Некоторые вопросы качественной теории многоточечных задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Майорова, Светлана Павловна

• Майорова, Светлана Павловна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Майорова, Светлана Павловна

содержание

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО

ОПЕРАТОРА

§1. Свойства интегрального оператора Я

§2. Свойства интегрального оператора В&

§3. Свойства интегрального оператора В а

§4. Осцилляционность спектра интегрального

оператора В

ГЛАВА 2. ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА

СИНГУЛЯРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

§5. Спектральные свойства сингулярных двухточечных

краевых задач

§6. Спектральные свойства сингулярных многоточечных краевых задач

ГЛАВА 3. ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРАЕВЫХ

ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТИПА БЕССЕЛЯ

§7. Преобразования дифференциальных уравнений

§8. Спектральные свойства краевых задач для

гипербесселевых уравнений

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы качественной теории многоточечных задач»

введение

В качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений осцилляционные спектральные свойства (вещественность и простота всех собственных значений, правильная перемежаемость нулей собственных функций, чебышевость конечных отрезков из последовательности собственных функций и др.) занимают особое место. Впервые эти свойства были описаны в работах Штурма С571 и Келлога [53,54] для уравнений второго порядка. Келлог выделил класс интегральных операторов с непрерывными симметричными ядрами, для которых соответствующие краевые задачи обладают осцилляционными спектральными свойствами. Впоследствии такие ядра были названы ядрами Келлога.

Результаты Келлога послужили основой развития осцилляционной теории двухточечных задач для уравнений старших порядков. В ряде работ Ф.Р.Гантмахера и М.Г.Крейна [5, 6, 16-18] изучены интегральные операторы с несимметричными ядрами и получены осцилляционные свойства спектра двухточечных задач для уравнений четвертого и выше порядков. Отметим, что полное доказательство результатов, связанных с несимметричными ядрами, появилось в печати значительно позже в работах А.Ю.Левина и Г.Д.Степанова £20, 21].

Дальнейшее развитие осцилляционной теории шло в направлении расширения классов краевых задач, функция Грина которых являлась ядром Келлога. Существенным продвижением в этом направлении явилось получение специальных оценок функции Грина Ю.В.Покорным [35-37,39,41]. Полученные оценки позволили описать спектральные свойства для многоточечных

задач Балле Пуссена [38,39,43] и для некоторых нестандартных (переопределенных) задач [22,23,31,40,42,451. И, наконец, распространение результатов Келлога на интегральные операторы с разрывными ядрами [2-4, 46] позволило установить осцилляционные спектральные свойства для так называемых "разрывных" краевых задач [43.

Многоточечным задачам не Валле-Пуссеновского типа посвящены работы А.Л.Тептина [47, 48]. Вопросы асимптотики спектра и разложимости функций в ряд по собственным (корневым) функциям рассматривались в работах А.П.Хромова [49, 50] (для двухточечных задач) и М.Г.Завгороднего [7] (для многоточечных задач).

Изучение спектральных свойств сингулярных краевых задач началось сравнительно недавно. Одни из первых результатов в этом направлении получены В.И.Юдовичем [51,52]. Им установлены осцилляционные свойства спектра для задачи на оси для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Эти исследования получили свое продолжение в работах Ю.В.Покорного и А.В.Боровских С 1,44]. Результаты В.И.Юдовича были распространены на дифференциальный оператор с переменными коэффициентами.

Изучение спектральных свойств сингулярных краевых задач на отрезке проводилось в работах Ю.В.Покорного и К.П.Лазарева [38,40,43]. В указанных работах установлены осцилляционные свойства спектра сингулярных краевых задач Балле Пуссена для уравнения вида

х(п) + рАг)х(п~1) + ... + =

/ тъ

с суммируемыми коэффициентами. У функции q(t) допускались несуммируемые особенности на концах отрезка и в некоторых его внутренних точках. При этом особенности и краевые условия согласовывались: порядок особенности в каждой точке аь не превосходит где vi - число краевых условий в

этой точке. Дополнительно предполагалось, что порядок особенности в каждой точке не превосходит п-1. Такие особенности называют "слабыми", а краевую задачу - задачей со "слабыми" особенностями.

Сингулярные краевые задачи изучались И.Т.Кигурадзе и его учениками [13, 14]. Были установлены теоремы существования и единственности решений, получены априорные оценки решений и др. Спектральные свойства при этом не изучались.

