Методы математического моделирования сингулярно закрепленной консоли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Обласова, Ирина Николаевна

• Обласова, Ирина Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Обласова, Ирина Николаевна

I Вспомогательные сведения 18 1.1 Классическая модель консоли

1.2Некоторые факты из теории краевых задач

1.2.1 Общая теория краевых задач.

1.2.2 Функция Грина и функция влияния.

1.2.3 Свойства функции Грина.

1.3Элементы полуупорядоченных пространств

1.4Функции ограниченной вариации

1.5Интеграл Римана-Стилтьеса

1.60собенности интеграла Стилтьеса

II Свойства интегро-дифференциальной модели 41 2.10боснование модели с помощью вариационных законов 41 2.2Функция влияния 51 2.3Свойства функции влияния при Q(x) = const 54 2.4Свойства аналога определителя Вронского 61 2.5Интегральная обратимость краевой задачи

Ill Податливость модели

3.1 Свойство Я-положительности

3.2Свойства интегрального оператора при Q(x) ф const

З.ЗПодатливость консоли

3.4Положительность ведущей частоты

3.50 методе конечных элементов для интегро-дифференциальных моделей сингулярно нагруженной струны 90 3.5.1 Построение алгоритма.

З.бТестовые примеры

3.6.1 Внешняя сила состоит из сосредоточенных усилий.

3.6.2 Внешняя сила имеет непрерывную составляющую.

3.70 методе конечных элементов для интегро-дифференциальных моделей сингулярно нагруженного стержня

3.7.1 Построение алгоритма.

3.8Тестовые примеры

3.8.1 Внешняя сила состоит из сосредоточенных усилий.

3.8.2 Внешняя сила имеет непрерывную составляющую.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы математического моделирования сингулярно закрепленной консоли»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одной из базовых математических моделей инженерной математики и строительной м механики является уравнение с которым студенты любого технического вуза знакомятся в курсе "Сопротивление материалов". Это уравнение, введенное более 200 лет назад Эйлером и Бернулли, описывает упругие деформации стержня (балки). Это уравнение не зависит от условий закрепления концов, которые в интересующем нас случае (и наиболее сложном в инженерном плане) случае имеют вид

Условия (2) означают, что левый конец наглухо защемлен, а (3) — что правый конец свободен. Функция f(x) определяется внешней нагрузкой.

Стандартные для инженерной практики рассчеты проводятся для случаев, когда Е — модуль Юнга и J(x) — момент инерции поперечного сечения постоянны. Если при этом и f(x) = const, то уравнение (1) решается напрямик но стандартным правилам, изложенным в студенческих учебниках и заложенных в стандартные пакеты для ПК. На возможности решить такое уравнение явно построены и все основные формулы сопромата.

На давайте представим себе достаточно реальную практическую ситуацию, когда наш стержень — по типу стрелы подъемного крана — нагружен в какой-то точке х = £ локальной силой (подвешен груз) и, кроме того, в некоторой точке х = ?] находится под воздействием упругой опоры (трос, удерживающий стрелу).

EJu")" = f

1) и( 0) = u'(0) = О, и"{1) = и"'{1) = 0.

2) (3)

Тогда, как хорошо известно, в этих точках перерезывающая сила (.ЕЗи")' (х) испытывает скачок, причем в точке х = £ величина этого скачка известна заранее — она равна сосредоточенной в этой точке внешней нагрузки, а в точке х = г] величина этого скачка неизвестна.

В этих точках уравнение (1) нарушается и мы вместо одного уравнения и четырех условий (т. с. обычной краевой задачи) имеем уже три уравнения (на трех кусках) с дополнительными условиями согласования, математически очень неприятными, так как эти условия трудно признавать за краевые.

Еще сложнее оказывается задача с "хорошим", т. е. однородным стержнем, если речь идет о колебаниях, когда вместо внешней силы / в точке х = £ имеется сосредоточенная масса, т. е. уравнение (1) заменятся на и\4 1 [ри ) = со ти, где т(х) содержит, как говорят физики, дельта-функцию. Кстати говоря, и в точке х = Г) наличие упругой опоры тоже означает присутствие ¿-функции, соответствующей сосредоточенному внешнему воздействию упругой опоры (троса).

Перед подобными задачами, практическая актуальность очевидна, практическая наука долгое время была без всякой поддержки математиков. К концу XIX в. появился знаменитый трактат Стилтьеса, где он рассмотрел и проанализировал колебания физической системы с сосредоточенными массами (нить с бусинками). Теоретические трудности Стилтьесу удалось преодолеть за счет введенного им нового типа интеграла (вида J /<), который с тех пор носит его имя — в отличие от интеграла Римана.

