Новые подходы к исследованию временных рядов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Истомин, Илья Александрович

• Истомин, Илья Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Истомин, Илья Александрович

Введение

1 Временные ряды

1.1 Математические основы анализа временных рядов

1.1.1 Реальные динамические системы.

1.1.2 Размерность аттрактора.

1.1.3 Шаг запаздывания

1.1.4 Восстановление динамической системы.

1.2 Математические основы прогнозирования временных рядов.

2 Алгоритмы методов прогнозирования

2.1 Метод сингулярного спектрального анализа.

2.1.1 Шаг первый: построение матрицы запаздываний

2.1.2 Шаг второй: переход к главным компонентам

2.1.3 Шаг третий: прогнозирование.

2.1.4 Замечания

2.2 Метод локальной аппроксимации.

2.2.1 Шаг первый: построение матрицы запаздываний

2.2.2 Шаг второй: выбор локального представления

2.2.3 Шаг третий: поиск ближайших соседей.

2.2.4 Шаг четвертый: определение параметров.

2.2.5 Выбор порядка аппроксимации

2.2.6 Прогноз на несколько шагов вперед.

3 Анализ временных рядов естественного происхождения [57, 58, 59]

3.1 Исследование магнитной активности Солнца

3.1.1 Числа Вольфа.

3.1.2 Использование метода ССА для анализа и прогнозирования магнитной активности Солнца

3.1.3 Использование метода JIA для прогнозирования магнитной активности Солнца.

3.2 Дополнительные замечания

3.3 Глобальная температура и активность Солнца.

3.3.1 Объект исследования.

3.3.2 Корреляция по параметрам прогнозирования

3.3.3 Заключительные замечания о корреляции

4 Обобщенная теория локальной аппроксимации [89]

4.1 Общая модель локальной аппроксимации

4.1.1 Обобщенное выражение JIA.

4.1.2 Система уравнений JIA.

4.1.3 Аналитическое решение задачи прогноза.

4.1.4 Решения задачи прогноза на несколько шагов вперед.

4.2 Ошибка прогноза

4.2.1 Частный случай нулевого порядка

4.2.2 Случай старших порядков.

4.2.3 Предварительные выводы

4.2.4 Влияние точности вычислений на итеративный и прямой прогноз

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые подходы к исследованию временных рядов»

Актуальность темы

Принято считать, что основной задачей естественных наук является описание некоторого явления на основе наблюдений. При этом под описанием подразумевается построение более или менее адекватной модели на основе некоторых допущений. Такая модель должна по возможности более полно описывать наблюдаемое явление, а если получится, то и его дальнейшее развитие. Следовательно, построение модели подразумевает в том числе и решение задачи прогнозирования явления. Последнее, однако, получается далеко не всегда, в основном в силу того, что допущения, положенные в основу построения любой достаточно сложной модели, сильно снижают точность описания явления. Таким образом, в вышеизложенной постановке задачи описания некоторого явления, акцент делается на существующее положение вещей, а не на прогнозирование.

Тем не менее, такой подход к проблеме не является единственным. Уже в средние века, например, главной задачей тогдашних мыслителей было не описание настоящего, а предсказание будущего. Считалось, что настоящие может видеть каждый и понять настоящее могут многие, другое дело будущее. Причем при попытке предсказать будущее не считали обязательным построить исчерпывающую модель, хорошо объясняющую не только поведение прогнозируемого явления, но и какие-нибудь более общие сущности, на прямую к прогнозу не относящиеся. В последующем стали считать, что такая задача прогнозирования ради самого же прогнозирования не может быть решена без построения точной модели.

В настоящее время задача прогноза сложных явлений вновь выходит на первый план. Это связано в том числе и с быстрым развитием как новых математических методов, так и вычислительной техники. Как можно представить явление для целей анализа и прогнозирования? Вполне достаточным здесь оказывается использование понятия временного ряда. Временным рядом можно назвать любую последовательность чисел, полученную в результате измерения через равные промежутки времени какой-либо величины, характеризующей рассматриваемый процесс. Более того, можно даже утверждать, что большинство наших наблюдений можно представить именно как временные ряды. Вместе с тем следует помнить, что такой одномерный временной ряд является всего лишь срезом прогнозируемого явления.

