Новые топологические нетривиальные решения в струнной гравитации и космологии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Давыдов, Евгений Александрович

• Давыдов, Евгений Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Давыдов, Евгений Александрович

1 Введение

1.1 Термодинамика черных дыр.

1.2 Принцип соответствия струна — черная дыра.

1.3 Темная материя и темная энергия.

1.4 Скалярные поля в космологии.

1.5 Гравитирующие солитоны и топологические дефекты во вселенной

1.6 Решения с цилиндрической симметрией.

1.7 Симметрии калибровочных полей и размерная редукция

1.8 Цель диссертационного исследования.

1.9 План диссертации.

2 Черные дыры в теории гетеротической струны

2.1 Черная дыра Гаусса-Бонне с дилатоном.

2.2 Эффективное действие для гетеротической струны.

2.3 Локальное решение на горизонте.

2.4 Численный анализ.

2.4.1 Регулярные решения для экстремальной черной дыры

2.4.2 Образование черной дыры.

2.4.3 Черные дыры, несущие только электрический заряд

2.5 Энтропия.

2.6 Выводы.

3 Космология Вайнберга-Салама

3.1 Пространственно-однородная модель Вайнберга

Салама

3.2 Динамика вселенной.

3.2.1 Аналитическое решение для статического скалярного поля

3.2.2 Динамический анализ полной системы.

3.3 Численные решения.

3.3.1 Поздний переход к ускоренному расширению.

3.3.2 Циклическая эволюция.

3.4 Выводы.•.

4 Неабелевы космические струны

4.1 Цилиндрически-симметричная система ЭЯМ.

4.1.1 Анзац для метрики и калибровочного поля.

4.1.2 Симметрии редуцированного действия.

4.2 Уравнения движения и условия на полярной оси.

4.2.1 Разложения на полярной оси в плоском пространстве

4.2.2 Локальные решения в при наличии гравитации.

4.2.3 Интегральные параметры системы.

4.3 Асимптотическое поведение системы.

4.3.1 Решение в асимптотической области.

4.3.2 Условия существования асимптотических вакуумных решений

4.3.3 Параметры Казнера.

4.3.4 Топология вакуума и сохраняющиеся токи.

4.4 Численный анализ.

4.4.1 Решения в плоском пространстве.

4.4.2 Решения при наличии гравитации.

4.5 Взаимодействие с дилатоном.

4.6 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые топологические нетривиальные решения в струнной гравитации и космологии»

1.1 Термодинамика черных дыр

Законы термодинамики черных дыр были предвосхищены в знаменитой работе Бардина, Картера и Хокинга [1]. Нулевой закон гласит, что поверхностная гравитация ks стационарной черной дыры является одинаковой в любой точке на горизонте событий. Под поверхностной гравитацией понимается ускорение объекта на горизонте с точки зрения наблюдателя на бесконечности [2,3]. Первый закон связывает изменение массы М с изменением площади горизонта А, углового момента J и заряда q по формуле

5М=—6А + и 5J+(f)6q, о7Г где и — частота вращения черной дыры, а ф — потенциал электростатического поля. Эти два закона описывают динамику стационарной черной дыры и могут быть получены из общих симметрий системы, не зависимо от конкретных уравнений движения.

Особую роль играет площадь горизонта событий черной дыры. Второй закон гласит, что в классической теории она не может убывать, в том числе и для системы черных дыр, в которых возможно их слияние. Подобной характеристикой термодинамической системы является энтропия. Третий закон гласит, что поверхностная гравитация не может достичь нуля за конечное время ни при каком физическом процессе. Исключение представляет подкласс экстремальных черных дыр, которые изначально образуются в состоянии с нулевой поверхностной гравитацией. Согласно Хокингу поверхностная гравитация соответствует температуре черной дыры Т = /£5/(271") (в единицах с = Н = С? — 1), определяющей ее квантовое испарение [4]. В свою очередь, это позволяет установить численное соотношение между энтропией (Бекенштейна-Хокинга) и площадью горизонта: 5 = А/(4тг).

