О функции Грина некоторых негладких задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Голованёва, Фаина Валентиновна

• Голованёва, Фаина Валентиновна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Голованёва, Фаина Валентиновна

ВВЕДЕНИЕ

I Разрешимость дифференциального уравнения четвёртого порядка с производными по мере

§ 1 Вариационная мотивация подхода

§ 2 Разрешимость дифференциального уравнения четвёртого порядка с производными по мере

§ 3 Свойства аналога определителя Вронского

§ 4 Непрерывная зависимость решения от параметра

II Краевые задачи четвёртого порядка с производными по мере

§ 1 Функция Грина сингулярной краевой задачи

§ 2 Свойство ^-положительности интегрального оператора в частном случае

§ 3 Невырожденность сильно сингулярной краевой задачи

§ 4 Одно представление функции Грина сильно сингулярной краевой задачи

III Положительная обратимость краевых задач четвёртого порядка с производными по мере

§ 1 Достаточные условия положительности функции Грина сингулярной краевой задачи

§ 2 Положительность функции Грина сильно сингулярной краевой задачи

§ 3 Пример нахождения достаточных условий положительности функции Грина

§ 4 Простота и позитивность ведущего собственного значения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О функции Грина некоторых негладких задач»

Актуальность темы.

Диссертационная работа посвящена качественному анализу решений дифференциального уравнения четвёртого порядка с обобщёнными коэффициентами. Здесь — означает обычную производах ную, а штрих — обобщённое дифференцирование; функции р(х), Q(x) и F(x) предполагаются конечной вариации. В качестве решений рассматриваются непрерывно дифференцируемые функции и(х); первая производdu <fu пая которых ---абсолютно непрерывна; p-r-z — абсолютно непрерывна; dx dx1 d ( d2u\ Гп p-r-x — имеет конечное на [0; 1J изменение. dx \ dx1 J

Изучению подобного уравнения, актуального в самых разнообразных

разделах естествознания, посвящена обширная литература. Здесь можно отметить монографии Аткинсона Ф. [2], Завалищина С.П., Сесекина А.Н. [21], а также работы [45], [55], [50], [29], [57], [59], [39], [56], [25], [4], [45], [51], [37], [36], в которых изучались дифференциальные уравнения четвёртого, а иногда и произвольного, порядка. Особо можно отметить публикации: Дерр В.Я. - [14], [15], [16], [18], [19]; В. Dekoninck, S. Nicaise [17]; Lagnese J.Е., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. [32], [33]; B. Lui [34].

Уравнения с обобщёнными коэффициентами традиционно исследуются с позиций теории распределений (по Шварцу-Соболеву). Их изучению посвящена достаточно обширная литература (здесь мы ограничимся отсылками к библиографии в [2] и в [21]). Однако, в некоторых вопросах теория распределений оказывается бессильна. Известен ряд не до конца решённых проблем в теории обобщённых функций, например, проблема перемножения обобщённых функций.

В диссертации обсуждается вопрос о положительности функции Грина краевой задачи для уравнения (1) (при краевых условиях). Эта проблема обычно обсуждается в рамках классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Но эти методы оказываются непригодными для обобщённых производных, не позволяющих трактовать их как поточечные отображения из R в R. Эту трудность мы обходим, следуя концепции Ю.В. Покорного, показавшей свою эффективность для дифференциальных уравнений второго порядка (см., например, [20], [42], [43], [44], [48]), согласно которой уравнению (1) может быть придано поточечное представление da \dx \dx2JJ da da' где — означает обычное дифференцирование по сг-мере (по Радону-da

Никодиму); мера а определяется параметрами р(х), Q(x) и F(x) исходной задачи. Такой подход к проблеме требует переноса классических методов регулярной теории на случай дифференциальных уравнений четвёртого порядка с производными по мере.

Используемое понятие cr-производной можно определить следующим образом: (т-суммируемая функция f(x) называется cr-производной F(x), если на множестве полной <т-меры х

F(x) - J f(s) (da) (5) = const.

Последняя формула позволяет определять значения f(x) = -^-F(x) в точке da

A F либо как предел отношения ——, либо как пару односторонних пределов ла левая и правая производные, если они различны), либо как тройку чисел, которая получается добавлением промежуточного (между левым и правым) значения производной "собственного в точке равного отношению скачков

F{Z + Q)-F(£-0) .