В первой половине XX в. проблему нерегулярного распределения масс для упругого стержня изучали М. Крейн и Ф. Гантмахер. Ими была изучена и задача нерегулярного взаимодействия балки с окружающей средой — многоопорная балка, где помимо уравнения (1) и уравнений типа (2), (3) появляются еще дополнительные условия вида и{1ъ) = О (г = Т~т), где Г}\ < щ < . < т]т — координаты промежуточных упругих опор. Так как в этих точках уравнение (1) наверняка нарушалось, то о краевой задаче обычного типа говорить нельзя, и соответствующий математический анализ был проведен с опорой на функцию влияния. Здесь использовалось то, что между точками многоопорная балка должна подчинятся уравнению вида (£</«") = 0. По чему — мотивация из области физической интуиции равно, как и представление о функции влияния.

Описание неудобных (нерегулярных внешних параметров), математически может быть описана — опять же с интуитивно-понятной точки зрения — уравнения ри!')" + Я'и = Е'{= и? М'и), (4) где .Р (и М) — вообще говоря — разрывные функции и ^ и М' - их обобщенные производные.

Теория обобщенных функций, развитая в середине XX в., наиболее важная в прикладном плане не может даже описать, так как в уравнении (4) все слагаемые — не поточечные (при каждом х) определяемые функции, а абстрактные функционалы. И стандартные методы дифференциального и интегрального исчисления здесь бессильны.

Недаром в 50-е годы даже для уравнения "стилтьесовской струны", т. е. для уравнения

- (ри')' + д'и = Е'{= иРМ'и) в обход этому ничего не дающему внешнему формализму и Аткинсон и

М. Г. Крейн и С. Кац писали интегро-дифференциальное уравнение X

- {ри') {х) + {ри'+) (0) = I и(а)йМ{8) о с интегралом Стилтьеса.

В моей работе ставится задача построения математической модели для нерегулярной консоли когда уравнение типа (1) может быть пока условно записано в виде ри")" + С/и = ¥\= и2М'и), т. е. когда и р(х) не обязательно гладкая функция, и взаимодействие нашего объекта с внешней средой не определяется непрерывными функциями, когда не только не применимы стандартные методы решения, но и использование даже общепринятые физические методы обоснования вызывают сомнения в их корректности.

Отсутствие наработанных методов постановки и анализа нестандартных краевых задач для анализа физических объектов.

Цель работы. Разработка методики построения и анализа математической модели протяженной одномерной упругой системы типа балки — консоли с нерегулярными взаимодействиями с внешней средой.

Достижения поставленной цели достигается за счет решения следующих задач:

- вариационное обоснование математической модели напряженного состояния нерегулярного стержня в виде интегро-дифференциального уравнения;

- анализ математической корректности этой задачи;

- точное математическое определение функции влияния для нерегулярной консоли;

- изучение качественных свойств функции влияния;

- изучение абстрактных свойств интегрального оператора I

Аи)(х) = I Н(х,з)и(з)<1М(з) о методами теории полуупорядоченных пространств;

- анализ ведущей собственной частоты, соответствующей главной критической вибрации;

- проверка возможности переноса на изучаемую модель классических проекционных методов приближенных вычислений, для чего — разработан алгоритм проекционного метода типа конечных элементов и проведение численного эксперимента.

Методика исследования. Вариационный метод, известный в естествознании уже пару столетий, применяемый в начале XX в. (Курант, Гильберт) для мотивации уравнения (1) как описания линии, дающей минимум потенциальной энергии

Последнее выражение распространено в работе на нерегулярную консоль в форме функционала

1 //2 1 2 1 У(и) = I ^-йх + У у ¿Я - I ийР

О 0 0 минимизация чего приводит к уравнению (4).

Здесь при истолковании этого интегро-дифференциального уравнения мы опирались на соображения ранее использовавшиеся для стилтьесовской струны М. Крейиом и Аткинсоном.

Определение функции влияния так же проведено на основе вариационных принципов физики. Анализ уравнения (1) и функции влияния осуществляется в значительной степени за счет методов общей теории меры и интеграла Стилтьеса. Свойства ведущей собственной частоты устанавливались с помощью абстрактных методов теории пространств, упорядоченных в смысле М. Крейна.

