Ша,р,3 (0) = 1, КЗа^^а = 0, 1Ша,р,8(х) = 5 при X £ [а, (здесь [а, а] := {а}); 3) функция является линейной на отрезках [0,а]

и [0,1]. Для каждой фиксированной пары (а, [5) £ (0,1)2 такой, что 0 < а ^ Р < 1 требуется найти множество всех з £ К, при которых функция /ша,:в,3 положительно определена на К.

Очевидно, что если а = р, то = -Ма^ь.

Если 0 < а ^ Р < 1 и й = 0, то и)а,р,0 Е Ф(К). Действительно, в этом случае ма,/з,о(х) = (1 — \х/а\)+ и положительная определённость функции и)а,р,0 на К вытекает из следующего равенства:

(1 — =21/ 1Щ1 Е

м

а также определения положительно определённых функций. Положительная определённость функции и>адо также вытекает из теоремы Пойа (теорема 1.0.3). Отметим, что в случае а = ¡3 и в = 0 функция не является вы-

пуклой на (0, и значит, теорему Пойа нельзя применить для нахождения

достаточных условий положительной определённости функции гша,р,8.

Основным результатом этого раздела диссертации является следующая теорема.

Теорема 2.1.2. Пусть а,Р Е (0,1), 0 < а ^ Р < 1 из Е К. Тогда и)а,ру8 Е Ф(К) тогда и только тогда, когда т(а,Р) ^ в ^ М(а,Р), где

1 — Р

М(а,р) :=

1 — р — ami (

1+р i—¡з

( fí) 1 —Р

т(а, р) :=

(2.1.1)

1 — Р — am2 ^

1+¡3 i—¡з

а m1 (1У1} V'i) и m2(щ), 1у1} щ > 0 определяются следующим образом:

( , . _ sin(щí)sin(v2t)

m1(V1, щ) := inf -г^-,

RVZ sin2 (t)

• ( (2.1.2) , N Sin (V\t) Sin (u2t) v 7

m2(V1, У2) := sup--.

R\^Z Sin (t)

Более того,

1) если (1 + р)/a, (1 — р)/a Е N или 1/a Е N, р/a Е N, то М(a, р) > 0, а в остальных случаях М(а,р) = 0;

2) если (1 + р)/a, (1 — р)/a Е N или 1/a Е N, р/a Е N, то т(а,р) < 0, а в остальных случаях т(а,р) = 0.

а ' а

а ' а

В следующей теореме указан явный вид величин m1(v1,v2), m2(^,^2) для некоторых v1 и v2.

Теорема 2.1.3. Пусть v1 ,и2 > 0 и m1(u1,u2), m2(u1,u2) такие же как и в (2.1.2). Тогда:

1) Если \v1 — v2\ =2, то m1(^1, и2) = -1.

2) Если v1,v2 Е N, то m2(v1,v2) = v1v2 и m1(v1,v2) ^ —v1v2. Кроме того, если v1 и v2 имеют разную чётность, то m1(u1,u2) = —и1и2.

3) Если v1 = p1/q, v2 = p2/q, где p1 ,p2,q Е N, то

m1(^)= inf Ч,

— 1,1]\A [Uq—1(X)}2

m (lJ U ) = SUP UP1 — 1(X)UP2 — 1(X) m2(^1,^2) = SUp -7—-—72-,

[—1,1]\A \Uq—1(x)\2

где A := {x : Uq—1(x) = 0}, а Up(cos(t)) := sin((p + 1)t)/sin(i), t Е [0,^}, p Е Z+ - многочлены Чебышева второго рода.

4)

m1(1,1) = 1, m1(1,3) = —1, m1(1,5) = —5/4,

7 + 14^7 7

m1(1,7) = — +27V , m2(1/2,7/2) = 4.

Отметим, что доказательство теоремы 2.1.2 проводится также, как и доказательство теоремы 2.1.1 в [80], но результат существенно зависит от экстремальных свойств функции определённого вида (см. утверждение 1 ниже).

Стоит отметить также, что из теорем 2.1.2 и 2.1.3 можно получить различные достаточные условия положительной определённости.

Следствие 2.1.1. Пусть чётная функция g Е С(R) является неотрицательной, убывающей и выпуклой вниз на (0, +ж) и

2 2к + 1

а = «--7, Р = «-^-7, т,к Е N, s Е R.

