О краевых задачах с негладкими и разрывными решениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Давыдова, Майя Борисовна

• Давыдова, Майя Борисовна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Давыдова, Майя Борисовна

Введение

1 Краевая задача с непрерывными решениями

1.1 Вариационная мотивация избранного подхода.

1.2 Разрешимость краевой задачи

1.3 О достаточных условиях экстемума квадратичного функционала

1.4 Интегральная обратимость краевой задачи с непрерывными решениями

1.5 Осцилляционность спектра задачи с производными по мере

1.6 Оценки функции Грина.

2 Нелинейная краевая задача с интегралом Стилтьеса

2.1 Непрерывная ветвь нелинейной спектральной задачи.

2.2 О числе решений краевой задачи с «монотонной нелинейностью»

2.3 Нелокальные условия существования хотя бы одного знакоопре-деленного решения.

2.4 Достаточное условие существования второго решения.

2.5 Случай сильной нелинейности

3 Краевые задачи с расширенным интегралом Стилтьеса

3.1 Необходимые сведения о 7г-интеграле

3.2 Вариационная мотивация поточечного подхода.

3.3 Функция Грина краевой задачи с разрывными решениями

3.4 Оценки функции Грина краевой задачи с разрывными решениями

3.5 Оценка вторых собственных значений спектральной задачи с разрывными решениями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О краевых задачах с негладкими и разрывными решениями»

В последнее десятилетие интенсивно изучаются качественные свойства решений уравнения X

Lu = -(ЮМ + (К)(°) + /udlQ] = F(x) - F(x) (!) о и соответствующая ему линейная спектральная задача i

Lu = X J ud[M], и(0) = u(l) = 0. (2) о

Здесь p,Q,F — функции ограниченной на [0; I] вариации; ц(х) и М(х) — строго возрастающие функции; производная и'^ понимается как производная по мере (производная Лебега, если fi(x) = х, и производная Стилтьеса в общем случае); обрамление d[Q] функции Q(x) квадратными скобками подчеркивает, что речь идет об интеграле, понимаемом как 7г-интеграл, и совпадающего с интегралом Стилтьеса в случае непрерывной и(х) (когда ¡i(x) = х).

Если функции Q(x) и F(x) окажутся гладкими (dQ — Q'dx и dF = F'dx), то обе части (1) на решении могут быть продифференцированы, уравнение (1) принимает вид

-{pu^x + Q'xu = F'x. (3)

Последнее уравнение оказывается совсем привычным при fi(x) ~ х (или гладкой ¡i{x)). Таким образом, уравнение (1) и задача (2) адекватны классической ситуации, изучаемой в теории Штурма-Лиувилля в случае гладких параметров.

Допускаемая возможность наличия у параметров уравнения особенностей как типа ¿-функций, так и более сильных, которые возникают, например, в случае разрывных решений, когда ¿-образные сингулярные особенности присутствуют уже у первых производных, усугубляется вторым дифференцированием.

В работе изучаются нелинейные краевые задачи

-04)(*) + 04)(0) + J ud№ = J о о

КХ°) - 71^(0) = о, 04) (Z) + 72и(1) = о, как для случая непрерывных решений (/х(ж) = х), так и для случая разрывных (/х(ж) — произвольная строго возрастающая функция).

Расширение понятия интеграла позволило нам сохранить поточечное толкование как самого решения, так и уравнения, что в рамках теории обобщенных функций было бы невозможно. Большинство классических результатов (для нелинейных краевых задач) удается перенести на случай не просто негладких, но даже разрывных решений.

