Новый подход к математическому моделированию временных рядов в экологии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Калуш, Юрий Александрович

• Калуш, Юрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Калуш, Юрий Александрович

1. Введение

1.1. Объект исследования

1.2. Краткая формулировка задачи и описание метода

1.3. Содержание работы

2. Обзор существующих методов исследования временных рядов

2.1. Анализ функции тренда

2.2. Анализ периодических (сезонных) колебаний

2.3. Анализ случайной составляющей

2.4. Обсуждение

3. Анализ и моделирование временных рядов

3.1. Математическая постановка задачи

3.2. Случайные переключения простых динамик

3.3. Случай периодических переключений простых динамик

3.4. Динамика изменения численности в условиях периодических чередований благоприятных и критически неблагоприятных условий

3.5. Обсуждение

4. Автоматизированная система моделирования временных рядов

4.1. Общее описание программного комплекса

4.2. Алгоритм построения модели

4.3. Структура программного комплекса «Система математического 69 моделирования временных рядов»

4.4. Функциональные характеристики программного комплекса СММВР

4.5. Аналитическое выражение для экстраполирующей функции

4.6. Обсуждение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новый подход к математическому моделированию временных рядов в экологии»

Последние десятилетия свидетельствуют о возникновении своеобразного "экологического взрыва" — во всем мире резко возрос интерес к экологическим проблемам (см., например [1—15] и цитируемую там литературу). Приблизительно 20 лет назад экологии стали придавать значение, которое далеко выходит за рамки определения ее как раздела биологии. Изучая взаимосвязи между организмами и окружающей их средой, круговорот веществ и потоки энергии, делающих возможным существование жизни на Земле, экология связывает между собой различные области естествознания. Вполне естественно, что одни из самых мощных методов современного естествознания — математические методы, — стали широко применяться для решения экологических проблем. Возникла и бурно развивается наука — математическая экология [2, 4, 13, 16 — 19]. Одной из центральных проблем экологии вообще, и математической экологии в частности, является проблема устойчивости экосистем [20 — 24].

Экологические системы представляют собой функциональное единство биологических организмов и окружающей среды. Экосистемы можно охарактеризовать как открытые системы с поступлением и выносом энергии и вещества, с их внутренним круговоротом, который охватывает три типа организмов, различающихся по характеру физиологии питания: автотрофов, консументов и деструкторов. Богатые энергией органические вещества продуцируются автотрофами, используются консументами (как растительноядными, так и плотоядными) и возвращаются в круговорот деструкторами. Ясно, что существовать довольно долго могут только устойчивые экологические системы. Пределы устойчивости определяют максимальные нагрузки на экосистему, превышение которых приводят к «экологической катастрофе», т. е. к разрушению экосистемы [5]. Мы всегда сталкиваемся с проблемой устойчивости, рассматривая вопросы эксплуатации природных популяций и сообществ, оценивая пределы загрязнения среды, учитывая последствия тех или иных природно-хозяйственных мероприятий. Все эти оценки только тогда наглядны и убедительны, когда они являются количественными. Поэтому необходимы математические модели экосистем и математические методы анализа их состояния.

При математическом моделировании экосистем привлекается весь арсенал достижений современной математики, в частности, аппарат теории нелинейных дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных, стохастическое исчисление, разнообразные теоретико-вероятностные подходы, численные методы и т.д. (см., например, [3,4,8—10,17,20,21,25—29]). Экспериментальной основой математических методов анализа экосистем являются наблюдения за поведением изучаемой экосистемы. Измеряемые характеристики экосистем, чаще всего протяженны по времени и носят как непрерывный, так и дискретный характер. Множество таких показателей, протяженных во времени называют временным рядом (ВР). Временные ряды являются важной частью изучения процессов, происходящих в экосистемах. Математические аспекты анализа ВР можно найти в [30 — 55].