Задача прогнозирования сводится, в рамках нелинейной динамики, к продолжению временного ряда на основе уже имеющейся его части. Отличительной особенностью некоторых методов прогнозирования временных рядов, основанных на теории динамических систем, является то, что эти методы не требуют явным образом строить модель системы, породившей временной ряд. Тем не менее, задача построения модели явления по временному ряду является одной из основных и имеет непосредственную связь с проблемой предсказания.

Конечно же, задача прогнозирования в своей классической постановке уже давно и достаточно детально рассмотрена в рамках математической статистики и не только. Давно известны алгоритмы типа авторегрессии, которые с успехом используются как для целей различных исследований так и в практическом плане, например в финансовом анализе или в метерологии. Однако, во-первых, полученные там результаты относятся чаще к линейным моделям, а в настоящее же время основной интерес для исследования представляют модели сложных нелинейных процессов. Во-вторых, и авторегрессионные методы прогнозирования, и развившиеся в последние время нейросете-вые способы не имели достаточно строгого теоретического обоснования до появления теории динамических систем. Но самое главное заключается не в обосновании, а в том, что нелинейная динамика указала пути совершенствования старых и развития новых способов прогнозирования временных рядов, наложив определенные, хотя и минимальные, ограничения на функцию связи прогнозируемого и предыдущих значений ряда. В рамках теории динамических систем, в качестве таких моделей-кандидатов используется наиболее широкий класс всевозможных дифференцируемых динамических систем, так что свойства будущей модели ограничены минимальным образом.

В каждой области науки при построении модели явления применяются свои допущения и упрощения. Несмотря на то, что нелинейная динамика не накладывает на модели-кандидаты жестких условий, роль упрощений очень важна и здесь. Более того, эти упрощения весьма своеобразны, являясь вместе с тем довольно общими, выходящими за рамки отдельных исследований, и чаще всего связаны с предположением о масштабной инвариантности, наиболее наглядным примером которой являются фракталы. На основе фрактального упрощения, например, возникли алгоритмы обработки и сжатия (в сотни и тысячи раз!) графической информации. Фракталы являются красивым образом динамических систем. Они часто используются в машинной графике для построения изображений. Красивое и, что куда важнее, достоверно имитирующее природный объект изображение могло быть задано всего несколькими коэффициентами. Фрактальное сжатие изображений можно рассматривать как описание объекта, очень сложного в графическом представлении, небольшим числом параметров. Такие параметры в нелинейной динамике называются управляющими.

Одна из основных идей теории сложных систем состоит в том, что их асимптотическое поведение зачастую требует для своего описания сравнительно немного переменных, которые Г.Хакен назвал "параметрами порядка". Его известный принцип подчинения мод заключается в том, что на асимптотической стадии большую часть переменных системы можно приближённо считать алгебраическими функциями параметров порядка. Поэтому при исследовании нелинейных явлений часто используют гипотезу о том, что эти явления можно описать динамической системой сравнительно небольшой размерности ("инерциальной формой"), несмотря на то, что строгие результаты и оценки размерности получены лишь для небольшого класса систем, например, для обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау.

Универсального способа найти эти немногие параметры до сих пор не предложено. В распределённых системах ими часто бывают наиболее длинноволновые и слабее всего затухающие моды. Однако так бывает не всегда. Поэтому при анализе системы всегда возникают вопросы. Сколько в системе параметров порядка? Можно ли их выделить и, если да, то как? Как построить модель, исходя только из данных эксперимента?

Знание параметров порядка важно не только для моделирования, но и для организации и планирования экспериментов, с тем чтобы измерять наиболее информативные величины. После того, как временной ряд получен (измерен), перед исследователем встаёт следующий круг проблем: необходимо определить, являются ли данные детерминированными или случайными (в случае, если данные получены в ходе натурных экспериментов). Каковы свойства породившей их динамической системы, как можно охарактеризовать её на основе только имеющегося ряда? Как выбрать оптимальные методы их обработки. Иногда временной ряд является уникальным и повторить измерения невозможно, как, например, в случае палеомагнитных данных. В других ситуациях, когда схему измерений можно менять, могут представлять интерес и вопросы её выбора.