2т + 2к + 1' Р 2т + 2к + 1'

Определим функцию ga,p,s следующим образом:

9афЛх) := (1 — s)9 — s+ Y—p9(x), х Е R Если —1/(т + 2k) < s < 1/(m + 2k + 2), то даЛз Е Ф(К).

Доказательство. Из теоремы Пойа (теорема 1.0.3) следует, что функция представима в следующем виде:

д(х) = J (1 — \хи\)+йи(и), х Е К, о

где V конечная, неотрицательная, борелевская мера на [0, Из следующе-

го равенства

™а,/з,з(х) = (1 — ¿0(1 — \х/а\)+—

— ^^(1 — \х/31)+ + ^(1 — М)+, ж Е К, (2.1.3)

вытекает, что

9*фЛх) = J wa,l3,s{xu)dv(u), х е R. 0

При указанных а, 3 и s функция wa,p,s е Ф(К) (см. пример 2.1.3), и значит, 9a,i3,s е Ф(К) (см., например, [105, Lemma 1]). □

Аналогичные достаточные условия вытекают из положительной определённости функции wa,p,s в случае а = 3 = 1/п,п е N, п ^ 2. Доказательство проводится также, как и в следствии выше.

Следствие 2.1.2. Пусть чётная функция д е С(R) является неотрицательной, убывает и выпукла вниз на (0, +ж). Если а е (0,1), 1/а е N, —а ^ s < 0, то функция ga,s(x) := sg(x) + (1 — а — s)g(x/a) принадлежит классу Ф(К).

Сформулируем ещё одно следствие из теоремы 2.1.2. Пусть а,3 е (0,1), а,Ь,с е R и функция f^fc определяется следующим образом

Г^ ( х) •=_а__I__-__I__-_ х > 0

Ja>b>c(x) : х(х2 + а2) + х(х2 + 32) + х(х2 + 1)0.

Если а = 3, то

га,а ( ) = (а + b + с)х2 + (а + b + а2с) > 0 /а'ь'с(х): х(х2 + а2)(х2 + 1) ,х> 0.

В этом случае из теоремы 2.2.3 раздела 2.2 вытекает, что если а Е (0,1) и (а + Ь + с)2 + (а + Ь + а2с) = 0, то

/X ЕСМ ^ а + Ь + с ^ 0, а + Ь + а2с > 0, т(а) ^ а(1 - ^ 1 - а, а,ь,с а + Ь + са

где т(а) определяется также, как и в теореме 2.1.1.

В случае 0 < а < ¡3 < 1 имеет место теорема.

Теорема 2.1.4. Пусть 0 < а < ß < 1, a,b,c Е R и

а_ Uß- 1) а ß

1 - - = ^^ = с(1 - ß)=: s. (2.1.4)

Тогда Е СМ ^^ т(а, р) ^ s ^ М(а,р), где т(а,р), М(а, р) определяются также, как и в теореме 2.1.2.

Данный раздел организован следующим образом. В подразделе 2.1.2 приведены вспомогательные утверждения, леммы и факты. В подразделах 2.1.3 и 2.1.4 доказываются теоремы 2.1.2 и 2.1.3, соответственно. В подразделе 2.1.5 приведены примеры к теореме 2.1.2. В подразделе 2.1.6 доказывается теорема 2.1.4. В подразделе 2.1.7 теорема 2.1.2 применяется для получения неравенств типа Бернштейна для тригонометрических многочленов.

2.1.2 Вспомогательные факты и утверждения

Лемма 2.1.1. Пусть G : V ^ R, V = 0, G ф 0, М := sup G(t) и т :=

у

inf G(t). Определим множество

Н := {h Е R : 1 — hG(t) ^ 0, Vt Е V}.

Тогда в зависимости от знаков т и М справедливо одно из следующих утверждений: 1) если М > 0 и т < 0, то Н = [1/m, 1/М}; 2) если т ^ 0, то Н = (—ж, 1/М}; 3) если М ^ 0, то Н = [1/m, +ж).

Доказательство. Найдём все значения h е R, при которых неравенство

1 — hG(t) ^ 0 (2.1.5)

выполняется для всех £ Е V. Решим это неравенство отдельно на каждом из следующих множеств, которые образуют разбиение V:

V := {tЕV : С(Ъ) = 0}, V— := ^ Е V : С(Ъ) < 0}, ^ := ^ Е V : С(Ъ) > 0}.