В данной работе рассматривается новый метод описания временных рядов, позволяющий не только построить математическую модель временного ряда, но и произвести его экстраполяцию на некоторый промежуток времени [56 — 65].

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Калуш, Юрий Александрович

5. Заключение

Предложенная работа посвящена новому методу моделирования временных рядов. Метод заключается в том, что моделирование временного ряда производится отдельно для участков возрастания ВР и для участков его убывания. Это позволяет использовать для построения модели простые гладкие кривые. Полученные модельные функции смешиваются по некоторому закону, определяемому сменой участков возрастания, убывания временного ряда. Простота моделирования с использованием названной методики позволила создать пакет программ, позволяющий построить модель ряда и экстраполировать его поведение на некоторый будущий промежуток времени. Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Сформулирован новый подход к моделированию экологических временных рядов, как некоторой суперпозиции детерминированных и (или) стохастических монотонных состояний.

2. Представлены точно решаемые модели ВР при стохастическом и периодическом перемешивании.

2.1. Выведены точные уравнения для одноточечной плотности вероятности значений исследуемого временного ряда при случайном перемешивании по закону Пуассона. Для случая одной переменной получено его решение в стационарном пределе. Принципиально важным является то, что усредненное поведение ряда (виды стохастических распределений) зависит от соотношения трех параметров: характерных времен убывания и возрастания и характерного времени смены состояний. В реальных ситуациях частота смены состояний характеризуется чаще всего внешними для экосистемы условиями, например, чередованием благоприятных и неблагоприятных условий, в частности сезонными изменениями, антропогенным прессингом и т. п.

2.2. Рассмотрен случай периодического перемешивания динамик. Показано, что как и в случае стохастического перемешивания, результирующее поведение ВР (амплитуда, частота и форма релаксационных колебаний, а также уровень, относительно которого происходят колебания) зависит от соотношения характерных времен возрастания, убывания и характерного времени смены состояний. Найдены соотношения между характерными временами возрастания, убывания и характерным временем переключения состояний, позволяющие оценить стационарное поведение ряда.

3. На базе сформулированного подхода создан программный комплекс, дающий возможность проводить моделирование и экстраполяцию временных рядов.

На основе полученных результатов можно утверждать, что предложенный метод, наряду с известными методами, является достаточно мощным средством анализа временных рядов, которое с успехом может быть использовано для анализа временных рядов в экологии, а также в других областях знания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Калуш, Юрий Александрович, 1998 год

1. Наука об окружающей среде: Как устроен мир: в 2-х т. т. 1. М.: Мир, 1993, —424 с.

2. Федоров В.Д., Гильманов Т.Г. Экология, М.: Изд-во МГУ, 1980. — 464 с.

3. Уатт К.Е. Экология и управление природными ресурсами. М.: Мир, 1971. — 464 с.

4. Смит Дж. М. Модели в экологии. М.: Мир, 1976. — 184 с.

5. Медоуз Д.Х., Медоуз Д.Л., Рандерс Й. За пределами роста. М.: Издательская группа «Прогресс», «Пангея», 1994. — 304 с.

6. Маргалеф. Р. Облик биосферы. М.: Наука, 1996. — 214 с.

7. Грант В. Эволюционный процесс. М.: Мир, 1991. — 488 с.

8. Глобальное потепление: Доклад Гринпис /Под ред. Дж.Леггетта. М.: Изд-во МГУ, 1993, —272 с.

9. Бигон М., Харпер Дж., Таунсенд К. Экология. Особи, популяции и сообщества: в 2-ч. т. 1. М.: Мир, 1989. — 667 с.

10. Бигон М., Харпер Дж., Таунсенд К. Экология. Особи, популяции и сообщества: в 2-ч. т. 2. М.: Мир, 1989. — 477 с.

11. Кабанов М.В. Региональный мониторинг атмосферы. Томск: изд-во СО РАН, 1997. 4.1 — 211 е., ч.2 — 295 с.