Поведение решений дифференциального уравнения второго порядка в случае, когда правая часть уравнения непрерывна и имеет нули, изучалось в работах Р.Лангера [55,56]. Решения таких уравнений на каждом интервале между нулями правой части записывались с помощью функций Бесселя, а затем склеивались. Уравнения старших порядков Р.Лангером не рассматривались.

Данная работа посвящена изучению спектральных свойств двухточечных и многоточечных сингулярных задач с "сильными" особенностями, когда порядок особенностей на концах отрезка может быть как угодно близок к порядку п дифференциального оператора. Устанавливается осцилляционность спектра таких задач.

В диссертационной работе также изучается класс дифференциальных уравнений, к которым сводится уравнение (1) с помощью стандартной замены переменной. Функция q(t)

предполагается непрерывной на отрезке, за исключением конечного числа точек. В этих точках q(t) либо обращается в нуль, либо имеет особенности порядка не выше п. Доказано, что уравнение (1) приводимо к уравнению типа Бесселя. При ограничениях на порядок нуля функции q(t) доказана осцилляционность спектра двухточечной краевой задачи для уравнения типа Бесселя.

Приведем краткое описание полученных результатов по главам.

В первой главе работы (§§1-4) изучаются спектральные свойства интегрального оператора Еида

(Bx)(t) =

а

q(s)x(s)

B(t,s) -5-5 ds (2)

( s-a)'-(b-s)i-

c непрерывной функцией B(t,s), удовлетворяющей оценке

\B(t,s)\ < Ng(t,s) ( a<t,s<b ) (3)

где g(t,s) - функция Грина элементарной задачи -х" = у, х(а) = х(Ъ) = 0.

Оператор такого вида возникает при обращении сингулярной краевой задачи второго порядка

q(t)

х" + p.(t)x' + pJt)x = X-5-5 х (a<t<b) ,

1 2 (t-a)(b-t)

x(a+0) = х(Ъ-О) = 0 .

Предполагается, что функция q(t) допускает представление q(t) = (t-a)a(b-t)1 * q(t), где а, и q(-)

принадлежит пространству С(а,Ъ) непрерывных и ограниченных на интервале (а,Ъ) функций. Подставляя ца) в интегральный оператор В, приходим к оператору

(в хни =

а

•ь ва,з)х(з)

(з-а)2~а(Ь-з)1+*

йэ , ос,Ш0,1)

В §1 установлено, что для любой х(») е С(а,Ъ) интеграл

(Н х)а) равномерно сходится на (а,Ъ). Равномерная

сходимость и оценка (3) функции ва,з) позволяют доказать

следующее утверждение:

ТЕОРЕМА 1.1. Для любых а, 13 € (0,1) функция уШ =

=СЕЫ .х)а),где х(•)€С(а1Ъ), представима в виде уИ)=а-а)*у-а 1 р

х(Ь-г)1'^ уа) , где у(.)£С(а,Ъ).

Рассмотрим линейное пространство Я . таких функций

а > р

у(-)€С(а,Ъ), что

I уа)\

вир ---т-- <00 Га, $€(0,1) ).

ТЕОРЕМА 1.2. Оператор Я . действует из пространства

«> р

С(а,Ъ) в пространство В 0 и непрерывен.

», р

В §2 главы 1 изучаются свойства интегрального оператора

1

а а-а )а(ь-г)1 а

Рассмотрим пространство Е непрерывных на [а,Ы функций г(<) таких, что г(а)=г(Ь)=0 . Пространство Е включает в себя все пространства Ба ^ . Установлено:

ТЕОРЕМА 2.3. Оператор Ва действует из пространства Е

в пространство Е .

ТЕОРЕМА 2.4. Функции из множества Вй(ИО образов единичного шара ОС пространства С(а,Ъ) равностепенно непрерывны на любом компакте [а1,Ъ1]с(а,Ъ).

В §3 главы 1 изучается интегральный оператор В ,

Q f

который представляет собой суперпозицию интегрального оператора В и оператора умножения на функцию q( •), т.е.

Сх.