На V (если оно не пусто) неравенство (2.1.5) будет выполнено для любого Н.

1) Пусть М > 0 и т < 0. Тогда V- = 0 и V+ = 0 и имеют место равенства:

М = вирбЭД = вирС(^) и т = т£С({) = т£ С(£).

У У

На множество У— неравенство (2.1.5) имеет место ^^

Н ^ вир 1 /С(р) = 1/ЫС(Ь) = 1/т.

V-

На множестве V+ неравенство (2.1.5) имеет место ^^

н < ы1/с(ъ) = 1/вирсад = 1/м.

2) Пусть т ^ 0. Тогда ^ = 0 (иначе С = 0, что противоречит условию леммы), V = Уо UV+ и

М = вирС(^) = вирС(^) > 0.

V

Как и в 1), на множестве ^ неравенство (2.1.5) имеет место ^^ Н ^ 1/М.

3) Пусть М ^ 0. В этом случае У- = 0, V = V, UУ- и

т = т£ С(Ь) = 1п£С(^) < 0.

V у_

На множестве У- неравенство (2.1.5) имеет место ^^ Н ^ 1/т.

Лемма доказана. □

Определи функцию следующим образом:

(*) := ( 1 )2(,)( 2 ), 1/1, ^ > 0. (2.1.6)

В точках Ь = КП, п Е Ж функция продолжается по непрерывности,

если это возможно. Из определения функции Ксразу вытекают следующие

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Манов Анатолий Дмитриевич, 2021 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / ред. М. Абрамовиц, И. Стиган. - М.: Наука, 1979.

- 832 с.

2. Ахиезер, Н.И. Лекции по теории апроксимации / Н. И. Ахиезере. - М.: Наука, 1965. - 408 с.

3. Ахиезер, Н. И. Лекции об интегральных преобразованиях / Н. И. Ахиезер.

- Харьков: Вища школа: Изд-во Харьк. ун-та, 1984. - 120 с.

4. Белов, А. С. О положительно опредлённых ломаных функциях и их применениях / А. С. Белов // Тр. МИАН. - 2013. - Т. 280 - C. 11 - 40.

5. Ватсон, Г. Н. Теория бесселевых функций / Г. Н. Ватсон. - М.: ИЛ, 1949.

- 798 с.

6. Вахания, Н. Н. Вероятностные распределения в банаховых пространствах / Н.Н. Вахания, В. И. Тариеладзе, С. А. Чобанян. - М.: Наука, 1985. -370 с.

7. Волчков, В. В. Новые теоремы о среднем для решений уравнения Гельм-гольца / В. В. Волчков // Матем. сб. - 1993 - Т. 184, - № 7. - С. 71 -78.

8. Гашков, С. Б. Неравенство Фейера-Эгервари-Сасса для неотрицательных тригонометрических многочленов / С. Б. Гашков // Матем. просв. - 2005.

- выпуск 9. - С. 69 - 75.

9. Гнеденко, Б. В. О характеристических функциях / Б. В. Гнеденко // Бюлл. Москов. ун-та (А) - 1937. - Т. 1, № 5. - C. 17 - 18.

10. Горбачев, Д. В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре / Д. В. Горбачев. // Матем. заметки. - 2001. - Т. 69, № 3.

- C. 346 - 352.

11. Горбачев, Д. В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения / Д. В. Горбачев. - Тула: Гриф и К, 2005. - 192 с.

12. Горин, Е. А. Положительно определённые функции как инструмент математического анализа / Е. А. Горин. // Фундамент. и прикл. матем. - 2012. - Т. 17, № 7. - C. 67 - 95.

13. Горин, Е. А. Неравенства Бернштейна с точки зрения теории операторов / Е. А. Горин // Вестн. Харьков. ун-та. Сер. прикл. мат. и мех. - 1980. -Т. 205, № 45. - C. 77 - 105.

14. Заставный, В. П. Положительно определённые сплайны / В. П. Заставный, Р.М. Тригуб // Деп. в Укр. НИИНТИ. №593-Ук.87

15. Заставный, В. П. Положительно определенные функции, зависящие от нормы. Решение проблемы Шёнберга / В. П. Заставный // Донецк. Институт прикл. мат. и мех. АН Украины, Препринт - 1991. - С. 35.

16. Заставный, В. П. Положительно определенные функции, зависящие от нормы / В. П. Заставный // Доклады РАН. - 1992. - Т. 325, № 5. - C. 901903.