12. Naveh Z. Landscape ecology. Berlin, Heidelberg, New-York: Springer, 1998. — 420 p.

13. May R.M. Stability and complexity in model ecosystems. Princeton: Princeton Univ. Press, 1973, —515 p.

14. Campbell G.S., Norman J.M. An introduction to environmental biophysics.

15. Berlin, Heidelberg, New-York: Springer, 1997. — 286 p.

16. Bailey R.G. Ecoregions. Berlin, Heidelberg, New-York: Springer, 1998. 190 p.

17. Горбань A.H., Хлебопрое Р.Г. Демон Дарвина: Идея оптимальности и естественный отбор. М.: Наука, 1988. —208 с.

18. Bascompte J., Sole R.V. Modeling spatiotemporal dynamics in ecology. Berlin, Heidelberg, New-York: Springer, 1997. — 230 p.

19. Hastings A. Population Biology. Berlin, Heidelberg, New-York: Springer, 1997. — 220 p.

20. Turcelli M. Random environment and stochastic calculus. //Theor. Pop. Biol., 1977, № 12, p. 140 — 178.

21. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978, — 352 с.

22. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987. — 368 с.

23. Жизнеспособность популяций /под редакцией М.Сулея. М.: Мир, 1989. — 224 с.

24. Mey R. Stability in randomly fluctuating versus deterministic environments. //Amer. Natur, 1973, № 107, p. 621 — 650.

25. Свирежев Ю.М., Сидорин А.П. Об устойчивости биологических сообществ под действием случайных факторов. //Биофизика, 1979, т. 24, № 4, с. 741 — 746.

26. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир, 1987, — 400 с.

27. Волькенштейн М.В. Биофизика. М.: Наука, 1988. — 592 с.

28. Краснощеков П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: Изд-во МГУ, 1983, —264 с.

29. Привальекий В.Е. Климатическая изменчивость (стохастические модели, предсказуемость, спектры). М.: Наука, 1985. — 184 с.

30. Феллер В. Введение в теорию случайных процессов и ее приложения. М.: Мир, 1967. т. 1 — 528 е., т. 2 — 738 с.

31. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: "Мир", 1976. — 755 с.

32. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физматгиз, 1963. — 500 с.

33. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды.М.: Наука, 1976, — 725 с.

34. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973. — 900 с.

35. Отнес Р., Эноксон JI. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. М.: Мир, 1982. — 482 с.

36. Мостеллер Ф., Тьюки Дж. Анализ данных и регрессия. М.: Финансы и статистика, 1982. — 239 с.

37. Brockwell Peter J. Time series: theory and methods. New-York: Springer — Verlag, 1996. — 577p.

38. Лидбеттер M., Линдгрен Г., Ротсен X. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир, 1989. — 392 с.

39. Бендат Дж., Пирсол А. Приложения корреляционного и спектрального анализа. М.: Мир, 1982. — 312 с.

40. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989, — 540 с.

41. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Выпуск 1. М.: Мир, 1974. — 402 с.

42. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Выпуск 2. М.: Мир, 1974. — 200 с.

43. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980, —524 с.

44. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения, вып. 1. М.: Мир, 1971, —316 с.

45. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения, вып. 2. М.: Мир, 1972, —288 с.

46. Димиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981. — 302 с.

47. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Статистика, 1973, —402 с.

48. Леман Э.А. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1979. — 342 с.

49. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.: Связь, 1976. — 496 с.

50. Brockwell P.J. Introduction to time series and forecasting. Berlin, Heidelberg, New-York: Springer, 1996. — 420 p. (Springer texts in statistics)

51. Anderson T.W., Finn J.D. The new statistical analysis of data. Berlin, Heidelberg, New-York: Springer, 1996. — 712 p.

52. Hayashi C., Yajima K., Bock H.H. and others. Data science, classification andrelated methods. Berlin, Heidelberg, New-York: Springer, 1998. — 784 p.