Микроскопическая интерпретация энтропии черной дыры является прерогативой квантовой гравитации. Теория суперструн, которая претендует на роль такой теории действительно предоставляет ряд примеров когда такое вычисление возможно в терминах микросостояний струны или Б-бран [5-10]. Однако установление соответствия между состояниями струны и параметрами черной дыры нетривиально. Идея состоит в том, что черные дыры и возбужденные состояния струны можно интерпретировать как дуальное описание одного и того же объекта [11-13].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Давыдов, Евгений Александрович

4.6 Выводы

В этой главе мы построили новое солитонное решение в теории Эйнштейна-Янга-Миллса [102,103]. Известными аналогами этого решения являются магнитный геон Мельвина и абелева космическая струна, однако отличительным свойством нашей модели является наличие солитонных решений и в плоском пространстве. Было проведено исследование топологии асимптотических ва-куумов на оси симметрии и на пространственной бесконечности. Они оказались тривиальными, а соответствующее калибровочное преобразование из одного вакуума в другой — „малым". Как было показано, в системе присутствует сохраняющийся ток.

Мы продемонстрировали, что при наличии гравитации конфигурация обладает конечной энергией и является асимптотически Риччи-плоской, в то время как в плоском пространстве мы встречаемся с характерной для цилиндрической симметрии логарифмической расходимостью полей и энергии. Также мы рассмотрели систему при наличии поля дилатона в плоском пространстве. Было получено, что влияние дилатона аналогично включению гравитации для поля Янга-Миллса, которое асимптотически становится вакуумным.

В начале главы мы осуществили детальное построение статического магнитного анзаца для поля Янга-Миллса 5£/(2) с цилиндрической симметрией. Рассматриваемый нами анзац является наиболее полным, удовлетворяющим требуемым симметриям. Затем мы построили нетеровские заряды и продемонстрировали наличие дискретной симметрии для исследуемого анзаца. Вследствие этой симметрии в системе возникает не одна струна, как это имеет место для решения Мельвина или в модели абелевой космической струны а две. Одну из них, мы назвали ^-струной (соответственно направлению силовых линий магнитного поля, образующего эту струну), которая и возникала в конфигурациях с полем Максвелла. Другая струна, соответственно, была названа (¿»-струной: в абелевой теории она сингулярна на оси, поэтому такая конструкция и не рассматривалась ранее. Но, как мы показали, в неабелевом случае взаимодействие двух струн позволяет получить решения, регулярные на оси симметрии. Другое отличие от абелевого случая состоит в том, что не для всех локальных решений, регулярных на оси, существуют регулярные решения: должно выполняться особое условие бифуркации. Это условие было нами найдено, и оно, как оказалось, с точностью до множителя воспроизводит условие возникновения решения Мельвипа в модели космической струны.

Заметим, что полученная метрика для д^ с переходом от г-2/3 к г4/3 на некотором расстоянии от оси описывает горловину для цилиндрической кротовой норы. Получается межмировая кротовая нора, связывающая ограниченное по радиальной координате внутреннее пространство, заполненное магнитным полем, направленным вдоль оси г, с внешним пространством, в котором калибровочное поле быстро стремится к вакуумному значению. Горловина оказывается заполненной магнитным полем с ненулевой азимутальной компонентой

В заключение этой главы скажем, что подобную систему можно рассмотреть и в теории супергравитации Фридмана-Шварца 5С/(2) х ¿>[/(2). Возникает вопрос о существовании суперсимметричных обобщений полученного решения. Как известно, соответствующие абелевы конфигурации ?7(1) х 1/(1) были рассмотрены в работе [101], где было показано отсутствие суперсимметрии для решения Мельвина. Но, как было показано в работах [104,105], для сферически-симметричного статического случая подобные магнитные конфигурации допускают погружение в суперсимметрию, при более сложной остаточной группе калибровочных симметрий: 817(2) х 1/(1). Поэтому, наличие суперсимметрии для рассмотренной конфигурации еще возможно в рамках неабелевого сектора. Также интересно было бы исследовать возможность замены сингулярного решения на решение с горизонтом черной дыры [106,107].