В основе большинства подходов, связанных с обработкой временных рядов лежит построение множества т.н. запаздывающих векторов. Новым результатом нелинейной динамики явилось установление того факта, что не всё пространство состояний, а некоторое его подмножество, в определённом смысле эквивалентно фазовому пространству нелинейной динамической системы, породившей временной ряд (теорема Такенса и её обобщения [1]). Это, помимо правильного решения задачи прогноза, позволило предложить новый класс методов, связанных с определением по временному ряду не только параметров статистических моделей, но и инвариантов динамической системы — фрактальных и прочих размерностей, энтропии и ляпуновских показателей. Фрактальная размерность может служить оценкой снизу для числа параметров порядка, остальные характеристики позволяют делать выводы о характере возникающих режимов и их предсказуемости. Кроме того, данные инварианты динамических систем можно использовать при решении задач идентификации в диагностических целях. Например, для некоторых физиологических систем (сердце, мозг) наличие хаоса отвечает норме, упрощение же режима или исчезновение хаотичности свидетельствует о серьёзных нарушениях в организме (внезапная сердечная смерть, эпилепсия, черепно-мозговые травмы).

При этом построение моделей авторегрессионого типа приобрело иной характер: они стали восприниматься не просто как технический приём или модели, построенные по аналогии с линейными системами, а как аппроксимация уравнений движения изучаемого объекта в координатах специального вида. Исследования в области нелинейной динамики стимулировали интерес к задаче прогноза и построения моделей. В ряде случаев удалось даже построить аналитические модели по данным эксперимента.

Таким образом, в 80-х годах возникло новое направление в анализе временных рядов, связанное с использованием идей нелинейной динамики. Эти подходы применялись с тех пор и по настоящее время к широкому спектру проблем, однако в большом числе случаев результаты их использования были неоднозначны. Причина затруднений заключается в том, что рассчитанный результат прогноза зависит не только от свойств динамической системы, но также от размерности использованного пространства состояний, способа построения векторов, длины выборки и т.п. Поэтому в последние годы стали появляться работы, в которых отмечались ограничения методов прогнозирования. Таким образом, возникло противоречие между сравнительно простыми, ясными и привлекательными идеями, лежащими в основе подхода нелинейной динамики к прогнозированию временных рядов, и трудностями, связанными с получением конкретных численных результатов прогноза, особенно для систем естественного происхождения. Иными словами, осталось большое количество открытых вопросов. Решить некоторых из них и явилось целью данной диссертационной работы.

В диссертации рассматриваются два принципиально различных метода анализа и прогнозирования временных рядов, объединенных общими принципами нелинейной динамики: метод сингулярного спектрального анализа и группа методов под названием локальная аппроксимация. Большинство удовлетворительных результатов применения методов нелинейной динамики, к сожалению, относится к модельным временным рядам, порожденными системами небольшой размерности. Поэтому в качестве объекта исследования были выбраны временные ряды естественного происхождения, характеризующие солнечную активность и ряд данных по температуре у поверхности Земли. Применение методов нелинейной динамики к этим временным рядам позволило, помимо прогноза, подтвердить некоторые известные идеи и выдвинуть новые гипотезы.

Другой важной задачей стала систематизация и обобщение большого количества вариантов метода локальной аппроксимации, для чего была построена обобщенная теория данного метода прогнозирования. На основании построенной обобщающей теоретической модели были сделаны некоторые выводы о предпочтительности использования того или иного варианта метода локальной аппроксимации.

Цели работы

• Применение методов нелинейной динамики для анализа сложных систем естественного происхождения.

• Построение общего решения задачи прогноза в рамках теории динамических систем.

• Разработка метода, позволяющего находить как дальние корреляции, так и скрытые закономерности во временных рядах естественного происхождения.

Научная новизна

1. В рамках теории динамических систем разработаны новые методы обработки временных рядов естественного происхождения.

2. Предложено новое обоснование гипотезы о существовании 80-летнего цикла активности Солнца.

3. Обоснован новый способ, позволяющий выявить скрытые взаимосвязи между различными системами естественного происхождения.

4. Предложено новое обоснование гипотезы о связи глобального потепления с активностью Солнца.

5. Построена обобщенная теория, позволяющая найти аналитическое решение задачи прогноза для различных вариантов метода локальной аппроксимации.

6. На основании предложенной обобщенной теории даны оценки качества прогноза.

Структура работы

Диссертация включает введение, четыре главы, заключение и список

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Истомин, Илья Александрович

Основные результаты работы

1. Используя теорию динамических систем, разработан новый способ исследования временных рядов естественного происхождения. В частности, метод сингулярного спектрального анализа, ранее применявшийся в основном к моделям небольшого числа переменных, успешно адаптирован к системам большой размерности вложения аттрактора.

2. Для метода локальной аппроксимации предложен и проверен критерий по выбору параметров метода при прогнозировании конкретного ряда.