53. Box G.E.P., Pierce D.A. Distribution of residual autocorrelations in autoregressive-integrated moving average time series models. //J. Amer. Statist. Assoc, 1970, v. 65, p.1509-1526.

54. Geweke J. Porter-Hudak S. The estimation and application of long-memory time series models. //J. Time Series Analysis, 1983, v. 4, p. 221-238.

55. Hurvich C.M., Tsai C.L. Regression and time series model selection in small samples. //Biometrika, 1989, v. 76, p. 297-307.

56. Ljung G.M., Box G.E.P. On a measure of lack of fit in time series models, //Biometrika, 1978, v. 65, p. 297-303.

57. Логинов B.M., Калуги Ю.А. Новый подход к математическому моделированию динамики экосистем. //Сибирский экологический журнал, т.2, № 3, 1995, с. 196 —210.

58. Логинов В.М., Калуш Ю.А. Математическое моделирование временных рядов, возникающих при мониторинге природных процессов. //Оптика атмосферы и океана, т.9, № 5, 1996, с. 681 — 687.

59. Логинов В.М., Калуш Ю.А. Периодическое перемешивание динамических поведений в экосистемах. //Комплексное изучение аридной зоны Центральной Азии (Материалы международного рабочего совещания, Кызыл, 1994), Кызыл, 1998. с. 111 — 116.

60. Логинов В.М., Калуш Ю.А. Моделирование рядов долговременных наблюдений. //Труды 4 международного симпозиума "Эксперимент Убсу-Нур". М.: Интеллект, 1996. с. 127-135.

61. Логинов В.М., Калуш Ю.А. Программный комплекс для анализа ипрогнозирования временных рядов. //III Межреспубликанский симпозиум «Оптика атмосферы и океана», Томск, 1996, с. 215 — 216.

62. Логинов В.М., Калуги Ю.А. Новый метод моделирования временных рядов. //Второй сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ — 96), Новосибирск, 1996, с. 10 — 11.

63. Loginov V.M. New mathematical approach to modeling of temporary behaviour of ecosystems. // Modeling, Measurement & Control, C, Vol. 53, N 3, p.57-63,1995.

64. A. c. 970532 Россия, / Система математического моделирования временных рядов / В.М. Логинов, Ю.А. Калуш. 1997.

65. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. Справ. Изд. /С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин; Под ред. С.А. Айвазяна. М.: Финансы и статистика, 1985. — 487 с.

66. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Основы моделирования ипервичная обработка данных. Справ. Изд. /С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин; Под ред. С.А. Айвазяна. М.: Финансы и статистика, 1983. — 471 с.

67. Karpe H.-J., Often D., S.C. Trinidade (Eds.). Climate and Development. Druckhaus Beltz: Springer-Verlag, 1990. — 477 p.

68. Капица А.П. Противоречия в теории образования озоновых дыр. //Оптика атмосферы и океана, т. 9, № 9, 1996. с. 1164 — 1167.

69. Айвазян С.А., Бежаева З.И., Староверов О.В. Классификация многомерных наблюдений. М.: Статистика, 1974. — 240 с.

70. Марпл.-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990, —584 с.

71. Пухов Г.Е. Дифференциальные спектры и модели. Киев: Наук. Думка, 1990. — 184 с.

72. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1966. — 404 с.

73. Мелник М. Основы прикладной статистики. М.: Энергоиздат, 1983. — 416 с.

74. Хинчин А. Я. //Успехи математических наук, 1938, т.5, с 42-51.

75. Гренджер К., Хатанака М. Спектральный анализ временных рядов в экономике. М.: Статистика, 1972. — 312 с.

76. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Наука, 1972, —495 с.

77. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. — 512 с.

78. Калиткин H.H., Кузьмина Л.В. Об естественных интерполяционныхсплайнах. //Математическое моделирование, т.6, № 4, 1994. с. 77 — 114.