Глава 5

Заключение

Работа посвящена построению новых топологически нетривиальные решений в теории калибровочных полей и теории струн, в которых определяющую роль играет гравитация. Исследовались солитоны в теории Эйнштейна-Янга-Миллса с цилиндрической симметрией, космологические решения с полями Янга-Миллса и Хиггса, а также черные дыры в струнной гравитации. При исследовании применялись аналитические и численные методы. Были получены следующие основные результаты:

• Построены решения для экстремальных черных дыр в теории гетеро-тической струны с учетом поправок по кривизне. Показано, что квадратичные поправки делают возможным существование черных дыр с горизонтом Ас132 х 52 и обнаружено, что ранее известное решение такого типа в теории без квадратичных поправок обладает дополнительной симметрией относительно ¿"-дуальности.

• Проведено исследование пространства параметров локального решения с точки зрения существования соответствующих глобальных асимптотически плоских решений. Ранее исследования в литературе, в основном, ограничивались локальными решениями. Мы показали, что в данной теории наличие локальных решений на горизонте не гарантирует существования глобальных регулярных решений. Однако в рамках данной конфигурации нами была найдена область в пространстве параметров, которой соответствует набор состояний, допускающий интерпретацию как переход струна — черная дыра.

Построена космологическая модель с темной энергией на основе полей, присутствующих в бозонном секторе теории Вайнберга-Салама. Предлагаемая модель описывает переход от горячей вселенной к экспоненциально расширяющейся и позволяет избежать космологической сингулярности типа схлопывания в точку за счет отскока и образования новых циклов. Ускоренное расширение возникает за счет квазисфале-ронной конфигурации поля Хиггса, когда скалярное поле играет роль космологической постоянной. При этом, его взаимодействие с калибровочным полем Янга-Миллса порождает стационарное состояние вселенной на ранней стадии эволюции, что позволяет задержать ускоренное расширение до более позднего этапа. Учет внутренних степеней свободы хиггсового дублета приводит к доминированию материи над темной энергией на ранней стадии эволюции вселенной.

В рамках исследования космологии построен полный однородный и изотропный анзац для поля Янга-Миллса 311(2) со скалярным дублетом Хиггса. Проведен динамический анализ и продемонстрирована квазипериодическая смена инфляционного периода и этапов сжатия вселенной.

Построено новое солитонное решение в теории Янга-Миллса 31/(2) как при наличии гравитации, так и в плоском пространстве. Конфигурация такого решения представляет собой две взаимодействующие струны, одна из которых — это известное ранее решение Мельвина (возникающее также и в модели абелевой космической струны). Вторая струна возникает только в рассмотренной нами неабелевой модели. Для найденных струнных солитонов построены сохраняющиеся токи.

Метрика этого струнного решения интерполирует между пространством Минковского вблизи оси симметрии и асимптотической казнеровской метрикой, а в переходной области представляет собой горловину цилиндрической кротовой норы. Поскольку калибровочная симметрия в данной модели не нарушена, поля убывают достаточно медленно, и конфигурация не может быть асимптотически плоской, как для абелевой космической струны. Тем не менее, энергия конфигурации конечна (на единицу длины), и асимптотическая метрика является Риччи-плоской. В отсутствие гравитации асимптотически поле не является вакуумным, однако в теории с дилатоном возможны решения с асимптотическим вакуумом для поля Янга-Миллса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Давыдов, Евгений Александрович, 2009 год

1. J. M. Dardeen, B. Carter, S. W. Hawking. The Four laws of black hole mechanics // Commun. Math. Phys. - 1973. — v. 31 — p. 161-170.