Научная новизна. В диссертации изучается интегро-дифференциальное уравнение, описывающее малые деформации сингулярно закрепленной консоли. Для такого уравнения дается корректное определение функции влияния и исследуются ее свойства, чего ранее не делалось.

Положения, выносимые на защиту.

1. Конструктивные возможности вариационных принципов в построении математической модели нерегулярной консоли в виде задачи

Т Зи X лС

I ¿{ри")' +111(1(2 = I ^ (=и;2/ иШ)

О 0 0

0) = и'(0) = 0, и"(1) = и"'{1) = 0

2. Доказательство математической корректности задачи

3. Математическая формализация функции влияния исходной консоли.

4. Доказательство интегрального представления реальной формы консоли через внешние силы I и[х) = о где Р(х) — сила, приложенная на отрезке [0, гг].

5. Установлен комплект свойств функции влияния, аналогичный пакету аксиом классической функции Грина и позволяющих однозначно построить функцию влияния.

Например, функция Н{х) = Н(х^) удовлетворяет краевым условиям, а при х £ — однородному уравнению J ¿(рН")' + J ИсК^ = 0, а при х = £ — о о равенству рЛ")'(£ + 0) - (рЛ")'(е - 0) + + 0) - д« - 0) = 1

6. Доказана строгая положительность Н(х, в) при 0 < х, 5.

7. Доказано, что интегральный оператор I

Аи)(х) = I Н(х, о со строго возрастающей (и не непрерывный даже) функцией, определяющей произвольное распределение масс, строго положителен в пространстве, полуупорядоченным конусом Крейна-Красносельского.

8. Доказана алгебраическая простота ведущего собственного значения этого оператора, что соответствует единичной кратности (и отсутствию присоединенных функций) для критических частей главных поперечных вибраций, когда амплитудная функция не имеет внутренних узлов и когда соответствующие уравнение имеет вид х х ри'У +1ШЙЭ = ъ? I ийМ

ООО 9. С опорой на предыдущие свойства построен алгоритм проекционного метода по типу метода конечных элементов и проведен численный эксперимент, показывающий уверенную и быструю сходимость.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях кафедры высшей математики и кафедры прикладной математики Северо-Кавказского Государственного Технического Университета, на V, VIII региональных научно-технических конференциях "Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону"(2001, 2004г.), па VI Международной конференции "Циклы"(2004г.), на первой и второй международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке и технике» (г. Ставрополь 2004г., г. Кисловодск 2006г.), на международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж 2005г), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XVII» (г. Воронеж 2006г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы из 103 наименований и содержит 126 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Обласова, Ирина Николаевна

Заключение

В диссертации разработаны новые методы моделирование сингулярно закрепленной консоли, которые позволили установить следующие результаты.

1. построено интегро-дифференциальное уравнение X сри")' (х) + J udQ = F(x) - F(0) - (pu")' (0), о моделирующее деформацию (под воздействием внешней нагрузки) нерегулярной консоли;

2. проведено вариационное обоснование адекватности модели относительно натурального (физического) объекта;

3. исходя из вариационной природы уравнения х ри")' (х) + J udQ = F(x) - F(0) - (pu")' (0), о дано точное определение (функции влияния изучаемого объекта. Доказаны основные свойства функции влияния, уподобляющие ее функции Грина, несмотря на диаметрально противоположную (минуя аксиомы) методологию ее введения;

4. показана положительность интегрального оператора, обращающего X ри")' (х) + J udQ = F(x) - F(0) - (pu")' (0), о при естественных условиях закрепленного левого конца и свободного правого.

5. доказана положительность и простота ведущего собственного значения (соответствующей спектральной задачи).

Полученные результаты позволяют обосновывать численные методы, в том числе позволяет давать оценки норм интегральных операторов, обращающих соответствующие модели, скорости сходимости итерационных процессов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Обласова, Ирина Николаевна, 2007 год

1. Айне, Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Э.Л. Айне. -ОНТИ, НКТБ. Харьков, 1939. 676 с.

2. Антосик, П. Теория обобщенных функций: пер. с англ. / П. Антоеик, Я. Минусинский, Р. Сикорский. М.: Мир, 1976. - 312 с.

3. Аткинсон, Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Аткинсон. М.: Мир, 1968. - 749 с.

4. Ахиезер, Н.И. Лекции по вариационному исчислению / Н.И. Ахиезер. -М.: Гостсхиздат, 1955. 248 с.