3. На основании проведенных исследований предложено дополнительное обоснование гипотезы о существовании 80-летнего цикла активности Солнца. Гипотеза о существовании такого цикла Гляйсберга существует достаточно давно, и имеет свои обоснования. В данной работе возможность существования такого цикла показана с новой стороны.

4. Предложен новый способ выявления скрытой связи между различными системами естественного происхождения. На примере солнечной активности и ряда глобальных температур у поверхности Земли, показана возможность использования глобальных методов прогнозирования для выявлении скрытых корреляций между этими системами.

5. Систематизированы и обобщены различные варианты метода локальной аппроксимации и различные способы прогноза исходя из найденного общего аналитического решения задачи прогноза. Дан подробный анализ этих вариантов на основе единого подхода.

На защиту выносятся следующие положения

1. Обоснована возможность применения теории динамических систем и Такенса-Мане для анализа временных рядов естественного происхождения с использованием высокой размерности представления.

2. Используя предложенный подход, показана возможность выявления скрытых закономерностей в реальных временных рядах: долгопериодических и короткопериодических составляющих. В частности, подтверждена гипотеза о существовании т.н. цикла Гляйсберга в динамике солнечной активности продолжительностью около 80 лет.

3. Используя глобальные методы прогнозирования, обоснован новый способ выявления корреляций между системами естественного происхождения посредством анализа порождаемых ими временных рядов.

4. Предложено новое объяснение связи глобального потепления на Земле с активностью Солнца.

5. На основе общего подхода, использующего теорию динамических систем и метод локальной аппроксимации, найдено общее аналитическое решение задачи прогноза.

6. В рамках теории динамических систем даны оценки качества прогноза и предложены критерии выбора того или иного варианта прогнозирования в зависимости от природы временного ряда.

Благодарности

Эта работа никогда бы не появилась, если бы не помощь и поддержка многих людей. Благодарю ВСЕХ оказавших мне помощь при её написании. В первую очередь это относится к моему научному руководителю профессору Александру Юрьевичу Лоскутову, за его научное руководство и обсуждение проблем и результатов, советы и помощь при написании самой работы. Отдельное спасибо его терпению и настойчивости, без которых эта работа так никогда не была бы написана. Также отдельная благодарность Олегу Котлярову за неоценимую научную помощь и советы, которыми он щедро делился на протяжении все нашей совместной работы. Это относится также к Кириллу Кузаняну. Спасибо Арсену Джаноеву за ценные советы по оформлению работы. Также выражаю благодарность за дружеское обсуждение и участие Сергею Рыбалко, Алексею Рябову, Екатерине Жучковой и всем сотрудникам, аспирантам и студентам лаборатории нелинейной динамики и хаоса физического факультета МГУ.

Заключение

Связь между теорией хаоса и реальным миром наиболее явно и интересно проявляется при анализе временных рядов на основе подходов нелинейной динамики. Примеры хаотического поведения обнаружены во многих областях, включая биологию, физиологию, медицину, гео- и астрофизику, а также в социальных и финансовых науках. Исходными данными для анализа таких систем очень часто служат временные ряды - последовательности значений какой-либо измеряемой величины, взятые через равные промежутки времени. Именно здесь нашли свое применение методы анализа и прогноза временных рядов, разработанные в рамках нелинейной динамики.

Эти методы имеют ряд преимуществ перед стандартными алгоритмами прогноза при исследовании квазипериодических и хаотических систем. Дело в том, что для большинства реальных систем по тем или иным причинам не удается построить адекватные математические модели, но в тоже время необходимо найти способы анализа и прогнозирования их поведения.

В работе рассмотрены новые способы и варианты применения двух таких методов: сингулярного спектрального анализа и группы методов объединенных названием локальной аппроксимации. Также проведено более глубокое аналитическое исследование метода локальной аппроксимации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Истомин, Илья Александрович, 2006 год

1. F Takens Detecting strange attractors in turbulence 1. Dynamical Systems and Turbulence Eds D A Rand, L -S Young Springer, Berlin, 1981, v 898 of Lectures Notes in Mathematics, p 366 381

2. H Б Янсон, Реконструкция динамических систем по экспериментальным данным Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ -мат наук, саратовский государственный университет На правах рукописи 1997