В z=B (qz), z<zC(a,b). Здесь функция q( •) предполагается

Qfа **

непрерывной на отрезке [а,Ы, строго положительной внутри (а,Ъ) и q(a) = q(b) = 0. Справедливы

ТЕОРЕМА 3.1. Оператор В действует из пространства

q, а

С(а,Ъ) в пространство Е и непрерывен.

ТЕОРЕМА 3.2. Оператор Вл вполне непрерывен. Предположим дополнительно, что B(t,s)>0 внутри квадрата (а,Ъ)х(а,Ъ) и является ядром Келлога. Тогда верно:

ТЕОРЕМА 3.5. Оператор Bq л имеет в С(а,Ъ) осцилля-ционный спектр.

В §4 главы 1 доказывается осцилляционность спектра интегрального оператора В

(Bx)(t) =

а

Г q(s)x(s)

B(t,s)-5-5 ds , х£С(а,Ъ).

(s-a)^(b-s)^

Напомним, что функция B(t,s) непрерывна по совокупности переменных t,s на квадрате [а,Ъ]х[а,Ъ], удовлетворяет оценке О < B(t,s) < Ng(t,s) (a<t,s<b) и является ядром Келлога. Относительно функции q предполагается, что q(>) непрерывна на [а,Ы, строго положительна внутри (а3Ъ) и q(a)=q(b)=0. Кроме того, накладывается ограничение на характер нулей

функции q. А именно, предполагается , что функция q(^)

а 1-$ л

представима в виде ца)=а~а) (Ь-Ь) q(t) при некоторой (¡(•)£С(а,Ъ) иа,&€(0,1).

При сделанных предположениях установлено:

ТЕОРБА 4.1. Оператор В действует из пространства С(а,Ъ) в пространство Е 0 и непрерывен.

а г Р

ТЕОРЕМА 4.2. Для любых чисел т,0£(0,1) собственная функция х(Ь) оператора В, отвечающая собственному значению ЫО, принадлежит пространству Е^ Л .

Устанавливается связь между спектрами оператора В и оператора Вд в, описанного в §3.

ТЕОРЕМА 4.3. Спектры операторов В и Вд в совпадают с учетом кратностей.

Данная теорема, а также теорема 4.2 позволяют доказать центральный результат главы 1:

ТЕОРЕМА 4.4. Оператор В имеет осцилляционный спектр.

Глава 2 состоит из двух параграфов (§§5-6). В ней изучаются спектральные свойства двухточечных (§5) и многоточечных (§6) сингулярных краевых задач.

На множестве Вп(а,Ъ) функций хЦ) таких, что х(1)(')€С(а,Ъ), 1=0,п-2 и производная х(п~1)(') абсолютно непрерывна на любом отрезке [а1 ,Ъ11<=.(а,Ъ), рассматривается неосциллирующий линейный дифференциальный оператор Ъ вида

Ъх = х(п) + р1а)х(п~1) + ... + Рпа)х

с суммируемымим на [а,Ы коэффициентами Рг( •) •

В §5 главы 2 для оператора Ь на конечном интервале (а,Ъ) рассматривается двухточечная краевая задача

Балле Пуссена

q(t)

Lx - д -х ( a<t<b ) (4)

(t-a)n(b-t)n

x(a+0)= x' (a+0)=...=x(v~1) (a+0)= 0,

(5)

х(Ъ-0)= x' (Ъ-0)=. ..=x(v~1) (Ъ-0)= 0 (v+Tj=n, v>1, г)>1).

Здесь /¿-спектральный параметр и функция q(t) предполагается непрерывной на отрезке fa,bi , удовлетворяющей неравенству (-1 )\(t)>0 внутри (а,Ъ) и равенствам q(a)= q(b)= О .

Наряду с оператором L рассмотрим интегральный оператор

гь q(s)

(Ax)(t) = Г G(t,s)-x(s)ds ,

I (s-a)n(b-s)n

где G(t,s) - ядро интегрального оператора (т.е. функция Грина), обращающего краевую задачу Lx=f при краевых условиях (5).

Введем два пространства функций: Еп и smf.

Обозначим через Еп множество функций x€Dn(a,b) , удовлетворяющих краевым условиям (5) .

Обозначим через множество функций х(•)€С(а,Ъ)

\x(t)\

таких, что sup --——--rr-r- < a> ( а,Ш0,1) ) .

t€(a,b) (t-a^^^ib-t)^

Отметим, что v=7)=1 пространство ш1 совпадает с

пространством Я 0 , введенным в главе 1. Доказана

ТЕОРЕМА 5.2. Оператор А действует из пространства

Еп в пространство т1 и непрерывен.