17. Заставный, В. П. Положительно определённые сплайны специального вида / В. П. Заставный, Р. М. Тригуб // Матем. сб. - 2002. - Т. 193, № 12. -C. 41 - 68.

18. Заставный, В. П. О положительной определенности некоторых функций, связанных с проблемой Шёнберга / В. П. Заставный, А. Д. Манов // Матем. заметки. - 2017. - Т. 102, № 3. - C. 355 - 368.

19. Заставный, В. П. Положительная определенность комплексной кусочно-линейной функции и некоторые ее применения / В. П. Заставный, А. Д. Манов // Матем. заметки. - 2018. - Т. 103, № 4. - C. 519 - 535.

20. Заставный, В. П. Положительная определённость комплексной кусочно-линейной функции и некоторые её применения/ В. П. Заставный, А. Д. Ма-нов // Международная научная конференция "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения VII" . Тезисы докладов. - Ростов-на-Дону. - 2017. - С. 47 - 48.

21. Ильинский, А. И. О нулях и аргументе характеристической функции / А. И. Ильинский // Теория вероятн. и ее примен. - 1975. - Т. 20, № 2. -С. 421 - 427.

22. Кахан, Ж.-П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье / Ж.-П. Кахан. - М.: Мир, 1976. - 204 с.

23. Колдобский, А. Л. Задача Шенберга о положительно определенных функциях / А. Л. Колдобский // Алгебра и анализ. - 1991. - Т. 3. - С. 78-85.

24. Коренблюм, Б. И. О двух теоремах из теории абсолютно монотонных функций / Б. И. Коренблюм // УМН. - 1951. - Т. 6, № 4(44). - С. 172 - 175.

25. Крейн, М. Г. О проблеме продолжения эрмитово положительных непрерывных функций / М.Г. Крейн // Доклады АН СССР. - 1940. - Т. 26, № 1. - С. 17 - 20.

26. Либ, Э. Анализ / Э. Либ, М. Лосс. - Новосибирск: Науч. кн., 1998. - 276 с.

27. Лизоркин, П. И. Оценки тригонометрических интегралов и неравенство Бернштейна для дробных производных / П. И. Лизоркин // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1965. - Т. 29, № 1. - С. 109 - 126.

28. Линник, Ю. В. Линейные формы и статистические критерии: I, II / Ю. В. Линник // Укр. матем. журн. -1953. - Т. 5, № 2,3. - С. 207—243, 247—290.

29. Лукач, Е. Характеристические функции / Е. Лукач. - М.: Наука, 1979. -424 с.

30. Манов, А. Д. Новое доказательство теоремы о структуре параметров в проблеме Куттнера-Голубова / А. Д. Манов. // Вестник Донецкого национального университета. Серия А. Естественные науки. - 2016. - № 1. -С. 80 - 86.

31. Манов, А. Д. Некоторые задачи, связанные с положительно определенными кусочно-линейными функциями / А. Д. Манов // Труды института прикл. матем. и механики. - 2017. - Т. 31. - С. 134 - 148.

32. Манов, А. Д. Принцип максимума для решений одной задачи Коши / А. Д. Манов. // Вестник Донецкого национального университета. Серия А. Естественные науки. - 2019. - № 3-4. - С. 12 - 17.

33. Манов, А. Д. Принцип максимума для решений одной задачи Коши и его связь с проблемой Шёнберга / А. Д. Манов // Труды института прикл. матем. и механики. - 2019. - Т. 33. - С. 71 - 80.

34. Манов, А. Д. О единственности продолжения одной функции до положительно определенной / А. Д. Манов // Матем. заметки. - 2020. - Т. 107, № 4. - С. 575 - 590.

35. Манов, А. Д. Положительная определённость кусочно-линейной функции / А. Д. Манов, В. П. Заставный // Международная научная конференция "Теор1я наближень 1 п застосування" Тези допов1дей. - Дншропет-ровськ. - 2015. - С. 44.

36. Манов, А. Д. Положительная определённость функций специального вида / А. Д. Манов., В. П. Заставный // Международная научная конференция студентов и молодых ученых "Донецкие чтения 2017" Материалы конференции. Т. 1. - Донецк. - 2017. - С. 58 - 60.