2. R. M. Wald. General Relativity / Chicago, Usa: Univ.Pr., 1984. — 491pp.

3. V. P. Frolov, I. D. Novikov. Black hole physics: Basic concepts and new developments / Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic, 1998. — 770 pp.

4. S. W. Hawking. Particle Creation by Black Holes // Commun. Math. Phys.- 1975. v. 43. - p. 199-220.

5. T. Mohaupt. Supersymmetric black holes in string theory // Fortsch. Phys.- 2007. v. 55. - p. 519-544. - hep-th/0703035.

6. T. Mohaupt. Black hole entropy, special geometry and strings // Fortsch. Phys. 2001. - v. 49. - p. 3-161. - hep-th/0007195.

7. T. Mohaupt. Black holes in supergravity and string theory // Class. Quant. Grav. 2000. - v. 17. - p. 3429-3482. — hep-th/0004098.

8. J. M. Maldacena, A. Strominger, E. Witten. Black hole entropy in M theory // JHEP. 1997. - v. 9712. - p. 002-017. - hep-th/9711053.,

9. J. M. Maldacena. Black holes in string theory / Ph. D. Thesis. — UMI-96-27605, 1996. 102 pp. - hep-th/9607235.,

10. B. D. Chowdhury, S. Giusto, S. D. Mathur. A Microscopic model for the black hole Black string phase transition // Nucl. Phys. B. — 2007. — v. 762.- p. 301-343. hep-th/0610069.

11. Susskind. Some speculations about black hole entropy in string theory // hep-th/9309145.

12. E. Halyo, B. Kol, A. Rajaraman, L. Susskind. Counting Schwarzschild and charged black holes // Phys. Lett. B. 1997. - v. 401. - p. 15-20. - hep-th/9609075].

13. G. T. Horowitz, J. Polchinski. A Correspondence principle for black holes and strings // Phys. Rev. D. 1997. - v. 55. - p. 6189-6197. - hep-th/9612146].

14. G. W. Gibbons. Supersymmetric Soliton States In Extended Supergravity Theories // Unified Theories Of Elementary Particles: proceedings. — Muenchen, 1981. p. 145-151.

15. A. Strominger, C. Vafa. Microscopic origin of the Bekenstein-Hawking entropy // Phys. Lett. B. 1996. - v. 379. - p. 99-104. — hep-th/9601029].

16. J. Polchinski. Dirichlet Branes and Ramond-Ramond charges // Phys. Rev. Lett. 1995. - v. 75. - p. 4724-4727. - hcp-th/9510017].

17. L. Cornalba, M. S. Costa, J. Penedones, P. Vieira. From fundamental strings to small black holes // JHEP. 2006. - v. 0612. - p. 023-058. - hep-th/0607083].

18. A. Sen. Stretching the horizon of a higher dimensional small black hole // JHEP. 2005. - v. 0507. - p. 073-098. - hep-th/0505122].

19. A. Sen. Entropy function for heterotic black holes // JHEP. — 2006. — v. 0603. p. 008-33. — hep-th/0508042].

20. A. Sen. Black hole entropy function and the attractor mechanism in higher derivative gravity // JHEP. 2005. - v. 0509. - p. 038-50. - hep-th/0506177].

21. R. Cai, D. Pang. Entropy function for non-extremal black holes in string theory // JHEP. 2007. - v. 0705. - p. 023-42. - hep-th/0701158],

22. A. Sen. How does a fundamental string stretch its horizon? // JHEP. — 2005. v. 0505. - p. 059-096. - hep-th/0411255],

23. V. Hubeny, A. Maloney, M. Rangamani. String-corrected black holes // JHEP. 2005. - v. 0505. - p. 035-058. - hep-th/0411272].

24. C. Chen, D. V. Gal'tsov, D. G. Orlov. Extremal black holes in D=4 Gauss-Bonnet gravity // Phys. Rev. D. 2007. - v. 75. - p. 084030-084044. -hep-th/0701004].