Используемое понятие /¿-производной (для случая разрывной /¿(ж)) можно определить следующим образом: /¿-суммируемая функция f(x) называется ц-производной F(x), если на множестве полной /¿-меры х

F(x) - J f(s) d\fi(s)] = const. d

Последняя формула позволяет определять значения f(x) = —F(x) в точке

U/JLX

A F либо как предел отношения ——, либо как пару односторонних пределов

А р левая и правая производные, если они различны), либо как тройку чисел, которая получается добавлением промежуточного (между левым и правым) значения производной "собственного в точке равного отношению скачков F(£ + 0)-F(Z-0) j-—-г-j-—-г-. Подобная ситуация возникает, например, при дифферен

Ms + 0J ~ /4? ~ цировании функции Хевисайда ©(ж) (равной 1 при х > 0 и нулю при х < 0) по ¡i{x) = гг + в(ж), когда вместо привычного 0'(х) = 5{х) в соответствующем уравнении оказывается -т~(х) = тг(ж), где 7г(.т) = 0 при ж^Ои 7г(0) = 1.

JLLL

Актуальность темы. Обыкновенное дифференциальное уравнение

-(pu')! + qu = / с обобщенными коэффициентами и соответствующая задача Штурма-Луивилля изучалась многими авторами. Из большого количества работ молено отметить следующие [7], [6], [8], [9], [11], [13], [3], [17], [18], [2].

В классической монографии Ф. Аткинсона [4] описывались решения со скачками производных; достаточно тонкий анализ однородного уравнения с обобщенными коэффициентами проводился в работах А. Д. Мышкиса [19], J. Kurzweil [3]; более полную библиографию можно найти в монографиях Ф. Аткинсона [4], А. Ф. Филиппова [37], С. Т. Завалищина и А. Н. Сесеки-на [10] i

Актуальность диссертационной работы обусловлена как очевидной практической востребованностью анализа краевых задач для уравнения

X X

-KW + K(°) + / = J f(s,u(s))d[a(s)}, о о так и тем, что в настоящее время работы по нелинейным краевым задачам для дифференциальных уравнений второго порядка с производными по мере носят фрагментарный характер [34], [39].

Цель работы. Получить достаточные условия существования и единственности решения, существования нескольких решений краевой задачи pu'ß)(x) + (pu'ß)( 0) + fud[Q] = ff(s,u(sMr(s)], о о (pu'ß)(0) — 7iu(0) = 0, (pu'ß)(l) - Ъи(1) = 0.

Методы исследования. В диссертации используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, аппарата теории интеграла Стил тьеса, теории вполне непрерывных положительных операторов.

Научная новизна. Все результаты являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить:

1. Получены оценки функции Грина краевой задачи с негладкими и разрывными решениями.

2. Изучена непрерывная ветвь нелинейной спектральной задачи.

3. Получены достаточные условия существования нескольких решений краевой задачи с «монотонной непрерывностью».

4. Получены нелокальные условия существования знакоопределенного решения нелинейной краевой задачи.

5. Получены достаточные условия существования второго1 решения нелинейной краевой задачи.

6. Изучен случай сильной нелинейности.

7. Получены оценки функции Грина краевой задачи с разрывными решениями.

8. Получена оценка вторых собственных значений спектральной задачи с разрывными решениями.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений с производными по мере.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (2007 г.), Крымской осенней математической школе, Воронежской весенней математической школе Понтрягинские чтения - 2010, Воронежской весенней математической школе - 2008, на семинарах профессора Покорного Ю. В., профессора Сапронова Ю. И. и доцента Бае-ва А. Д.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [40], [41], [42], [43], [44], [45], [46], [47], [48], [49], [50]. Из совместных публикаций в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [45] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы, включающего 50 наименования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Давыдова, Майя Борисовна, 2011 год

1. Feller, W. Generalized second order differential operators and their londitions/W. Feller// 1.liois J. Math. - 1957. - V.l, №4. - P.459-504.

2. Pandit, S.G. Differential systems involving impulses/ S.G. Pandit, S.G. Deo//Lect. Notes Math. 1982. - V.954.

3. Kurzweil, J. Generalized ordinary differential equations/ J. Kurzweil// Czech. Math. J. 1958. - V.8. - P. 360-388.

4. Аткинсон, Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи: пер. с англ./ Ф. Аткинсон. — М.: Мир, 1968. — 749 с.