37. Манов, А. Д. Одно обобщение задачи о положительной определенности кусочно-линейной функции / А. Д. Манов // Международная научная

конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" Материалы конференции [Электронный ресурс]. - Москва: МАКС Пресс. -2018.

38. Манов, А. Д. О единственности продолжения одной функции до положительно определённой / А. Д. Манов. // III Международная научная конференция "Донецкие чтения 2018: образование, наука, инновации, культура и вызовы современности»" Материалы конференции. Т. 1. - Донецк. - 2018.

- C. 354.

39. Манов, А. Д. О единственности продолжения одной функции до положительно определённой / А. Д. Манов // Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" Материалы конференции [Электронный ресурс]. - Москва: МАКС Пресс. - 2019.

40. Манов, А. Д. О принципе максимума для одной задачи Коши. / А. Д. Манов //IV Международная научная конференция Донецкие чтения 2019: образование, наука, инновации, культура и вызовы современности: Материалы конференции. - Т. 1: Физико-математические и технические науки. Часть 1 / под общей редакцией проф. С.В. Беспаловой. - Донецк: Изд-во ДонНУ. - 2019. - С. 135.

41. Нарасимхан, Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / Р. Нарасимхан. - М.: Мир, 1971. - 232 с.

42. Полиа, Г. Задачи и теоремы из анализа Ч. 2. / Г. Полиа, Г. Сегё. - М.: Наука, 1978. - 435с.

43. Прасолов, В. Многочлены / В. Прасолов. - М.: МЦНМО, 2001. - 336 с.

44. Рамачандран, Б. Теория характеристических функций / Б. Рамачандран.

- М.: ФМЛ, 1975. - 224 с.

45. Стейн, И. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах / И. Стейн, Г. Вейс. - М.: Мир, 1974. - 332 с.

46. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: в 2 т. / В. Феллер. - М.: Мир, 1984. - Т. 2. - 752 с.

47. Фукс, Б. А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных / Б. А. Фукс. - М.: ФМЛ, 1962. - 420 с.

48. Хьюитт, Э. Абстрактный гармонический анализ. Том 2. / Э. Хьюитт, К. Росс. - Москва: Мир, 1975. - 900 с.

49. Шубин, М. А. Лекции об уравнениях математической физики / М. А. Шубин. - Москва: МЦНМО, 2003 - 303 с.

50. Barrios, B.A Widder's Type Theorem for the Heat Equation with Nonlocal Diffusion / B. Barrios, I.Peral, F. Soria, E.Valdinoci // Arch. Rational Mech. Anal. - 2014. - V. 213 - P. 631-650.

51. Berg, C. Harmonic Analysis on Semigroups: Theory of Positive Definite and Related Functions / C. Berg, J. P. R. Christensen, P. Ressel. - New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo: Springer-Verlag, 1984. - 271 p.

52. Berg, C. Potential Theory on Locally Compact Abelian Groups / C. Berg, G. Forst. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1975. - 197 p.

53. Berg, C. Stieltjes-Pick-Bernstein-Schoenberg and their connection to complete monotonicity: in Positive Definite Functions. From Schoenberg to Space-Time Challenges, S. Mateu and E. Porcu, eds., Dept. of Mathematics, University Jaume I, Castellon de la Plana, Spain, 2008. - P. 15 - 45.

54. Bisgaard, T. M. Characteristic functions and moment sequences: Positive definiteness in probability / T. M. Bisgaard, Z. Sasvari. - New York: Nova Sci. Publishers, 2000. - 144 p.

55. Bhatia, R. On some positive definite function / R. Bhatia, T. Jain // Positivity. - 2015. - Vol. 19, №4. - P. 903 - 910.

56. Boas, R. P., JR. Entire Functions / Boas R. P., JR. - New York: Academic Press, 1954. - 276 p.

57. Boas, R. P., Jr. Inequalities for Fourier transforms of positive functions / R.P., Jr Boas, M. Kac // Duke Math. J. -1945. - Vol. 12, № 1. - P. 189 - 206.

58. Boas, R. P., Jr. More inequalities for Fourier transforms / R. P., Jr Boas // Duke Math. J. - 1948. - V. 15, № 1. - P. 105 - 109.

59. Cheng, T. The maximum principles for fractional Laplacian equations and their applications / T. Cheng, G. Huang, C. Li // Communications in Contemporary Mathematics. - 2017. - V. 19, № 6.