25. G. L. Cardoso, B. Wit, T. Mohaupt. Corrections to macroscopic supersymmetric black hole entropy // Phys. Lett. B. — 1999. — v. 451. — p. 309-316. hep-th/9812082].

26. G. L. Cardoso, B. Wit, T. Mohaupt. Deviations from the area law for supersymmetric black holes // Fortsch. Phys. 2000. — v. 48. — p. 49-64. — hep-th/9904005],

27. G. L. Cardoso, B.Wit, T. Mohaupt. Macroscopic entropy formulae and nonholomorphic corrections for supersymmetric black holes // Nucl. Phys. B. 2000. - v. 567. - p. 87-110. - hep-th/9906094],

28. G. L. Cardoso, B. Wit, T. Mohaupt. Area law corrections from state counting and supergravity // Class. Quant. Grav. — 2000. — v. 17. — p. 1007-1015. — hep-th/9910179].

29. B. Zwiebach. Curvature Squared Terms and String Theories // Phys. Lett. B.- 1985. v. 156. - p. 315-324.

30. J. A. Harvey, G. .W. Moore. Five-brane instantons and R2 couplings in N=4 string theory // Phys. Rev. D. — 1998. — v. 57. — p. 2323-2328. — hep-th/9610237],

31. K. Behrndt, G. L. Cardoso, S. Mahapatra. Exploring the relation between 4-D and 5-D BPS solutions // Nucl. Phys. B. 2006. - v. 732. - p. 200-223.- hep-th/0506251.

32. G. L. Cardoso, B. Wit, J. Kappeli, T. Mohaupt. Stationary BPS solutions in N=2 supergravity with R2 interactions // JHEP. — 2000. — v. 0012. -p. 019-051. hep-th/0009234].

33. J. E. Horvath. Dark matter, dark energy and modern cosmology: the case for a Kuhnian paradigm shift // arXiv:0809.2839].

34. V. Sahni. Dark matter and dark energy // Lect. Notes Phys. — 2004. — v. 653. — p. 141-180. arXiv:astro-ph/0403324].

35. A. G. Riess et al. New Hubble Space Telescope Discoveries of Type la Supernovae at z > 1: Narrowing Constraints on the Early Behavior of Dark Energy // Astrophys. J. — 2007. — v. 659. — p. 98-121. arXiv:astro-ph/0611572],

36. W.M. Wood- Vasey et al ¡ESSENCE Collaboration]. Observational Constraints on the Nature of the Dark Energy: First Cosmological Results from the ESSENCE Supernova Survey // Astrophys. J. 2007. - v. 666. - p. 694-715. - arXiv:astro-ph/0701041].

37. V. Sahni and A. Starobinsky. Reconstructing dark energy // Int. J. Mod. Phys. D. 2006. - v. 15. - p. 2105-2132. - arXiv:astro-ph/0610026],

38. A. Linde. Particle Physics and Inflationary Cosmology / Harwood academic publishers, Chur, Switzerland, 1980. 362 pp. — hep-th/0503203].

39. V. N. Pervushin and V. I. Smirichinsky. On the cosmological origin of the homogeneous scalar field in unified theories // arXiv:gr-qc/9704078].

40. B. Ratra, P. J. E. Peebles. Cosmological consequences of a rolling homogeneous scalar field // Phys. Rev. D. — 1988. v. 37. — p. 3406-3472.

41. C. Molina-Paris, M. Visser. Minimal conditions for the creation of a Friedman-Robertson-Walker universe from a 'bounce' // Phys. Lett. B. — 1999. v. 455. - p. 90-95. - gr-qc/9810023].

42. V. V. Dyadichev, D. V. Gal'tsov, A. G. Zorin. NonAbelian Born-Infeld cosmology // Phys. Rev. D. 2002. - v. 65. - p. 084007-084025 - hep-th/0111099].

43. M. Cruz, E. Martinez-Gonzalez, P. Vielva and L. Cay on. Detection of a non-Gaussian Spot in WMAP // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 2005. - v. 356.- p. 29-43. arXiv:astro-ph/0405341.