7--г-—--. Подобная ситуация возникает, например, при диффе 0) - а{£ - 0) ренцировании функции Хевисайда 9(ж) (равной 1 при х > 0 и нулю при х < 0) по а[х) = я + 6(ж), когда вместо привычного О'(х) = 5(х) в соответствующем уравнении (2) оказывается —— (ж) = тт(х), где тт(х) = 0 при х ф 0 шт и 7г(0) = 1. В более общей ситуации уравнение (2) в точках, где а имеет скачок, принимает вид А{ри")' + uAQ = AF, здесь Аф — скачок функции ф(х), т.е. Аф = ф(£ + 0) — ф{£, — 0)- Именно таким образом мы "раскрываем" уравнение в сингулярных точках.

Актуальность диссертационной работы обусловлена как очевидной практической востребованностью анализа краевых задач для уравнения (2), так и тем, что в настоящее время работы по данным задачам для дифференциальных уравнений четвёртого порядка носят фрагментарный характер [47].

Цель работы. Получить достаточные условия положительной обратимости краевой задачи

Методы исследований. В диссертации используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, аппарат теории интеграла Стилтьеса, теории вполне непрерывных положительных операторов.

Научная новизна. Все результаты в работе являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить:

1. Получено дифференциальное уравнение (3), как модель малых деформаций стержня-консоли.

2. Показана разрешимость уравнения (3) и непрерывная зависимость от параметра решения соответствующей начальной задачи.

3. Показана невырожденность краевой задачи (3)-(5), а также при р > 0 и Q'a ^ 0 (ф 0) непрерывная зависимость решения соответствующей неоднородной задачи от краевых условий.

КХМ + и(хШх) = ВД; < u(0) = (ptl';,)(0) = 0; (?'«",: )(1) = (PU'L)'X( 1) = О

3)

4)

5)

4. Доказано свойство Я-положителыюсти интегрального оператора, обращающего (3) при условиях г/(0) = и'(0) = 0 и {pu"){ 1) = (pit")' (1) = 0.

5. Доказана положительная обратимость интегрального оператора, обращающего (3) при условиях м(0) = {ри"){0) = 0 и (pu")( 1) = {pu")' (1) = 0.

6. Доказана положительность, вещественность и простота ведущего соб-ствонного значения спектральной задачи

МХМ + ФШ*) = А М'а(х)и(х); «(0) = (K'J(O) = 0; где М(ж) — <7-абсолютно непрерывная на [0; 1] функция, и М'а > 0.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в качественной теории дифференциальных уравнений с производными по мере.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Понтрягинские чтения — VII» (Воронеж, 1996г.), Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 1997г.), Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Понтрягинские чтения —XI» (Воронеж, 2000г.), Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Понтрягинские чтения — XVII» (Воронеж, 2000г.), Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Понтрягинские чтения — XVIII» (Воронеж, 2007г.), на семинаре «Качественная теория краевых задач» (Воронежский госуниверситет, руководитель профессор Ю. В. Покорный), на семинаре кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей (Воронежский госуниверситет, руководитель профессор А. В. Глушко).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13]. Из совместных работ [6], [8], [И], [12] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, объединяющих в общей сложности двенадцать параграфов, и списка литературы. Объём диссертации 101 страница. Библиография содержит 64 наименования. Нумерация формул организована следующим образом: каждый номер состоит из трёх, отделённых друг от друга точкой; первый номер — это номер главы, второй — номер параграфа, третий — самой формулы. В каждом параграфе нумерация своя.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Голованёва, Фаина Валентиновна, 2007 год

1. Ando Т. On fundamental properties of a Banach space with a cone / T. Ando // Pacific T. Math. 12. - 1962. - № 4. - P. 1-12.

2. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Ат-кинсон. — М. : Мир, 1968. 749 с.

3. Bonsall F.F. Linear operators in complete positive cones / F.F. Bonsall // Proc. London Math. Soc. 1958. - V. 3, № 8. - P. 53-75.

4. Об одном классе дифференциальных уравнений на пространственной сети / А.В. Боровских и др. ] // Доклады РАН. 1995. - Т. 345, № 6. - С. 730-732.

5. Гантмахер Ф.Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем / Ф.Р. Гантмахер, С.Г. Крейн. — M.-JT. : Гостех-издат, 1950. — 360 с.

6. Голованёва Ф.В. О невырожденности одной краевой задачи четвёртого порядка с производными по мере / Ф.В. Голованёва // Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2007. - Т. 7, вып. 2. - С. 3-5.