Установлена связь оператора А с оператором В,

введенным и изученным в главе 1 (§4).

ТЕОРЕМА 5.3. Спектры операторов А и В совпадают с учетом кратностей, причем собственные функции х. и х„

а Ь

операторов А и В соответственно, отвечающие одному и тому же собственному значению Х0 , связаны соотношением хАа) = иа)хва), где иа) = а-а)у~1 съ-о™.

Выше было установлено (теорема 4.4 главы 1), что оператор В имеет осцилляционный спектр. Отсюда вытекает:

ТЕОРЕМА 5.4. Пусть функция q( t) удовлетворяет оценке \яа)\ < са~аР(Ъ~1)х при некоторых положительных константах С, тех. Тогда оператор А имеет осцилляционный спектр.

Установлена связь между собственными значениями и собственными функциями оператора А и краевой задачи (4), (5).

ЛЕША 5.4. Множество собственных значений -Сд&} краевой задачи (4), (5) и множество собственных значений {Х2г> оператора А , за исключением нуля, связаны следующим соотношением: для любого собственного значения д^ краевой задачи найдется собственное значение оператора А

такое, что д&= 1/% , и обратно. При этом собственным значениям ц , Х^ краевой задачи и оператора А соответственно отвечает одна и таже собственная функция х(Ь) .

В силу леммы 5.4 из теоремы 5.4 вытекает, что краевая задача (4), (5) имеет осцилляционный спектр (теорема 5.5).

В §6 главы 2 рассматривается сингулярная краевая задача с многоточечными краевыми условиями Балле Пуссена:

Ъх = д-х ( а<КЬ ) , (6)

а-а)п(ъ^)пиа)

х(а.)= х' (а.)=...=х ь (а,)= 0 (1=Т7т; п&2), (7)

т-1 у

где =п, а=а,<а<:...<а =Ъ и иЦ) = | а~а.) 1.

12 т * 12 т » о ^

Функция ца) предполагается непрерывной на [а,Ы,

V

удовлетворяющей условиям q(a)=q(Ь)= 0, (-1) тц(1)>0 внутри (а,Ъ) и 1дШКт-а)г(Ъ-г)6 при г,8>0.

Вводится интегральный оператор А, обращающий краевую задачу (6), (7), и изучаются его свойства.

В этом параграфе рассуждения проводятся по той же схеме, что и в §5, с использованием результатов главы 1. Устанавливается связь между множеством собственных значений и собственных функций оператора А и интегрального оператора

B, введенного в главе 1.

ТЕОРЕМА 6.3. Спектры операторов А ж В совпадают с учетом кратностей, причем собственные функции хА и хв операторов А и В соответственно, отвечающие одному и тому же собственному значению X , связаны соотношением хАИ) =

1 ГП

= и.а)хла), где илг) =- а-а.) .

1 в 1 а-а)(ь-г) 1=1 1

Используя осцилляционность спектра оператора В доказываются осцилляционные свойства спектра оператора А:

ТЕОРЕМА 6.4. Пусть функция дШ удовлетворяет оценке

при некоторых положительных константах

C, х и эе. Тогда спектр оператора А состоит из бесконечной последовательности вещественных положительных простых собственных значений Х0> X1>... , сходящейся к нулю. Если Хк

соответствует собственная функция то функции ф^И) =

= <9ка)/ и1а) обладают следующими свойствами:

а) имеет внутри (а,Ъ) точно к нулевых точек и все они являются узлами ( к = О, 1, ...) ;

б) при каждом к между любыми последовательными нулями из (а3Ь) находится точно один нуль Фк(ш) (перемежаемость нулей);

в) последовательность образует интерполирующий

ряд (ряд Маркова) на (а,Ъ) , т.е. при каждом к система <Ф1>о есть система Чебышева порядка к на (а,Ъ) .