5. Гантмахер Ф.Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем / Ф.Р. Гантмахер, М.Г. Крейн. — M.-JI. : Гостехиздат, 1950. 360 с.

6. Дерр, В.Я. Неосцилляция решений линейного квазидифференциального уравнения /В.Я. Дерр // Изв. Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 1999. - Вып.1 (16). - С.3-105.

7. Дерр, В.Я. К определению решения линейного дифференциального уравнения с обобщенными функциями в коэффициентах/ В.Я. Дерр //Докл. АН СССР. 1998. - Т.298, № 2. - С.269-272.

8. Дерр, В.Я. О решениях дифференциальных уравнений с обобщенными функциями в коэффициентах/ В.Я. Дерр// Известия Института математики и информатики УдГУ. — Ижевск, 1995. — Вып.1. — С.51-75.

9. Егоров, Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа /Ю.В. Егоров. М.: Наука, 1984. — 360 с.

10. Завалищин, С.Т. Импульсные процессы: модели и приложения /С.Т. За-валшцин, А.Н. Сесекин. — М.: Наука, 1991. — 255 с.

11. Завалищин, С.Т. Формула Коши для линейного уравнения общего вида в обобщенных функциях /С.Т. Завалищин //Дифференциальные уравнения. 1973. - Т.9, №6. - С.1138-1140.

12. Зверева М. Б. О некоторых вопросах качественной теории дифференциальных уравнений с производными Стилтьеса : дис. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.02 / М.Б. Зверева; Воронеж, гос. ун-т; науч. рук. Ю.В. Покорный. Воронеж, 2005. 120 с.

13. Зверева М.Б. О некоторых вопросах из качественной теории уравнений с разрывными решениями /М.Б. Зверева; Воронежский государственный университет. 2005. - 12с. - Деп. в ВИНИТИ 02.06.2005, № 797-В 2005

14. Клюева, М.Б. Об интегрировании по частям в интеграле Лебега-Стилтьеса / М.Б. Клюева // Сб. тр. молодых ученых мат. фак. Воронеж, гос. ун-та .- 2001 .- С. 87-91.

15. М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. Геометрические методы нелинейного анализа. М., "Наука 1975. 512с.

16. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, А.В. Соболев. — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. 256 с.

17. Левин, А.Ю. Вопросы теории обыкновенного линейного дифференциального уравнения /А.Ю. Левин //Вестник Ярославского университета. — 1974. Вып. 8. - С. 122-144.

18. Максимов, В.П. О некоторых обобщениях обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач и их приложениях к задачам экономической динамики /В.П. Максимов //Вестник Пермского универитета.- 1997. Вып. 4. - С.103-120.

19. Мышкис, А.Д. О решениях линейного однородного двучленного дифференциального неравенства второго порядка с обобщенным коэффициентом/ А.Д. Мышкис //Дифференциальные уравнения. — 1996. — Т.32, № 5. С.615-619.

20. Покорный Ю. В., Зверева М. В., Шабров С. А. Осцилляционная теория Штурма-Лиувилля для импульсных задач // Успехи математических наук, 2008, Т. 63, вып. 1 (379). С. 98-141

21. Покорный Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный и др.]. — М. : Физматлит, 2004. — 272 с.

22. Покорный Ю. В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях // ДАН. — 1999. — Т. 364, № 2.- С.167-169.

23. Покорный Ю. В., Зверева М. В., Шабров С. А. О задаче Штурма-Лиувилля для разрывной струны // Известия ВУЗов. СевероКавказский регион. Математика и механика сплошных сред. Спецвыпуск. Ростов-на-Дону. 2004. - С. 186-190.

24. Покорный Ю. В., Бахтина Ж. И., Зверева М. Б., Шабров С. А. Осцилля-ционный метод Штурма в спектральных задач. — М.: Физматлит, 2009.- 192с.

25. Покорный, Ю.В. О спектре задачи Штурма-Лиувилля для уравнения с обобщенными коэффициентами / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева.// Труды математического факультета .— (Новая серия) . — 2004 .— Вып. 8 .- С. 80-92.