60. Egervary, E. Einige Extremalprobleme im Bereiche der trigonometrischen Polynome / E. Egervary, O. Szasz // Math. Zeitschr. - 1928. - Bd. 27. -S. 641 - 652.

61. Fejer, L. Uber trigonometriche Polynome / L. Fejer // J. Reine Angew. Math. - 1916. - V. 146. - P. 53 - 82.

62. Furuta, T. Concrete examples of operator monotone functions obtained by an elementary method without appealing to Loewner integral representation / T. Furuta // Linear Algebra Appl. - 2008. - Vol. 429. - P. 979 - 980.

63. Gneiting, T. Radial Positive Definite Functions Generated by Euclid's Hat / T. Gneiting // Journal of Multivariate Analysis. - 1997. - V. 69. - P. 88 - 119.

64. Gneiting, T. Kuttner's Problem and a Polya Type Criterion for Characteristic Functions / T. Gneiting // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1999. - Vol. 128, №6. - P. 1721 - 1728.

65. Gneiting, T. Criteria of Polya Type for Radial Positive Definite Functions / T. Gneiting // Proceedings of the American Mathematical Society. - 2001. -Vol. 129, №8. - P. 2309 - 2318.

66. Gneiting, T. Experimental Approaches to Kuttner's Problem / T. Gneiting, K. Konis, D. Richards // Experimental Mathematics. - 2001. - Vol. 10, №1. -P. 117- 124.

67. Gneiting, T. Curiosities of Characteristic Functions / T. Gneiting // Expositiones Mathematicae. - 2001. - V. 19. - P. 359 - 363.

68. Goldberg, R. R. Restrictions of Fourier Transforms and Extension of Fourier Sequences / R. R. Goldberg // Journal of Approximation Theory. - 1970. -V. 3 - P. 149 - 155.

69. Golubov, B. I. On Abel-Poisson type and Riesz means / B. I. Golubov // Analysis Math. - 1981. - Vol. 7. - P. 161 - 184.

70. Hansen, F. Some operator monotone functions / F. Hansen // Linear Algebra Appl. - 2009. - Vol. 430. - P. 795 - 799.

71. Herz, C. S. Class of Negative-Definite Functions / C. S. Herz // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1963. - V. 14, № 4. - P. 670-676.

72. Jarohs, T. On the strong maximum principle for nonlocal operators / T. Jarohs, S. Weth // Math. Z. - 2018. - V. 293, № 1-2. - P. 81-111.

73. Kawata, T. Fourier analysis in probability theory / T. Kawata. - New York: Academic Press, 1972. - 668 p.

74. Koumandos, S. On Completely Monotonic and Related Functions. In: Rassias T., Pardalos P. (eds) Mathematics Without Boundaries. Springer, New York, NY, 2014 - P. 285 - 321.

75. Kuritsyn, Y. Multidimensional versions and two problems of Schoenberg / Y. Kuritsyn // Problems of Stability of Stochastic Model, VNIISI.- 1989. -P. 72-79.

76. Kuttner, B. Note on the Riesz means of a Fourier series / B. Kuttner //J. London Math. Soc. - 1943. - V. 18. - P. 148 - 154.

77. Kuttner, B. On the Riesz means of a Fourier series II / B. Kuttner //J. London Math. Soc. - 1944. - Vol. 19,2. - P. 77 - 84.

78. Kuttner, B. On positive Riesz and Abel typical means / B. Kuttner // Proc. London Math. Soc. - 1947. - Vol. 49. - P. 328 - 352.

79. Levin, B. Ya. Lectures on Entire Functions / B. Ya. Levin. - Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc., 1996. - 248 p.

80. Manov, A. Positive definiteness of piecewise-linear function / A. Manov, V. Zastavnyi // Expositiones Mathematicae. - 2017 - Vol. 35, № 3. - P. 357 -361.

81. Manov, A. Positive definiteness of piecewise-linear function 2 / A. Manov // Operators and Matrices. - 2020. - Vol. 14, № 1. - P. 9 - 22.

82. Merkle, M. Completely Monotone Functions: A Digest. In: Milovanovic G., Rassias M. (eds) Analytic Number Theory, Approximation Theory, and Special Functions. Springer, New York, NY, 2014 - P. 347 - 364

83. Miller, K. S. Completely monotonic functions/ K. S. Miller, S. Samko // Integr. Transf. and Spec. Funct. - 2001. - Vol. 12 - P. 389 - 402.