44. M. Cruz, L. Cay on, E. Martinez-Gonzalez, P. Vielva and J. Jin. The non-Gaussian Cold Spot in the 3-year WMAP data // Astrophys. J. — 2007. — v. 655. p. 11-21. - arXiv:astro-ph/0603859].

45. M. Cruz, N. Turok, P. Vielva, E. Martinez-Gonzalez and M. Hobson. A Cosmic Microwave Background feature consistent with a cosmic texture // Science. 2007. - v. 318. - p. 1612-1614. - arXiv:astro-ph/0710.5737].

46. R.L.Davis. Cosmic texture // Phys.Rev.D. — 1987. — v.35. — p.3705-3717.

47. N. Turok. Global Texture as the Origin of Cosmic Structure // Phys. Rev. Lett. — 1989. v. 63. — p. 2625-2641.

48. M. A. Melvin. Pure magnetic and electric geons // Phys. Lett. — 1964. — v.8. p. 65-70.

49. R. S. Coleman, L. Smarr. Are there geon analogs in sourceless gauge-field theories? // Commun. Math. Phys. — 1977. v. 56. — p. 1-19.

50. M. Demianski. Static electromagnetic geon // Found. Phys. — 1986. — v. 16.- p. 187-190.

51. D. Garfinkle. General relativistic strings // Phys.Rev.D. — 1985. — v. 32.- p.1323-1329.

52. H. B. Nielsen and P. Olesen. Vortex-line models for dual strings // Nucl. Phys. B. 1973. - v. 61. - p. 45-61.

53. R. C. Tolman. Static solutions of Einstein's field equations for spheres of fluid // Phys. Rev. 1939. - v. 55. - p. 364-373.

54. K. A. Bronnikov and J. P. S. Lemos. Cylindrical wormholes // arXivrgr-qc/0902.2360].

55. M. S. Volkov. Gravitating Yang-Mills vortices in 4+1 space-time dimensions // Phys. Lett. B. 2002. - v. 524. - p. 369-375. - hep-th/0103038].

56. P. G. Bergmann, E. Flaherty. Symmetries in gauge theories // J. Math. Phys. 1978. - v. 19. - p. 212-214.

57. P. Forgacs, N. Manton. Space-Time symmetries in gauge theories // Comm. Math. Phys. 1980. - v. 72. - p. 15-55.

58. D. V. Gal'tsov. Einstein-Yang-Mills solitons: towards new degrees of freedom // Proc. Int. Seminar Mathematical Cosmology. — Potsdam, 1998. p. 92-103. - gr-qc/9808002],

59. T. Damour, G. Veneziano. Selfgravitating fundamental strings and black holes // Nucl. Phys. B. 2000. - v. 568. - p. 93-119. - hep-th/9907030].

60. S. J. Poletti, J. Twamley, D. L. Wiltshire. Dyonic Dilaton black holes // Class. Quant. Grav. — 1995. — v. 12. p. 1753-1770. — hep-th/9502054],

61. D. Garfinkle, G. T. Horowitz, A. Strominger. Charged black holes in string theory // Phys. Rev. D. 1991. - v. 43. - p. 3140-3143.

62. G. W. Gibbons and K. Maeda. Black Holes and Membranes in Higher Dimensional Theories with Dilaton Fields // Nucl. Phys. B. — 1988. — v. 298. p. 741-796.

63. A. Sen. Strong-weak coupling duality in four-dimensional string theory // Int. J. Mod. Phys. A. 1994. - v. 9. - p. 3707-3750. - hep-th/9402002].

64. J. A. Harvey and J. Liu. Magnetic monopoles in N=4 supersymmetric low-energy superstring theory // Phys. Lett. B. — 1991. — v. 268. — p. 40-55.