26. Покорный, Ю.В. О задаче Штурма-Лиубилля для разрывной струны / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естественные науки. Математика и механика сплошной среды 2004 С. 186-190 .— (Спецвыпуск) .

27. Покорный, Ю.В. О задаче Штурма-Лиувилля с разрывными решениями / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Труды математического факультета .— Воронеж, 2006 .— Вып. 10. С. 119-130 .

28. Покорный, Ю.В. Некоторые вопросы качественной теории негладкой задачи Штурма-Лиувилля /Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Труды семинара им. И.Г. Петровского .— М., 2007 .— Вып. 26. С. 255-274 .

29. Покорный, Ю.В. О расширении осцилляционной теории Штурма-Лиувилля на задачи с импульсными параметрами / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Украинский математический журнал .— Киев, 2008 Т. 60. С. 95-99

30. Покорный, Ю.В. и др.] О нерегулярном расширении осциляционной теории спектральной задачи Штурма-Лиувилля / Покорный, Ю.В.// Математические заметки .— М., 2007 Т. 82, вып. 4. С. 578-582

31. Покорный, Ю.В. Об особенностях краевых условий Штурма-Лиувилля / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронежской весенней мат. шк. — Воронеж, 2007

32. Покорный, Ю.В. О дифференциалах Стилтьеса в обобщенной задаче Штурма-Лиувилля /Ю.В. Покорный //Докл. АН. — 2002. Т.383, №5. - С.1-4.

33. Покорный, Ю.В. О задаче Штурма-Лиувилля для разрывной струны /Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров //Изв. вузов. СевероКавказ, регион. Естественные науки. Математика и механика сплошной среды. — 2004. Спецвыпуск. — С.186-191.

34. Савчук, A.M. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами/ A.M. Савчук, A.A. Шкаликов //Мат. заметки. — 1999. — Т.66. — Вып. 6. С.897-911.

35. Сесекин, А.Н. О нелинейных дифференциальных уравнениях в классе функций ограниченной вариации/ А.Н. Сесекин //Дифференциальные уравнения . 1989. - Т.25, № 11 . — С.1925 -1932.

36. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью/ А.Ф. Филлипов. — М.: Наука, 1985. — 224 с.

37. Шабров, С.А. О краевых задачах с импульсными коэффициентами: ди-исертациия кандидатская физико-математических наук. Шабров Сергей Александрович. — Воронеж, 2000. — 74 с.

38. Шабров С. А. О разрешимости нелинейных квазидифференциальных уравнений второго порядка // Воронежская зимняя математическая школа "Современные проблемы теории функций и их приложения": Тез. докл. Воронеж, 1999. С. 230.

39. Давыдова М.Б. Об одной краевой задаче для упругой струны с неза-щемленными концами/ М.Б. Давыдова / / Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы. Воронеж: ВорГУ, 2009. - С.54-59.

40. Давыдова М.Б Дифференциал Стнлтьеса в импульсных задачах с разрывными решениями / Покорный Ю.В., Зверева М.Б., Шабров С.А. // Доклады Академии Наук, 2009. Т. 428, № 5. С.595-597.

41. Давыдова М.Б. Об условиях экстремума функционала с интегралами Стилтьеса /М.Б. Зверева, С.А. Шабров, С.Н. Бровкина/ Актуальные проблемы математики и информатики: Труды математического факультета ВорГУ, 2009. - № 2. С.24 -39.

42. Давыдова М.Б.Оценки функции Грина краевой задачи с разрывными решениями /М.Б. Зверева, С.А. Шабров/ / Актуальные проблемы математики и информатики: Труды математического факультета Воронеж: ВорГУ, 2009. - № 4. С. 16 -27.

43. Давыдова М.Б. О нелинейных краевых задачах с производными по мере /М.Б. Давыдова / / Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы. Воронеж: ВорГУ, 2011. - С.101-106.