79. Калиткин Н.Н., Терехова Н.И. Естественные параболические интерполяционные сплайны. //Математическое моделирование, т. 1, № 11, 1989. с. 100— 106.

80. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. — 312 с.

81. Kosanovic'B., Chaparro L.F., Sclabassi R. Signal analysis in fuzzy information space. Fuzzy Sets and Syst. 1966, 77, № 1, p 49 — 62.

82. Федер E. Фракталы. M.: Мир, 1991. — 254 с.

83. Андреев С.Д., Ивлев JI.C. Временная и пространственная изменчивость полей оптических и аэрозольных характеристик в атмосфере. Часть I. Оптические характеристики атмосферы. //Оптика атмосферы и океана, 1997, т. 10, № 12, с. 1440-1449.

84. Андреев С.Д., Ивлев Л.С. Временная и пространственная изменчивость полей оптических и аэрозольных характеристик в атмосфере. Часть II. Аэрозольные характеристики. //Оптика атмосферы и океана, 1997, т. 10, № 12, с. 1450-1455.

85. Иванов С. С. Оценка фрактальной размерности самоаффинных множеств: метод встречного масштабирования дисперсий. //ДАН РАН, т. 332, № 1,1993. с 89 — 92.

86. Li W.K., Mcleod A.I. Fractional time series modelling. //Biometrika, 1986, v. 73, p. 217-221.

87. Edgar G.A. Integral, probability and fractal measures. Berlin, Heidelberg, New-York: Springer, 1998. — 286 p.

88. Frisch U., Bourret R. Parastochastics. //J. Math. Phys., 1970, v. 11, № 2, p. 364 — 390.

89. Bourret R., Frisch U., Pouquet A. Brownian motion of harmonic oscillator with stochastic frequency. //Physica, 1973, v. 65, № 2, p. 303 — 320.

90. Шапиро В.E., Логинов ВМ. Динамические системы при случайных воздействиях. Новосибирск: Наука, 1983. — 160 с.

91. Балантер Б.И. Вероятностные модели в физиологии. М.: Наука, 1977. — 150 с.

92. Балдангийн Жамбаажамц, Базарын Цэвэлсурен. Картирование климатических элементов котловины оз. Уве. //Труды международного рабочего совещания «Комплексное изучение геоэкосистем аридной зоны Центральной Азии», Кызыл, 1994, с. 59 — 66.

93. Brissaud A., Frisch U. Solving linear stochastic differential equations. //J. Math. Phys., 1974, v. 15, № 5, p. 524 — 534.

94. Van Kampen N.G. Stochastic differential equations. //Phys. Rep., 1976, v. 24c, № 3, p. 173 — 228.

95. Loginov V.M. Simple mathematical tool for statistical description of dynamical system under random actions. //Acta physica polonica B, 1996, v. 27, № 3, p. 693 — 735.

96. Трой Д. Программирование на языке Си для персонального компьютера IBM PC. М.: Радио и связь, 1991. — 432 с.

97. Ласло М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на С++. М.: БИНОМ, 1997, — 304 с.

98. Спенс P. Clipper. Руководство по программированию. Версия 5.01. Мн.: Тивали, 1994, —480 с.

99. Зубов B.C. Clipper & FoxPro. Практикум пользователя. М.: Информационно-издательский дом "ФИЛИНЪ", 1996. — 496 с.

100. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. Получисленные алгоритмы. М.: Мир, 1987. — 728 с.

101. Землетрясения в СССР в 1987 г. М.: Наука, 1990. — 323 с.

102. Землетрясения в СССР в 1988 г. М.: Наука, 1991. — 382 с.

103. Землетрясения в СССР в 1989 г. М.: Наука, 1993. — 399 с.

104. Тихонов В.И., Миронов В.А. Марковские процессы. М.: Сов. Радио, 1977. — 488 с.