5. Ахиезер, Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман. М.: Наука, 1966. - 544 с.

6. Ахиезер, Н.И. Теория нелинейных операторов в гильбертовом пространстве / Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман. М.: Наука, 1966. -136 с.7| Басакер, Р. Конечные сети и графы / Р. Басакер, Т. Саати. М.: Наука, 1974. - 368 с.

7. Бахтин, И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: Дисс.д-ра физ.-мат. наук. / И.А. Бахтин Ленинград, 1967. - 320 с.

8. Беккенбах, Э.Ф. Неравенства: пер. с англ. / Э.Ф. Беккенбах, Р. Беллман. М.: Мир, 1965. - 276 с.

9. Беллман, Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи / Р. Беллман, Р. Калаба. М.: Мир, 1968. - 270 с.

10. И. Белов, В.В. Теория графов / В.В. Белов, Е.М. Воробьев, В.Е. Шаталов-М.: Наука, 1976. 392 с.

11. Берс, Л. Уравнения с частными производными / Л. Берс, Ф. ДЖон, М. Шехтер. М.: Мир, 1966. - 352 с.

12. Брело, М. Основы класической теории потенциалов / М. Брело. М.: Мир, 1964. - 214 с.

13. Вулих, Б.З. Введение в функциональный анализ / Б.З. Вулих. М.: Наука, 1967. - 415 с.

14. Вулих, Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств / Б.З. Вулих. М.: Наука, 1961. - 407 с.

15. Гантмахер, Ф.Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем / Ф.Р. Гантмахер, М.Г. Крейн. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 360 с.

16. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / д. Гилбарг, М.Н. Трудингер. М.: Наука, 1989. - 464 с.

17. Данфорд, Н. Линейные операторы / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. М.: ИЛ, 1962. - 4.1.Общая теория. - 895 с.

18. Данфорд, Н. Линейные операторы. Спектральная теория: пер. с англ. / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. М.: ИЛ, 1966. - 1064 с.

19. Дыхта, В.Я. Оптимальное импульсное управление с приложениями / В.А. Дыхта, О.Н. Самсошок. М.: Физматлит, 2000. - 256 с.

20. Дьяченко, М.И. Мера интеграла / М.И. Дьяченко, П.Л. Ульянов. М.: Изд-во "Факториал Пресс", 2002. - 160 с.

21. Егоров, Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа / Ю.В. Егоров. М.: Наука, 1984. - 360 с.

22. Завалищин, С.Т. Импульсные процессы: модели и приложения / С.Т. Завалищин, А.Н. Сесекин. М.: Наука, 1991. - 255 с.

23. Калафати, П.Д. О функциях Грина обыкновенных дифференциальных уравнений / П.Д. Калафати // Докл. АН СССР. 1940. - Т. 26, №6. - С. 535-539.

24. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М.: ИЛ, 1950. - 828 с.

25. Канторович, Л.В. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах / Г.П Акилов, Л.В. Канторович. М.: Физматгиз, 1959.- 684 с.

26. Канторович, Л.В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. М.: Наука, 1977.- 496 с.

27. Коддингтон, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. М.: ИЛ, 1958. - 573 с.

28. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. М.: Наука, 1968. - 496 с.

29. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. М.: Наука, 1981. - 543 с.

30. Красносельский, М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лившиц, A.B. Соболев. М.: Наука. 1985. - 256 с.

31. Красносельский, М.А. Положительные решения операторных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Физматгиз, 1962. - 394 с.

32. Красносельский, М.А. Приближённое решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. М.: Наука, 1969. - 456 с.

33. Крейн, М.Г. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха / М.Г. Крейн, М.А. Рутман // Успехи мат. наук, 1948, Т.З.Вып.1 - С. 3-95.

34. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. М.:Наука, 1989. - 736 с.

35. Курант, Р. Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт. -М.: Гостехиздат, 1951. Т.1. - 476 с.

36. Левитан, Б.М. Разложение по собственным функциям / Б.М. Левитан. -Гос. изд. тех.-теор. лит. Москва, Ленинград, 1950. 159 с.

37. Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения с чатными производными / В.П. Михайлов. М.: Наука, 1976. - 392 с.

38. Моришима, М. Равновесие, устойчивость, рост / М. Моришима. М.: Наука, 1972. - 280 с.

39. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. М.: Наука, 1969. - 526 с.

40. Натансон, И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон. М.: Наука, 1974. - 480 с.