84. Misiewicz, J. Positive definite functions on I/ J. Misiewicz // Statist. Probab. Lett. - 1989. - V. 8. - P. 255-260.

85. Norvidas, S. A theorem on uniqueness for characteristic functions / S. Norvidas // C. R. Math. Acad. Sci. Paris. - 2017. - V. 355, № 8. - P. 920 - 924.

86. Norvidas, S. On an extension property for characteristic functions / S. Norvidas // Monatsh Math. - 2019. - V. 188, № 2. - P. 309 - 319.

87. Ramachandran, B. Characteristic functions taking constant values on intervals of the real line / B. Ramachandran // Statistics & Probability Letters. - 1996. - Vol. 28. - P. 269 - 270.

88. Revesz, S.G. Turan's extremal problem on locally compact abelian groups / S. G. Revesz // Anal. Math. - 2011. - V. 37, № 1. - P. 15 - 50.

89. Rudin, W. Fourier Analysis on Groups / W. Rudin. - New York: Interscience, 1962. - 286 p.

90. Rudin, W. The extension problem for positive-definite functions / W. Rudin // Illionois J. Math. - 1963 - Vol. 7, № 3. - P. 532 - 539.

91. Schilling, R. L. Bernstein functions/ R. L. Shilling, R. Song, Z. Vondracek. -Berlin, Boston: De Gruyter, 2010. - 410 p.

92. Schoenberg, I. J. Metric spaces and completely monotone functions / I. J. Schoenberg // Ann. Math. - 1938. - Vol. 39. - P. 811 - 841.

93. Sasvari, Z. Multivariate Characteristic and Correlation Functions / Z. Sasvari.

- Berlin, Boston: De Gruyter, 2013. - 366 p.

94. Sasvari, Z. The extension problem for positive definite functions. A short historical survey // Oper. Theory Adv. Appl. - 2005. - V. 163. - P. 365 -379.

95. Sasvari, Z. Positive Definite and Definitizable Functions / Z. Sasvari. - Berlin: Akad. Verl., 1994. - 208 p.

96. Sasvari, Z. Uber die Nullstellenmenge von charakteristischen Funktionen / Z. Sasvari // Mathematische Nachrichten. - 1985. - V. 121. - P. 33 - 40.

97. Siegel, C. L. Über Gitterpunkte in konvexen Körpern und damit zusammenhangendes Extremal problem / C. L. Siegel // Acta Math. -1935. - Vol 65, № 1. - P. 307 - 323.

98. Stewart, J. Positive definite functions and generalizations, an historical survey/ J. Stewart // Rocky mountain journal of mathimatics. - 1976. - Vol. 6. - P. 409

- 434.

99. Szegö, G. Koeffizientenabschätzungen bei ebenen und räumlichen harmonischen Entwicklungen / G. Szegö // Math. Ann. - 1927. - V. 96, № 1.

- P. 601 - 632.

100. Trigub, R. M. Fourier Analysis and Approximation of Functions / R. M. Trigub, E. S. Belinsky. - Boston, Dordrecht, London: Kluwer-Springer, 2004. - 585 p.

101. Ushakov, N. G. Selected Topics in Characteristic Functions / N. G. Ushakov.

- Utrecht: VSP, 1999. - 355 p.

102. Wells, J. H. Embeddings and Extensions in Analysis / J. H. Wells, L. R. Williams. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1975. - 107 p.

103. Widder, D. V. The Laplace Transform / D. V. Widder. - Princeton: Princeton University Press, 1946. - 425p.

104. Zastavnyi, V. P. Positive definite functions depending on the norm / V.P. Zastavnyi // Russian J. Math. Physics. - 1993. - V. 1, № 4. - P. 511-522.

105. Zastavnyi, V. P. On positive definiteness of some functions / V. P. Zastavnyi // Journal of Multivariate Analysis. - 2000. - Vol. 73. - P. 55 - 81.

106. Zastavnyi, V. P. Extension of a function from exterior of an interval to a positive-definite function on the axis and an approximative characteristic of the class / V. P. Zastavnyi // Ukrainian Mathematical Journal. - 2003. -V. 55, №7.-P. 1189-1897.

107. Zastavnyi, V. P. Positive definite functions and sharp inequalities for periodic functions / V. P. Zastavnyi // Ural Mathematical Journal. - 2017. - V. 3, № 2. - P. 82 - 99.