7. Голованёва Ф.В. О функции Грина сильно сингульрной консоли / Ф.В. Голованёва ; Воронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 2007. — 12 с. — Деп. в ВИНИТИ 08.06.07, № 611-В2007.

8. Дерр В.Я. Дифференциальные уравнения с обобщёнными функциями, допускающими умножение на разрывные функции / В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов // Вестник Удмуртского ун-та. Математика. Механика.- Ижевск, 2005. № 1. - С. 35-58.

9. Дерр В.Я. К определению решения линейного дифференциального уравнения с обобщёнными функциями в коэффициентах / В.Я. Дерр // Доклады АН СССР. 1988. - Т. 298, № 2. - С. 269-272.

10. Дерр В.Я. Обыкновенные дифференциальные уравнения с обобщёнными функциями в пространстве Т' / В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов // Известия института математики и информатики. — Ижевск, 2006.- Вып. 3 (37). С. 29-30.

11. Dekoninck В. Spectre des reseaux de poutres / В. Dekoninck, S. Nicaise // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 1. 1998. - T. 326. - P. 1249-1254.

12. Дерр В.Я. О дифференциальных уравнениях в С-обобщённых функциях / В.Я. Дерр, К.И. Дизендорф // Известия вузов. Математика. — 1996. № И (414). - С. 39-49.

13. Дерр В.Я. Об умножении обобщённых функций / В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов // Известия института математики и информатики. — Ижевск, 2006. Вып. 2 (36). - С. 43-48.

14. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный и др. ]. — М. : Физматлит, 2004. — 272 с.

15. Завалищин С.Т. Импульсные процессы: модели и приложения / С.Т. Завалищин, А.Н. Сесекин. — М. : Наука, 1991. — 255 с.

16. Зверева М.Б. О некоторых вопросах из качественной теории уравнений с разрывными решениями / М.Б. Зверева; Воронеж, гос. ун-т. — 2005.- 12 с. Деп. в ВИНИТИ 02.06.2005, № 797-В 2005.

17. Калафати П.Д. О функциях Грина обыкновенных дифференциальных уравнений / П.Д. Калафати // Доклады АН СССР. 1940. - Т. 26, № 6. - С. 535-539.

18. Karlin S. Total positivity / S. Karlin. : Stanford Univ. Press, 1968.

19. Karlin S. Total pozitivity, approximation by splines, and Green's function of differential operators / S. Karlin // J. Approxim Theory. — 1977. — V. 4. P. 91.

20. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. — М. : Изд-во иностр. лит., 1958.- 474 с.

21. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, А.В. Соболев. — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 256 с.

22. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений : Гл. нелинейного анализа / М.А. Красносельский. — М. : Гос. изд.-во физ.-мат. лит., 1962. — 394 с. — (Современные проблемы математики).

23. Крейн М.Г. Осцилляционные теоремы для обыкновенных дифференциальных операторов произвольного порядка / М.Г. Крейн // Доклады АН СССР. 1939. - Т. 25, № 9. - С. 717-720.

24. Крейн С.Г. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха / С.Г. Крейн, М.А. Рутман // Успехи матем. наук. 1948. - Т. 3, № 1. - С. 3-95.

25. Курант Р. Методы математической физики. Т. 1 / Р. Курант, Д. Гильберт ; пер. со 2-го нем. изд. 3. Либина, Б. Лившица, Ю. Рабиновича.- 3-е изд., исправ. — М.-Л. : Гос. изд-во технико-теорет. лит-ры, 1951.- 476 с.

26. Lagnese J.E. Control of planar networks of Timoshenko beams / Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. // SIAM J. Control Optim. 1993.- V. 31. P. 780-811.

27. Lagnese J.E. Modelling analysis and control of dynamic elastic multi-link structures / Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. // Boston : Birkhauser, 1994.

28. Lui B. Positive solutions of fourth-order two point boundary value problems / B. Lui // Appl. Math, and Comput. 2004.148. - № 2. - P. 407-420.

29. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстер-ник, В.И. Соболев. М. : Наука, 1968. - 519 с.

30. Мустафокулов Р. О корректности одной краевой задачи для цепочки стержней / Р. Мустафокулов // Весенняя Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения V": тез. докл., 25-29 аир. 1994 г. . - Воронеж, 1994. - С. 101.

31. Мустафокулов Р. Позитивная обратимость некоторых нестандартных краевых задач для уравнения четвёртого порядка / Р. Мустафокулов, Ю.В. Покорный // Доклады АН РТ. 1995. - Т. 38, № 1-2. - С. 65-73.