3. А Ю Лоскутов, А С Михайлов Введение в синергетику Москва "Наука", 1990

4. Ott Е Chaos in dynamical systems Cambridge, 1993 397 p

5. Katok A , Hasselblatt В Introduction to the modern theory of dynamical systems Cambridge, 1996 822 p

6. Abarbanel H D I Analysis of observed chaotic data N Y , 1996 272 p

7. Kantz H , Schreiber T Nonlinear time series analysis Cambridge, 1997. 320 p

8. Tsoms A A Chaos Prom theory to applications. N.Y , 1992 274 p.

9. J Cremers, A Hubler, Construction of differential equations from exerimental data // Z Naturforschung, 42(A), 1987, p 797

10. J P Churtfield, В S McNamara, Equations of motion from a data series // Complex Systems, 1, 1987, p 417 452

11. R Mane. On the dimension of the compact invariant sets of certain non-linear maps Eds D.A Rand, L -S Young Springer, Berlin, 1981, v 898 of Lectures Notes in Mathematics, p 230-242

12. И С Арансон, A M Рейман, В Г. Шехов, Методы измерения корреляционной размерности в экперименте Сборник статей по нелиейной динамике, с 262 266

13. Grassberger Р , Procaccia I Measuring the strangeness of strange attractors // Physica D 1983 Vol 9, №1,2 p 189 201

14. Frank M , Blank H -R , Heindl J , et al Improvement of K2-entropy calculations by means of dimension scaled distances//Physica D. 1993 Vol 65 p 359 364

15. Kugiumtzis D Assessing different norms in nonlinear analysis of noisy time series // Physica D 1997 Vol 105 p 62 78

16. P S Landa, M G Rosenblum, Tame series analysis for system identification and diagnostics, Physica D, 48, 1991

17. Casdagh M , Eubank S , Farmer J D , et al. State space reconstruction in presence of noise // Physica D., 1991. Vol 51. p 52 98

18. Dmg M , Grebogi C., Ott E., et al Plateau onset for correlation dimension When does it occur? // Phys Rev Lett 1993 Vol 70 p 3872 3875.

19. Malinetskn G G , Potapov А В., Rakhmanov A I Limitations of delay reconstruction for chaotic dynamical systems // Phys Rev E 1993. Vol. 48. p. 904 912

20. Eraser A M , Swinney H.L Independent coordinates for strange attractors from mutual information // Phys Rev. A. 1986 Vol 33 p 1131 1140

21. Liebert W , Schuster H G Proper choice of the time delays for the analysis of chaotic time series // Phys Lett. A 1989 Vol 142 p 107 111

22. Liebert W , Pawelzik К , Schuster H G Optimal embedding of chaotic attractors from topological considerations // Europhys Lett 1991 Vol 14 p 521 526

23. Kennel M В , Isabelle S Method to distinguish possible chaos from colored noise and to determine embedding parameters//Phys Rev A 1992 Vol 46 p. 3111 3118

24. Buzug T , Pfister G Comparison of algorithms calculating optimal parameters for delay time coordinates // Physica D. 1992. Vol 58 p 127 137

25. Buzug T , Reimers T , Pfister G Optimal reconstruction of strange attractors from purely geometrical arguments // Europhys. Lett. 1990 Vol 13 p 605 610

26. Kugiumtzis D. State space reconstruction parameters in the analysis of chaotic time series the role of the time window length // Physica D 1996 Vol 95. p. 13 28

27. Kostehch E J Problems in estimating dynamics from data // Physica D 1992. Vol 58 p 138-152

28. Jaeger L , Kantz H Unbiased reconstruction underlying a noisy chaotic time series // CHAOS 1996. Vol 6 p 440-450

29. Brown R, Rulkov E R , Tracy N F Modeling and synchronizing chaotic systems from time-series data // Phys Rev E 1994 Vol 49 p 3784-3800

30. Johnston J , DiNardo J Econometric methods, 4th Edition London, 1997 480 p

31. Franses P H Time series models for business and economic forecasting Cambridge,1998 296 p

32. А С Монин, J1 И Питербарг Предсказуемость погоды и климата В сб Пределы предсказуемости Ред Ю А Кравцов, ЦентрКом, Москва, 1997, стр 12 49

33. Shumway R , Staffer D S Time Series Analysis and its Applications N.Y., 2000 549 p

34. Mills T С The econometric modeling of financial time series, 2th Edition Cambridge,1999 380 p

35. Малинецкий Г Г, Потапов А Б Современные проблемы нелинейной динамики М • Эдиториал УРСС, 2000 336 с