Аналогично §5 устанавливается связь между собственными значениями и собственными функциями оператора А и краевой задачи (6), (7) и доказывается следующее утверждение:

ТЕОРЕМА 6.5. Пусть функция удовлетворяет оценке

\<^(t)\<D(t-a)Ъ-Ьпри некоторых положительных константах С, т и ае. Тогда спектр краевой задачи (6), (7) состоит из бесконечной последовательности вещественных положительных простых собственных значений ц0< ... . Если

соответствует собственная функция то функции Ф-^а) -

- (Рка)/ и1а) обладают свойствами а)-в) теоремы 6.4.

Глава 3 состоит из двух параграфов (§§7-8). В §7 на отрезке [0,1] рассматривается уравнение

Ъх = К^(г)х (8)

( ) п~1 ( )

для дифференциального оператора Ъх = х1п; + £ р а)х(т->

т=0

с непрерывными коэффициентами Рпа)- Предполагается, что

f(t) непрерывна и положительна на отрезке 10,11, за исключением конечного числа точек £, 1=1,га. В точках функция / либо обращается в нуль, либо имеет суммируемую особенность. Уравнения (4) и (6) (при u(t)'zO), изученные в главе 2, являются частными случаями уравнения (8). Так, например, если положить

f(t) = %-uVt/ , t(1-t)

то получим уравнение вида (4). При соответствующем подборе функции f(t) можно получить и уравнение (6). Установлено:

ТЕОРЕМА 7.1. В каждой точке t$10,13, в которой функция / определена, не обращается в нуль и имеет производную порядка (п-1), уравнение (8) приводимо к виду

у(п) + ПЕ ръ(х)у(ю =Ху (9)

k=0 R

с непрерывными в точке % = x(t) коэффициентами

Пусть £ - точка отрезка [0,1], в которой функция / либо обращается в нуль, либо не определена. Положим % = %(£).

Поведение коэффициентов Pk(t) в окрестности точки %0 описано в следующей теореме:

ТЕОРЕМА 7.2. Коэффициенты pfe(%) дифференциального уравнения (9) в окрестности точки xQ представимы в виде

= г 11 \n-2t ' № >

где - некоторые непрерывные в окрестности точки %0

функции, за исключением быть может самой точки % .

При дополнительных предположениях относительно функции fit) показано, что hk(x) имеют конечный и отличный от нуля (при кф0) предел в точке % .

Пусть f(t) = it-£\~ah(t), где оt<1, афО и функция h(t) п-1 раз непрерывно дифференцируема и строго положительна в некоторой окрестности точки Тогда верно следующее

утверждение:

ТЕОРЕМА 7.4. Функции к = О,п-1 непрерывны в

окрестности точки xQ, причем Н^х^фО при кФО и а ф -13 -2, ... , -п+к+ 1.

Пусть функция / непрерывна и строго положительна на отрезке [0,1J, за исключением конечного числа точек &2< < ... < g . Кроме того, пусть в каждой точке t , отличной от точек ... , £m, функция fit) дифференцируема п-1

раз, а в окрестности каждой точки (k=TJh) представима в

виде fit) = It-tj h(t), где Ф 0, Ф О и ак<1.

Положим х = к^ТТт,; и(х) = (х-х, )(x-xj.. .(х-х ).

& & 12т

Тогда верно:

ТЕОРЕМА 7.5. Уравнение (8) приводимо к виду

У

, л h Ах) , h Jx) , Ъ.(х)

(п) + jn-zl-у(п-1) + -у(п-2) +ятт+ _0-у = ^

U(X) bt(t) ип(х)

где \(х) - непрерывные на отрезке [0,Т1 функции, причем Ф 0 при к = 1,п-1 ж Ф -1, -2, ... , -п+к+1.

В §8 главы 3 изучаются спектральные свойства краевых задач для гипербесселевых уравнений. Рассматривается краевая задача для дифференциального уравнения (8):

(10)

х(п) + £ ръ(г)хсю = Xfn(t)x ( о< t <1 ) k=0 R

при двухточечных краевых условиях Балле Пуссена вида х(+0) = х' (+0) = ... = х(у~1)(+0) = О,

х(1-0) = х' (1-0) = ... = х(Г)~1)(1-0) = О,

В силу результатов §5 главы 2 верно:

ТЕОРЕМА 8.3. Краевая задача для уравнения (8), где

-а -а

f(t) - t (1-t) h(t), при краевых условиях (10) имеет осцилляционный спектр.