32. Немыцкий В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. — M.-J1. : Гостехиздат, 1949. — 550 с.

33. Николенко Л.Д. Некоторые критерии неколебателыюсти дифференциального уравнения четвёртого порядка / Л.Д. Николенко // Доклады АН СССР. 1957. - Т. 114, № 3. - С. 483-485.

34. Pandit S.G. Diffirential system involving impulses / S.G. Pandit, S.G. Deo // Lect. Notes. Math. 1982. - V. 954.

35. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. — М. : Наука, 1984. — 296 с.

36. Pokornyi Yu.V. Toward a Sturm-Liouville theory for an equation with generalized coefficients / Yu.V. Pokornyi, S.A. Shabrov // Jornal of Mathematical Sciences. 2004. - V. 119, № 6. - P. 769-787.

37. Покорный Ю.В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях / Ю.В. Покорный // Доклады РАН. 1999. - Т. 364, № 2. - С. 167-169.

38. Покорный Ю.В. О задаче Штурм а-Л иу вил ля для разрывной струны / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естественные науки. Математика и механика сплошной среды. 2004 - Спецвыпуск. - С. 186-191.

39. Покорный Ю.В. О позитивной обратимости некоторых краевых задач для уравнения четвёртого порядка / Ю.В. Покорный, Р. Мустафоку-лов // Дифференц. уравнения. 1997. - Т. 33, № 10. - С. 1358-1365.

40. Покорный Ю.В. О положительных функциях Грина, суммирующих знакопеременные ряды Неймана // Доклады РАН. 2000. - Т. 375, № 3. - С. 307-310.

41. Покорный Ю.В. Об осцилляционных свойствах спектра краевой задачи с функцией Грина, меняющей знак / Ю.В. Покорный, И.Ю. Шу-рупова // Укр. мат. журнал. 1989. - Т. 41, № 11. - С. 1521-1526.

42. Покорный Ю.В. Осцилляционные свойства растянутой цепочки стержней / Ю.В. Покорный, В.А. Шуринов // Нелинейные колебания и теория управления. — Устинов, 1985. — № 2. — С. 58-63.

43. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис ; пер. с англ. под ред. К.И. Бабенко и Б.Е. Победри. М. : Мир, 1985. - 590 с.

44. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения : в 2 т. / Дж. Сансоне ; пер. с итал. Н.Я. Виленкина. — Т. 1. — М. : Изд-во иностр. лит., 1953. — 346 с.

45. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения : в 2 т. / Дж. Сансоне ; пер. с итал. Н.Я. Виленкина. — Т. 2. — М. : Изд-во иностр. лит., 1953. — 414 с.

46. Sun Yan Existence of pozitive solutions for fourth-order singular nonlinear boundary value problems / Sun Yan, Liu Lishan, Cho Yeol Je // Dyn. Syst. and Appl. 2005.14. - № 3-4. - P. 463-480.

47. Тептин A.JI. О знаке функции Грина / А.Л. Тептин // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23, № 4. - С. 670-674.

48. Тептин А.Л. Об осцилляционности спектра краевой задачи с функцией Грина, меняющей знак по обоим аргументам / А.Л. Тептин. — Ижевск, 1993. Деп. в ВИНИТИ 12.03.93, № 596-В93.

49. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения / Ф. Трикоми ; пер. с англ. А.Д. Мышкиса. — М. : Изд-во иностр. лит., 1962. — 352 с.

50. Чичкин Е.С. Об одной неосцилляционной теореме для линейного самосопряжённого дифференциального уравнения четвёртого порядка / Е.С. Чичкин // Известия вузов. Математика. — 1960. — № 4 (17). — С. 206-209.

51. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М. : Наука, 1985. 224 с.

52. Шабров С.А. О //-регуляризации функции с конечным изменением / С.А. Шабров // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ / Воронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 1999. — С. 166-169.

53. Шабров С.А. О краевых задачах с импульсными коэффициентами :0101.02 — диф. уравнения : дисканд. физ.-мат. наук / С.А. ШабровВоронеж, гос. ун-т ; 27 дек. 2000 г. — Воронеж : Б.и., 2000. — 74 с.

54. Эрроусмит Д.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Д.К. Эрроусмит, К.М. Плейс. М. : Мир, 1986. - 243 с.

55. Wie Zhongli A class of fours order singular boundary value problem / Zhongli Wie // Appl. Math, and Comput. 2004.153. - № 3. - P. 865884.