36. Brown R G Smoothing, Forecasting and Prediction of Discrete Time-Series New Jersey, 1963 468 p

37. D S Broomhead, G P King Extracting qualitative dynamics from experimental data // Physica D, 1986, v 20, p 217 236

38. D.S Broomhead, G P King On the qualitative analysis of experiemntal dynamical systems In Nonhnera Phenomena and Chaos Ed S Sarkar Adam Hilger, Bristol, 1986, p 113-144

39. Главные компоненты временных рядов-метод "Гусеница" Сб статей Ред ДЛ Данилов и А А Жиглявский Спб университет, 1997

40. D S Broomhead, R Jones Time-series analysis // Proc Roy Soc London, 1989, v 423, p.103 110

41. R Vautard, P.Yiou, M Ghil Singular spectrum analysis A toolkit for short, noisy chaotic singals // Physica D, 1992, v 58, p 95-126

42. D.B Percival, A T Walden Spectral Analysts for Physical Applications Multitaper and Conventional Univariate Techniques Cambridge University Press, Cambridge, 1993

43. J Theiler, S Eubank, A Longtm, В Galdrikan, J D Farmer Testing for nonhnearity m time series the method of surrogate data // Physica D, 1992, v 58, p 77 94

44. D.T Kaplan, L Glass. Direct test for determinism in a time series // Phys Rev Lett, 1992, v 68, p 427 430

45. J Deppish, H -U Bauer, T Geisel Hierarchical training of neural networks and prediction of chaotic time series // Phys Lett A, 1991, v 158, p 57 62

46. D В Murray Forecasting a chaotic time series using an improved metric for embedding space // Physica D, 1993, v 68, p 318 325

47. Cao, Y Hong, H Fang, G He Predicting chaotic time series with wavelet networks // Physica D, 1995, v 85, p 225-238

48. Дж Бокс, T Дженкинс Анализ временных рядов Мир, Москва, 1974

49. М Ghil, R М Allen, М D Dettinger, К. Ide, D Kondrashov, М Е Mann, A. Robertson, A. Saunders, Y Tian, F Varadi, and P Yiou, Advanced spectral methods for climatic time series // Rev Geophys , 10 1029/2000GR000092

50. AM Дубров, В С Мхитарян, JIИ Трошин Многомерные статистические методы Москва. Финансы и статистика, 2000

51. J D Farmer, J J Sidorowich Predicting Chaotic Time Series // Phys Rev Lett, 1987, v 59, p 845-848

52. Д JI Данилов Метод "Гусеница"для прогнозирования временных рядов В сб Главные компоненты временных рядов метод "Гусеница" Ред ДЛ Данилов и А.А Жиглявский, СПб университет, 1997

53. Farmer J D., Sidorowich J J Exploiting chaos to predict the future and reduce noise Evolution, Learning, and Cognition / Ed Lee Y C., Singapore, World Scientific Press, 1988, P277

54. Каханер Д , Моулер К , Нэш С Численные методы и программное обеспечение М • Мир, 1998 - 575 с

55. Kugiumtzis D , Lmgjarde О С , Christophersen N Regularized local linear prediction of chaotic time series // Physica D 1998 - Vol 112 - P 344-360

56. A Loskutov, I Istomin, К Kuzanyan Prediction of Wolf number dynamics using singular spectrum analysis method // Abstracts of the Joint European and National Astronomical Meeting JENAM 2000, Moscow, Russia, 26 May 3 June 2000, p 129

57. А Ю Лоскутов, И А Истомин, О Л Котляров, К М Кузанян Исследование закономерностей магнитной активности Солнца методом сингулярного спектрального анализа // Письма в Астрономический журнал, 2001, т27, Noll, с 867 876

58. A Loskutov, I A Istomin, К.М Kuzanyan and О L Kotlyarov Testing and forecasting the time series of the solar activity by singular spectrum analysis // Nonlin Phenomena in Complex Syst, 2001, v 4, Nol, p 47 57

59. Главные компоненты временных рядов метод "Гусеница". Сб статей Ред Д Л Данилов и А А Жиглявский СпбГУ, 1997

60. А Л Чижевский Физические факторы исторического процесса Калуга, 1924

61. А Л Чижевский Эпидемические катастрофы и периодическая деятельность Солнца М , 1930