На (0,1) рассмотрим гипербесселево уравнение вида

у(п) + hn-1(x) у(п-1) + ПП-2(Х) у(п-2) +

х(1-х) х2(1-х)2

hjx)

+ ... + -- у = Ху (И)

хп(1-х)п

Будем говорить, что уравнение (11) принадлежит классу

то , если оно можеть быть получено из уравнения (8) при

-а -а

f(t) = t (1-t) 2 h(t), где a1fa2 < 1 и а?а2 Ф О, заменой

ь 1

переменной x(t) = ~ | f(s)ds, где Т = | f(s)ds.

Установлено, что класс arc „ не пуст.

' л „ . ai _

1 * 2

ТЕОРЕМА 8.5. Пусть уравнение (11) принадлежит классу

да таких <V Ä2' ЧТО - yZj < OLj <1, - ф[ < <Х-2 <1

и otfa2 ф 0. Тогда краевая задача для уравнения (11) при условиях

у(+0) = у' (Ю) = ... = y(v~1)(+0) = О,

(12)

У(1~0) = у'(1-0) = ... = у<Г)~1)(1-0) = О,

(V+7)=n, Гр1).

имеет осцилляционный спектр.

Будем говорить, что уравнение

у(п) + VfV^. у = (13)

T f <tn

принадлежит классу жа, если оно принадлежит классу ак й

7 j 2

при ос =<х и а =0, т.е. может быть получено из уравнения (8)

7 ¿-

при f(t) = t~* h(t).

ТЕОРЕМА 8.6. Пусть уравнение (13) принадлежит классу зг^ при - ytj < а <1 и а ф 0. Тогда краевая задача (13), (12) имеет осцилляционный спектр.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть гипербесселево уравнение

у(п) + К-1 у(п-1) + у(п-г) +тая+ jl у> = ху (14)

% Xе- <cn~7

где 0 - константы, принадлежит классу при - ~f < cl <1 и a ф 0. Тогда краевая задача (14),(12) имеет осцилляционный спектр.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: на научной школе-семинаре "Разрывные динамические системы" (Ужгород, 1991); на Воронежских весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1992), "Понтрягинские чтения - IV" (Воронеж, 1993); на Воронежских зимних школах "Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании" (Воронеж, 1993), "Современные проблемы механики и математической физики" (Воронеж, 1994), "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1997); на научно - практических конференциях ВВШ МВД России (Воронеж, 1995, 1998), а так же обсуждались на семинаре по качественной теории краевых задач под руководством профессора Ю.В.Покорного.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9-12, 24-30, 32, 33].

Об организации текста диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Нумерация параграфов сплошная. Формулы и утверждения (теоремы, леммы) имеют двойную нумерацию,первая цифра указывает на номер параграфа.

В заключение автор выражает сердечную благодарность своим научным руководителям: Ю.В. Покорному и М.Г.Завгороднему. При работе над данной диссертационной работой их помощь и поддержка оказали немалую услугу автору.

Автор также признателен участникам семинара по качественной теории краевых задач под руководством профессора Ю.В.Покорного (НИИ математики ВГУ) за полезные и плодотворные обсуждения результатов данной работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Майорова, Светлана Павловна, 1998 год

литература

1. Боровских A.B. О спектре сингулярных дифференциальных операторов// Деп. в ВИНИТИ 4.07.88, $ 5379 - В88. 28 с.

2. Боровских A.B. О спектре интегральных операторов с разрывными осцилляционными ядрами// Деп. в ВИНИТИ 15.03.89, Л> 1684 - В89. 26 с.

3. Боровских A.B., Покорный Ю.В. Системы Чебышева -Хаара в теории разрывных ядер Келлога// Успехи матем. наук. 1994. Т.49, вып. 3 (297). С. 3 - 42.

4. Боровских A.B., Лазарев К.П., Покорный Ю.В. Об осцилляционных спектральных свойствах разрывных краевых задач// Докл. АН. 1994. Т.335, $ 4. С. 409-412.

5. Гантмахер Ф.Р. О несимметрических ядрах Келлога// Докл. АН СССР. 1936. Т. ИХ), № 1(78). С.3-5.

6. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М.-Л., Гостехиздат, 1950. 360 с.

7. Завгородний М.Г. О спектре многоточечной краевой задачи// Дифференц. уравнения. 1984. Т.20, №8. С. 1443-1444.