65. R. С. Myers. Black holes in higher curvature gravity // gr-qc/9811042].

66. A. Dabholkar. Exact counting of black hole microstates // Phys. Rev. Lett.- 2005. v. 94. - p. 241301-241305. - hep-th/0409148.

67. D. Bak, S. Kim and S. J. Rey. Exactly soluble BPS black holes in higher curvature N=2 supergravity // hep-th/0501014].

68. D. V. Gal'tsov and E. A. Davydov. Curvature-corrected dilatonic black holes and black hole-string transition // JETP Lett. 2009. — v. 89. — p. 102107.

69. D. V. Gal'tsov, M. S. Volkov. Yang—Mills cosmology: Cold matter for a hot universe // Phys. Lett. B. 1991. - v. 256. — p. 17-21.

70. G. W. Gibbons, A. R. Steif. Yang-Mills cosmologies and collapsing gravitational sphalerons // Phys. Lett. B. — 1994. — v. 320. — p. 245—252.- hep-th/9311098.

71. M.S. Volkov, D. V. Gal'tsov. Gravitating nonAbelian solitons and black holes with Yang-Mills fields // Phys. Rept. 1999. — v. 319. — p. 1-83.- hep-th/9810070.

72. M. J. Duff, R. R. Khuri, J. X. Lu. String solitons // Phys. Rept. — 1995. — v. 259. p. 213-326. - hep-th/9412184].

73. Д. В. Гальцов и E. А. Давыдов. Космологическая модель с полями Янга-Миллса-Хиггса // Сборник статей, посвященный 70-летию профессора А.А.Гриба / Под редакцией В.Ю.Дорофеева, Ю.В.Павлова. — СПб., 2009. стр. 25-44.

74. R. Bartnik, J. Mckinnon. Particle-Like Solutions of the Einstein Yang-Mills Equations // Phys. Rev. Lett. — 1988. — v. 61. — p. 141-144.

75. M. S. Volkov, D. V. Gal'tsov. NonAbelian Einstein Yang-Mills black holes 11 JETP Lett. 1989. - v. 50. - p. 346-350.

76. H. P. Kunzle, A. K.M. Masood ul Alam. Spherically symmetric static SU(2) Einstein Yang-Mills fields // Journ. Math. Phys. 1990. - v. 31. - p. 928935.

77. P. Bizon. Colored black holes // Phys. Rev. Lett. — 1990. v. 64. - p. 28442847.

78. I. Moss. Exotic black holes // gr-qc/9404014].

79. P. Bizon. Gravitating solitons and hairy black holes // Acta Phys. Pol. B. — 1994. v. 25. - p. 877-898.

80. D. Maison. Solitons of the Einstein Yang-Mills theory // gr-qc/9605053];

81. D. Maison. Magnetic monopoles and gravity // Lect. Notes Phys. — 2000.- v. 539. p. 263-278.

82. D. V. Gal'tsov. Gravitating lumps // Proc. of the 16th International conference, Durban, South Africa, 15-21 July 2001 / ed. N. T. Bishop and S. D. Maharaj. World Scientific, 2002. — p. 142-161. — hep-th/0112038].

83. C. W. Misner and J. A. Wheeler. Classical physics as geometry: Gravitation, electromagnetism, unquantized charge, and mass as properties of curved empty space // Annals Phys. — 1957. — v. 2. — p. 525-603.

84. J. P. S. Lemos. Cylindrical black hole in general relativity // Phys. Lett. B.- 1995. v. 46. - p. 46-51. - gr-qc/9404041.

85. S. A. Hayward. Gravitational waves, black holes and cosmic strings in cylindrical symmetry // Class. Quant. Grav. — 2000. — v. 17. — p. 17491764. gr-qc/9909070].

86. R. J. Slagter. Selfgravitating nonAbelian cosmic string solution // Phys. Rev. D. 1999. - v. 59. - p. 025009-025027. - gr-qc/9807034].

87. E.E.Donets, D. V. Gal'tsov, M. Yu. Zotov. Internal structure of Einstein Yang-Mills black holes // Phys. Rev. D. 1997. - v. 56. - p. 3459-3465. -gr-qc/9612063].