41. Никайдо, X. Выпуклые структуры и математическая экономика / X. Никайдо. М.: Мир, 1972. - 517 с.

42. Ope, О. Теория графов / О. Ope. M.: Наука, 1968. - 352 с.

43. Петровский, И.Г. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям / И.Г. Петровский. М.: МГУ, 1984. - 296 с.

44. Петровский, И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И.Г. Петровский. М.: ГТТИ, 1950. - 304 с.

45. Покорный, Ю.В. О знакорегулярпых функциях Грина некоторых неклассических задач / Ю.В. Покорный // Успехи мат. наук. 1981. -Т.36, вып.4 - С. 205-206.

46. Покорный, Ю.В. Интеграл Стильтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях / Ю.В. Покорный // Доклады РАН. 1999. - Т.364, №2 - С. 167-169.

47. Покорный, Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с обобщенными коэффициентами / Ю.В. Покорный, С.А. Шабров. // Труды математического факультета ВГУ, 1999. вып.4 - С. 84-96.

48. Покорный, Ю.В. О функции Грина для локально взаимодействующей системы обыкновенных уравнений разного порядка / Ю.В. Покорный, Т.В. Белоглазова, Е.В. Дикарева, Т.В. Перловская // Мат. заметки. 2003. -Т. 74, № 1. - С. 146-149.

49. Покорный, Ю.В. О дефектах аксиоматики функции Грина / Ю.В. Покорный, A.B. Боровских // Доклады РАН. 2002. Т. 284. №4. С. 460-464.

50. Покорный, Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев, A.B. Боровских, К.П. Лазарев, С.А. Шабров. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 272 с.

51. Покорный, Ю.В. Оценка вторых собственных значений для некоторых классов положительных операторов / Ю.В. Покорный // Математические заметки. 1971. - Т. 9, т 1. - С. 27-33.

52. Покорный, Ю.В. О неклассической задаче Валле-Пусссна / Ю.В. Покорный ДУ, 14:6 (1978). - С. 1018-1027.

53. Покорный, Ю.В. Некоторые условия разрешимости двухточечной задачи Валле-Пуассона / Ю.В. Покорный. Тр. М., в. 64 (1975). - С. 15-21.

54. Покорный, Ю.В. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач / Ю.В. Покорный, К.П. Лазарев // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23, №4. - С.658-670.

55. Покорный, Ю.В. О позитивной обратимости некоторых краевых задач для уравнения четвертого порядка / Ю.В. Покорный, Р. Мустафокулов // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, №10. С. 1358-1365.

56. Покорный, Ю.В. О положительности функции Грина линейных краевых задач для уравнений четвертого порядка на графе / Ю.В. Покорный, Р. Мустафокулов // Известия вузов. Математика. 1999. Т. 441, №2. - С. 75-82.

57. Покорный, Ю.В. Осцилляционные свойства растнутой цепочки стержней / Ю.В. Покорный, В.А. Шуринов // Нелинейные колебания и теория управления. Устинов. 1985. №5. С. 58-63.

58. Покорный, Ю.В. Некоторые оценки функции Грина задачи Валле-Пуссоиа / Ю.В. Покорный. Тр. НИИМ ВГУ, Воронеж, 19 (1975). - С. 95-103.

59. Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис. М., "Мир". 1985. - 590 с.

60. Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисе, Б. Секефальди-Надь. М.: Мир, 1978. - 587 с.

61. Розенфельд, A.C. Переходные процессы и обощенные функции / A.C. Розенфельд, Б.И. Яхинсон. М.: Наука, 1966. - 448 с.

62. Рудин, У. Основы математического анализа: пер. с англ. / У. Рудин. М.: Мир, 1976. - 320 с.

63. Сакс, С. Терия интеграла / С. Сакс. М.: ИЛ, 1949. - 494 с.

64. Сансоне, Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Дж. Сансоне. М.: Госиноиздат, 1954. - Т.1. - 346 с.

65. Трикоми, Ф. Дифференциальные уравнения / Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1962. - 386 с.

66. Урысон, П.С. Труды по топологии и другим областям математики / П.С. Урысон. Т.1. - М.-Л.: Гостехиздат, 1951.

67. Уэрмер, Дж. Теория потенциала / Дж. Уэрмер. М.: Мир, 1980. - 136 с.

68. Фам, Ф. Введение в топологическое иссследование особенностей Ландау / Ф. Фам. М.: Мир, 1970. - 184 с.

69. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. М.: Наука, 1985. - 224 с.