8. Завгородний М.Г., Майорова С.П. О базисности системы корневых функций некоторых сингулярных краевых задач// Тез. докл. научно-практической конференции BBHI МВД России. Воронеж, 1995. С. 10 - И.

9. Завгородний М.Г., Майорова С.П. Осцилляционность спектра одного класса краевых задач для дифференциальных уравнений высших порядков типа уравнения Бесселя// Сб. науч. трудов ВВШ МВД России, вып. 3, ч.1. Воронеж,1996. С.111-117.

10. Завгородний М.Г., Майорова С.П. О спектре краевых

задач для дифференциальных уравнений высших порядков типа уравнений Бесселя// Тез. докл. школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 1997. С. 73.

И. Завгородний М.Г., Майорова С.П. Об эквивалентности сингулярного уравнения и уравнения бесселева типа// Тез. докл. научно-практической конференции ВВШ МВД России. Воронеж, 1998. Часть 2. С. 88 - 89.

12. Завгородний М.Г., Майорова С.П. Осцилляционность спектра краевых задач для уравнений типа Бесселя// Деп. в ВИНИТИ 30.10.98, № 3121 - В98. 37 с.

13. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1975. 352 с.

14. Кигурадзе И.Т., Шехтер Б.Л. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Современ. проблемы математики. М., 1987. Т. 30. С. 105-201.

15. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев A.B. Позитивные линейные системы:метод положительных операторов. М.: Наука, 1985. 256 с.

16. Крейн М.Г. О несимметрических осцилляционных функциях Грина обыкновенных дифференциальных операторов // Докл. АН СССР. 1939. Т.25, J68. С. 643-646.

17. Крейн М.Г. Осцилляционные теоремы для обыкновенных дифференциальных операторов произвольного порядка// Докл. АН СССР. 1939. Т.25, № 9. С. 717-720.

18. Крейн М.Г., Нудельман A.A. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. 552 с.

19. Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения х(п) +

+ р1 а)х(п~1} + ... + р (Их = 0 // Успехи матем. наук. 1969. Т.24, Л 2. С. 43-96.

20. Левин А.Ю., Степанов Г.Д. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижающими числа перемен знака// Сиб. матем. журнал. 1976. Т.17, № 3. С. 606-625.

21. Левин А.Ю., Степанов Г.Д. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижающими числа перемен знака// Сиб. матем. журнал. 1976. Т. 17, 14. С. 813-830.

22. Майорова С.П. Об одной несвязной краевой задаче// Деп. в ВИНИТИ 27.07.88, & 6093-В88. 24 с.

23. Майорова С.П. Об одной "сшитой" краевой задаче// Тез. докл. XIII Всесюзн. школы по теории операторов в функц. пространствах. Куйбышев, 1988. С. 120.

24. Майорова С.П. Осцилляционность спектра одной задачи с сильной особенностью // Тез. докл. науч. школы - семинара "Разрывные динамические системы". Ужгород/Киев, 1991. С.36.

25. Майорова С.П. О спектре одной неклассической краевой задачи// Тез. докл. школы "Современные методы в теории краевых задач". Воронеж, 1992. С. 71.

26. Майорова С.П. Осцилляционность спектра одной сингулярной краевой задачи// Деп. в ВИНИТИ 30.11.92, $ 3394-В92. 29 с.

27. Майорова С.П. 0 спектре дифференциального оператора высшего порядка типа оператора Бесселя//Тез. докл. конференции "Информационные технологии и системы. Технологические задачи механики сплошных сред". Воронеж, 1992. С. 104.

28. Майорова С. П. 0 спектре краевой задачи с сильным вырождением // Тез. докл. школы "Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании". Воронеж,

1993. С. 83.

29. Майорова С.П. Осцилляционные спектральные свойства сингулярной многоточечной задачи// Тез. докл. школы "Понтря-гинские чтения - IV". Воронеж, 1993. С. 125.

30. Майорова С.П. Спектральные свойства одного интегрального оператора// Тез. докл. школы "Современные проблемы механики и математической физики". Воронеж, 1994. С. 66.

31. Майорова С.П. О спектре одной неклассической задачи// Тез. докл. школы "Понтрягинские чтения - VII". Воронеж, 1996. С. 121.