88. M. Christensen, A. Larsen, Y. Verbin. Complete classification of the stringlike solutions of the gravitating Abelian Higgs model // Phys. Rev. D. — 1999. v. 60. - p. 125012-125024. - gr-qc/9904049].

89. B. Kleihaus, J. Kunz. Axially symmetric multi-sphalerons in Yang-Mills dilaton theory // Phys. Lett. B. — 1997. v. 392. - p. 135-140. - hep-th/9609180].

90. B. Kleihaus, J. Kunz. Static axially symmetric Einstein Yang-Mills dilaton solutions: 1. Regular solutions // Phys. Rev. D . — 1998. — v. 57. — p. 834856. gr-qc/9707045].

91. J. Colding, N. Nielsen, Y. Verbin. Physical interpretation of cylindrically symmetric static gravitational fields // Phys. Rev. D — 1997. — v. 56. — p. 3371-3380. gr-qc/9705044].

92. V. P. Frolov, W. Israel, W. Unruh. Gravitational Fields Of Straight And Circular Cosmic Strings: Relation Between Gravitational Mass, Angular Deficit, And Internal Structure // Phys. Rev. D. — 1989. — v. 39. — p. 10841096.

93. Y. Verbin. Cosmic strings in the Abelian Higgs model with conformal coupling to gravity // Phys. Rev. D. 1999. - v. 59. - p. 105015-105042. - hep-th/9809002].

94. N. S. Manton. Topology in the Weinberg-Salam Theory // Phys. Rev. D. — 1983. v. 28. - p. 2019-2044.

95. D. V. GaVtsov, M.S. Volkov. Sphalerons in Einstein Yang-Mills theory // Phys. Lett. B. 1991. - v. 273. - p. 255-259.

96. L. F. Abbott, S. Deser. Charge Definition In Nonabelian Gauge Theories // Phys. Lett. B. 1982. - v. 116. - p. 259-271.

97. M. Henneaux, B. Julia and S. Silva. Noether superpotentials in supergravities

98. Nucl.Phys.B. 1999. — v. 563. - p. 448-460. - arXiv:hep-th/9904003.

99. F. Dowker, J. P. Gauntlett, D. A. Kastor, J. H. Traschen. Pair creation of dilaton black holes // Phys. Rev. D. 1994. - v. 49. - p. 2909-2917. -hep-th/9309075].

100. E.Radu, R.Slagter. Melvin solution with a dilaton potential // Class. Quant. Grav. 2004. - v. 21. - p. 2379-2391. - gr-qc/0311075].

101. D. V. Gal'tsov, E. A. Davydov, M. S. Volkov. Einstein-Yang-Mills strings // Phys. Lett. B. 2007. - v. 648. - p. 249-253. - hep-th/0610183].

102. D. V. Gal'tsov, E. A. Davydov. Cylindrically symmetric solitons in Einstein-Yang-Mills theory // Phys. Rev. D 2007. - v. 75. - p. 084016-084037. -hep-th/0612273].

103. A. H. Chamseddine, M. S. Volkov. Non-Abelian solitons in N=4 gauged supergravity and leading order of string theory // Phys. Rev. D. — 1998. v. 57. - p. 6242-6254. - hep-th/9711181],

104. S. S. Gubser, A. Tseytlin, M. Volkov. Non-Abelian 4-d black holes, wrapped 5-branes, and their dual descriptions // JHEP. — 2001. — v. 09. — p. 017069. hep-th/0108205].

105. W. A. Hiscock. On Black Holes In Magnetic Universes // J. Math. Phys. — 1981. v. 22. - p. 1828-1865.

106. M. Ortaggio. Ultrarelativistic black hole in an external electromagnetic field and gravitational waves in the Melvin universe // Phys. Rev. D. — v. 69. — p. 064034-064045. gr-qc/0311088].H