70. Халанай, А. Качественная теория импульсных систем: пер. с рум. / А. Халанай, Д. Венслер. М.; Мир, 1971. - 312 с.

71. Харари, Ф. Теория графов / Ф. Харари. М., 1973. - 304 с.

72. Харари, Ф. Перечисление графов / Ф. Харари, Э. Палмер. М., 1977. -328 с.

73. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. М.: Мир, 1970.

74. Хейман, У. Субгармонические функции / У. Хейман, П. Кеннеди. М.: Мир, 1980. - 304 с.

75. Япг, JI. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления: пер. с англ. / Л. Янг. М.: Мир, 1974. - 488 с.

76. Яно, К. Кривизна и числа Бетти / К. Яно, С. Бахнер. М.: ИЛ, 1957. -152 с.

77. Шилов, Г.Е. Интеграл, мера и производная. Общая теория / Г.Е. Шилов, Б.Л. Гуревич М.: Наука. - 1967.

78. Ando, Т. On fundamental properties of a Banach space with a cone / T. Ando // Pacific T. Math. 12. 1962. №4. - P. 1-12.

79. Bonsall, F.F. Linear operators in complete positive cones / F.F. Bonsall // Proc. London Match. Soc. 8, 1958. P. 53-75.

80. Friedman, A. Partial Differential Equations / A. Friedman. Holt: Rinehart and Winston, 1969. - 262 p.

81. John, F. Partial Differential Equations / F. John. Springer Verlag, 1986. -250 p.

82. Karlin, S. (Карлин С.) Positive operators / S. Karlin //J. Math. Mech. -1955. V.6, M. - P. 907-937.

83. Lagnese, J.E. Modelling analysis and control of dynamic clastic multi-link structures / J.E. Lagnese, G. Leugering, E. J.P.G. Schmidt. Boston: Birkhaus-er, 1994.

84. Pazy, A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations / A. Pazy. Berlin: Springer-Verlag, 1983. - 280 p.

85. Thompson, A.C. On certain contraction mappings in a partitally ordered vector space / A.C. Thompson // Proc. Amer. Math. Soc. 14. 1963, №3. P. 438-443.

86. Обласова, И.Н. Применение численных методов для вычисления поверхностных интегралов / И.Н. Обласова // Третья межрегиональная научная конференция «Студенческая наука Экономике России». T. I. -Ставрополь: СевКавГТУ, 2002. - С. 7.

87. Обласова, И.Н. Об одном варианте метода ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнений вида x=Ax+f / И.Н. Обласова // Шестая международная конференция «Циклы». T. II. -Ставрополь: СевКавГТУ, 2004. С. 29-34.

88. Обласова, И.Н. Уточнения оценок решений операторных уравнений / И.Н. Обласова. Деп. в ВИНИТИ 15.07.2004. № 1242 - В2004 Ставрополь: СевКавГТУ, 2004. - 18 с.

89. Обласова, И.Н. Обобщенная норма интегральных операторов и матриц / И.Н. Обласова. Деп. в ВИНИТИ 22.09.2004. № 1500 - В2004 Ставрополь: СевКавГТУ, 2004. - 18 с.

90. Обласова, И.Н. Интегральные неравенства для операторов, имеющих особенность в ядре / И.Н. Обласова // Высокие технологии — 2004: Сб. тр. науч.-техн. форума с между нар. участием. Ч. 2. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2004. - С. 86-92.

91. Обласова, И.Н. Двусторонние оценки решения операторных уравнений с регулярными операторами / И.Н. Обласова // III Международная научно-техническая конференция "Материалы и технологии XXI века": Сборник статей. Пенза, 2005. - С. 148-151.

92. Обласова, И.Н. Двусторонние оценки решения уравнений с положительными операторами / И.Н. Обласова // Сборник научных трудов СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная» №1 Ставрополь: СевКавГТУ, 2005. - С. 29-37.

93. Обласова, И.Н. Строгие оценки в операторных неравенствах / И.Н. Обласова // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Ростов-на-Дону, 2005 - №3. - С. 8-10.

94. Обласова, И.Н. Математическое моделирование функции влияния сингулярно закрепленной консоли / И.Н. Обласова // Международная научная конференция «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 170.

95. Обласова, И.Н. Положительность функции влияния сингулярно закрепленной консоли / PI.H. Обласова // Сборник научных трудов СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная» №2 Ставрополь: СевКавГТУ, 2006. - С. 41-44.