62. А Л Чижевский Теория гелиотараксии М , 1930 А Л Чижевский Солнце и мы М , 1963 А Л Чижевский, Ю.Г.Шишина В ритме Солнца М , 1969, А Л Чижевский Земное эхо солнечных бурь М , 1973,

63. К Schatten Forecasting solar activity and cycle 23 outlook ASP Conf The Tenth Cambridge Workshop on Cool Stars, Stellar Systems and the Sun Eds R A.Donahue and J A Bookbinder, 1997, Ser 154 , p 1315 1325

64. Ю А Наговицын Нелинейная математическая модель процесса солнечной цикличности и возможности для реконструкции активности в прошлом // Письма в АЖ, 1997, т. 23, с 851 858

65. R М Wilson, D Н Hathaway, Е J Reichmann Estimating the size and timing of maximum amplitude for cycle 23 from its early cycle behavior // Geophys Res , 1998, v 103, p 17411 17418

66. D V Hoyt, К H Schatten Group sunspot numbers- A new solar activity reconstruction // Solar Physics, 1998, v 181, p 491 497.

67. D.H Hathaway, R M Wilson, E J.Reichmann A synthesis of solar cycle prediction techniques // J Geophys Res , 1999, v 104, No A10, p 22375 22388

68. В С Афраймович, А М.Рейман Размерность и энтропия в многомерных системах В сб Нелинейные волны Динамика и эволюция Ред А В Гапонов-Грехов, М И Рабинович. М., Наука, 1989, с 238 262.

69. M.Casdagli Nonlinear prediction of chaotic time series // Physiea D, 1989, v 35, p 335 356.

70. D Ruelle Deterministic chaos the science and the fiction // Proc Roy Soc London, 1990, v 427, Nol873, p 241 248

71. T Sauer, Y.A Yorke, M Casdagh Embedology 11 J Stat Phys , 1991, v 65, p 579-616

72. Г Г Малинецкий, А Б Потапов Современная прикладная нелинейная динамика М : УРСС, 2000

73. J.K Lowrence, A A Ruzmaikin, А С Cadavid Multifractal measure of the solar magnetic field // Astrophys J, 1993, v 417, p 805 811

74. J К Lowrence, A A Ruzmaikin, А С Cadavid Turbulent and chaotic dynamics underlying solar magnetic variability // Astrophys J, 1995, v 455, p 366 375

75. I V Dmitrieva, К M Kuzanyan, V N Obridko The amplitude and period of the dynamo wave and prediction of the solar cycle // Solar Phys , 2000, v 195, No 1, p.209-218

76. Jones, P D and Moberg, A , 2003' Hemispheric and large-scale surface air temperature variations An extensive revision and an update to 2001 //J Climate 16, 206-223

77. Jones, P D , New, M , Parker, D.E., Martin, S and Rigor, IG , 1999 Surface air temperature and its variations over the last 150 years Reviews of Geophysics 37, 173-199.

78. Christy, J R , Parker, D E., Stendel M and Norris, W В , 2001: Differential trends in tropical sea surface temperature and atmospheric temperatures since 1979 Geophysical Research Letters 28, 183-186

79. Rayner, N A., Parker, D E , Horton, E В , Folland, С К , Alexander, L V, Rowell, D P , Kaplan, A and Kent, E С , 2005 Globally complete analyses of sea surface temperature, sea ice and night marine air temperature, 1871-2000 J Geophys Res (in press)

80. Jones, P D., Osborn, T J., Briffa, К R , Folland, С К , Horton, В , Alexander, L V , Parker, D.E. and Rayner, N A., 2001: Adjusting for sampling density in grid-box land and ocean surface temperature time series // J Geophys. Res 106, 3371-3380

81. Капица С П , Курдюмов С П , Малинецкий Г Г. Синергетика и прогнозы будущего М "Наука", 1997.

82. Малинецкий Г. Г, Потапов А Б Катастрофы и бедствия глазами нелинейной динамики "Знание-сила", 1995, 3, стр 26-34

83. А Ю Лоскутов, О JI Котляров, И А Истомин, Д И Журавлев Проблемы нелинейной динамики III. Локальные методы прогнозирования временных рядов // Вести Моек ун-та, сер Физ -астр , 2002, No6, с 3 21

84. И А Истомин, О Л Котляров, А Ю Лоскутов К проблеме обработки временных рядов, расширение возможностей метода локальной аппроксимации посредством сингулярного спектрального анализа // Теор и матем физика, 2005, т142, Nol, с 148 159