32. Майорова С. П. Спектральные свойства некоторых сингулярных краевых задач. Часть 1 (интегральный оператор)// Деп. в ВИНИТИ 30.10.98, № 3119 - В98. 35 с.

33. Майорова С.П. Спектральные свойства некоторых сингулярных краевых задач. Часть 2 (краевая задача)// Деп. в ВИНИТИ 30.10.98, № 3120 - В98. 17 с.

34. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.

35. Покорный Ю.В. 0 некоторых оценках функции Грина многоточечной краевой задачи//Матем. заметки. 1968. Т.4, №5. С. 533-540.

36. Покорный Ю.В. Некоторые оценки функции Грина задачи Балле Пуссена// Тр. науч.-исслед. ин-та математики ВГУ. 1975. № 19. С.95-103.

37. Покорный Ю.В. Некоторые оценки дифференцируемых функций// Матем. заметки. 1977. Т.21, Л 5. С. 653-664.

38. Покорный Ю.В. 0 спектре интерполяционной краевой задачи// Успехи матем. наук. 1977. Т.32, № 6. С. 198-199.

39. Покорный Ю.В. О функции Грина многоточечной краевой

задачи// Дифференц. уравнения. 1978. Т.14, № 4. С.760-761.

40. Покорный Ю.В. О неклассической задаче Балле Пуссена// Дифференц. уравнения. 1978. Т.14, № 6. С.1018-1027.

41. Покорный Ю.В. Вопросы качественной теории краевой задачи Балле Пуссена// Автореферат дисеерт. доктора физико -математических наук. Ленинград, 1980.

42. Покорный Ю.В. О знакорегулярных функциях Грина некоторых неклассических задач// Успехи матем. наук. 1981. Т.36, Л 4. С. 205-206.

43. Покорный Ю.В., Лазарев К.П. Некоторые осцилляцион-ные теоремы для многоточечных задач// Дифференц. уравнения. 1987. Т.23, Ш 4. С.658-670.

44. Покорный Ю.В., Боровских A.B. Об осцилляционности спектра задач на некомпактном интервале// Проблемы современной теории периодических движений: Межвуз.сб.научн.тр. ИМИ. Ижевск, 1988. № 9. С.21-30.

45. Покорный Ю.В., Шурупова И.Ю. Об осцилляционных свойствах спектра краевой задачи с функцией Грина, меняющей знак// Укр. мат. журнал. 1989. Т.41, $ И. С.1521-1526.

46. Покорный Ю.В., Боровских A.B. О теореме Келлога для разрывных функций Грина // Матем. заметки. 1993. Т.53, № 1. С.151-153.

47. Тептин А. Л. Об осцилляционных свойствах спектра одной краевой задачи// Функц.-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. Пермь, ППИ. 1987. G. 112-124.

48. Тептин А. Л. Об осцилляционных свойствах спектра комбинированной многоточечной задачи// Проблемы современной теории периодических движений: Межвуз.сб.научн.тр. ИМИ. Ижевск, 1988. № 9. С.31-44.

49. Хромов А. П. Дифференциальный оператор с нерегулярными распадающимися краевыми условиями// Матем. заметки. 1976. Т.19, № 5. С.763-772.

50. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями// Матем. сб. 1966. Т.170. С.310-329.

51. Юдович В. И. Об осцилляционных краевых задачах на прямой// Деп. в ВИНИТИ 14.08.80, № 3631-80. 17 с.

52. Юдович В. И. Спектральные свойства осцилляционного дифференциального оператора на прямой// Успехи матем. наук. 1983. Т.38, № 1. С. 205-206.

53. Kellog O.D. The Oscillation of Functions of an Orthogonal Set// Amer. J. Math. 1916. V. 38. P.1-5.

54. Kellog O.D. Orthogonal Function Sets Arising from Integral Equations// Amer. J. Math. 1918. V. 40. P.145-154.

55. Langer R. On the asymptotic solutions of ordinary differential equations, with an application to the Bessel functions of large order// Trans. Amer. Math. Soc. 1931. V. 33. P. 23-64.

56. Langer R. The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of the second order, with spectral reference to the Stokes phenomenon// Bull. Amer. Math.Soc. 1934. V. 40. P. 545-582.

57. Sturm C. Sur une class d'équations a differences partielle// J. Math. Pures. Appl. 1836. V. 1. P. 373 - 444.